Cílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin.
|
|
- Dušan Jaroš
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 1.2. Cíle Cílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin. Průvodce studiem Množina je jedním ze základních pojmů moderní matematiky. Teorii množin je možno budovat intuitivně nebo axiomaticky. V tomto článku se omezíme na zopakování základních pojmů intuitivního výkladu množin a jejich vlastností, které se podrobně probírají na většině středních škol. Základní pojmy Množinou rozumíme souhrn (tj. skupinu, soubor) nějakých objektů, osob, věcí, abstraktních pojmů, který je vymezen tak, že o každém objektu lze rozhodnout, zda do souboru patří nebo nepatří. Objekty, které do souboru náležejí, se nazývají prvky množiny. budeme obecně označovat velkými písmeny, jejich prvky malými písmeny. To, že prvek x patří do množiny M, zapisujeme x M, zápis a M vyjadřuje, že a není prvkem množiny M. Množina, která neobsahuje žádný prvek, se nazývá prázdná množina, označujeme ji symbolem. Množina, která obsahuje alespoň jeden prvek, je množina neprázdná., které obsahují konečný počet prvků, nazýváme konečnými množinami na rozdíl od nekonečných množin, které mají nekonečný počet prvků. Konečnou množinu M, která obsahuje prvky a 1, a 2,..., a n, označíme M = {a 1,..., a n }. Charakteristická vlastnost prvků dané množiny je vlastnost, kterou mají všechny prvky dané množiny a kterou nemají prvky, jež do množiny nepatří. Množinu M prvků daných charakteristickou vlastností vyjádřenou např. výrokovou formou S(x) zapisujeme ve tvaru M = {x D : S(x)}, 21
2 kde množina D je definičním oborem a množina M pravdivostním oborem výrokové formy S(x). Tak např. zápis M = {x N : 5 < x < 10} značí množinu M = {6, 7, 8, 9}. Řekneme, že množina A je podmnožinou množiny B (píšeme A B), jestliže každý prvek množiny A je prvkem množiny B, tj. x A : (x A) (x B). Platnost výroku A B nevylučuje rovnost A = B, která je definována konjunkcí (A B) (B A). Připomeňme, že prázdná množina je podmnožinou každé množiny. Operace s množinami Průnik množin A, B definujeme jako množinu všech prvků, které jsou společné oběma množinám A, B. Průnik množin A, B označujeme A B. Platí tedy A B = {x : (x A) (x B)}. Dvě množiny A, B, pro něž platí A B =, nazýváme disjunktními množinami. Sjednocení množin A, B definujeme jako množinu, jejímiž prvky jsou právě všechny prvky množiny A a právě všechny prvky množiny B. Sjednocení množin A, B označujeme A B. Platí tedy A B = {x : (x A) (x B)}. Rozdíl množin A, B v daném pořadí definujeme jako množinu všech prvků, které jsou prvky množiny A a nejsou prvky množiny B. Rozdíl množin A, B označujeme A - B nebo A \ B. Platí tedy A - B = {x : (x A) (x B)}. Doplněk množiny A v množině Z. Nechť A Z. Doplňkem množiny A v množině Z nazýváme podmnožinu množiny Z, která obsahuje prvky, které nepatří do množiny A. Označujeme A a platí A = Z - A = {x : (x Z) (x A)}. Uvedené pojmy budeme ilustrovat na obr
3 A A A B A B B B A\B Z A B A A' Obr. 1 Vennovy diagramy Vztahy mezi množinami a operace s množinami znázorňujeme pomocí diagramů, ve kterých množiny představují kruhy, popř. jiné geometrické obrazce (např. obdélníky) a jejich části (viz obr. l, příklad 1, obr. 2). Příklad Diagram na obr. 2 znázorňuje množinu osob Z = {a,..., k}, ovládajících cizí jazyky. A = {a, b, c, d, e, f} je množina lidí, kteří mluví anglicky, F = {d, e, f, g, h, i} je množina lidí, kteří mluví francouzsky, a lidé v množině označené N = {c, f, j, k} mluví německy. Určeme množinu W lidí, kteří mluví francouzsky a nemluví německy, a množinu Y lidí, kteří mluví všemi třemi jazyky. 23
4 A Z a b d g h F e i N c f j k Obr. 2 Řešení: Podle diagramu na obr. 2 platí W = F N = {d, e, g, h, i}, Y = A F N = {f}. Uspořádanou dvojicí (a, b) prvků a, b M nazýváme dvojici, u které záleží na pořadí prvků a, b, přičemž prvek a je první člen, prvek b druhý člen dvojice (a, b). Pro a b je (a, b) (b, a). Kartézským součinem A B neprázdných množin A, B (v tomto pořadí) nazýváme množinu všech uspořádaných dvojic (a, b), kde a A, b B. Zapisujeme A B = {(a, b) : a A b B}. Je-li alespoň jedna z obou množin A, B prázdná, potom A B =. Je-li A = B, nazveme součin A A (druhou) kartézskou mocninou množiny A, označujeme A 2. 24
5 Příklad Nechť A = {a, c}, B = {b, d, c}. Utvořme součiny A B, B A. Řešení: A B = {(a, b), (a, d), (a, c), (c, b), (c, d), (c, c)}. B A = {(b, a), (b, c), (d, a), (d, c), (c, a), (c, c)}. Poznámka 1. Kartézský součin A B není komutativní operací, protože obecně platí A B B A. 2. Obecně lze zavést kartézský součin A 1 A 2 A 3... A n jako množinu všech uspořádaných n-tic (a 1, a 2,..., a n ), kde a 1 A 1, a 2 A 2,..., a n A n. Je-li A 1 = A 2 =... = A n = A, budeme značit A A... A = A n. n-krát Binární relací mezi libovolnými neprázdnými množinami A, B nazýváme každou podmnožinu R kartézského součinu A B, tj. R A B. Je-li R A A, nazveme relaci R relací na množině A. Je-li R binární relace na množině A, x, y A, (x, y) R, říkáme, že prvek x je v relaci R s prvkem y a označujeme xry. Jestliže (x, y) R, píšeme x R y. Zápis xry nazýváme přiřazením prvku y v relaci R k prvku x. Poznámka Binární relaci R A B, jejíž prvky (x, y) vyhovují dané výrokové formě f(x, y), zapíšeme ve tvaru R = {(x, y) A B : f(x, y)}. 25
6 Příklad Nechť Q je množina všech racionálních čísel a relace R = {(x, y) Q Q: x + y Z} (Z je množina všech celých čísel). Zjistěme, zda Řešení: Platí 2 1 R 3 7, protože = 21 Z, R, protože + = 1 Z R, R Mezi důležité binární relace R v množině A patří relace ekvivalence a relace uspořádání. Relace ekvivalence splňuje podmínky: P1: x A : xrx reflexivnost, P2: x, y A : xry yrx symetrie, P3: x, y, z A : (xry yrz) xrz tranzitivnost. Relace uspořádání splňuje podmínky P1, P3 a podmínky: P4: x, y A : (xry yrx) x = y antisymetrie, P5: x, y A : xry yrx srovnatelnost. Příklad Základním příkladem relace ekvivalence je relace R m definovaná pro každé m N v množině Z (N, Z jsou po řadě množiny přirozených a celých čísel) tak, že pro každé x, y Z platí xr m y právě tehdy, když dělením číslem m dávají čísla x, y týž zbytek. 26
7 Základním příkladem relace uspořádání v množině reálných čísel je uspořádání reálných čísel definované tak, že pro každé x, y R (množina reálných čísel) platí x y právě tehdy, když číslo y - x je nezáporné. Znázornění relací Relaci R A B znázorňujeme obdobně jako kartézský součin A B, kde A, B jsou podmnožiny reálných čísel, tedy v kartézské soustavě souřadnic v rovině (O, +x, +y). Poznámka V tomto případě říkáme, že jsme relaci R znázornili pomocí kartézského grafu. Často však znázorňujeme relaci R pomocí tzv. šachovnicového grafu nebo uzlového grafu. Příklad Binární relaci {(x, y) R 2 : x + 2y - 4 = 0} lze znázornit grafem přímky x + 2y - 4 = 0 v rovině (O, +x, +y). Příklad Polorovina znázorněná na obr. 3 je grafem binární relace {(x, y) R 2 : x + 2y - 4 0}. 27
8 + y (0,2) 0 (4,0) + x Obr. 3 Zobrazením množiny A do množiny B nazýváme relaci F A B, pro kterou platí F = {(x, y) A B : x A! y B : (x, y) F}. Relace F tedy přiřazuje každému prvku x A právě jeden prvek y B tak, že (x, y) F. Zobrazení F zapisujeme F : A B. Množinu A nazýváme definičním oborem zobrazení F. Prvek y B značíme často F(x) a nazýváme jej obrazem vzoru x A v zobrazení F, zapisujeme x F(x). Rovnost dvou zobrazení F, G, F = G platí právě tehdy, když F i G mají stejný definiční obor A a F(x) = G(x) pro každé x A. Příklad Posloupnost čísel 1, , 3, 4,... můžeme chápat jako zobrazení F : N R, x 1 x, tedy F = ( 11, ), ( 2, 1 ), ( 3, 1 ),
9 Zobrazením množiny A na množinu B nazýváme zobrazení F A x B, pro které platí F = {(x, y) A B : y B x A : (x, y) F}, tedy každé y B je obrazem některého x A. Příklad Rozdělení výroků na pravdivé a nepravdivé je zobrazení F množiny všech výroků na množinu {0, 1}. Prostým zobrazením nazýváme zobrazení F množiny A do množiny B, pro které platí: F = {(x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) A B (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) F : x 1 x 2 y 1 y 2 }, tedy každý obraz y B má nejvýše jeden vzor x A. Poznámky 1. Prosté zobrazení množiny A na množinu B se nazývá vzájemně jednoznačné zobrazení. 2. Říkáme, že množina A je ekvivalentní s množinou B, právě když existuje vzájemně jednoznačné zobrazení množiny A na množinu B, popřípadě jsou-li obě množiny A, B prázdné, zapisujeme A B. 29
10 Příklad Zobrazení F : R R, x x 3, které zapisujeme ve tvaru y = x 3, x R, je vzájemně jednoznačné, protože ke každému y R existuje jediný vzor 3 y R. Operací (přesněji binární operací) na množině A nazýváme zobrazení F : A A A. Taková operace přiřazuje každé uspořádané dvojici (x, y) A 2 jednoznačně prvek z = F (x, y). Příkladem operace je sčítání (respektive násobení) přirozených, celých, racionálních nebo reálných čísel. Kontrolní otázky 1. Množinou rozumíme souhrn (soubor apod.) prvků, které: a) nemají žádnou společnou vlastnost, b) nemusí mít společnou vlastnost, c) mají tzv. charakteristickou vlastnost prvků dané množiny. 2. Tvrzení: Jestliže každý prvek množiny A je prvkem množiny B definuje: a) A B, b) A B, c) A B. 3. Diagramy znázorňující vztahy mezi množinami a operacemi mezi nimi se nazývají a) Leninovy, b) Klemovy, c) Vennovy. 4. Množinu = { x:(x A) (x B) } M nazveme: a) průnikem množin A, B, b) doplňkem množiny A v množině B, c) rozdílem množin A, B. 30
11 5. Je-li alespoň jedna z množin A, B prázdná, potom pro kartézský součin A B množin A, B platí: a) A B = B A, b) A B= A, c) A B = Platí-li pro každou množinu R a libovolné neprázdné množiny A, B vztah nazveme množinu R: a) distanční relací, b) disjunktní množinou, c) binární relací. 7. Je sčítání přirozených čísel binární operací na množině N? a) ano, b) ne. R A B, Odpovědi na kontrolní otázky 1. c), 2. a), 3. c), 4. c), 5. c), 6. c), 7. a). Úlohy k samostatnému řešení 1. Utvořte všechny podmnožiny množiny M = {3, -4, 5}. 2. Stanovte, kolik podmnožin má množina A = {O, 1, 2, 3}, zobecněte pro případ, kdy množina A má n prvků. 3. Jsou dány množiny A = {1, 2, 4, 7, 11, 16}, B = {1, 3, 7, 13}, C = {1, 6, 11, 19}. Určete a) A B, b) B C, c) A B C, d) A B e) A C, f) A B C, g) A - B. 4. Uvažte, zda a) množina úhlů v trojúhelníku je podmnožinou množiny trojúhelníků, b) množina prvočísel je podmnožinou množiny lichých čísel, c) množina lichých čísel je podmnožinou množiny prvočísel, d) množina rovnostranných trojúhelníků je podmnožinou množiny rovnoramenných trojúhelníků. 5. Je možné, aby někdy platilo a) A - B = A, b) A - B =? 6. Určete prvky množin A, B, C, které jsou definovány ve tvaru A = {x R : x 2-1 = 0}, B = {x R : (x - 1) 2 = 0}, C = {x R : x 3-2x 2 - x = -2}. π 7. Najděte množinu, kterou tvoří všechna řešení rovnice a) cos x 0 =, 2 b) sin πx = Základní množina je Z = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} a množiny A = {1, 3, 5, 7}, B = {2, 4, 6, 8}, C = {3, 4, 7, 8}. Určete a) A B, b) A B, c) B C. 31
12 9. Užitím Vennových diagramů rozhodněte, zda pro libovolné podmnožiny dané základní množiny Z platí: a) (A B ) B = A B, b) A B = (A B), c) C (A B) = = (A C ) (C B). 10. Ve škole byla sestavena statistika zájmové činnosti žáků v tělesné výchově. Ve skupině označené L (lehká atletika) je 34 žáků, ve skupině P (plavání) je 32 žáků a ve skupině O (odbíjená) je 25 žáků. 9 žáků je v lehkoatletické i plavecké skupině, 5 žáků je činných v lehké atletice a v odbíjené, 7 žáků je ve skupině odbíjené a plavání, 2 žáci jsou ve všech třech skupinách a 34 žáků se neúčastní zájmové tělovýchovné činnosti. Nakreslete Vennův diagram podle uvedených údajů a určete celkový počet žáků ve škole. 11. Jsou dány množiny P = {1, 2, 3} a Q = {a, b}. Utvořte kartézské součiny a) P Q, b) Q P, c) P P, d) Q Q. 12. Nechť A = {-1, 2, 5, 7}, B = {0, 2}, určete A B. 13. V rovině (O, +x, +y) zakreslete kartézský součin A B, jestliže A = {x R : 0 x < 5}, B = {x R : -2 < x 3}. 14. Je dána množina A = {-2, -1, 0, 1, 2}, výčtem prvků zapište binární relaci B = {(x, y) A A, x > y}. 15. V rovině (O, +x, +y) zakreslete binární relace: a) A = {(x, y) R 2 : x < y}, b) B = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 < 1}, c) P = {(x, y) R 2 : 0 < x y < 1}. 16. Nechť M = {1, 2, 3, 4}. Rozhodněte, které z následujících množin definují zobrazení množiny M do R : M 1 = {(3, 3), (1, 8), (4, 3), (2, 3)}, M 2 = {(1, 5), (4, π), (1, 8), (2, 4)}, M 3 = {(2, 3), (1, 3), (3, 5), (5, 7)}, M 4 = {(3, 4), (2, -2), (1, π), (4, 0)}. 17. Rozhodněte, zda daná zobrazení F: A B jsou např. zobrazení do množiny B, na množinu B, zobrazení prostá, zobrazení vzájemně jednoznačná: a) F(x) je obec, v níž má x trvalé bydliště, A je množina všech obyvatel ČR, B množina všech obcí v ČR, b) F(x) je počet obyvatel státu x, A je množina všech států, B je množina všech přirozených čísel, c) F(x) je manželka muže x, A je množina všech ženatých mužů, B množina všech provdaných žen. 18. Každý, kdo v šatně odevzdá plášť, dostane lístek s určitým číslem. Popište tuto situaci jako zobrazení množiny do množiny a vysvětlete, ve kterém případě by šlo o vzájemně jednoznačné zobrazení množiny na množinu. 32
13 Výsledky úloh k samostatnému řešení 1. Prázdná množina, tři podmnožiny o jednom prvku, tři podmnožiny o dvou prvcích, daná množina M ; 2 n. 3. a) {1, 2, 3, 4, 7, 11, 13, 16}, b) {1, 3, 6, 7, 11, 13, 19}, c) {1, 2, 3, 4, 6, 7, 11, 13, 16, 19}, d) {1, 7}, e) {1, 11}, f) {1}, g) {2, 4, 11, 16}. 4. a) Ne, b) ne, c) ne, d) ano. 5. a) Ano, je-li A B = B =, b) ano, je-li A B. 6. A = {-1, 1}, B = {1}, C = {-1, 1, 2}. 7. a) Všechna lichá celá čísla, b) všechna celá čísla. 8. a) {1, 3, 5, 7}, b) {2, 4, 6, 8}, c) {3, 7}. 9. Platí a), c) P Q = {(1, a), (2, a), (3, a), (1, b), (2, b), (3, b)}, Q P = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)}, P P = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)}, Q Q = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b)}. 12. {(-1, 0), (-1, 2), (2, 0), (2, 2), (5, 0), (5, 2), (7, 0), (7, 2)}. 13. Obdélník, dvě jeho strany do množiny A B nepatří. 14. B = {(-1, -2), (0, -1), (0, -2), (1, 0), (1, -1), (1, -2), (2, 1), (2, 0), (2, -1), (2, 2)}. 15. a) Dolní polorovina omezená přímkou y = x, jež do množiny nepatří, b) vnitřek kruhu, c) část roviny mezi osami souřadnic a větvemi hyperboly xy = M 1 a M a) Zobrazení na množinu, b) pravděpodobně prosté, c) vzájemně jednoznačné ve společnosti, v níž je uzákoněna monogamie. 18. Označme A množinu plášťů, B množinu lístků s čísly. V případě, kdy šatna není plně obsazena, jde o zobrazení množiny A do množiny B, v němž každému vzoru a je přiřazen právě jeden obraz b. Je-li šatna plně obsazena, jde o vzájemně jednoznačné zobrazení množiny A na množinu B. 33
14 Kontrolní test 1. Určete, která z odpovědí obsahuje všechny podmnožiny množiny A = { 1,4}. a), b),{ 1 },{ 4 },{ 1,4 }, c) { }, 1,4. 2. Stanovte, kolik podmnožin má množina: A = { 2,4,16,64}. 4 2 a) 2, b) 2, c) 5. π 3. Najděte množinu, kterou tvoří všechna řešení rovnice cos x = 0 : 2 a) všechna lichá celá čísla, b) všechna reálná čísla, c) všechna celá čísla. 4. Určete A B, je-li A = 1,3,5,7, B = 2, 4,6,8, kde základní množina je { } { } Z= { 1,2,3,4,5,6,7,8 }. a) { 1, 3, 5, 7 }, b) { 2, 4,6,8 }, c) { 1, 3, 5, 7 }. 5. V rovině (0, x, y) zakreslete binární relaci a) vnitřek kruhu, b) vnitřek elipsy, c) nelze zobrazit. + + A = {(x,y) R 2 :x 2 + y 2 < 4} 6. Rozhodněte užitím Vennových diagramů, zda pro libovolné podmnožiny dané základní množiny Z platí: (A B ) B = A B. a) ano, b) ne, c) nelze rozhodnout. Výsledky testu 1. b), 2. a), 3. a), 4. a), 5. a), 6.a) Průvodce studiem Pokud jste správně odpověděli nejméně ve 4 případech, pokračujte další kapitolou. V opačném případě je třeba prostudovat kapitolu 1.2. znovu. 34
prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. BI-ZMA ZS 2009/2010
Základní pojmy prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze c Čestmír Burdík, Edita Pelantová 2009 Základy matematické analýzy
VíceMatematická analýza 1
Matematická analýza 1 ZS 2019-20 Miroslav Zelený 1. Logika, množiny a základní číselné obory 2. Limita posloupnosti 3. Limita a spojitost funkce 4. Elementární funkce 5. Derivace 6. Taylorův polynom Návod
Více2. Množiny, funkce. Poznámka: Prvky množiny mohou být opět množiny. Takovou množinu, pak nazýváme systém množin, značí se
MNOŽIN, ZÁKLDNÍ POJMY Pojem množiny patří v matematice ke stěžejním. Nelze jej zavést ve formě definice pomocí primitivních pojmů; považuje se totiž rovněž za pojem primitivní. Představa o pojmu množina
VíceModerní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/ Množiny, funkce
Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018 2. Množiny, funkce MNOŽIN, ZÁKLDNÍ POJMY Pojem množiny patří v matematice ke stěžejním. Nelze jej zavést ve formě definice pomocí
VíceMnožiny, základní číselné množiny, množinové operace
2 Množiny, základní číselné množiny, množinové operace Pokud kliknete na některý odkaz uvnitř textu kromě prezentace, zobrazí se odpovídající příklad nebo tabulka. Levý Alt+šipka doleva nebo ikona Vás
Více0. ÚVOD - matematické symboly, značení,
0. ÚVOD - matematické symboly, značení, číselné množiny Výroky Výrok je každé sdělení, u kterého lze jednoznačně rozhodnout, zda je či není pravdivé. Každému výroku lze proto přiřadit jedinou pravdivostní
VíceZákladní pojmy teorie množin Vektorové prostory
Základní pojmy teorie množin Přednáška MATEMATIKA č. 1 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 7. 10. 2010 Základní pojmy teorie množin Základní pojmy
VíceB i n á r n í r e l a c e. Patrik Kavecký, Radomír Hamřík
B i n á r n í r e l a c e Patrik Kavecký, Radomír Hamřík Obsah 1 Kartézský součin dvou množin... 3 2 Binární relace... 6 3 Inverzní relace... 8 4 Klasifikace binární relací... 9 5 Ekvivalence... 12 2 1
Více1.3. Číselné množiny. Cíle. Průvodce studiem. Výklad
1.3. Cíle Cílem kapitoly je seznámení čtenáře s axiomy číselných oborů a jejich podmnožin (intervalů) a zavedení nových pojmů, které nejsou náplní středoškolských osnov. Průvodce studiem Vývoj matematiky
VícePro každé formule α, β, γ, δ platí: Pro každé formule α, β, γ platí: Poznámka: Platí právě tehdy, když je tautologie.
Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 5. Výroková logika, formule výrokové logiky a jejich pravdivostní ohodnocení, splnitelné formule, tautologie, kontradikce, sémantický důsledek, tautologicky ekvivalentní
VíceTeorie množin. Čekají nás základní množinové operace kartézské součiny, relace zobrazení, operace. Teoretické základy informatiky.
Teorie množin V matematice je všechno množina I čísla jsou definována pomocí množin Informatika stojí na matematice Znalosti Teorie množin využijeme v databázových systémech v informačních systémech při
VíceMnožiny, relace, zobrazení
Množiny, relace, zobrazení Množiny Množinou rozumíme každý soubor určitých objektů shrnutých v jeden celek. Zmíněné objekty pak nazýváme prvky dané množiny. Pojem množina je tedy synonymem pojmů typu soubor,
Více1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
VícePojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace
RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,
VíceMnožiny. Množina je soubor objektů, o kterých můžeme rozhodnout, zda do množiny patří nebo ne. Tyto objekty nazýváme prvky.
Množiny Množina je soubor objektů, o kterých můžeme rozhodnout, zda do množiny patří nebo ne. Tyto objekty nazýváme prvky. Množiny označujeme velkými písmeny např. A, B, N, R.. Množinu lze určit a) výčtem
VíceKapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R...
Kapitola 1 Úvod 1.1 Značení N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Z... celá čísla ( 3, 2, 1, 0, 1, 2,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) q R... reálná čísla C... komplexní čísla 1.2 Výroky -
VíceMatematika I, část I. Rovnici (1) nazýváme vektorovou rovnicí roviny ABC. Rovina ABC prochází bodem A a říkáme, že má zaměření u, v. X=A+r.u+s.
3.4. Výklad Předpokládejme, že v prostoru E 3 jsou dány body A, B, C neležící na jedné přímce. Těmito body prochází jediná rovina, kterou označíme ABC. Určíme vektory u = B - A, v = C - A, které jsou zřejmě
VícePavel Burda Radim Havelek Radoslava Hradecká Pavel Kreml
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA MATEMATIKA I Pavel Burda Radim Havelek Radoslava Hradecká Pavel Kreml Vytvořeno v rámci projektu Operačního programu Rozvoje lidských zdrojů CZ4/5/6 Studijní
Více1 Množiny, výroky a číselné obory
1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou
VíceFUNKCE POJEM, VLASTNOSTI, GRAF
FUNKCE POJEM, VLASTNOSTI, GRAF Zavedení pojmu funkce funkce Funkce f na množině D R je předpis, který každému číslu x z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo y z množiny R. Množina D se nazývá definiční
VíceÚvod do informatiky. Miroslav Kolařík. Zpracováno dle učebního textu prof. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008.
Úvod do informatiky přednáška třetí Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu prof. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008. Množiny, relace a funkce úvod Množiny, relace a funkce
VíceIV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel
Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:
Více6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet
6. Vektorový počet Budeme se pohybovat v prostoru R n, což je kartézská mocnina množiny reálných čísel R; R n = R R. Obvykle nám bude stačit omezení na případy n = 1, 2, 3; nicméně teorie je platná obecně.
VíceKATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO ALGEBRA DAGMAR SKALSKÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN
KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO ALGEBRA DAGMAR SKALSKÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Olomouc
VícePŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému
VíceMatematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
Více1 Základní pojmy. 1.1 Množiny
1 Základní pojmy V této kapitole si stručně připomeneme základní pojmy, bez jejichž znalostí bychom se v dalším studiu neobešli. Nejprve to budou poznatky z logiky a teorie množin. Dále se budeme věnovat
VíceAplikovaná matematika I, NMAF071
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. 1: Úvod, čísla, zobrazení, posloupnosti 1 Aplikovaná matematika I, NMAF071 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2013/14 Sylabus = obsah (plán) přednášky [a orientační
Více1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU
Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření
VíceMETRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY
PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme
VíceInovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT
Střední průmyslová škola a Vyšší odborná škola technická Brno, Sokolská 1 Šablona: Téma: Název: Autor: Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Funkce Funkce a její vlastnosti Ing. Vacková Věra
VíceKaždé formuli výrokového počtu přiřadíme hodnotu 0, půjde-li o formuli nepravdivou, a hodnotu 1, půjde-li. α neplatí. β je nutná podmínka pro α
1. JAZYK ATEATIKY 1.1 nožiny nožina je souhrn objektů určitých vlastností, které chápeme jako celek. ZNAČENÍ. x A x A θ A = { { a, b a A = B A B 0, 1 2 a, a,..., a n x patří do množiny A x nepatří do množiny
Vícei=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice
I. Funkce dvou a více reálných proměnných 1. Úvod Značení: V textu budeme používat označení: N pro množinu všech přirozených čísel; R pro množinu všech reálných čísel; R n pro množinu všech uspořádaných
VíceMatematická funkce. Kartézský součin. Zobrazení. Uspořádanou dvojici prvků x, y označujeme [x, y] Uspořádané dvojice jsou si rovny, pokud platí:
Matematická funkce Kartézský součin Uspořádanou dvojici prvků x, y označujeme [x, y] Uspořádané dvojice jsou si rovny, pokud platí: [x, y] = [u, v] x = u y = v Pokud K, L jsou libovolné množiny, pak množinu
VíceKapitola Základní množinové pojmy Princip rovnosti. Dvě množiny S a T jsou si rovny (píšeme S = T ) prvek T je také prvkem S.
1 Kapitola 1 Množiny 11 Základní množinové pojmy Pojem množiny nedefinujeme, pouze připomínáme, že množina je souhrn, nebo soubor navzájem rozlišitelných objektů, kterým říkáme prvky 111 Princip rovnosti
VíceFunkce, elementární funkce.
Kapitola 2 Funkce, elementární funkce. V této kapitole si se budeme věnovat studiu základních vlastností funkcí jako je definiční obor, obor hodnot. Připomeneme si pojmy sudá, lichá, rostoucí, klesající.
VíceCZ.1.07/1.5.00/34.0527
Projekt: Příjemce: Digitální učební materiály ve škole, registrační číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0527 Střední zdravotnická škola a Vyšší odborná škola zdravotnická, Husova 3, 371 60 České Budějovice
VíceBakalářská matematika I
1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,
Více1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU
Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření
Více1 Připomenutí vybraných pojmů
1 Připomenutí vybraných pojmů 1.1 Grupa Definice 1 ((Komutativní) grupa). Grupou (M, ) rozumíme množinu M spolu s operací na M, která má tyto vlastnosti: i) x, y M; x y M, Operace je neomezeně definovaná
VíceVektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
VíceLineární algebra Kapitola 1 - Základní matematické pojmy
Lineární algebra Kapitola 1 - Základní matematické pojmy 1.1 Relace a funkce V celém textu budeme používat následující označení pro číselné množiny: N množina všech přirozených čísel bez nuly, N={1, 2,
Více(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí
1. Reálná funkce reálné proměnné, derivování (FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října 2011 Obsah 1 Přehled některých elementárních funkcí 1 1.1 Polynomické funkce.......................... 1 1.2 Racionální
VíceALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,
Víceanalytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.
4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami
VícePatří-li do množiny A právě prvky a, b, c, d, budeme zapisovat A = {a, b, c, d}.
2 Množiny a intervaly lgebraické výrazy 2.1 Množiny Chápání množiny lze shrnout takto: Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých předmětů m našeho nazírání nebo myšlení (které nazýváme
VíceVEKTOR. Vymyslete alespoň tři příklady vektorových a skalárních fyzikálních veličin. vektorové: 1. skalární
VEKTOR Úvod Vektor je abstraktní pojem sloužící k vyjádření jistého směru a velikosti. S vektorovými veličinami se setkáváme například ve fyzice. Jde o veličiny, u nichž je rozhodující nejen velikost,
VíceÚvod do logiky (presentace 2) Naivní teorie množin, relace a funkce
Úvod do logiky (presentace 2) Naivní teorie množin, relace a funkce Marie Duží marie.duzi@vsb.cz 1 Úvod do teoretické informatiky (logika) Naivní teorie množin Co je to množina? Množina je soubor prvků
VícePoznámka. Je-li f zobrazení, ve kterém potřebujeme zdůraznit proměnnou, píšeme f(x) (resp. f(y), resp. f(t)) je zobrazení místo f je zobrazení.
2. ZOBRAZENÍ A FUNKCE 2.1 Zobrazení 2. 1. 1 Definice: Nechť A a B jsou množiny. Řekneme že f je zobrazení množiny A do množiny B jestliže (i) f A B (ii) ke každému z množiny A eistuje právě jedno y z množiny
VíceReálná čísla. Sjednocením množiny racionálních a iracionálních čísel vzniká množina
Reálná čísla Iracionální číslo je číslo vyjádřené ve tvaru nekonečného desetinného rozvoje, ve kterém se nevyskytuje žádná perioda. Při počítání je potřeba iracionální číslo vyjádřit zaokrouhlené na určitý
VíceMatematická analýza III.
1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )
VíceEuklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.
Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a
VíceMatematická analýza pro informatiky I.
Matematická analýza pro informatiky I. 1. přednáška Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 14. února 2011 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz
Více0.1 Funkce a její vlastnosti
0.1 Funkce a její vlastnosti Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost (m) čas (t) výše úrokové sazby v bance (i) cena
VíceMatematika (KMI/PMATE)
Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Funkce a její vlastnosti Veličina Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Funkce a její
VíceMatematika I. Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Zkouška:
Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Matematika I katedra matematiky, UL-605, rvyrut@kma.zcu.cz tel.: 377 63 2658 Zkouška: Písemná část zkoušky - příklady v rozsahu zápočtových prací Ústní část zkoušky - základní
Více1 Topologie roviny a prostoru
1 Topologie roviny a prostoru 1.1 Základní pojmy množin Intervaly a okolí Intervaly v rovině nebo prostoru jsou obdélníky nebo hranoly se stranami rovnoběžnými s osami souřadnic. Podmnožiny intervalů se
VíceINVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 Relace, zobrazení, algebraické struktury Michal Botur Přednáška
VíceMatematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
VícePŘEDNÁŠKA 1 MNOŽINY ČÍSEL
PŘEDNÁŠKA 1 MNOŽINY ČÍSEL 1.1 Základní poznatky o množinách 2 Množinou budeme rozumět souhrn libovolných objektů. Množinu považujeme za určenou, je-li možno o každém objektu jednoznačně rozhodnout, zda
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
VíceMnožiny a operace s nimi
Variace 1 Množiny a operace s nimi Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Množiny a operace s nimi
VíceDEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které
VíceTexty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení
VíceMATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické
VíceÚvod do informatiky. Miroslav Kolařík
Úvod do informatiky přednáška pátá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008 a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní
Více1 Vektorové prostory.
1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které
VíceNAIVNÍ TEORIE MNOŽIN, okruh č. 5
NAIVNÍ TEORIE MNOŽIN, okruh č. 5 Definování množiny a jejích prvků Množina je souhrn nějakých věcí. Patří-li věc do množiny X, říkáme, že v ní leží, že je jejím prvkem nebo že množina X tuto věc obsahuje.
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
VíceREÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ
REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ 5 přednáška S funkcemi se setkáváme na každém kroku ve všech přírodních vědách ale i v každodenním životě Každá situace kdy jsou nějaký jev nebo veličina jednoznačně určeny
VíceFUNKCE. Než přistoupíme k samotným funkcím, je třeba nadefinovat a vysvětlit několik pojmů, které k tomu budeme potřebovat.
FUNKCE Než přistoupíme k samotným unkcím, je třeba nadeinovat a vysvětlit několik pojmů, které k tomu budeme potřebovat. Kartézský součin množin A, B je množina všech uspořádaných dvojic [a; b], kde a
VíceVÝROKOVÁ LOGIKA. Výrok srozumitelná oznamovací věta (výraz, sdělení), která může být buď jen pravdivá nebo jen nepravdivá..
VÝROKOVÁ LOGIKA Teorie: Logika je vědní obor zabývající se studiem různých forem vyjadřování a pravidel správného posuzování. (Matematická logika je součástí tohoto vědního oboru a ve velké míře užívá
VíceFunkce a základní pojmy popisující jejich chování
a základní pojmy ující jejich chování Pro zobrazení z reálných čísel do reálných čísel se používá termín reálná funkce reálné proměnné. 511 f bude v této části znamenat zobrazení nějaké neprázdné podmnožiny
VíceV: Pro nulový prvek o lineárního prostoru L platí vlastnosti:
Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz. Základní vlastnosti abstraktních lineárních prostorů. Lineární závislost, nezávislost, báze, souřadnice vzhledem k bázi, matice lineárního zobrazení vzhledem k bázím.skalární
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diskrétní matematika. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diskrétní matematika študenti MFF 15. augusta 2008 1 16 Diskrétní matematika Požadavky Uspořádané množiny Množinové systémy, párování, párování v bipartitních
VíceTeorie grup 1 Příklad axiomatické teorie
Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie Alena Šolcová 1 Binární operace Binary operation Binární operací na neprázdné množině A rozumíme každé zobrazení kartézského součinu A x A do A. Multiplikativní
VícePojem relace patří mezi pojmy, které prostupují všemi částmi matematiky.
Relace. Pojem relace patří mezi pojmy, které prostupují všemi částmi matematiky. Definice. Mějme množiny A a B. Binární relace R z množiny A do množiny B je každá množina uspořádaných dvojic (a, b), kde
Více1 Zobrazení 1 ZOBRAZENÍ 1. Zobrazení a algebraické struktury. (a) Ukažte, že zobrazení f : x
1 ZOBRAZENÍ 1 Zobrazení a algebraické struktury 1 Zobrazení Příklad 1.1. (a) Ukažte, že zobrazení f : x na otevřený interval ( 1, 1). x x +1 je bijekce množiny reálných čísel R (b) Necht a, b R, a < b.
VíceFunkce základní pojmy a vlastnosti
Funkce základní pojm a vlastnosti Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Pojem funkce Vlastnosti funkcí Inverzní funkce 4 Základní elementární funkce Mocninné Eponenciální Logaritmické
Více2 Reálné funkce jedné reálné proměnné
2 Reálné funkce jedné reálné proměnné S funkcemi se setkáváme na každém kroku, ve všech přírodních vědách, ale i v každodenním životě. Každá situace, kd jsou nějaký jev nebo veličina jednoznačně určen
Víceoznačme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,
Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání
Více6.1 Vektorový prostor
6 Vektorový prostor, vektory Lineární závislost vektorů 6.1 Vektorový prostor Nechť je dán soubor nějakých prvků, v němž je dána jistá struktura vztahů mezi jednotlivými prvky nebo v němž jsou předepsána
Více3 Množiny, Relace a Funkce
3 Množiny, Relace a Funkce V přehledu matematických formalismů informatiky se v této lekci zaměříme na základní datové typy matematiky, tj. na množiny, relace a funkce. O množinách jste sice zajisté slyšeli
VíceNáhodný pokus Náhodným pokusem (stručněji pokusem) rozumíme každé uskutečnění určitého systému podmínek resp. pravidel.
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus Náhodným pokusem (stručněji pokusem) rozumíme každé uskutečnění určitého systému podmínek resp. pravidel. Poznámka: Výsledek pokusu není předem znám (výsledek
VíceMnožina je nejdůležitější matematický pojem, na kterém stojí veškeré další matematické pojmy.
1 Teorie množin Základní informace V této výukové jednotce se student seznámí se základními pojmy a algoritmy z teorie množin. Začneme základními operacemi s množinami, seznámíme se s pojmy jako kartézský
VíceÚlohy k procvičování textu o svazech
Úlohy k procvičování textu o svazech Číslo za pomlčkou v označení úlohy je číslo kapitoly textu, která je úlohou procvičovaná. Každá úloha je vyřešena o několik stránek později. Kontrolní otázky - zadání
VíceOkruhy, podokruhy, obor integrity, těleso, homomorfismus. 1. Rozhodněte, zda daná množina M je podokruhem okruhu (C, +, ): f) M = { a
Sbírka příkladů z okruhů a polynomů Algebra I Okruhy, podokruhy, obor integrity, těleso, homomorfismus 1. Rozhodněte, zda daná množina M je podokruhem okruhu (C, +, ): a) M = {a + i a R}, b) M = {a + i
Více1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:
Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky
VíceKapitola 1. Relace. podle definice podmnožinou každé množiny. 1 Neříkáme už ale, co to je objekt. V tom právě spočívá intuitivnost našeho přístupu.
Kapitola 1 Relace Úvodní kapitola je věnována důležitému pojmu relace. Protože relace popisují vztahy mezi prvky množin a navíc jsou samy množinami, bude vhodné množiny nejprve krátce připomenout. 1.1
VíceÚvod do informatiky. Miroslav Kolařík
Úvod do informatiky přednáška sedmá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008. Obsah 1 Čísla a číselné obory 2 Princip indukce 3 Vybrané
VíceÚvod do lineární algebry
Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky
VíceLogika, výroky, množiny
Logika, výroky, množiny Martina Šimůnková 23. srpna 2017 Učební text k předmětu Matematická analýza pro studenty FP TUL Jazyk matematiky Budeme používat dva jazyky: jazyk matematiky a běžně používaný jazyk.
VíceZáklady matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 4. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 27 Množiny Zavedení pojmu množina je velice
VíceKapitola 1: Reálné funkce 1/13
Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny 2/13 N = {1, 2, 3, 4,... }... přirozená čísla N 0 = N {0} = {0, 1, 2, 3, 4,... } Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4,... }... celá čísla Q = { p q p, q Z}... racionální
VíceLineární algebra : Lineární prostor
Lineární algebra : Lineární prostor (3. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:43 1 2 3.1 Aximotické zavedení lineárního prostoru Číselné těleso Celou lineární
VíceUčitelství 1. stupně ZŠ tématické plány předmětů matematika
Učitelství 1. stupně ZŠ tématické plány předmětů matematika Povinné předměty: Matematika I aritmetika (KMD/MATE1) 2 Matematika 3 aritmetika s didaktikou (KMD/MATE3) 3 Matematika 5 geometrie (KMD/MATE5)
VíceMatematika I (KMI/PMATE)
Přednáška první aneb Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Úvod do matematické analýzy Osnova přednášky pojem funkce definice funkce graf funkce definiční obor funkce obor hodnot funkce
Více0.1 Úvod do matematické analýzy
Matematika I (KMI/PMATE) 1 0.1 Úvod do matematické analýzy 0.1.1 Pojem funkce Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost
VícePřijímací zkouška na MFF UK v Praze
Přijímací zkouška na MFF UK v Praze pro bakalářské studijní programy fyzika, informatika a matematika 2016, varianta A U každé z deseti úloh je nabízeno pět odpovědí: a, b, c, d, e. Vaším úkolem je u každé
VíceBooleova algebra. 1. kapitola. Množiny a Vennovy diagramy
Booleova algebra 1. kapitola. Množiny a Vennovy diagramy In: Oldřich Odvárko (author): Booleova algebra. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1973. pp. 5 14. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403767 Terms of
Více