Časopis pro pěstování matematiky

Transkript

1 Časpis pr pěstvání matematiky František Nžička O styku variet v afinním lineárním prstru Časpis pr pěstvání matematiky, Vl. 83 (1958), N. 2, Persistent URL: Terms f use: Institute f Mathematics AS CR, 1958 Institute f Mathematics f the Academy f Sciences f the Czech Republic prvides access t digitized dcuments strictly fr persnal use. Each cpy f any part f this dcument must cntain these Terms f use. This paper has been digitized, ptimized fr electrnic delivery and stamped with digital signature within the prject DML-CZ: The Czech Digital Mathematics Library

2 Časpis pr pěstváni matematiky, rč. 83 (1958), Praha 0 STYKU VARIET V AFINNÍM LINEÁRNÍM PROSTORU FRANTIŠEK NOŽIČKA, Praha DT: (Dšl dne 25. března 1957) V tmt článku je určitým způsbem zaveden pjem styku dvu variet (l) X p, ^X^ dimense p v afinním lineárním prstru E n (n ^ 2, 1 ^ p ž n - I). Definvaný pjem styku je invariantní ve smyslu afinní gemetrie. Jsu nalezeny velmi jednduché nutné a pstačující pdmínky pr t, aby uvažvané (spjitě diferencvatelné) variety měly ve splečném bdě styk aspň k-téh řádu (k ^ 1). V části II článku se uvažuje speciální,,metrická" definice styku křivek a styku nadplch v euklidvském n-rzměrném prstru a prkazuje se jejich ekvivalence (ve smyslu v práci ppsaném) s afinní" definicí styku těcht variet, která je se svými některými důsledky uvedena v části I. I V lineárním afinním prstru E n suřadnicích x a (c = 1,..., n) jsu dány dvě variety {1) X^ <&X 9 dimense p(lgp<n) parametrickými ppisy vídají hdntám (1) rf parametrů (1) rf variety (1) X P a hdntám (2) rf parametrů < 2 V variety ^X 9 \ (b) funkce Ma?(Mrf) mají spjité parciální derivace g-(l)#a (l) I,: x* = <%«(<V)> a=l,...,p; *=!,...,n, (1,1). <*>X 9 : x? = <%«(< 2 V), <* = 1,.., Pí * = 1,..., n. (1,1)* Budeme v dalším předpkládat: (a) variety < 1) X 3), < 2) X V mají splečný bd P e E n, jehž suřadnice x a dp v dstatečně malém klí bdu (< x y,..., < X V); fu nkc e (2) x a ( (2) rf) parciální derivace 0 0 mají spjité v dstatečně malém klí bdu (< 2 V,..., <*hf); přitm je a l9..., a x == 1,..., p. 171

3 (c) bd P je regulárním bdem variety WX V a sučasně regulárním bdem variety < 2 >X,p. T znamená, že matice Í^B\^B\..A 1) Bi\ a matice (&B\WB\... < 2 > «\ ^>jbi< a >J3;...<»).B;/(v-c«) r mají hdnst y. Věta 1. Nechť < 1 >X 3), < 2 >X 3, /sw variety v E n s vlastnstmi shra ^(1) (2) (n-j>) Budtez v a, v a,...,v a knstantní vektry v E n s vlastnstmi citvanými. (1) (n-3>) A x = p>-bř, <*> *,..., <«;, tr»,..., v- ] * 0, (1,3) (1) (n-p) A 2 = [< 2 > f, < 2 > f,..., < 2 >J3«, v*,..., v a ] * 0, (1,3), Me symbl B a značí hdntu veličiny B% v bdíp splečním varietám (1) X V, < 2) Xj,. Ptm systémem rvnic «-* ) (S < 2 >#*(< 2 y) <% a (< x y) = 2 Atr*, «= i,...,n (i,4) 8-1 S 0?e definvána lkálně určitá krespndence mezi bdy variet < 1) X J,, < 2) X 3>, &čmž j6 jednjednznacná v dstatečné malém klí bdu P. Důkaz. Plžme V < s) ^ (y, < x y, A)=< 2 >#*(< 2 y) <%*(<-y) 2 A ««, (<% = i,..., n). s s~l s 0 Ptm systém (1,4) můžeme psát stručněji ve tvaru ^(0-y, <iy, 1) = 0 (c = 1,..., n). (1,5) Vzhledem k předpkladu (a) jsu rvnice (1,5) splněny pr < 2 y = < 2 y, <*y = <*y, A = (a = i,..., p; s = i,..., n. p). O s Z předpkladu (b) a z (1,5), (1,4) plyne dále, že funkce F*( >rf, < x y> X) (c = a = l,...,n) mají v dstatečně malém klí bdu (< 2 V, < 2 y,..., < 2 y, (iy 7 ' < x y,..., < x y, X = 0, X = 0,..., X = O) spjité parciální derivace pdle (2)?? a n~j* ' 172

4 *>rf 9 X až d řádu &-téh (včetně). Z (1,5), (1,4), (l,2) a, b, (l,3) a, b snadn vypčs teme, že [ 8F* df* 3F«8F«dF* df*~\ _ a5y' ~Py~' ""' g5y ' IT' ~~et' ''> JT\ P ~ (1) (2) (n-.*) = (_ l)n-p [(2) a 9 (2Җ 5 _? («) ^ ^...,- t^ ] ф 0, ЗJ^a ØjFa ђjp a дf«дf* F a Lgay > g ( iy > - > ga^j, > ^» SA ' ' ' a A 1 2 n-j> (1) (2) (n-*) = (- 1)* [ (1 > f, (1) -Bf,..., (1) B% 3 V", V«,...,!*]* Na základě známé existenční věty z terie implicitních funkcí plyne pak tent fakt: Rvnicemi (1,5) resp. (1,4) jsu lkálně, v dstatečně malém klí bdu ( (1)^1, (1)?7 2,..., (1 ty*), definvány funkce 0 0 Q ( 2 y (2y (iy = ( )} a=l,...,p, (1,6), A = A( (1 V), *=l,...,»-p, (l,6) b které mají spjité parciální derivace pdle prměnných (1) rj a až d řádu i-téh (včetně) v uvažvaném klí. Právě tak jsu rvnicemi (1,4) lkálně, v dstatečně malém klí bdu ( (2)^1, (2)?^2,..., (2)?^í> ), definvány funkce dy = ay((*y), a = i,..., n p, (1,7). A = A(<V)- *=-l,...,n-p (l,7) b s s se spjitými parciálními derivacemi a,ž d řádu ž-téh (věetně) v uvažvaném klí. Zřejmě je (2ty* = (2y((iy)? a, 0 0 = 1,..., y, (1,8). (A)-= A(<V) = 0. «=-l,...,n-p. (l,8) b Odtud (tj. především z (1,6).,- (1,7)J pijme, že relacemi (l,6) a je lkálně, v klí bdu P splečnéh běma varietám (1) X Í), (2) X P, ppsána jednjedn značná krespndence mezi parametry variet (1) X 2J, (2) X P a tedy též lkální jednjednznačná krespndence mezi bdy variet (1) X P, (2) X P. Tím je věta 1 dkázána. Pznámka 1. Dsazením z (1,6) 4, (l,6) b d (1,4) dstáváme lkálně platnu identitu (2) a^((2) 7J a((i)^&)) (%*(<iy) = ^ A( (i y) v*,. (i,9) 173

5 z níž plyne (ve smyslu symbliky zavedené v (l,2) atb ): n -* (s) B% g»4j - (1 >5«= 2 A 0 Í>«, (1,10) s = l s 0 při čemž zavádíme pr stručnst značení Jestliže symblem [ ] budeme značvat determinant ze slžek vektrů v tét závrce uvedenýcb, ptm z (1,10) vyplývá (1) (2) (n-j>) 0 0 (1) (2) (»-j>) = [C»J3», WBj,..., <*> $, *«, t^,..., v«][<g4i, <54«,..., $4?] = 0 0 "Z* (*> "Z? («) n - P (*) (1)»-* = í (1)B t - 2 Kv*, (2) B% - 2 hv a..., (t) B% - 2 V a, v«,..., v«] = s = l «0 a»l $ 0 «= Odtud a z (l,3) a, b dstaneme ihned (1) (2) (n-í>) = [WBf, WJBj,..., MB*, v«, v«,...,«]. 0 0 [%A\,%Al...,%A%\,, = ^. * 0-2 Relace (l,6) a představují tedy lkálně (v klí bdu P na varietě ^X P ) regu lární transfrmaci parametrů v < 2) X P (s jakbiánem d nuly různým v P). Pznámka 2. Jak byl věřen průběhem důkazu věty 1 jsu za předpkladů tét věty rvnicencd (1,4) jednznačně definvány v dstatečně malém klí bdu ( (i y, (i y,..., ^V) 1 ) funkce A( (1 V) (5 = 1,..., n p), které mají tyt vlastnsti: 1. A(<-y)--= (A) 0 =- 0 pr s = 1,..., n - p, mají spjité parciální derivace pr 8U ^. ai = guyigay*... auy. ( 1>]L1 ) %, a 2,..., a ř = 1, 2,..., p ; s -= 1,..., n p ; 1 <g Z íg &. x ) Tedy bdu P na varietě < 1 >X íp, při čemž P je pdle předpkladu splečným bdem variet &X P, ( a >X. 174

6 Pr ttální diferenciály funkcí A( (1^a) řádu Z-téh (1 ^ l žs &) zavedeme b- 8 vyklé značení á l X. Symbly (du) 0,(d-A) 0,..., (d»a) nechť značí v dalším přade prvý, druhý,..., 2-tý,... ttální diferenciál funkce X 8 v bdě P dpvídajícím hdntám Wrj" parametrů (1) rj a variety ^X^. Definice 1. Nechť pr variety W X P9^2) X 9 z vety 1 splečném bdě P platí při krespndenci (1,4) (du) 0 = 0 pr l = i,..., k; s = 1,..., n p. (1,12) * Ptm fikáme, ze variety (1) X P, (2) X 3) mají ve splečném bdép styk nejméně k-téh řádu. Je-li aspň pr jedn s e 1,..., n p (á k+1 X) 0 =# 0, ptm říkáme, ze uva- 8 zvané variety mají v P styk praví k-téh řádu 2 ) Pznámka 3. Pd výrkem variety ^X^, WX 9 mají ve splečném bdě styk 4-téh řádu" budeme v dalším rzumět styk nejméně 4-téh řádu v P. Věta 2. Nechť variety (1) X 3 (2) X Í) mají za předpkladů shra uvažvaných - ve splečném bdép styk k-téh řádu (k ^ 1): Ptm tent fakt je nezávislý (1) (1) (n-p) 1. na vlbě knstantníh (n p)-vektru v*, v*,...,v a v krespndenci (1,4), vyhvujícíh pdmínkám (l,3) a>b, 2. na vlbě parametrů variet ^X P9 (2)-X,p, 3. na vlbě systému suřadnéh v E n. Důkaz. Mějme dva systémy (1) (2) (n-p) (1) (2) (n-p) v a, v a,..., v a ; w <x,w ex,...,w ac knstantních vektrů v E n, vyhvujících pdmínkách (l,3) a6, tj. (1) (n-p) (V) (n-p) [WJBJ, MB*,..., («B«, tr*,..., v* ] # 0, [WJBf, (ttjbj,..., ( 2 >-B, v",..., ^ ] * 0, (1) (n-p) (1) (n-j)) [(«JBf,(«J5s,...,(«J5«,tír»,...,t^] + 0, [( 2) Bt 9 WB*.,...,WB«w*,...,w«] 4= Uvažujme nyní dvě lkální krespndence mezi bdy variet WXj, a WX 9 a t jednak krespndenci (1,4), tj. *- p ( ) («3«((v) ~ ( % a ( (1 V) = 2'A *> a. (M3). 5 = ) Za předpkladu, že existují ttální diferenciály řádu k + 1 funkcí ^ v bde P. s 175

7 B> dále krespndenci n - *>_ («) (a)<r*((*y) (%«((iyj =-. 2 A w a. (M^ s = l s 0 Pdle věty 1 jsu relacemi (l? 13) a lkálně v dstatečně malém klí bdu ( (i y,..., ( i y) definvaný funkce (2y ^ a(ay), =I,...,p, (1,14), 9 a A=A( (1 V), *=1,...,»-?; (1,15),.9 S pdbně jsu relacemi (l,l3) b definvány v dstatečně malém klí bdu ( (i y, -.., ( i y) funkce (2y -= y«((iy), a = 1,..., p, (1,14) I^^V), *=l,...,n-p. (1,15), S 5 Funkce uvedené v (l,14) Sřb, (l,15) aib mají v dstatečně malém klí bdu ( (i y,..., ( i y) spjité parciální derivace až d řádu A včetně - jak vyplývá z důkazu věty 1. Tyt funkce vyhvují dále pdmínkám jak víme z důkazu věty 1. (*y == ^(Uy), a== 1,...,p 0 (Я) 0 = 0, * == 1,...,?& p; <ay.== yв((iy) ^ a = 1,...,p; 0 0 (I) 0 = 0, 8=1,..., тг p, V dstatečně malém klí bdu ( (i y,..., (i y^ platí tedy identity: Zaveďme v dalším značení l } (1,16). (lд6)ь n -p <»íв-fa-(<-у)) <->*-(<-y) = 2 2( (1 У)««, (1.17). s = l s (2 >^(^( (i y)) ( D^((iy) == 2 A( (i y) w*. (i,i7), s«l s 0 a ^ a 8 V č (1 > b *?7... č (i y* ' ni *" í " ~~ #-y-... #<-y. ' au au (M 8 ) 7 = a (i y-... O (i y ' *<...«. a (i y»... a (i y^* kde a, a x,...a,,^,..., b z = 1,..., p; l = i?...? h; s = 1,..., n p. Nechť symbly (1).B^ ^ a <*>-»...«- mají význam z (1,2). 176 b

8 Pznámka 4. Uveďme nyní známý pjem, který bude pr průběh našeh důkazu užitečným. Každý nenulvý vektr (1) t a v E n, pr který pátí WJJ«<»í a =-=0, a = l,...,p, (1,19). nazývá se tečným vektrem variety (DJj,. Pdbně každý nenulvý vektr <2 H a v E n, vyhvující rvnicím je tečným vektrem variety (2) X P. MB*Mt a = 0, a=l,...,p, (1,19), Je nyní dbře znám, že za našich předpkladů varietě (1) (2) X P (resp. X P ), učiněných na pčátku práce, můžeme vždy najít n p lineárně nezávislých vektrů w t a, s = 1,..., n p (resp. (2) t a, s = 1,..., n - p), vyhvujících rv- S 8 ničím (1,19),, (resp. (l,19) b ), při čemž každé řešení rvnic (1,19). (resp. (l,19) b ) je lineární kmbinací vektrů (1) t a, s = 1,..., n - p (resp. (2) ř a, s = 1,..., n p). Definujme speciálně: K1 (1) (s-l) (s-fl) (n-jj) K = e a,.. apap+1.,. ap+^ia a p+, +,..a. (1) -Sř BpV***.!*>+--!**+.+*...!>*-» (1,20). s Q 0 Q 0 pr s = 1,..., n - p, kde / 0, jsu-li aspň dva indexy stejné, /, 1, j su-li indexy vesměs různé a permutace ta t...an -s ^_/ ^..., # n čísel 1,..., n je sudá, (1,21) \ 1, jsu-h indexy vesměs různé a permutace #i»? ^n čísel 1J > n J e lichá. Vektry d>ř a definvané v (l,20) a vyhvují zřejmě rvnicím (1,19),. Tyt s vektry splňují pdmínky (i),v*щ a = 0 pr sф! (^, l = 1,..., n p), 0 s (í) tг»<«ř в = ІJ^ ф0 pr s = 1 b (1,22) v bdě (íiy,..., ^V), jak plyne z (l,3) ft a (1,20),. Ten fakt, že vektry &H a 0 0 s (s == 1,..., n - p) jsu v bdě ( (1 V>..-,. (1 V0 lineárně nezávislé, plyne snadn z pdmínek (1,22). Analgicky můžeme definvat systém tečných vektrů <-ty a (5 == 1,..., n p) variety (»! tj. (1) (s-l) (s + 1) (n-p) <2)ř a == e at... a, aph _,_ ia aj, +<+ x... (2) an -Bí {2) B% v«p+h..v **f-xt; «P+«+I... v «., (1,20)* * nezávislých v bdě (Wrj 1,..., ^rf). 177

9 Pmcná věta 1. Nechť (1) (2) (n.y) i) (2) (n-p) ( v* v a,... v a a W&, W a } ,Wa jsu dva systémy knstantních vektrů v JE n s vlastnstmi (1) (n-p) A 1 = [ (1 >i?í,..., (1 >_?5, ir*,..., tr* ] * O, 0 (1,23) _ (1) (n-j>) ^ _= [ (1 >J3«,..., (DJ5;, *>«,..., t r* ] * O - O _VecW (1 >ř a (8 = 1,..., n 2>) j*% vektry definvané v (l,20) a a nec/w symbly s ( (x) U představují hdnty veličin (1 >í a v bdě ( (1 V... dfy*). 5 s O O Jestliže /a (l = 1, -.., n p) jsu reálná čísla, pr která platí (i) («) /uw*(wt a ) Q = 0 pr 5 = 1,..., n p, 3 ) (l) s ptm fл = 0 pr ï = 1,..., n p. (0 (O Důkaz. Vzhledem k první z pdmínek (1,23) můžeme každý z vektrů iv a (pr l = 1,..., w - p) psát jak lineární kmbinaci vektrů (1 >-3ř,..-, (1) -2 > (1) (n-j>) t>*,..., V a, tj. 0 0 ( ř ) (0 («) ^_. (DB*C a + v*d\ 4 ) (1,24) Pr determinant ~A X z (1,23) dstaneme s přihlédnutím k (1,21), (1,24) (1) (n_2>) A x = e^..,^1*!??*... <«JESTO«P+I... w"* = (1) («a ) (n-í>) (* _ ) = e^.^(1) -Bt.. (1) J5*p((Di3«r io«- + W?*-.) - - ( (1) -B%--> - - C**-* + v"? D l*) = (*l) (s*-p) = t«x.^a) Bt x. (1 >J5*^p+i... v^d 1... _)»-» = O 0 0 (1) (»-l>) = e«x...«(1) J5f... (1 >J?«^«P+I... t?*». c, -- t -"-»J5í 1... D _*, ) Zde sčítáme přes l =_. 1,...,n p. 4 ) Zde sčítáme přes a = 1,..., p; 8 = 1,..., n p.

10 kde s i«$.* p -=-= : Z předchzíh a z (1,23) dstaneme kde 0, jsu-li aspň dva indexy v permutaci s 19..., 8 n - v čísel 1,..., n p stejné; 1, jsu-li v permutaci s x,..., s n -. p inde- \ xy vesměs různé a permutace sudá; \ 1, jsu-li v permutaci s ly..., s n P indexy vesměs různé a permutace lichá. [D] A 1 = A 1.[D]^0, D\ D\...Dl D\ D%...DL, (1,25), (1,2% \u x JJ v n _ v Z (1,24), (1,19), (1,22), (1,23) plyne nyní (Í) (.) (*) l «w-( ft) í«) = /i( (1) i5s«+ «-2>i) ( (1) í a ) = (Z) 0 s (l) (*) (1,26) (Z) 0 $ (Z) Z předpkladu /<* w*( (1) U = 0 pr 5 = 1,..., TI > (Z) 0 s a z (1,26) plyne dále A^/лDl = 0 pr s = 1,..., n ў (*) a tedy, vzhledem k (1,23), judl = O pr 8 = 1,..., n # (2) (1,27) Pr systém (1,27) n p lineárních hmgenních rvnic v n p neznámých \i x (O plyne pak na základě (l,25) a jednznačné řešení /u = O pr l = 1,..., n p.,, <-) Tím je pmcná věta dkázaná. Nyní přistupíme k důkazu tvrzení (1) naší věty, který prvedeme metdu úplné indukce. (2) Předpkládejme tedy nejdříve, že variety ^X P, X 9 mají ve splečném (») bdě P styk prvéh řádu ve smyslu naší definice při vlbě v* (s = 1,..., n - p) knstantních vektrů v E n, vyhvujících pdmínce (1,3).. Z lkálních identit (l,17) kb plyne (ve smyslu symbliky -(1,18), (l,2) a, b ) PÍ - (1)^ = 2 4^a s~l s O, (1,28). 179

11 "-»_<«) <»B«y>» - <DJB» =- 2 Kw*. (1,28), s-1 s 0 Dle našeh předpkladu je (pdle definice 1 a pdle (1,12)). (A) 0 = (da) 0 = 0 pr s = 1,..., n p. Je tedy též (pdle symbliky v (1,18)) (K) = P r *= 1,...,^ p;a-= 1,...,p.. (1,29) s Z (1,28),, (1,29) plyne pak (2) -B?(<p») - (1) -B 0 «= 0. (1,30) 0 Násbením předchzích rvnic tečným vektrem ( (1) t a ) 0 (a sečtením přes s & = 1;..., n) dstaneme vzhledem k (l,19) a (2) B«b ( (1 KU<p% = 0 8 pr s = 1,..., n p; 6 = 1,..., p. Pdle výsledku uvedenéh v pznámce 1 plyne z předchzích rvnic ^B*( t a ) 0 = 0 pr s = 1,..., n - p (1,30) 0 * a pr b = 1,..., j). Z (1,30), (l,28) b plyne pak ihned n ~ p _ 00 2 (*a) ^a( (1) U = 0 P r( > * = 1,..., ft jp. S-l S 0 3 Odtud plyne pak pdle tvrzení předchzí pmcné věty ihned Je tedy též (ÍJ = W *=1,..., fc P a pr a = 1,..., p. 8 (da) 0 = 0 (s= l,...,»-p). Odtud a z (1,29), (1,28),.,,, dstaneme (2) ^((9^) - (V>l)) = 0 ( =-l,...,p;«--l,...,»), 0 z čehž vyplývá vzhledem k lineární nezávislsti vektrů (2) jsj že (<pl) 0 = = (y%) 0 - Ověřili jsme si tedy implikaci />(A~) = (da) 0 = 0, (A) = (da) 0 = 0 =>( * (1,31) X( %S) = W), platnu pr $ = 1,..., n - p; a, b = 1,..., p. Pdmínky (A) 0 = (da) 0 = 0 {s = 1,..., n - p) znamenají, že variety (l) X 9, (2) X V mají ve splečném bdě P 180

12 styk prvéh řádu též při výchzí krespndenci (l,13) b Tím je tvrzení (1) naší věty dkázán pr h = 1. Předpkládejme nyní, že variety WX P9 {2)X P mají ve splečném bdě P styk řádu Z-téh, kde Z > 1, při výchzí krespndenci (1,4). Předpkládáme tedy, že pr funkce A( (1 ty a ) (s = 1,..., n 1) v (1,4) platí 8.(dU) 0 =.0 pr /--O, 1,...,&. (1,32) Předpkládáme dále (jak vlastní indukční krk), že tvrzení (1) naší věty je správné pr styk řádu Z 1. My budeme vedeni implikací (1,31) - předpkládat navíc, že platí (d>a) 0 -=0 pr y = 0, 1,...,Z- 1=>/ 1) (du) 0 = 0 pr?'= 0, 1,...,ř-l, 2) «...a,) 0 = «...a,) 0 (1>33) pr / = 1, 2,..., Z 1; &, a x>..., «-_! = 1,..., p* Předpklad (1,32) je zřejmě ekvivalentní předpkladu W = (K) = (Ka.) =... = (V.*.) = <> (1,34) a s 8 s pr 5 = 1,..., n p; a l9..., a x = 1,..., #. Parciálním, (Z l)-krát itervaným derivváním identit (l,28) a>b pdle (1)^a, dstaneme identity tvaru n -3? (s) KÍ.SÍ.-1 0»-P_ («) i» á5 )..i> i<á^i í-h kde CPa^".a5 jsu sučiny, v nichž až na číselný faktr vystupují puze elementy <rv..<~ OT ( m l > *>/) Veličiny í 7 *^ jsu veličiny téhž typu jak &* ;;% a dstaneme je z předchzích záměnu symblu tp za 9?. Odtud a z indukčníh předpkladu (1,33) plyne (<::ai) 0 = (<\":a!) pr i < y = z. (i,36) Z (1,35).,-, plyne s hledem na (1,36), (1,34) 0 s=.l a, 0 Násbením předchzích relací vektrem ( (1) a ) 0 (Ze 1,..., n p) a sečtením přes č dstaneme vzhledem k (1,30) * 2(O^( (1) g 0 = *+i 5 1 c 181

13 pr l = 1,.,., n p a pr a 1}..., a x = 1,..., p. Z předchzích relací však vyplývá ihned v důsledku dříve uvedené pmcné věty (A 0l...a ř ) = 0 pr s =. = l,...,»-p a pr a x,..., a z = 1,..., p. Dsazením dtud d (1,31) dstaneme w -3».«?ÍU) - (^JJ = 0 0 a tedy vzhledem k lineární nezávislsti vektrů ^2) Bt x (<pl\...a) = (fll.^ - Tím jsme věřili implikaci (1,33) pr j = Z. Tím je však tvrzení (1) naší věty metdu úplné indukce dkázán. Pznatek citvaný sub 2) v implikaci (1,33) jest vedlejším výsledkem, němž se zmíníme v pznámce za důkazem tét věty. Abychm dkázali tvrzení (2) naší věty, budeme předpkládat, že variety (1) X V, i2) Xv s parametrickými ppisy (l,l) a, (l,l) b mají ve splečném bdě styk &~téh řádu. Ptm, ve smyslu naší definice styku, splňují funkce X( (1) rj a ) 8 (které jsu lkálně jednznačně definvány krespndencí (1,4)) pdmínky (1,12), které jsu ekvivalentní pdmínkám (1,34). Nechť uy =. <Djj*((iy) (i,37) t je libvlná transfrmace parametrů variety ^X fi a t regulární v nějakém klí bdu (<V>...dV) 5 )- Rvnice (*V = (^(<V) (M7)-, necht ppisují lkálně v nějakém klí bdu (< 2 V,..., (2 V) regulární transfrmaci parametrů variety (%) X P. Předpkládejme dále, že existují v uvažvaných.klích variet ^X^, (*>X P spjité parciální derivace W K...» t --- sa^r.%^ > l =1. -..*. d.88). "-S^U -* g ^ S y * ' -=1..* (1.88),, Pdle věty 1 definují relace (1,4) lkálně jednznačně funkce X = X( {x) r] a ) > s s s = 1,..., n p, které představují urěité skaláry variety (1) X 3>. Důsledek i%) téže věty 1 je, že variety ^X 99 X P lze vztáhnut k jednmu a témuž systému &V parametrů variety &>X 9. Skaláry X (s == I,...,?&- p) jsu tedy zřejms nezávislé na transfrmaci (1,37)* parametrů variety (2) X V. 182 *) Tedy bdu P na varietě WX P, ^terý je splečný běma varietám <->X-, < 2 >X. O

14 Definujtfie X == A(<«5j a ) -- A(<V( a)^)), (1,39)..r a * d l X fx*..* = gm^x... g(d^ř * ^ i,. *, (i,39) b (1) C& 1...& Í -s gd)- 6l _ #1)^1» Z = 1,..., & (1J39) C pr a = 1,..., w p; a, & x,..., & ř == 1,..., p. Z (1,39), plyne pak s přihlédnutím k (l,39) b0, (1,34): f x...h = KJ^^...h + ^a-lt&i..*.*, A ai. ai í7í?i."!i? (1,40) 5 5 $ S pr 5 = 1,..., n p, l = 1,..., k, kde ř7 &1 ;...?,,, t7^. 8 6.,..., řt^iilsí závisí puze na parciálních derivacích (1) C& 1, (1) C a 1&2,..., (1) dl.?>.. Tt tvrzení se dá snadn věřit metdu úplné indukce. Z (1,34), (1,39) a (1,40) pak vyplývá ihned implikace (X) = (K) =... = (V..J = 0 => (A) 0 = (AJ =... = (A^.J, = 0 * * a a a. a pr s = I,...,w-p. Platí tedy též (d l A) 0 = 0 pr 8 = 1,..., n p; l = 0, 1,..., k => a => (d l )í) 0 pr 8 = 1,..., n p; l = 0, 1,..., k. s Odtud a z definice styku je správnst tvrzení (2) naší věty evidentní. Tvrzení (3) naší věty je evidentní. Skaláry X( (1) rf) a jejich parciální derivace a X ai... ai (l = 1,..-, k) jsu vnitřními gemetrickými bjekty variety (1) X V a jsu a tedy nezávislé na vlbě suřadnic v 18 n, v němž variety (1) X 3P, (2) X rp leží. Pznámka 5. V důkazu tvrzení (1) předchzí věty jsme navíc ukázali, že při krespndencích (l,17) a, (l,17) b, ppsaných lkálně (v uvedeném přadí) krespndencemi (l,14) a, (l,14) b mezi parametry (1) rj a, (2) rj a variet (1) X V, (2) X P> platí vedle pdmínek (9? a ) 0 = (ip a ) 0 (a = 1,..., pf) též pdmínky ((pa lt..a t ) 0 = = (v> ai l ) 0 pr a, a l9..., a x = 1,..., p, jak je naznačen v (1,33). Tyt pdmínky naznačují vzájemnu suvislst mezi dvěma krespndencemi typu (l,17) a, (1,17) 6. Věta 3. Nechť variety (1) X 3), WX V mají za uvazvaných předpkladů ve splečném bde P styk k-téh řádu (k " 1). Ptm lze a t neknečné mnha způsby vztáhnut variety (1 >X 3,, (2) X P k témuž systému parametrů rf tak 9 ze platí: Jsu4i x*=, Wf«(,,«) (a = 1,..., n\ a = 1,..., p) (1,41) a Xcc (2) «(^a) (QC --= 1... = 1?? n ; a?..., j)) 6 ) Plynucích z (1,16)., (1,16,,). 183

15 parametrické ppisy variet ( 1 ) I ř, (2) X P, vztažených lkálně v klí jejich splečnéh bdu P, dpvídajícímu hdntám parametrů r) a - k témuž systému para metrů, pak je I a*(-> «\ / 8K»)fa \ \a^-...^/~~ \a?j*... dif*/ 0 (1 ' 42) pr l = O, 1,..., k; a l7..., a l = 1,..., p. (*) Důkaz je velmi snadný. Nechť v* (s = 1,..., n #>) je libvlný systém knstantních vektrů v^s vlastnstí (l,3) ajb. Plžíme-li v identitě (1,9) (DfatUV) j-= (%«((%/*) (2)^a((iy) == (2) ÍC a((2) 7? a((l(^&)) ^ ptm lkální identitu (1,9) můžeme psát ve tvaru (1,43) (í)f«(<-)jj«) (i)fa((iy) = 2 A(< x y) tr*. (1,44) s = l a 0 Pdle předpkladu mají variety {1) X P, ^2) X P ve splečném bdě styk &-téh řádu (k 2> 1). Pdle definice styku platí pak (1,12), kteréžt pdmínky jsu ekvivalentní pdmínkám (1,34). Z (1,34) a (1,44) plynu pak bezprstředně pdmínky (1,42), kde klademe rf = <*y. Dkážeme nyní ještě, že lze variety {1) X V, {2) X V vztáhnut neknečně mnha způsby k témuž systému parametrů (lkálně, v nějakém klí jejich splečnéh bdu P) tak, že platí (1,42). Víme již, že za předpkladů naší věty lze při krespndenci (1,4) vztáhnut variety {1) X V, {2) X P k témuž systému parametrů rf a že při značení (1,43) a při ppisu (1,41) variet {1) X P, &X P platí (1,42). Buďtež nyní ^ ((iy ) > a = = i,..., p (1,45), libvlné funkce prměnných a (a) y (b = 1,..., p) těcht vlastnstí: ^«((iy) ay (a = i,..., p), (l 3 45) b (b) v nějakém dstatečně malém klí bdu ( (1 V,..., ( i y) existují parciální derivace ř fl,-f» _ Pí^a V 7_» -а łч...ь t ^ Ь í ^ д W^, _* -»..,* h pr a, Ъ 19..., Ò. = 1,...,23, (c) je pr a а b l9..., bi 1,..., p. 184 (<Җ),= ôłл (1 Җ.»,)--,O ł í-=2,....,* spjité (1.4*). (1,46), V<-

16 Je především nyní z (1,44) a z věty 1 evidentní, že rvnicemi. ', n-p ( s ) (2) «(^a) _ (D «((D^a) = ^ A( (1 V) tf* s = l a 0 je za předpkladů naší věty ppsána lkální krespndence mezi bdy variet ^X^ {2) X Vi při čemž tat krespndence je ppsána krespndencí rf = ( D^<* (a = 1,..., #>) mezi parametry bu uvažvaných variet. Tat krespndence je pak přím bsažena v ppisu (1,41) bu variet. Omezme se nyní na dstatečně malé klí bdu ( (1)^x,..., ^rf) a v ppisu x a = (2) *(??*) variety WX 9 plžme rf = řf^rf). Zvlíme-li pak pr varietu ^X 9 parametrický ppis (2) x((iy) = (2) a(^((iy)) (\ \ a pr varietu (1).X a, ppis x a = xa =. (D a ((iy) = (l> a((iy) $ ( lj46 ) c ptm pevně zvleným hdntám parametrů (1 V (dstatečně blízkým hdntám (1)?7 ) dpvídá jednznačně určitý bd na varietě WX P a určitý bd na varietě ( 2) X P. Při ppisu variet (1) X,p, (2) X 3) je tedy relacemi a-a:= (D a((d^a) ^ ^a (2) a(^a) řf^ýfftxrf) ( lí46 ) definvána zcela určitá krespndence mezi bdy variet ^X (2) 99 X 2D a t lkálně jednjednznačná v dstatečně malém klí bdu ( (1 V,..., ^>rf). T platí pr každé funkce rf^rf) s vlastnstmi (a), (b), (c) shra uvedenými. Z (l,45) ab 4, (1,43), (l,46) aa plyne (2) " a ((l)^) = (2) a(^&((lfya)) _- (2) a((l)^&) _ (%a((2)^a((l)^&)) (2)#a((2W x<x O O ^ = <%*((l)?7 a ) = (1) ř a ( (l V) = ( i) a((iy), v 0 tedy stručně (<* ), = ((i)^) 0 Z (l,46) b, (1,45)., plyne g (2) g* a< 2)» (1)1a Odtud a z (\,tá\ A plyne /g< 2) I"\ / ff 2) g«\.a =!> 2) M 185

17 a tedy vzhledem k (1,42), (l,46) a Id^M lip> "\ U (1)^/~U<V/' Metdu úplné indukce bychm nyní snadn věřili, že platí pr l = 2,..., i; 6 X,..., 6j ==- 1,..., p. a^y*... B^rj^J""" \a<«^*...a<iy«/ 0 Krespndencí tvaru (l,46) c s vlastnstmi (l,45) b, (l,45) d je však neknečně mnh 7 ) (zřejmě též neknečně mnh v bru analytických krespndencí uvažvanéh typu). Tím je věta 3 dkázána. Pznámka6. Z důkazu předchzí věty plyne tent výsledek: Nechť variety ( 1 ) I P, {2) X P s ppisem <«!,: a* = tt)f-f iy)? (»Z,: z* = <»f«(<v) mají splečný bd P dpvídající hdntám < 2 ty* = <i>?7 a == ^a parametrů. ÍTecht při krespndenci ( %) rf = ^rf ==?? a platí (za dříve uvažvaných předpkladů varietách <&X V9 < 2) X J) ) pdmínky (1,42). Je-li < 2 V = rfi^rf) libvlná krespndence mezi parametry &>rf 9 {2) rf variet < 1) X 2), < 2) X 3, s vlastnstmi (a), (b), (c) 8 ) a jestliže pr variety < 1) X!P, < 8 >X J> píšeme lkální ppis ptm platí <i>x :P : a;* = <D ""((iy) == CD «(<iy), (^X,: a?* = <*)f«(<v) = (2) l a (^( a V)) > / a z < 2 )> \ _ / a i <Df a V \ guy* -.. C*V'/ 0 ~~ \ #%/»-... #v* / pr Z = 0, 1,..., Je; b l9..., b, = 1,...,#. Věta 4. Nechť <i>x a>, < 2) X ;P /sw variety dimense p v E n (l <i p <i n 1 9 n _^ 2) 5 parametrickým ppisem WI,: x«= <«ř«(if), «= 1,...,»; a == 1,..., p, a TiecAf? <m splněny tyt <«X,: a*-= < 2) f«(?? a ), a==l,...,n; a = 1,..., p ) předpklady: (1,47) (1) variety < 1) X 3,, ^X^ ma?í &<ž P suřadnicích x a v E n splečný, při čemž x^ = ^^(r i a) = ^^(rf)\ (1,48) ) Vzájemně různýcih. ) Citvanými za (l,45) a. ) Tedy < 1 >K P, < 2 >X a jsu vztaženy k jednmu a témuž systému parametrů rf

18 (2) funkce (1) š a {rf), W *(rf>) mají v určitém klí bdu (rf,..., vf) spjité par- 0 dální derivace QU.1){:* fik*) a a (3) matice mají hdnst p. Platí-li к Э<i)fi э (1) 2 gudfn, ðrf ðrf " ~дrţ~ зыç 1 ð (1 Ч 2 c (1) Ş* J } ðrf Ьrf " ðrf _2) 1 a (2) ř 2 Э(2) n ^ дr) 1 дr) 1 - дrf \ *-? ð (2) p _2)f2 ð (2) Ç n J ðrf ðrf ' " дrf ' * -_ I č Z(1) l" l = / \ n 49) W^..3ij»'/ 0 \a^...8^/ 0 pr l = 1,..., _ 5-^..., 6 X = 1,..., p, ptm mají variety (1) X P, (2) X P ve splečném bdě P styk aspň k-téh fádu ve smyslu naší definice. Důkaz. Pr dané variety (1) X P, (2) X P pišme (1) X_ & = (1) ř a ( (1 V) > í 1 ' 50 )* <a)x_ z" = <«f»(<«v) > v 1 ' 50^ Vztažení variet (2) X_ ^X^, k témuž systému parametrů rf je ppsán jednduše krespndencí ( 2 y = (1) rf (=-- rf) mezi parametry ( i y, (%) rf variet (l,50) a, (l,50) b. Systémem rvnie n ~* < ) Í2) a((2y) _. (Dfa^iyj == "> A t**, (1,51) (*) kde v* (s = 1,..,, n - p) jsu knstantní vektry v ~7 n s vlastnstí (l,3) a, b, 10 ) je ptm pdle věty 1 definvána lkálně jednjednznaěná krespndence (v dstatečně malém klí bdu P) mezi bdy variet (1) Z_ (Z) X P. Pdle 10 ) Kd <-)JЗ 8W{. _. g(d» \ / \ _ / \ _1 A 187

19 věty 1 jsu rvnicemi (1,51) v dstatečně malém klí bdu ( (1 V,..., (1 V) jednznačně definvány funkce («y =- ^(dy) 9 X = Aířiy) 5 * = 1,..., n - p; a = 1,..., p (1,52). * těcht vlastnstí: (2 (A) V = 9 a ( (1 V) = (1 V =?7 0 ; n ) Q 52) (A) =A(<V)-0, s^l,...,^-^; '? s s 0 (B) funkce <p a ( (1) r) a ), /l( (1 V) mají v uvažvaném klí spjité parciální deri- 8 * vace. * 7M a _ _ = -^ JU»-*- (1,52), d% * pr l = 1,..-,4; 5=1,..., w p; a, &_,..., 6, == 1,..., p. Z lkální identity n -^f (*> l ía >f»(^( f «q>)) ~ (1) l a ( (1 V) = 2 ^( (1 V)y a (1,52) plyne pak na základě symbliky zavedené v (1,52) 0 a tedy a/a (2) l a \ a (1) f«_"y w #\áťv/ WlJ..^^ ~ "a<v ~.ti «6 r /#->** \ /a<-) -\ "^ <«> ^ry/ív-ffy) \^ T7 *-»I * Je však, jak plyne z (1,47), (l,50) a,, (l,52) b, (d'»ša / _ /j \ _ / \ \ a< 2 y /( V-^-dV) - \ 3*7** /«-,.--,.~ \ SJ? /' / \ _ [i_ \ Odtud a z předpkladu (1,49) plyne pak následující přepis relací (1,53):»-» (s1 cl) -B?((^) - %) = Z (A 6 )» a, (1,54) kde O S*l 8 0 a l &~- / 0 Vzhledem k lineární nezávislsti vektrů («> <-.>B (a-«= l,...,p), «*(в==l,.-,л-p) u ) T plyne z věty 1 a z předpkladu (1) naší věty 4.

20 plyne z (1,54) jednak (*&) = P r «=l,.-,í.-p;i=l,...,p, (1,55). s jednak (<P$) = % P r a, 6 = 1,..., y. Dvjnásbným derivváním identity (l,52) d bdržíme:, v.f z m t* \ +ff> (*»&] Vs ' n «\ gí-yx a< v/< >>,«- --(cv) \#»W- - "aayr^iyr - sfi J 6^0 Je nyní, jak plyne z (l,52) b, (1,50)_,, (1,4=7): = _> A Ml»«r (l,55) b <.>-.-««-.. (. 6) / s 2 < 2 )f* \ _ / f \, / a- t2) f«\ \s< 2 )^a<v/<'v=«<"i í ) _ \"^^rl-<>v-cv _ \ 8i--.vV»!Y / s«<i>f«\ _ / a 2(i) ř a \ \a<i>^8ciyt/(i V ~" \ drj^drj^ /" Odtud a z (l,55) b, (1,49) plyne následující přepis relací (1,56): bs^s ' (^x) = z 4 (A 6l O^,» cž můžeme vzhledem k předchzím úvahám a k zavedené symlice psát ve tvaru n-p (a) (1)^(9t»,) = 2 (^».)««. x ft - -"-»»_» ft Odtud plyne, vzhledem k lineární nezávislsti vektrů tjj* (a 1,...>p), t; a (s = 1,..., n), jednak jednak (h*.), = 0 (&_,'&_ = 1,..., p), (1,56). (9>5»,) = P r «i> K &j. = 1,..., p (l,56) b Metdu úplné indukce snadn pak věříme, že platí a pr &!,...,&- = 1,..., p a dále, že je a pr a 1? &!,..., b t = 1,..., p. (V.0 = 0 pr 2^l^k (1,57). (9^...&_) = 0 pr 2 á l ^ i (l,57) b Z definice a z (1,55)., (1,56)., (1,57). pak plyne ihned, že variety &>X (i^ mají v bdě P styk Jb-téh řádu, cž jsme měli dkázat, 189

21 Pznámka 7. Z předchzích vět vyplývají bezprstředně dva důsledky. Především lze tvrzení z vět 3, 4 spjit a výsledek frmulvat stručně takt: K tmu, aby variety (1) X V, (2) X V mely za před pkladů uvedených na pčátku v bděp styk k-téh řádu, je nutné a stačí tt: Variety (1) X V, (2) X V můžeme lkální v nějakém klí bdu P vzáhnut k jednmu a témuž systému parametrů rf tqk, ze (1) při dpvídajícím parametrickém ppisu tvaru (1,47) variet X V, (2) X V jsu splněny pdmínky (1,49). Z unicity Taylrva rzvje analytické funkce a z věty 3 plyne bezprstředně: Nechť funkce < 1 >a; a (< 1 >^a) v (l,l) a, b jsu analytickými funkcemi v nějakém klí bdu ( (1 V>..., (1) r) p ) a pdbně <%*(( 2 y») jsu analytickými funkcemi v nějakém klí bdu ( (2 >^1,..., < 2 >^2>) a nechť platí dále: (I) jsu splněny předpklady (a), (b) na str. 171 varietách (1) X V, (%) X V (s ppisem (l,l atb ); (II) variety (1) JX V, (2) X V s ppisem (l,l) b mají ve splečném bdě styk libvlně vyskéh řádu. Ptm variety (1^X V, (2) X V splývají v celém (dstatečně malém) klí bdu P. V následující části II tht článku budeme se zabývat dvěma speciálními definicemi styku: První bude známá metrická definice styku regulárních křivek, druhá pak jinu metricku definicí styku nadplch (1) X n^ly (2)X n^x v E n. Prkážeme určitu ekvivalenci" těcht definic styku s definicí styku vyslvenu v tét části I. II Necht E n značí v dalším ^-rzměrný euklidvský prstr pravúhlých (kartézských) suřadnicích x?. Nechť bd P suřadnicích x x je bdem splečným dvěma křivkám (1 >C, (2 >O, a které mají parametrický ppis (1) C. xa = <%a((l^) 9 (2,1)^ (2) C: x* = (5 M (2) í), (2,1), při čemž předpkládáme: (a) pr hdntu (1 H parametru (1 >ř křivky (1 >C a pr hdntu (2 H parametru (2) t křivky < 2 >O je #* = (1 )x*( (1 H) = <%(< 2 >č) ; (b) existuje klí bdu P na křivce (1) C, v němž funkce (1) x*( (1) t) mají spjité. derivace (pdle (1 H) až d řádu i-téh (k > 1). Analgický předpklad činíxne funkcích <%*(<«>2); (c) bd P je regulárním bdem křivek <->0, < 2 >O. Q 190

22 kde Označíme-li (D* bluk křivky (DO, (2)5 bluk křivky (*){?, pak jest Я d ( % _ d Ш^ Г-J/ flrtҙ. d (2)^ ** ЗF _- dtt) *» 5 = J /^^Гď^ d ř ' (2>2) /1 pr tx = j5, í ^ = 5 \Oprflc + ^. Za našich předpkladů můžeme křivky (1) C, (2) <7 vztáhnut lkálně v dstatečně malém klí bdu P - k jejich bluku jakžt parametru. Můžeme tedy pr ně psát následující lkální ppis: při čemž (1) C: a* = <Df«(<i>s) =_ (%«( (1) í( (1),5)), (2,3). (2)C : * --- (-> «((_)*) === (-Oar*(< a >f (<*>*))? (2? 3) b («* = (2)^ =_ => (1) f a (0) = (2) a (0) == # a. (2,4) Obvyklá definice styku aspň /i-téh řádu křivek (1> C7, (2) c7 je nyní tat: Plati-li při krespndenci (1) s = (2) 5 = s * Me k je nějaké přirzené čísl, ptm fikáme, že křivky (1) (7, (2) (7 mají v bde P styk aspň k-téh řádu. Je nyní dbře znám, žé za platnsti našich předpkladů jsu pdmínky m.m^h * nutnými a pstačujícími pdmínkami pr styk aspň k-téh řádu křivek (1) <7, < 2) C v bdě P. Dkážeme nyní velmi snadn, že předchzí metrická" definice styku dvu křivek je ekvivalentní s afinní" definicí styku dvu křivek z óasti I tét práce (pr p = 1) a t ekvivalentní v tmt smyslu: Mají-li křivky (1) C7, (2) O za uvedených předpkladů ve splečném bde P styk aspň k-téh řádu ve smyslu metrické'' definice styku křivek, ptm mají v bdsp styk aspň k-téh řádu ve smyslu afinní" definice styku křivek a napak. Abychm tt tvrzení dkázali, předpkládejme nejdříve, že křivky fx) c7, ( *>C s ppisem (2,l) a, (2,l) b mají za předpkladů (a), (b), (c) shra uvedených v bdě P styk aspň ifc-téh řádu ve smyslu metrické definice styku křivek. Vztáhne ) Je tedy též lim v - 1 = 0 pr 0 ^ s < k. s*> > Ш

23 me-lí každu z těcht křivek k jejímu bluku jakžt nvému parametru,, ptm při krespndenci fl V= (2> s == s platí pdmínky (2,5), jak byl v předchzím uveden. Odtud a z věty 4 v části I plyne pak ihned, že křivky < X) Č7, i2) G mají ve splečném bde P styk aspň i-téh řádu ve smyslu afini*í" definice styku variet z části I (kde klademe p = 1). Předpkládejme za druhé, že křivky (1) G, (2) 0 s ppisem (2,l) a, (2,l) b mají za platnsti předpkladů (a), (b), (c) v bdě P styk aspň &-téh řádu ve smyslu afinní" definice 1 styku variet z části I (definice z části I pr případ f =.1). Ptm pdle věty 3 v části I můžeme křivky < 1) 0, (2) 0 lkálně (v dstatečně malých klích bdu P na těcht křivkách) vztáhnut k jednmu a témuž parametru ř, tj. při čemž platí <i><7: x* = <*>5*(č), (2, )* < 2 ><7: x* = «5«(í), (2,6)^ l^0= \^ďh 0 ' í-0,1,...,*, (2,7) kde symbl ( ) 0 představuje hdntu veličiny v závrce, uvedené pr t = t, kde xa = <!) «( ) = (2) a( ř ).13) (2,8) Punkce (1) s(t), ( %(č) takt definvané 14 ) * (i). 9 jsu bluky křivek ^C, (2 ><7 v uvedeném přadí. Za platnsti našich předpkladů plyne lkálně, v klí hdnty ll) s = (2 \s = 0, ř = (1)^1)*), t = Wtp(M8). (2,9) b Odtud plyne pr křivky (1) <7, C2) <7 s ppisem (2,6) at6 lkální ppis G: z* = &> «(<!>*) == <%«(<* V( (1> s)), (2,10)* W& X* = <*> «(<*>*) ^a((2)^((2) 5 )). (2,10),, Z (2,9) a, b a (2,7) plyne (s užitím pučky derivvání inversních funkcí) jak se snadn věří. (4- = M, = ' *«0,!,...,*. (2.11) u ) as* jsu suřadnice bdu P splečnéh křivkám MC, ^C. 14 ) Viz (2,2). 192

24 <2.n),!(5) ky W ' (2) S PpiSem (2>10) " (2 ' 10)l > plyne z (2 ' 10U ' (2 ' 7) ' (2 ' 9) - a dále '( <x) f a )(.>.-f-="( f ->f»)m._,_ /*_! ) J^y fe\ _/d (2)^\ /d^v\ _/ď 2) M \ díl W^^ \ dř / 0 \d%/ (1)s. 5^ -a tedy při krespndenci (2),s = (-)$ = 5 : /d^m /d 2(2) M \ d«2 / s. 0 ~~ \ ď^~/ 8=0 * Snadn bychm nyní dkázali (metdu úplné indukce), že je /d w M _ /d l(2) M \ d*» / 0 ~~\ d*» / 0 pr Z = 2,..., k\ Platí tedy (2 3 5), cž je pstačující pdmínku pr t, aby křivky (1) O, (2) O měly v bdě P styk aspň i-téh řádu ve smyslu metrické" definice styku křivek. Tím je ekvivalence bu definic styku křivek prkázána. V dalším se budeme zabývat speciální definicí styku dvu nadplch (1) X n _ x, ^X n -x v euklidvském prstru E n (n ^ 2), dlišné d té, která plyne z definice styku variet z části I pr p = n 1, a prkážeme ekvivalenci těcht dvu definic ve shra uvedeném smyslu. je splečným bdem nadplch ^Xn--,, (2) X n - x s para- Nechť bd P E n metrickým ppisem ^Xn-v x* = (1 >^( (1 V), c = 1,..., n; a = 1,..., n - 1, (2,12) a (2) X n ~-.: x* = ( %«((2y), c = 1,..., n; a = 1,..., n 1, (2,12) & při čemž necht platí předpklady (a), (b), (c) uvedené na pčátku části I práce (pr p = n 1). Symblem N x značme jedntkvý vektr metrické nrmály 1 nadplchy (1) X n 1. Vektr N a = N a (^r] a ) je tedy v nějakém klí bdu P na 1 1 nadplše ^Xn-x jednznačně definván pdmínkami ff./^n^o, ^ B ^ ^ j ; --1-1, determinant g a0 N'Nf = 1, (2,13) 1 1 [ & >Bf...,<-)B».i,i«r -]>0. 193

25 Systémem rvnic <2) a: «((2y) <i)a;«(<iy) -=. p N«(<iy) (2,14) i je lkálně, v dstatečně malém klí bdu P, definvána jednjednznaěni krespndence mezi bdy nadplch < 1) X n _ 1, < 2) X n -i. T bychm věřili analgicky jak tvrzení věty 1 v části I. Rvnicemi* (2,14) jsu v nějakém klí bdu ( (i y) jednznačně definvány funkce íay = a((iy) 9 a == 1,..., n 1, p = /*( (i y) (2,14)* se spjitými parciálními derivacemi až d i-téh řádu (včetně) pdle <iy.is) Nechť symbl (d^) značí l-tý diferenciál funkce ju( (1) r] a ) v bdě ( (i y) (l = 1,..., i). Definujme nyní styk aspň i-téh řádu nadplch (1) X n _ 1, (2) X n _ x v bdě P takt: Nadplchy < 1) -K n - 1, (2) JL n _ 1 ma/í za sara uvedených předpkladů v bdě P styk aspň k-téh řádu ve smyslu krespndence (2,14), jestliže platí Ctt) 0 - (d/*) 0 ==...-= (dv) = 0. (2,15) T je tedy speciální definice styku nadplch a t metrická", nebť pužíváme metrické nrmály při definici krespndence (2,14). Platí nyní tt tvrzení: Mají-li nadplchy (1) X n _ 1, < a> X n - 1 za uvazvaných předpkladů ve splečném bděp styk aspň k-téh řádu ve smyslu právě uvedené definice styku nadplch při krespndenci (2,14), ptm máji v bděp styk aspň k-téh řádu ve smyslu afinní definice styku variet z části I (pr p = n l)a napak. Jsu tedy v tmt slva smyslu bě definice styku nadplch ekvivalentní. Abychm tt tvrzení dkázali, předpkládejme nejdříve, že nadplchy (1) X n 1? (2) X n x s parametrickým ppisem (2,12) a, (2,12) b mají za uvažvaných předpkladů v bdě P styk aspň k-téh řádu (k ^ 1) ve smyslu hření definice styku nadplch (při krespndenci (2,14)). Z (2,14), (2,14)* plyne lkální identita <%"(ý*(<iy)) ^^y) = /*( (i y) N«( (1) r) a ). (2,16) i PíSeme-li pr nadplchy (1) -X n - 1, (2) - n -i parametrický lkální ppis (1) X n -. x : x 01 = <«f«(<iy) =s <%*( ( V), ^Xn^: x* = (2) f( a y) ESE ^(č^v)) i ptm můžeme identitu (2,16) přepsat na tvar <.0 *(<iy) _ (i) *((iy) = ^(uy) N*(<iy), X5 ) Viz důkaz věty 1, část I. 194

26 z níž plyne pak, vzhledem k předpkladu (2,15), / 3tf2)f«\ _ / gi(i)f«y^v 1... d (1 V7 ~~ \a (1 >^a-... d (1) r) a J 0 pr Z = 0, 1,..., k; a l9..., á x = 1,..., n 1; c = 1,..., n. Odtud plyne pak ihned - s dvláním na větu 4 v části I, že nadplchy WX n.. l9 (2)X n _ x mají v bdě P styk aspň &-téh řádu ve smyslu afinní definice styku variet v části I. Předpkládejme za druhé, že nadplchy {1) X n - l9 {2)X n^1 s ppisem (2,12) a (2,12) b mají ve splečném bdě P styk aspň &-téh řádu ve smyslu afinní defi nice styku variet z části I. Ptm - pdle věty 3, část I můžeme uvažvané nadplchy vztáhnut k jednmu a témuž systému rf parametrů, t. j. (1) í w -i: x"=wz"(r)*) 9 (2,17). při čemž platí (2) X n. ± : x" = Wx«(r] a ), (2,17) b / 8 -u>s«\ = / dwx* \ \dr) a i... ty* J \d?f-...oy7 pr Z = 0, 1,..., k; c = 1,..., n; a l9..., a z = 1,..., n - 1. Mst lkálníh ppisu (2,17) a ; (2,17) b nadplch (1) X n - l9 (2)X n _ x pišme (ryze frmálně) Je tedy ( 1, I^: x«= (1) x«(r] a ), (2,19). (2) X n - x : x" = <«;*( V). (2,19) b x" = ^ž*^0) = ' 2 > *(*9y ffl ) pr rf = *ij a = rf. NecM N* je jedntkvý nrmální vektr nadplchy (1) X n _ 1 (s ppisem (2,19)J. i.rvnicemi ť2) «(* ry a) (D^a) _- ^ N*(^a) (,20) i je pak lkálně v dstatečně malém klí bdu (r) a ) definvána jedn jednznačná krespndence *rf _= yj a (rj b ) (kde tp a (rf) = V =?r*) (2,21) mezi parametry nadplch (1) X W _ 1, í2) X n _! a tedy též mezi bdy těcht nadplch v dstatečně malém klí bdu P. Relacemi (2,20) je rvněž jednznačně lkálně definvána funkce /JL = /Li(r] a ), při čemž jak funkce ip a (rf) (a = 1,... & ft* 1) tak funkce /x(r) a ) mají spjité parciální derivace pdle argumentů r] y le ) Kde symbl ( ) 0 značí hdntu veličiny v závrce uvedené pr rf rf, kde x" s = ^^(r/*) -= (%*(?/*) jsu suřadnice bdu P v E n

27 až d řádu k v nějakém dstatečně malém klí bdu {rf)l Platí tedy lkální identita Z (2,22), (2,21), (2,18) plyne ihned W>x*{\p a {rf)) - Mx*{rf) = [*{rj a ) N«{r] a ). (2,22) i C") = 0. (2,28). Parciálním derivváním identity (2,22) dstaneme (pr k ;> 1) a tedy též = 1 N* J_ u JSf<x 8*rf> drj a 8rj a 8r] a i A 8rj a 1 Odtud plyne pak, vzhledem k (2,17) a, s, (2,I9) a (2,18), (2,23) 4, ' (^)M-*)-(*)L«r-..a tedy vzhledem k lineární nezávislsti vektrů N* 9 (1)B* = 0 {a = 1, i #?7...,rc 1) te\ _ * - x (2,23) b ^W pr a, 6 = 1,..., n 1. Pdbně jak v důkazu věty 4 bychm si věřili, že platí (při h ^ 2): (^S^) 0 = p- *=->-.*. (^5V) 0 = <> P- '---.* ( 2 > 23 )* a pr <& -_,..., a- = 1,..., n L Z platnsti pdmínek (2,2S) a>b 0 plyne platnst pdmínky (2,15). T však znamená pdle naší shra vyslvené definice že nadplchy (1) X n _ m 1> X n - x mají v bdě P styk aspň A-téh řádu ve smyslu krespndence (2,14). Tím je ekvivalence uvažvaných dvu definic styku nadplch v E n prkázána. Pznámka 8. Definici styku nadplch v euklidvském prstru E n {n 2L_ 2) ve smyslu krespndence (2.14) bychm mhli nyní snadn zbecnit pr styk dvu ^-rzměrných variet (1) X P, < ž) X p vf fl (1 <: p < n 1). V takvémt případě bychm uvažvali % - p jedntlivých vzájemně klmých vektrů 196:

28 NT* ($ 1,... n p) a sučasně klmých k tečnému prstru variety v bdě P a míst krespndence (2,14) krespndenci n-p (2) *((2y) (%"((iy) = ^ XN*, s=l s s kde c = 1,..., n\ a = 1,..., p. Pznamenejme ještě závěrem, že je pměrně snadné definici styku variet z části I zbecnit pr styk variet v afinních prstrech s lib vlnu knexí. ^X v Резюме О КАСАНИИ МНОГООБРАЗИЙ В АФФИННОМ ЛИНЕЙНОМ ПРОСТРАНСТВЕ ФРАНТИШЕК НОЖИЧКА (ЕгапЩек Поиска), Прага (Поступило в редакцию 25/ г.) Рассмотрим в аффинном линейном пространстве Е п (п ^ 2) с координатами х а (ос = 1,..., п) два многообразия МХ Р, ( 2 )Хр (1 = р ^ п 1), заданные в параметрическом виде ЮХ 9 : х- = (1># а (ау), ос = 1,..., щ а = 1,..., р, ( 2 )Х : х* = Юх*{Р)г1«), л = 1,..., щ а = 1,..., р, (1) ь причем предполагается, что (а) точка Р Е п с координатами ж а о о (1) а есть общая точка многообразий < г )Х Р, ( 2 )Х Р. Этой точке соответствуют значения (^"параметров 0-)г) а многоо образия ( г )Х Р и значения ( 2 )?? а параметров ( 2 )г] а многообразия ^>Х Р ; о (б) функции ( 1 )^а(( 1 )7у а ), ( 2 )# а (( 2 Ъу а ) обладают непрерывными частными производными по своим аргументам вплоть до порядка к 7> 1 (включительно) в некоторых окрестностях точки 0)Х Р на многообразиях ( 2 )Х Р \ (в) точка Р регулярная точка многообразий ^Х р9 ( 2 )Хр. о Пусть V* ($ = 1,..., п р) постоянные векторы в Е п, удовлетворяюо гдие условиям: (1) (п-р) определитель [&В*,..., О-Щ, V",..., V* ] Ф 0, (И) Х) (1) (Я-Р) ^ определитель [( 2 Ш^,..., ( 2 )Б*, ^а,..., V* ] Ф 0, О

29 гдe 'a"-\дm v ьj Wrŕ _ (l)ri. тв* = I о 0 [**>? /<,..<.,. В этих предположениях системой уравнений («)ж«((*) ч «) (1)ж«((1) ч «) = ^ Я г;* $ = 1 з О (III) локально определяется некоторое соответствие между точками многообразий ( г) Х Р, ( 2 )Х, являющееся одно-однозначным в достаточно малой окрестности точки Р (теорема 1 в тексте). Кроме того, уравнениями (III) о локально (в достаточно милой окрестности точки (с 1 )?/*)) однозначно определяются и скаляры Х(^т] а ) (5=1,...,гь р), причем функции Я(( х )^а) обладают в рассматриваемой окрестности непрерывными частными производными по своим аргументам не менее чем к-то порядка. Пусть символы (о! 1 Я) 0 представляют полный дифференциал функции Я (5 = 1,..., п р) 1-го порядка (I = 1,..., к) в точке (Фтт*). Тогда мы мо- 8 0 жем дать следующее определение касания по крайней мере к-то порядка многообразий &Х Р, &Х Р в их общей точке Р: о Многообразия ( 1 )Х 3), (^Х^ претерпевают при указанных выше условиях в точке Р касание по крайней мере к-го порядка, если о (Я) 0 = (о!я) 0 =."..= (о!*я)о = 0 для а = 1,..., п р. В $ 3 Таким образом сформулировано некоторое специальное определение касания двух многообразий в точке линейного аффинного пространства Е п * Обстоятельство, что два многообразия (*)Х П, ( 2 )Х;р в Е п претерпевают в точке Р касание по крайней мере к-то порядка в смысле указанного опрео деления, является независимым (теорема 2 в тексте) («) 1. от выбора постоянных векторов V* (з = 1,..., п р со свойствами (II); о 2. от выбора системы параметров многообразий (^Х^, (^Х^; 3. от выбора координат в Е п. 198

30 Для того, чтобы многообразия ФХ Ю ( 2 )Х Р (1) а > (1)ь претерпевали при указанных выше условиях (а), (б), (в) в точке Р касание по крайней о мере к-то порядка (к ^ 1), необходимо и достаточно следующее: Существуют функции Юг)* = ( 2 )^а (( 1 )^&) (IV) со следующими свойствами: (А) соотношения (IV) определяют локально одно-однозначное соответствие между параметрами ( х )?7 а, ( 2) г] а многообразий ( г) Х р, (*)Х 9 в некоторой окрестности точки (( г )г] а ); о (Б) ( 2 )г) а = ( 2 )^а (( 1 )^а); о о (В) если уравнения X* = (1)^((1)^а) (1)#а((1)^а) ^ X* = (Щ*(0-)г} а ) == (2) ж а((2)^а((1)^&)) представляют локальное параметрическое описание многообразий ЮХ^ ( 2 )Х^ отнесенных к одной и той же системе (^т} 0, параметров, то выполняются ' условия / Э 1 ' 1^* \ / д 1( Щ* \ (3(^1*... д ^ ч } ^ ^ \Эа) ч «1... ЭС^/с-),-^ о для 2 = 1,..., к; а и..., а г = 1,..., ) (теоремы 3, 4 чешского текста). Оказывается, что известное метрическое определение касания дву*: кривых в Е п равносильно приведенному выше определению касания для случая р = 1. Для случая касания двух гиперповерхностей в Е п приводится другое, метрическое определение касания, равносильное указанному выше аффинному определению касания многообразий при р = п - 1» Résumé SUR LE CONTACT DES VARIÉTÉS DANS UN ESPACE AFFINE LINÉAIRE FRANTlSEK NOZICKA, Praha (Reçu le 25 Mars 1957) Cnsidérns dans un espace affin-euclidien E n (n ^ 2) deux variétés (^X^ {%) Xp (1 <Lp<^n~- 1) aux équatins paramétriques suivantes 'V>X 0 : x«= ^Vf V), c = 1,..., n; a = 1,..., p, (l\ ^X,: z* = ( *>#*(<*ty»), c = 1,..., n; a = 1,..., p, (l\ ù x* snt les crdnnées dans E n. Nus suppserns que i%

31 r. (a) les variétés (1 )jr (2) X V aient en cmmun le pint P dnt les crdnnées # a dans E n crrespndent aux valeurs (1) r] a des paramètres (1) r] a de la variété (1) X P et aux valeurs (2) rf des paramètres (2) rj a de la variété (2) X P ; (b) les fnctins (1) x a ( (l) r) a )( i2) x a ( (2) r] a )) aient des dérivées partielles cntinues jusqu'à Trdre k ^> 1 par rapprt aux variables (1) rj a ( (2) rj a ) dans un enturage du pint P de la variété ll) X ( (2) X ); (c) le pint P sit un pint régulier des variétés (1) X V, (2) X V. Sient v a (s = 1,..., n p) des vecteurs cnstants dans JE^ pssédant la 0 prpriété suivante: ù le déterminant le déterminant [ (1 >Bî,...,< 1 >»-trv...,tr*] + 0, O (1) (n~p) [ (2) B«,..., (2) Bï,v«,...,v«] + 0, (II) \ a (i y/dv-wj- ' a \ ^/«v-wf " Ces suppsitins étant faites le système des équatins n v-? e> (2)^( (2 V) <% a ( (i y) = 2 ^«s=l s 0 (iii) définit une certaine crrespndance entre les pints des variétés (1) X P, (2) X P) qui est lcalement biunivque dans un enturage assez petit du pint P (thérème 1 du texte tchèque). Les scalaires X = X( (1) rj a ) (s = 1,...,n p) snt s s bien définis par les équatins (III) dans un enturage assez petit du pint ( (1) rj a ) en y pssédant des dérivées partielles cntinues par rapprt aux variables (1 V/ a jusqu'à l'rdre k. En désignant par (d l X) 0 la différentielle d'rdre 1(1= l,..., Je) de la fnctin s X (s = 1,..., n p), dans le pint ( (1 V/ a ) n définit le cntact d'rdre k (au s 0 mins) des variétés (1) X P, (2) X V en P de la manière suivante: Nus dirns que les variétés (l) X (2) p> X V nt en P un cntact d'rdre k au mins, si les cnditins suivantes snt valables: (X) Q = (da) 0 =... = (& k X) 0 = 0 pu T s s s s = 1,..., n p. 200

32 C'est une certaine définitin du cntact de deux variétés au pint de l'espace affine linéaire E n. Le fait que les variétés (1) X P) (2) X P nt un cntact d'rdre h au mins (dans leur pint P cmmun) dans le sens de la définitin énncée, est indépendant (thérème 2 du texte tchèque) (*> 1. du chix des vecteurs v a (s = 1,..., n p) cnstants dans E n) qui satis fnt aux cnditins (II); 2. du chix du système paramétrique des variétés (1) X P) (2) X P ; 3. du chix de crdnnées dans..? n. Pur que les variétés (l) X P) (2) X P aient un cntact d'rdre h (au mins) au pint P cmmun, il faut et il suffit qu'il existe des fnctins (.y = (2)^/(i)^i>) /j_y) aux prpriétés suivantes: (A) les relatins (IV) déterminent une crrespndance lcale biunivque entre les pints des variétés (1) X (2) P) X P dans un enturage du pint ( (1 V); (B) (2) rf = Mr) a ( (1) r) b ); (C) les équatins x* = <i) ((iy.) = (%a(<iy) 9 xtx = (2) a((l) a) =-= (2)/j.a/f2L/(lUj) étant la descriptin paramétrique des variétés (1) X P) (2) X P duées d'un même système de paramètres Cl)?y a, les cnditins dkdg* I д l(2) Ç* V 8 (1) r)«-... c (1) r) a Jn (g&у-... д (1) r) a )n a^( V \8 (1) r) * d (1) r) j ai l(i )rj a^i) n a snt satisfaites pur Z = 1,..., h; a ly..., a % = 1,..., p (les thérèmes 3 et 4 du texte tchèque). La définitin du cntact de deux curbes bien cnnue en gémétrie métrique euclidienne et la définitin du cntact des variétés énncée plus haut pur le cas p = 1 snt équivalentes. Dans le cas du cntact de deux hypersurfaces dans l'espace métrique euclidien n peut intrduire une nuvelle définitin du cntact équivalente avec la définitin bien cnnue du cntact en gémétrie métrique et avec ntre définitin affinne du cntact (énncée plus haut) en y psant p = n