12. Funkce více proměnných

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "12. Funkce více proměnných"

Transkript

1 12. Funkce více proměnných

2 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál Definice Necht f je reálná funkce n proměnných, a 2 R n a 1 i n.

3 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál Definice Necht f je reálná funkce n proměnných, a 2 R n a 1 i n. Pak parciální derivaci funkce f v bodě a podle i-té proměnné definujeme jako f.a C te i / f.a/.a/ D lim i t!0 t

4 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál Definice Necht f je reálná funkce n proměnných, a 2 R n a 1 i n. Pak parciální derivaci funkce f v bodě a podle i-té proměnné definujeme jako f.a C te i / f.a/.a/ D lim i t!0 i označujeme parciální derivaci funkce f podle i-té proměnné, tj. funkci i W i.x/:

5 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál

6 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál

7 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál

8 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál

9 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál

10 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál

11 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál Definice Necht f je reálná funkce n proměnných, a 2 R n a L W R n! R je lineární zobrazení.

12 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál Definice Necht f je reálná funkce n proměnných, a 2 R n a L W R n! R je lineární zobrazení. Řekneme, že L je totální diferenciál funkce f v bodě a, jestliže platí f.a C h/ f.a/ L.h/ lim h!o jjhjj D 0:

13 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál Věta 12.1 (vztah totálního diferenciálu a parciální derivace) Necht L je diferenciál funkce f v bodě a 2 R n. Potom existují parciální derivace a pro každé h 2 R n : : n L.h 1 ; : : : ; h n 1.a/h 1 n.a/h n :

14 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál Věta 12.2 Má-li funkce f v bodě a 2 R n totální diferenciál, je f v bodě a spojitá.

15 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál Lemma 12.3 Necht f je reálná funkce n proměnných, I D. 1; ˇ1/. n; ˇn/ R n, a; b 2 I. Necht v každém bodě I existují parciální derivace f podle všech proměnných. Potom existují body 1 ; : : : ; n 2 I takové, že f.b/ f.a/ D i. i /.b i a i /:

16 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál Věta 12.4 Necht f je reálná funkce n proměnných, a 2 R @x n jsou spojité funkce v bodě a.

17 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál Věta 12.4 Necht f je reálná funkce n proměnných, a 2 R @x n jsou spojité funkce v bodě a. Potom má f v bodě a totální diferenciál.

18 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál Definice Necht f je reálná funkce n proměnných, a 2 R n a v 2 R n. Pak derivací funkce f v bodě a podle vektoru v rozumíme (vlastní) limitu f.a C tv/ f.a/ D v f.a/ D lim : t!0 t

19 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál Definice Necht f je reálná funkce n proměnných, a 2 R n a v 2 R n. Pak derivací funkce f v bodě a podle vektoru v rozumíme (vlastní) limitu f.a C tv/ f.a/ D v f.a/ D lim : t!0 t Definice Necht f je reálná funkce n proměnných, a 2 R n a f 0.a/ existuje. Pak definujeme gradient funkce f v bodě a jako vektor : : : 2 R n n

20 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál

21 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál

22 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál Věta 12.5 Necht f je reálná funkce n proměnných, a 2 R n a v 2 R n. Necht existuje f 0.a/.

23 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál Věta 12.5 Necht f je reálná funkce n proměnných, a 2 R n a v 2 R n. Necht existuje f 0.a/. Pak platí (i) f 0.a/.v/ D D v f.a/,

24 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál Věta 12.5 Necht f je reálná funkce n proměnných, a 2 R n a v 2 R n. Necht existuje f 0.a/. Pak platí (i) f 0.a/.v/ D D v f.a/, (ii) maxfd v f.a/i jjvjj D 1g D jjrf.a/jj.

25 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál Definice Necht F je zobrazení z R n do R k, a 2 R n a L W R n! R k je lineární zobrazení.

26 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál Definice Necht F je zobrazení z R n do R k, a 2 R n a L W R n! R k je lineární zobrazení. Řekneme, že L je derivací zobrazení F v bodě a, jestliže platí jjf.a C h/ F.a/ L.h/jj lim h!o jjhjj D 0:

27 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál Věta 12.6 Necht F je zobrazení z R n do R k, které má v bodě a 2 R n derivaci L. Potom je L 1.a/ : : 1.a/ : : : 1.a/ : : n.a/ n.a/ :

28 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál Věta 12.7 Necht F je zobrazení z R n do R k, a 2 R n a F 0.a/ existuje. Potom F je spojité v a.

29 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál Věta 12.7 Necht F je zobrazení z R n do R k, a 2 R n a F 0.a/ existuje. Potom F je spojité v a. Věta 12.8 Necht F je zobrazení z R n do R k, a 2 R n i, i D 1; : : : ; n, j D 1; : : : ; k, jsou spojité v a. Potom F 0.a/ existuje.

30 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál Lemma 12.9 Necht L W R n! R k je lineární zobrazení. Pak existuje C 2 R takové, že jjl.x/jj Cjjxjj pro každé x 2 R n.

31 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál Lemma 12.9 Necht L W R n! R k je lineární zobrazení. Pak existuje C 2 R takové, že jjl.x/jj Cjjxjj pro každé x 2 R n. Definice Normou lineárního zobrazení L W R n! R k rozumíme číslo jjl.x/jj jjljj D sup I x 2 R n ; x o : jjxjj

32 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál Lemma Necht f je zobrazení z R n do R k, a 2 R n a f 0.a/ existuje. Potom existují C 2 R a ı 2 R, ı > 0, takové, že pro každé h 2 B.o; ı/ platí jjf.a C h/ f.a/jj Cjjhjj.

33 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál Lemma Necht f je zobrazení z R n do R k, a 2 R n a f 0.a/ existuje. Potom existují C 2 R a ı 2 R, ı > 0, takové, že pro každé h 2 B.o; ı/ platí jjf.a C h/ f.a/jj Cjjhjj. Věta (derivace složeného zobrazení) Necht f je zobrazení z R n do R k, g je zobrazení z R k do R s, a 2 R n a b D f.a/ 2 R k. Jestliže existují f 0.a/ a g 0.b/, pak existuje.g ı f / 0.a/ a platí.g ı f / 0.a/ D g 0.b/ ı f 0.a/.

34 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál Důsledek (řetízkové pravidlo) Necht funkce f 1 ; : : : ; f k z R n do R mají v bodě a 2 R n totální diferenciál a funkce g z R k do R má v bodě b D.f 1.a/; : : : ; f k.a// totální diferenciál. Definujme funkci h z R n do R předpisem h.x/ D g.f 1.x/; : : : ; f k.x//:

35 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál Důsledek (řetízkové pravidlo) Necht funkce f 1 ; : : : ; f k z R n do R mají v bodě a 2 R n totální diferenciál a funkce g z R k do R má v bodě b D.f 1.a/; : : : ; f k.a// totální diferenciál. Definujme funkci h z R n do R předpisem h.x/ D g.f 1.x/; : : : ; f k.x//: Potom má h v bodě a totální diferenciál a pro i 2 f1; : : : ; i.a/ D i.a/:

36 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál Věta (o přírůstku funkce) Necht f je funkce z R n do R, která má diferenciál v každém bodě otevřené množiny G R n. Necht a; b 2 G a úsečka L spojující body a, b je obsažena v G, tj. L D f.1 t/a C tbi t 2 Œ0; 1g G.

37 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál Věta (o přírůstku funkce) Necht f je funkce z R n do R, která má diferenciál v každém bodě otevřené množiny G R n. Necht a; b 2 G a úsečka L spojující body a, b je obsažena v G, tj. L D f.1 t/a C tbi t 2 Œ0; 1g G. Pak existuje 2 L takové, že f.b/ f.a/ D f 0./.b a/:

38 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál Definice Řekneme, že množina A R n je konvexní, jestliže pro každé dva body z A platí, že úsečka, která je spojuje, je obsažena v A.

39 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál Definice Řekneme, že množina A R n je konvexní, jestliže pro každé dva body z A platí, že úsečka, která je spojuje, je obsažena v A. Věta (věta o přírůstku vektorové funkce) Necht n; k 2 N, K 2 R, G R n je otevřená konvexní množina, f W G! R k je zobrazení mající derivaci v každém bodě G a necht supfjjf 0.x/jjI x 2 Gg K:

40 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál Definice Řekneme, že množina A R n je konvexní, jestliže pro každé dva body z A platí, že úsečka, která je spojuje, je obsažena v A. Věta (věta o přírůstku vektorové funkce) Necht n; k 2 N, K 2 R, G R n je otevřená konvexní množina, f W G! R k je zobrazení mající derivaci v každém bodě G a necht supfjjf 0.x/jjI x 2 Gg K: Pak f je lipschitzovské s konstantou K, tj. 8a; b 2 G W jjf.b/ f.a/jj Kjjb ajj:

41 12.2 Derivace vyšších řádů Definice Necht f je funkce z R n do R, i; j 2 f1; : : : ; ng, a 2 R n. Parciální derivaci podle j-té proměnné v bodě a i.a/, pokud i j,

42 12.2 Derivace vyšších řádů Definice Necht f je funkce z R n do R, i; j 2 f1; : : : ; ng, a 2 R n. Parciální derivaci podle j-té proměnné v bodě a značíme i D i.a/, pokud i j, 2.a/, pokud

43 12.2 Derivace vyšších řádů Definice Necht f je funkce z R n do R, i; j 2 f1; : : : ; ng, a 2 R n. Parciální derivaci podle j-té proměnné v bodě i i.a/, pokud i j, f.a/, 2 i D j. Analogicky značíme parciální derivace vyšších řádů.

44 12.2 Derivace vyšších řádů Definice Necht f je funkce z R n do R, i; j 2 f1; : : : ; ng, a 2 R n. Parciální derivaci podle j-té proměnné v bodě i i.a/, pokud i j, f.a/, 2 i D j. Analogicky značíme parciální derivace vyšších řádů. Definice Necht G R n je otevřená množina, f W G! R a p 2 N. Řekneme, že f je třídy C p, jestliže všechny parciální derivace funkce f až do řádu p včetně jsou spojité na G. Množinu všech funkcí f W G! R třídy C p označujeme C p.g/ a klademe C 1.G/ D T 1 pd1 Cp.G/. O funkci g řekneme, že je třídy C p na G (p 2 N [ f1g), jestliže gj G 2 C p.g/.

45 12.2 Derivace vyšších řádů Definice Necht G R n je otevřená množina, p 2 N [ f1g a f W G! R k. Řekneme, že f je zobrazení třídy C p, jestliže jeho složky f 1 ; : : : ; f k jsou třídy C p.

46 12.2 Derivace vyšších řádů Definice Necht G R n je otevřená množina, p 2 N [ f1g a f W G! R k. Řekneme, že f je zobrazení třídy C p, jestliže jeho složky f 1 ; : : : ; f k jsou třídy C p. Věta Necht p 2 N [ f1g, G R n, H R k jsou otevřené množiny, f W G! R k, gw H! R s jsou třídy C p a platí f.g/ H. Pak zobrazení g ı f je třídy C p.

47 12.2 Derivace vyšších řádů Věta Necht f je funkce z R n do R, a 2 R n, i; j 2 f1; : : : ; ng. Jestliže @x j mají totální diferenciál v a, 2 j.a/ i.a/:

48 12.2 Derivace vyšších řádů

49 12.2 Derivace vyšších řádů

50 12.2 Derivace vyšších řádů

51 12.2 Derivace vyšších řádů

52 12.2 Derivace vyšších řádů Důsledek Necht G R n je otevřená, f je třídy C p na G (p 2 N), a 2 G, W f1; : : : ; pg! f1; : : : ; pg je permutace i 1 ; : : : ; i p 2 f1; : : : ; ng. Potom p ip : : i1.a/ p i.p/ : : i.1/.a/

53 12.2 Derivace vyšších řádů Definice Necht n; p 2 N. Zobrazení L W.R n / p! R k se nazývá p-lineární, jestliže u 7! L.v 1 ; : : : ; v i 1 ; u; v ic1 ; : : : ; v p / je lineární zobrazení z R n do R k pro každé i 2 f1; : : : ; pg, v 1 ; v 2 ; : : : ; v i 1 ; v ic1 ; : : : ; v p 2 R n. Množinu všech p-lineárních zobrazení z.r n / p do R k značíme L p.r n ; R k /.

54 12.2 Derivace vyšších řádů Lemma Necht L 2 L p.r n ; R k /. Potom existuje C 2 R takové, že 8.u 1 ; : : : ; u p / 2.R n / p W jjl.u 1 ; : : : ; u p /jj Cjju 1 jj jju p jj:

55 12.2 Derivace vyšších řádů Lemma Necht L 2 L p.r n ; R k /. Potom existuje C 2 R takové, že 8.u 1 ; : : : ; u p / 2.R n / p W jjl.u 1 ; : : : ; u p /jj Cjju 1 jj jju p jj: Definice Normou zobrazení L 2 L p.r n ; R k / rozumíme číslo jjljj D supfjjl.u 1 ; : : : ; u p /jji jju 1 jj 1; : : : ; jju p jj 1g:

56 12.2 Derivace vyšších řádů Definice Necht f je zobrazení z R n do R k, které má na jistém okolí bodu a 2 R n (jednoznačně určenou derivaci f.p 1/.x/ 2 L p 1.R n ; R k /, která je řádu p 1. Derivací p-tého řádu zobrazení f v bodě a 2 R n budeme rozumět L 2 L p.r n ; R k / splňující jjf.p 1/.a C h/ f.p 1/.a/ L.h; ; : : : ; /jj lim h!o jjhjj D 0:

57 12.2 Derivace vyšších řádů Věta Necht f je funkce z R n do R a L 2 L p.r n ; R/ je p-tou derivací f v bodě a 2 R n. Potom mají všechny parciální derivace funkce f řádu p 1 totální diferenciál v bodě a a platí L.e i 1 ; : : : ; e i p f / i1 : : ip pro každé i 1 ; : : : ; i p 2 f1; : : : ; ng.

58 12.2 Derivace vyšších řádů Důsledek Necht f je zobrazení z R n do R k a f.p/.a/ existuje. Potom je f.p/.a/ symetrické zobrazení, tj. pokud W f1; : : : ; pg! f1; : : : ; pg je permutace, pak f.p/.a/.u 1 ; : : : ; u p / D f.p/.a/.u.1/ ; : : : ; u.p/ / pro každé u 1 ; : : : ; u p 2 R n.

59 12.2 Derivace vyšších řádů Věta Necht G R n je otevřená a f W G! R k je třídy C p na G. Potom f.p/.x/ existuje pro každé x 2 G.

60 12.2 Derivace vyšších řádů Definice Necht pro a 2 R n existuje f.p/.a/, p 2 N [ f0g. Potom Taylorovým polynomem p-tého řádu funkce f v bodě a rozumíme polynom n proměnných T f;a p.x/ D f.a/ C px jd1 œ 1 jš f.j/.a/. x a; : : : ; x a /: j krát

61 12.2 Derivace vyšších řádů Věta (Lagrangeův tvar zbytku) Necht G R n je otevřená konvexní množina, f 2 C pc1.g/ (p 2 N [ f0g), a 2 G, x 2 G. Potom existuje ležící na úsečce spojující body a, x takové, že œ f.x/ D T f;a 1 p.x/ C.p C 1/Š f.pc1/./. x a; : : : ; x a /:.pc1/ krát

62 12.2 Derivace vyšších řádů f.x; y/ D sin.xy/

63 12.2 Derivace vyšších řádů f.x; y/ D sin.xy/

64 12.2 Derivace vyšších řádů f.x; y/ D sin.xy/

65 12.2 Derivace vyšších řádů f.x; y/ D sin.xy/

66 12.2 Derivace vyšších řádů f.x; y/ D sin.xy/

67 12.2 Derivace vyšších řádů Věta (Peanův tvar zbytku) Necht f je funkce z R n do R, která je třídy C p (p 2 N) na jistém okolí bodu a 2 R n. Potom platí f.x/ Tp f;a.x/ lim D 0: x!a jjx ajj p

68 12.3 Věty o implicitně zadaných funkcích

69 12.3 Věty o implicitně zadaných funkcích

70 12.3 Věty o implicitně zadaných funkcích

71 12.3 Věty o implicitně zadaných funkcích

72 12.3 Věty o implicitně zadaných funkcích

73 12.3 Věty o implicitně zadaných funkcích

74 12.3 Věty o implicitně zadaných funkcích

75 12.3 Věty o implicitně zadaných funkcích

76 12.3 Věty o implicitně zadaných funkcích Věta (o implicitně zadané funkci) Necht p 2 N [ f1g, G R nc1 je otevřená množina, FW G! R, Qx 2 R n, Qy 2 R, Œ Qx; Qy 2 G a necht platí:

77 12.3 Věty o implicitně zadaných funkcích Věta (o implicitně zadané funkci) Necht p 2 N [ f1g, G R nc1 je otevřená množina, FW G! R, Qx 2 R n, Qy 2 R, Œ Qx; Qy 2 G a necht platí: (i) F 2 C p.g/,

78 12.3 Věty o implicitně zadaných funkcích Věta (o implicitně zadané funkci) Necht p 2 N [ f1g, G R nc1 je otevřená množina, FW G! R, Qx 2 R n, Qy 2 R, Œ Qx; Qy 2 G a necht platí: (i) F 2 C p.g/, (ii) F. Qx; Qy/ D 0,

79 12.3 Věty o implicitně zadaných funkcích Věta (o implicitně zadané funkci) Necht p 2 N [ f1g, G R nc1 je otevřená množina, FW G! R, Qx 2 R n, Qy 2 R, Œ Qx; Qy 2 G a necht platí: (i) F 2 C p.g/, (ii) F. Qx; Qy/ D 0, Qx; Qy/

80 12.3 Věty o implicitně zadaných funkcích Věta (o implicitně zadané funkci) Necht p 2 N [ f1g, G R nc1 je otevřená množina, FW G! R, Qx 2 R n, Qy 2 R, Œ Qx; Qy 2 G a necht platí: (i) F 2 C p.g/, (ii) F. Qx; Qy/ D 0, Qx; Qy/ Pak existuje okolí U R n bodu Qx a okolí V R bodu Qy, že pro každé x 2 U existuje právě jedno y 2 V s vlastností F.x; y/ D 0.

81 12.3 Věty o implicitně zadaných funkcích Věta (o implicitně zadané funkci) Necht p 2 N [ f1g, G R nc1 je otevřená množina, FW G! R, Qx 2 R n, Qy 2 R, Œ Qx; Qy 2 G a necht platí: (i) F 2 C p.g/, (ii) F. Qx; Qy/ D 0, Qx; Qy/ Pak existuje okolí U R n bodu Qx a okolí V R bodu Qy, že pro každé x 2 U existuje právě jedno y 2 V s vlastností F.x; y/ D 0. Označíme-li toto y jako '.x/, pak ' 2 C p.u/

82 12.3 Věty o implicitně zadaných funkcích Věta (o implicitně zadané funkci) Necht p 2 N [ f1g, G R nc1 je otevřená množina, FW G! R, Qx 2 R n, Qy 2 R, Œ Qx; Qy 2 G a necht platí: (i) F 2 C p.g/, (ii) F. Qx; Qy/ D 0, Qx; Qy/ Pak existuje okolí U R n bodu Qx a okolí V R bodu Qy, že pro každé x 2 U existuje právě jedno y 2 V s vlastností F.x; y/ D 0. Označíme-li toto y jako '.x/, pak ' 2 C j.x; '.x// kde j 2 f1; : : : ; ng, x 2

83 12.3 Věty o implicitně zadaných funkcích [ x, ỹ] 1-1 0y x0 1-1

84 12.3 Věty o implicitně zadaných funkcích [ x, ỹ]

85 12.3 Věty o implicitně zadaných funkcích [ x δ 1, ỹ + ξ 1 ] [ x, ỹ] [ x + δ 1, ỹ + ξ 1 ]

86 12.3 Věty o implicitně zadaných funkcích [ x δ 1,ỹ ξ 1 ] -1 0 [ x δ 1,ỹ + ξ 1 ] [ x, ỹ] [ x + δ 1,ỹ ξ 1 ] [ x + δ 1,ỹ + ξ 1 ]

87 12.3 Věty o implicitně zadaných funkcích 2 0 [ x, ỹ]

88 12.3 Věty o implicitně zadaných funkcích y x0 1-1

89 12.3 Věty o implicitně zadaných funkcích

90 12.3 Věty o implicitně zadaných funkcích

91 12.3 Věty o implicitně zadaných funkcích

92 12.3 Věty o implicitně zadaných funkcích Věta (o implicitně zadaných funkcích) Necht n; m 2 N, p 2 N [ f1g. Necht G R ncm je otevřená množina, FW G! R m, Qx 2 R n, Qy 2 R m, Œ Qx; Qy 2 G a necht platí:

93 12.3 Věty o implicitně zadaných funkcích Věta (o implicitně zadaných funkcích) Necht n; m 2 N, p 2 N [ f1g. Necht G R ncm je otevřená množina, FW G! R m, Qx 2 R n, Qy 2 R m, Œ Qx; Qy 2 G a necht platí: (i) F 2 C p.g/,

94 12.3 Věty o implicitně zadaných funkcích Věta (o implicitně zadaných funkcích) Necht n; m 2 N, p 2 N [ f1g. Necht G R ncm je otevřená množina, FW G! R m, Qx 2 R n, Qy 2 R m, Œ Qx; Qy 2 G a necht platí: (i) F 2 C p.g/, (ii) F. Qx; Qy/ D o,

95 12.3 Věty o implicitně zadaných funkcích Věta (o implicitně zadaných funkcích) Necht n; m 2 N, p 2 N [ f1g. Necht G R ncm je otevřená množina, FW G! R m, Qx 2 R n, Qy 2 R m, Œ Qx; Qy 2 G a necht platí: (i) F 2 C p.g/, (ii) F. Qx; Qy/ D o, 1 1. Qx; Qy/ : : : m. Qx; Qy/ : : :: : 0: m 1. Qx; Qy/ : : : m. Qx; Qy/ ˇ

96 12.3 Věty o implicitně zadaných funkcích Věta (o implicitně zadaných funkcích) Necht n; m 2 N, p 2 N [ f1g. Necht G R ncm je otevřená množina, FW G! R m, Qx 2 R n, Qy 2 R m, Œ Qx; Qy 2 G a necht platí: (i) F 2 C p.g/, (ii) F. Qx; Qy/ D o, 1 1. Qx; Qy/ : : : m. Qx; Qy/ : : :: : 0: m 1. Qx; Qy/ : : : m. Qx; Qy/ ˇ Pak existuje okolí U R n bodu Qx a okolí V R m bodu Qy, že pro každé x 2 U existuje právě jedno y 2 V s vlastností F.x; y/ D o.

97 12.3 Věty o implicitně zadaných funkcích Věta (o implicitně zadaných funkcích) Necht n; m 2 N, p 2 N [ f1g. Necht G R ncm je otevřená množina, FW G! R m, Qx 2 R n, Qy 2 R m, Œ Qx; Qy 2 G a necht platí: (i) F 2 C p.g/, (ii) F. Qx; Qy/ D o, 1 1. Qx; Qy/ : : : m. Qx; Qy/ : : :: : 0: m 1. Qx; Qy/ : : : m. Qx; Qy/ ˇ Pak existuje okolí U R n bodu Qx a okolí V R m bodu Qy, že pro každé x 2 U existuje právě jedno y 2 V s vlastností F.x; y/ D o. Označíme-li toto y jako '.x/, pak ' 2 C p.u/.

98 12.4 Extrémy funkcí více proměnných Definice Necht.P; / je metrický prostor, M P, x 2 M a f je funkce z P do R splňující M D.f /. Řekneme, že f nabývá v bodě x maxima (resp. minima) na M, jestliže platí 8y 2 MW f.y/ f.x/.resp. 8y 2 MW f.y/ f.x//:

99 12.4 Extrémy funkcí více proměnných Definice Necht.P; / je metrický prostor, M P, x 2 M a f je funkce z P do R splňující M D.f /. Řekneme, že f nabývá v bodě x maxima (resp. minima) na M, jestliže platí 8y 2 MW f.y/ f.x/.resp. 8y 2 MW f.y/ f.x//: Bod x pak nazýváme bodem maxima (resp. minima) funkce f na množině M.

100 12.4 Extrémy funkcí více proměnných Řekneme, že f nabývá v bodě x lokálního maxima (resp. lokálního minima) vzhledem k M, jestliže existuje ı > 0 takové, že 8y 2 B.x; ı/ \ MW f.y/ f.x/.resp. 8y 2 B.x; ı/ \ MW f.y/ f.x//:

101 12.4 Extrémy funkcí více proměnných Řekneme, že f nabývá v bodě x lokálního maxima (resp. lokálního minima) vzhledem k M, jestliže existuje ı > 0 takové, že 8y 2 B.x; ı/ \ MW f.y/ f.x/.resp. 8y 2 B.x; ı/ \ MW f.y/ f.x//: Bod x pak nazýváme bodem lokálního maxima (resp. lokálního minima) funkce f na množině M.

102 12.4 Extrémy funkcí více proměnných Řekneme, že f nabývá v bodě x ostrého lokálního maxima (resp. ostrého lokálního minima) vzhledem k M, jestliže existuje ı > 0 takové, že 8y 2.B.x; ı/ n fxg/ \ MW f.y/ < f.x/.resp. 8y 2.B.x; ı/ n fxg/ \ MW f.y/ > f.x//:

103 12.4 Extrémy funkcí více proměnných Řekneme, že f nabývá v bodě x ostrého lokálního maxima (resp. ostrého lokálního minima) vzhledem k M, jestliže existuje ı > 0 takové, že 8y 2.B.x; ı/ n fxg/ \ MW f.y/ < f.x/.resp. 8y 2.B.x; ı/ n fxg/ \ MW f.y/ > f.x//: Bod x pak nazýváme bodem ostrého lokálního maxima (resp. ostrého lokálního minima) funkce f na množině M.

104 12.4 Extrémy funkcí více proměnných Řekneme, že f nabývá v bodě x ostrého lokálního maxima (resp. ostrého lokálního minima) vzhledem k M, jestliže existuje ı > 0 takové, že 8y 2.B.x; ı/ n fxg/ \ MW f.y/ < f.x/.resp. 8y 2.B.x; ı/ n fxg/ \ MW f.y/ > f.x//: Bod x pak nazýváme bodem ostrého lokálního maxima (resp. ostrého lokálního minima) funkce f na množině M. Symbol max M f (resp. min M f ) označuje největší (resp. nejmenší) hodnotu, které funkce f na množině M nabývá (pokud taková hodnota existuje).

105 12.4 Extrémy funkcí více proměnných Věta Necht.P; / je metrický prostor, M P je neprázdná kompaktní množina a f W M! R je spojitá na M. Pak f nabývá na M svého maxima i minima.

106 12.4 Extrémy funkcí více proměnných Věta Necht.P; / je metrický prostor, M P je neprázdná kompaktní množina a f W M! R je spojitá na M. Pak f nabývá na M svého maxima i minima. Věta Necht G R n je otevřená, a 2 G, j 2 f1; : : : ; ng. Necht funkce f W G! R má v bodě a lokální extrém (vzhledem ke G).

107 12.4 Extrémy funkcí více proměnných Věta Necht.P; / je metrický prostor, M P je neprázdná kompaktní množina a f W M! R je spojitá na M. Pak f nabývá na M svého maxima i minima. Věta Necht G R n je otevřená, a 2 G, j 2 f1; : : : ; ng. Necht funkce f W G! R má v bodě a lokální extrém (vzhledem G). Pak j.a/ neexistuje nebo je rovna nule.

108 12.4 Extrémy funkcí více proměnných Lemma Necht Q W R n! R je pozitivně definitní kvadratická forma. Potom existuje " 2 R, " > 0, takové, že 8h 2 R n W Q.h/ "jjhjj 2 :

109 12.4 Extrémy funkcí více proměnných Věta (postačující podmínky druhého řádu) Budiž f 2 C 2.G/, a 2 G a necht rf.a/ D o.

110 12.4 Extrémy funkcí více proměnných Věta (postačující podmínky druhého řádu) Budiž f 2 C 2.G/, a 2 G a necht rf.a/ D o. Potom platí: Je-li kvadratická forma h 7! f 00.a/.h; h/ negativně definitní, nabývá f v bodě a ostrého lokálního maxima.

111 12.4 Extrémy funkcí více proměnných Věta (postačující podmínky druhého řádu) Budiž f 2 C 2.G/, a 2 G a necht rf.a/ D o. Potom platí: Je-li kvadratická forma h 7! f 00.a/.h; h/ negativně definitní, nabývá f v bodě a ostrého lokálního maxima. Je-li kvadratická forma h 7! f 00.a/.h; h/ pozitivně definitní, nabývá f v bodě a ostrého lokálního minima.

112 12.4 Extrémy funkcí více proměnných Věta (postačující podmínky druhého řádu) Budiž f 2 C 2.G/, a 2 G a necht rf.a/ D o. Potom platí: Je-li kvadratická forma h 7! f 00.a/.h; h/ negativně definitní, nabývá f v bodě a ostrého lokálního maxima. Je-li kvadratická forma h 7! f 00.a/.h; h/ pozitivně definitní, nabývá f v bodě a ostrého lokálního minima. Je-li kvadratická forma h 7! f 00.a/.h; h/ indefinitní, nenabývá f v bodě a ani lokálního maxima, ani lokálního minima.

113 12.4 Extrémy funkcí více proměnných Věta (Lagrangeova věta o multiplikátorech) Necht m; n 2 N, m < n, G R n je otevřená množina, f ; g 1 ; : : : ; g m 2 C 1.G/, M D fz 2 GI g 1.z/ D 0; g 2.z/ D 0; : : : ; g m.z/ D 0g a bod Qz 2 M je bodem lokálního extrému funkce f vzhledem k množině M.

114 12.4 Extrémy funkcí více proměnných Věta (Lagrangeova věta o multiplikátorech) Necht m; n 2 N, m < n, G R n je otevřená množina, f ; g 1 ; : : : ; g m 2 C 1.G/, M D fz 2 GI g 1.z/ D 0; g 2.z/ D 0; : : : ; g m.z/ D 0g a bod Qz 2 M je bodem lokálního extrému funkce f vzhledem k množině M. Potom je splněna alespoň jedna z následujících podmínek: (I) vektory rg 1.Qz/; rg 2.Qz/; : : : ; rg m.qz/ jsou lineárně závislé,

115 12.4 Extrémy funkcí více proměnných Věta (Lagrangeova věta o multiplikátorech) Necht m; n 2 N, m < n, G R n je otevřená množina, f ; g 1 ; : : : ; g m 2 C 1.G/, M D fz 2 GI g 1.z/ D 0; g 2.z/ D 0; : : : ; g m.z/ D 0g a bod Qz 2 M je bodem lokálního extrému funkce f vzhledem k množině M. Potom je splněna alespoň jedna z následujících podmínek: (I) vektory rg 1.Qz/; rg 2.Qz/; : : : ; rg m.qz/ jsou lineárně závislé, (II) existují reálná čísla 1 ; 2 ; : : : ; m 2 R splňující rf.qz/ C 1 rg 1.Qz/ C 2 rg 2.Qz/ C C m rg m.qz/ D o:

116 12.4 Extrémy funkcí více proměnných

117 12.4 Extrémy funkcí více proměnných

118 12.4 Extrémy funkcí více proměnných

119 12.5. Regulární zobrazení Definice Řekneme, že zobrazení f z R n do R n je difeomorfismus na otevřené množině U R n, jestliže (i) f je prosté na U,

120 12.5. Regulární zobrazení Definice Řekneme, že zobrazení f z R n do R n je difeomorfismus na otevřené množině U R n, jestliže (i) f je prosté na U, (ii) W D f.u/ je otevřená podmnožina prostoru R n,

121 12.5. Regulární zobrazení Definice Řekneme, že zobrazení f z R n do R n je difeomorfismus na otevřené množině U R n, jestliže (i) f je prosté na U, (ii) W D f.u/ je otevřená podmnožina prostoru R n, (iii) f 2 C 1.U/,

122 12.5. Regulární zobrazení Definice Řekneme, že zobrazení f z R n do R n je difeomorfismus na otevřené množině U R n, jestliže (i) f je prosté na U, (ii) W D f.u/ je otevřená podmnožina prostoru R n, (iii) f 2 C 1.U/, (iv) f 1 2 C 1.W /.

123 12.5. Regulární zobrazení Definice Řekneme, že zobrazení f z R n do R n je difeomorfismus na otevřené množině U R n, jestliže (i) f je prosté na U, (ii) W D f.u/ je otevřená podmnožina prostoru R n, (iii) f 2 C 1.U/, (iv) f 1 2 C 1.W /. Věta (o lokálním difeomorfismu) Necht f je zobrazení z R n do R n, které je třídy C 1 na jistém okolí V bodu a 2 R n a f 0.a/ je regulární. Pak existuje otevřená množina U V obsahující bod a taková, že zobrazení f j U je difeomorfismus na U.

124 12.5. Regulární zobrazení Definice Necht G R n je otevřená množina. Zobrazení f W G! R n je regulární, jestliže (i) f 2 C 1.G/,

125 12.5. Regulární zobrazení Definice Necht G R n je otevřená množina. Zobrazení f W G! R n je regulární, jestliže (i) f 2 C 1.G/, (ii) jacobián zobrazení f je nenulový v každém bodě množiny G.

126 12.5. Regulární zobrazení Definice Necht G R n je otevřená množina. Zobrazení f W G! R n je regulární, jestliže (i) f 2 C 1.G/, (ii) jacobián zobrazení f je nenulový v každém bodě množiny G. Věta Necht G R n je otevřená a f W G! R n je zobrazení. Pak f je difeomorfismus, právě když f je regulární a prosté.

10 Funkce více proměnných

10 Funkce více proměnných M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných študenti MFF 15. augusta 2008 1 5 Základy teorie funkcí více proměnných Požadavky Parciální derivace a totální

Více

1 Množiny, výroky a číselné obory

1 Množiny, výroky a číselné obory 1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou

Více

Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou

Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou 1 Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) vektory matice Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou rovnici A x = λ x, kde x je neznámá matice o jednom sloupci (sloupcový

Více

Matematika 5 FSV UK, ZS Miroslav Zelený

Matematika 5 FSV UK, ZS Miroslav Zelený Matematika 5 FSV UK, ZS 2018-19 Miroslav Zelený 1. Stabilita řešení soustav diferenciálních rovnic 2. Úvod do variačního počtu 3. Globální extrémy 4. Teorie optimálního řízení 5. Různé 1. Stabilita řešení

Více

Definice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:

Definice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: Přednáška 1. Definice 1.1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: (1 pro každé x je ρ(x, x = 0; (2 pro každé x, y, x y, je ρ(x, y = ρ(y, x > 0; (3 pro každé

Více

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1 9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení

Více

Matematika pro informatiky

Matematika pro informatiky (FIT ČVUT v Praze) Konvexní analýza 13.týden 1 / 1 Matematika pro informatiky Jaroslav Milota Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze Letní semestr 2010/11 Extrémy funkce

Více

6. přednáška 5. listopadu 2007

6. přednáška 5. listopadu 2007 6. přednáška 5. listopadu 2007 Souvislost diferenciálu a parciálních derivací. Diferenciál implikuje parciální derivace a spojité parciální derivace implikují diferenciál. Tvrzení 2.3. Když je funkce f

Více

Primitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program

Primitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Taylorův polynom Program Primitivní

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

Kristýna Kuncová. Matematika B3

Kristýna Kuncová. Matematika B3 (5) Funkce více proměnných II Kristýna Kuncová Matematika B3 Kristýna Kuncová (5) Funkce více proměnných II 1 / 20 Parciální derivace - příklad Otázka Tabulka vpravo znázorňuje hodnoty funkce f (x, y).

Více

Matematická analýza pro informatiky I. Extrémy funkcí více proměnných

Matematická analýza pro informatiky I. Extrémy funkcí více proměnných Matematická analýza pro informatiky I. 12. přednáška Extrémy funkcí více proměnných Jan Tomeček jan.tomecek@upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 12. dubna 2011

Více

IX. Vyšetřování průběhu funkce

IX. Vyšetřování průběhu funkce IX. Vyšetřování průběhu funkce Úvodní poznámky: Cíl: vyšetřit průběh dané funkce f. Zahrnuje: základní vlastnosti: D(f), spojitost, limity v krajních bodech, průsečíky s osami souřadnic, intervaly, kde

Více

I. Úvod. I.1. Množiny. I.2. Výrokový a predikátový počet

I. Úvod. I.1. Množiny. I.2. Výrokový a predikátový počet I. Úvod I.1. Množiny Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Značení. Symbol x A značí, že element x je prvkem množiny A. Značení x

Více

Uzavřené a otevřené množiny

Uzavřené a otevřené množiny Teorie: Uzavřené a otevřené množiny 2. cvičení DEFINICE Nechť M R n. Bod x M nazveme vnitřním bodem množiny M, pokud existuje r > 0 tak, že B(x, r) M. Množinu všech vnitřních bodů značíme Int M. Dále,

Více

Úvodní informace. 17. února 2018

Úvodní informace. 17. února 2018 Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní

Více

17. Posloupnosti a řady funkcí

17. Posloupnosti a řady funkcí 17. Posloupnosti a řady funkcí Aplikovaná matematika III, NMAF073 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2011/12 17.1 Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí Definice Necht M je množina, f, f n : M R m, m, n N.

Více

III. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce. a = (x 0, y 0 ), h = (h 1, h 2 ).

III. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce. a = (x 0, y 0 ), h = (h 1, h 2 ). III. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce = f(x 0 + h 1, y 0 + h 2 ) f(x 0, y 0 ) f u (x 0, y 0 ), kde u = (h 1, h 2 ). ( ) = f(x 0 + h 1, y 0 ) f(x 0, y 0 ) x (x 0,

Více

Matematická analýza pro informatiky I.

Matematická analýza pro informatiky I. Matematická analýza pro informatiky I. 10. přednáška Diferenciální počet funkcí více proměnných (II) Jan Tomeček jan.tomecek@upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci

Více

5. cvičení z Matematiky 2

5. cvičení z Matematiky 2 5. cvičení z Matematiky 2 21.-25. března 2016 5.1 Nalezněte úhel, který v bodě 1, 0, 0 svírají grafy funkcí fx, y ln x 2 + y 2 a gx, y sinxy. Úhel, který svírají grafy funkcí je dán jako úhel mezi jednotlivými

Více

Funkce v ıce promˇ enn ych Extr emy Pˇredn aˇska p at a 12.bˇrezna 2018

Funkce v ıce promˇ enn ych Extr emy Pˇredn aˇska p at a 12.bˇrezna 2018 Funkce více proměnných Extrémy Přednáška pátá 12.března 2018 Zdroje informací Diferenciální počet http://homen.vsb.cz/~kre40/esfmat2/fceviceprom.html http://www.studopory.vsb.cz/studijnimaterialy/sbirka_uloh/pdf/7.pdf

Více

Matematika V. Dynamická optimalizace

Matematika V. Dynamická optimalizace Matematika V. Dynamická optimalizace Obsah Kapitola 1. Variační počet 1.1. Derivace funkcí na vektorových prostorech...str. 3 1.2. Derivace integrálu...str. 5 1.3. Formulace základní úlohy P1 var. počtu,

Více

Dodatek 2: Funkce dvou proměnných 1/9

Dodatek 2: Funkce dvou proměnných 1/9 Dodatek 2: Funkce dvou proměnných 1/9 2/9 Funkce dvou proměnných Definice: Reálnou funkcí dvou reálných proměnných, definovanou na množině M R 2, rozumíme předpis f, který každé uspořádané dvojici reálných

Více

Derivace a monotónnost funkce

Derivace a monotónnost funkce Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkci f (x), která má na intervalu I derivaci f (x). Pak platí: je-li f (x) > 0 x I, funkce f je na intervalu I rostoucí. je-li f (x) < 0 x I, funkce f je

Více

DERIVACE FUKNCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH

DERIVACE FUKNCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH DERIVACE FUKNCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH Reálná funkce dvou proměnných a definiční obor Kartézský součin R R značíme R 2 R 2 je množina všech uspořádaných dvojic reálných čísel (rovina) Prvk R 2 jsou bod v rovině

Více

Přednáška 11, 12. prosince Část 5: derivace funkce

Přednáška 11, 12. prosince Část 5: derivace funkce Přednáška 11, 12. prosince 2014 Závěrem pasáže o spojitých funkcích zmíníme jejich podtřídu, lipschitzovské funkce, nazvané podle německého matematika Rudolfa Lipschitze (1832 1903). Fukce f : M R je lipschitzovská,

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

Diferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program

Diferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program Program Diferenční rovnice Program Diferenční rovnice Diferenciální rovnice Program Frisch a Samuelson: Systém je dynamický, jestliže jeho chování v čase je určeno funkcionální rovnicí, jejíž neznámé závisí

Více

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady

Více

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH DEFINICE. Funkce f více proměnných. má v bodě C D(f) lokální maximum, resp. lokální minimum, jestliže existuje okolí U bodu C takové, že f(c) je maximální (resp. minimální

Více

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f Výklad Globální extrémy mají stejný význam jako u funkcí jedné proměnné. Hledáme je bud na celém definičním oboru dané funkce, nebo na předem zadané podmnožině definičního oboru. Definice 6..1. Řekneme,

Více

Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost. May 26, 2018

Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost. May 26, 2018 Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost May 26, 2018 Definice (Okolí bodu) Okolím bodu a R (také ε- okolím) rozumíme množinu U(a, ε) = {x R; x a < ε} = (a ε, a + ε), bod a se nazývá střed okolí a

Více

Přednáška 6, 6. listopadu 2013

Přednáška 6, 6. listopadu 2013 Přednáška 6, 6. listopadu 2013 Kapitola 2. Posloupnosti a řady funkcí. V dalším jsou f, f n : M R, n = 1, 2,..., reálné funkce jedné reálné proměnné definované na (neprázdné) množině M R. Co to znamená,

Více

Drsná matematika III 2. přednáška Funkce více proměnných: Aproximace vyšších rádů, Taylorova věta, inverzní zobrazení

Drsná matematika III 2. přednáška Funkce více proměnných: Aproximace vyšších rádů, Taylorova věta, inverzní zobrazení Drsná matematika III. přednáška Funkce více proměnných: Aproximace vyšších rádů, Taylorova věta, inverzní zobrazení Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 9. 6 Obsah přednášky Literatura Derivace

Více

Drsná matematika III 2. přednáška Funkce více proměnných: Aproximace vyšších rádů, Taylorova věta, inverzní zobrazení

Drsná matematika III 2. přednáška Funkce více proměnných: Aproximace vyšších rádů, Taylorova věta, inverzní zobrazení Drsná matematika III. přednáška Funkce více proměnných: Aproximace vyšších rádů, Taylorova věta, inverzní zobrazení Masarykova univerzita Fakulta informatiky 6. 9. Obsah přednášky Literatura Derivace vyšších

Více

F (x, h(x)) T (g)(x) = g(x)

F (x, h(x)) T (g)(x) = g(x) 11 Implicitní funkce Definice 111 (implicitní funkce) Nechť F : R 2 R je funkce a [x 0, y 0 ] R 2 je takový bo, že F (x 0, y 0 ) = 0 Řekneme, že funkce y = f(x) je v okolí bou [x 0, y 0 ] zaána implicitně

Více

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015 Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární

Více

I. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou

I. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou Typy příkladů pro I. část písemky ke zkoušce z MA II I. Diferenciální rovnice. 1. Určete obecné řešení rovnice y = y sin x.. Určete řešení rovnice y = y x splňující počáteční podmínku y(1) = 0. 3. Rovnici

Více

ZADÁNÍ ZKOUŠKOVÉ PÍSEMNÉ PRÁCE Z PŘEDMĚTU LINEÁRNÍ ALGEBRA PRO IT. Verze 1.1A

ZADÁNÍ ZKOUŠKOVÉ PÍSEMNÉ PRÁCE Z PŘEDMĚTU LINEÁRNÍ ALGEBRA PRO IT. Verze 1.1A Verze 1.1A Čas na práci: 1 minut Za každý úkol můžete získat maximálně 1 bodů. Řešení každého příkladu zapisujte čitelně a srozumitelně, 2x 1 +4x 3 +3x 4 = 4 x 1 +2x 2 +4x 3 3x 4 = 1 2x 1 +x 2 x 3 3x 4

Více

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH ÚLOHY ŘEŠITELNÉ BEZ VĚTY O MULTIPLIKÁTORECH Nalezněte absolutní extrémy funkce f na množině M. 1. f(x y) = x + y; M = {x y R 2 ; x 2 + y 2 1} 2. f(x y) = e x ; M = {x y R

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Průběh funkce ZVMT lesnictví 1 / 21

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Průběh funkce ZVMT lesnictví 1 / 21 Průběh funkce Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu

Více

4. Diferenciál a Taylorova věta

4. Diferenciál a Taylorova věta 4. Diferenciál a Taylorova věta Definice 4.1. Buď f : R n R, a Df. Řekneme, že f je diferencovatelná v bodě a, když h V n takový, že a + h Df platí f(a + h) f(a) gradf(a) h + h τ(h), kde lim τ(h) 0. Funkce

Více

7.1 Extrémy a monotonie

7.1 Extrémy a monotonie KAPITOLA 7: Průběh funkce [ZMA13-P38] 7.1 Extrémy a monotonie Řekneme, že funkce f nabývá na množině M Df svého globálního maxima globálního minima A v bodě x 0, jestliže x 0 M, fx 0 = A a pro každé x

Více

Kapitola 4: Extrémy funkcí dvou proměnných 1/5

Kapitola 4: Extrémy funkcí dvou proměnných 1/5 Kapitola 4: Extrémy funkcí dvou proměnných 1/5 Lokální extrémy Definice: Necht f : M R 2 R a (x 0, y 0 ) M. Říkáme, že fce f má v bodě (x 0, y 0 ) lokální maximum (resp. lokální minimum) jestliže existuje

Více

verze 1.3 kde ρ(, ) je vzdálenost dvou bodů v R r. Redukovaným ε-ovým okolím nazveme ε-ové okolí bodu x 0 mimo tohoto bodu, tedy množinu

verze 1.3 kde ρ(, ) je vzdálenost dvou bodů v R r. Redukovaným ε-ovým okolím nazveme ε-ové okolí bodu x 0 mimo tohoto bodu, tedy množinu Úvod Diferenciální počet více proměnných verze.3 Následující text popisuje základy diferenciálního počtu více proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT na Univerzitě Hradec Králové

Více

Derivace funkcí více proměnných

Derivace funkcí více proměnných Derivace funkcí více proměnných Pro studenty FP TUL Martina Šimůnková 16. května 019 1. Derivace podle vektoru jako funkce vektoru. Pro pevně zvolenou funkci f : R d R n a bod a R d budeme zkoumat zobrazení,

Více

Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k),

Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k), Definice 5.2.1. Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo má v tomto bodě totální diferenciál, jestliže je možné její přírůstek z na nějakém okolí bodu A vyjádřit jako

Více

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější

Více

Matematika 4 FSV UK, LS Miroslav Zelený

Matematika 4 FSV UK, LS Miroslav Zelený Matematika 4 FSV UK, LS 2017-18 Miroslav Zelený 13. Diferenční rovnice 14. Diferenciální rovnice se separovanými prom. 15. Lineární diferenciální rovnice prvního řádu 16. Lineární diferenciální rovnice

Více

Michal Bulant. Masarykova univerzita Fakulta informatiky

Michal Bulant. Masarykova univerzita Fakulta informatiky Matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: derivace vyšších řádů, lokální a absolutní extrémy Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 6. 10. 2010 Obsah přednášky 1 Literatura 2

Více

1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH

1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH 1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH V minulém semestru jsme studovali vlastnosti unkcí jedné nezávislé proměnné. K popisu mnoha reálných situací obvkle s jednou proměnnou nevstačíme. FUNKCE DVOU

Více

Průvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat

Průvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat 6. Extrémy funkcí více proměnných Průvodce studiem Hledání extrémů je v praxi často řešená úloha. Např. při cestě z bodu A do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat

Více

Projekty - Úvod do funkcionální analýzy

Projekty - Úvod do funkcionální analýzy Projekty - Úvod do funkcionální analýzy Projekt č. 1. Nechť a, b R, a < b. Dokažte, že prostor C( a, b ) = f : R R: f je spojitá na D(f) = a, b s metrikou je úplný. ρ(f, g) = max f(x) g(x) x a,b Projekt

Více

OBECNOSTI KONVERGENCE V R N

OBECNOSTI KONVERGENCE V R N FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH V reálných situacích závisejí děje obvykle na více proměnných než jen na jedné (např. na teplotě i na tlaku), závislost na jedné proměnné je spíše výjimkou. OBECNOSTI Reálná funkce

Více

Komplexní analýza. Holomorfní funkce. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze

Komplexní analýza. Holomorfní funkce. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze Komplexní analýza Holomorfní funkce Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Holomorfní funkce 1 / 8 Derivace Definice Necht f je komplexní

Více

Matematická analýza 1

Matematická analýza 1 Matematická analýza 1 ZS 2019-20 Miroslav Zelený 1. Logika, množiny a základní číselné obory 2. Limita posloupnosti 3. Limita a spojitost funkce 4. Elementární funkce 5. Derivace 6. Taylorův polynom Návod

Více

Občas se používá značení f x (x 0, y 0 ), resp. f y (x 0, y 0 ). Parciální derivace f. rovnoběžného s osou y a z:

Občas se používá značení f x (x 0, y 0 ), resp. f y (x 0, y 0 ). Parciální derivace f. rovnoběžného s osou y a z: PARCIÁLNÍ DERIVACE Jak derivovat reálné funkce více proměnných aby bylo možné tyto derivace použít podobně jako derivace funkcí jedné proměnné? Jestliže se okopíruje definice z jedné proměnné dostane se

Více

22 Základní vlastnosti distribucí

22 Základní vlastnosti distribucí M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 22: Základní vlastnosti distribucí 5 22 Základní vlastnosti distribucí 22.1 Temperované distribuce Definice. O funkci ϕ C (R m ) řekneme, že je rychle klesající

Více

Bodová a stejnoměrná konvergence

Bodová a stejnoměrná konvergence Kapitola 1 Bodová a stejnoměrná konvergence Motivační otázky: 1 + x + x 2 +... = 1 1 x. Můžeme tuto rovnici derivovat? Tj. platí 1 + 2x + 3x 2 +... = Kdy lze zaměnit limitu a derivaci? Je limita spojitých

Více

Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení.

Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Předmět: MA4 Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Literatura: Kapitola 2 a)-c) a kapitola 4 a)-c) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT,

Více

Základní spádové metody

Základní spádové metody Základní spádové metody Petr Tichý 23. října 2013 1 Metody typu line search Problém Idea metod min f(x), f : x R Rn R. n Dána počáteční aproximace x 0. Iterační proces (krok k): (a) zvol směr d k, (b)

Více

1 Topologie roviny a prostoru

1 Topologie roviny a prostoru 1 Topologie roviny a prostoru 1.1 Základní pojmy množin Intervaly a okolí Intervaly v rovině nebo prostoru jsou obdélníky nebo hranoly se stranami rovnoběžnými s osami souřadnic. Podmnožiny intervalů se

Více

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2018

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2018 Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 208 Studijní program: Studijní obory: Matematika MA, MMIT, MMFT, MSTR, MNVM, MPMSE Varianta A Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Věnujte pozornost ověření

Více

1 Funkce dvou a tří proměnných

1 Funkce dvou a tří proměnných 1 Funkce dvou a tří proměnných 1.1 Pojem funkce více proměnných Definice Funkce dvou proměnných je předpis, který každému bodu z R 2 (tj. z roviny) přiřazuje jediné reálné číslo. z = f(x, y), D(f) R 2

Více

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce Matematická analýza 1b 9. Primitivní funkce 9.1 Základní vlastnosti Definice Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

Důkaz Heineho Borelovy věty. Bez újmy na obecnosti vezmeme celý prostor A = M (proč? úloha 1). Implikace. Nechť je (M, d) kompaktní a nechť.

Důkaz Heineho Borelovy věty. Bez újmy na obecnosti vezmeme celý prostor A = M (proč? úloha 1). Implikace. Nechť je (M, d) kompaktní a nechť. Přednáška 3, 19. října 2015 Důkaz Heineho Borelovy věty. Bez újmy na obecnosti vezmeme celý prostor A = M (proč? úloha 1). Implikace. Nechť je (M, d) kompaktní a nechť X i = M i I je jeho pokrytí otevřenými

Více

9. Vícerozměrná integrace

9. Vícerozměrná integrace 9. Vícerozměrná integrace Aplikovaná matematika II, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2016/17 9.1 Elementy teorie míry Poznámka Na R n definujeme systém tzv. měřitelných množin, M n, který má následující

Více

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2014

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2014 Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 4 Studijní program: Studijní obory: Příklad (5 bodů) Spočtěte Matematika MA, MMIB, MMFT, MSTR, NVM, PMSE, MDU Varianta A M xy dxdy, kde M = {(x, y) R

Více

Matematika B 2. Úvodní informace

Matematika B 2. Úvodní informace Matematika B 2 MIROSLAV KUČERA Úvodní informace Kontakt miroslav.kucera@vsfs.czvsfs.cz Studijní středisko Kladno IT oddělení 306B (kanceláře studijního oddělení) Konzultační hodiny Po Pá 8:30 15:00 možno

Více

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:

Více

MATEMATIKA III. Olga Majlingová. Učební text pro prezenční studium. Předběžná verze

MATEMATIKA III. Olga Majlingová. Učební text pro prezenční studium. Předběžná verze Fakulta strojního inženýrství Univerzity J. E. Purkyně v Ústí nad Labem Pasteurova 7 Tel.: 475 285 511 400 96 Ústí nad Labem Fax: 475 285 566 Internet: www.ujep.cz E-mail: kontakt@ujep.cz MATEMATIKA III

Více

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření

Více

Drsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál

Drsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál Drsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 16. 9. 2008 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Funkce a

Více

VII. Limita a spojitost funkce

VII. Limita a spojitost funkce VII. Limita a spojitost funkce VII.1. Limita funkce Úvodní poznámky: Limita funkce f v bodě c R hodnota a R, k níž se přibližují hodnoty f(x), jestliže x se blíží k hodnotě c; funkce f nemusí být definovaná

Více

9. Vícerozměrná integrace

9. Vícerozměrná integrace 9. Vícerozměrná integrace Tomáš Salač Ú UK, FF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 1 / 29 9.1 Elementy teorie míry Poznámka Na R n definujeme systém tzv. měřitelných

Více

Bakalářská matematika I

Bakalářská matematika I 1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,

Více

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014 Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia

Více

Nalezněte hladiny následujících funkcí. Pro které hodnoty C R jsou hladiny neprázdné

Nalezněte hladiny následujících funkcí. Pro které hodnoty C R jsou hladiny neprázdné . Definiční obor a hladiny funkce více proměnných Nalezněte a graficky znázorněte definiční obor D funkce f = f(x, y), kde a) f(x, y) = x y, b) f(x, y) = log(xy + ), c) f(x, y) = xy, d) f(x, y) = log(x

Více

Drsná matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: Inverzní a implicitně definovaná zobrazení, vázané extrémy

Drsná matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: Inverzní a implicitně definovaná zobrazení, vázané extrémy Drsná matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: Inverzní a implicitně definovaná zobrazení, vázané extrémy Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 10. 2011 Obsah přednášky 1 Literatura

Více

ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ

ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ OBECNÉ VLASTNOSTI Řady komplexních čísel z n byly částečně probírány v kapitole o číselných řadách. Definice říká, že n=0 z n = z, jestliže z je limita částečných součtů řady z

Více

Spojitost a limita funkce

Spojitost a limita funkce Spojitost a ita funkce Okolí bodu Značení: a R ε > 0 označujeme O ε (a) = (a ε, a + ε) ε-ové okolí bodu a O + ε (a) = a, a + ε) pravé okolí, O ε (a) = (a ε, a levé okolí P ε (a) = O ε (a) \ {a} x a ε-ové

Více

Funkce více proměnných. April 29, 2016

Funkce více proměnných. April 29, 2016 Funkce více proměnných April 29, 2016 Příklad (Derivace vyšších řádů) Daná je funkce f (x, y) = x 2 y + y 3 x 4, určte její parc. derivace podle x a podle y prvního i druhého řádu, i smíšené. f x = 2xy

Více

Přijímací zkouška - matematika

Přijímací zkouška - matematika Přijímací zkouška - matematika Jméno a příjmení pište do okénka Číslo přihlášky Číslo zadání 1 Grafy 1 Pro který z následujících problémů není znám žádný algoritmus s polynomiální časovou složitostí? Problém,

Více

a = a 0.a 1 a 2 a 3...

a = a 0.a 1 a 2 a 3... Reálná čísla Definice 1 Nekonečným desetinným rozvojem čísla a nazýváme výraz a = a 0.a 1 a 2 a 3... kde a 0 je celé číslo a každé a i, i =1, 2,... je jedna z číslic 0,...,9. Pokud existuje m N takové,

Více

Časopis pro pěstování matematiky

Časopis pro pěstování matematiky Časopis pro pěstování matematiky Jiří Bečvář; Miloslav Nekvinda Poznámka o extrémech funkcí dvou a více proměnných Časopis pro pěstování matematiky, Vol. 81 (1956), No. 3, 267--271 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/117194

Více

PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti

PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx, y) = λ(x,

Více

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření

Více

Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura

Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť

Více

Lineární algebra : Lineární prostor

Lineární algebra : Lineární prostor Lineární algebra : Lineární prostor (3. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:43 1 2 3.1 Aximotické zavedení lineárního prostoru Číselné těleso Celou lineární

Více

Věta o dělení polynomů se zbytkem

Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Nechť R je okruh, f, g R[x], přičemž vedoucí koeficient polynomu g 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q, r R[x] taková, že st(r) < st(g)

Více

3. Derivace funkce Definice 3.1. Nechť f : R R je definována na nějakém okolí U(a) bodu a R. Pokud existuje limita f(a + h) f(a) lim

3. Derivace funkce Definice 3.1. Nechť f : R R je definována na nějakém okolí U(a) bodu a R. Pokud existuje limita f(a + h) f(a) lim 3 a b s = (a + b) 2 f(s) 3,46 4,680 3,93-2,9422 3,93 4,680 4,2962-2,034 4,2962 4,680 4,4886-0,0954 4,4886 4,680 4,5848 3,2095 4,4886 4,5848 4,5367,0963 4,4886 4,5367 4,526 0,427 4,4886 4,526 4,5006 0,508

Více

M. Hojdarová, J. Krejčová, M. Zámková

M. Hojdarová, J. Krejčová, M. Zámková VŠPJ Matematika II pro studenty oboru Finance a řízení M. Hojdarová, J. Krejčová, M. Zámková RNDr. Marie Hojdarová, CSc., RNDr. Jana Krejčová, Ph.D., RNDr. Ing. Martina Zámková, Ph.D. ISBN 978-80-88064-07-7

Více

K oddílu I.1 základní pojmy, normy, normované prostory

K oddílu I.1 základní pojmy, normy, normované prostory ÚVOD DO FUNKCIONÁLNÍ ANALÝZY PŘÍKLADY PRO POROZUMĚNÍ LÁTCE ZS 2015/2016 PŘÍKLADY KE KAPITOLE I K oddílu I1 základní pojmy, normy, normované prostory Příklad 1 Necht X je reálný vektorový prostor a : X

Více

Helena R ˇ ı hova (CˇVUT) Limita funkce vı ce promeˇnny ch 26. za rˇı / 16

Helena R ˇ ı hova (CˇVUT) Limita funkce vı ce promeˇnny ch 26. za rˇı / 16 Limita funkce více proměnných Helena Říhová FBMI 26. září 2010 Helena Říhová (ČVUT) Limita funkce více proměnných 26. září 2010 1 / 16 Obsah 1 Limita Definice limity Parciální derivace Tečná rovina, totální

Více

Definice. Nechť k 0 celé, a < b R. Definujeme. x < 1. ϕ(x) 0 v R. Lemma [Slabá formulace diferenciální rovnice.] x 2 1

Definice. Nechť k 0 celé, a < b R. Definujeme. x < 1. ϕ(x) 0 v R. Lemma [Slabá formulace diferenciální rovnice.] x 2 1 9. Vriční počet. Definice. Nechť k 0 celé, < b R. Definujeme C k ([, b]) = { ỹ [,b] : ỹ C k (R) } ; C 0 ([, b]) = { y C ([, b]) : y() = y(b) = 0 }. Důležitá konstrukce. Shlzovcí funkce (molifiér, bump

Více

Aplikovaná matematika I, NMAF071

Aplikovaná matematika I, NMAF071 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. 1: Úvod, čísla, zobrazení, posloupnosti 1 Aplikovaná matematika I, NMAF071 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2013/14 Sylabus = obsah (plán) přednášky [a orientační

Více

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně 7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností

Více

11. Číselné a mocninné řady

11. Číselné a mocninné řady 11. Číselné a mocninné řady Aplikovaná matematika III, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2017/18 11.1 Základní pojmy Definice Necht {a n } C je posloupnost komplexních čísel. Pro m N položme s m = a 1 +

Více