Definice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Definice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:"

Transkript

1 Přednáška 1. Definice 1.1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: (1 pro každé x je ρ(x, x = 0; (2 pro každé x, y, x y, je ρ(x, y = ρ(y, x > 0; (3 pro každé x, y, z platí ρ(x, z ρ(x, y + ρ(y, z. nožinu, na které je definována metrika, nazýváme metrický prostor. Pokud budeme chtít zdůraznit, že je metrický prostor s metrikou ρ, budeme psát (, ρ. Definice 1.2. Nechť je (, ρ metrický prostor a x 0. Pro každé ε > 0 nazýváme množinu všech x, pro která je ρ ( x, x 0 < ε okolím bodu x0 (přesněji otevřeným ε ovým okolím bodu x 0. ε ové okolí bodu x 0 budeme značit U ε ( x0. nožinu všech bodů x, pro která je 0 < ρ ( x, x 0 < ε nazýváme prstencové okolí bodu x 0 a budeme jej značit P ε ( x0. Definice 1.3. Nechť (, ρ je metrický prostor a X. Bod x X nazveme vnitřní bod množiny X právě tehdy, když existuje okolí U ε (x takové, že U ε (x X. nožinu všech vnitřních bodů množiny X nazýváme vnitřkem množiny a značíme X. Definice 1.4. Nechť (, ρ je metrický prostor. nožina X se nazývá otevřená právě tehdy, je-li každý bod x X vnitřním bodem množiny X, tj. právě tehdy, když X = X. Definice 1.5. Nechť (, ρ a (, σ jsou metrické prostory. Jestliže existují reálná čísla a a b, 0 < a b taková, že pro každé x, y platí aρ(x, y σ(x, y bρ(x, y nazveme metriky ρ a σ ekvivalentní. Definice 1.6. Nechť je (, ρ metrický prostor a X. Bod x nazýváme hromadný bod množiny X právě tehdy, když každé prstencové okolí P ε (x obsahuje alespoň jeden bod množiny X. nožinu všech hromadných bodů množiny X budeme značit der X. Definice 1.7. Nechť (, ρ je metrický prostor a X. Pak množinu X = X der X nazýváme uzávěr množiny X. Definice 1.8. Podmnožina X metrického prostoru (, ρ se nazývá uzavřená právě tehdy, když obsahuje všechny své hromadné body, tj. právě když X = X. Definice 1.9. Nechť je (, ρ metrický prostor a X. Hranicí množiny X nazýváme množinu X = X \ X. Bod x X se nazývá hraniční bod množiny X. Typeset by AS-TEX 1

2 Definice Nechť je (, ρ metrický prostor a X je neprázdná. Průměrem množiny X nazýváme číslo dia(x = sup ρ(x, y. x, y X Je-li X =, klademe dia(x = 0. nožina X se nazývá omezená, je-li dia(x <. Definice Nechť je (, ρ metrický prostor. nožina X se nazývá nesouvislá právě tehdy, když existují podmnožiny A, B X takové, že X = A B a A B = A B =. nožina X se nazývá souvislá pravě tehdy, když není nesouvislá. Definice Vzdáleností dvou neprázdných podmnožin X a Y metrického prostoru (, ρ nazýváme číslo dist(x, Y = inf ρ(x, y. x X y Y Definice Nechť je V vektorový prostor nad tělesem R. Zobrazení ν : V R, pro které platí: (1 ν(x 0 (2 ν(x = 0 = x = 0 (3 ν(ax = a ν(x (4 ν(x + y ν(x + ν(y se nazývá norma. Vektorový prostor V, na kterém je definována norma se nazývá normovaný prostor. Jestliže chceme zdůraznit, že V je normovaný prostor s normou ν, budeme psát (V, ν. Definice Dvě normy ν 1 a ν 2 vektorového prostoru V se nazývají ekvivalentní, jestliže existují a, b R, 0 < a b, takové, že aν 1 (x ν 2 (x bν 1 (x. Definice Nechť je V vektorový prostor nad tělesem R. Pak funkci (, : V V R, která má pro každé x, y, z V a a, b R vlastnosti: (1 (ax + by, z = a(x, z + b(y, z, (2 (x, y = (y, x, (3 (x, x 0, (4 (x, x = 0 x = 0 nazýváme skalární součin. Často se značí (x, x = x 2. Definice Nechť je V vektorový prostor a x, y V. nožina všech bodů z = x+(y xt, t 0, 1 se nazývá úsečka z bodu x do bodu y. Bod x je počáteční bod a y koncový bod této úsečky. 2

3 Definice Podmnožina vektorového prostoru V se nazývá konvexní, jestliže pro každé dva body x, y leží celá úsečka z bodu x do bodu y v množině, tj. pro každé t 0, 1 je x + (y xt. Definice Podmnožina R n s metrikou generovanou normou ν p se nazývá kompaktní, jestliže je omezená a uzavřená. 3

4 Přednáška 2. Definice 2.1. Posloupností v metrickém prostoru nazýváme každé zobrazení f : N. Definice 2.2. Posloupnost x n v metrickém prostoru (, ρ se nazývá omezená právě tehdy, když je omezená množina {x n ; n N}, tj. když existuje x a K R takové, že pro každé n N je ρ(x, x n < K. Definice 2.3. Nechť je x n posloupnost a k 1 < k 2 < k n, k i N. Pak posloupnost y n = x kn nazýváme vybranou posloupností z posloupnosti x n. Definice 2.4. Nechť je x n posloupnost v metrickém prostoru (, ρ. Prvek x se nazývá limitou posloupnosti x n právě tehdy, když lim ρ(x, x n = 0, tj. když ke n každému ε > 0 existuje n 0 N takové, že pro každé n N, n > n 0 je ρ(x, x n < ε. Jestliže je x limitou posloupnosti x n, píšeme lim x n = x a říkáme, že posloupnost n x n konverguje k prvku x. Posloupnosti x n, které mají limitu se nazývají konvergentní a posloupnosti, jejichž limita neexistuje nazýváme divergentní posloupnosti. Definice 2.5. Nechť je f n (x posloupnost omezených funkcí na množině R. Řekneme, že posloupnost f n (x konverguje bodově k funkci f(x, jestliže pro každé ε > 0 a pro každé x existuje n 0 (x takové, že pro každé n > n 0 (x je fn (x f(x < ε. Bodovou konvergenci posloupnosti funkci fn (x k funkci f(x budeme značit f n (x f(x. Definice 2.6. Nechť je f n (x posloupnost omezených funkcí na množině R. Řekneme, že posloupnost f n (x konverguje stejnoměrně k funkci f(x, jestliže pro každé ε > 0 existuje n 0 N takové, že pro každé x a pro každé n > n 0 je fn (x f(x < ε. Stejnoměrnou konvergenci posloupnosti funkcí fn (x k funkci f(x budeme značit f n (x f(x. Definice 2.7. Posloupnost x n v metrickém prostoru se nazývá Cauchyovská právě tehdy, když splňuje Cauchy Bolzanovu podmínku: Ke každému ε > 0 existuje n 0 takové, že pro všechna m, n > n 0 platí nerovnost ρ(x m, x n < ε. Definice 2.8. etrický prostor (, ρ se nazývá úplný, má-li každá Cauchyovská posloupnost x n v limitu v. 4

5 Přednáška 3. Definice 3.1. Nechť f : X Y je zobrazení metrického prostoru (X, ρ do metrického prostoru (Y, σ. Nechť a je hromadný bod X. Řekneme, že A Y je limitou zobrazení f a bodě a, jestliže ke každému ε > 0 existuje δ > 0 takové, že pro každé x X, ρ(a, x < δ, x a, je σ ( A, f(x < ε. Definice 3.2. Nechť f : X Y je zobrazení metrického prostoru (X, ρ do metrického prostoru (Y, σ a X. Řekneme, že funkce f(x má v bodě a, který je hromadný bod množiny limitu A vzhledem k množině právě tehdy, když má funkce f = f v bodě a limitu A. Pak píšeme lim x a f(x = A. x Definice 3.3. Nechť je f : X R, kde X R n, je funkce n proměnných a a je hromadný bod množiny X. Řekneme, že funkce f(x má v bodě a limitu plus nekonečno, resp. limitu mínus nekonečno, jestliže ke každému K R existuje prstencové okolí P δ (a takové, že pro každé x X P δ (a je f(x > K, resp. f(x < K. Pak píšeme lim x a f(x = +, resp. lim x a f(x =. Definice 3.4. Nechť f : S je zobrazení metrického prostoru (, ρ do metrického prostoru (S, σ. Řekneme, že zobrazení f je spojité v bodě a, jestliže ke každému ε > 0 existuje δ > 0 takové, že pro každé x, pro které je ρ(a, x < δ, platí nerovnost σ ( f(a, f(x < ε. Definice 3.5. Nechť je f : S zobrazení metrického prostoru do metrického prostoru S a nechť X. Říkáme, že zobrazení f je spojité v bodě a X vzhledem k množině X, jestliže ke každému ε > 0 existuje δ > 0 takové, že pro každé x X, pro které je ρ(a, x < δ, platí nerovnost σ ( f(a, f(x < ε. Definice 3.6. Nechť je f : S zobrazení metrického prostoru (, ρ do metrického prostoru (S, σ a X. Říkáme, že zobrazení f je spojité na množině X právě tehdy, když je spojité v každém bodě množiny X. 5

6 Přednáška 4. Definice 4.1. Nechť je dána funkce f : R n R a bod a Df. Jestliže existují reálná čísla c k, k = 1, 2,, n taková, že platí n f(a + h = f(a + c 1 h 1 + c 2 h c n h n + η(a, h = f(a + c k h k + η(a, h, η(a, h a lim h 0 h = 0, nazýváme lineární funkci df(a, h = c 1 h 1 + c 2 h c n h n = k=1 n c k h k = c h proměnné h = ( h 1, h 2,, h n diferenciálem funkce f(x v bodě a. Jestliže existuje diferenciál funkce f(x v bodě a, nazývá se funkce diferencovatelná v bodě a. Funkce f(x se nazývá diferencovatelná na množině R n, je-li diferencovatelná v každém bodě množiny. Definice 4.2. Nechť je f : R n R k a a Df. Nechť existuje matice C typu (k n s prvky c ij taková, že a Pak lineární zobrazení k=1 f(a + h = f(a + Ch + η(a, h η(a, h lim h 0 h y = Ch y i = = 0. n c ij h j nazýváme diferenciálem zobrazení f(x v bodě a. Jestliže existuje diferenciál zobrazení f(x v bodě a, nazýváme toto zobrazení diferencovatelné v bodě a. Zobrazení f(x se nazývá diferencovatelné na množině R n, jestliže je diferencovatelné v každém bodě a. Definice 4.3. Nechť je f : R n R, a D f a v = ( v 1, v 2,, v n vektor v R n. Nechť je bod a hromadným bodem množiny = { x ; x = a + vt, t R } D f a F (t = f ( a + vt. Jestliže existuje derivace F (0, řekneme, že funkce f(x má v bodě a derivaci podle vektoru v rovnou F (0. Derivaci funkce f(x podle vektoru v značíme f v, f,v apod. Jestliže je v = 1, nazýváme derivaci podle vektoru v derivace ve směru v. Jestliže je vektor v jeden z jednotkových vektorů ve směru souřadnicových os, tj. v = e i, nazýváme derivaci f ei ve směru e i parciální derivací podle proměnné x i. Parciální derivace budeme značit f x i nebo f,i. j=1 6

7 Definice 4.4. Nechť má funkce f(x v bodě a diferenciál. Pak vektor grad f(a = ( f,1 (a, f,2 (a,, f,n (a nazýváme gradient funkce f(x v bodě a. Definice 4.5. Jestliže má zobrazení f(x na otevřené množině R n spojité parciální derivace, tj. všechny jeho složky f i (x, i = 1, 2,, n, mají na spojité parciální derivace, nazýváme zobrazení f(x zobrazením třídy C 1 na množině. nožina všech zobrazení třídy C 1 na množině se obvykle značí C 1 (. 7

8 Přednáška 5. Definice 5.1. Řekneme, že funkce f(x má v bodě a diferenciál druhého řádu neboli druhý diferenciál, jestliže (1 funkce f(x má diferenciál prvního řádu v jistém okolí bodu a, (2 všechny parciální derivace f,k mají v bodě a diferenciál prvního řádu. Druhý diferenciál funkce f(x v bodě a budeme značit d 2 f(a, h a platí n ( d 2 f f(a, h = (a h r h s. x r x s r,s=1 Definice 5.2. Nechť parciální derivace f (x existuje v jistém okolí bodu a. ( x i f Jestliže existuje parciální derivace (a nazýváme tento výraz druhou x k x i parciální derivací funkce f(x podle proměnných x i a x k v bodě a. Druhé parciální derivace se často značí ( f (a = 2 f (a = f,ik (a. x k x i x k x i Definice 5.3. Nechť je f(x funkce n proměnných. Jestliže existuje parciální derivace ( k 1 f k f (a = (a = f,i1 i x ik x ik 1 x ik 2 x i1 x ik x ik 1 x 2...i k 1 i k (a, i1 nazýváme tento výraz parciální derivací funkce f(x podle proměnných i 1, i 2,, i k v bodě a. Definice 5.4. Nechť je dána funkce f(x = f ( x 1, x 2,, x n. Řekneme, že funkce f(x má v bodě a diferenciál řádu k nebo diferenciál k tého řádu, jestliže (1 všechny parciální derivace funkce f(x až do řádu (k 2 včetně mají diferenciál prvního řádu v jistém okolí bodu a (2 všechny parciální derivace funkce f(x řádu (k 1 mají v bodě a diferenciál prvního řádu. Pak definujeme k tý diferenciál funkce f(x v bodě a vztahem d k f(a, h = d ( d k 1 f(x, h (a, h, kde diferenciál řádu (k 1 považujeme za funkci proměnné x. Definice 5.5. Nechť je R n otevřená množina. Jestliže má funkce f(x na množině všechny parciální derivace až do řádu k včetně spojité, říkáme, že je třídy C k (. Jestliže má funkce f(x na otevřené množině R n spojité parciální derivace všech řádů, říkáme, že je třídy C ( neboli že je hladká na. 8

9 Přednáška 6. Definice 6.1. Nechť je R n otevřená množina a f : R n. Řekneme, že zobrazení f je regulární zobrazení množiny, jestliže všechny funkce f k (x mají na spojité všechny parciální derivace prvního řádu a pro každé x je f 1 f 1 f 1 x 1 x 2 x n f 2 f 2 f 2 det x 1 x 2 x n (x = D( f 1, f 2,, f n. D ( (x 0. x 1, x 2,, x n f n f n f n x 1 x 2 x n atice f 1 f 1 f 1 x 1 x 2 x n f f 2 f 2 f 2 (x = x 1 x 2 x n (x. f n f n f n x 1 x 2 x n se nazývá Jacobiho matice a její determinant det ( f (x = D( f 1, f 2,, f n D ( (x x 1, x 2,, x n nazýváme Jacobiho determinant neboli jakobián zobrazení f. 9

10 Přednáška 7. Definice 7.1. Nechť je f : R, kde R n je funkce n proměnných, a a funkce f(x je definována na nějakém okolí bodu a. Jestliže existuje δ > 0 takové, že pro všechna x, pro která je 0 < x a < δ, platí nerovnost f(x > f(a, (1 řekneme, že funkce f(x má v bodě a ostré lokální minimum. Jestliže místo (1 platí f(x f(a, říkáme, že funkce f(x má v bodě a (neostré lokální minimum. Jestliže existuje δ > 0 takové, pro která je 0 < x a < δ, platí nerovnost f(x < f(a, (2 řekneme, že funkce f(x má v bodě a ostré lokální maximum. Jestliže místo (2 platí f(x f(a, říkáme, že funkce f(x má v bodě a (neostré lokální maximum. Společný název pro (ostrá lokální maxima a minima je (ostré lokální extrémy a pro neostrá maxima a minima neostré lokální extrémy. Definice 7.2. Nechť je f : E R, kde E R n je funkce n proměnných, E a a. Jestliže existuje δ > 0 takové, že pro všechna x, pro která je 0 < x a < δ, platí nerovnost f(x > f(a, (3 řekneme, že funkce f(x má v bodě a ostré lokální minimum vzhledem k množině. Jestliže místo (3 platí f(x f(a, říkáme, že funkce f(x má v bodě a (neostré lokální minimum vzhledem k množině. Jestliže existuje δ > 0 takové, že pro všechna x, pro která je 0 < x a < δ, platí nerovnost f(x < f(a, (4 řekneme, že funkce f(x má v bodě a ostré lokální maximum vzhledem k množině. Jestliže místo (4 platí f(x f(a, říkáme, že funkce f(x má v bodě a (neostré lokální maximum vzhledem k množině. Společný název pro (ostrá lokální maxima a minima vzhledem k množině je (ostré lokální extrémy vzhledem k množině a pro neostrá maxima a minima vzhledem k množině neostré lokální extrémy vzhledem k množině. 10

11 Přednáška 8. Definice 8.1. Nechť je I R n interval a 1, b 1 a2, b 2 an, b n. Každou množinu bodů x ij, i = 1, 2,, n, j = 0, 1, 2, N i N, kde x i0 = a i x i1 x i2 x ini = b i, nazýváme dělení intervalu I. Dělení intervalu, tj. výše uvedenou množinu bodů, budeme značit D. nožinu všech dělení intervalu I budeme značit D. Definice 8.2. Nechť je I je interval a D 1, D 2 jeho dvě dělení. Je-li každý bod dělení D 1 bodem dělení D 2, nazveme dělení D 2 zjemněním dělení D 1. Definice 8.3. Čísla s(f, resp. S(f z (12, viz přednášky, nazýváme dolní, resp. horní, Riemannův integrál funkce f(x přes interval I. Jestliže v (12 platí rovnost s(f = S(f nazýváme toto číslo (Riemannův integrál funkce f(x přes interval I a říkáme, že funkce f(x je integrovatelná na intervalu I. Pro tento integrál používáme označení f ( x 1, x 2,, x n dx1 dx 2 dx n = f(x dv, a pod. I Definice 8.4. Nechť R n je omezená množina a χ (x je tzv. charakteristická funkce množiny, která je definována předpisem { 1 pro x χ (x = 0 pro x / Protože je omezená, existuje interval I R n takový, že I. Jestliže existuje Riemannův integrál d( = χ (x dv, I říkáme, že množina je (Riemannovsky měřitelná a číslo d( se nazývá mírou (obsahem množiny. Definice 8.5. Nechť je R n je Riemannovsky měřitelná množina a f(x funkce omezená na množině. Nechť je I interval v R n takový, že I. Definujme funkci { f(x pro x f(x = 0 pro x I \ Jestliže je funkce f(x integrovatelná na intervalu I, říkáme, že funkce f(x je integrovatelná na množině a píšeme f(x dv = f ( x 1, x 2,, x n dx1 dx 2 dx n = = I f ( x 1, x 2,, x n dx1 dx 2 dx n. nožinu všech funkcí, které mají Riemannův integrál přes množinu budeme značit R(. I 11

12 Definice 8.6. Nechť je f : R, kde R n. Funkci f + (x = max ( f(x, 0, resp. f (x = max ( f(x, 0 nazýváme nezápornou, resp. nekladnou, částí funkce f(x. Definice 8.7. Jestliže je R n měřitelná množina taková, že d( = χ (x dv = 0, nazýváme množinu množinou míry nula nebo množinou nulové míry. Definice 8.8. Jestliže nějaká vlastnost V (x platí pro všechna x mimo bodů z množiny N a množina N má míru nula, budeme říkat, že vlastnost V (x platí skoro všude na množině. Tvrzení V (x platí skoro všude na budeme často psát jako: V (x platí s.v. na. 12

13 Přednáška 9. Definice 9.1. Nechť X je množina. Neprázdný systém podmnožin množiny X se nazývá množinovou algebrou, jestliže platí (1 Pro každou množinu A je X \ A. n (2 Jestliže A i, i = 1, 2,, n, pak A i. (3 Jestliže A i, i = 1, 2,, n, pak i=1 n A i. Definice 9.2. Nechť X je množina. Neprázdný systém podmnožin množiny X se nazývá množinovou σ algebrou, jestliže platí i=1 (1 Pro každou množinu A je X \ A. (2 Jestliže A i, i N, pak A i. (3 Jestliže A i, i N, pak i=1 A i. i=1 Definice 9.3. Nechť je X metrický prostor a B je nejmenší σ algebra, která obsahuje všechny otevřené podmnožiny X. nožiny ze systému B se nazývají Borelovské množiny. Definice 9.4. Každá funkce µ na množinové σ algebře množiny X, pro kterou platí (1 pro každou množinu A je 0 µ(a, (2 µ( = 0, ( (3 pro každou disjunktní posloupnost A n je µ A n = n=1 µ ( A n se nazývá míra. Pro A se nezáporné číslo µ(a nazývá míra množiny A. nožiny, které patří do σ algebry, na které je definována míra µ, se nazývají µ měřitelné. Definice 9.5. Je-li A a µ(a = 0 říkáme, že A je množina míry nula. Definice 9.6. Jestliže je každá podmnožina každé množiny míry nula měřitelná, říkáme, že míra µ je úplná. Definice 9.7. Jestliže je µ(a <, říkáme, že množina A má konečnou míru. Jestliže je míra celého prostoru X konečná, tj. jestliže je µ(x <, řekneme, že míra µ je konečná. Je-li celý prostor X sjednocením spočetné posloupnosti množin konečné míry, říkáme, že míra µ je σ konečná. n=1 13

14 Definice 9.8. Nechť je f funkce definovaná na měřitelné množině. Řekneme, že funkce f(x je měřitelná, jestliže pro každé a R je měřitelná množina f ( 1 (, a = { x ; f(x < a }. Definice 9.9. Nechť f(x je reálná funkce. Funkce f + (x = max ( f(x, 0, resp. f (x = max ( f(x, 0, se nazývají nezáporná, resp. nekladná, část funkce f(x. Definice Jednoduchou funkcí budeme nazývat každou konečnou nezápornou měřitelnou funkci, která nabývá pouze konečného počtu hodnot. Definice Nechť jednoduchá funkce f(x definovaná na měřitelné množině má tvar n f(x = a k χ k (x, k=1 kde k jsou měřitelné množiny. Integrálem jednoduché funkce f(x přes množinu při míře µ nazýváme číslo (konečné nebo nekonečné f(x dµ = n a k µ ( k. k=1 Definice Nechť je N měřitelná množina a f(x je jednoduchá funkce na. Pak definujeme f(x dµ = f(x χ N (x dµ. N Definice Nechť je f(x nezáporná měřitelná funkce definovaná na měřitelné množině. Integrálem funkce f(x přes množinu při míře µ nazýváme číslo f(x dµ = lim f n (x dµ, n kde f n (x je neklesající posloupnost jednoduchých funkcí, které konvergují k funkci f(x. Definice Nechť je f(x měřitelná funkce na měřitelné množině. Nechť f + (x a f (x jsou nezáporná a nekladná část funkce f(x. Integrálem funkce f(x přes množinu při míře µ nazýváme číslo f(x dµ = f + (x dµ f (x dµ za předpokladu, že rozdíl vpravo existuje. 14

15 Definice Říkáme, že funkce f(x je integrovatelná přes množinu (nebo, že integrál konverguje právě tehdy, když je f(x dµ konečné číslo. Definice Nechť je N měřitelná množina a f(x je měřitelná funkce definovaná na množině. Integrálem funkce f(x přes množinu N budeme rozumět integrál f(x dµ = f(x χ N (x dµ. N Definice Nechť je měřitelná množina. Řekneme, že skoro všechny body množiny mají jistou vlastnost V, má-li množina všech bodů x, které nemají vlastnost V míru rovnou nule. Definice Řekneme, že množina R n je měřitelná (nebo podrobněji měřitelná v Lebesgueově smyslu, pokud pro každou množinu Z R n platí rovnost Z + Z \ = Z. nožinu měřitelných množin budeme značit. Definice Nechť je. írou (přesněji Lebesgueovou mírou množiny nazveme číslo µ( =, kde je vnější míra množiny. 15

16 Přednáška 10. Definice Nechť je S R n. nožina S se nazývá otevřená v množině S právě tehdy, když existuje otevřená množina U R n taková, že = U S. Je-li x S, nazveme množinu V ε (x = S U ε (x, kde U ε (x R n je otevřené ε ové okolí bodu x v R n, ε ové okolí bodu x v množině S. Definice Neprázdnou množinu S R n nazýváme k rozměrnou nadplochou (v R n, jestliže pro každý bod x S existuje okolí U ε (x v S a vzájemně jednoznačné zobrazení Φ : G U ε (x, kde G R k, takové, že obě zobrazení Φ a Φ ( 1 jsou spojitá. Definice Nechť je S R n k rozměrná nadplocha. Jestliže pro každý bod x 0 S existuje okolí U ( x 0 v S zobrazení Φ : G Uε ( x0, kde G je otevřená množina v R k, takové, že (1 Φ je vzájemně jednoznačné (2 obě zobrazení Φ a Φ ( 1 jsou spojitá (3 Φ = ( ϕ 1, ϕ 2,, ϕ n je třídy Cm (G (4 hodnost matice je pro každé t G rovna k ϕ 1 ϕ 1 ϕ 1 t 1 t 2 t k ϕ W(t = 2 ϕ 2 ϕ 2 t 1 t 2 t k.. ϕ n ϕ n ϕ n t 1 t 2 t k říkáme, že S je regulární nadplocha (třídy C m. Zobrazení Φ pak nazýváme regulárním parametrickým popisem (třídy C m okolí U ( x 0. 16

17 Přednáška 11. Definice Nechť je C regulární orientovaná křivka v R n, Φ : (a, b C její parametrický popis a F (x měřitelná vektorová funkce, tj. všechny její složky jsou měřitelné funkce, na křivce C. Pak se C F (x ds = b a F ( Φ(t Φ (t dt nazývá křivkový integrál druhého druhu funkce F (x přes křivku C. Definice Nechť je S regulární 2 rozměrná orientovaná plocha v R 3 s orientací danou spojitým vektorovým polem n 0, Φ : G S její parametrizace a F (x vektorové pole definované na ploše S. Plošný integrál druhého druhu nazýváme výraz ( F ds = F Φ n du dv, S kde n = ± ( Φ u Φ v, kde znaménko ± se volí tak, aby n = cn0, kde c > 0. G 17

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

10 Funkce více proměnných

10 Funkce více proměnných M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y

Více

Úvod základy teorie zobrazení

Úvod základy teorie zobrazení Úvod základy teorie zobrazení V přednášce se budeme zabývat diferenciálním a integrálním počtem funkcí více proměnných. Přednáška navazuje na přednášku atematická analýza 1 z prvního semestru. Proto se

Více

Home. Obsah. Strana 1 MATEMATIKA. Fullscreen PRO LETECKÉ. Tisk OBORY II. Konec

Home. Obsah. Strana 1 MATEMATIKA. Fullscreen PRO LETECKÉ. Tisk OBORY II. Konec Kurzy celoživotního vzdělávání Fakulta dopravní ČVUT MATEMATIKA Strana 1 PRO LETECKÉ OBORY II PŘEHLED LÁTKY 1 Metrické a normované prostory 2 Posloupnosti v metrických prostorech 3 Reálné funkce více reálných

Více

TEORIE MÍRY V některých předchozích kapitolách jste se setkali s měřením velikostí množin a víte, jaké byly těžkosti s měřením množin i na reálné ose.

TEORIE MÍRY V některých předchozích kapitolách jste se setkali s měřením velikostí množin a víte, jaké byly těžkosti s měřením množin i na reálné ose. TEORIE MÍRY V některých předchozích kapitolách jste se setkali s měřením velikostí množin a víte, jaké byly těžkosti s měřením množin i na reálné ose. Kvůli těmto těžkostem se měření zúžilo jen na délku

Více

Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení.

Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Předmět: MA4 Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Literatura: Kapitola 2 a)-c) a kapitola 4 a)-c) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT,

Více

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému

Více

Projekty - Úvod do funkcionální analýzy

Projekty - Úvod do funkcionální analýzy Projekty - Úvod do funkcionální analýzy Projekt č. 1. Nechť a, b R, a < b. Dokažte, že prostor C( a, b ) = f : R R: f je spojitá na D(f) = a, b s metrikou je úplný. ρ(f, g) = max f(x) g(x) x a,b Projekt

Více

Drsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál

Drsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál Drsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 16. 9. 2008 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Funkce a

Více

Matematika 5 FSV UK, ZS Miroslav Zelený

Matematika 5 FSV UK, ZS Miroslav Zelený Matematika 5 FSV UK, ZS 2018-19 Miroslav Zelený 1. Stabilita řešení soustav diferenciálních rovnic 2. Úvod do variačního počtu 3. Globální extrémy 4. Teorie optimálního řízení 5. Různé 1. Stabilita řešení

Více

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:

Více

1 Množiny, výroky a číselné obory

1 Množiny, výroky a číselné obory 1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou

Více

Přednáška 6, 6. listopadu 2013

Přednáška 6, 6. listopadu 2013 Přednáška 6, 6. listopadu 2013 Kapitola 2. Posloupnosti a řady funkcí. V dalším jsou f, f n : M R, n = 1, 2,..., reálné funkce jedné reálné proměnné definované na (neprázdné) množině M R. Co to znamená,

Více

Primitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program

Primitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Taylorův polynom Program Primitivní

Více

1 Posloupnosti a řady.

1 Posloupnosti a řady. 1 Posloupnosti a řady. 1.1 Posloupnosti reálných čísel. Definice 1.1: Posloupností reálných čísel nazýváme zobrazení f množiny N všech přirozených čísel do množiny R všech reálných čísel. Pokud nemůže

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení

Více

Matematika pro informatiky

Matematika pro informatiky (FIT ČVUT v Praze) Konvexní analýza 13.týden 1 / 1 Matematika pro informatiky Jaroslav Milota Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze Letní semestr 2010/11 Extrémy funkce

Více

Úvodní informace. 17. února 2018

Úvodní informace. 17. února 2018 Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní

Více

Matematika V. Dynamická optimalizace

Matematika V. Dynamická optimalizace Matematika V. Dynamická optimalizace Obsah Kapitola 1. Variační počet 1.1. Derivace funkcí na vektorových prostorech...str. 3 1.2. Derivace integrálu...str. 5 1.3. Formulace základní úlohy P1 var. počtu,

Více

9. Vícerozměrná integrace

9. Vícerozměrná integrace 9. Vícerozměrná integrace Aplikovaná matematika II, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2016/17 9.1 Elementy teorie míry Poznámka Na R n definujeme systém tzv. měřitelných množin, M n, který má následující

Více

9. Vícerozměrná integrace

9. Vícerozměrná integrace 9. Vícerozměrná integrace Tomáš Salač Ú UK, FF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 1 / 29 9.1 Elementy teorie míry Poznámka Na R n definujeme systém tzv. měřitelných

Více

1 Topologie roviny a prostoru

1 Topologie roviny a prostoru 1 Topologie roviny a prostoru 1.1 Základní pojmy množin Intervaly a okolí Intervaly v rovině nebo prostoru jsou obdélníky nebo hranoly se stranami rovnoběžnými s osami souřadnic. Podmnožiny intervalů se

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 3. Metrické prostory

Texty k přednáškám z MMAN3: 3. Metrické prostory Texty k přednáškám z MMAN3: 3. Metrické prostory 3. července 2012 1 Metrika na množině, metrický prostor Pojem vzdálenosti dvou reálných (komplexních) čísel, nebo bodů v rovině či prostoru je známý ze

Více

17. Posloupnosti a řady funkcí

17. Posloupnosti a řady funkcí 17. Posloupnosti a řady funkcí Aplikovaná matematika III, NMAF073 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2011/12 17.1 Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí Definice Necht M je množina, f, f n : M R m, m, n N.

Více

1/15. Kapitola 2: Reálné funkce více proměnných

1/15. Kapitola 2: Reálné funkce více proměnných 1/15 Kapitola 2: Reálné funkce více proměnných Vlastnosti bodových množin 2/15 Definice: ε-ové okolí... O ε (X) = {Y R n ρ(x, Y ) < ε} prstencové ε-ové okolí... P ε (X) = {Y R n 0 < ρ(x, Y ) < ε} Definice:

Více

PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU

PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU 6.1 Křivkový integrál 1. druhu Definice 1. Množina R n se nazývá prostá regulární křivka v R n právě tehdy, když existuje vzájemně jednoznačné zobrazení

Více

terminologie předchozí kapitoly: (ϕ, Ω) - plocha, S - geometrický obraz plochy

terminologie předchozí kapitoly: (ϕ, Ω) - plocha, S - geometrický obraz plochy 2. Plošný integrál. Poznámka. Obecně: integrování přes k-rozměrné útvary (k-plochy) v R n. Omezíme se na případ k = 2, n = 3. Definice. Množina S R 3 se nazve plocha, pokud S = ϕ(), kde R 2 je otevřená

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných študenti MFF 15. augusta 2008 1 5 Základy teorie funkcí více proměnných Požadavky Parciální derivace a totální

Více

Matematická analýza 4

Matematická analýza 4 Matematická analýza 4 LS 2015-16 Miroslav Zelený 18. Metrické prostory III 19. Křivkový a plošný integrál 20. Absolutně spoj. fce a fce s konečnou variací 21. Fourierovy řady 18. Metrické prostory III

Více

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1 9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom

Více

Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost. May 26, 2018

Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost. May 26, 2018 Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost May 26, 2018 Definice (Okolí bodu) Okolím bodu a R (také ε- okolím) rozumíme množinu U(a, ε) = {x R; x a < ε} = (a ε, a + ε), bod a se nazývá střed okolí a

Více

Lebesgue Manuál. Josef Hekrdla 1. prosince (Vzniklo pro potřeby předmětu Matematická teorie signálů ) 1 Objem intervalu. 3

Lebesgue Manuál. Josef Hekrdla 1. prosince (Vzniklo pro potřeby předmětu Matematická teorie signálů ) 1 Objem intervalu. 3 Lebesgue Manuál Josef Hekrdla 1. prosince 2011 (Vzniklo pro potřeby předmětu Matematická teorie signálů Obsah I Měřitelné množiny v R p Lebesgueova míra 3 1 Objem intervalu. 3 2 Objem otevřené množiny.

Více

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně 7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností

Více

DEFINICE,VĚTYADŮKAZYKÚSTNÍZKOUŠCEZMAT.ANALÝZY Ib

DEFINICE,VĚTYADŮKAZYKÚSTNÍZKOUŠCEZMAT.ANALÝZY Ib INFORMACE O PRŮBĚHU A POŽADAVKY KE ZKOUŠCE Z MAT. ANALÝZYIbVLS2010/11 Ke zkoušce mohou přistoupit studenti, kteří získali zápočet. Do indexu jej zapíši na zkoušce, pokud cvičící potvrdí, že na něj student

Více

IX. Vyšetřování průběhu funkce

IX. Vyšetřování průběhu funkce IX. Vyšetřování průběhu funkce Úvodní poznámky: Cíl: vyšetřit průběh dané funkce f. Zahrnuje: základní vlastnosti: D(f), spojitost, limity v krajních bodech, průsečíky s osami souřadnic, intervaly, kde

Více

K oddílu I.1 základní pojmy, normy, normované prostory

K oddílu I.1 základní pojmy, normy, normované prostory ÚVOD DO FUNKCIONÁLNÍ ANALÝZY PŘÍKLADY PRO POROZUMĚNÍ LÁTCE ZS 2015/2016 PŘÍKLADY KE KAPITOLE I K oddílu I1 základní pojmy, normy, normované prostory Příklad 1 Necht X je reálný vektorový prostor a : X

Více

Aplikovaná matematika I, NMAF071

Aplikovaná matematika I, NMAF071 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. 1: Úvod, čísla, zobrazení, posloupnosti 1 Aplikovaná matematika I, NMAF071 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2013/14 Sylabus = obsah (plán) přednášky [a orientační

Více

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

Kapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R...

Kapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R... Kapitola 1 Úvod 1.1 Značení N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Z... celá čísla ( 3, 2, 1, 0, 1, 2,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) q R... reálná čísla C... komplexní čísla 1.2 Výroky -

Více

2. přednáška 8. října 2007

2. přednáška 8. října 2007 2. přednáška 8. října 2007 Konvergence v metrických prostorech. Posloupnost bodů (a n ) M v metrickém prostoru (M, d) konverguje (je konvergentní), když v M existuje takový bod a, že lim n d(a n, a) =

Více

OBECNOSTI KONVERGENCE V R N

OBECNOSTI KONVERGENCE V R N FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH V reálných situacích závisejí děje obvykle na více proměnných než jen na jedné (např. na teplotě i na tlaku), závislost na jedné proměnné je spíše výjimkou. OBECNOSTI Reálná funkce

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA A FUNKCE MNOŽINA KOMPLEXNÍCH ČÍSEL C. Alternativní popis komplexních čísel

KOMPLEXNÍ ČÍSLA A FUNKCE MNOŽINA KOMPLEXNÍCH ČÍSEL C. Alternativní popis komplexních čísel KOMPLEXNÍ ČÍSLA A FUNKCE V předchozích částech byl důraz kladen na reálná čísla a na reálné funkce. Pokud se komplexní čísla vyskytovala, bylo to z hlediska kartézského součinu dvou reálných přímek, např.

Více

I. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou

I. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou Typy příkladů pro I. část písemky ke zkoušce z MA II I. Diferenciální rovnice. 1. Určete obecné řešení rovnice y = y sin x.. Určete řešení rovnice y = y x splňující počáteční podmínku y(1) = 0. 3. Rovnici

Více

1. Posloupnosti čísel

1. Posloupnosti čísel 1. Posloupnosti čísel 1.1. Posloupnosti a operace s nimi Definice 1.1 Posloupnost reálných čísel ( = reálná posloupnost ) je zobrazení, jehož definičním oborem je množina N a oborem hodnot je nějaká podmnožina

Více

Funkce v ıce promˇ enn ych Extr emy Pˇredn aˇska p at a 12.bˇrezna 2018

Funkce v ıce promˇ enn ych Extr emy Pˇredn aˇska p at a 12.bˇrezna 2018 Funkce více proměnných Extrémy Přednáška pátá 12.března 2018 Zdroje informací Diferenciální počet http://homen.vsb.cz/~kre40/esfmat2/fceviceprom.html http://www.studopory.vsb.cz/studijnimaterialy/sbirka_uloh/pdf/7.pdf

Více

Míra a měřitelné funkce. 1.1 Měřitelné množiny. 1.2 Míra a vnější míra

Míra a měřitelné funkce. 1.1 Měřitelné množiny. 1.2 Míra a vnější míra KAPITOLA 1: Míra a měřitelné funkce P(X) = {A A X} potenční možina množiny X 1.1 Měřitelné množiny dále předpokládáme X Systém S podmnožin množiny X se nazývá algebra, jestliže (A1) S, (A2) (A3) A S X\A

Více

12. Funkce více proměnných

12. Funkce více proměnných 12. Funkce více proměnných 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál Definice Necht f je reálná funkce n proměnných, a 2 R n a 1 i n. 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál Definice Necht f

Více

Derivace a monotónnost funkce

Derivace a monotónnost funkce Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkci f (x), která má na intervalu I derivaci f (x). Pak platí: je-li f (x) > 0 x I, funkce f je na intervalu I rostoucí. je-li f (x) < 0 x I, funkce f je

Více

15 Maticový a vektorový počet II

15 Maticový a vektorový počet II M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 1 15 Maticový a vektorový počet II 15.1 Úvod Opakování z 1. ročníku (z kapitoly 8) Označení. Množinu všech reálných resp.

Více

Uzavřené a otevřené množiny

Uzavřené a otevřené množiny Teorie: Uzavřené a otevřené množiny 2. cvičení DEFINICE Nechť M R n. Bod x M nazveme vnitřním bodem množiny M, pokud existuje r > 0 tak, že B(x, r) M. Množinu všech vnitřních bodů značíme Int M. Dále,

Více

6. přednáška 5. listopadu 2007

6. přednáška 5. listopadu 2007 6. přednáška 5. listopadu 2007 Souvislost diferenciálu a parciálních derivací. Diferenciál implikuje parciální derivace a spojité parciální derivace implikují diferenciál. Tvrzení 2.3. Když je funkce f

Více

Drsná matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: Inverzní a implicitně definovaná zobrazení, vázané extrémy

Drsná matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: Inverzní a implicitně definovaná zobrazení, vázané extrémy Drsná matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: Inverzní a implicitně definovaná zobrazení, vázané extrémy Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 10. 2011 Obsah přednášky 1 Literatura

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

Matematická analýza 1

Matematická analýza 1 Matematická analýza 1 ZS 2019-20 Miroslav Zelený 1. Logika, množiny a základní číselné obory 2. Limita posloupnosti 3. Limita a spojitost funkce 4. Elementární funkce 5. Derivace 6. Taylorův polynom Návod

Více

i=1 λ ix i,λ i T,x i M}.Množinuvektorů

i=1 λ ix i,λ i T,x i M}.Množinuvektorů Velké prostory Anička Doležalová Abstrakt. Budeme si hrát s vektorovými prostory, které mají nekonečnou dimenzi. Cílemjesijetrochuosahatazískatzákladníintuici.Ktomunámposloužíhlavně prostory posloupností.

Více

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f Výklad Globální extrémy mají stejný význam jako u funkcí jedné proměnné. Hledáme je bud na celém definičním oboru dané funkce, nebo na předem zadané podmnožině definičního oboru. Definice 6..1. Řekneme,

Více

Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura

Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť

Více

Derivace funkcí více proměnných

Derivace funkcí více proměnných Derivace funkcí více proměnných Pro studenty FP TUL Martina Šimůnková 16. května 019 1. Derivace podle vektoru jako funkce vektoru. Pro pevně zvolenou funkci f : R d R n a bod a R d budeme zkoumat zobrazení,

Více

VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál VIII. Primitivní funkce Riemnnův integrál VIII.2. Riemnnův integrál opkování Vět. Nechť f je spojitá funkce n intervlu, b nechť c, b. Oznčíme-li F (x) = x (, b), pk F (x) = f(x) pro kždé x (, b). VIII.3.

Více

verze 1.3 kde ρ(, ) je vzdálenost dvou bodů v R r. Redukovaným ε-ovým okolím nazveme ε-ové okolí bodu x 0 mimo tohoto bodu, tedy množinu

verze 1.3 kde ρ(, ) je vzdálenost dvou bodů v R r. Redukovaným ε-ovým okolím nazveme ε-ové okolí bodu x 0 mimo tohoto bodu, tedy množinu Úvod Diferenciální počet více proměnných verze.3 Následující text popisuje základy diferenciálního počtu více proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT na Univerzitě Hradec Králové

Více

Důkaz Heineho Borelovy věty. Bez újmy na obecnosti vezmeme celý prostor A = M (proč? úloha 1). Implikace. Nechť je (M, d) kompaktní a nechť.

Důkaz Heineho Borelovy věty. Bez újmy na obecnosti vezmeme celý prostor A = M (proč? úloha 1). Implikace. Nechť je (M, d) kompaktní a nechť. Přednáška 3, 19. října 2015 Důkaz Heineho Borelovy věty. Bez újmy na obecnosti vezmeme celý prostor A = M (proč? úloha 1). Implikace. Nechť je (M, d) kompaktní a nechť X i = M i I je jeho pokrytí otevřenými

Více

PLOŠNÝ A KŘIVKOVÝ INTEGRÁL

PLOŠNÝ A KŘIVKOVÝ INTEGRÁL PLOŠNÝ A KŘIVKOVÝ INTERÁL JAN MALÝ Obsah 1. Plochy a křivky 1 2. Křivkový a plošný integrál prvého druhu 1 3. Křivkový integrál druhého druhu 3 4. Elementy teorie pole 4 5. Plošný integrál kodimenze 1

Více

Dodatek 2: Funkce dvou proměnných 1/9

Dodatek 2: Funkce dvou proměnných 1/9 Dodatek 2: Funkce dvou proměnných 1/9 2/9 Funkce dvou proměnných Definice: Reálnou funkcí dvou reálných proměnných, definovanou na množině M R 2, rozumíme předpis f, který každé uspořádané dvojici reálných

Více

Záznam o ústní zkoušce z předmětu 01MAB4 (akademický školní rok 2017/2018) Příjmení a jméno studenta Finální hodnocení Datum ústní zkoušky

Záznam o ústní zkoušce z předmětu 01MAB4 (akademický školní rok 2017/2018) Příjmení a jméno studenta Finální hodnocení Datum ústní zkoušky hladká funkce na oblasti G E r 1. matematickým zápisem vystihněte geometrickou interpretaci abstraktního Lebesgueova integrálu Kam míří gradf( a)? Své tvrzení podpořte výpočtem. Jaký je rozdíl mezi symboly

Více

Téma 22. Ondřej Nývlt

Téma 22. Ondřej Nývlt Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené

Více

Metrické prostory a kompaktnost

Metrické prostory a kompaktnost Metrické prostory a kompaktnost David Hruška Abstrakt. Příspěvek shrnuje vybrané základní poznatky o metrických prostorech. Jeho závěrečná část je věnována kompaktnosti a jejím aplikacím. V reálném světě,

Více

III. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce. a = (x 0, y 0 ), h = (h 1, h 2 ).

III. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce. a = (x 0, y 0 ), h = (h 1, h 2 ). III. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce = f(x 0 + h 1, y 0 + h 2 ) f(x 0, y 0 ) f u (x 0, y 0 ), kde u = (h 1, h 2 ). ( ) = f(x 0 + h 1, y 0 ) f(x 0, y 0 ) x (x 0,

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

LIMITA A SPOJITOST FUNKCE

LIMITA A SPOJITOST FUNKCE PŘEDNÁŠKA 5 LIMITA A SPOJITOST FUNKCE 5.1 Spojitost funkce 2 Řekneme, že funkce f(x) je spojitá v bodě a D f, jestliže ke každému ε > 0 existuje δ > 0 takové, že pro každé x (a δ, a + δ) D f platí nerovnost:

Více

To je samozřejmě základní pojem konvergence, ale v mnoha případech je příliš obecný a nestačí na dokazování některých užitečných tvrzení.

To je samozřejmě základní pojem konvergence, ale v mnoha případech je příliš obecný a nestačí na dokazování některých užitečných tvrzení. STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Zatím nebylo v těchto textech věnováno příliš pozornosti konvergenci funkcí, at jako limita posloupnosti nebo součet řady. Jinak byla posloupnosti funkcí nebo řady brána jako. To

Více

p 2 q , tj. 2q 2 = p 2. Tedy p 2 je sudé číslo, což ale znamená, že

p 2 q , tj. 2q 2 = p 2. Tedy p 2 je sudé číslo, což ale znamená, že KAPITOLA 1: Reálná čísla [MA1-18:P1.1] 1.1. Číselné množiny Přirozená čísla... N = {1,, 3,...} nula... 0, N 0 = {0, 1,, 3,...} = N {0} Celá čísla... Z = {0, 1, 1,,, 3,...} Racionální čísla... { p } Q =

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 22. 2. 2016 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

22 Základní vlastnosti distribucí

22 Základní vlastnosti distribucí M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 22: Základní vlastnosti distribucí 5 22 Základní vlastnosti distribucí 22.1 Temperované distribuce Definice. O funkci ϕ C (R m ) řekneme, že je rychle klesající

Více

7. Integrál přes n-rozměrný interval

7. Integrál přes n-rozměrný interval 7. Integrál přes n-rozměrný interval Studijní text 7. Integrál přes n-rozměrný interval Definice 7.1. Buď A = a 1, b 1 a n, b n R n n-rozměrný uzavřený interval a f : R n R funkce ohraničená na A Df. Definujme

Více

Riemannův určitý integrál

Riemannův určitý integrál Riemannův určitý integrál 1. Motivační příklad Příklad (Motivační příklad pro zavedení Riemannova integrálu). Nechť,. Vypočtěme obsah vybarvené oblasti ohraničené grafem funkce, osou a svislými přímkami

Více

LEKCE10-RAD Otázky

LEKCE10-RAD Otázky Řady -ekv ne ŘADY ČÍSEL 1. limita posloupnosti (operace založená na vzdálenosti bodů) 2. supremum nebo infimum posloupnosti (operace založená na uspořádání bodů). Z hlavních struktur reálných čísel zbývá

Více

Průvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat

Průvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat 6. Extrémy funkcí více proměnných Průvodce studiem Hledání extrémů je v praxi často řešená úloha. Např. při cestě z bodu A do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat

Více

Kristýna Kuncová. Matematika B3

Kristýna Kuncová. Matematika B3 (5) Funkce více proměnných II Kristýna Kuncová Matematika B3 Kristýna Kuncová (5) Funkce více proměnných II 1 / 20 Parciální derivace - příklad Otázka Tabulka vpravo znázorňuje hodnoty funkce f (x, y).

Více

ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ

ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ OBECNÉ VLASTNOSTI Řady komplexních čísel z n byly částečně probírány v kapitole o číselných řadách. Definice říká, že n=0 z n = z, jestliže z je limita částečných součtů řady z

Více

Diferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program

Diferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program Program Diferenční rovnice Program Diferenční rovnice Diferenciální rovnice Program Frisch a Samuelson: Systém je dynamický, jestliže jeho chování v čase je určeno funkcionální rovnicí, jejíž neznámé závisí

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 2. 3. 2018 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 28. 2. 2017 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

Drsná matematika III 2. přednáška Funkce více proměnných: Aproximace vyšších rádů, Taylorova věta, inverzní zobrazení

Drsná matematika III 2. přednáška Funkce více proměnných: Aproximace vyšších rádů, Taylorova věta, inverzní zobrazení Drsná matematika III. přednáška Funkce více proměnných: Aproximace vyšších rádů, Taylorova věta, inverzní zobrazení Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 9. 6 Obsah přednášky Literatura Derivace

Více

18 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy

18 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 18: Fourierovy řady 7 18 Fourierovy řady 18.1 Úvod, základní pojmy Otázka J. Fouriera: Lze každou periodickou funkci napsat jako součet nějakých "elementárních"

Více

Matematika 4 FSV UK, LS Miroslav Zelený

Matematika 4 FSV UK, LS Miroslav Zelený Matematika 4 FSV UK, LS 2017-18 Miroslav Zelený 13. Diferenční rovnice 14. Diferenciální rovnice se separovanými prom. 15. Lineární diferenciální rovnice prvního řádu 16. Lineární diferenciální rovnice

Více

Posloupnosti a jejich konvergence

Posloupnosti a jejich konvergence a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace, integrály.

Více

Spojitost a limita funkce

Spojitost a limita funkce Spojitost a ita funkce Okolí bodu Značení: a R ε > 0 označujeme O ε (a) = (a ε, a + ε) ε-ové okolí bodu a O + ε (a) = a, a + ε) pravé okolí, O ε (a) = (a ε, a levé okolí P ε (a) = O ε (a) \ {a} x a ε-ové

Více

Otázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady

Otázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady Otázky k ústní zkoušce, přehled témat 2003-2004 A Číselné řady Vysvětlete pojmy částečný součet řady, součet řady, řadonverguje, řada je konvergentní Formulujte nutnou podmínku konvergence řady a odvoďte

Více

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé

Více

Definiční obor funkce více proměnných, vrstevnice apod.

Definiční obor funkce více proměnných, vrstevnice apod. vičení 1 Definiční obor funkce více proměnných, vrstevnice apod. 1. Najděte definiční obor funkce fx, y = x y + y x. Řešení: D f = { x y a y x }, což je konvexní množina omezená křivkami x = y a y = x.

Více

Lineární algebra : Metrická geometrie

Lineární algebra : Metrická geometrie Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních

Více

MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy

MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy 1 Matematika I. I. Lineární algebra II. Základy matematické analýzy III. Diferenciální počet IV. Integrální počet 2 Matematika

Více

VEKTOROVÁ POLE Otázky

VEKTOROVÁ POLE Otázky VEKTOROVÁ POLE VEKTOROVÁ POLE Je-li A podmnožina roviny a f je zobrazení A do R 2, které je dáno souřadnicemi f 1, f 2, tj., f(x, y) = (f 1 (x, y), f 2 (x, y)) pro (x, y) A, lze chápat dvojici (f 1 (x,

Více

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015 Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární

Více

1. Matematická analýza definice (MP leden 2010)

1. Matematická analýza definice (MP leden 2010) 1. Matematická analýza definice (MP leden 2010) Základní pojmy a definice 1. Definujte metrický prostor, otevřené a uzavřené množiny, hraniční bod množiny. Metrickýprostor jedvojice(m, d),kde M jemnožinabodů

Více

4 Integrální počet funkcí více reálných proměnných

4 Integrální počet funkcí více reálných proměnných Dvojné integrály - 61-4 ntegrální počet funkcí více reálných proměnných 4.1 Dvojné a dvojnásobné integrály Dvojné a dvojnásobné integrály na intervalech z Pod uzavřeným intervalem z rozumíme kartézský

Více

12. Křivkové integrály

12. Křivkové integrály 12 Křivkové integrály Definice 121 Jednoduchou po částech hladkou křivkou v prostoru R n rozumíme množinu bodů [x 1,, x n ], které jsou dány parametrickými rovnicemi x 1 = ϕ 1 t), x 2 = ϕ 2 t), x n = ϕ

Více

Dnešní látka Opakování: normy vektorů a matic, podmíněnost matic Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda

Dnešní látka Opakování: normy vektorů a matic, podmíněnost matic Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda Předmět: MA 4 Dnešní látka Opakování: normy vektorů a matic, podmíněnost matic Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda Četba: Text o lineární algebře v Příručce přežití na webových

Více

Úvod do funkcionální analýzy

Úvod do funkcionální analýzy Úvod do funkcionální analýzy Ladislav Lukšan Ústav informatiky AV ČR, Pod vodárenskou věží 2, 182 07 Praha 8 Technická universita v Liberci, Hálkova 6, 461 17 Liberec Tento text byl použit jako podklad

Více