VI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku

Transkript

1 VI Maticový počet VI1 Základní operace s maticemi Definice Tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn kde a ij R, i = 1,, m, j = 1,, n, nazýváme maticí typu m n Zkráceně zapisujeme (a ij i=1m j=1n Matici typu n n nazýváme čtvercovou maticí řádu n Množinu všech matic typu m n značíme M(m n Definice Necht a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = a m1 a m2 a mn O n-tici čísel (a i1, a i2,, a in, kde i {1, 2,, m}, mluvíme jako o i-tém řádku matice A O m-tici čísel ( a1j a 2j a mj, kde j {1, 2,, n}, mluvíme jako o j-tém sloupci matice A Definice Řekneme, že dvě matice se rovnají, pokud jsou stejného typu a všechny odpovídající prvky se rovnají, tj pokud A = (a ij i=1m a B = (b uv u=1r, pak A = B právě když m = r, n = s a a ij = b ij i {1,, m}, j {1,, n} j=1n v=1s Definice Necht A, B M(m n, A = (a ij i=1m, B = (b ij i=1m, λ R Pak součtem matic A a B rozumíme matici j=1n j=1n a 11 + b 11 a 12 + b 12 a 1n + b 1n a 21 + b 21 a 22 + b 22 a 2n + b 2n A + B = a m1 + b m1 a m2 + b m1 a mn + b mn Součinem reálného čísla λ a matice A (též λ-násobkem matice A rozumíme matici λa 11 λa 12 λa 1n λa 21 λa 22 λa 2n λa = λa m1 λa m2 λa mn Tvrzení 33 (O sčítání matic a násobení číslem Platí: A, B, C M(m n: A + (B + C = (A + B + C, A, B M(m n: A + B = B + A,!O M(m n A M(m n: A + O = A, A M(m n C A M(m n: A + C A = O, (asociativita (komutativita (existence nulového prvku (existence opačného prvku A M(m n λ, µ R: (λµa = λ(µa, A M(m n: 1 A = A, A M(m n λ, µ R: (λ + µa = λa + µa, A, B M(m n λ R: λ(a + B = λa + λb Poznámka Matici O z předešlého tvrzení říkáme nulová matice a všechny její prvky jsou nulové 1

2 Matice C A z předešlého tvrzení se nazývá matice opačná k A Je určena jednoznačně, značíme ji A a platí A = ( a ij i=1m a A = 1 A j=1n Definice Necht A M(m n, A = (a is i=1m, B M(n k, B = (b sj s=1n Pak součinem matic A a B rozumíme s=1n j=1k matici AB M(m k, AB = (c ij i=1m, kde j=1k c ij = n a is b sj Věta 34 (vlastnosti maticového násobení Necht m, n, k, l N Pak platí: s=1 (i A M(m n B M(n k C M(k l: A(BC = (ABC, (ii A M(m n B, C M(n k: A(B + C = AB + AC, (iii A, B M(m n C M(n k: (A + BC = AC + BC, (asociativita násobení (distributivita zleva (distributivita zprava (iv!i M(n n A M(n n: IA = AI = A (existence a jednoznačnost jednotkové matice I Poznámka Pozor! Maticové násobení není komutativní Definice Transponovanou maticí k matici a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A = a m1 a m2 a m3 a mn rozumíme matici a 11 a 21 a m1 a 12 a 22 a m2 A T = a 13 a 23 a m3, a 1n a 2n a mn tj pokud A = (a ij i=1m j=1n, pak AT = (b uv u=1n v=1m, kde b uv = a vu pro každé u {1,, n}, v {1, 2,, m} Věta 35 (vlastnosti transponovaných matic Platí: (i A M(m n: ( A T T = A, (ii A, B M(m n: (A + B T = A T + B T, (iii A M(m n B M(n k: (AB T = B T A T VI2 Regulární matice Definice Necht A M(n n Řekneme, že A je regulární matice, pokud existuje B M(n n taková, že AB = BA = I Definice Řekneme, že matice B M(n n je inverzní maticí k matici A M(n n, jestliže AB = BA = I Poznámka Matice A M(n n je regulární, právě když k ní existuje inverzní matice Poznámka Necht A M(n n je regulární Pak k ní existuje právě jedna inverzní matice Značíme ji A 1 Pokud pro matice A, B M(n n platí AB = I, pak také BA = I Věta 36 (regularita a maticové operace Necht A, B M(n n jsou regulární matice Pak platí: (i A 1 je regulární matice a ( A 1 1 = A, 2

3 (ii A T je regulární matice a ( A T 1 = ( A 1 T, (iii AB je regulární matice a (AB 1 = B 1 A 1 Definice Necht k, n N a v 1,, v k R n Řekneme, že vektor u R n je lineární kombinací vektorů v 1,, v k s koeficienty λ 1,, λ k R, jestliže u = λ 1 v λ k v k V tomto případě také říkáme, že lineární kombinace vektorů v 1,, v k s koeficienty λ 1,, λ k je rovna u Pokud λ 1 = = λ k =, pak mluvíme o triviální lineární kombinaci vektorů v 1,, v k ; je-li některý koeficient nenulový, pak mluvíme o netriviální lineární kombinaci Definice Řekneme, že vektory v 1,, v k R n jsou lineárně závislé, pokud existuje jejich netriviální lineární kombinace, která je rovna nulovému vektoru Řekneme, že vektory v 1,, v k R n jsou lineárně nezávislé, pokud nejsou lineárně závislé, tj pokud platí: kdykoli λ 1,, λ k R jsou taková, že λ 1 v λ k v k = o, pak λ 1 = λ 2 = = λ k = (Mezi všemi lineárními kombinacemi vektorů v 1,, v k je rovna nulovému vektoru jenom triviální lineární kombinace Poznámka Vektory v 1,, v k jsou lineárně závislé, právě když jeden z nich lze vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních Definice Necht A M(m n Hodností matice A rozumíme maximální počet lineárně nezávislých řádků, tj hodnost je rovna k N, jestliže (i existuje k lineárně nezávislých řádkových vektorů matice A a (ii každá l-tice řádkových vektorů matice A, kde l > k, je lineárně závislá Hodnost nulové matice je rovna nule Hodnost matice A značíme h(a Definice Řekneme, že matice A M(m n je schodovitá, jestliže pro každé i {2,, m} platí, že i-tý řádek matice A je nulový nebo začíná větším počtem nul než (i 1-ní řádek Poznámka Hodnost schodovité matice je rovna počtu jejích nenulových řádků Definice Elementárními řádkovými úpravami matice A rozumíme: (i záměnu dvou řádků, (ii vynásobení řádku nenulovým číslem, (iii přičtení násobku jednoho řádku k jinému řádku Definice Transformací budeme rozumět konečnou posloupnost řádkových elementárních úprav Jestliže matice B M(m n vznikla z matice A M(m n aplikací transformace T na matici A, pak tento fakt značíme takto: A T B Věta 37 (vlastnosti transformace (i Necht A M(m n Pak existuje transformace převádějící matici A na schodovitou matici (ii Necht T 1 je transformace aplikovatelná na matice typu m n Pak existuje transformace T 2 aplikovatelná na matice typu m n taková, že pro každé dvě matice A, B M(m n platí A T1 B, právě když B T2 A (iii Necht A, B M(m n a matice B vznikne z matice A pomocí nějaké transformace Pak h(a = h(b Poznámka Podobně jako jsme definovali elementární řádkové úpravy matic, můžeme definovat i elementární sloupcové úpravy matic Lze ukázat, že elementární sloupcové úpravy nemění hodnost matice Poznámka Lze ukázat, že pro matici A M(m n platí h(a = h(a T Věta 38 (součin matic a transformace Necht A M(m k, B M(k n, C M(m n a platí AB = C Necht T je transformace a A T A a C T C Pak platí A B = C Lemma 39 (o převodu na jednotkovou matici Necht A M(n n a h(a = n Pak existuje transformace, která převádí A na I Věta 4 (regularita a hodnost matice Necht A M(n n Pak A je regulární, právě když h(a = n 3

4 VI3 Determinanty Definice Necht A M(n n Symbolem A ij označíme matici typu (n 1 (n 1, která vznikne z A vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce Definice Necht A = (a ij i,j=1n Determinant matice A definujeme takto: det A = { a 11 pokud n = 1, n i=1 ( 1i+1 a i1 det A i1 pokud n > 1 Pro det A budeme také používat symbol a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn Věta 41 (determinant a soucet matic Necht j, n N, j n a matice A, B, C M(n n se shodují ve všech řádcích vyjma j-tého Necht j-tý řádek matice A je roven součtu j-tého řádku matice B a j-tého řádku matice C Pak platí det A = det B + det C a 11 a 1n a j 1,1 a j 1,n u 1+v 1 u n+v n a j+1,1 a j+1,n a n1 a nn = a 11 a 1n a j 1,1 a j 1,n u 1 u n a j+1,1 a j+1,n a n1 a nn Věta 42 (determinant a transformace Necht A, A M(n n + a 11 a 1n a j 1,1 a j 1,n v 1 v n a j+1,1 a j+1,n a n1 a nn (i Jestliže matice A vznikne z A tak, že v A jeden řádek vynásobíme reálným číslem µ, pak platí det A = µ det A (ii Jestliže matice A vznikne z A tak, že v A vyměníme dva řádky mezi sebou (tj provedeme elementární řádkovou úpravu prvního druhu, pak platí det A = det A (iii Jestliže matice A vznikne z A tak, že v A přičteme µ-násobek jednoho řádku k jinému řádku (tj provedeme elementární řádkovou úpravu třetího druhu, pak platí det A = det A (iv Jestliže matice A vznikne z A jistou transformací, pak det A, právě když det A Poznámka Determinant matice s nulovým řádkem je roven nule Determinant matice, která má dva řádky shodné, je také roven nule Definice Necht A = (a ij i,j=1n Řekneme, že A je horní trojúhelníková matice, jestliže platí a ij = pro i > j, i, j {1,, n} Řekneme, že A je dolní trojúhelníková matice, jestliže platí a ij = pro i < j, i, j {1,, n} Věta 43 (determinant trojúhelníkové matice Necht A = (a ij i,j=1n je horní (resp dolní trojúhelníková matice Pak platí det A = a 11 a 22 a nn Věta 44 (determinant regulární matice Necht A M(n n Pak A je regulární, právě když det A Věta 45 (determinant součinu Pro A, B M(n n platí det AB = det A det B Věta 46 (determinant a transpozice Pro A M(n n platí det A T = det A Věta 47 (rozvoj determinantu podle sloupce či řádku Necht A = (a ij i,j=1n, k {1,, n} Pak det A = det A = n ( 1 i+k a ik det A ik i=1 n ( 1 k+j a kj det A kj j=1 (rozvoj podle k-tého sloupce, (rozvoj podle k-tého řádku 4

5 VI4 Řešení soustav lineárních rovnic Soustava m rovnic o n neznámých x 1,, x n : a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2, a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m, kde a ij R, b i R, i = 1,, m, j = 1,, n Maticový zápis Ax = b, ( a11 a 1n kde A = M(m n, se nazývá matice soustavy, b = a m1 a ( mn x1 x = M(n 1 vektor neznámých x n Definice Matici nazýváme rozšířenou maticí soustavy (S ( b1 b m a 11 a 1n b 1 (A b = a m1 a mn b m (S M(m 1 vektor pravých stran a Tvrzení 48 (transformace soustavy rovnic Necht A M(m n, b M(m 1 a T je transformace matic s m řádky Označme A T A, b T b Pak pro y M(n 1 platí Ay = b, právě když A y = b, neboli soustavy Ax = b a A x = b mají stejnou množinu řešení Věta 49 (Rouchéova-Fontenéova Soustava (S má řešení právě tehdy, když matice této soustavy má stejnou hodnost jako rozšířená matice této soustavy Soustavy n rovnic o n neznámých Věta 5 (o soustavách n n Necht A M(n n Pak následující tvrzení jsou ekvivalentní: (i matice A je regulární, (ii soustava (S má pro každé b M(n 1 právě jedno řešení, (iii soustava (S má pro každé b M(n 1 alespoň jedno řešení Věta 51 (Cramerovo pravidlo Necht A M(n n je regulární matice, b M(n 1, x M(n 1 a Ax = b Pak a 11 a 1,j 1 b 1 a 1,j+1 a 1n a n1 a n,j 1 b n a n,j+1 a nn x j = det A pro j = 1,, n VI5 Matice a lineární zobrazení Definice Řekneme, že zobrazení f : R n R m je lineární, pokud platí: (i u, v R n : f(u + v = f(u + f(v, (ii λ R u R n : f(λu = λf(u Definice Necht i {1,, n} Vektor s n složkami e i = 1 i-tá souřadnice nazýváme i-tým kanonickým bázovým vektorem prostoru R n Množinu {e 1,, e n } všech kanonických bázových vektorů v R n nazýváme kanonickou bází prostoru R n 5

6 Vlastnosti kanonické báze: (i x R n : x = x 1 e x n e n, (ii vektory e 1,, e n jsou lineárně nezávislé Věta 52 (reprezentace lineárních zobrazení Zobrazení f : R n R m je lineární právě tehdy, když existuje matice A M(m n taková, že u R n : f(u = Au Poznámka Matice A z předchozí věty je určena jednoznačně a nazývá se reprezentující maticí zobrazení f Věta 53 (o bijekcích na R n Necht zobrazení f : R n R n je lineární Pak jsou následující tvrzení ekvivalentní: (i f je bijekce (tj f je prosté zobrazení R n na R n, (ii f je prosté zobrazení, (iii f je zobrazení R n na R n Věta 54 (skládání lineárních zobrazení Necht f : R n R m je lineární zobrazení reprezentované maticí A M(m n a g : R m R k je lineární zobrazení reprezentované maticí B M(k m Potom složené zobrazení g f : R n R k je lineární a je reprezentováno maticí BA 6