Kristýna Kuncová. Matematika B3

Transkript

1 (5) Funkce více proměnných II Kristýna Kuncová Matematika B3 Kristýna Kuncová (5) Funkce více proměnných II 1 / 20

2 Parciální derivace - příklad Otázka Tabulka vpravo znázorňuje hodnoty funkce f (x, y). Které tvrzení o parciálních derivacích je nejpřesnější? A f x (1, 2) 1 B f y (1, 2) 2 C f x (3, 2) 1 D f y (3, 2) 4 A, B Kristýna Kuncová (5) Funkce více proměnných II 2 / 20

3 Parciální derivacei - příklad II Otázka Jak to vypadá s parciálními derivacemi v bodě P? A f f x > 0, y > 0 B f f x < 0, y > 0 C f f x > 0, y < 0 D f f x < 0, y < 0 B Kristýna Kuncová (5) Funkce více proměnných II 3 / 20

4 Derivace ve směru Definice Necht v R n je nenulový vektor. Derivaci funkce f ve směru v v bodě a = (a 1, a 2,..., a n ) R n definujeme jako limitu f (a + hv) f (a) D v f (a) = lim. h 0 h Kristýna Kuncová (5) Funkce více proměnných II 4 / 20

5 Gradient Definice Necht f : R n R má v bodě a vlastní parciální derivace. Pak gradientem rozumíme( vektor f f (a) = (a), f (a),..., f ) (a). x 1 x 2 x n Kristýna Kuncová (5) Funkce více proměnných II 5 / 20

6 Gradient Definice Necht f : R n R má v bodě a vlastní parciální derivace. Pak gradientem rozumíme( vektor f f (a) = (a), f (a),..., f ) (a). x 1 x 2 x n Otázka Určete gradient funkce f (x, y, z) = y cos 3 (x 2 z) v bodě [2, 1, 0]: A (1/5, 0, 1/5) B (0, 0, 1/5) C (0, 1, 0) D (1, 0, 1/2) C Kristýna Kuncová (5) Funkce více proměnných II 6 / 20

7 Derivace ve směru II Věta Necht f : R n R má v bodě a spojité parciální derivace. Necht v R n je vektor. Pak pro derivaci funkce f ve směru v v bodě a platí: D v f (a) = f (a) v. Příklad Necht f (x, y, z) = xye x2 +z 2 5. Určete derivaci v bodě a = (1, 3, 2) ve směru v = (3, 1, 4). 22 Kristýna Kuncová (5) Funkce více proměnných II 7 / 20

8 Tečná rovina, normála Věta Necht je funkce f (x, y) diferencovatelná v bodě A = [x 0 ; y 0 ]. Pak v bodě [x 0 ; y 0 ; f (x 0 ; y 0 )] existuje tečná rovina ke grafu funkce z = f (x, y) určená rovnicí z z 0 = f x (x 0; y 0 )(x x 0 ) + f y (x 0; y 0 )(y y 0 ). Normála ke grafu funkce je určena rovnicemi x = x 0 + f x (x 0; y 0 )t y = y 0 + f y (x 0; y 0 )t z = z 0 t t R Kristýna Kuncová (5) Funkce více proměnných II 8 / 20

9 Tečná rovina příklady Příklad f (x, y) = 100 x 2 y 2 Kristýna Kuncová (5) Funkce více proměnných II 9 / 20

10 Tečná rovina příklady Příklad f (x, y) = x 2 + y 2 Kristýna Kuncová (5) Funkce více proměnných II 10 / 20

11 Tečná rovina příklady Příklad f (x, y) = x 2 + y 2 Kristýna Kuncová (5) Funkce více proměnných II 11 / 20

12 Tečná rovina příklady Příklad f (x, y) = 5 x 2 + y 2 Kristýna Kuncová (5) Funkce více proměnných II 12 / 20

13 Tečná rovina Otázka Najděte tečnou rovinu funkce f (x, y) = xy v bodě (2, 3). A z 6 = x(x 2) + y(y 3) B z 6 = y(x 2) + x(y 3) C z 6 = 2(x 2) + 3(y 3) D z 6 = 3(x 2) + 2(y 3) D Otázka Které funkce mají v zadaném bodě tečnou rovinu? A 1 x 2 y 2 v (0, 0) B 4 x 2 y 2 v (2, 0) C x 2 + 2y 2 v (0, 0) D x 2 + 2y 2 v (2, 0) A, D Kristýna Kuncová (5) Funkce více proměnných II 13 / 20

14 Tečná nadrovina Věta Necht je funkce f (x, y) diferencovatelná v bodě a = [a 1, a 2 ]. Pak v bodě [a 1, a 2, f (a 1, a 2 )] existuje tečná rovina ke grafu funkce z = T(x, y) určená rovnicí z f (a) = f x (a)(x a 1) + f y (a)(y a 2). Definice z = f (a) + f x 1 (a)(x 1 a 1 ) + f x 2 (a)(x 2 a 2 ). T(x, y) = f (a) + f x 1 (a)(x 1 a 1 ) + f x 2 (a)(x 2 a 2 ). Necht G R n je otevřená množina, a G, f C 1 (G). Pak graf funkce T(x 1,..., x n )=f (a)+ f x 1 (a)(x 1 a 1 )+ f x 2 (a)(x 2 a 2 )+ + f x n (a)(x n a n ) x R n se nazývá tečnou nadrovinou ke grafu funkce f v bodě [a, f (a)]. Kristýna Kuncová (5) Funkce více proměnných II 14 / 20

15 Tečná nadrovina - příklad Definice Necht G R n je otevřená množina, a G, f C 1 (G). Pak graf funkce T(x 1,..., x n )=f (a)+ f x 1 (a)(x 1 a 1 )+ f x 2 (a)(x 2 a 2 )+ + f x n (a)(x n a n ) x R n se nazývá tečnou nadrovinou ke grafu funkce f v bodě [a, f (a)]. Příklad Najděte tečnou nadrovinu funkce f (x, y, z, u) = ln(xy + z 2 2u) v bodě a = (1, 0, 3, 2). T(x, y, z, u) = 1 5 y 6 5 (z 3) 2 5 (u 2) Kristýna Kuncová (5) Funkce více proměnných II 15 / 20

16 Totální diferenciál Definice Derivace (totální diferenciál) Necht je dána reálná funkce 2-proměnných f : R 2 R, definovaná na nějakém okolí bodu (x 0, y 0 ) R 2. Řekneme, že f má v bodě (x 0, y 0 ) totální diferenciál, jestliže existují čísla A a B taková, že f (x 0 + h, y 0 + k) f (x 0, y 0 ) (Ah + Bk) lim = 0. (h,k) (0,0) h2 + k 2 Značíme df (x 0, y 0 ). Definice Derivace (totální diferenciál) Necht je dána reálná funkce 3-proměnných f : R 3 R, definovaná na nějakém okolí bodu (x 0, y 0, z 0 ) R 3. Řekneme, že f má v bodě (x 0, y 0, z 0 ) totální diferenciál, jestliže existují čísla A, B a C taková, že f (x 0 + h, y 0 + k, z 0 + l) f (x 0, y 0, z 0 ) (Ah + Bk + Cl) lim = 0. (h,k,l) (0,0,0) h2 + k 2 + l 2 Kristýna Kuncová (5) Funkce více proměnných II 16 / 20

17 Totální diferenciál 2 Kristýna Kuncová (5) Funkce více proměnných II 17 / 20

18 Tvar totálního diferenciálu Věta Necht f : R n R je reálná funkce, jejíž všechny parciální derivace jsou spojité v bodě a. Potom funkce f má v bodě a totální diferenciál d f (a) : R n R (vektoru z R n přiřazuje číslo) určený předpisem d f (a)v = n i=1 f (a) x i v i. Otázka Určete totální diferenciál funkce f (x, y, z) = xyz v bodě [ 1, 2, 3]: A d f ( 1, 2, 3)v = yzv 1 + xzv 2 + xyv 3 B d f ( 1, 2, 3)v = 3v 2 2v 3 C d f ( 1, 2, 3)v = 6v 1 3v 2 2v 3 D d f ( 1, 2, 3)v = yzv 1 + 2xzv 2 + 3xyv 3 C Kristýna Kuncová (5) Funkce více proměnných II 18 / 20

19 Aproximace Fakt Přibližnou funkční hodnotu můžeme určit i jako f (x, y) f (x 0, y 0 ) + d f (x 0, y 0 ). Otázka O funkci f v bodě (2, 3) víme: f (2, 3) = 1, f / x(2, 3) = 5, f / x(2, 3) = 7. Jaká aproximace je nejpřesnější? A f (x, y) 1 + 5(x 2) 7(y 3) B f (x, y) 5(x 2) 7(y 3) C f (x, y) 1 + 5x 7y D f (x, y) x 7y A, D Kristýna Kuncová (5) Funkce více proměnných II 19 / 20

20 Parciální derivace 2. řádu Věta O zaměnitelnosti parciálních derivací I. Necht f je reálná funkce n proměnných, a R n a 1 i, j n. Necht platí, že (i) funkce 2 f x i x j je spojitá v bodě a, (ii) funkce f x j je definovaná na nějakém okolí bodu a. Potom existují a jsou si rovny 2 f (a) x i x j = 2 f (a) x j x i. Kristýna Kuncová (5) Funkce více proměnných II 20 / 20