Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
|
|
- Otto Beránek
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a a 1k... a 1n a 21 a a 2k... a 2n... a j1 a j2... a jk... a jn (1... a m1 a m2... a mk... a mn Veličiny a 11, a 12,..., a mn ve schématu (1 nazýváme prvky matice a mohou to být čísla (reálná i komplexní i funkce. Index jk u prvku a jk určuje pozici (umístění prvku ve schématu. První index j udává pořadí řádku, druhý index k pořadí sloupce. Např. prvek a 32 je umístěn ve 3. řádku a ve 2. sloupci, tj. má pozici 32. Matici ( 1 budeme označovat A nebo (a ij. Chceme-li současně vyjádřit, že matice A je typu (m, n, zapíšeme A(m, n. Je-li matice tvořena jediným sloupcem, resp. jediným řádkem, můžeme k označení jejích prvků použít pouze jeden index, např. b 1 b 2 B., resp. C (c 1, c 2,..., c n. b m Prvky a ii matice diagonálu matice. (1 nazýváme diagonální prvky, všechny diagonální prvky tvoří hlavní 3.2 Vlastnosti matic Rovnost matic Řekneme, že dvě matice A (a ij a B (b ij, i 1, 2,..., m, j 1, 2,..., n téhož typu (m, n jsou si rovny, jestliže prvky ve stejných pozicích si jsou rovny, tj. platí rovnost a ij b ij, pro každé i 1, 2,..., m, j 1, 2,..., n. Zapisujeme A B. V opačném případě řekneme, že matice A a B jsou různé a zapisujeme A B. ( ( Zřejmě matice A a B nejsou stejné, protože A je matice typu (2, 2, zatímco B je matice typu (2, 3. 1
2 Označíme-li D d 1 d 2 d 3 d 4, potom rovnost D je stručným zápisem čtyř rovností d 1 1, d 2 2, d 3 3, d 4 4. Rovnost matic typu (3, 1 x + 5y 3z 2x 7y + z 6y z je jeden z možných zápisů soustavy tří lineárních rovnic Transponování matic x + 5y 3z 9 2x 7y + z 3 6y z 3. (2 Je-li dána matice A (a ij typu (m, n, potom matice B (b ji typu (n, m, pro jejíž prvky platí b ji a ij pro každé i 1,..., m, j 1,..., n, se nazývá transponovaná matice k matici A a značí se A T. Transponovaná matice k matici A 1, 3, 0 7, 4, 1 4, 3, 0 2, 1, 5 (a ij je matice A T 1, 7, 4, 2 3, 4, 3, 1 0, 1, 0, 5 tj. prvek z pozice (i, j se objeví v pozici (j, i. (a ji, 2
3 Z definice transponované matice vyplývá (A T T A. (3 Pomocí horního indexu T se dá matice typu (n, 1 zapsat ve tvaru x 1 x 2. (x 1, x 2,..., x n T. x n Je účelné si zvyknout na označování n-tic čísel právě naznačeným způsobem Význačné matice 1. Nulová matice má všechny prvky nulové; budeme ji značit Ø. 2. Čtvercová matice je matice, jejíž počet řádků je stejný jako počet sloupců (v opačném případě mluvíme o obdélníkové matici. Počet řádků (a tedy i počet sloupců u čtvercové matice se nazývá řád matice. Je zřejmé, že transponovaná matice ke čtvercové matici n-tého řádu je opět čtvercová matice stejného řádu. 3. Diagonální matice je čtvercová matice, jejíž prvky ležící mimo hlavní diagonálu jsou nulové. Zvláštním případem diagonální matice je jednotková matice, která má na diagonále všechny prvky rovné 1, tj. platí a ij 0 pro každé i j, i 1, 2,..., n, j 1, 2,..., n, a ii 1 pro každé i 1, 2,..., n. Jednotkovou matici značíme I. 4. Symetrická matice je čtvercová matice, pro jejíž prvky platí Snadno lze ověřit, že a ij a ji pro každé i 1, 2,..., n, j 1, 2,..., n. (a pro symetrickou matici je A T A; (b každá diagonální matice je symetrická; (c jednotková matice je symetrická. 3
4 5. Horní trojúhelníková matice U (u ij je čtvercová matice, jejíž prvky pod hlavní diagonálou jsou nulové, tj. platí u ij 0 pro i > j. Dolní trojúhelníková matice L (l ij je čtvercová matice, jejíž prvky nad hlavní diagonálou jsou nulové, tj. platí Aritmetické operace s maticemi Součet matic l ij 0 pro i < j. Pro matice A (a ij a B (b ij téhož typu (m, n definujeme 1. součet matic jako matici S (s ij typu (m, n, pro jejíž prvky platí s ij a ij + b ij ; 2. rozdíl matic jako matici R (r ij typu (m, n, pro jejíž prvky platí pro i 1, 2,..., m a j 1, 2,..., n. r ij a ij b ij ; Krátce řečeno: sčítáme, resp. odečítáme, prvky ve stejných pozicích. Značíme A + B, resp. A B. Čtvercovou matici A (a ij lze zapsat jako součet horní a dolní trojúhelníkové matice. Pro matici 3. řádu je tedy a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 0 a 22 a a a a 31 a 32 0 Toto vyjádření se používá u numerických metod řešení soustav lineárních rovnic, zvláště u tzv. metody LU-rozkladu. Sčítání matic je definováno tak, že platí:. A + B B + A, (A + B + C A + (B + C, (A + B T A T + B T, 0 + A A + 0 A. (4 Násobení matice číslem 4
5 Pro libovolnou matici A (a ij typu (m, n definujeme r-násobek (r reálné nebo komplexní číslo matice A jako matici typu (m, n, jejíž prvky jsou r-násobky prvků a ij, tedy ra (r a ij pro i 1,..., m, j 1,..., n. Tedy matici vynásobíme číslem r tak, že číslem r vynásobíme všechny její prvky. Odtud plyne, že pro násobek matice platí: ra + sa (r + sa, r(a + B ra + rb, r(sa (rsa, (ra T ra T, kde r, s jsou čísla (reálná nebo komplexní. Je dána matice A (a ij třetího řádu. Vytvoříme matici λi A, kde λ je libovolné číslo (reálné nebo komplexní λi A λ a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 λ a 11 a 12 a 13 a 21 λ a 22 a 23 a 31 a 32 λ a 33. S maticí tohoto typu se setkáme při výpočtu vlastních čísel matice. Matici, obsahující komplexní čísla, můžeme vyjádřit pomocí matic s reálnými čísly: ( ( ( 2 + 3i 4 5i i. 2 6i Součin matic je definován složitějším způsobem než předchozí operace s maticemi, proto si nejdříve budeme postup ilustrovat na jednoduchém příkladě: ( , 2 ( , 9 ( , 5 (
6 Násobení dvou matic provedeme pro obecné matice A (a ij typu (3, 2 a B (b ij typu (2, 2: a 11 a 12 a 21 a 22 a 31 a 32 ( b11 b 12 b 21 b 22 a 11 b 11 + a 12 b 21, a 11 b 12 + a 12 b 22 a 21 b 11 + a 22 b 21, a 21 b 12 + a 22 b 22 a 31 b 11 + a 32 b 21, a 31 b 12 + a 32 b 22 Z uvedených dvou příkladů lze vypozorovat zásady, které platí pro součin dvou matic A a B : 1. Aby součin dvou matic A a B byl definován, musí být počet sloupců matice A stejný jako počet řádků matice B, tj. je-li matice A (a ik typu (m, p, musí být matice B (b kj typu (p, n, tj. 2. Prvek c ij výsledné matice C A B je A(m, p B(p, n C(m, n.. c ij a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a ip b pj p a ik b kj. (5 k1 3. Výsledná matice C je typu (m, n. Poznámka Pokud považujeme řádky (resp. sloupce matice za řádkové (resp. sloupcové aritmetické vektory, lze vztah ( 5 pro prvek c ij chápat jako skalární součin i-tého řádkového vektoru matice A a j-tého sloupcového vektoru matice B. Tím je také zdůvodněna podmínka pro typ matic, která musí být pro definici součinu splněna. Vlastnosti součinu matic 1. Násobení matic není komutativní. Je-li definován součin AB, nemusí být definován součin BA, protože nemusí být splněna podmínka pro počet řádků a sloupců. Ale i v případě, že součiny AB i BA jsou definovány, nemusí platit ABBA (viz následující příklad. ( ( ( ,
7 ale ( ( ( Obecně tedy je AB BA. Rovnost platí pouze pro některé speciální dvojice matic. 2. Pro libovolnou matici A platí 0A 0 a A0 0, kde 0 je nulová matice (jsou-li součiny na levých stranách definovány. Pro čtvercové matice platí A 0 0 A, kde A je libovolná čtvercová matice. 3. Pro libovolnou matici A je AI A a IA A, kde I je jednotková matice (jsou-li součiny na levých stranách definovány. 4. Součin dvou nenulových matic může být nulová matice. To znamená, že z rovnosti AB 0 nevyplývá, že musí být A nebo B nulová matice. Je třeba si uvědomit, že tuto vlastnost násobení čísel nemá. ( ( ( Jsou-li všechny následující součiny matic definovány (mají smysl, platí: 4. A(BC (ABC. 5. (A + BC AC + BC. 6. (AB T B T A T. 7. r(ab (rab A(rB, kde r je libovolné číslo. 8. Pomocí součinu matic můžeme definovat mocninu čtvercové matice: (a A 1 A; (b A n A n 1 A pro n N, n 2; (c Definujeme A 0 I Determinant čtvercové matice V tomto odstavci se budeme zabývat pouze čtvercovými maticemi.. Definice determinantu 7
8 Pojem determinant matice si nejdříve zavedeme pro (číselnou matici 2. a 3. řádu a pak teprve přistoupíme k definici determinantu matice n-tého řádu. Je dána čtvercová matice 2. řádu ( a11 a A 12. (6 a 21 a 22 Číslo a 11 a 22 a 21 a 12 se nazývá determinant matice A a značí se a ( 11 a 12 a 21 a 22, det a11 a 12, det A. a 21 a 22 Je dána čtvercová matice 3. řádu Číslo A a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33. a a 22 a a a 32 a 33 a 21 a a a 31 a 33 +a 21 a a 31 a 32. (7 }{{}}{{}}{{} A 11 A 12 A 13 se nazývá determinant matice A a značí se a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33, det a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33, det A. Determinanty A 11, A 12, A 13 v ( 7 jsme vytvořili vynecháním prvního řádku a postupně prvního, druhého a třetího sloupce původní matice třetího řádu. Analogicky jako v (7 definujeme determinant čtvercové matice n-tého řádu pro n > 3 (pomocí determinantů (n 1-ho řádu: Determinant čtvercové matice (n-tého řádu A je číslo označované det A a definované takto: 1. Pro n 1 je det A a Pro n 2 je det A a 11 a 22 a 12 a 21. a 11 a a 1n a 21 a a 2n a n1 a n2... a nn 8
9 3. Pro n > 2 je det A a 11 det A 11 a 12 det A ( 1 n+1 a 1n det A 1n, (8 kde matice A 1i pro i 1, 2,..., n jsou matice (n 1-ho řádu a vzniknou z matice A vynecháním 1. řádku a i-tého sloupce, i 1, 2,..., n. Poznámka Vyjádření determinantu vztahem (8 se nazývá rozvoj determinantu podle 1. řádku. ( 3 4 Vypočtěte determinant matice ( Vypočtěte determinant matice ( Sarrusovo pravidlo. Aplikujeme-li předpis ( 7 na matici třetího řádu, dostaneme det A a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 a 13 a 22 a 31. (9 Pro zapamatování volby příslušných tří výběrů s kladným, případně záporným znaménkem se používá obvykle jedno z následujících dvou schémat. Matici A rozšíříme na matici typu (5, 3 (resp. typu (3, 5 tak, že pod (resp. za matici A připíšeme ještě první a druhý řádek (resp. první a druhý sloupec matice A. Dostaneme matice a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 21 a 22 a 23 a 11 a 12 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 v nichž výběry s kladným znaménkem jsou vyznačeny souvislými čarami a výběry se záporným znaménkem čárkovaně. 9
10 Nebezpečnost tohoto pravidla spočívá v tom, že je mnohdy aplikováno i na výpočet determinantů vyšších řádů. POZOR, je to hrubá CHYBA. Sarrusovým pravidlem vypočtěte determinant matice A Řešení: det A 0 2 ( ( 1 ( ( ( 1 0 ( Rozvojem podle 1. řádku vypočtěte determinant matice A det A 1 +( Převedli jsme výpočet determinantu 4. řádu na výpočet 4 determinantů 3. řádu. Pomocí ( 7 dostáváme det A 1 ( 49 0 ( 12 + ( Další způsoby výpočtu determinantu Postup výpočtu determinantu rozvojem podle prvního řádku lze modifikovat tak, že provedeme rozvoj podle libovolného řádku, popř. sloupce. Rozvoj determinantu podle i-tého řádku zapíšeme det A ( 1 i+1 a i1 det A i1 + ( 1 i+2 a i2 det A i2 + + ( 1 i+n a in det A in, (10 a rozvoj podle j-tého sloupce zapíšeme det A ( 1 1+j a 1j det A 1j + ( 1 2+j a 2j det A 2j + + ( 1 n+j a nj det A nj. (11 10
11 Matice A ij je matice řádu n 1 vzniklá z původní matice A vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce. Číslo (pro daná i 1, 2,..., n, j 1,..., n D ij ( 1 i+j det A ij, (12 se nazývá algebraický doplněk prvku a ij. Rozvoj determinantu podle i-tého řádku (vztah 10 lze pomocí algebraických doplňků psát ve tvaru det A a i1 D i1 + a i2 D i2 + + a in D in, (13 Rozvoj determinantu podle j-tého sloupce (vztah 11 lze pomocí algebraických doplňků psát ve tvaru resp. podle det A a 1j D 1j + a 2j D 2j + + a nj D nj. (14 Nyní si při výpočtu determinantu můžeme vybrat takový řádek nebo sloupec, který má nejjednodušší prvky, nejlépe nuly. Umíme-li nyní provést rozvoj determinantu podle libovolného sloupce nebo řádku, pokusme se vypočítat determinant matice z předchozího příkladu kratším postupem. Provedeme-li rozvoj podle druhého sloupce, je zřejmé, že v rozvoji dostaneme pouze 2 nenulové sčítance a budeme tedy počítat pouze dva determinanty 3. řádu. det A ( det A 22 + ( det A ( ( Úplnou matematickou indukcí lze dokázat, že determinant trojúhelníkové matice je roven součinu prvků na diagonále. Důkaz provedeme pro horní trojúhelníkovou matici. Pro n 2 je u 11 u 12 0 u 22 u 11u 12. Předpokládejme, že tvrzení platí pro trojúhelníkovou matici (n 1-ho řádu. Rozvineme-li determinant horní trojůhelníkové matice n-tého řádu podle prvků n-to řádku, dostaneme u 11 u u 1n u 11 u u 1,n 1 0 u u 2n... ( 1 n+n u nn 0 u u 2,n u nn u n 1,n 1 u 11 u u n 1,n 1 u nn. Stejným způsobem lze dokázat tvrzení pro dolní trojúhelníkovou matici. 11
12 Vlastnosti determinantů 1. Pro libovolnou čtvercovou matici A platí det A T det A. Pro determinant matice 2. řádu je důkaz uvedeného tvrzení elementární. det A a 11 a 12 a 21 a 22 a 11a 22 a 12 a 21 det A T a 11 a 21 a 12 a 22 a 11a 22 a 12 a 21. Je tedy det A det A T. Pro determinant matice A 3. řádu dostaneme rozvojem podle 1. řádku det A a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a a 22 a a 32 a 33 a 12 a 21 a 23 a 31 a 33 + a 13 a 21 a 22 a 31 a 32 a pro determinant matice transponované A T dostaneme rozvojem podle prvního sloupce a 11 a 21 a 31 det A T a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 a a 22 a a 23 a 33 a 12 a 21 a 31 a 23 a 33 + a 13 a 21 a 31 a 22 a 32. Pro determinant matice 3. řádu tedy platí det A det A T. Úplnou matematickou indukcí lze analogickým postupem dokázat uvedenou vlastnost pro determinant matice n-tého řádu. Důsledkem uvedené vlastnosti je, že všechna tvrzení o determinantech, která platí pro řádky matice, platí i pro její sloupce. 2. Zaměníme-li v matici pořadí dvou řádků, změní se znaménko determinantu. Pro determinant matice 2. řádu je zřejmě a 11 a 12 a 21 a 22 a 11a 22 a 12 a 21 (a 12 a 21 a 11 a 22 a 21 a 22 a 11 a 12. Úplnou indukcí lze opět ukázat, že tvrzení platí i pro determinant matice řádu n > 2. Důsledkem tvrzení 2. je: Má-li matice dva řádky stejné, je determinant matice nulový. 12
13 3. Z definice determinantu vyplývá, že je-li jeden řádek matice A nulový, je det A Vznikne-li matice B z matice A vynásobením jednoho řádku číslem k, je det B k det A. 5. Vznikne-li matice B z matice A přičtením k-násobku i-tého řádku k j-tému, je det B det A. Pro matici 2. řádu je a 11 a 12 a 21 + ka 11 a 22 + ka 12 a 11 (a 22 + k a 12 a 12 (a 21 + k a 11 a 11 a 22 a 12 a 21 + k(a 11 a 12 a 12 a 11 det A + k Jsou-li A a B čtvercové matice téhož řádu, pak det AB det A det B. Vypočtěte determinant Řešení: Od druhého řádku odečteme dvojnásobek prvního řádku a od třetího a čtvrtého odečteme první řádek. Potom provedeme rozvoj determinantu podle prvního sloupce ( ( Od druhého řádku odečteme první řádek, od třetího dvojnásobek prvního řádku a provedeme rozvoj podle prvního sloupce: ( Je tedy
14 3.3 Inverzní matice Čtvercová matice, jejíž determinant je různý od nuly, se nazývá regulární matice. Čtvercová matice, jejíž determinant je roven nule, se nazývá singulární matice. Definice Nechť A je regulární matice, I jednotková matice. Jestliže pro matici X platí AX XA I, (15 nazývá se matice X inverzní matice k matici A a značí se A 1. Vztah ( 15 lze psát tedy ve tvaru AA 1 A 1 A I. Inverzní matice X A 1 je tedy řešením maticové rovnice AX I. ( 1 1 Stanovte matici X takovou, že platí AX I, kde A a I 1 2 Řešení: Tedy ( ( ( 1 1 x11 x x 21 x 22 Z podmínky rovnosti matic řešíme soustavu rovnic x 11 + x 21 1, x 12 + x 22 0, x x 21 0, x x Řešení těchto dvou soustav snadno vypočteme: Tedy x 11 2, x 12 1 x 21 1, x X A 1 ( ( Vidíme, že stanovení inverzní matice je ekvivalentní k určení řešení soustav lineárních rovnic (viz kap. 3. Vlastnosti inverzní matice: 1. Ke každé čtvercové matici existuje nejvýše jedna inverzní matice. 2. Ke každé regulární matici existuje právě jedna inverzní matice. 3. (A 1 1 A;.. 14
15 4. I 1 I; 5. (AC 1 C 1 A 1, jakmile je definována alespoň jedna strana této rovnosti; 6. (A T 1 (A 1 T ; 7. det A 1 1 det A. 8. Inverzní matice ( X k diagonální matici D (d i, d i 0 je opět diagonální matice X D 1 1 d i ; rozepsáno D 1 d 1, 0,..., 0 0, d 2,..., , 0,..., d n 1 1 d 1, 0,..., 0 1 0, d 2,..., , 0,..., d n. Odvoďte uvedená pravidla 1 8 pro matice druhého řádu. 15
Lineární algebra. Matice, operace s maticemi
Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo
Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost
Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n
MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
VI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku
VI Maticový počet VI1 Základní operace s maticemi Definice Tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn kde a ij R, i = 1,, m, j = 1,, n, nazýváme maticí typu m n Zkráceně zapisujeme (a ij i=1m
Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
Determinanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu.
Determinanty Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Determinanty Definice determinantu Sarrusovo a křížové pravidlo Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu Výpočet determinantů 2 Inverzní
Číselné vektory, matice, determinanty
Číselné vektory, matice, determinanty Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny
Operace s maticemi. 19. února 2018
Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice
Matematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
Operace s maticemi
Operace s maticemi Seminář druhý 17.10. 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice 3 Regulární matice 4 Inverzní matice Matice Definice (Matice). Reálná matice typu m n je obdélníkové schema A =
Matice. Předpokládejme, že A = (a ij ) je matice typu m n: diagonálou jsou rovny nule.
Matice Definice. Maticí typu m n nazýváme obdélníkové pole, tvořené z m n reálných čísel (tzv. prvků matice), zapsaných v m řádcích a n sloupcích. Značíme např. A = (a ij ), kde i = 1,..., m, j = 1,...,
0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
Úvod do lineární algebry
Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky
Základy matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 2. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 20 Co nás dneska čeká... Závislé a nezávislé
Lineární algebra Operace s vektory a maticemi
Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................
Kapitola 11: Vektory a matice:
Kapitola 11: Vektory a matice: Prostor R n R n = {(x 1,, x n ) x i R, i = 1,, n}, n N x = (x 1,, x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i = 1,, n : x i = y i
12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25
12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant
0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
8 Matice a determinanty
M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou
Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru
1 1. Lineární algebra 1.1. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Hodnost matice Aritmetické vektory Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ).
1 Vektorové prostory.
1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které
Kapitola 11: Vektory a matice 1/19
Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 2/19 Prostor R n R n = {(x 1,..., x n ) x i R, i = 1,..., n}, n N x = (x 1,..., x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i =
1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35
1. Matice a maticové operace 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace p. 2/35 Matice a maticové operace 1. Aritmetické vektory 2. Operace s aritmetickými vektory 3. Nulový a opačný
Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)
KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce
Cílem této kapitoly je uvedení pojmu matice a jejich speciálních typů. Čtenář se seznámí se základními vlastnostmi matic a s operacemi s maticemi
2.2. Cíle Cílem této kapitoly je uvedení pojmu matice a jejich speciálních typů. Čtenář se seznámí se základními vlastnostmi matic a s operacemi s maticemi Předpokládané znalosti Předpokladem zvládnutí
Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití)
Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 2. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 40 Obsah 1 Vektory
Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n
[1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem
10. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo
0. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo (PEF PaA) Petr Gurka aktualizováno 9. prosince 202 Obsah Základní pojmy. Motivace.................................2 Aritmetický vektorový
Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29
Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010
[1] Determinant. det A = 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici
[1] Determinant je číslo jistým způsobem charakterizující čtvercovou matici det A = 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici používá se při řešení lineárních soustav... a v mnoha dalších aplikacích
příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.
Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl
P 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 =
1 Výpočet inverzní matice Věta 1 Necht P U elementární matice vzniklá el úpravou U Pak je P U regulární Důkaz: Protože elementární úprava U je invertovatelná, existuje el úprava U, která vrací změny U
DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které
4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20
4. Trojúhelníkový rozklad 4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20 4. Trojúhelníkový rozklad p. 2/20 Trojúhelníkový rozklad 1. Permutační matice 2. Trojúhelníkové matice 3. Trojúhelníkový (LU) rozklad 4. Výpočet
Množinu všech matic typu m n nad tělesem T budeme označovat M m n (T ), množinu všech čtvercových matic stupně n nad T pak M n (T ).
Matice Definice 4.1 Necht (T ; +, je číselné těleso, m, n N a dále necht a ij T pro všechny indexy i = 1, 2,..., m a j = 1, 2,..., n. Potom schéma a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n... = (a ij m n a m1
Determinanty. Determinanty. Přednáška MATEMATIKA č. 3. Jiří Neubauer
Přednáška MATEMATIKA č. 3 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 21. 10. 2010 Uvažujme neprázdnou množinu přirozených čísel M = {1, 2,..., n}. Z kombinatoriky
Matice. a m1 a m2... a mn
Matice Nechť (R, +, ) je okruh a nechť m, n jsou přirozená čísla Matice typu m/n nad okruhem (R, +, ) vznikne, když libovolných m n prvků z R naskládáme do obdélníkového schematu o m řádcích a n sloupcích
Determinant matice řádu 5 budeme počítat opakovaným použitím rozvoje determinantu podle vybraného řádku nebo sloupce. Aby byl náš výpočet
Řešené příklady z lineární algebry - část 2 Příklad 2.: Určete determinant matice A: A = 4 4. Řešení: Determinant matice řádu budeme počítat opakovaným použitím rozvoje determinantu podle vybraného řádku
Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice
Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice (8. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. března 2014, 12:42 1 2 0.1 Násobení matic Definice 1. Buďte m, n, p N, A
Čtvercové matice. Čtvercová matice je taková matice, jejíž počet řádků je roven počtu jejích sloupců
Determinant matice Čtvercové matice Čtvercová matice je taková matice, jejíž počet řádků je roven počtu jejích sloupců Determinant je zobrazení, které přiřadí každé čtvercové matici A skalár (reálné číslo).
Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice
Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice (8. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného
SOUČIN MATIC A m n B n p = C m p, přičemž: a i1 b 1j +a i2 b 2j + +a in b nj = c ij, i=1 m, j=1 p. Např: (-2) = -3
SOUČIN MATIC A m n B n p = C m p, přičemž: a i1 b 1j +a i2 b 2j + +a in b nj = c ij, i=1 m, j=1 p Např: 2 2 + (-2) 4 + 0 0 + 1 1 = -3 INVERZNÍ MATICE Pro čtvercovou matici B může (ale nemusí) existovat
VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. věta Nechť M = {x 1, x 2,..., x k } je množina vektorů z vektorového prostoru
Soustavy lineárních rovnic a determinanty
Soustavy lineárních rovnic a determinanty Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny
Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci a vzájemném rušení ) Muhammada ibn Músá al-chvárizmího (790? - 850?, Chiva, Bagdád),
1 LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 Lineární algebra Slovo ALGEBRA pochází z arabského al-jabr, což znamená nahrazení. Toto slovo se objevilo v názvu knihy islámského matematika Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci
V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti
Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení
ČTVERCOVÉ MATICE. Čtvercová matice je taková matice, kde počet řádků je roven počtu jejích sloupců. det(a) značíme determinant čtvercové matice A
ČTVERCOVÉ MTICE Čtvercová matice je taková matice, kde počet řádků je roven počtu jejích sloupců. det() značíme determinant čtvercové matice Regulární matice hodnost je rovna jejímu řádu determinant je
HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s
2. ZÁKLADY MATICOVÉ ALGEGRY 2.1. ZÁKLADNÍ POJMY
2. ZÁKLADY MAICOVÉ ALGEGRY 2.1. ZÁKLADNÍ POJMY V této kapitole se dozvíte: jak je definována reálná nebo komplexní matice a co rozumíme jejím typem; co jsou to prvky matice, co vyjadřují jejich indexy
7. Lineární vektorové prostory
7. Lineární vektorové prostory Tomáš Salač MÚ UK, MFF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 1 / 62 7.1 Definice a příklady Definice 7.1 Množina G s binární
1 Determinanty a inverzní matice
Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého
10. DETERMINANTY " # $!
10. DETERMINANTY $ V této kapitole zavedeme determinanty čtvercových matic libovolného rozměru nad pevným tělesem, řekneme si jejich základní vlastnosti a naučíme se je vypočítat včetně příkladů jejich
HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s
AVDAT Vektory a matice
AVDAT Vektory a matice Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Vektory x = x 1 x 2. x p y = y 1 y 2. y p Řádkový vektor dostaneme transpozicí sloupcového vektoru x
Matice. Přednáška MATEMATIKA č. 2. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.
Přednáška MATEMATIKA č. 2 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 13. 10. 2010 Uspořádané schéma vytvořené z m n reálných čísel, kde m, n N a 11 a 12 a
Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic
Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic Příklad 2x 3y + z = 5 3x + 5y + 2z = 4 x + 2y z = 1 Soustava lineárních rovnic obecně Maticový tvar: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a
Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s
Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných
Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém
1 1.2. Soustavy lineárních rovnic Soustava lineárních rovnic Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2...
Aplikovaná numerická matematika - ANM
Aplikovaná numerická matematika - ANM 3 Řešení soustav lineárních rovnic iterační metody doc Ing Róbert Lórencz, CSc České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových
Soustavy lineárních rovnic
7 Matice. Determinant Soustavy lineárních rovnic 7.1 Matice Definice 1. Matice typu (m, n) jesoustavam n reálných čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců a 11, a 12, a 13,..., a 1n a 21, a 22, a 23,...,
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního
Co je obsahem numerických metod?
Numerické metody Úvod Úvod Co je obsahem numerických metod? Numerické metody slouží k přibližnému výpočtu věcí, které se přesně vypočítat bud nedají vůbec, nebo by byl výpočet neúměrně pracný. Obsahem
Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague
Tomáš Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague 1 / 63 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 / 63 Aritmetický vektor Definition 1 Aritmetický vektor x je uspořádaná
Matematika 2 pro PEF PaE
Determinanty / 8 Matematika 2 pro PEF PaE 3 Determinanty Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Permutace Determinanty Výpočet determinantu z definice 2 / 8 Permutací množiny {,, n} rozumíme prosté
1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
Soustavy lineárních rovnic
Přednáška MATEMATIKA č 4 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz 27 10 2010 Soustava lineárních rovnic Definice Soustava rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a
vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).
Řešené příklady z lineární algebry - část 6 Typové příklady s řešením Příklad 6.: Kvadratickou formu κ(x) = x x 6x 6x x + 8x x 8x x vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých
Univerzitní licence MATLABu. Pište mail na: se žádostí o nejnovější licenci MATLABu.
Univerzitní licence MATLABu Pište mail na: operator@service.zcu.cz se žádostí o nejnovější licenci MATLABu. * násobení maticové K = L = 1 2 5 6 3 4 7 8 Příklad: M = K * L N = L * K (2,2) = (2,2) * (2,2)
6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet
6. Vektorový počet Budeme se pohybovat v prostoru R n, což je kartézská mocnina množiny reálných čísel R; R n = R R. Obvykle nám bude stačit omezení na případy n = 1, 2, 3; nicméně teorie je platná obecně.
D 11 D D n1. D 12 D D n2. D 1n D 2n... D nn
Inversní matice 1 Definice Nechť je čtvercová matice řádu n Čtvercovou matici B řádu n nazveme inversní maticí k matici, jestliže platí B=E n =B, kdee n jeodpovídajícíjednotkovámatice 2 Tvrzení Inversní
Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru
2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních
označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,
Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání
IB112 Základy matematiky
IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic
VEKTORY. Obrázek 1: Jediný vektor. Souřadnice vektoru jsou jeho průměty do souřadných os x a y u dvojrozměrného vektoru, AB = B A
VEKTORY Vektorem se rozumí množina všech orientovaných úseček, které mají stejnou velikost, směr a orientaci, což vidíme na obr. 1. Jedna konkrétní orientovaná úsečka se nazývá umístění vektoru na obr.
ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,
Drsná matematika I 5. přednáška Vektory a matice
Drsná matematika I 5. přednáška Vektory a matice Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 20. 3. 2007 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Vektory 3 Matice nad skaláry 4 Ekvivalentní úpravy matic
Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).
Předmět: MA 4 Dnešní látka Lineární (vektorový) prostor Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost matic Četba:
VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY
VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................
3. Matice a determinanty
. Matice a determinanty Teorie matic a determinantů představuje úvod do lineární algebry. Nejrozsáhlejší aplikace mají matice a determinanty při řešení systémů lineárních rovnic. Pojem determinantu zavedl
Slovo ALGEBRA pochází z arabského al-jabr, což znamená nahrazení. Toto slovo se objevilo v názvu knihy
1 Lineární algebra Slovo ALGEBRA pochází z arabského al-jabr, což znamená nahrazení. Toto slovo se objevilo v názvu knihy islámského matematika Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci a vzájemném
p, q dvě permutace na množině X, pak složené zobrazení, tj. permutaci, q p : X X nazýváme složení permutací p a q (v tomto pořadí).
Kapitola 10 Determinanty Začneme pomocnou definicí Definice 101 Vzájemně jednoznačné zobrazení p : X X nazýváme permutace na množině X Je-li p permutace na množině X, pak inverzní zobrazení p 1 : X X nazýváme
MOORE-PENROSEOVA INVERZE MATICE A JEJÍ APLIKACE. 1. Úvod
Kvaternion 1/2013, 7 14 7 MOORE-PENROSEOVA INVERZE MATICE A JEJÍ APLIKACE LADISLAV SKULA Abstrakt V článku je uvedena definice pseudoinverzní matice, ukázána její existence a jednoznačnost a zmíněny dvě
Vektory a matice. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Vektory a matice Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,
Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
EUKLIDOVSKÉ PROSTORY
EUKLIDOVSKÉ PROSTORY Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Zobrazení (.,.) : L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx,
KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO DAGMAR SKALSKÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN
KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA DAGMAR SKALSKÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
1 Řešení soustav lineárních rovnic
1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty
MATEMATIKA PRO PŘÍRODNÍ VĚDY LINEÁRNÍ ALGEBRA, DIFERENCIÁLNÍ POČET MPV, LADP TUL, ZS 2009/10
1 MATEMATIKA PRO PŘÍRODNÍ VĚDY LINEÁRNÍ ALGEBRA, DIFERENCIÁLNÍ POČET 2 koncepce/slides: Jan Picek přednášející: Jiří Veselý KAP, tel. 485352290, budova H konzul. hodiny: dle úmluvy e-mail: jvesely@karlin.mff.cuni.cz
Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.
Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak
Dnešní látka Opakování: normy vektorů a matic, podmíněnost matic Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda
Předmět: MA 4 Dnešní látka Opakování: normy vektorů a matic, podmíněnost matic Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda Četba: Text o lineární algebře v Příručce přežití na webových
Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat
Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních
maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést
Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud
Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).
Předmět: MA 4 Dnešní látka Vektorový (lineární) prostor (připomenutí) Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost
Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe.
4 Afinita Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. Poznámka. Vzájemně jednoznačným zobrazením rozumíme zobrazení,
Báze a dimenze vektorových prostorů
Báze a dimenze vektorových prostorů Buď (V, +, ) vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Nechť u 1, u 2,..., u n je konečná posloupnost vektorů z V. Existují-li prvky s 1, s 2,..., s n T, z nichž alespoň