Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Transkript

1 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a a 1k... a 1n a 21 a a 2k... a 2n... a j1 a j2... a jk... a jn (1... a m1 a m2... a mk... a mn Veličiny a 11, a 12,..., a mn ve schématu (1 nazýváme prvky matice a mohou to být čísla (reálná i komplexní i funkce. Index jk u prvku a jk určuje pozici (umístění prvku ve schématu. První index j udává pořadí řádku, druhý index k pořadí sloupce. Např. prvek a 32 je umístěn ve 3. řádku a ve 2. sloupci, tj. má pozici 32. Matici ( 1 budeme označovat A nebo (a ij. Chceme-li současně vyjádřit, že matice A je typu (m, n, zapíšeme A(m, n. Je-li matice tvořena jediným sloupcem, resp. jediným řádkem, můžeme k označení jejích prvků použít pouze jeden index, např. b 1 b 2 B., resp. C (c 1, c 2,..., c n. b m Prvky a ii matice diagonálu matice. (1 nazýváme diagonální prvky, všechny diagonální prvky tvoří hlavní 3.2 Vlastnosti matic Rovnost matic Řekneme, že dvě matice A (a ij a B (b ij, i 1, 2,..., m, j 1, 2,..., n téhož typu (m, n jsou si rovny, jestliže prvky ve stejných pozicích si jsou rovny, tj. platí rovnost a ij b ij, pro každé i 1, 2,..., m, j 1, 2,..., n. Zapisujeme A B. V opačném případě řekneme, že matice A a B jsou různé a zapisujeme A B. ( ( Zřejmě matice A a B nejsou stejné, protože A je matice typu (2, 2, zatímco B je matice typu (2, 3. 1

2 Označíme-li D d 1 d 2 d 3 d 4, potom rovnost D je stručným zápisem čtyř rovností d 1 1, d 2 2, d 3 3, d 4 4. Rovnost matic typu (3, 1 x + 5y 3z 2x 7y + z 6y z je jeden z možných zápisů soustavy tří lineárních rovnic Transponování matic x + 5y 3z 9 2x 7y + z 3 6y z 3. (2 Je-li dána matice A (a ij typu (m, n, potom matice B (b ji typu (n, m, pro jejíž prvky platí b ji a ij pro každé i 1,..., m, j 1,..., n, se nazývá transponovaná matice k matici A a značí se A T. Transponovaná matice k matici A 1, 3, 0 7, 4, 1 4, 3, 0 2, 1, 5 (a ij je matice A T 1, 7, 4, 2 3, 4, 3, 1 0, 1, 0, 5 tj. prvek z pozice (i, j se objeví v pozici (j, i. (a ji, 2

3 Z definice transponované matice vyplývá (A T T A. (3 Pomocí horního indexu T se dá matice typu (n, 1 zapsat ve tvaru x 1 x 2. (x 1, x 2,..., x n T. x n Je účelné si zvyknout na označování n-tic čísel právě naznačeným způsobem Význačné matice 1. Nulová matice má všechny prvky nulové; budeme ji značit Ø. 2. Čtvercová matice je matice, jejíž počet řádků je stejný jako počet sloupců (v opačném případě mluvíme o obdélníkové matici. Počet řádků (a tedy i počet sloupců u čtvercové matice se nazývá řád matice. Je zřejmé, že transponovaná matice ke čtvercové matici n-tého řádu je opět čtvercová matice stejného řádu. 3. Diagonální matice je čtvercová matice, jejíž prvky ležící mimo hlavní diagonálu jsou nulové. Zvláštním případem diagonální matice je jednotková matice, která má na diagonále všechny prvky rovné 1, tj. platí a ij 0 pro každé i j, i 1, 2,..., n, j 1, 2,..., n, a ii 1 pro každé i 1, 2,..., n. Jednotkovou matici značíme I. 4. Symetrická matice je čtvercová matice, pro jejíž prvky platí Snadno lze ověřit, že a ij a ji pro každé i 1, 2,..., n, j 1, 2,..., n. (a pro symetrickou matici je A T A; (b každá diagonální matice je symetrická; (c jednotková matice je symetrická. 3

4 5. Horní trojúhelníková matice U (u ij je čtvercová matice, jejíž prvky pod hlavní diagonálou jsou nulové, tj. platí u ij 0 pro i > j. Dolní trojúhelníková matice L (l ij je čtvercová matice, jejíž prvky nad hlavní diagonálou jsou nulové, tj. platí Aritmetické operace s maticemi Součet matic l ij 0 pro i < j. Pro matice A (a ij a B (b ij téhož typu (m, n definujeme 1. součet matic jako matici S (s ij typu (m, n, pro jejíž prvky platí s ij a ij + b ij ; 2. rozdíl matic jako matici R (r ij typu (m, n, pro jejíž prvky platí pro i 1, 2,..., m a j 1, 2,..., n. r ij a ij b ij ; Krátce řečeno: sčítáme, resp. odečítáme, prvky ve stejných pozicích. Značíme A + B, resp. A B. Čtvercovou matici A (a ij lze zapsat jako součet horní a dolní trojúhelníkové matice. Pro matici 3. řádu je tedy a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 0 a 22 a a a a 31 a 32 0 Toto vyjádření se používá u numerických metod řešení soustav lineárních rovnic, zvláště u tzv. metody LU-rozkladu. Sčítání matic je definováno tak, že platí:. A + B B + A, (A + B + C A + (B + C, (A + B T A T + B T, 0 + A A + 0 A. (4 Násobení matice číslem 4

5 Pro libovolnou matici A (a ij typu (m, n definujeme r-násobek (r reálné nebo komplexní číslo matice A jako matici typu (m, n, jejíž prvky jsou r-násobky prvků a ij, tedy ra (r a ij pro i 1,..., m, j 1,..., n. Tedy matici vynásobíme číslem r tak, že číslem r vynásobíme všechny její prvky. Odtud plyne, že pro násobek matice platí: ra + sa (r + sa, r(a + B ra + rb, r(sa (rsa, (ra T ra T, kde r, s jsou čísla (reálná nebo komplexní. Je dána matice A (a ij třetího řádu. Vytvoříme matici λi A, kde λ je libovolné číslo (reálné nebo komplexní λi A λ a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 λ a 11 a 12 a 13 a 21 λ a 22 a 23 a 31 a 32 λ a 33. S maticí tohoto typu se setkáme při výpočtu vlastních čísel matice. Matici, obsahující komplexní čísla, můžeme vyjádřit pomocí matic s reálnými čísly: ( ( ( 2 + 3i 4 5i i. 2 6i Součin matic je definován složitějším způsobem než předchozí operace s maticemi, proto si nejdříve budeme postup ilustrovat na jednoduchém příkladě: ( , 2 ( , 9 ( , 5 (

6 Násobení dvou matic provedeme pro obecné matice A (a ij typu (3, 2 a B (b ij typu (2, 2: a 11 a 12 a 21 a 22 a 31 a 32 ( b11 b 12 b 21 b 22 a 11 b 11 + a 12 b 21, a 11 b 12 + a 12 b 22 a 21 b 11 + a 22 b 21, a 21 b 12 + a 22 b 22 a 31 b 11 + a 32 b 21, a 31 b 12 + a 32 b 22 Z uvedených dvou příkladů lze vypozorovat zásady, které platí pro součin dvou matic A a B : 1. Aby součin dvou matic A a B byl definován, musí být počet sloupců matice A stejný jako počet řádků matice B, tj. je-li matice A (a ik typu (m, p, musí být matice B (b kj typu (p, n, tj. 2. Prvek c ij výsledné matice C A B je A(m, p B(p, n C(m, n.. c ij a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a ip b pj p a ik b kj. (5 k1 3. Výsledná matice C je typu (m, n. Poznámka Pokud považujeme řádky (resp. sloupce matice za řádkové (resp. sloupcové aritmetické vektory, lze vztah ( 5 pro prvek c ij chápat jako skalární součin i-tého řádkového vektoru matice A a j-tého sloupcového vektoru matice B. Tím je také zdůvodněna podmínka pro typ matic, která musí být pro definici součinu splněna. Vlastnosti součinu matic 1. Násobení matic není komutativní. Je-li definován součin AB, nemusí být definován součin BA, protože nemusí být splněna podmínka pro počet řádků a sloupců. Ale i v případě, že součiny AB i BA jsou definovány, nemusí platit ABBA (viz následující příklad. ( ( ( ,

7 ale ( ( ( Obecně tedy je AB BA. Rovnost platí pouze pro některé speciální dvojice matic. 2. Pro libovolnou matici A platí 0A 0 a A0 0, kde 0 je nulová matice (jsou-li součiny na levých stranách definovány. Pro čtvercové matice platí A 0 0 A, kde A je libovolná čtvercová matice. 3. Pro libovolnou matici A je AI A a IA A, kde I je jednotková matice (jsou-li součiny na levých stranách definovány. 4. Součin dvou nenulových matic může být nulová matice. To znamená, že z rovnosti AB 0 nevyplývá, že musí být A nebo B nulová matice. Je třeba si uvědomit, že tuto vlastnost násobení čísel nemá. ( ( ( Jsou-li všechny následující součiny matic definovány (mají smysl, platí: 4. A(BC (ABC. 5. (A + BC AC + BC. 6. (AB T B T A T. 7. r(ab (rab A(rB, kde r je libovolné číslo. 8. Pomocí součinu matic můžeme definovat mocninu čtvercové matice: (a A 1 A; (b A n A n 1 A pro n N, n 2; (c Definujeme A 0 I Determinant čtvercové matice V tomto odstavci se budeme zabývat pouze čtvercovými maticemi.. Definice determinantu 7

8 Pojem determinant matice si nejdříve zavedeme pro (číselnou matici 2. a 3. řádu a pak teprve přistoupíme k definici determinantu matice n-tého řádu. Je dána čtvercová matice 2. řádu ( a11 a A 12. (6 a 21 a 22 Číslo a 11 a 22 a 21 a 12 se nazývá determinant matice A a značí se a ( 11 a 12 a 21 a 22, det a11 a 12, det A. a 21 a 22 Je dána čtvercová matice 3. řádu Číslo A a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33. a a 22 a a a 32 a 33 a 21 a a a 31 a 33 +a 21 a a 31 a 32. (7 }{{}}{{}}{{} A 11 A 12 A 13 se nazývá determinant matice A a značí se a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33, det a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33, det A. Determinanty A 11, A 12, A 13 v ( 7 jsme vytvořili vynecháním prvního řádku a postupně prvního, druhého a třetího sloupce původní matice třetího řádu. Analogicky jako v (7 definujeme determinant čtvercové matice n-tého řádu pro n > 3 (pomocí determinantů (n 1-ho řádu: Determinant čtvercové matice (n-tého řádu A je číslo označované det A a definované takto: 1. Pro n 1 je det A a Pro n 2 je det A a 11 a 22 a 12 a 21. a 11 a a 1n a 21 a a 2n a n1 a n2... a nn 8

9 3. Pro n > 2 je det A a 11 det A 11 a 12 det A ( 1 n+1 a 1n det A 1n, (8 kde matice A 1i pro i 1, 2,..., n jsou matice (n 1-ho řádu a vzniknou z matice A vynecháním 1. řádku a i-tého sloupce, i 1, 2,..., n. Poznámka Vyjádření determinantu vztahem (8 se nazývá rozvoj determinantu podle 1. řádku. ( 3 4 Vypočtěte determinant matice ( Vypočtěte determinant matice ( Sarrusovo pravidlo. Aplikujeme-li předpis ( 7 na matici třetího řádu, dostaneme det A a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 a 13 a 22 a 31. (9 Pro zapamatování volby příslušných tří výběrů s kladným, případně záporným znaménkem se používá obvykle jedno z následujících dvou schémat. Matici A rozšíříme na matici typu (5, 3 (resp. typu (3, 5 tak, že pod (resp. za matici A připíšeme ještě první a druhý řádek (resp. první a druhý sloupec matice A. Dostaneme matice a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 21 a 22 a 23 a 11 a 12 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 v nichž výběry s kladným znaménkem jsou vyznačeny souvislými čarami a výběry se záporným znaménkem čárkovaně. 9

10 Nebezpečnost tohoto pravidla spočívá v tom, že je mnohdy aplikováno i na výpočet determinantů vyšších řádů. POZOR, je to hrubá CHYBA. Sarrusovým pravidlem vypočtěte determinant matice A Řešení: det A 0 2 ( ( 1 ( ( ( 1 0 ( Rozvojem podle 1. řádku vypočtěte determinant matice A det A 1 +( Převedli jsme výpočet determinantu 4. řádu na výpočet 4 determinantů 3. řádu. Pomocí ( 7 dostáváme det A 1 ( 49 0 ( 12 + ( Další způsoby výpočtu determinantu Postup výpočtu determinantu rozvojem podle prvního řádku lze modifikovat tak, že provedeme rozvoj podle libovolného řádku, popř. sloupce. Rozvoj determinantu podle i-tého řádku zapíšeme det A ( 1 i+1 a i1 det A i1 + ( 1 i+2 a i2 det A i2 + + ( 1 i+n a in det A in, (10 a rozvoj podle j-tého sloupce zapíšeme det A ( 1 1+j a 1j det A 1j + ( 1 2+j a 2j det A 2j + + ( 1 n+j a nj det A nj. (11 10

11 Matice A ij je matice řádu n 1 vzniklá z původní matice A vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce. Číslo (pro daná i 1, 2,..., n, j 1,..., n D ij ( 1 i+j det A ij, (12 se nazývá algebraický doplněk prvku a ij. Rozvoj determinantu podle i-tého řádku (vztah 10 lze pomocí algebraických doplňků psát ve tvaru det A a i1 D i1 + a i2 D i2 + + a in D in, (13 Rozvoj determinantu podle j-tého sloupce (vztah 11 lze pomocí algebraických doplňků psát ve tvaru resp. podle det A a 1j D 1j + a 2j D 2j + + a nj D nj. (14 Nyní si při výpočtu determinantu můžeme vybrat takový řádek nebo sloupec, který má nejjednodušší prvky, nejlépe nuly. Umíme-li nyní provést rozvoj determinantu podle libovolného sloupce nebo řádku, pokusme se vypočítat determinant matice z předchozího příkladu kratším postupem. Provedeme-li rozvoj podle druhého sloupce, je zřejmé, že v rozvoji dostaneme pouze 2 nenulové sčítance a budeme tedy počítat pouze dva determinanty 3. řádu. det A ( det A 22 + ( det A ( ( Úplnou matematickou indukcí lze dokázat, že determinant trojúhelníkové matice je roven součinu prvků na diagonále. Důkaz provedeme pro horní trojúhelníkovou matici. Pro n 2 je u 11 u 12 0 u 22 u 11u 12. Předpokládejme, že tvrzení platí pro trojúhelníkovou matici (n 1-ho řádu. Rozvineme-li determinant horní trojůhelníkové matice n-tého řádu podle prvků n-to řádku, dostaneme u 11 u u 1n u 11 u u 1,n 1 0 u u 2n... ( 1 n+n u nn 0 u u 2,n u nn u n 1,n 1 u 11 u u n 1,n 1 u nn. Stejným způsobem lze dokázat tvrzení pro dolní trojúhelníkovou matici. 11

12 Vlastnosti determinantů 1. Pro libovolnou čtvercovou matici A platí det A T det A. Pro determinant matice 2. řádu je důkaz uvedeného tvrzení elementární. det A a 11 a 12 a 21 a 22 a 11a 22 a 12 a 21 det A T a 11 a 21 a 12 a 22 a 11a 22 a 12 a 21. Je tedy det A det A T. Pro determinant matice A 3. řádu dostaneme rozvojem podle 1. řádku det A a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a a 22 a a 32 a 33 a 12 a 21 a 23 a 31 a 33 + a 13 a 21 a 22 a 31 a 32 a pro determinant matice transponované A T dostaneme rozvojem podle prvního sloupce a 11 a 21 a 31 det A T a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 a a 22 a a 23 a 33 a 12 a 21 a 31 a 23 a 33 + a 13 a 21 a 31 a 22 a 32. Pro determinant matice 3. řádu tedy platí det A det A T. Úplnou matematickou indukcí lze analogickým postupem dokázat uvedenou vlastnost pro determinant matice n-tého řádu. Důsledkem uvedené vlastnosti je, že všechna tvrzení o determinantech, která platí pro řádky matice, platí i pro její sloupce. 2. Zaměníme-li v matici pořadí dvou řádků, změní se znaménko determinantu. Pro determinant matice 2. řádu je zřejmě a 11 a 12 a 21 a 22 a 11a 22 a 12 a 21 (a 12 a 21 a 11 a 22 a 21 a 22 a 11 a 12. Úplnou indukcí lze opět ukázat, že tvrzení platí i pro determinant matice řádu n > 2. Důsledkem tvrzení 2. je: Má-li matice dva řádky stejné, je determinant matice nulový. 12

13 3. Z definice determinantu vyplývá, že je-li jeden řádek matice A nulový, je det A Vznikne-li matice B z matice A vynásobením jednoho řádku číslem k, je det B k det A. 5. Vznikne-li matice B z matice A přičtením k-násobku i-tého řádku k j-tému, je det B det A. Pro matici 2. řádu je a 11 a 12 a 21 + ka 11 a 22 + ka 12 a 11 (a 22 + k a 12 a 12 (a 21 + k a 11 a 11 a 22 a 12 a 21 + k(a 11 a 12 a 12 a 11 det A + k Jsou-li A a B čtvercové matice téhož řádu, pak det AB det A det B. Vypočtěte determinant Řešení: Od druhého řádku odečteme dvojnásobek prvního řádku a od třetího a čtvrtého odečteme první řádek. Potom provedeme rozvoj determinantu podle prvního sloupce ( ( Od druhého řádku odečteme první řádek, od třetího dvojnásobek prvního řádku a provedeme rozvoj podle prvního sloupce: ( Je tedy

14 3.3 Inverzní matice Čtvercová matice, jejíž determinant je různý od nuly, se nazývá regulární matice. Čtvercová matice, jejíž determinant je roven nule, se nazývá singulární matice. Definice Nechť A je regulární matice, I jednotková matice. Jestliže pro matici X platí AX XA I, (15 nazývá se matice X inverzní matice k matici A a značí se A 1. Vztah ( 15 lze psát tedy ve tvaru AA 1 A 1 A I. Inverzní matice X A 1 je tedy řešením maticové rovnice AX I. ( 1 1 Stanovte matici X takovou, že platí AX I, kde A a I 1 2 Řešení: Tedy ( ( ( 1 1 x11 x x 21 x 22 Z podmínky rovnosti matic řešíme soustavu rovnic x 11 + x 21 1, x 12 + x 22 0, x x 21 0, x x Řešení těchto dvou soustav snadno vypočteme: Tedy x 11 2, x 12 1 x 21 1, x X A 1 ( ( Vidíme, že stanovení inverzní matice je ekvivalentní k určení řešení soustav lineárních rovnic (viz kap. 3. Vlastnosti inverzní matice: 1. Ke každé čtvercové matici existuje nejvýše jedna inverzní matice. 2. Ke každé regulární matici existuje právě jedna inverzní matice. 3. (A 1 1 A;.. 14

15 4. I 1 I; 5. (AC 1 C 1 A 1, jakmile je definována alespoň jedna strana této rovnosti; 6. (A T 1 (A 1 T ; 7. det A 1 1 det A. 8. Inverzní matice ( X k diagonální matici D (d i, d i 0 je opět diagonální matice X D 1 1 d i ; rozepsáno D 1 d 1, 0,..., 0 0, d 2,..., , 0,..., d n 1 1 d 1, 0,..., 0 1 0, d 2,..., , 0,..., d n. Odvoďte uvedená pravidla 1 8 pro matice druhého řádu. 15