0. Struktura matematické teorie

HTML
DOWNLOAD

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "0. Struktura matematické teorie"

Jiřina Říhová
před 9 lety
Počet zobrazení:

1 0. Strktra matematické terie Jedna kapitla celk Výrká lgika se zabýala ýstab matematiky matematické terie). Na pdrbnsti pjmů dkazji d text ýrké lgice. Zde prádím strčný ýčet staebních prků. Aximy trzení, která se nedkazjí jen se z nich ychází; jde primitiní) pjmy, které se pkládají za intitině jasné šem a nějaká trzení jejich lastnsti) nich. Míst dkazání se disktje s cílem, že šichni zúčastnění bd mít stejn předsta. Definice zaádějí něc néh né pjmy terie nyní již nejde primitiní pjmy). Věty trdí něc zaedených pjmech definaných, eentálně i primitiních); je ntné je dkazat z definic a předchzích dkázaných ět případně aximů). Pznámky + příklady ilstrjí pjmy a rzšiřjí intitiní phled. Mdely speciální knstrkce, na které se ytřená terie testje a zhmtňje. Na střední škle se žádné matematické téma takt důsledně nebdje. Já t témat ektrech a analytické gemetrii takt dělám. Chci ám kázat, že staět matematik je jak staět zeď pečliě cihl p cihle. Když se t dělá ledabyle, hrzí, že zeď spadne. Nicméně předpkládám, že mji čtenáři a stdenti js středškláci a tak ne šechny ěty bdeme dkazat bď jde btížný důkaz nad středšklské mžnsti, neb bych ás ndil a tráil pedanterií.

Míst dkazání se disktje s cílem, že šichni zúčastnění bd mít stejn předsta. Definice zaádějí něc néh né pjmy terie nyní již nejde primitiní pjmy).

2 1. Pjem ektr C si předstajeme pd pjmem židle? 1) tt židli, tamt židli, klem stl js čtyři židle knkrétní ks 2) abstraktní pjem, který značje šechny židle Když se začne mlit židli, nejpre nám ytane na mysli abstraktní pjem. Není blíže specifikaný. Tepre dalšími infrmacemi se předstaa přesňje a knkretizje na práě tt a ne jin židli. Knkretizace nemsí ždy nastat, můžeme se celé úaze phybat jen abstraktní plze. A tak je t i z jinými pjmy strm, stůl, dům, Lze říci, že židle jak abstraktní pjem je jakýsi zástpce šech židlí třída židlí. Knkrétní židle je pak jedna instance - instalace ta je ázaná na hmt, na knkrétní bd prstr. Vektr c t je? Setkali jsme se s nimi e fyzice = rientaná úsečka ždy knkrétní, ázaný na těžiště či jiný bd. V matematice se s tímt nespkjíme; predeme následjící knstrkci Vezmeme spřádané djice bdů je jedn jestli riny neb prstr nebdeme t rzlišat) [A,B], [C,D], [X,Y],. Jde spřádané djice, prt [A,B] je něc jinéh než [B,A]!!! 1.1 Definice ekiplentní djice bdů Říkáme, že spřádané djice [A,B], [C,D] js ekiplentní, zn. [A,B] ~ [C,D] djice A,B je ekiplentní s djicí C,D), práě když střed bdů A,D je stejný bd jak střed bdů B,C. 1.2 Věta ekiplence je ekialence Relace ~ ekiplence) je ekialence, tj. je reflexiní pr každé da bdy A,B platí [A,B] ~ [A,B] je symetrická pr každé čtyři bdy A,B,C,D platí [A,B] ~ [C,D] => [C,D] ~ [A,B] je tranzitiní pr každých šest bdů A,B,C,D,E,F platí [A,B] ~ [C,D] a záreň [C,D] ~ [E,F] => [A,B] ~ [E,F]

Tepre dalšími infrmacemi se předstaa přesňje a knkretizje na práě tt a ne jin židli. Knkretizace nemsí ždy nastat, můžeme se celé úaze phybat jen abstraktní plze.

3 1.3 Pznámka Vezměme mnžin šech lidí a zaeďme ekiplenci takt da lidé js ekiplentní práě když js stejnéh phlaí. Mnžina šech lidí se nám rzpadne na dě mže a ženy) disjnktní mnžiny. Kd bde připmínat hemafridy, jen zbytečně kmplikje tt pznámk.) Vezměme šechny strmy a ekiplenci da strmy js ekiplentní práě když js stejnéh rd. Mnžina strmů se rzpadne na mnh skpin třešně, jablně, hršně, Pdbně ekiplence ede k rzklad mnžiny spřádaných djic bdů, které js p d disjnktní. 1.4 Definice ektr, místění ektr Vektrem AB z technických důdů se čast zapisje míst se šipk jen tčným bld) písmem =AB ) nazýáme mnžin šech ekiplentních spřádaných djic bdů s djicí [A,B]. Každý prek ektr, který d něj patří, každá djice [X,Y]~[A,B] se nazýá místění ektr Vektr AB. AB AA se nazýá nlý ektr. {[ X, Y ] x ;[ X, Y ] ~ [ A, B]} x x 1.5 Pznámka Různá místění téhž ektr [A,B] ~ [C,D] ~ [E,F] => různé značení téhž ektr AB CD EF V tmt text bdeme ektry psát tčně a někdy pr zdůraznění pžijeme ještě šipk. 1.6 Definice rnst ektrů Da ektry, se sbě rnají, =, práě když bsahjí stejné prky. 1.7 Pznámka AB XY UT VZ = AB = XY = UT = VZ 1.8 Definice mnžina ektrů Mnžin šech ektrů bdeme značit Γ elké řecké písmen gama). 1.9 Pznámka lný a ázaný ektr Vektr Γ jak třída) se nazýá lný ektr. Vektr AB se nazýá ázaný ektr. Nechť =CD. O ektr CD hříme jak místění ektr.

Mnžina strmů se rzpadne na mnh skpin třešně, jablně, hršně, Pdbně ekiplence ede k rzklad mnžiny spřádaných djic bdů, které js p d disjnktní. 1.

4 2 Základní perace s ektry 2.1 Definice Operace sčítání ektrů Nechť AB, BC Γ. Sčtem rzmíme ektr AB+BC=AC Γ. 2.2 Pznámka Pžíají se dě knstrkce sčt ektrů. V prní knstrkci je bd B kncým bdem prníh ektr a pčátečním bdem drhéh ektr. =AB =BC +=AC Drhá knstrkce sčt ektrů má pčáteční bd ektrů i ýsledk témže bdě [B,C]~[A,D] => BC=AD AB+AD=AC pčáteční bd b ektrů msí být týž AB+BB=AB => BB= je nlý ektr a je netrálním prkem při peraci sčítání Z brázk je zřejmé, že můžeme k ýsledk AD dspět různými cestami AB + BC ) + CD = AC + CD = AD AB + BC + CD ) = AB + BD = AD => perace + je asciatiní = AB = DC = BC = AD + = AB + BC = AC = AD + DC = + => perace + je kmtatiní AB + BA = AA = ektry AB a BA js zájemně pačné ektry BA = -AB úmla + -) = AB + -BC) = AB BC znaménk pačnéh ektr bdeme přeádět na peraci mins stejně jak aritmetice

=AB =BC +=AC Drhá knstrkce sčt ektrů má pčáteční bd ektrů i ýsledk témže bdě [B,C]~[A,D] => BC=AD AB+AD=AC pčáteční bd b ektrů msí být týž AB+BB=AB => BB= je nlý ektr a je netrálním prkem při peraci

5 2.3 Věta lastnsti sčítání ektrů Shrnně platí kmtatiní pr každé, Γ + = + asciatiní pr každé,,w Γ +)+w=++w) existence nléh prk existje Γ tak že pr každé Γ +=+= existence pačnéh prk ke každém Γ existje - Γ +-)=-)+= 2.4 Příklad Je dán kádr ABCDEFGH. Napište ektr AG jak sčet tří ektrů a t třemi různými způsby a zakreslete je. řešení například AG = AB + AD + AE, AG = AB + BC + CG, AG = AB + EF + DH 2.5 Příklad V praidelném šestibkém jehlan ABCDEFV je značen střed základny S. Určete tyt sčty 1. AB + BC + CD + DE + EF + FA = 2. AS + AB + AF = 3. VB + BA ES + SD BF = řešení 1., 2. AD, 3. VC 2.6 pznámka

Napište ektr AG jak sčet tří ektrů a t třemi různými způsby a zakreslete je.

6 2.7 Definice Operace násbení ektr reálným číslem Nechť λ R je reálné čísl a Γ je ektr, [A,B] = AB je jeh jedn jeh místění. Sčinem reálnéh čísla λ a ektr rzmíme ektr λ, pr jehž jedn místění [A,C] λ platí 1.) λ=0 neb = => C=A tj, [A,A] λ= 2.) λ>0 => C leží na plpřímce AB tak, že zdálenst AC je λ-krát ětší než zdálenst AB AC = λ AB 3.) λ<0 => C leží na plpřímce pačné k plpřímce AB tak, že AC = λ AB 2.8 Příklad Js dány nenlé ektry,, w, t. Narýsjte ektr x = 2 + w 3/2 t. 2.9 Příklad Je dána krychle ABCDEFGH. Narýsjte ektry a) AK = AF + ½ ED 2 GH b) BL = DC + 2 GF 3/2 BD c) AM = AC + ½ BF BH 2.10 Pznámka

) λ>0 => C leží na plpřímce AB tak, že zdálenst AC je λ-krát ětší než zdálenst AB AC = λ AB 3.

7 3. Abstraktní ektrý prstr 3.1 Definice ektrý prstr Bď Γ mnžina, jejíž prky bdeme nazýat ektry a značit malými písmeny latinské abecedy se šipk. Nechť na mnžině Γ je definána perace sčítání ektr s těmit lastnstmi 1) 2) 3) 4),,, w ) ) w ) 5), Nechť R js reálná čísla, která bdeme značit malými písmeny řecké abecedy. Nechť na mnžině Γ je definán perace násbení ektr reálným číslem s těmit lastnstmi 6) 7) 8) 9) 10) 11),,, R R R R 1 0 ) ) ) 12) R Je-li tt še splněn, říkáme, že máme dán ektrý prstr nad reálnými čísly. 3.2 Definice lineární kmbinace Nechť,,, ) ) w) 1 2 n je n ektrů a, 2,... n R n reálných čísel. Vektr 2 2 n n se nazýá lineární kmbinací ektrů,,, 1 2 n. 3.3 Pznámka Mdely Mdel abstraktní matematické terie je taká interpretace šech pjmů, která knkretizje terii. Od jedné terie může být íce různých mdelů. My bdeme rzíjet abstraktní terii ektrých prstrů na mdelech. Vytřit mdel ektréh prstr nad reálnými čísly znamená a) rčit mnžin Γ, tj ymezit, c pr nás bde ektr b) definat sčítání ektrů a ěřit, zda platí lastnsti 1-5 definice 3.1 c) definat násbení ektr a reálnéh čísla a ěřit, zda platí lastnsti 6-9 def. 3.1 Oěřat lastnsti 10,11,12 nemsíme, nebť je lze dkázat z statních lastnstí. KONEC

Nechť na mnžině Γ je definán perace násbení ektr reálným číslem s těmit lastnstmi 6) 7) 8) 9) 10) 11),,, R R R R 1 0 ) ) ) 12) R Je-li tt še splněn, říkáme, že máme dán ektrý prstr nad reálnými čísly.

Podobné dokumenty

Konstrukce paraboly dané dvěma tečnami s body dotyku. Příklad: Sestrojte parabolu p, jsou-li dány její tečny t 1, t 2 s body T 1, T 2 dotyku.

Konstrukce paraboly dané dvěma tečnami s body dotyku. Příklad: Sestrojte parabolu p, jsou-li dány její tečny t 1, t 2 s body T 1, T 2 dotyku. Gemetrie Další užitečné knstrukce parably Řešené úlhy Knstrukce parably dané děma tečnami s bdy dtyku Příklad: Sestrjte parablu p, jsu-li dány její tečny, s bdy, dtyku. zlme dě různběžné přímky, a na každé