Některé možnosti uplatnění badatelských aktivit ve vyučování geometrii

Transkript

1 Některé možnosti uplatnění badatelských aktivit ve vyučování geometrii Some opportunities of use of inquiry activities in the teaching of geometry Filip Roubíček MESC: G12 Resume Inquiry-based teaching of geometry is based on use of inquiry activities of pupils in the process of problem solving. The base of this approach is finding of a stimulating geometrical environment which enables to describe interesting geometrical situations and to pose open problems. Inquiry-stimulating tasks describe an undefined, ambiguous and unknown situation and require its comprehensive exploration. Three geometrical tasks that may lead to inquiry activities of pupils are desribed. Key words: inquiry-based teaching of geometry, inquiry activities of pupils, stimulating geometrical environments, inquiry-stimulating tasks Resumé Badatelsky orientované vyučování geometrii je založeno na uplatnění badatelských aktivit žáků při řešení úloh. Východiskem tohoto přístupu je nalezení podnětného geometrického prostředí, v němž lze popsat zajímavé geometrické situace a vytvářet otevřené úlohy. Badatelské úlohy popisují neurčitou, nejednoznačnou nebo neznámou situaci a požadují její komplexní prozkoumání. V článku jsou popsány tři geometrické úlohy, které mohou vést k badatelským aktivitám žáků. Klíčová slova: badatelsky orientované vyučování geometrii, badatelské aktivity žáků, podnětná geometrická prostředí, badatelské úlohy 1. Badatelsky orientované vyučování Jedním z diskutovaných přístupů v přírodovědném a matematickém vzdělávání je badatelsky orientované vyučování (Samková, 2014). Tento přístup vychází z myšlenky, že aktivizace žáků prostřednictvím badatelských aktivit zvyšuje jejich zájem o učení a obohacuje jejich poznání v daném oboru. Základem badatelsky orientovaného vyučování je bádání, nikoliv ve

2 Roubíček, F.: Možnosti uplatnění badatelských aktivit ve vyučování geometrii smyslu vědecké činnosti založené na studiu jevů, vytváření teorií a jejich dokazování, ale jako činnost žáků, která rozvíjí jejich dosavadní poznatkovou síť a prohlubuje jejich porozumění pojmům, postupům a obecným zákonitostem. Badatelsky orientovaným vyučováním matematice se tedy rozumí takové vyučování, ve kterém jsou žáky uplatňovány badatelské postupy, jako jsou pozorování matematických objektů a jevů, kladení otázek, vyhledávání informací z různých zdrojů, plánování postupů, experimentování a modelování, sběr a analýza dat, usuzování a zobecňování, formulování a ověřování domněnek, vyvozování a diskutování závěrů (Hošpesová, 2014). Vzdělávacím cílem badatelsky orientovaného vyučování matematice je rozvíjet dovednosti učit se, hledat nové poznatky, rozšiřovat, prohlubovat a zpřesňovat své poznání, porozumět podstatě matematiky a jejímu významu pro řešení problémů. Hlavním úkolem učitele není v tomto přístupu sdělovat hotové poznatky, ale předkládat žákům podnětné situace a tím je motivovat k bádání, poskytovat jim prostor pro uplatnění badatelských postupů, reflektovat návrhy žáků a jejich individuální zkušenosti. Od žáků se očekává aktivnější zapojení než pouhý záznam sdělovaných informací. Předpokládá se, že žáci budou klást otázky, navrhovat postupy a vysvětlovat své závěry. Změna rolí žáka a učitele oproti tradičnímu modelu vyučování vyžaduje větší prostor pro sdílení poznatků, komunikaci formou dialogu a diskuse mezi žáky a také otevřenost k podnětům, které bádání přináší. Pro badatelsky orientované vyučování matematice jsou charakteristické situace, kdy žáci znovuobjevují již objevené (ale žákům neznámé) matematické postupy a zákonitosti a kdy řeší úlohy, které nabízejí různé interpretace, řešitelské postupy a více správných řešení. Významnou charakteristikou tohoto přístupu je podpora kooperativního a autonomního učení. Uplatnění badatelských postupů předpokládá, že žáci jsou vybaveni dostačující poznatkovou sítí, jsou schopni propojovat poznatky z různých oblastí matematiky i jiných oborů a případnou chybu přijímají jako podnět k učení (Artigue & Baptist, 2012). 2. Podnětná prostředí a badatelské úlohy Východiskem pro badatelsky orientované vyučování matematice je nalezení podnětného prostředí, v němž lze popsat zajímavé matematické situace a vytvářet úlohy (tzn. formulovat otázky a úkoly), jejichž řešení předpokládá uplatnění badatelských postupů takové úlohy nazýváme badatelské. Badatelské úlohy popisují neurčitou, nejednoznačnou nebo neznámou situaci a požadují její komplexní prozkoumání. Neurčitá vstupní situace nabízí řešiteli možnost rozhodnout se, jakými případy se bude zabývat, a vybrat si cesty, kterými se vydá. Dále jsou popsány tři badatelské úlohy s geometrickým obsahem, které mohou řešit žáci ve věku let.

3 Úloha 1 Čtverec je rozdělen na tři trojúhelníky (viz obr. 1 vlevo). Které mnohoúhelníky lze z nich sestavit? Zadaná vstupní situace v úloze 1 je na tolik neurčitá, že od žáků vyžaduje nejprve si ujasnit, jaké útvary mohou sestavovat, a rozhodnout se, zda omezí svá řešení na konvexní mnohoúhelníky (viz obr. 1) nebo zda budou uvažovat i nekonvexní. Zkoušení různých možností sestavení dílků představuje jednoduchou formu experimentování, které žákům poskytne dostatek poznatků pro nalezení strategie umožňující určit všechna řešení, případně zdůvodnit, že další řešení již neexistuje. Hledání všech řešení mohou žáci systematizovat například stanovením výchozího trojúhelníku, ke kterému přikládají v různých kombinacích zbývající dva. Je málo pravděpodobné, že žáci nesystematickou manipulací najdou všechny mnohoúhelníky. Obr. 1 Konvexní mnohoúhelníky sestavené z trojdílné skládačky Prostředí geometrických skládaček (Hošpesová, Samková, 2012) je rozmanité a příhodné pro generování geometrických situací, které jsou mladší žáci schopni uchopit na základě svých geometrických znalostí a zkušeností. Vstupní situaci pro badatelskou aktivitu lze jednoduše měnit užitím jiné skládačky. Samotná obměna výchozí situace přináší další otázky: Jak se změní řešení úlohy, bude-li čtverec rozdělen jiným způsobem? Jaký vliv mají tvar a počet dílků na variabilitu z nich sestavených mnohoúhelníků? Úlohy vytvořené v tomto prostředí lze zaměřit nejen na klasifikaci mnohoúhelníků, ale také na určování jejich vlastností (např. souměrnost, obvod). Úloha 2 Kolik společných bodů může mít kružnice a hranice čtverce? Uvedená geometrická situace je propedeutikou řešení konstrukčních úloh, ve kterých se využívá kružnice. Úloha vybízí žáky zkoumat vzájemnou polohu kružnice a čtverce a uvažovat různé případy, kdy se kružnice dotýká stran čtverce nebo je protíná. V zadání úlohy se záměrně neuvádí velikost obou útvarů ani bližší určení jejich vzájemné polohy. Neurčitá vstupní situace vede žáky k modelování, pozorování, formulování a ověřování domněnek. Žáci vytvářejí model geometrické situace, který jim umožňuje pozorovat různé případy, a na základě pozorování vyslovují určité domněnky, které následně ověřují. Zakreslením několika málo obrázků vzájemné polohy kružnice a čtverce žáci většinou objeví nejčastější případy, kdy kružnice a hranice

4 Roubíček, F.: Možnosti uplatnění badatelských aktivit ve vyučování geometrii čtverce nemají žádný společný bod, dotýkají se v jednom bodě nebo se protínají ve dvou bodech. Náročnější pro ně bývá určení maximálního počtu společných bodů a zdůvodnění, že kružnice nemůže protínat hranici čtverce ve více než osmi bodech. Hledání dalších případů (viz obr. 2) se třemi, pěti, šesti nebo sedmi společnými body usnadní užití názorného modelu (např. dynamického modelu vytvořeného v programu GeoGebra). Obr. 2 Společné body kružnice a hranice čtverce Úloha 3 Ve čtvercové síti 5 x 5 lze sestrojit několik různých čtverců, které mají vrcholy v uzlových bodech sítě. Kolik takových čtverců s celočíselným obsahem existuje? Prostředí čtvercové sítě je hojně využíváno v úlohách na výpočet obsahu mnohoúhelníku. V uvedené úloze nejde tak o výpočet obsahu, jako o prozkoumání situace, jak souvisí poloha čtverce v síti s jeho obsahem. Vyvstává otázka, zda čtverec, který má vrcholy v uzlových bodech, má vždy celočíselný obsah (uvažujeme-li jednotkovou čtvercovou síť). Žáci snadno určí pětici čtverců na obr. 3 vlevo, jejichž obsahy představují druhé mocniny čísel 1 až 5, a poté dojdou i k pootočeným čtvercům, které mají obsahy 2, 5, 8, 10, 13, 17. Uvedené řešení nabízí vyslovení určitých domněnek, jež lze ověřit pomocí obrázku bez znalosti učiva probíraného ve vyšších ročnících. Obr. 3 Čtverce ve čtvercové síti 5 x 5 Prostředí geometrických skládaček a prostředí čtvercové sítě patří mezi známá a učiteli často využívaná, ale jen některé úlohy vytvořené v těchto prostředích lze označit jako badatelské. Rozhodující pro uplatnění badatelských aktivit je vhodně položená otázka nebo zadaný úkol. Například

5 úlohy Jaký trojúhelník lze sestavit z trojdílné skládačky? Sestav z ní kosočtverec a kosodélník. nelze považovat za badatelské. Je-li situace popsaná v otázce nebo úkolu na tolik určitá, že nenabízí žákům žádný prostor cokoliv objevovat nebo zkoumat, jde spíše o úlohu prověřující znalost, porozumění nebo dovednost aplikace. Řešení badatelské úlohy většinou předpokládá, že žáci uplatní vyšší myšlenkové operace, jako jsou analýza, syntéza a hodnocení. 3. Závěr Badatelsky orientované vyučování představuje jednu z cest zkvalitňování matematického vzdělávání. Souvisí s projektovým a problémovým vyučováním, tvořením úloh, budováním schémat a dalšími konstruktivistickými přístupy, kde hlavními aktéry vyučování se stávají žáci a učitel přejímá spíše roli moderátora jejich činnosti. Badatelsky orientované vyučování vyžaduje od učitele velmi dobrou znalost matematického obsahu a jeho didaktického zpracování a také praktické zkušenosti s konstruktivistickými přístupy. Je nezbytné, aby uměl vybrat vhodná prostředí, naformulovat podnětné úlohy, vést žáky k diskusi a pružně a správně reagovat na podněty od žáků. Úspěšné uplatnění badatelských postupů předpokládá takovou kulturu vyučování, která podněcuje žáky ke kladení otázek a tvořivému přístupu k řešení úloh. Je zřejmé, že badatelské postupy nelze uplatnit za všech okolností a v jakékoliv skupině žáků. Vždy je třeba posoudit vzdělávací podmínky a zvážit efektivitu takové výuky v dané třídě. Její přínos se výrazněji projevuje v dlouhodobé perspektivě a při soustavném vedení žáků k badatelským postupům. Výzkum je podporován grantem GAČR S a RVO Literatura ARTIGUE, M., BAPTIST, P. Inquiry in Mathematics Education. On line [2012] HOŠPESOVÁ, A., SAMKOVÁ, L. Skládání tvarů jako podnět k badatelským aktivitám v geometrii na ZŠ. In Jak učit matematice žáky ve věku let. Plzeň: Vydavatelský servis, 2012, s HOŠPESOVÁ, A. Badatelsky orientovaná výuka matematiky na 1. stupni ZŠ a příprava učitelů. In Matematika 6. Matematické vzdělávání v primární škole tradice, inovace. Olomouc: UP, 2014, s SAMKOVÁ, L. Sedm podob badatelsky orientovaného vyučování matematice I. In Setkání učitelů matematiky všech typů a stupňů škol. Plzeň: Vydavatelský servis, 2014, s Filip Roubíček Matematický ústav AV ČR, v.v.i. Žitná 25, Praha 1 roubicek@math.cas.cz