Vizualizace specifických množin bodů kuželoseček pomocí nástrojů dynamické geometrie

Transkript

1 Vizualizace specifických množin bodů kuželoseček pomocí nástrojů dynamické geometrie Visualization of Specific Sets of Points of Conic Sections Using the Tools of Dynamic Geometry Abstract David Nocar, Tomáš Zdráhal One of the important mathematical skills which pupils need to develop is the ability of geometrical thinking. Pupils need stimulating activities which enable them to solve geometric problems. Development of geometrical thinking takes time and therefore the pupils requires of geometrical terms and their characteristics. An example might be various geometrical places of points or also sets of points of given property. It starts already at primary school respectively in kindergarten where there is a development of intuitive perception of the world around. We can show pupils at the higher school levels known geometrical objects as sets of points even in less common situations. In this paper we show at several geometrical places of points of conic sections, what are the possibilities for the development of pupil geometrical thinking, but especially how to effectively use the tools of dynamic geometry for their own discovering and visualization and making them their discovery process easier and accelerates checking acquired knowledge. Keywords: geometrical thinking, dynamic geometry, visualization MESC: U70 1. Úvod Nejen v matematickém vzdělávání usilujeme o to, aby učení žáků bylo co nejvíce podpořeno porozuměním. Žák si lépe uchová nový poznatek, zkonstruuje-li si jej sám. V souladu s konstruktivistickým pohledem na žákovo učení je v poslední době silně se rozvíjející směr nazývaný badatelsky orientované vzdělávání (Nováková, 2013; Samková, Roubíček, Tichá, Hošpesová, 2014; Nocar - Zdráhal, 2015). Velmi vhodnou oblastí matematiky pro samostatné bádání a objevování žáky je geometrie, která přímo vybízí zadávat úlohy badatelsky orientované. Geometrie má v životě dospělého člověka mnoho praktických aplikací. Každý z nás využívá geometrické vztahy k měření vzdáleností a určování obsahů a objemů geometrických útvarů. Geometrie a vizuální myšlení je důležité v umění, architektuře, grafice, atd. Proto jednou z důležitých matematických schopností, kterou si žáci potřebují 157

2 Nocar, D., Zdráhal, T.: Vizualizace specifických množin bodů kuželoseček pomocí nástrojů dynamické geometrie rozvíjet, je schopnost geometrického uvažování. Geometrické myšlení lze jistě rozvíjet, vede k němu dlouhá cesta, na jejímž začátku stojí žákovské objevování základních vztahů a pojmů. Pierre van Hiele tvrdí, že rozvoj geometrického myšlení probíhá v pěti oddělených úrovních. Tyto úrovně jsou následující (Žilková, 2013): Úroveň 0: Vizualizace rozpoznávání a pojmenovávání obrazců. Úroveň 1: Analýza popisování vlastností obrazce. Úroveň 2: Neformální dedukce klasifikace a třídění obrazců podle vlastností. Úroveň 3: Dedukce provádění důkazů za použití vět a definic. Úroveň 4: Tvrdá matematika práce v různých geometrických systémech. Žáci potřebují podnětné činnosti, které jim umožní řešit geometrické problémy. Rozvoj geometrického myšlení je dlouhodobá záležitost, a proto vyžaduje setkávání žáků s geometrickými pojmy a jejich vlastnostmi. Příkladem mohou být různá geometrická místa bodů neboli též množiny bodů dané vlastnosti. Příkladem pro žáky 1. stupně základní školy to může být objevení osy úsečky (Nocar Novák, 2015), pro žáky střední školy to mohou být např. specifická geometrická místa bodů kuželoseček, jak si dále v tomto článku ukážeme, stejně jako kuželosečky samotné. Proces rozvíjení geometrického myšlení konstruktivistickým přístupem badatelsky orientovaného vzdělávání ještě umocňuje potenciál softwaru dynamických geometrií, které jsou obzvláště vhodné pro samostatné bádání a experimentování především v geometrii. Nástroje dynamické geometrie usnadňují vizualizaci, která žákům jejich proces objevování urychluje a usnadňuje i kontrolu získaných poznatků. 2. Dynamické geometrie Na rozdíl od klasického pojetí geometrických konstrukcí na papír či tabuli s využitím pravítka a kružítka, kdy získáme statickou konstrukci (rys, obrázek), existují počítačové programy, které umožňují konstrukce dynamické a interaktivní. Kotenkamp, Richter-Gebert, (1998) tyto programy označují jako systémy interaktivní geometrie. J. Vaníček uvádí: Software, v němž nejsou sestrojené objekty statické, ale lze s nimi po jejich vytvoření dále manipulovat, měnit jejich tvar, velikost a polohu v nákresně i pozici vzhledem k ostatním objektům (při zachování určitých invariantů, jimiž jsou definované vztahy mezi objekty), nazýváme programy dynamické geometrie. Tuto dynamiku umožňující pohyb vzájemně provázaných objektů lze velmi efektivně využít k objasnění řady geometrických poznatků. Mezi systémy dynamické geometrie (DGS) patří např.: Cabri Geometrie, GeoGebra, C.a.R. (Compass and Ruler). 158

3 3. Kuželosečky ve školské matematice S některými geometrickými pojmy, které můžeme ve speciálních případech považovat za kuželosečky (bod, přímka) se setkávají již žáci základní školy. Takovéto kuželosečky označujeme jako singulární. Z regulárních kuželoseček se setkávají jen s kružnicí, ale ani jeden z těchto geometrických útvarů jim není prezentován jako kuželosečka. S regulárními kuželosečkami elipsa, hyperbola a parabola se setkávají žáci až na střední škole viz např. Rámcový vzdělávací program pro gymnázia (RVP G): Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obsah: Geometrie učivo: geometrie v rovině rovinné útvary (klasifikace), obvody a obsahy; shodnost a podobnost trojúhelníků; Pythagorova věta a věty Euklidovy; množiny bodů dané vlastnosti; úhly v kružnici, shodná zobrazení (osová a středová souměrnost, posunutí, otočení); stejnolehlost; konstrukční úlohy analytická geometrie v rovině vektory a operace s nimi; analytická vyjádření přímky v rovině; kuželosečky (kružnice, elipsa, parabola a hyperbola) Kuželosečka je pojem, který byl znám už starověkým antickým autorům. Samotné názvy, které dnes pro kuželosečky užíváme (elipsa, parabola a hyperbola), zavedl počátkem druhého století před Kristem Apollonios z Pergy ve svém osmisvazkovém díle Kuželosečky. Změnil v něm původní pohled na kuželosečky a rotační tělesa tím, že podal jejich nové definice. Tyto knihy dodnes vzbuzují obdiv pro svou úplnost. Kužel definoval jako těleso, které vznikne pohybem bodu přímky po kružnici, když je tato přímka v jiném bodě upevněna. Kuželosečky pak definoval pomocí řezů kuželu rovinou. Kuželosečky však také chápal jako geometrická místa bodů určitých vlastností. Připomeneme si množinové definice regulárních kuželoseček a některé věty charakterizující jejich základní vlastnosti (bez důkazu), např. Hodaňová, Nocar, Vaněk, 2005): Definice 1: Elipsa je množina všech bodů v rovině, které mají od dvou daných různých bodů F 1, F 2, zvaných ohniska, konstantní součet vzdáleností větší než vzdálenost bodů F 1, F 2. Definice 2: Parabola je množina všech bodů v rovině, které mají od daného bodu a od dané přímky, která tímto bodem neprochází, stejnou vzdálenost. 159

4 Nocar, D., Zdráhal, T.: Vizualizace specifických množin bodů kuželoseček pomocí nástrojů dynamické geometrie Definice 3: Hyperbola je množina všech bodů v rovině, které mají od dvou daných různých bodů F 1, F 2 konstantní kladný rozdíl vzdáleností menší než je vzdálenost bodů F 1, F 2. Elipsa rozděluje rovinu na tři části: elipsu, vnitřní oblast elipsy a vnější oblast elipsy. Bodům, které leží v téže části roviny jako ohniska, říkáme body vnitřní oblasti elipsy, ostatním bodům roviny, pokud nejsou body elipsy, říkáme body vnější oblasti elipsy. Lze dokázat, že součet průvodičů bodů vnitřní oblasti elipsy je menší než 2a, součet průvodičů bodů vnější oblasti elipsy je větší než 2a. Je-li T bod elipsy, pak úhel F 1 TF 2 (ve kterém leží střed elipsy) a příslušný úhel vrcholový se nazývají vnitřní úhly průvodičů bodu T. Vedlejší úhly k těmto úhlům se nazývají vnější úhly průvodičů bodu T elipsy. Věta 1: Tečna elipsy sestrojená v libovolném bodě dotyku elipsy je osou vnějších úhlů průvodičů bodu dotyku. 4. Vizualizace Cíl, popis aktivity, pomůcky: Nyní máme vše připraveno k samostatné činnosti žáků, aby si mohli vizuálně ověřit za pomocí nástrojů dynamické geometrie následující větu: Věta 2: Množina všech pat kolmic, které jsou spuštěny z ohnisek elipsy na všechny její tečny, je kružnice opsaná okolo středu elipsy poloměrem rovným velikosti hlavní poloosy. Samostatnou činnost žáků či studentů lze zadat různě dle stupně studia, jejich vědomostí a dovedností. V tomto případě se žáky střední školy pouze provedeme vizualizaci dané věty a výrok vizuálně, polohovými a metrickými nástroji programu dynamické geometrie ověříme. Studentům na vysoké škole zadáme pouze první část věty Množina všech pat kolmic, které jsou spuštěny z ohnisek elipsy na všechny její tečny, je a studenti sami mohou dojít k hledané množině a provést důkaz. Vizualizaci provedeme v programu Cabri II Plus (popř. v jiném programu dynamické geometrie). Předpokládané znalosti a dovednosti žáka: Definice kuželoseček a jejich konstrukce jako množiny bodů dané vlastnosti. Vlastnosti a konstrukce tečny elipsy v daném bodě dotyku. Dovednost pracovat s programem Cabri II Plus nebo jiným programem systému dynamické geometrie. (Aby žáci mohli sami 160

5 provádět vizualizace popř. samostatně bádat a objevovat s pomocí dynamických geometrií, musí být schopni ovládat konkrétní program např. Cabri II Plus. Učitel seznámí žáky s příslušným programem, jeho možnostmi a ovládáním. Cílem tohoto přístupu není, aby žák prováděl veškeré kroky sám, ale prováděl jen ty, které povedou v souladu s konstruktivistickým přístupem ke konstrukci nového poznatku - vlastnímu poznání nové informace, vztahu, zákonitosti, nebo jen k požadované vizualizaci, proto učitel může žákům určité kroky v programu Cabri předchystat např. elipsu). Průběh činnosti žáka: Žák pracuje podle pokynů učitele a v souladu s Větou 2 na předpřipraveném zadání v programu Cabri. U této úlohy má žák sestrojenou elipsu. Dále může mít sestrojenou i tečnu elipsy v daném bodě nebo sestrojení tečny provede sám. Žák si na elipse zvolí libovolně bod dotyku T. Podle Věty 1 sestrojí v daném bodě tečnu pomocí nástrojů, které program Cabri nabízí (přímka, osa úhlu). Pomocné konstrukce si může následně skrýt, výsledné objekty pojmenuje. Figure 1. Zadaná elipsa se sestrojenou tečnou v bodě T. Žák může díky principům dynamické geometrie do konstrukce zasahovat a měnit rozmístění jednotlivých prvků. Např. bodem T může libovolně pohybovat po elipse a zároveň se dynamicky k této pozici přizpůsobuje i pozice tečny. Žák si tak může představit pozici tečny 161

6 Nocar, D., Zdráhal, T.: Vizualizace specifických množin bodů kuželoseček pomocí nástrojů dynamické geometrie v kterémkoliv bodě elipsy. Pokud by si chtěl zachovat několik tečen najednou v dané konstrukci, nemusí dokonce ani žádné další tečny sestrojovat. Stačí zadat tečně funkci stopa ano/ne a pohybovat bodem T po elipse. (Množství zachovaných tečen závisí na rychlosti pohybu bodem T. Čím pomaleji budeme bodem T pohybovat, tím více stop tečen v nákresně zůstane. Všechny tečny elipsy vyplní celou vnější oblast elipsy.) Figure 2. Tečny elipsy. Figure 3. Všechny tečny elipsy = vnější oblast elipsy. Nyní, když žák umí sestrojit libovolný počet tečen respektive všechny tečny elipsy díky dynamičnosti programu Cabri, může se přesvědčit o množině bodů pat kolmic na tyto tečny spuštěné z ohnisek elipsy. Vizualizaci provede 162

7 stejným způsobem jako konstrukci tečen elipsy, a to tak, že si sestrojí patu kolmice P spuštěnou z ohniska F 1, nebo F 2 pouze na jednu tečnu sestrojenou na počátku. K tomuto úkonu použije nástroje programu Cabri (kolmice, průsečík). Figure 4. Pata kolmice P spuštěná z ohniska F 2 na tečnu t. Pro získání dalších pat kolmic můžeme tento proces opakovat pro další tečny elipsy nebo, jak již žáci vědí, můžeme pozici tečny měnit změnou pozice bodu dotyku T. Pokud necháme zachovávat stopu těchto pozic pomocí funkce stopa ano/ne, jak pro tečnu, tak pro výslednou patu kolmice P, získáme rychlý náhled na několik těchto případů. Figure 5. Stopa pat P kolmic na několika tečnách elipsy. Již nyní se žákům pomocí stopy paty kolmice P začíná rýsovat požadovaná množina bodů. Pokud bychom pohybovali dále bodem T po elipse a dostatečně pomalu, vykreslila by se nám již celá požadovaná množina pat kolmic spuštěných z ohniska elipsy na všechny její tečny. 163

8 Nocar, D., Zdráhal, T.: Vizualizace specifických množin bodů kuželoseček pomocí nástrojů dynamické geometrie Figure 6. Stopa všech pat P kolmic na všech tečnách elipsy. Obrázek Figure 6 by již mohl být považován za dostatečnou vizualizaci první části Věty 2, ale se stopou se v programu Cabri nedá dále pracovat a tudíž nelze ukázat zbývající tvrzení věty týkající se středu a poloměru vykreslené kružnice. K tomuto účelu je nutné v programu Cabri danou množinu bodů nechat zvizualizovat jinou dynamickou funkcí nazvanou množina. Pomocí této funkce dokáže program Cabri z jednoho konkrétního zkonstruovaného případu zobrazit celou množinu bodů splňujících totéž kritérium jako onen jediný zkonstruovaný případ. S takto získanou množinou bodů lze dále v programu Cabri pracovat jako s kterýmkoliv jiným objektem. Figure 7. Množina všech pat P kolmic sestrojená pomoci funkce množina. 164

9 Námět na pokračování pro žáky: Aby bylo možné ukázat, že takto sestrojená kružnice má svůj střed ve středu elipsy, je potřeba si střed elipsy S sestrojit např. jako střed úsečky F 1 F 2. Poté si žáci sestrojí střed získané kružnice např. jako průsečík os libovolných tětiv kružnice. Již při sestrojení těchto os mohou vidět, že se všechny protínají ve středu S elipsy. Z konstrukce je patrné, že průměr získané kružnice je roven vzdálenosti hlavních vrcholů elipsy, neboli velikosti hlavní osy elipsy, z toho plyne, že poloměr kružnice je tedy roven velikosti hlavní poloosy elipsy. Aby bylo možno si tento vztah v programu Cabri vyčíslit, musí si žáci sestrojit hlavní vrcholy elipsy, nástrojem pro měření délky změřit vzdálenost hlavního vrcholu od středu elipsy a vzdálenost libovolného bodu získané kružnice od jejího středu a tyto hodnoty porovnat (zřejmé). Pokud bychom pro vizualizaci této věty použili program GeoGebra, bylo by možno si výslednou množinu bodů označit jako kuželosečku (nemusí být hned patrné, jestli se jedná o kružnici či elipsu) a program nám ukáže zápis obecné rovnice a tuto rovnici označí jako kružnici. Když už žáci mají sestrojenou elipsu, tečnu elipsy v daném bodě a patu kolmice spuštěné z ohniska na tuto tečnu, využijeme této přichystané konstrukce k vizualizaci další věty. Věta 3: Množina všech bodů, které jsou souměrně sdružené s jedním ohniskem elipsy podle jejích tečen, je kružnice se středem v druhém ohnisku o poloměru rovném velikosti hlavní osy elipsy. Postup vizualizace obdobný jako u Věty 2. Další náměty: Podobné věty o specifických množinách bodů na podobném principu jako u elipsy existují i u dalších kuželoseček, kterými jsou parabola a hyperbola. Stejným způsobem si mohou žáci provést vizualizace a ověření následujících vět: Věta 4: Množina všech pat P kolmic spuštěných z ohniska paraboly F na všechny její tečny je vrcholová tečna paraboly. Věta 5: Množina všech bodů Q souměrně sdružených s ohniskem F podle všech tečen paraboly je její řídicí přímka d. Věta 6: Množina všech pat kolmic spuštěných z ohnisek hyperboly na všechny její tečny je kružnice se středem ve středu S hyperboly o poloměru a. 165

10 Nocar, D., Zdráhal, T.: Vizualizace specifických množin bodů kuželoseček pomocí nástrojů dynamické geometrie Věta 7: Množina všech bodů souměrných s jedním z ohnisek hyperboly podle všech jejích tečen je kružnice se středem v druhém ohnisku o poloměru 2a. Mějme ale na paměti, že činnosti, které takto žáci na základě předložených vět provedou, slouží pouze jako vizualizace, nikoliv jako důkazy daných vět. U studentů vyššího stupně studia bychom mohli následně požadovat i důkazy těchto vět. 5. Závěr Příspěvek poukazuje na jednu z aktuálních možností podpory a rozvoje geometrického myšlení a představivosti žáků střední školy. Žákům je potřeba předkládat podnětné činnosti rozvíjející geometrickou představivost (nejen prostorovou). Co je dnes pro žáky podnětné a tudíž motivující je práce s výpočetní technikou, která nemá jen funkci motivační, ale její potenciál je mnohostranný. Výpočetní technika ve vzdělávacím procesu funguje jako didaktický prostředek zprostředkovávající učivo nejen kdykoliv a odkudkoliv (informace dostupnější), ale především by měla dělat učivo názornější. Jak jsme si ukázali na příkladu specifických množin bodů dané vlastnosti, jsou např. systémy dynamických geometrií velmi vhodným prostředím a nástrojem právě pro to dělat učivo názornější (např. vizualizace matematických pojmů a vět) a díky jejich dynamičnosti a interaktivně podporují žákovo vlastní experimentování a objevování. Literatura HODAŇOVÁ, J., NOCAR, D., VANĚK, V. Konstrukční geometrie I. Kuželosečky. Olomouc: Univerzita Palackého v Olomouci, vydání, 84 s. ISBN KOTENKAMP, U. H., RICHTER-GEBERT, J. (1998). Geometry and Education in the Internet Age. [on-line]. [cit ]. URL: < 24_GeometryAnd_EducationXX.pdf> NOCAR, D. - NOVÁK, B. Objevujeme s Cabri. In Studia Scientifica Facultatis Paedagogicae Universitatis Catholica Ružomberok, Rok 2015, roč. 14, č. 2. Ružomberok: Verbum, ISSN NOCAR, D. - ZDRÁHAL, T. The Potential of Dynamic Geometry for Inquiry Based Education. In EDULEARN15 Proceedings. Barcelona: IATED, ISBN / ISSN NOVÁKOVÁ, E. (2013). Od rutinního počítání k objevování. In Moderní trendy ve vyučování matematiky a přírodovědných předmětů. Brno, Masarykova Univerzita, str

11 Rámcový vzdělávací program pro gymnázia. Praha: Výzkumný ústav pedagogický v Praze, ISBN SAMKOVÁ, L. Sedm podob badatelsky orientovaného vyučování I. In Sborník příspěvků ze setkání učitelů matematiky všech typů a stupňů škol (Srní, ). Plzeň: Vydavatelský servis, ROUBÍČEK, F. Sedm podob badatelsky orientovaného vyučování II. In Sborník příspěvků ze setkání učitelů matematiky všech typů a stupňů škol (Srní, ). Plzeň: Vydavatelský servis, TICHÁ, M., HOŠPESOVÁ, A. Sedm podob badatelsky orientovaného vyučování III. In Sborník příspěvků ze setkání učitelů matematiky všech typů a stupňů škol (Srní, ). Plzeň: Vydavatelský servis, VANÍČEK, J. Dynamická geometrie [on-line]. [cit ]. URL: < ŽILKOVÁ, K. Teória a prax geometrických manipulácií v primárnom vzdelávání. Praha: Powerprint,