Analýza metod pro výpočet tepelných ztrát jednofázového vodiče

Transkript

1 Rok / Year: Svazek / Volume: Číslo / Number: Analýza metod pro výpočet tepelných ztrát jednofázového vodiče Analysis of methods for calculating the thermal losses of single phase wires Zbyněk Makki, Marcel Janda xmakki00@stud.feec.vutbr.cz, janda@feec.vutbr.cz Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně. Abstrakt: Práce popisuje využití výpočetních metod pro určení tepelných ztrát v přímočarém vodiči. Pro výpočetní metody byl zvolen program ANSYS. Získané výpočty programem ANSYS jsou porovnány s dříve využívanými numerickými výpočty a je stanovena odchylka, která narůstá se vzrůstající frekvencí střídavého proudů, vlivem povrchového jevu, procházejícího přímočarým vodičem. V grafickém znázornění jsou zobrazeny tepelné ztráty ve vodiči při průchodu stejnosměrného proudu a střídavého proudu o frekvenci 50 Hz. Abstract: This paper describes the use of computational methods for determining the thermal losses in straight wires. For the computational method the program ANSYS was chosen. The obtained results are compared with previously used numerical calculations and the offset is estimated, which increases with increasing frequency of AC. In the graphs the heat losses in the wires at a frequency of 50 Hz are shown.

2 Analýza metod pro výpočet tepelných ztrát jednofázového vodiče Zbyněk Makki 1, Marcel Janda 1 1 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně {xmakki00}@stud.feec.vutbr.cz, {janda}@feec.vutbr.cz Abstrakt Práce popisuje využití výpočetních metod pro určení tepelných ztrát v přímočarém vodiči. Pro výpočetní metody byl zvolen program ANSYS. Získané výpočty programem ANSYS jsou porovnány s dříve využívanými numerickými výpočty a je stanovena odchylka, která narůstá se vzrůstající frekvencí střídavého proudů, vlivem povrchového jevu, procházejícího přímočarým vodičem. V grafickém znázornění jsou zobrazeny tepelné ztráty ve vodiči při průchodu stejnosměrného proudu a střídavého proudu o frekvenci 50 Hz. 1 Úvod V dnešní době je stále více využívána výpočetní technika k řešení složitých matematických úloh. Mezi tyto úlohy patří i výpočet úbytků napětí a rozložení proudové hustoty ve vodiči. Tyto výpočty jsou ovlivněny řadou faktorů a v této práci je poukázáno na to jaké nám přináší možnosti využití programu ANSYS pro řešení takovýchto úloh a jaké jsou odchylky výpočtu v případě použití numerických výpočtů oproti výpočtům pomocí programu ANSYS. Běžně používané metody pro výpočet úbytků napětí vychází z Ohmova zákona, který je všeobecně známý. Tato metoda je dostatečná pro výpočty v případě vodičů s konstantním průřezem. Jakmile je vodič různě profilovaný (v případě průchodu střídavého proudu), nebo se jeho průřez v každé jeho části mění (např. proudovodné dráhy jistících prvků) stává se běžně používaný výpočet značně komplikovaný a nepřesný. Pro takovéto úlohy je mnohem výhodnější použít k výpočtu například program ANSYS. Tepelné ztráty vznikají při průchodu elektrického proudu vodičem a souvisí s úbytkem napětí na vodiči, nebo na druhé mocnině odporu vodiče. Tyto ztráty mají za následek nadměrné namáhání vodiče i jeho izolace. V případě zjištění rozložení proudové hustoty ve vodiči je možné ji vypočíst pouze jako hloubku vniku a uplatňuje se pouze pro střídavé proudy, kde se projevuje povrchový jev. Velmi často se k těmto výpočtům používá program ANSYS, aby bylo možné určit místa, kde dochází ke koncentraci proudové hustoty v proudovodné dráze a tím odstranit nebo dostatečně dimenzovat místa proudovodné dráhy které mohou být nadměrně zatěžovány. Z praktického hlediska tepelné ztráty ovlivňují funkci eklektických strojů a přístrojů, které pracují při vyšších frekvencích než jmenovitých. Stejnosměrné úlohy Výpočty se rozdělují podle charakteru použitého proudu, jednodušší variantou je výpočet s působením stejnosměrného proudu, kde neuvažujeme vliv povrchového jevu. Výpočty pro úbytek napětí ve vodiči vychází z Ohmova zákona U R I (1) kde U [V] je úbytek napětí na vodiči, R [Ω] je odpor vodiče a I [A] je proud procházející vodičem který je zadaný a proto pro určení úbytku napětí ve vodiči musíme znát jeho odpor, který vypočteme jako l R k s () S Kde k [-] je koeficient charakterizující povrchový jev s (v případě výpočtů stejnosměrného proudu je k s =1), [Ωm] je rezistivita použitého materiálu proudovodné dráhy, l [m] je délka proudovodné dráhy a S [m ] je průřez proudovodné dráhy. Předchozí rovnici je možné modifikovat pro výpočty odporů vodičů, které nemají konstantní průřez na rovnici dl R ks (3) S Modifikované rovnice se uplatní pro všechny výpočty, kdy proudovodná dráha nemá konstantní průřez a v případě simulací programem ANSYS dochází ke změně velikosti elementu související se změnou průřezu plochy proudovodné dráhy. Pokud je znám úbytek napětí na vodiči a s tím procházející proud tímto vodičem můžeme vypočítat tepelné ztráty P [W] jako " P U I R I (4) V případě průchodu stejnosměrného proudu je proudová hustota v celém vodiči konstantní a rozložení proudové hustoty je v celém vodiči stejné. 3 Střídavé úlohy Výpočty vychází ze stejných rovnic jako v případě stejnosměrného proudu. Musíme, ale uvažovat vliv koeficientu charakterizujícího povrchový jev, který je v případě střídavého proudu >1 a má za následek nerovnoměrné rozložení proudové hustoty ve vodiči. Povrchový jev je popsán hloubkou vniku, který charakterizuje míru útlumu elektromagnetické vlny generované časově proměnným proudem procházejícím vodičem. l 41 1

3 Z globálního hlediska jsou důležité i ztráty v určitém časovém období, které jsou charakterizovány hospodárností návrhu průřezu vodiče. Z ekonomického hlediska se jedná o kontrolu návrhu průřezu vodiče, jenž charakterizuje poměr mezi investicí do většího průřezu vodiče a ztrát ve vodiči za celou dobu jeho životnosti. Pro tyto výpočty vycházíme z doby plných ztrát τ z, což je doba po kterou bychom dodávali maximální zkratový výkon, která je přepočítána z proměnlivého zatížení. Dobu plných ztrát je možné vypočíst z rovnice, kde R T 0 Ri t dt RI T I I max (5) ef (6) z str Následný výpočet průřezu potřebného pro stanovení hospodárného průřezu vychází z rovnice S ki (7) Kde [h] je sledované období, [-] je zatěžovatel [-], [A] jsou zatěžovací proudy a [-] je součinitel druhu vodiče. Pro příklad je součinitel druhu vodiče použitý v tomto článku pro výpočet holých přípojnic vyrobených z mědi roven. [5] 3.1 Povrchový jev (skin effect) Vzniká pouze při průchodu střídavého (časově proměnného) proudu vodičem. Při průchodu tohoto proudu dochází k vytlačování nosičů náboje směrem k povrchu vodiče, tzn. proudová hustota ve vodiči je různá a směrem k povrchu vodiče narůstá a to má za následek zvýšenou teplotu v blízkosti povrchu vodiče a s tím spojené například zvýšené opotřebení izolace vodiče. Ke zvýšení proudové hustoty při povrchu vodiče dochází tak že procházející proud vodičem kolem sebe vytváří siločáry magnetického (indukčního) toku, které mají směr podle pravidla pravé ruky. Podle Faradayova zákona dochází k indukci napětí, které má za následek vyvolání vířivých proudů a ty mají při povrchu vodiče stejný směr jako procházející proud a s tímto proudem se sčítají, zatímco v oblasti blíže ke středu vodiče mají vířivé proudy opačný směr jako procházející proud a s tímto proudem se odčítají. Celý tento děj je ilustrovaný na Obr. 1, kde H [A/m] je magnetický (indukční) tok, I [A] je proud procházející vodičem a Iw [A] jsou vířivé proudy vyvolané indukcí napětí ve vodiči. [1] z z Obrázek 1: Vznik povrchového jevu [1] Jedná se o šíření elektromagnetické vlny vodivým prostředím a tato vlna je velmi silně tlumena ve směru svého šíření v důsledku ztrát energie, které jsou způsobeny přeměnou na teplo. Ve vodivém prostředí účinky šíření elektromagnetické vlny protékají elektrické proudy a celý případ je možné vyjádřit matematicky, kdy je definována hustota proudu ( ) šířícího se vodivým prostředím s konduktivitou σ jako Jr, t Er, t (8) kde J [A/m] je proudová hustota ve vodiči, r [m] je poloměr vodiče, t [s] je čas a σ [S/m] je konduktivita (jinak řečeno měrná elektrická vodivost) je veličina popisující schopnost látky vést elektrický proud. Z rovnice 5 je patrné, že elektrické pole je úměrné proudové hustotě v prostředí, ve kterém se šíří. Pokud se jedná o harmonický proud, je i harmonické elektromagnetické pole a rovnici 8 je možné přepsat do tvaru pro komplexní amplitudy závislé pouze na souřadnicích, tedy J r E r (9) Konduktivita je převrácenou hodnotou rezistivita a je popsána rovnicí 1 (10) z předchozích dvou rovnic je patrné, že proudová hustota ve vodiči je úměrná vodivosti prostředí a intenzitě elektrického pole. 3. Hloubka vniku (skin depth) Je vlastnost, která úzce souvisí s povrchovým jevem a je to charakteristická hloubka, s kterou exponenciálně klesá proudová hustota s elektrickým a současně magnetickým polem směrem ke středu vodiče. Velikost hloubky vniku udává, v jaké vzdálenosti od povrchu vodiče poklesne amplituda všech tří veličin na 1/e-tinu jejich povrchových hodnot a počítá se podle vzorce (11) kde [m] je hloubka vniku, [Ωm] je rezistivita použitého materiálu proudovodné dráhy, [rad/s] je úhlová frekven- 41

4 ce procházejícího proudu a [H/m] je magnetická permeabilita. Magnetickou permeabilitu [H/m] vypočteme jako 0 (1) kde [H/m] je permeabilita vakua ( ) a [H/m] je permeabilita materiálu (pro většinu používaných r vodivých materiálu je ). A úhlovou frekvenci [rad/s] vypočteme jako f (13) kde [-] je Rudolfovo číslo (3,14) a f [Hz] je frekvence časově proměnného proudu procházejícího vodičem. Při frekvencích nad 50 khz dochází ke zmenšení hloubky vniku na takovou úroveň, že nosiče náboje střídavého proudu ve vodiči jsou všechny obsaženy pouze v úzké vrstvě na v blízkosti povrchu vodiče a ve vnitřní části vodiče se již žádné nosiče náboje nenacházejí. V takovémto případě je vhodné z konstrukčního a ekonomického hlediska použití dutých vodičů. 4 Simulace v programu Ansys Simulovanou geometrii je možné vytvořit v prostředí programu ANSYS, ale v případě složitějších geometrií je vhodnější ji vytvořit v některém 3D grafickém programu a pomocí výměnných SAT formátu tuto geometrii importovat do prostředí programu ANSYS (SAT formát je běžně využívaný jako výměnný formát, protože přenáší 3D modely). V případě elektromagnetických trojrozměrných úloh (při průchodu střídavého proudu) v prostředí programu ANSYS je nezbytné vytvořit dostatečně velké vzduchové okolí kolem simulované proudovodné dráhy, aby se v tomto prostředí mohli uzavírat magnetické siločáry. 4.1 Postup simulace Simulace v prostředí programu ANSYS je možné rozdělit do několika dílčích částí, které jsou charakteristické pro každou část simulace Preferences Filtrování použitých analýz. Pro usnadnění dalších nastavení simulace a okrajových podmínek je vhodné na začátku simulace pěvně vymezit oblast pro kterou bude výpočet nastaven. Tato volba vyfiltruje například vhodné elementy pro daný typ analýzy Solution Volba vhodné analýzy, nastavení okrajových podmínek (elektrický potenciál napětí, proud procházející simulovaným vodičem a v případě střídavého proudu i magnetický potenciál) a samotné řešení simulované úlohy General Postproc Grafické i matematické zobrazení výsledků simulované úlohy. 4. Volba vhodného elementu Volba vhodného elementu je jednou z nejdůležitějších částí celé simulace. Tato volba například určuje přesnost výpočtu, která je ovlivněna členitostí elementu, vhodnost elementu pro daný typ úlohy, nebo očekávané výsledky dané simulace (výstupní veličiny, kde očekáváme například jako výstup proud, napětí, nebo rozložení magnetického pole) Stejnosměrný proud Pro tento případ je vhodné volit element SOLID69 Obrázek : element SOLID69 [] Tento element je vhodný pro trojrozměrné teplotní a elektrické simulace. Prvek má osm uzlů s dvěma stupni volnosti, teploty a napětí v každém uzlu. V elementu je také zahrnuto Jouleovo teplo vyjádřené tokem proudu, které charakterizuje v použité geometrii tepelné ztráty. 4.. Střídavý proud Pro tento případ je vhodné volit element SOLID Preprocessor Volba vhodného elementu, teplotních jednotek, použitého materiálu (jeho rezistivity a permeability), modelování geometrie (vzduchového okolí), změna měřítka modelu (ANSYS považuje každou importovanou geometrii v metrech i když byla původně konstruována v milimetrech), vytvoření sítě prvků z vybraných elementů a jejich materiálových vlastností. Obrázek 3: element SOLID97 [] 41 3

5 Tento element je vhodný pro řešení trojrozměrných magnetických polí. Prvek má osm uzlů s pěti stupni volnosti, magnetického potenciálu (AX, AY, AZ), časově proměnného elektrického potenciálu a elektrického proudu v každém uzlu. V elementu je také zahrnuto Jouleovo teplo vyjádřené tokem proudu, které charakterizuje v použité geometrii tepelné ztráty. 4.3 Volba velikosti elementu Chyby výpočtu v případě použití programu ANSYS se odvíjí od použité velikosti sítě prvků. Platí, že v případě chybně zvolené velikosti elementu (příliš velké) dochází k nepřesným výsledkům. Do určité míry má zmenšování velikosti elementu za následek zpřesnění výsledku, ale s tím zároveň narůstají časové i hardwarové nároky výpočtu. 5 Numerické výpočty Tato výpočetní metoda je v případě výpočtu stejnosměrného proudu ovlivněna přesností výpočtu a v případě výpočtů střídavého proudu i chybným odčítáním z grafů pro určení činitele charakteristického pro povrchový jev (skinefekt). 5. Střídavý proud Výpočty vychází ze stejných rovnic jako v případě stejnosměrného proudu. Musíme, ale uvažovat vliv jiného činitele. Pro střídavý proud je k s >1. V souladu s teorií a výsledky pokusů závisí tento činitel na výrazu S f (11) Na obr. 4 je naznačen graf průběhu. Tento graf byl v použité literatuře experimentálně ověřen. Poměr t/d je roven hodnotě 0,5 jak je patrné z obr. 4, protože se jedná o plný vodič a aby bylo možné odečíst činitel =1,4 byla hodnota výrazu, na němž závislí volena tak aby vycházela přibližně 000. Přesné hodnoty volené pro střídavý proud o frekvenci 50Hz a 400Hz jsou zobrazeny v tab.. Výpočty jsou stejně jako v případě výpočtů stejnosměrného proudu charakterizované dvěma typy geometrií, kdy typ geometrie 1 charakterizuje výpočty pro střídavý proud o frekvenci 50 Hz a typ geometrie charakterizuje výpočty pro střídavý proud o frekvenci 400 Hz. 5.1 Stejnosměrný proud Při výpočtu pro stejnosměrný proud byl použit činitel k s =1. Pro porovnání vypočítaných hodnot s hodnotami střídavého proudu bylo nutné vytvořit dvě geometrie, aby byl činitel k s 1,4. Tyto dvě geometrie byly zvoleny hlavně pro střídavé výpočty a to konkrétně pro proudy o frekvenci 50 Hz a 400 Hz. Parametry geometrií a vypočtené hodnoty jsou zahrnuty v tab. 1 a tab.. Předpokládáme, že simulovaný vodič je měděný s rezistivitou 1, Ωm. Tabulka 1: Zvolené a vypočtené veličiny Stejnosměrný proud k s [-] 1 1 d [mm] 4,5 15 r [mm] 1,5 7,5 S [mm ] 1417, ,65 f [Hz] 0, ,00001 ρ [Ω.m] 1,77E-08 1,77E-08 l [m] 1 1 I [A] U [mv] 1, ,1 R [µω] 1, ,1 P [W] 1, ,1 Obrázek 4: Grafické závislosti činitele k s na výrazu [3] 41 4

6 Tabulka : Zvolené a vypočtené veličiny Střídavý proud k s [-] 1,4 1,4 d [mm] 4,5 15 r [mm] 1,5 7,5 S [mm ] 1417, ,65 f [Hz] ρ [Ω.m] 1,77E-08 1,77E-08 l [m] 1 1 I [A] U [mv] 17, ,97 R [µω] 17, ,97 P [W] 17, ,97 6 Výpočty pomocí programu Ansys Tato výpočetní metoda je ovlivněna převážně velikostí sítě prvků na což je poukázáno v níže uvedených výpočtech. Geometrické parametry simulovaných vodičů jsou stejné jako v případě numerických výpočtů, aby bylo možné získané výsledky vzájemně porovnat a určit odchylku jednotlivých výpočetních metod. 6.1 Stejnosměrný proud Protože jsou pro stejnosměrný výpočet velikosti geometrií i jednotlivých použitých veličin zahrnuty v tab. 1 a tab., budou v následujících tabulkách obsaženy pouze výsledky simulací tepelných ztrát P [W] pro výpočty pomocí programu ANSYS. Tyto výpočty se nadále rozliší i podle velikosti elementu použité sítě prvků. Ukázka velikosti elementů typu geometrie 1 při pohledu z čelní strany jsou na obr. 5 a obr. 6. Obrázek 6: Velikost elementu B V tab. 3 jsou zahrnuty dva typy výsledků, které se liší podle velikosti použitého elementu. Jak již bylo řečeno, menší velikostí elementu respektive jemnější sítí prvků je možné dosáhnout přesnějšího výpočtu. V případě tab. 3 je Velikost elementu A větší než velikost elementu B, proto jsou výsledky získané výpočtem s velikostí elementu B přesnější v porovnání s výsledky získanými numerickým výpočtem, jak je shrnuto v tab. 4 a tab. 5. Typ geometrie Tabulka 3: Zvolené a vypočtené veličiny Stejnosměrný proud 1 Velikost elementu A P [W] 1,58 107,034 Velikost elementu B P [W] 1, ,315 Výsledek úbytku napětí na geometrii typu 1 je znázorněn na obr. 7. Obrázek 5: Velikost elementu A Obrázek 7: Úbytek napětí U [V] 41 5

7 Rozložení proudu v simulovaném vodiči geometrie typu 1 je znázorněno na obr. 8 a s tím spojené Jouleovo teplo, které je znázorněno na obr. 9. Tabulka 3: Zvolené a vypočtené veličiny Střídavý proud Velikost elementu A P [W] 18,09 181,79 Velikost elementu B P [W] 17,3 148,865 Obrázek 8: Rozložení proudu, stejnosměrný proud Stejně jako v případě srovnání získaných výsledků u stejnosměrného proudu jsou i u výpočtů střídavého proudu porovnávány výsledky dvou geometrií. Opět jsou přesnější výsledky u jemnější sítě prvků. Všechny tyto výsledky jsou zahrnuty v tab. 3. Jak je z této tabulky patrné typ geometrie který charakterizuje procházející střídavý proud o frekvenci 400 Hz je už značně ovlivněn volbou velikosti elementu sítě prvků, kde nevhodnou volbou dochází k chybě ve výpočtu teplotních ztrát přibližně 47 W. Obrázek 9: Jouleovo teplo, stejnosměrný proud Minimální hodnota Jouleova tepla J ve vodiči je 8793,46 J /m3 a maximální hodnota je 8840,8 J /m3. Rozdíl je zanedbatelný a je spíš charakterizován nedostatečnou geometrií sítě prvků. 6. Střídavý proud Obrázek 10:Jouleovo teplo, střídavý proud o f=50 Hz Minimální hodnota Jouleova tepla ve vodiči je 6018,65 J /m3 a maximální hodnota je 5734,4 J /m3. Rozdíl mezi minimální a maximální hodnotou je způsoben povrchovým jevem, kde jak již bylo řečeno, dochází k vytlačování nosičů náboje elektrického proudu směrem k povrchu vodiče. Pro výraznější zobrazení rozložení Jouleova tepla je na obr. 11 zobrazena čelní strana vodiče z obr. 10 U těchto výpočtů opět dochází k ovlivnění výsledků povrchovým jevem, a protože byly výpočty provedeny pomocí programu ANSYS je výsledné rozložení Jouleova tepla procházejícího proudu o frekvenci 50 Hz zobrazeno na obr

8 7 Výsledky V této části jsou porovnány výsledky jednotlivých výpočtů jak numerických výpočtů, tak výpočtů pomocí programu AN- SYS. Všechny toto hodnoty jsou obsaženy v tab. 4. pro výpočet stejnosměrného proudu a v tab. 5 pro výpočet střídavého proudu. Jako referenční hodnota pro porovnávání přesností výpočtů byly uvažovány veličiny získané numerickou metodou. Tabulka 4: Porovnání rozdílu výpočetních metod v případě stejnosměrného proudu Stejnosměrný proud Obrázek 11: Jouleovo teplo, střídavý proud o f=50 Hz, čelní strana vodiče geometrie typu 1 Výsledné tepelné ztráty jsou graficky vyjádřeny jako Jouleovo teplo, protože se jedná o Steady-State úlohu, tj. rovnovážnou, neboli stacionární úlohu je možné využít pro znázornění tepelných ztrát Jouleovo teplo, kde jako časovou konstantu uvažujeme jednu sekundu. Jouleovo teplo ve vodiči vzniká průchodem elektrického proudu za určitý čas, kterému je kladen odpor charakterizovaný velikostí a rezistivitou vodiče. Numerický výpočet P [W] 1, ,1 Výpočet pomocí programu ANSYS Velikost elementu A P [W] 1,58 107,034 Velikost elementu B P [W] 1, ,315 Procentuální odchylka od referenční hodnoty Velikost elementu A ξ [%] 0,793 6,808 Velikost elementu B ξ [%] 0,088 1,101 Tabulka 5: Porovnání rozdílu výpočetních metod v případě střídavého proudu Střídavý proud Obrázek 1: Jouleovo teplo, střídavý proud o f=400 Hz, čelní strana vodiče geometrie typu Z obr. 1 je patrné rozložení tepelných ztrát ve formě Jouleova tepla, kdy vyšší frekvence procházejícího proudu ovlivňuje vliv povrchového jevu (skinefektu). Numerický výpočet P [W] 17, ,97 Výpočet pomocí programu ANSYS Velikost elementu A P [W] 18,09 181,79 Velikost elementu B P [W] 17,3 148,865 Procentuální odchylka od referenční hodnoty Velikost elementu A ξ [%] 3,519 9,11 Velikost elementu B ξ [%] -1,40 6,107 Symbol ξ charakterizuje procentuální odchylku tepelných ztrát P od referenční hodnoty získané numerickým výpočtem. 41 7

9 8 Závěr Literatura Cílem tohoto článku bylo poukázat na možnost využití programu ANSYS pro řešení elektrotechnických úloh. Byly vytvořeny dvě jednoduché geometrie vodiče pro porovnání numerických výpočtů a výpočtů pomocí programu ANSYS. Typ geometrie 1 charakterizuje úlohy pro procházející proud o frekvenci 50 Hz a typ geometrie charakterizuje úlohy při procházejícím proudu o frekvenci 400 Hz. Střídavý proud o frekvenci 400 Hz se v praxi běžně nevyskytuje, ale byl do této práce zahrnut, aby bylo poukázáno na to, že s vzrůstající frekvencí proudu roste i odchylka od referenčních hodnot tepelných ztrát získaných numerickými výpočty. Jak je patrné z tab. 4 a tab. 5 přesnější výsledky byly získány při simulacích, kde byla vytvořena jemnější síť prvků. V případě stejnosměrného proudu se odchylka od referenční hodnoty pohybovala v setinách až desetinách procentuální odchylky od referenční hodnoty. S narůstající frekvencí procházejícího střídavého proudu narůstala i odchylka od referenční hodnoty. V této úloze se pohybovala odchylka při procházejícím proudu o frekvenci 50 Hz a jemnější síti prvků okolo hodnoty 1,5%. Tuto hodnotu můžeme považovat za dostatečně přesnou, zvlášť když je numerický výpočet zatížen chybou odčítání činitele k s z obr. 4, který charakterizuje vliv povrchového jevu. Největší procentuální odchylka od referenční hodnoty je způsobena při průchodu střídavého proudu o frekvenci 400 Hz v simulacích s nevhodně zvolenou velikostí elementu, kde se odchylka pohybuje v desítkách procent. V tomto případě je již patrné jaké chyby je možné se dopustit v případě nevhodně volené sítě prvků. Z praktického hlediska nárůst tepelných ztrát u elektrických strojů a přístrojů má za následek zvýšené namáhání zařízení, případně jeho izolace a okolí, v kterém je zařízení umístěno. S narůstající frekvencí roste i vliv povrchového jevu a s tím narůstá i koncentrace tepelných ztrát na povrchu vodiče což má za následek další zvýšené namáhání. V dnešní době většina zařízení využívá střídavý proud o frekvenci 50 Hz, ale v průmyslu je možné najít zařízení pracující na vyšších frekvencích než jmenovitých a proto bychom neměli vliv povrchového jevu zanedbávat. [1] Skin efekt. In Wikipedia : the free encyclopedia [online]. St. Petersburg (Florida) : Wikipedia Foundation, , last modified on [cit ]. Dostupné z WWW: < [] Ansys-manual [disk]. [cit ] [3] GROSS, Boleslav, et al. Laboratorní a numerická cvičení z elektrických přístrojů. Brno: Rektorát Vysokého učení technického v Brně, Měření přídavných ztrát přímočarého plného a trubkového vodiče kruhového průřezu, s [4] Numerické simulace [online]. 007 [cit ]. Metoda Konečných Prvků (Finite Element Method). Dostupné z WWW: < FEM/?q=node/3>. [5] NOVÁK, Miroslav. Vodiče a kabely. 3. Přednáška ESY [online]. 007, [cit ]. Dostupný z WWW: < [6] ELERT, Glenn. The Physics Hypertextbook [online] [cit ]. Electric Resistance. Dostupné z WWW: < [7] WEISSTEIN, Eric. [online] [cit ]. Electromagnetism. Dostupné z WWW: < Poděkování Tento příspěvek vznikl za podpory Centra výzkumu a využití obnovitelných zdrojů energie CZ.1.05/.1.00/ a výzkumného plánu MSM Zdroje, akumulace a optimalizace využití energie v podmínkách trvale udržitelného rozvoje. 41 8