4 Transmission lines. 1 Transmission lines

Transkript

1 Transmission lines 4 Transmission lines n the previous chapter, we have focused on the propagation of electromagnetic waves in free space. The wave propagated from its source (transmitting antenna) to the whole area that surrounded the wave. Thus, a space of any size could be filled with the signal (in ideal case). The wave propagation through free space is therefore conveniently used for the distribution of cable television signal or for covering an area with the mobile communication services signal. Although, if we want to deliver the signal to a single place (f. e. from the receiving antenna output to the T receiver input), it is more convenient to use transmission lines (TL). A coaxial cable (Fig. 4.) is the most frequently used TL. The electromagnetic field in a coaxial cable is trapped in dielectric between the outer and inner conductors. The wave propagates in the direction of the TL axis. Fig. 4. Coaxial transmission line. Source: Let us assume that the TL we work with consists of EC (perfect electrically conducting) inner and outer conductors. The constant distance between inner and outer conductors is acquired thanks to the lossless homogeneous dielectric filler with permittivity and permeability. The TL is fed by a harmonic current. With the proper source connection on the TL input and the proper load connection on the TL output, the current flowing through the inner conductor in the direction of z equals to the current that returns from the direction of -z along the inner wall of the outer conductor. The TL is configured in a way to consume all the energy that the generator is fed with in the load and does not reflect any of it back. The lines of force of the electric and magnetic field in the cross section of the TL are illustrated in fig. 4.. Thanks to the high electrical conductivity of the inner and outer conductors, the electric field intensity is perpendicular to the conductors surfaces (the component that is tangential to the surfaces must equal zero). From the Ampère's circuital law it is clear that the magnetic field lines of force have the shape of centric circles with their centre located on the coaxial TL axis. The magnetic lines of force are thus perpendicular to the electric lines of force. The electric and magnetic lines of force are simultaneously perpendicular to the direction of propagation. The electromagnetic wave transversely (TEM transverse electro-magnetic) propagates along the coaxial TL When working with the TL, it is easier to use the scalar voltage and current instead of the vector field intensities E and H.

2 řenosová vedení 4 řenosová vedení předchozí kapitole jsme se zabývali šířením elektromagnetických vln ve volném prostoru. lna se šířila od svého zdroje (vysílací antény) do celého prostoru, který ji obklopoval. Mohli jsme tak signálem vyplnit libovolně velký prostor (v ideálním případě). Šíření vlny volným prostorem tedy s výhodou využijeme pro distribuci televizního signálu či pokrytí území signálem mobilních komunikačních služeb. Chceme-li však signál doručit do jediného místa (např. z výstupu přijímací antény na vstup televizního přijímače), je lépe využít přenosové vedení. Nejčastěji používaným přenosovým vedením je koaxiální kabel (obr. 4.). koaxiálním kabelu je elektromagnetické pole "uvězněno" v dielektriku mezi vnějším vodičem a vodičem vnitřním. lna se šíří ve směru osy tohoto vedení Obr. 4. Koaxiální vedení. řevzato z Budeme předpokládat, že námi studované koaxiální vedení sestává z dokonale elektricky vodivého vnitřního a vnějšího vodiče. Konstantní vzdálenosti mezi vnitřním a vnějším vodičem je dosaženo díky bezeztrátové homogenní dielektrické výplně s permitivitou a permeabilitou. edení je napájeno harmonickým proudem. ři správném připojení zdroje na vstupu vedení a zátěže na výstupu vedení je proud tekoucí vnitřním vodičem ve směru z je roven proudu, který se vrací ve směru -z po vnitřní straně vodiče vnějšího. edení je konfigurováno takovým způsobem, aby se veškerá energie, dodávaná do vedení generátorem, spotřebovávala v zátěži a neodrážela se zpět. Na obr. 4. jsou znázorněny siločáry elektrického a magnetického pole v příčném průřezu vedení. Díky vysoké elektrické vodivosti vnitřního a vnějšího vodiče je intenzita elektrického pole k povrchu vodičů kolmá (složka tečná k povrchům musí být nulová). Ampérova zákona celkového proudu vyplývá, že siločáry magnetického pole mají tvar soustředných kružnic se středem v ose koaxiálního vedení. Siločáry magnetického pole jsou tedy kolmé k siločárám pole elektrického. Magnetické i elektrické siločáry jsou současně kolmé ke směru šíření. odél koaxiálního vedení se tedy šíří příčně (transverzálně) elektromagnetická vlna (TEM). ři práci s přenosovým vedením je snadnější používat namísto vektorových intenzit pole E a H skalární napětí a proud.

3 3 Transmission lines Firstly, the magnitude of the electric field intensity is going to be expressed. Let us consider Gauss law: D. ds (4.) S The symbol denotes the longitudinal charge density in the inner conductor and is a very small segment of the examined TL. The right side (4.) thus reflects the total charge of that conductor part. Fig. 4. Field distribution in the cross section of a coaxial transmission line. f we surround the conductor segment with a cylindrical plane with the radius r, the electric induction flux that is given by the following charge must go through the plane S = r E r (4.) When deriving (4.), we have assumed that the magnitude of the electric induction E on a cylindrical plane is constant. The symbol stands for the dielectric permittivity between the inner and outer conductors. From the eqn. (4.), the magnitude of the radial electric field intensity can be expressed E r r (4.3) Subsequently, the voltage between inner and outer conductors will be obtained by successive adding of elementary voltages du = E(r) dr in the radial direction b E a r. b dr ln a (4.4) where a is the radius of the inner conductor and b is the radius of the outer conductor. Further, we can derive from (4.3) the following Err and substitute it into (4.4) b Err ln (4.5) a With that, we pass from the electric field intensity to the voltage.

4 řenosová vedení 4 Nejprve si vyjádříme velikost intenzity elektrického pole. yjdeme přitom z Gaussova zákona D. ds (4.) S Symbol značí podélnou hustotu náboje ve vnitřním vodiči a je velmi krátký úsek zkoumaného vedení. ravá strana (4.) tedy vyjadřuje celkový náboj na tomto úseku vodiče. Obr. 4. Rozložení pole v příčném průřezu koaxiálního vedení. Obklopíme-li úsek vodiče válcovou plochou o poloměru r, musí touto plochou S = r prostupovat elektrický indukční tok, který je dán právě tímto nábojem E r (4.) ři odvození (4.) jsme předpokládali, že velikost elektrické indukce E na válcové ploše je konstantní. Symbol značí permitivitu dielektrika mezi vnitřním a vnějším vodičem. e vztahu (4.) můžeme vyjádřit velikost intenzity radiálního elektrického pole E r r (4.3) Napětí mezi vnitřním a vnějším vodičem následně získáme postupným sčítáním elementárních napětí du = E(r) dr v radiálním směru b E a r. b dr ln a (4.4) kde a je poloměr vnitřního vodiče a b poloměr vodiče vnějšího. Dále můžeme ze (4.3) vyjádřit Err a dosadit do (4.4) b Err ln (4.5) a Tím přecházíme od intenzity elektrického pole k napětí.

5 5 Transmission lines The relation between the magnetic field intensity and the current is given by the Ampère's circuital law H.dl d dt (4.6) l We will integrate over an arbitrary circle that lies in the transverse plane and its centre is on the conductor axis. Considering the circular symmetry of the TL, the magnitude of that circle s magnetic intensity will be constant. The electric induction flux through the circle area is zero because the vector of that plane S (in the direction of z) and the vector of the electric induction D (in the direction of r) are perpendicular to each other. Considering the facts stated above, the eqn. (4.6) shifts to rh (4.7) f we establish the characteristic impedance of the transmission line to be the quotient of the voltage and the current in a certain segment of the TL, based on (4.5) and (4.7) we get the following relation E b ln (4.8) H a f we substitute the quotient of the electric and magnetic field intensities with the wave impedance of a TEM wave in a lossless dielectric, we get the following relation b ln (4.9) a Thanks to the steps stated above, we have moved during the analysis of the coaxial TL from the electric field intensity vector E to the scalar voltage between the TL conductors and from the magnetic field intensity vector H to the scalar conductor current. nstead of describing the TL with the dielectric permittivity and permeability between conductors, we can express the parameters of the TL by capacity and inductance per one meter. Based on the parameters stated above, we can make an equivalent TL circuit that is made of the circuit components with focused parameters and the TL can be analyzed using the things known from the circuit theory. The classical transmission line theory is based on that. 4. Transmission line theory For a better picture, let us consider the classical twisted pair as the representative of homogeneous two-conductor transmission lines. There is no doubt that every conductor of the twisted pair will have its own inductance L and resistance R. Also, it is clear that there will be a mutual capacitance C between the twisted pair conductors. f the dielectric between the conductors is not perfect, the transverse conductive current will flow through; that is expressed by the transverse conductivity G. t is clear that with the increase in TL length, the total resistance, inductance, capacitance, and conductivity will increase as well. To get rid of this length dependence of the parameters, we establish an inductance per meter L [H.m - ], a resistance per meter R [.m - ], a capacitance per meter C [F.m - ] and a conductivity per meter G [S.m - ]. The voltage drop on the elementary part of the TL dz is caused by a longitudinal impedance per meter

6 řenosová vedení 6 ztah mezi intenzitou magnetického pole a proudem je dán Ampérovým zákonem celkového proudu H.dl d dt (4.6) l ntegrovat budeme po libovolné kružnici, která leží v příčné rovině a má střed v ose vodiče. zhledem ke kruhové symetrii vedení bude velikost magnetické intenzity na této kružnici konstantní. Elektrický indukční tok plochou kružnice je nulový, neboť vektor této plochy S (směřuje do z) a vektor elektrické indukce D (směřuje do r) jsou vzájemně kolmé. zhledem k výše uvedeným skutečnostem přejde vztah (4.6) na tvar rh (4.7) avedeme-li charakteristickou impedanci vedení jako podíl napětí a proudu v určitém místě vedení, dojdeme na základě (4.5) a (4.7) ke vztahu E b ln (4.8) H a Dosadíme-li za podíl intenzit elektrického a magnetického pole vlnovou impedanci TEM vlny v bezeztrátovém dielektriku, dostáváme se ke vztahu b ln (4.9) a Díky výše uvedeným krokům jsme při analýze koaxiálního vedení přešli od vektoru intenzity elektrického pole E ke skalárnímu napětí mezi vodiči vedení a od vektoru intenzity magnetického pole H ke skalárnímu proudu vodiči. Místo popisování vedení permitivitou a permeabilitou dielektrika mezi vodiči můžeme vyjádřit parametry vedení kapacitou a indukčností na metr délky. Na základě výše uvedených parametrů lze vytvořit náhradní obvod vedení, tvořený obvodovými prvky se soustředěnými parametry, a vedení analyzovat pomocí postupů, známých z teorie obvodů. Na této myšlence je založena klasická teorie vedení. 4. Teorie vedení ro lepší představu uvažme klasickou dvoulinku jako představitele homogenních dvouvodičových vedení. Není pochyb o tom, že každý vodič dvojlinky bude mít svou indukčnost L a svůj odpor R. Dále je zřejmé, že mezi vodiči dvojlinky bude existovat vzájemná kapacita C. okud nebude dielektrikum mezi vodiči dokonalé, bude moci mezi nimi protékat příčný vodivý proud, což vyjádříme příčnou vodivostí G. Je jasné, že se s růstem délky vedení zvyšuje i jeho celkový odpor, indukčnost, kapacita, vodivost. Abychom se této délkové závislosti parametrů vedení zbavili, zavádíme indukčnost na metr délky L [H.m - ], odpor na metr délky R [.m - ], kapacitu na metr délky C [F.m - ] a vodivost na metr délky G [S.m - ]. Úbytek napětí na elementárním úseku vedení dz je dán podélnou impedancí na m délky

7 7 Transmission lines accordingly R j L (4.0) d dz (4.) n contrast, the current drop on the elementary part of the TL dz is caused by a transverse admittance per meter accordingly Y G j C (4.) d Y dz (4.3) f we divide both sides of equations (4.) and (4.3) by the elementary length dz, we get d dz (4.4a) d dz Y (4.4b) Now both sides of eqn. (4.4a) are derived with respect to z and the right side from (4.4b) is substituted into the right side from (4.4a) for d/dz d dz Y (4.5a) Similarly, by deriving (4.4b) with respect to z and by substituting it into (4.4a) in the place of d/dz, we get d dz Y (4.5b) Equations (4.5) are called the telegraphic equations. where Fig. 4.3 Equivalent circuit of a two-wire transmission line. The general solution for a voltage differential equation (4.5a) can be written as follows z A z Bexp z exp (4.6a) R j L G j C (4.7) is so-called propagation constant or transmission coefficient. where By substituting (4.6a) into (4.4b) and then by integrating the relation, we get ( z) Aexp z Bexp z (4.6b) R G (4.8) jl j C

8 řenosová vedení 8 tedy R j L (4.0) d dz (4.) Naproti tomu úbytek proudu na elementárním úseku vedení dz závisí na příčné admitanci na jeden metr délky tedy Y G j C (4.) d Y dz (4.3) odělíme-li obě strany rovnic (4.) a (4.3) elementární délkou dz, dostaneme d dz (4.4a) d dz Y (4.4b) Nyní obě strany vztahu (4.4a) derivujeme podle z a do pravé strany dosadíme za d/dz pravou stranu (4.4b) d dz Y (4.5a) Obdobně derivováním (4.4b) podle z a dosazením za d/dz z (4.4a) dostaneme d dz Y (4.5b) ztahům (4.5) se říká telegrafní rovnice. kde Obr. 4.3 Náhradní schéma dvouvodičového vedení. Obecné řešení diferenciální rovnice pro napětí (4.5a) lze zapsat ve tvaru z A z Bexp z exp (4.6a) R j L G j C (4.7) je tzv. konstanta šíření nebo součinitel přenosu. kde Dosazením (4.6a) do (4.4b) a následnou integrací dospějeme k výsledku ( z) Aexp z Bexp z (4.6b) R G (4.8) jl j C

9 9 Transmission lines is so-called characteristic TL impedance. From the equations (4.6) can be seen that the distribution of voltage ( z) and current ( z) is expressed by similar eqn. that we used to describe the distribution of electric and magnetic field intensity of planar wave in the direction of propagation. Based on that analogy we can directly explain the physical significance of equations (4.4): The term exp( -z) denotes the voltage, or current of the wave that propagates in the direction of z axis from the source to the load. This wave is called a forward wave and it will be denoted by the upper index : (z), (z). The integration constant A, or A/ 0, gives the voltage or current of a forward wave on the beginning of the TL z = 0. The term exp( +z) denotes the voltage, or current of the wave that propagates against the direction of z axis from the load to the source. This wave is called backward wave or reflected wave and will be denoted by the upper index : (z), (z). The integration constant B, or B/ 0 gives the voltage, or current of the backward wave on the beginning of the TL z = 0. From the technical point of view, it is more suitable to express voltage and current according to the distance from the end of the TL. oltage and current ratios on the TL are, as we are going to discover, heavily influenced by the terminating impedance k. Let us establish a substitution (see Fig. 4.4) zl (4.9) and substitute it into eqn. (4.6) A exp l exp B exp l exp ) A exp l exp B exp l exp (4.0a) (4.0b) ( The expressions in the square brackets express the voltage or current of forward or backward wave that is transformed from the beginning to the end of the TL. With the established notations, eqn. (4.0) can be rewritten as follows 0 exp 0 exp (4.a) 0exp 0exp ( ) (4.b) Considering equations (4.0) and (4.), we can conclude: The total voltage in the distance from the end of the TL ( ) is given by the sum of the forward wave voltage () and the backward wave voltage () on a given coordinate. The total current in the distance from the end of the TL ( ) is given by the difference between the forward wave current () and the backward wave current () on a given coordinate. The voltage of the forward wave in the distance from the end of the TL () is directly proportional to the forward wave current in the distance from the end of the TL; the characteristic impedance (4.8) is the proportionality constant. The same applies for the backward wave, (4.a, b)

10 řenosová vedení 0 je tzv. charakteristická impedance vedení. e vztahů (4.6) vidíme, že rozložení napětí ( z) a proudu ( z) je vyjádřeno obdobnými vztahy, jakými jsme popisovali rozložení intenzity elektrického a magnetického pole rovinné vlny ve směru šíření. Na základě této analogie můžeme přímo bez dalšího odvozování objasnit fyzikální význam vztahů (4.4): Člen exp( -z) představuje napětí, resp. proud vlny, šířící se ve směru osy z, tedy od zdroje k zátěži. Tuto vlnu nazveme vlnou přímou a budeme ji značit horním indexem : (z), (z). ntegrační konstanta A, resp. A/ 0, udává napětí, resp. proud, přímé vlny na počátku vedení z = 0. Člen exp( +z) představuje napětí, resp. proud vlny, šířící se proti směru osy z, tedy od zátěže ke zdroji. Tuto vlnu nazveme vlnou zpětnou nebo odraženou a budeme ji horním indexem : (z), (z). ntegrační konstanta B, resp. B/ 0, udává napětí, resp. proud, zpětné vlny na počátku vedení z = 0. technického hlediska je vhodnější vyjadřovat napětí a proud na vedení v závislosti na vzdálenosti od konce vedení. Napěťové a proudové poměry na vedení jsou totiž, jak se za chvíli dozvíme, podstatně ovlivňovány zakončovací impedancí k. roto si zaveďme substituci (viz obr. 4.4) zl (4.9) a dosaďme ji do vztahů (4.6) A exp l exp B exp l exp ) A exp l exp B exp l exp (4.0a) (4.0b) ( Obsahy hranatých závorek vyjadřují napětí nebo proud přímé nebo zpětné vlny, transformované z počátku na konec vedení. S využitím zavedené notace můžeme tedy (4.0) přepsat do tvaru 0 exp 0 exp (4.a) 0exp 0exp ( ) (4.b) Na základě vztahů (4.0) a (4.) můžeme udělat následující závěry: Celkové napětí ve vzdálenosti od konce vedení ( ) je dáno součtem napětí přímé vlny () a napětí vlny zpětné () na dané souřadnici. Celkový proud ve vzdálenosti od konce vedení ( ) je dán rozdílem proudu přímé vlny () a proudu vlny zpětné () na dané souřadnici. Napětí přímé vlny ve vzdálenosti od konce vedení ()je přímo úměrné proudu přímé vlny ve vzdálenosti od konce vedení; konstantou úměrnosti je charakteristická impedance (4.8). Totéž platí pro odraženou vlnu, (4.a, b)

11 Transmission lines The ratio of the total voltage and current is not equal to the characteristic impedance 0 (4.3) but to the impedance ( ) that would be measured at the beginning of our TL, with a length of and terminated with a load of the same impedance k Fig. 4.4 Transmission line terminated by the impedance k. The ratio of the backward wave voltage (negatively weighted current ) and the forward wave voltage (current) is called the reflection factor (4.4) f the individual voltages (currents) are expressed in (4.4) using the voltages (currents) on the end of the TL (see eqn 4.) then we get 0 exp (4.5) Based on (4.3), the reflection factor in the distance from the end of the TL can be expressed using the area-specific impedance; numerator and denominator are divided by the forward wave current which leads to the reflection factor that can be singled out even on the left side (4.6) The impedance of a specific area of TL can be established from the known reflection factor of that place (4.7) The results that we got using the classical circuit theory will be discussed in the following paragraphs. 4. Standing wave on transmission line n the previous article has been said that two waves propagate along the TL the forward and backward waves. The resultant wave on the TL is given by the superposition of those waves. The negative sign in the backward wave current honours the fact that the current phase changes during the reflection by 80 ; consequently, the total current is the difference between the forward and the backward wave

12 řenosová vedení oměr celkového napětí a celkového proudu není roven charakteristické impedanci 0 (4.3) nýbrž impedanci ( ), kterou bychom naměřili na vstupu našeho vedení, dlouhého a na konci zatíženého stále stejnou impedancí k. Obr. 4.4 edení zakončené impedancí k. oměr napětí (záporně uvažovaného proudu ) odražené vlny k napětí (proudu) vlny přímé je nazýván činitelem odrazu (4.4) yjádříme-li ve (4.4) jednotlivá napětí (proudy) pomocí napětí (proudů) na konci vedení (viz vztahy 4.), dojdeme k výrazu 0 exp (4.5) Činitele odrazu ve vzdálenosti od konce vedení () můžeme na základě (4.3) vyjádřit pomocí impedance v daném místě (); čitatele i jmenovatele dělíme proudem přímé vlny, čímž se dostáváme k činiteli odrazu, kterého můžeme osamostatnit na levé straně (4.6) e známého činitele odrazu v určitém místě vedení můžeme určit impedanci v tomto místě (4.7) ýsledky, jichž jsme dosáhli prostřednictvím klasické teorie vedení, budeme diskutovat v následujících odstavcích. 4. Stojatá vlna na vedení předchozím článku jsme konstatovali, že se mohou podél vedení šířit dvě vlny přímá a zpětná. ýsledná vlna na vedení je dána superpozicí těchto dvou vln. proudu odražené vlny respektujeme záporným znaménkem skutečnost, že se při odrazu od zátěže mění fáze proudu o 80 o ; proto je také celkový proud rozdílem přímé a zpětné vlny.

13 3 Transmission lines The voltage of the resultant wave in the point is given by the sum of the forward wave voltage in and the backward wave voltage in 0exp 0exp (4.8a) The resultant wave current is the difference between the forward and backward wave currents 0exp 0exp ( ) (4.8b) For this time instance let us put in (4.8) =0 (we are on the end of the TL) (4.9a) (4.9b) f we know the total voltage and total current on the end of the TL (0) and (0) and the characteristic impedance, the voltage of the forward and backward waves on the end of the TL can be computed from (4.9) (4.30a) (4.30b) After substituting (4.30) into (4.8a) we get 0cosh 0sinh (4.3a) f we modify the system (4.9) in such a way that the forward and backward wave currents are on the right side then we could express these currents and substitute them into (4.8b). That would lead us to cosh 0 sinh (4.3b) 0 When deriving eqn. (4.3) we took into consideration that sinh e e, cosh e e The beauty of the system (4.3) is in the fact that by using it, the total voltage and current anywhere on the TL can be computed based on the total voltage and total current on its end. The total voltage and current can be measured directly on the load whereas the voltage or current of the forward and backward waves cannot be measured directly. For the lossless TL ( 0), the system (4.3) shifts to 0cos j 0sin (4.3a) cos j 0 sin 0 (4.3b) Let us consider a special case when the TL is terminated with an almost infinitely large impedance (the end is open-circuited). A negligible current (0) 0 will flow through such large impedance. The power spent in the load (0) = (0) * (0) will therefore also be negligible. That means that all the energy that is carried by the forward wave returns in the form of the backward wave energy back to the generator. The voltage or current amplitude of the forward and backward waves will be the same. The resultant wave is formed by the superposition of the forward and backward waves, thus it does not carry any energy, therefore it does not propagate. We say that a standing wave has occurred on the TL.

14 řenosová vedení 4 Napětí výsledné vlny v místě je dáno součtem napětí přímé vlny v a napětí odražené vlny v 0exp 0exp (4.8a) roud výsledné vlny je rozdílem proudů přímé a odražené vlny 0exp 0exp ( ) (4.8b) ro tento okamžik položme v (4.8) =0 (jsme na konci vedení) (4.9a) (4.9b) náme-li celkové napětí a celkový proud na konci vedení (0) a (0) a charakteristickou impedanci, můžeme z (4.9) vypočíst napětí přímé a odražené vlny na konci vedení (4.30a) (4.30b) o dosazení (4.30) do (4.8a) dostáváme 0cosh 0sinh (4.3a) okud bychom soustavu (4.9) modifikovali tak, abychom na pravé straně měli proudy přímé a odražené vlny, mohli bychom tyto proudy vyjádřit a dosadit do (4.8b). Dospěli bychom tak ke vztahu cosh 0 sinh (4.3b) 0 ři odvozování vztahů (4.3) jsme uvážili, že sinh e e, cosh e e Krása soustavy (4.3) tkví v tom, že jejich prostřednictvím mohu vypočíst celkové napětí a celkový proud kdekoli na vedení na základě celkového napětí a celkového proudu na jeho konci. Celkové napětí a proud mohu totiž na zátěži přímo naměřit, kdežto napětí resp. proud přímé a odražené vlny přímo změřit nelze. ro bezeztrátové vedení ( 0) přejde soustava (4.3) na 0cos j 0sin (4.3a) cos j 0 sin 0 (4.3b) ezměme si speciální případ, kdy je vedení zakončeno "téměř nekonečně" velkou impedancí (je na konci "naprázdno"). Tak velkou impedancí poteče zanedbatelný proud (0) 0. ýkon spotřebovaný v zátěži (0) = (0) * (0) bude tím pádem rovněž zanedbatelný. To znamená, že veškerá energie, nesená přímou vlnou, se vrací ve formě energie odražené vlny zpět ke generátoru. Amplituda napětí resp. proudu přímé a odražené vlny budou stejné. ýsledná vlna, která je superpozicí přímé a odražené vlny, tedy nepřenáší žádnou energii, tedy se nešíří. Říkáme, že na vedení vzniklo stojaté vlnění.

15 5 Transmission lines Fig. 4.5 Formation of a standing wave on a transmission line terminated by a short cut. Blue: forward wave, black: backward wave, red: standing wave. Left: t = 0, t = T / 3, t 3 = T / 3, t 4 = 3 T / 3, Right: t = 4 T / 3, t = 5 T / 3, t 3 = 6 T / 3, t 4 = 8 T / 3.

16 řenosová vedení 6 Obr. 4.5 znik stojaté vlny na vedení na konci nakrátko. Modrá: přímá vlna, černá: odražená vlna, červená: stojaté vlnění. levo: t = 0, t = T / 3, t 3 = T / 3, t 4 = 3 T / 3, pravo: t = 4 T / 3, t = 5 T / 3, t 3 = 6 T / 3, t 4 = 8 T / 3.

17 7 Transmission lines f we substitute (0) 0 into eqn. (4.3), we find out that the voltage amplitude of the resultant wave has a cosine behaviour. Therefore, in certain places the voltage will be permanently zero. These places are called the voltage nodes. They are on the coordinates where the forward and backward waves meet in the phase opposition. Whereas in the places where do the forward and backward waves with the same phase meet, is the resultant wave voltage amplitude at the maximum. n these places, there are the voltage antinodes Those ideas are illustrated in the fig The graphs represent the distribution of the forward wave voltage (blue), backward wave voltage (black) and standing wave voltage (red) on the TL terminated by short cut (right side of the graph). As the total voltage on short cut has to be zero (assuming it has infinite conductivity), the forward and backward wave voltages must be of the same size as the opposite phase. n the time instance t = 0 (first graph in the left column), the forward and backward waves are in the phase opposition. f we add them together, we get zero voltage along the whole TL. n the following time instances the forward wave shifts from left to the right and the backward wave shifts from the right to the left. The wave adding starts to form antinodes on the positions / = /4 and / = 3/4. Careful, the horizontal axis of the graphs is calibrated from the source to the load, therefore, the calibration for the coordinate should be reversed (value on the left, value 0 on the right). The nodes of the standing wave are clearly seen on positions 3 / = 0, 4 / = and 5 / =. The magnitude of the complex wave in antinodes changes from the value 0 (figure on the upper left, the forward and backward waves are in the phase opposition) to the double value of the forward wave (figure on the lower right side, the forward and backward waves are in the phase). Fig. 4.5 illustrates the voltage waves in the first fourth of the period. n the second fourth of the period, the value of the voltage in the antinode slowly decays to zero. n the second half of the period, the described process repeats with an opposite phase. Everything we have described for voltage, applies for the resultant wave currents as well. The only difference is that the current antinodes are situated in the voltage nodes and vice versa. This difference reflects the fact that the resultant wave voltage is given by the sum of the forward and backward wave voltages whereas the resultant wave current is given by the difference of the forward and backward wave currents. The standing wave is quantified by the standing wave ratio (SWR). SWR is for the lossless TL defined as the ratio of the standing wave voltage (current) amplitude in the antinode to the voltage (current) amplitude in the node SWR (4.33) max min max min n our short circuit case, the voltage and current in nodes were zero and therefore the SWR value converged to infinity. n this situation, we are dealing with the standing wave. The opposite of the standing wave is a travelling wave. t occurs on the TL when all the energy carried by the forward wave is spent in the load. Then the backward wave has zero amplitude. The resultant wave voltage and current amplitude is in this case identical to the forward wave voltage and current amplitude. On a lossless TL, the mentioned amplitudes are constant () = min = max = (same applies for the current) and therefore SWR =. Such TL is called power-matched.

18 řenosová vedení 8 okud dosadíme do vztahu (4.3) (0) 0, zjistíme, že amplituda napětí výsledné vlny bude mít kosinový průběh. To znamená, že v určitých místech bude neustále nulové napětí. Tato místa nazýváme uzly napětí. zniknou na těch souřadnicích, na nichž se potkávají přímá a odražená vlna v protifázi. Naopak v místech, v nichž se potkávají přímá a odražená vlna se stejnou fází, bude amplituda napětí výsledného vlnění maximální. Říkáme, že v těchto místech vzniká kmitna napětí. rávě vyřčené myšlenky ilustruje obr Grafy zde znázorňují v různých časových okamžicích rozložení napětí přímé vlny (modrá), odražené vlny (černá) a složené vlny (červená) na vedení, které je zakončeno zkratem (pravá strana grafu). Jelikož celkové napětí na zkratu musí být nulové (předpokládáme jeho nekonečnou vodivost), musejí být napětí přímé a odražené vlny stejně velká s opačnou fází. okamžiku t = 0 (první graf v levém sloupci) jsou přímá a odražená vlna v protifázi. Jejich sečtením dostáváme nulové napětí podél celé délky vedení. následujících okamžicích se přímá vlna posouvá zleva doprava o odražená vlna zprava doleva. Složení vln začíná formovat kmitny na pozicích / = /4 a / = 3/4. ozor, vodorovná osa grafů je cejchována od zdroje k zátěži, takže pro souřadnici by mělo být cejchování převráceno (vlevo hodnota, vpravo hodnota 0). Na pozicích 3 / = 0, 4 / = a 5 / = jsou zřetelně vidět uzly stojatého vlnění. e všech sledovaných okamžicích je v uzlu velikost složené vlny nulová. kmitnách se velikost složené vlny mění od nulové hodnoty (obrázek vlevo nahoře, přímá a odražená vlna jsou v protifázi) po hodnotu odpovídající dvojnásobku přímé vlny (obrázek vpravo dole, přímá a odražená vlna jsou ve fázi). Obr. 4.5 znázorňuje napěťové vlny v první čtvrtině periody. e druhé čtvrtině periody hodnota napětí v kmitně postupně klesá k nule. druhé polovině periody se popsaný děj opakuje s opačnou fází. Dosud jsme mluvili napětí, avšak vše platí i pro proudy výsledné vlny. Jediná odlišnost spočívá v tom, že v místech uzlů napětí se nacházejí kmitny proudu a naopak. Tento rozdíl vyplývá ze skutečnosti, že napětí výsledné vlny je dáno součtem napětí přímé a odražené vlny, ale proud výsledné vlny je dán rozdílem proudů přímé a odražené vlny. Stojaté vlnění je kvantifikováno poměrem stojatých vln (S). S je pro bezeztrátové vedení definován jako poměr amplitudy napětí (proudu) stojaté vlny v kmitně k amplitudě napětí (proudu) v uzlu S (4.33) max min max min našem případě vedení nakrátko byly napětí a proud v uzlech nulové, a tudíž hodnota S konvergovala k nekonečnu. a této situace hovoříme o (ryzí) stojaté vlně. Opakem ryzí stojaté vlny je vlna postupná. Ta na vedení vzniká tehdy, když je veškerá energie, nesená přímou vlnou, spotřebována v zátěži. Tím pádem má zpětná vlna nulovou amplitudu. Amplituda napětí a proudu výsledné vlny je za této situace totožná amplitudě napětí a proudu přímé vlny. Na bezeztrátovém vedení jsou zmíněné amplitudy konstantní () = min = max = (totéž platí pro proud), a tudíž S =. Takovému vedení říkáme výkonově přizpůsobené.

19 9 Transmission lines Since the forward and the backward wave both meet in the antinode in a phase, the standing wave voltage will in this place be given by the sum of the forward and backward wave amplitudes max (4.34a) n the node, the forward and the backward wave have opposite phase and therefore the standing wave voltage will in this place be given by the difference between the forward and backward wave amplitudes min (4.34b) By substituting (4.34) into (4.33) and by a modification considering the reflection factor definition (4.4), we get SWR (4.35) The eqn. (4.35) is now applicable even for the lossy TL. Since the SWR with the longitudinal coordinate changes in the lossy TL, its value in the point has to be computed using the quantities from that point. Now it should be clear why (4.33) is for the lossy TL useless. 4.3 Transmission of energy along line The power of the forward wave in the point is computed as the product of the voltage phasor and the complex conjugate forward wave current phasor in the given point * (4.36a) 0exp 0exp 0exp (4.37a) Analogically, we can write the eqn. for the power of the backward wave * (4.36b) 0exp 0exp 0exp (4.37b) The power that enters the TL is expressed as the difference between the powers of the forward and backward waves at the beginning of the TL (=l) l l (4.38) The power that is spent in the load is the difference between the powers of the forward and backward waves on the end of the TL 0 0 (4.39) The TL power efficiency is then defined as the ratio of the power spent in the load to the power that enters the TL 0 0 0exp l 0exp l (4.40)

20 řenosová vedení 0 Jelikož v kmitně se potkávají přímá i zpětná vlna ve fázi, bude v tomto místě napětí stojaté vlny dáno součtem amplitud přímé a zpětné vlny max (4.34a) uzlu mají přímá a odražená vlna fáze opačné, a tudíž napětí stojaté vlny bude v tomto místě dáno rozdílem amplitud přímé a odražené vlny min (4.34b) Dosazením (4.34) do (4.33) a úpravou s uvážením definice činitele odrazu (4.4) získáme S (4.35) ztah (4.35) již můžeme použít i pro ztrátová vedení. Jelikož se na nich S s podélnou souřadnicí mění, musíme počítat jeho hodnotu v místě z veličin v tomtéž místě. Nyní by tedy mělo být zřejmé, proč je pro ztrátová vedení (4.33) nepoužitelný. 4.3 řenos energie po vedení ýkon přímé vlny v místě počítáme jako součin fázoru napětí a komplexně sdruženého fázoru proudu přímé vlny v daném místě * (4.36a) 0exp 0exp 0exp (4.37a) Analogicky můžeme psát vztah pro výkon vlny odražené * (4.36b) 0exp 0exp 0exp (4.37b) ýkon vstupující do vedení vyjádříme jako rozdíl výkonu přímé a odražené vlny na počátku vedení (=l) l l (4.38) ýkon spotřebovaný v zátěži je rozdílem výkonu přímé a odražené vlny na konci vedení 0 0 (4.39) Účinnost vedení potom definujeme jako poměr výkonu, spotřebovaného v zátěži, k výkonu, vstupujícímu do vedení 0 0 0exp l 0exp l (4.40)

21 Transmission lines f we consider (4.4) (4.4) can be rewritten as follows 0 0 exp 4l exp l (4.4) Transmission losses are defined as the ratio of the power spent in the load to the power that strikes the load S 0 (4.43) 0 S oltage (current) stress of the TL is the magnitude of the voltage (current) in the standing wave antinode max S (4.44a) max S (4.44b) 4.4 Examples Before solving particular examples, let us go through the most important equations that will be needed. At all times, we will assume the homogeneous transmission line that has constant parameters in all its length. The most important parameters are the characteristic impedance and the velocity factor. The velocity factor [-] determines the ratio of the wave length on the TL v [m] to the wave length in the vacuum 0 [m] at the same signal frequency (4.45) v 0 Let us recall that the length of a wave in vacuum is determined using 0 c f (4.46) where c [m/s] is the speed of light in vacuum and f [Hz] stands for the frequency. f we know the length of the wave on TL then the phase constant [rad/m] can be easily established v (4.47) The phase constant indicates of how much radians the phase of a wave changes on a TL segment of one meter. f the homogeneous TL is terminated by the impedance k [], which differs from the TL characteristic impedance [], then the forward wave (direction of ) propagates along the TL together with the backward wave (direction of +).

22 řenosová vedení vážíme-li (4.4) můžeme (4.4) přepsat do tvaru 0 0 exp 4l exp l (4.4) řenosové ztráty jsou definovány jako poměr výkonu spotřebovaného v zátěži k výkonu na zátěž dopadajícímu S 0 (4.43) 0 S Napěťovým (proudovým) namáháním vedení rozumíme velikost napětí (proudu) v kmitně stojaté vlny max S (4.44a) max S (4.44b) 4.4 říklady řed řešením konkrétních příkladů si projděme nejdůležitější vztahy, které budeme potřebovat. važovat vždy budeme homogenní vedení, které má v celé své délce konstantní parametry. a nejdůležitější parametry lze považovat charakteristickou impedanci a činitele zkrácení. Činitel zkrácení [-] udává poměr délky vlny na vedení v [m] k délce vlny ve vakuu 0 [m] při stejném kmitočtu signálu (4.45) v 0 řipomeňme, že délku vlny ve vakuu určíme dle vztahu 0 c f (4.46) kde c [m/s] je rychlost světla ve vakuu a f [Hz] značí kmitočet. náme-li délku vlny na vedení v, můžeme snadno určit měrnou fázi [rad/m] v (4.47) Měrná fáze udává, o kolik radiánů se změní fáze signálu na úseku vedení, dlouhém jeden metr. Je-li homogenní vedení zakončeno impedancí k [], která se liší od charakteristické impedance vedení [], šíří se podél vedení kromě přímé vlny (směr ) i vlna odražená (směr +).

23 3 Transmission lines The ratio of the backward wave voltage to the forward wave voltage (or of the backward wave current to the forward wave current ), is called the reflection factor [-] b f b f (4.48) Fig. 4.6 Homogeneous transmission line The reflection factor in the point [m] can also be determined using the knowledge of the TL impedance measured in the very point () and also the characteristic impedance (4.49) The impedance () can be computed as the ratio of the total voltage () to total current () in the point (4.50) The total voltage in the point is given by the sum of the forward and backward wave s voltage () and () in the same point. (4.5) whereas the total current in the point is given by the difference between the forward wave current () and the backward wave current (). (4.5) The relation between the voltage and current of the forward (backward) wave is given by (4.53a) (4.53b) f the voltage (current) of the forward wave in the point is to be determined from the voltage (current) in the point, then the following equations are used exp j exp exp j exp n the case of the voltage (current) of the backward wave, the following equations apply exp j exp exp j exp (4.54a) (4.54b) (4.55a) (4.55b) n equations (4.54) and (4.55), [m - ] denotes the attenuation per unit length and is the phase constant [rad/m].

24 řenosová vedení 4 oměr napětí zpětné vlny a napětí přímé vlny (resp. proudu vlny zpětné a proudu přímé vlny ) se nazývá činitelem odrazu [-] b f b f (4.48) Obr. 4.6 Homogenní vedení Činitele odrazu v místě [m] můžeme určit rovněž ze znalosti impedance vedení, naměřené v daném místě (), a z charakteristické impedance (4.49) mpedanci () lze vypočíst jako poměr celkového napětí () a celkového proudu () v místě (4.50) Celkové napětí v místě je dáno součtem napětí přímé a zpětné vlny () a () v tomtéž místě. (4.5) kdežto celkový proud v místě je dán rozdílem proudu přímé vlny () a vlny zpětné (). (4.5) ztah mezi napětím a proudem přímé (zpětné) vlny je dán následujícími vztahy (4.53a) (4.53b) otřebujeme-li z napětí (proudu) přímé vlny v bodě určit napětí (proud) v bodě, využijeme vztahů exp j exp exp j exp případě napětí (proudu) zpětné vlny platí exp j exp exp j exp e vztazích (4.54) a (4.55) značí [m - ] měrný útlum vlny a je měrná fáze [rad/m]. (4.54a) (4.54b) (4.55a) (4.55b)

25 5 Transmission lines For the total voltage and total current apply the following transformation relations cosh (4.56a) sinh cosh (4.56b) where = + j. sinh f the TL is terminated by any other than the characteristic impedance, a standing wave occurs. The points with the utmost voltage (current) are so-called voltage (current) antinodes; the points with the minimum voltage (current) are so-called voltage (current) nodes. The ratio of the voltage (current) in the antinode max ( max ) to the voltage (current) in the node min ( min ) is so-called standing wave ratio SWR [-] S (4.57) max min max min The standing wave ratio in the point can also be computed from the magnitude of the reflection factor in the very place SWR (4.58) Let us further mention the power computation. The power of the forward (backward) wave is computed using the following eqn.,,,, *, (4.59) The transmission losses are given by the following eqn (4.60) z 0 The TL power efficiency is determined by the following eqn. (l denotes the TL length) exp l 0 exp l 0 4 (4.6) When solving examples with the homogeneous TL, probably the most challenging to compute is the shift of the total voltage and total current from the point (, ) to the point (, ). Therefore, the MATLAB program is again conveniently used to compute the equations (4.56) function [, ] = transline(,, 0, alpha, beta, l) gama = beta + j*alpha; = *cosh( gama*l) + (*0)*sinh( gama*l); = *cosh( gama*l) + (/0)*sinh( gama*l); % complex propagation constant The input parameters are, beside the voltage and current in the point of origin, the characteristic impedance of the TL 0, the phase constant alpha, attenuation per unit length beta and the distance l from the point of origin to the point of the total voltage and total current computation.

26 řenosová vedení 6 ro celkové napětí () a celkový proud () platí následující transformační vztahy: cosh (4.56a) sinh cosh (4.56b) kde = + j. sinh Je-li vedení zakončeno jinou nežli charakteristickou impedancí, vznikne na něm stojaté vlnění. Místa maximálního napětí (proudu) se nazývají kmitnami napětí (proudu), místa minimálního napětí (proudu) se nazývají uzly napětí (proudu). oměr napětí (proudu) v kmitně max ( max ) a v uzlu min ( min ) je tzv. poměr stojatých vln S [-] S (4.57) max min max min oměr stojatých vln v místě lze rovněž vypočíst z velikosti činitele odrazu v tomto místě S (4.58) Dále se zmiňme o výpočtu výkonů. ýkon přímé (odražené) vlny vypočteme podle vztahu,,,, *, (4.59) řenosové ztráty jsou dány vztahem (4.60) z 0 Účinnost vedení určíme podle následujícího vztahu (v němž l značí délku vedení) exp l 0 exp l 0 4 (4.6) ři řešení příkladů s homogenním vedením je pravděpodobně výpočetně nejnáročnějším úkonem přepočet celkového napětí a celkového proudu z místa (, ) do místa (, ). roto opět s výhodou využijeme programu MATLAB a jednoduše do něj přepíšeme vztahy (4.56). function [, ] = transline(,, 0, alpha, beta, l) gama = beta + j*alpha; = *cosh( gama*l) + (*0)*sinh( gama*l); = *cosh( gama*l) + (/0)*sinh( gama*l); % komplexní konstanta šíření Kromě napětí a proudu ve výchozím místě patří mezi vstupní parametry charakteristická impedance vedení 0, měrná fáze alpha, měrný útlum beta a vzdálenost l výchozího místa od pozice, na níž celkové napětí a celkový proud počítáme.

27 7 Transmission lines. A homogeneous TL with characteristic impedance 0 = 75, velocity factor =/3 and negligible attenuation per unit length 0 operates at the frequency f = 50 MHz. The TL is terminated by a load resistor R k = 5. The voltage measured on the load resistor is k = 0. Following quantities should be evaluated: a) hase constant ; b) oltage of the forward and backward waves at the end of the TL; c) Current of the forward and backward waves and the resultant current at the end of the TL; d) Location of the voltage and current antinodes and nodes; e) Resultant voltage and current in the antinode and node; f) Standing wave ratio on the TL; g) ower of the forward and backward waves at the end of the TL, transmission losses and the TL power efficiency; h) How will these results change if the attenuation per unit length on the TL equals to = 0,5 m -. [ a) = / rad/m; b) (0) = 0, (0) = 0 ; c) (0) = 0,67 A, (0) = 0,33 A; (0) = 0,4 A; d) max = min = m, max = min = 0 m; e) max = 30, min = 0, max = 0,4 A, min = 0,33 A; f) S = 3; g) f (0)=5,33W, b (0) =,33 W, (0) = 4 W, ztr = 0,75, = ] [ from a) to d) no change in results; e) max = 39, min = 0, max = 0,4 A, min = 0,36 A; f) S(0) = 3, S() =,45; g) powers without change, = 0,9 for the TL of the length l = m]. Two different homogeneous transmission lines are cascade-connected. Formulate the equations for the voltage and current distribution in the described system. Fig. 4.7 The cascade connection of two homogeneous transmission lines The deriving starts with the TL and the index. The distribution of the total voltage and total current on the first segment of the TL can be determined from the known relations of the terminating impedance k (f. e. we compute the voltage on k and then estimate k using the Ohm s law) 0 cosh 0 sinh cosh 0 0 sinh

28 řenosová vedení 8. Homogenní vedení s charakteristickou impedancí 0 = 75, s činitelem zkrácení =/3 a se zanedbatelným měrným útlumem 0 je napájeno napětím o kmitočtu f = 50 MHz. Na konci je vedení zatíženo odporem R k = 5. Na zatěžovacím odporu bylo naměřeno napětí k = 0 voltů. ypočtěte: a) Fázovou konstantu ; b) Napětí přímé a odražené vlny na konci vedení; c) roud přímé a odražené vlny a výsledný proud na konci vedení; d) olohu kmiten a uzlů napětí a proudu; e) ýsledné napětí a proud v kmitně a uzlu; f) oměr stojatých vln na vedení; g) ýkon přímé a odražené vlny na konci vedení, přenosové ztráty a účinnost vedení; h) Jak se změní dosud vypočtené výsledky, bude-li vedení vykazovat měrný útlum = 0,5 m -. [ a) = / rad/m; b) (0) = 0, (0) = 0 ; c) (0) = 0,67 A, (0) = 0,33 A; (0) = 0,4 A; d) max = min = m, max = min = 0 m; e) max = 30, min = 0, max = 0,4 A, min = 0,33 A; f) S = 3; g) f (0) = 5,33 W, b (0) =,33 W, (0) = 4 W, ztr = 0,75, = ] [ a) až d) řešení beze změny; e) max = 39, min = 0, max = 0,4 A, min = 0,36 A; f) S(0) = 3, S() =,45; g) výkony beze změny, = 0,9 pro vedení dlouhé l = m]. Dvě různá homogenní vedení jsou zapojena v kaskádě. Formulujte rovnice pro rozložení napětí a proudu na popsaném systému. Obr. 4.7 Kaskáda dvou homogenních vedení. ři odvozování začneme s vedením s indexem. e známých poměrů na zakončovací impedanci k (např. změříme napětí na k a z Ohmova zákona určíme k ) můžeme určit rozložení celkového napětí a celkového proudu na prvním úseku vedení 0 cosh 0 sinh cosh 0 0 sinh

29 9 Transmission lines On the output terminals of the second TL is the input voltage and input current of the first TL (l ) a (l ). The following equations then apply for the distribution of the voltage and current on the second TL l cosh l l l sinh l cosh l l l sinh 3. A homogeneous lossless TL with the characteristic impedance 0 = 300 and the velocity factor = /3 operates at the frequency f = 0 MHz and is terminated by ) Resistor R k = 600.; ) Resistor R k = 50.; 3) mpedance k = (300 + j 300).; 4) mpedance k = (300 j 300). Following quantities should be evaluated: a) Reflection factor at the end of the TL; b) Standing wave ratio; c) Location of the first antinode and the first node of the standing wave voltage from the end of the TL; d) Magnitude of the voltage in the antinode and node, if the load is fed with current k = 00 ma. k SWR km [m] uz [m] km [] uz [] /3,00 0,00,50 60,0 30,0 -/3,00,50 0,00 30,0 5,0 3 0,447.e +j63,6 0,88 3,38 48,7 8,7 4 0,447.e -j63,6 4,3,63 48,7 8,7 4. A homogeneous TL has a wave impedance, negligible losses and a length l = v /4. t is loaded by the impedance k and fed by voltage p. Following quantities should be evaluated: a) Current that flows through the load; b) mpedance at the beginning of the TL; c) mpedance at the beginning of the TL if we double the signal frequency. [ a) k = -j p / ; b) p = / k ; c) p = k ]

30 řenosová vedení 30 Na jeho výstupních svorkách druhého vedení je vstupní napětí a vstupní proud vedení prvého (l ) a (l ). ro rozložení napětí a proudu na druhém vedení tedy můžeme psát vztahy l cosh l l l sinh l cosh l l l sinh 3. Homogenní bezeztrátové vedení s charakteristickou impedancí 0 = 300 a s činitelem zkrácení = /3 je napájeno napětím o kmitočtu f = 0 MHz a zakončeno je ) Odporem R k = 600.; ) Odporem R k = 50.; 3) mpedancí k = (300 + j 300).; 4) mpedancí k = (300 j 300). ypočtěte: a) Činitele odrazu na konci vedení; b) oměr stojatých vln na vedení; c) olohu první kmitny a prvního uzlu napětí stojaté vlny od konce vedení; d) elikost napětí v kmitně a v uzlu, protéká-li zátěží proud k = 00 ma. k S km [m] uz [m] km [] uz [] /3,00 0,00,50 60,0 30,0 -/3,00,50 0,00 30,0 5,0 3 0,447.e +j63,6 0,88 3,38 48,7 8,7 4 0,447.e -j63,6 4,3,63 48,7 8,7 4. Homogenní vedení má vlnovou impedanci, zanedbatelné ztráty a délku l = v /4. atíženo je impedancí k a napájeno napětím p. ypočtěte: a) roud tekoucí zátěží; b) mpedanci na počátku vedení; c) mpedanci na počátku vedení, zvýšíme-li dvojnásobně kmitočet signálu. [ a) k = -j p / ; b) p = / k ; c) p = k ]

31 3 Transmission lines 5. A current k = 0,5 A and voltage k = 5 have been measured on the load of a homogeneous lossless TL with the characteristic impedance 0 = 75 and the length l = 0 m. The wave length on the TL is v = m. Following quantities should be evaluated: a) oltage and current of the forward and backward waves at the end of the TL; b) Locations of the voltage and current nodes and antinodes; c) oltage and current in the nodes and antinodes; d) ower of the forward and backward waves; e) Transmission losses; f) TL power efficiency, when considering the nonzero attenuation per unit length [ a) (0) = 3,5 ; (0) = 6,5 ; (0) = 47 ma; (0) = -83 ma; b, c) = 0.0 m voltage node min = 5 and current antinode max = 500 ma; = 0.5 m current node min = 334 ma and voltage antinode max = 37,5 ; d) = 3,0 W; = 5 mw; e) zt = 0,96; f) = 0,69 ] 6. The transmission route is formed by two lossless cascade-connected transmission lines. The first TL (closer to the source) has the following parameters = 75, = 0,8, l = 5,0 m, the second TL (closer to the load) has the following parameters = 00, = 0,7, l =,0 m. The reflection factor = 0,3 and voltage =,0 has been measured at the frequency f = 600 MHz on the cascade input. Following quantities should be evaluated: a) Current on the cascade input; b) Total load current; c) Load impedance; d) Standing wave ratio on both TL. [ a) = 4,3 ma; b) K = 9,6 e -j79 ma; c) K = 73,7 e +j8 ; d) S =,40; S =,86 ] 4.4 References