4 Napětí a proudy na vedení

Transkript

1 4 Napětí a proudy na vedení předchozí kapitole jsme se seznámili s šířením napěťové a proudové vlny podél přenosového vedení. Diskutovali jsme podobnost šíření vlny podél vedení s šířením vlny volným prostorem. Na rozdíl od volného prostoru jsme však brali v potaz odraz vlny od impedančně nepřizpůsobené zátěže. kázali jsme si, že celkové napětí na vedení je součtem (superpozicí) napětí přímé a zpětné vlny a že celkový proud vedením je rozdílem proudu přímé a zpětné vlny. oměr napětí (proudů) zpětné vlny a přímé vlny nazýváme činitelem odrazu (3.4) Činitele odrazu můžeme rovněž vypočítat z charakteristické impedance vedení a z impedance připojené na konec vedení (0) (3.6) Je-li vedení zakončeno charakteristickou impedancí, veškerá energie přímé vlny se spotřebuje v takové zátěži a nic se od této zátěže neodráží zpět ke zdroji. následující podkapitole se budeme blíže zabývat vzájemnou interakcí přímých a zpětných vln. 4. Stojatá vlna na vedení Celkové napětí na vedení v místě je dáno součtem napětí přímé vlny zpětné vlny v tomto místě 0exp 0exp (4.a) Celkový proud na vedení je rozdílem proudů přímé a zpětné vlny 0exp 0exp ( ) (4.b) řipomeňme, že a jsou napětí a proud přímé vlny (šíří se od zdroje k zátěži) a a značí napětí a proud zpětné vlny, odražené od zátěže (šíří se od zátěže ke zdroji). Symbol značí vzdálenost od konce vedení (konci vedení tedy odpovídá =0). Symbol je komplexní konstanta šíření R j L G j C (3.7) kde R, G, L a C jsou odpor, vodivost, indukčnost a kapacita vedení na jeden metr délky. Komplexní konstantu šíření můžeme formálně vyjádřit jako kde značí měrný útlum a je měrná fáze j (4.) - -

2 Délku vlny na vedení v můžeme vypočítat ze vztahu (4.3) v v 0 (4.4) kde je tzv. činitel zkrácení a 0 je délka vlny ve vakuu. Hodnota činitele zkrácení závisí na konstrukci konkrétního vedení. Dosaďme rozepsanou konstantu šíření do vztahu pro celkové napětí a proud (3.) j e e j e e j j e e e e 0 0 (4.5a) 0 0 (4.5a) idíme, že velikost napětí (proudu) přímé vlny ve směru od konce vedení ke zdroji roste, protože se pohybujeme proti směru šíření přímé vlny. elikost a proudu zpětné vlny ve směru ke zdroji klesá, protože se pohybujeme se ve směru šíření). ředpokládejme, že jsme na konci vedení. otom do (4.) můžeme dosadit = (4.6a) (4.6b) náme-li celkové napětí a celkový proud na konci vedení (0) a (0) a charakteristickou impedanci vedení, můžeme ze (4.6) vypočíst napětí přímé a odražené vlny na konci vedení o dosazení (4.7) do (4.a) dostáváme ři odvozování vztahů (4.8) jsme uvážili, že kde je libovolné komplexní číslo (4.7a) (4.7b) 0cosh 0 (4.8a) cosh 0 (4.8b) 0 e e, cosh e e Díky soustavě (4.4) lze vypočíst celkové napětí a celkový proud v libovolném místě vedení z celkového napětí a celkového proudu na jeho konci. Celkové napětí a proud lze na zátěži změřit, kdežto napětí resp. proud přímé a odražené vlny přímo změřit nelze. ro bezeztrátové vedení ( 0) přejde soustava (4.8) na tvar 0cos j 0sin (4.9a) cos j 0 sin (4.9b) 0 ezměme si speciální případ, kdy je vedení zakončeno "téměř nekonečně" velkou impedancí (je na konci "naprázdno"). Tak velkou impedancí poteče zanedbatelný proud (0) 0. ýkon spotřebovaný v zátěži (0) = (0) * (0) bude rovněž zanedbatelný. To znamená, že veškerá energie, nesená přímou vlnou, se vrací ve formě energie odražené vlny zpět ke generátoru. - -

3 Obr. 4. znik stojaté vlny na vedení na konci nakrátko. Modrá: přímá vlna, černá: odražená vlna, červená: stojaté vlnění. levo: t = 0, t = T / 3, t 3 = T / 3, t 4 = 3 T / 3, pravo: t = 4 T / 3, t = 5 T / 3, t 3 = 6 T / 3, t 4 = 8 T /

4 Amplituda napětí resp. proudu přímé a odražené vlny budou stejné. ýsledná vlna, která je superpozicí přímé a odražené vlny, tedy nepřenáší žádnou energii, tedy se nešíří. Říkáme, že na vedení vzniklo stojaté vlnění. okud dosadíme do vztahu (4.9) (0) 0, zjistíme, že amplituda napětí výsledné vlny bude mít kosinový průběh. To znamená, že v určitých místech bude neustále nulové napětí. Tato místa nazýváme uzly napětí. zniknou na těch souřadnicích, na nichž se potkávají přímá a odražená vlna v protifázi. Naopak v místech, v nichž se potkávají přímá a odražená vlna se stejnou fází, bude amplituda napětí výsledného vlnění maximální. Říkáme, že v těchto místech vzniká kmitna napětí. rávě vyřčené myšlenky ilustruje obr. 4.. Grafy zde znázorňují v různých časových okamžicích rozložení napětí přímé vlny (modrá), odražené vlny (černá) a složené vlny (červená) na vedení, které je zakončeno zkratem (pravá strana grafu). Jelikož celkové napětí na zkratu musí být nulové (předpokládáme jeho nekonečnou vodivost), musejí být napětí přímé a odražené vlny stejně velká s opačnou fází. okamžiku t = 0 (první graf v levém sloupci) jsou přímá a odražená vlna v protifázi. Jejich sečtením dostáváme nulové napětí podél celé délky vedení. následujících okamžicích se přímá vlna posouvá zleva doprava o odražená vlna zprava doleva. Složení vln začíná formovat kmitny na pozicích / = /4 a / = 3/4. ozor, vodorovná osa grafů je cejchována od zdroje k zátěži, takže pro souřadnici by mělo být cejchování převráceno (vlevo hodnota, vpravo hodnota 0). Na pozicích 3 / = 0, 4 / = a 5 / = jsou zřetelně vidět uzly stojatého vlnění. e všech sledovaných okamžicích je v uzlu velikost složené vlny nulová. kmitnách se velikost složené vlny mění od nulové hodnoty (obrázek vlevo nahoře, přímá a odražená vlna jsou v protifázi) po hodnotu odpovídající dvojnásobku přímé vlny (obrázek vpravo dole, přímá a odražená vlna jsou ve fázi). Obr. 4. znázorňuje napěťové vlny v první čtvrtině periody. e druhé čtvrtině periody hodnota napětí v kmitně postupně klesá k nule. druhé polovině periody se popsaný děj opakuje s opačnou fází. Dosud jsme mluvili napětí, avšak vše platí i pro proudy výsledné vlny. Jediná odlišnost spočívá v tom, že v místech uzlů napětí se nacházejí kmitny proudu a naopak. Tento rozdíl vyplývá ze skutečnosti, že napětí výsledné vlny je dáno součtem napětí přímé a odražené vlny, ale proud výsledné vlny je dán rozdílem proudů přímé a odražené vlny. Stojaté vlnění je kvantifikováno poměrem stojatých vln (S). S je pro bezeztrátové vedení definován jako poměr amplitudy napětí (proudu) stojaté vlny v kmitně k amplitudě napětí (proudu) v uzlu S max max (4.0) našem případě vedení nakrátko byly napětí a proud v uzlech nulové, a tudíž hodnota S konvergovala k nekonečnu. a této situace hovoříme o ryzí stojaté vlně. min Opakem ryzí stojaté vlny je vlna postupná. Ta na vedení vzniká tehdy, když je veškerá energie, nesená přímou vlnou, spotřebována v zátěži. Tím pádem má zpětná vlna nulovou amplitudu. Amplituda napětí a proudu výsledné vlny je za této situace totožná amplitudě napětí a proudu přímé vlny. Na bezeztrátovém vedení jsou zmíněné amplitudy konstantní () = min = max = (totéž platí pro proud), a tudíž S =. Takovému vedení říkáme výkonově přizpůsobené. min - 4 -

5 Jelikož v kmitně se potkávají přímá i zpětná vlna ve fázi, bude v tomto místě napětí stojaté vlny dáno součtem amplitud přímé a zpětné vlny max (4.a) uzlu mají přímá a odražená vlna fáze opačné, a tudíž napětí stojaté vlny bude v tomto místě dáno rozdílem amplitud přímé a odražené vlny min (4.b) Dosazením (4.) do (4.0) a úpravou s uvážením definice činitele odrazu získáme S (4.) ztah (4.) již můžeme použít i pro ztrátová vedení. Jelikož se na nich S s podélnou souřadnicí mění, musíme počítat jeho hodnotu v místě z veličin v tomtéž místě. Nyní by tedy mělo být zřejmé, proč je pro ztrátová vedení (4.0) nepoužitelný. 4. řenos energie po vedení ýkon přímé vlny v místě počítáme jako součin fázoru napětí a komplexně sdruženého fázoru proudu přímé vlny v daném místě * (4.3a) 0exp 0exp 0exp (4.4a) Analogicky můžeme psát vztah pro výkon vlny odražené * (4.3b) 0exp 0exp 0exp (4.4b) ýkon vstupující do vedení vyjádříme jako rozdíl výkonu přímé a odražené vlny na počátku vedení (=l) l l (4.5) ýkon spotřebovaný v zátěži je rozdílem výkonu přímé a odražené vlny na konci vedení 0 0 (4.6) Účinnost vedení potom definujeme jako poměr výkonu, spotřebovaného v zátěži, k výkonu, vstupujícímu do vedení 0 0 0exp l 0exp l (4.7) - 5 -

6 vážíme-li (4.8) můžeme (4.7) přepsat do tvaru 0 0 exp 4l exp l (4.9) řenosové ztráty jsou definovány jako poměr výkonu spotřebovaného v zátěži k výkonu na zátěž dopadajícímu S 0 (4.0) 0 S Napěťovým (proudovým) namáháním vedení rozumíme velikost napětí (proudu) v kmitně stojaté vlny max S (4.a) max S (4.b) 4.3 říklady řed řešením konkrétních příkladů si projděme nejdůležitější vztahy, které budeme potřebovat. važovat vždy budeme homogenní vedení, které má v celé své délce konstantní parametry. a nejdůležitější parametry lze považovat charakteristickou impedanci a činitele zkrácení. Obr. 4. Homogenní vedení Činitel zkrácení [-] udává poměr délky vlny na vedení v [m] k délce vlny ve vakuu 0 [m] při stejném kmitočtu signálu řipomeňme, že délku vlny ve vakuu určíme dle vztahu kde c [m/s] je rychlost světla ve vakuu a f [Hz] značí kmitočet. (4.3) v 0 0 c f (4.4) - 6 -

7 náme-li délku vlny na vedení v, můžeme snadno určit měrnou fázi [rad/m] v (4.5) Měrná fáze udává, o kolik radiánů se změní fáze signálu na úseku vedení, dlouhém jeden metr. Je-li homogenní vedení zakončeno impedancí k [], která se liší od charakteristické impedance vedení [], šíří se podél vedení kromě přímé vlny (směr ) i vlna odražená (směr +). oměr napětí zpětné vlny a napětí přímé vlny (resp. proudu vlny zpětné a proudu přímé vlny ) se nazývá činitelem odrazu [-] (4.6) Činitele odrazu v místě [m] můžeme určit rovněž ze znalosti impedance vedení, naměřené v daném místě (), a z charakteristické impedance (4.7) mpedanci () lze vypočíst jako poměr celkového napětí () a celkového proudu () v místě (4.8) Celkové napětí v místě je dáno součtem napětí přímé a zpětné vlny () a () v tomtéž místě. (4.9) kdežto celkový proud v místě je dán rozdílem proudu přímé vlny () a vlny zpětné (). (4.30) ztah mezi napětím a proudem přímé (zpětné) vlny je dán následujícími vztahy (4.3a) (4.3b) otřebujeme-li z napětí (proudu) přímé vlny v bodě určit napětí (proud) v bodě, využijeme vztahů exp j exp exp j exp případě napětí (proudu) zpětné vlny platí exp j exp exp j exp e vztazích (4.3) a (4.33) značí [m - ] měrný útlum vlny a je měrná fáze [rad/m]. (4.3a) (4.3b) (4.33a) (4.33b) - 7 -

8 ro celkové napětí () a celkový proud () platí následující transformační vztahy: kde = + j. cosh (4.34a) cosh (4.34b) Je-li vedení zakončeno jinou nežli charakteristickou impedancí, vznikne na něm stojaté vlnění. Místa maximálního napětí (proudu) se nazývají kmitnami napětí (proudu), místa minimálního napětí (proudu) se nazývají uzly napětí (proudu). oměr napětí (proudu) v kmitně max ( max ) a v uzlu min ( min ) je tzv. poměr stojatých vln S [-] S min max max (4.35) oměr stojatých vln v místě lze rovněž vypočíst z velikosti činitele odrazu v tomto místě min S (4.36) Dále se zmiňme o výpočtu výkonů. ýkon přímé (odražené) vlny vypočteme podle vztahu,,, řenosové ztráty jsou dány vztahem,, * (4.37) (4.38) z 0 Účinnost vedení určíme podle následujícího vztahu (v němž l značí délku vedení) exp l 0 exp l 0 4 (4.39). Homogenní vedení s charakteristickou impedancí 0 = 75, s činitelem zkrácení =/3 a se zanedbatelným měrným útlumem 0 je napájeno napětím o kmitočtu f = 50 MHz. Na konci je vedení zatíženo odporem R k = 5. Na zatěžovacím odporu bylo naměřeno napětí k = 0 voltů. ypočtěte: a) Fázovou konstantu ; b) Napětí přímé a odražené vlny na konci vedení; c) roud přímé a odražené vlny a výsledný proud na konci vedení; d) olohu kmiten a uzlů napětí a proudu; e) ýsledné napětí a proud v kmitně a uzlu; f) oměr stojatých vln na vedení; g) ýkon přímé a odražené vlny na konci vedení, přenosové ztráty a účinnost vedení; - 8 -

9 h) Jak se změní dosud vypočtené výsledky, bude-li vedení vykazovat měrný útlum = 0,5 m -. [ a) = / rad/m; b) (0) = 0, (0) = 0 ; c) (0) = 0,67 A, (0) = 0,33 A; (0) = 0,4 A; d) max = min = m, max = min = 0 m; e) max = 30, min = 0, max = 0,4 A, min = 0,33 A; f) S = 3; g) f (0) = 5,33 W, b (0) =,33 W, (0) = 4 W, ztr = 0,75, = ] [ a) až d) řešení beze změny; e) max = 39, min = 0, max = 0,4 A, min = 0,36 A; f) S(0) = 3, S() =,45; g) výkony beze změny, = 0,9 pro vedení dlouhé l = m]. Dvě různá homogenní vedení jsou zapojena v kaskádě. Formulujte rovnice pro rozložení napětí a proudu na popsaném systému. Obr. 4.7 Kaskáda dvou homogenních vedení. ři odvozování začneme s vedením s indexem. e známých poměrů na zakončovací impedanci k (např. změříme napětí na k a z Ohmova zákona určíme k ) můžeme určit rozložení celkového napětí a celkového proudu na prvním úseku vedení 0 cosh 0 cosh 0 0 Na jeho výstupních svorkách druhého vedení je vstupní napětí a vstupní proud vedení prvého (l ) a (l ). ro rozložení napětí a proudu na druhém vedení tedy můžeme psát vztahy l cosh l l l l cosh l l l 3. Homogenní bezeztrátové vedení s charakteristickou impedancí 0 = 300 a s činitelem zkrácení = /3 je napájeno napětím o kmitočtu f = 0 MHz a zakončeno je ) Odporem R k = 600.; ) Odporem R k = 50.; 3) mpedancí k = (300 + j 300).; 4) mpedancí k = (300 j 300). ypočtěte: a) Činitele odrazu na konci vedení; b) oměr stojatých vln na vedení; c) olohu první kmitny a prvního uzlu napětí stojaté vlny od konce vedení; - 9 -

10 d) elikost napětí v kmitně a v uzlu, protéká-li zátěží proud k = 00 ma. k S km [m] uz [m] km [] uz [] /3,00 0,00,50 60,0 30,0 -/3,00,50 0,00 30,0 5,0 3 0,447.e +j63,6 0,88 3,38 48,7 8,7 4 0,447.e -j63,6 4,3,63 48,7 8,7 4. Homogenní vedení má vlnovou impedanci, zanedbatelné ztráty a délku l = v /4. atíženo je impedancí k a napájeno napětím p. ypočtěte: a) roud tekoucí zátěží; b) mpedanci na počátku vedení; c) mpedanci na počátku vedení, zvýšíme-li dvojnásobně kmitočet signálu. [ a) k = -j p / ; b) p = / k ; c) p = k ] 5. Na zátěži homogenního bezeztrátového vedení s charakteristickou impedancí 0 = 75 a s délkou l = 0 m byl naměřen proud k = 0,5 A a napětí k = 5. Délka vlny na vedení je v = m. rčete: a) Napětí a proud přímé a odražené vlny na konci vedení; b) olohu uzlů a kmiten napětí a proudu; c) Napětí a proud v uzlech a kmitnách; d) ýkon, nesený přímou vlnou a odraženou vlnou; e) řenosové ztráty; f) Účinnost vedení, pokud uvážíme nenulový měrný útlum = 0,5 db/m. [ a) (0) = 3,5 ; (0) = 6,5 ; (0) = 47 ma; (0) = -83 ma; b, c) = 0.0 m - uzel napětí min = 5 a kmitna proudu max = 500 ma; = 0.5 m uzel proudu min = 334 ma a kmitna napětí max = 37,5 ; d) = 3,0 W; = 5 mw; e) zt = 0,96; f) = 0,69 ] 6 řenosová trasa je tvořena kaskádou dvou bezeztrátových vedení. rvní vedení (blíže zdroji) má parametry = 75, = 0,8, l = 5,0 m, druhé vedení (blíže zátěži) má parametry = 00, = 0,7, l =,0 m. Na vstupu kaskády byl naměřen na kmitočtu f = 600 MHz činitel odrazu = 0,3 a napětí =,0. ypočtěte: a) roud na vstupu kaskády; b) Celkový proud zátěží; c) mpedanci zátěže; d) oměr stojatých vln na obou vedeních. [ a) = 4,3 ma; b) K = 9,6 e -j79 ma; c) K = 73,7 e +j8 ; d) S =,40; S =,86 ] - 0 -