TEORIE PROTĚJŠKŮ A MODÁLNÍ PREDIKÁTOVÁ LOGIKA 1

Transkript

1 TEORIE PROTĚJŠKŮ A MODÁLNÍ PREDIKÁTOVÁ LOGIKA 1 David K. Lewis 1 Teorie protějšků Pomocí všestranně použitelné extenzionální logiky můžeme formálně uvažovat o valné většině věcí. Stačí mít k dispozici soubor predikátů a obor kvantifikace vhodný pro danou úvahu. Tak si skutečně počínáme tehdy, uvažujeme-li např. o číslech, množinách, celcích a jejich částech a řetězcích nějakých symbolů. Jestliže však uvažujeme o modalitách, postupujeme jinak. Tehdy přemýšlíme o tom, co může být a co má být, o esencích a akcidentech a zavádíme modální operátory. Jejich cíl je velmi speciální mají nám pomoci zkonstruovat neextenzionální logiku. Proč v tomto případě postupujeme tak odlišným způsobem? Je tomu tak díky nějaké historické náhodě, nebo jsme k tomu nuceni samotnou povahou modalit? K této volbě nejsme nijak nuceni. Máme k dispozici jinou alternativu. Ve skutečnosti nemusíme formalizovat naše modální úvahy pomocí modálních operátorů, ale můžeme i v tomto případě postupovat obvyklým způsobem. Docela přitom vystačíme se standardní logikou (neboli predikátovou logikou s teorií identity, která neobsahuje žádné neeliminovatelné singulární termíny), tj. můžeme najít takové predikáty a obor kvantifikace, které jsou vhodné k formalizaci modálního diskursu. Po dosažení tohoto cíle budeme mít k dispozici výrazy, které v rámci našeho systému budou plnit roli modálních operátorů. Potřebné predikáty spolu s požadavky, které na ně klademe tvoří systém, kterému zde říkám teorie protějšků. Teorie protějšků obsahuje následující čtyři predikáty, které považujeme za primitivní výrazy: Wx (x je možný svět) Ixy (x je v možném světě y) Ax (x je aktuální) Cxy (x je protějškem y) Obor kvantifikace obsahuje všechny možné světy a všechny věci v každém světě. Primitivním predikátům je třeba rozumět v jejich slovním překladu a klademe na ně následující požadavky: P1: x y(ixy Wy) (Všechno, co v něčem je, je v možném světě) P2: x y z[(ixy Ixz) y=z] (Nic není zároveň ve dvou světech) P3: x y(cxy zixz) (Všechno, co je protějškem, je v nějakém světě) P4: x y(cxy ziyz) (Všechno, co má protějšek, je v nějakém světě) P5: x y z[(ixy Izy Cxz) x=z) (V žádném světě nic není protějškem čehokoli jiného) P6: x y(ixy Cxx) (V každém světě je všechno protějškem sebe sama) 1

2 P7: x[wx y(ixy Ay)] (Existuje svět, který obsahuje pouze aktuální věci) P8: xax (Něco je aktuální) Svět, o němž se hovoří v P7, je na základě P2 a P8 určen jednoznačně. Zaveďme proto následující určitý = df ιx y(ixy Ay) (aktuální svět) Neaktualizovaná posibilia, tj. věci z jiných světů, než je aktuální svět, jsou často považována za entia non grata 2 ; z velké části jen proto, že není jasné, kdy jsou a naopak kdy nejsou tyto věci navzájem totožné. Avšak identita rozumíme-li jí doslovně nepředstavuje pro náš systém žádný problém. V každém světě jsou totiž věci individuovány v zásadě stejným způsobem jako v aktuálním světě. Na základě principu P2 nejsou věci v různých světech nikdy identické. Náhradním pojmem pro identitu mezi věcmi z různých světů je právě naše relace protějšku. 3 Na místě, kde by někdo jiný hovořil o tom, že se náš ctěný čtenář vyskytuje v různých světech, v nichž má jiné vlastnosti a jinou historii, hovořím raději o tom, že se vaše osoba vyskytuje pouze v aktuálním světě a v žádném jiném, ale že v různých světech má své protějšky. Vaše protějšky se vám mohou v mnohém podobat, můžete mít společné četné vlastnosti a sdílet podobnou osobní historii. Tyto protějšky se vám určitě v příslušných světech podobají více než cokoli jiného, nejsou však s vámi totožné. Každý z nich existuje ve svém vlastním světě, ale pouze vy jste zde v aktuálním světě. Jistě, mohli bychom neformálně říci, že vaše protějšky jsou totéž jako vy v jiných světech, že protějšek a vy je jedno a totéž. Avšak tato totožnost není doslovně vzato identitou o nic více než je identita mezi vaší osobou dnes a zítra. Přesněji bychom měli říci, že vaše protějšky jsou tím, čím byste mohli být, kdyby svět byl jiný než je. 4 Relace protějšku je relací podobnosti. Provází ji tudíž všechny problémy, které provázejí každou relaci podobnosti: je výslednicí podobností a nepodobností v mnoha ohledech, trpí důležitými odchylkami 5 a musí být možné operovat s různými stupni podobnosti. 6 Rudolf Carnap 7, Stig Kanger 8, Jaakko Hintikka 9, Saul Kripke 10, Richard Montague 11 a další autoři navrhli interpretaci modální predikátové logiky, podle níž jedna a táž věc může existovat zároveň v několika různých světech. Čtenář tohoto přesvědčení se může domnívat, že se lišíme pouze verbálně: že to, co pojmenovávám jako věc v nějakém světě, on jednoduše považuje za uspořádanou dvojici věc, svět, a že hovoří-li o tom, že nějaká věc existuje v různých světech, pak tím míní totéž, co já rozumím třídou vzájemných protějšků. Zde však musíme být obezřetní. Odlišnost mezi námi nemá pouze verbální povahu, protože moje koncepce dovoluje formulovat úvahy takové obecnosti, které jsou konkurenčním teoriím nedosažitelné. Relace protějšku obecně nemusí být relací ekvivalence. Nemusí tedy platit mezi všemi uspořádanými dvojicemi věc, svět, které mají stejný prvek, nehledě na to, jakým způsobem čtenář identifikuje věci v různých světech. Rovněž není vhodné postulovat, že relace protějšku musí být tranzitivní. Předpokládejme, že osoba x 1 ve světě w 1 je v mnoha ohledech podobná ctěnému čtenáři, tj. podobá se vám více než kdokoli jiný ve světě w 1. Předpokládejme dále, že osoba x 2 ve světě w 2 je v mnohém podobná osobě x 1 a podobá se jí více než kdokoli jiný ve w 2. Tudíž x 2 je protějškem vašeho protějšku x 1. Přesto vám osoba x 2 nemusí být nijak zvlášť podobná a někdo jiný ve světě w 2 vám může být podobnější. Je-li tomu tak, pak osoba x 2 není vaším protějškem. 2

3 Není ani třeba postulovat, že relace protějšku musí být symetrická. Předpokládejme, že osoba x 3 ve světě w 3 je jakousi směsicí vás a vašeho bratra. Osoba x 3 se vám i vašemu bratrovi podobá mnohem více, než kdokoli jiný ze světa w 3. Osoba x 3 je tedy vaším protějškem. Nicméně dejme tomu, že podobnost mezi x 3 a vaším bratrem je daleko užší než mezi x 3 a vámi. Je-li tomu tak, pak vaše osoba není (v aktuálním světě) protějškem x 3. Dále nemusíme trvat na tom, že žádná věc z jednoho světa nesmí mít více než jeden protějšek v nějakém jiném světě. Dejme tomu, že osoby x 4a a x 4b jsou ve světě w 4 jednovaječná dvojčata. Předpokládejme, že se dvojčatům x 4a a x 4b podobáte více než komukoli jinému ve světě w 4. Je-li tomu tak, potom obě osoby x 4a a x 4b jsou vašimi protějšky. Analogicky nemusíme postulovat, že žádné dvě věci z jednoho světa nesmí mít v jiném světě více než jeden protějšek. Předpokládáme-li, že se podobáte dvojčatům x 4a a x 4b více než kdokoli jiný ve světě w 4, pak jste protějškem obou z nich. Rovněž není třeba postulovat, že pro každé dva světy musí platit, že alespoň jedna věc v jednom světě je protějškem něčeho jiného ve druhém světě. Předpokládejme, že ve světě w 5 existuje věc x 5 např. Batman která se nepodobá ničemu, co je v aktuálním světě. V takovém případě x 5 není protějškem ničeho z aktuálního světa. Analogicky nepotřebujeme postulát, že pro libovolné dva světy platí, že každá věc z jednoho světa musí mít svůj protějšek ve druhém světě. Dejme tomu, že ve světě w 6 i ta věc x 6, která je vám v tomto světě ze všeho nejpodobnější, se v mnoha zásadních ohledech od vás odlišuje. Ve světě w 6 jednoduše neexistuje nic, co by se vám nějak blízce podobalo. V takovém případě nemáte ve světě w 6 žádný protějšek. 2 Překlad mezi teoriemi Zdá se, že teorie protějšků a modální predikátová logika mají společný předmět. Obě teorie nám totiž zřejmě poskytují dvě různé alternativy, jak formalizovat modální diskurs. V takovém případě by mezi oběma teoriemi měl existovat překlad. Takový překlad vskutku existuje. Není tedy zapotřebí podrobně popisovat způsob, jak formalizovat modální diskurs přímo pomocí teorie protějšků. Místo toho mohu předpokládat, že čtenář již ví, jak formalizovat modální diskurs pomocí modálních operátorů, poté stačí podat směrnice, jak formule modální predikátové logiky přeložit do formulí teorie protějšků. Teorie protějšků má oproti modální predikátové logice jakožto nástroji formalizování diskursu o modalitách přinejmenším tři výhody: (1) Teorie protějšků je osobitá teorie, nikoli specifická intenzionální logika. (2) Zatímco modální logika je obskurní a filozoficky neanalyzovatelná, v teorii protějšků je tento problém ne-li překonán, pak alespoň rozložen do dvou samostatných úkolů. Za prvé je zde naše neurčitost v chápání analytičnosti, tj. otázka, zda některé určité popisy skutečně popisují možné světy. Za druhé je zde neurčitost v tom, jaký relativní význam máme připisovat různým aspektům vzájemné podobnosti či naopak nepodobnosti věcí, neboli jaké věci máme považovat za protějšky jiných věcí. (3) Jestliže překladové schéma, které specifikuji níže, je správné, pak každá formule modální predikátové logiky má význam formule teorie protějšků, tj. existuje její překlad do této teorie. Naproti tomu, ne každá formule teorie protějšků je formulí modální predikátové logiky, resp. je s takovouto formulí alespoň ekvivalentní. Tudíž, vyjdeme-li z nějaké pevně dané množiny predikátů (jiných než jsou predikáty teorie protějšků), pak zřejmě můžeme dosáhnout více, přidáme-li k těmto predikátům teorii protějšků, než v případě, že k nim přidáme modální operátory. 3

4 Nyní uvažujme následující překladové schéma. 12 Začneme nejprve důležitými speciálními případy a teprve poté uvedeme obecnou definici. Nejprve uvažujme uzavřené (0-místné) sentence s jedním modálním operátorem na začátku, tj. formule ϕ a ϕ. Tyto formule mají zřejmě překlad: β(wβ ϕ β ) (ϕ platí v každém možném světě β), resp. β(wβ ϕ β ) (ϕ platí v alespoň jednom možném světě β). K formalizaci ϕ β (ϕ platí v možném světě β) na základě předem dané formule ϕ stačí, omezímeli dosah kvantifikátoru ve ϕ na obor individuí světa β, tj. nahradíme-li ve formuli ϕ každý výraz α výrazem α(iαβ...) a každý výraz α výrazem α(iαβ...). Dále uvažujme jednomístné otevřené formule s jedním modálním operátorem umístěným na začátku, tj. formule ϕα a ϕα. Tyto formule mají překlad β γ[(wβ Iγβ Cγα) ϕ β γ] (formule ϕ platí v každém světě β o každém protějšku γ individua α) a β γ(wβ Iγβ Cγα ϕ β γ) (formule ϕ platí v alespoň jednom světě β o nějakém protějšku γ individua α). Analogický překlad platí pro všechny otevřené formule s libovolným počtem volných proměnných. Není-li modální operátor umístěn na začátku, pak překládáme tu podformuli, jíž se operátor týká. Dále, vyskytují-li se ve formuli kvantifikátory, které nejsou v dosahu žádného modálního operátoru, musíme jejich interpretaci omezit na obor individuí aktuálního světa. To je totiž jejich dosah v modální predikátové logice. Pro neomezený kvantifikátor v teorii protějšků je totiž oborem kvantifikace přinejmenším třída všech možných světů a všech individuí, které v nich existují. Formuli modální predikátové logiky, která neobsahuje žádné modální operátory tj. nemodální formuli v modálním kontextu překládáme jednoduše tak, že její kvantifikátory omezíme na obor individuí aktuálního světa. Uvažujme konečně formuli, která obsahuje modální operátory, jež jsou v dosahu nějakých jiných modálních operátorů. Pak při překladu musíme postupovat směrem dovnitř formule, tj. abychom z ϕ dostali formuli ϕ β, musíme nejenom omezit kvantifikátory ve ϕ, ale rovněž přeložit všechny podformule ϕ, které jsou uvozeny modálními operátory. Obecné překladové schéma můžeme nejlépe prezentovat ve tvaru přímé definice překladu formule ϕ modální predikátové logiky [do naší teorie protějšků]: T1: Překlad formule ϕ je (ϕ platí v aktuálním tj. v naší primitivní notaci: β[ α(iαβ Aα) ϕ β ] Za touto definicí následuje rekurzivní definice ϕ β (ϕ platí ve světě β): T2a: ϕ β je ϕ, jestliže formule ϕ je atomická T2b: ( ϕ) β je ϕ β T2c: (ϕ ψ) β je ϕ β ψ β T2d: (ϕ ψ) β je ϕ β ψ β T2e: (ϕ ψ) β je ϕ β ψ β T2f: (ϕ ψ) β je ϕ β ψ β T2g: ( αϕ) β je α(iαβ ϕ β ) (Všechny věci α ze světa β splňují v β formuli ϕ) T2h: ( αϕ) β je α(iαβ ϕ β ) (Existuje věc α ze světa β, která v β splňuje ϕ) T2i: ( ϕα 1...α n ) β je β 1 γ 1...γ n [(Wβ 1 Iγ 1 β 1 Cγ 1 α 1... Iγ n β 1 Cγ n α n ) ϕ β 1 γ 1...γ n )] (Pro všechny světy a v nich pro všechny protějšky věcí α 1,..., α n platí, že ony protějšky splňují v tomto světě formuli ϕ) T2j: ( ϕα 1...α n ) β je β 1 γ 1...γ n (Wβ 1 Iγ 1 β 1 Cγ 1 α 1... Iγ n β 1 Cγ n α n ϕ β 1 γ 1...γ n ) 4

5 (Existuje takový svět, že v něm existují protějšky věcí α 1,..., α n a tyto protějšky zde splňují formuli ϕ) Za použití těchto dvou definic můžeme kupříkladu následujících pět formulí: xfx (Všechny věci mají vlastnost F) xfx (Možná je tomu tak, že existuje věc, která má vlastnost F) Fx (Nutně je tomu tak, že x má vlastnost F) x(fx Fx) (Každá věc, která má vlastnost F, má tuto vlastnost nutně) Fx (Nutně je tomu tak, že x může mít vlastnost F) přeložit jako: x(ix@ Fx) (Všechno aktuální je F) y[wy x(ixy Fx)] (Některý možný svět obsahuje věc, která je F) y 1 x 1 [(Wy 1 Ix 1 y 1 Cx 1 x) Fx 1 ] (Každý protějšek x v má ve všech světech vlastnost F) x(ix@ {Fx [ y 1 x 1 (Wy 1 Ix 1 y 1 Cx 1 x) Fx 1 ]}) (Jestliže něco je protějškem aktuální věci, která je F, pak rovněž tato věc je F) y 1 x 1 [(Wy 1 Ix 1 y 1 Cx 1 x) y 2 x 2 (Wy 2 Ix 2 y 2 Cx 2 x 1 Fx 2 )] (Ke každému protějšku x existuje jeho protějšek, který má vlastnost F) Obráceného překladu formulí teorie protějšků do formulí modální predikátové logiky lze také dosáhnout v konečném počtu kroků, ovšem v případě, že takový překlad existuje. Jestliže totiž nějaká modální formule ψ je překladem formule ϕ teorie protějšků, pak ψ musí být kratší než ϕ a nesmí obsahovat žádné predikáty ani individuální proměnné, které se nevyskytují ve ϕ. Nicméně, ne každá formule teorie protějšků je překladem nějaké modální formule, dokonce ani nemusí být ekvivalentní překladu žádné modální formule. Kupříkladu postuláty P1 P7 nejsou překlady žádných modálních formulí. Může působit rušivě, že překlad formule x y(x=y) (všechno aktuální existuje nutně) je v naší teorii pravdivé tvrzení i v případě, že nějaká aktuální věc nemá v některých světech svůj protějšek. Chceme-li se vyhnout tomuto důsledku, můžeme se odvolat k alternativnímu překladovému schématu, na něž mne upozornil David Kaplan. Podle této alternativy nahradíme T2i a T2j následujícími definicemi: T2i : ( ϕα 1...α n ) β je β 1 [(Wβ 1 γ 1...γ n (Iγ 1 β 1 Cγ 1 α 1... Iγ n β 1 Cγ n α n ϕ β 1 γ 1...γ n )] (Pro každý svět platí, že v něm existují protějšky věcí α 1,..., α n a splňují v tomto světě formuli ϕ) T2j : ( ϕα 1...α n ) β je β 1 {Wβ 1 γ 1...γ n [(Iγ 1 β 1 Cγ 1 α 1... Iγ n β 1 Cγ n α n ) ϕ β 1 γ 1...γ n ]} (Existuje takový svět, že pro všechny protějšky věcí α 1,..., α n v tomto světě platí formule ϕ) V těchto definicích se tedy vyskytují heterogenní, tj. nestejné kvantifikátory na rozdíl od předchozích homogenních kvantifikátorů. 13 Avšak s těmito schématy bychom se dostali z deště pod okap: použijeme-li schéma T2j, pak formule x (x x) (nějaká aktuální věc může nebýt identická sama se sebou) musí být pravdivá, s výjimkou případu, že by všechny aktuálně existující věci měly ve všech světech své protějšky! Mohli bychom sice uzavřít 5

6 jakýsi kompromis a zvolit kombinaci schémat T2i a T2j, pak bychom ovšem museli obětovat běžný princip duality nutnosti a možnosti [tj. princip, že ϕ je ekvivalentní ϕ, resp. ϕ ekvivalentní ϕ]. 14 Proto zůstanu raději u schémat T2i a T2j. 3 Esencialismus Quine nás často varoval, že budeme-li kvantifikovat formule s modálními operátory, zavážeme se tím k názoru, že nějaký objekt sám o sobě ať známe jeho jméno nebo nikoliv musí mít některé vlastnosti nutně a jiné pouze kontingentně, navzdory tomu, že ony druhé vlastnosti lze analyticky vyvodit z určitého způsobu specifikace tohoto objektu, tj. analogickým způsobem, jako ty první vlastnosti vyvodíme z jiných způsobů specifikace téhož objektu. 15 Tento takzvaný aristotelský esencialismus tj. názor, že existují esence, které nejsou pouze relativní vůči některým způsobům specifikace objektů je každým coulem [jakožto soupeř modální predikátové logiky] stejně sympatický jako samotná modální predikátová logika. 16 Souhlasím. Esencialismus je sympatický. Existuje totiž způsob, jak můžeme říci, že určitý atribut představuje esenciální vlastnost nějakého objektu tj. esenciální vlastnost nehledě na to, jakým způsobem tento objekt specifikujeme a nehledě na to, zda tento atribut je analytickým důsledkem jedné či dokonce všech specifikací onoho objektu. Uvažujme atribut vyjádřený jednomístnou formulí ϕ a objekt denotovaný singulárním termínem 17 ζ. Řekneme-li, že tento atribut je esenciálním atributem tohoto objektu, tvrdíme tím, že platí překlad formule ϕζ (tj. překlad do teorie protějšků). Překlady modálních formulí se singulárními termíny jsme se až dosud nezabývali. Nicméně víme, že každý singulární termín ζ můžeme alternativně vyjádřit pomocí určitého popisu ια(ψα) (ačkoli v některých případech musíme za ψ dosadit umělý predikát odvozený z vlastního jména 18 ). Dále víme, že všechny popisy lze eliminovat pomocí Russellovy kontextuální definice. Naše překladové schéma se singulárními termíny nezabývalo proto, že v primitivní notaci modální predikátové logiky se lze bez nich obejít. Jednoduše stačí, jestliže předtím, než začneme překládat, z formulí eliminujeme všechny singulární termíny, poté přejeme-li si je můžeme znovu zavést. Je zde pouze jeden háček: ještě než eliminujeme nějaký určitý popis, musíme mu přiřadit dosah. Různé volby dosahu popisu mohou obecně vést k různým, tj. neekvivalentním, překladům. Tak je tomu i v případě, že eliminovaný popis denotuje přesně jednu věc v aktuálním světě a přesně jednu věc v každém jiném světě. 19 Uvažujme singulární termín ζ, který analyzujeme pomocí popisu ια(ψα), jemuž přiřadíme úzký dosah. Pak formuli ϕζ interpretujeme jako: α[ δ(ψδ δ=α) ϕα] (Nutně je tomu tak, že existuje právě jedna taková věc α, která splňuje formuli ψ, a tato věc splňuje rovněž formuli ϕ) Překladem formule ϕζ při této interpretaci je: β(wβ α{iαβ δ[iδβ (ψ β δ δ=α)] ϕ β α}) (Každý možný svět β obsahuje právě jedno takové α, že platí ψ β α, a pro všechna tato α platí ϕ β α) 6

7 To je interpretace de dicto: modální operátor se přimyká k uzavřené sentenci ϕζ. Tento kontext je referenčně neprůhledný: překladem konkrétní instance Leibnizova zákona ϕζ, η=ζ ϕη (Jestliže ζ nutně splňuje formuli ϕ a jestliže η=ζ, pak odtud můžeme vyvodit, že η nutně splňuje formuli ϕ) případně instance existenční generalizace ϕζ α ϕα (Z toho, že ζ nutně splňuje formuli ϕ, můžeme vyvodit, že existuje věc α, která nutně splňuje formuli ϕ) dostaneme neplatné úsudky v případě, že singulární termíny bereme v úzkém dosahu. Považujeme-li ζ za popis se širokým dosahem, pak formuli ϕζ interpretujeme jako α[ δ(ψδ δ=α) ϕα] (Existuje právě jedna taková věc α, která splňuje formuli ψ, a tato věc zároveň nutně splňuje formuli ϕ) a překládáme ji následovně: α{iα@ δ[iδ@ δ δ=α)] β γ[(wβ Iγβ Cγα) ϕ β γ]} (Aktuální svět obsahuje právě jeden takový objekt α, že platí α, a pro každý protějšek γ věci α v libovolném světě β platí ϕ β γ) To je interpretace de re: modální operátor se přimyká k otevřené formuli ϕ a vytváří z ní novou otevřenou modální formuli ϕ. Atribut vyjádřený formulí ϕ poté predikujeme nějaké aktuální věci, která je denotována singulárním termínem ζ. Tento typ kontextu je referenčně transparentní: v případě, že singulární termíny považujeme za popisy se širokým dosahem, dostaneme překladem libovolného konkrétního případu Leibnizova zákona, resp. libovolného případu existenční generalizace platný úsudek naší teorie. Na základě čeho se však máme rozhodnout, zda formuli ϕζ interpretovat prvním či druhým způsobem? Často nemáme žádná vodítka a můžeme se rozhodnout libovolně; v takovém případě máme co do činění s významovou homonymií. Existují nicméně situace, v nichž je přirozenější interpretovat termíny jako popisy se širokým dosahem. Je tomu tak tehdy, jestliže: (1) ζ je popis, v němž se vyskytuje predikát uměle odvozený z vlastního jména, (2) obsahuje-li popis ζ to, co Keith Donellan pojmenovává jako referenční použití, 20 (3) jsme-li ochotni akceptovat ζ je nějaké α takové, že nutně platí ϕα jako jedno možné čtení formule ϕζ. (Třetí situace je velmi důležitá proto, že formuli α(ζ=α ϕα) lze jednoznačně považovat za ekvivalentní ϕζ, kde ζ má široký dosah. 21 ) Překlady formule ϕζ podle první či podle druhé interpretace jsou na sobě logicky nezávislé. Ani jeden překlad neplyne z toho druhého. Nicméně, s pomocí vhodných 7

8 předpokladů můžeme zaručit vyplývání v obou směrech. Případ, kdy z překladu s úzkým dosahem můžeme vyvodit překlad se širokým dosahem (to je tzv. exportace 22 ) si vyžaduje dodatečnou premisu: α(iα@ { β γ(iγβ Cγα) δ[iδβ (ψ β δ δ=γ)]}) (V aktuálním světě existuje takové α, že jeho protějšek γ ve světě β je v tomto světě tou jedinou věcí, pro niž platí formule ψ) což je zjednodušená verze překladu formule α (ζ=α), kde termín ζ uvažujeme s úzkým dosahem. 23 Vyvození překladu s úzkým dosahem na základě překladu se širokým dosahem (tzv. importace) potřebujeme také tento princip a navíc následující premisu: α{iα@ δ[iδ@ δ δ=α)] β[wβ γ(iγβ Cγα)]} (Ta právě jedna věc α z aktuálního světa taková, že pro ni platí α, má alespoň jeden protějšek γ v každém světě β) Tento pomocný princip není ekvivalentní překladu žádné modální formule. 24 Obecně samozřejmě existuje více způsobů, jak určitému popisu přidělit dosah. Uvažujeme formuli (η=ζ). Každému z dvou popisů (odpovídajících singulárním termínům η a ζ) můžeme přiřadit úzký, střední, nebo široký dosah. Existuje tedy celkem devět navzájem neekvivalentních překladů této formule. Pro nás je však důležitý transparentní překlad formule ϕζ, tj. překlad se širokým dosahem, neboli de re. Právě s jeho pomocí totiž můžeme říci, že atribut vyjádřený formulí ϕ je esenciálním atributem individua označeného termínem ζ. Stručně řečeno, esenciálním atributem nějaké věci je takový atribut, který tato věc sdílí se všemi svými protějšky. Všechny protějšky ctěného čtenáře jsou pravděpodobně lidskými bytostmi. Je-li tomu tak, potom je náš čtenář esenciálně lidskou bytostí. S ještě vyšší mírou pravděpodobnosti jsou všechny vaše protějšky tělesnými bytostmi je-li tomu tak, potom tělesnost je vaší esenciální vlastností. Atribut, který nějaká věc sdílí se všemi svými protějšky, je esenciálním atributem této věci, tj. součástí její esence. Celková esence je průnikem všech esenciálních atributů. Tento atribut (tj. průnik atributů) daná věc sdílí se všemi svými protějšky a výhradně s nimi. (Hovoříme o tomto atributu, protože jistě nebudeme rozlišovat mezi atributy, které jsou koextenzivní nejen v aktuálním světě, ale dokonce ve všech možných světech.) Mohou (avšak nemusí) existovat otevřené formule, které vyjadřují atributy, jež jsou esencemi věcí. Tvrdímeli, že atribut vyjádřený formulí ϕ je esencí věci denotované termínem ζ, pak zároveň tvrdíme následující výrok: α{iα@ δ[iδ@ δ δ=α)] β γ[iγβ (Cγα ϕ β γ)]} (Aktuální svět obsahuje právě jedno α takové, že platí α, a pro každé γ v libovolném světě β je γ protějškem α právě tehdy, když platí ϕ β γ) Tato formule není ekvivalentní překladu žádné modální formule. Pojmy esence a protějšku jsou vzájemně definovatelné. Právě jsme definovali esenci věci jako atribut, který tato věc sdílí se všemi svými protějšky (a výhradně s nimi). Protějšek nějaké věci je taková věc, která má atribut esence oné první věci. (To však ještě neznamená, že tento atribut je esencí protějšku, dokonce ani to, že je jeho esenciálním atributem.) 8

9 Možná existují určité atributy, které mohou být jedině esenciálními, a nikoli pouze akcidentálními atributy věcí. Možná všichni lidé musí být esenciálně lidskými bytostmi; ještě pravděpodobnější je, že všechny tělesné (hmotné) věci musí být esenciálně tělesnými (hmotnými) věcmi. Atribut vyjádřený formulí ϕ je tohoto typu, tj. nemůže být pouze akcidentálním atributem, právě v případě, že je uzavřený na relaci protějšku; jinými slovy, platí-li pro tento atribut: α β γ β 1 [(Iαβ Iγβ 1 Cγα ϕ β α) ϕ β 1 γ] (Pro každý protějšek γ ve světě β 1 libovolné věci α z jakéhokoli světa β platí: jestliže ϕ β α, pak rovněž ϕ β 1 γ) Tato formule je zjednodušenou verzí překladu modální formule α(ϕα ϕα) (Nutně je tomu tak, že pokud libovolné α splňuje ϕ, pak splňuje tuto formuli nutně) Můžeme si položit otázku, zda atributy, které nemohou být pouze akcidentální, jsou tím, co pojmenováváme jako přirozené druhy věcí. Poznamenejme však za prvé, že jako kandidáty na přirozené druhy musíme vyloučit nutné univerzální atributy vyjádřené kupříkladu pomocí otevřené formule α=α tato formule totiž vyjadřuje esenciální atribut naprosto všeho. Za druhé připomeňme, že libovolné sjednocení atributů, jež nemohou být pouze akcidentální, je rovněž atributem který nemůže být jenom akcidentální. Chceme-li vyloučit tyto logické nahodilosti, musíme se omezit na jakési minimální atributy, které nemohou být pouze akcidentální. Možná je tomu skutečně tak, že všechny tyto (minimální) atributy jsou přirozené druhy. Avšak přirozené druhy nemohou být zcela vyčerpány jen těmito atributy, protože některá sjednocení přirozených druhů a všechny jejich průniky jsou rovněž přirozenými druhy. 4 Modální principy Překlad do teorie protějšků může vyjasnit mnohé problémy modální predikátové logiky. Různé navržené modální principy můžeme snadno otestovat tak, že je přeložíme do naší teorie a poté ověříme, zda jejich překlad je či není teorémem teorie protějšků, a v případě, že se nejedná o teorém, pátráme po tom, za jakých dodatečných postulátů by mohl být teorémem. Uvažujme nyní osm různých principů. Zjistíme, že pouze jeden můžeme bez obav akceptovat. ϕ ϕ (Beckerův princip) (Platí-li ϕ nutně, pak to striktně implikuje 25, že je nutné, aby ϕ platilo nutně) Překlad tohoto principu není teorémem naší teorie, není-li ϕ sentence, tj. uzavřená formule. Princip se však stane teorémem ve všech případech, jestliže přijmeme výše zamítnutý postulát, že relace protějšku musí být tranzitivní. ϕ ϕ (Brouwerův princip) (Platí-li ϕ, pak to striktně implikuje, že nutně platí, že ϕ může být pravdivá) 9

10 Překlad opět není teorémem, není-li ϕ sentence. O obecně platný teorém by se však jednalo, kdybychom přijali výše odmítnutý postulát, že relace protějšku musí být symetrická. α 1 =α 2 (α 1 =α 2 ) (kde α 1 a α 2 nejsou stejné individuální proměnné) Překlad této formule není teorémem. Stane se však teorémem, akceptujeme-li výše nepřijatý postulát, že žádná věc nemůže mít v žádném světě více než jeden protějšek. α 1 α 2 (α 1 α 2 ) (kde α 1 a α 2 nejsou stejné individuální proměnné) Překlad opět není teorémem. Stane se jím v případě, že přijmeme výše odmítnutý postulát, podle nějž žádné dvě různé věci z jednoho světa nemohou v nějakém jiném světě mít společný protějšek. α ϕα αϕα (Princip Ruth Barcanové) (Jestliže všechna α nutně splňují ϕ, pak to striktně implikuje, že nutně všechna α splňují ϕ) Překlad není teorémem. Lze jej však přijmout jako teorém, akceptujeme-li výše zamítnutý postulát, že pro libovolné dva světy je každá věc z jednoho světa protějškem nějaké věci ze druhého světa. α ϕα αϕα (Jestliže existuje α, které nutně splňuje ϕ, pak to striktně implikuje, že nutně existuje α, které splňuje ϕ) Překlad není teorémem. Byl by teorémem v případě, kdybychom přijali výše kritizovaný postulát, podle nějž pro libovolné dva světy má každá věc z jednoho světa protějšek ve druhém světě. αϕα α ϕα (Konverze formule Ruth Barcanové) (Platí-li nutně, že všechna α splňují ϕ, pak to striktně implikuje, že všechna α nutně splňují ϕ) Překlad této formule je teorémem naší teorie. αϕα α ϕα (Pokud nutně existuje α, které splňuje ϕ, pak to striktně implikuje, že existuje takové α, které nutně splňuje ϕ) Konečně, překlad této formule není teorémem a nemohli bychom jej považovat za teorém ani v případě, že bychom k naší teorii přidali jako dodatečný princip jakýkoli alespoň minimálně věrohodný postulát. 10

11 5 Relativní modality Stejně jako platí, že formule ϕ je nutně pravdivá, je-li pravdivá ve všech světech, je formule ϕ kauzálně nutná, jestliže platí ve všech světech, které vyhovují našim přírodním zákonům. Podobně můžeme ϕ považovat za závaznou pro našeho čtenáře, platí-li ve všech světech, kde čtenář jedná správně. Analogicky ji můžeme považovat za implicitně poznanou, přijatou, očekávanou či prožívanou, platí-li ve všech světech, které jsou kompatibilní s obsahy čtenářova poznání, resp. s tím, co akceptuje, co očekává či prožívá. Zde se jedná o malý úsek toho, co můžeme považovat za relativní modality. Tento typ modalit se dá formálně vyjádřit kvantifikací na určitých přesně vymezených třídách možných světů. Libovolný duální pár relativních modalit můžeme formálně zapsat jako: i δ 1...δ m i δ 1...δ m Index i naznačuje, o jaké vymezení možných světů se jedná, m argumentů δ 1,..., δ m, kde m 0, označuje věci, které máme při těchto vymezeních brát v úvahu (například osobu, o jejímž implicitním poznání hovoříme). Ke každému duálnímu páru relativních modalit existuje charakteristická relace R i xyz 1...z m (Svět x je v relaci R i se světem y a individui z 1,..., z m z tohoto světa) která se řídí následujícím postulátem: P9: x y z 1... z m [R i xyz 1...z m (Wx Wy Iz 1 y... Iz m y)] (Pro všechna x, y, z 1,..., z m platí, že jsou-li x, y, z 1,..., z m v relaci R i, pak x a y jsou světy a všechna individua z 1,..., z m jsou ze světa y) Charakteristická relace nám dává potřebné vymezení: máme podle ní k danému světu uvažovat pouze ty světy, s nimž je náš svět v relaci R i (případně spolu s určitými věcmi z tohoto světa). Nutnost a možnost (v absolutním smyslu) si lze představit jako ten duální pár relativních modalit, jehož charakteristická relace je univerzální binární relací mezi možnými světy. 26 Naše překladové schéma můžeme snadno rozšířit tak, abychom mohli překládat formule s libovolnými modálními operátory. Formule s relativními modalitami překládáme stejně jako formule s operátory (absolutní) nutnosti a možnosti, musíme se však při kvantifikaci na možných světech omezit pouze na ty světy, které jsou v charakteristické relaci s určitým světem, případně rovněž s některými věcmi z tohoto světa. Překladem formule ϕ zůstává (schéma T1), k rekurzivní definici T2 však musíme přidat dvě nové podmínky pro ϕ β : T2i*: Překladem ( i δ 1...δ m ϕα 1...α n ) β je β 1 γ 1... γ n [(R i β 1 βδ 1...δ m Iγ 1 β 1 Cγ 1 α 1... Iγ n β 1 Cγ n α n ) ϕ β 1 γ 1...γ n ] (Pro všechny světy β 1 a všechna γ 1,..., γ n z β 1 platí: je-li β 1 v relaci R i s β a s věcmi δ 1,..., δ m z β a jsou-li γ 1,..., γ n protějšky α 1,..., α n, pak γ 1,..., γ n splňují ve světě β 1 formuli ϕ) T2j*: Překladem ( i δ 1...δ m ϕα 1...α n ) β je β 1 γ 1... γ n (R i β 1 βδ 1...δ m Iγ 1 β 1 Cγ 1 α 1... Iγ n β 1 Cγ n α n ϕ β 1 γ 1...γ n ) (Existuje svět β 1 a taková γ 1,..., γ n z β 1, že β 1 je v relaci R i s 11

12 12 β a věcmi δ 1,..., δ m z β, že γ 1,..., γ n jsou protějšky α 1,..., α n a splňují ve světě β 1 formuli ϕ) (jelikož nutnost a možnost jsou limitní případy relativních modalit, můžeme v naší definici zcela vynechat schémata T2i a T2j). Kupříkladu překladem modálních formulí i ϕ j δψα i j δϕ kde ϕ je 0-místná formule (tj. sentence), ψ jednomístná formule, i 0-místná relativní modalita a j jednomístná relativní modalita, dostaneme následující formule: β(r i β@ ϕ β ) (ϕ platí v každém světě, který je v relaci R i s aktuálním světem) β γ(r j β@δ Iγβ Cγα) ψ β α] (ψ platí o každém protějšku γ věci α v každém světě β, který je v relaci R j s aktuálním světem a aktuální věcí δ) β 1 γ[(r i β@ Iγβ 1 Cγδ) β 2 (R j β 2 β 1 γ ϕ β 2 )] (ϕ platí v každém světě β 2 takovém, že pro libovolný svět β 1, který je v relaci R i s aktuálním světem, a protějšek γ věci δ ve světě β 1, je svět β 2 v relaci R j s β 1 a věcí γ z β 1 ) Třetí příklad ilustruje fakt, že s volnými proměnnými, které se vyskytují jako argumenty operátorů relativních modalit se často musíme vypořádat pomocí relace protějšku. Naše předchozí poznámky o singulárních termínech jako eliminovatelných určitých popisech, v nichž si musíme dát pozor na nejednoznačnost dosahu popisu, platí až na jednu změnu i pro relativní modality: pomocná premisa pro exportaci (a obě pomocné premisy pro importaci) musí v obecném případě být překladem formule i δ 1...δ m (ζ=ζ), kde jednomu výskytu termínu ζ přiřadíme široký dosah a druhému výskytu úzký dosah. Překlad formule typu α i δ 1...δ m (ζ=α) funguje pouze pro ty relativní modality, např. relativní nutnost, které splňují podmínku R 1...δ m. Překladem formulí i δ 1...δ m ϕ ϕ tedy za příslušných podmínek na relaci R i dostaneme teorémy naší teorie. Obecně platí, že úsudek i δ 1...δ m ϕη, i δ 1...δ m (η=ζ) i δ 1...δ m ϕηζ kde ϕ je jednomístná relace, lze přeložit jako platný úsudek teorie protějšků, jestliže ζ má ve všech výskytech široký a η ve všech výskytech úzký dosah. Principy korespondující s modálními principy, které jsme uvažovali v části 4, lze formulovat i pro libovolné relativní modality (resp. v případě Beckerova a Brouwerova principu pro libovolné směsice relativních modalit). Přijatelnost těchto principů závisí obecně vzato nejenom na logických vlastnostech relace protějšku a příslušné charakteristické relace R i, ale rovněž na logických vztazích mezi relací protějšku a relací R i. Uvažujme kupříkladu takovou relativní nutnost neobsahující individuální argumenty, že její charakteristická relace R i je binární. (Tato relace R i se často označuje jako relace dosažitelnosti mezi možnými světy.) Uvažujme dále Beckerův princip pro relativní nutnost, tj. formuli i ϕ i i ϕ, resp. (definujeme-li striktní implikaci prostřednictvím operátoru nutnosti) formuli ( i ϕ i i ϕ). Často slyšíme, že Beckerův princip platí pouze v případě, že relace

13 dosažitelnosti je tranzitivní, což je pravda v případě, že ϕ je uzavřená formule. Je-li však ϕ otevřená formule, pak Beckerův princip platí právě tehdy, pokud x 1 y 1 x 2 y 2 x 3 y 3 [(Ix 1 y 1 Ix 2 y 2 Ix 3 y 3 Cx 2 x 1 Cx 3 x 2 R i y 2 y 1 R i y 3 y 2 ) (Cx 3 x 1 R i y 3 y 1 )] (Pro libovolné tři světy y 1, y 2, y 3 a všechny věci x 1 z y 1, x 2 z y 2, x 3 z y 3 : jestliže x 2 je protějškem x 1, x 3 protějškem x 2 a světy y 2, y 1 a y 3, y 2 jsou v relaci R i, pak x 3 je protějškem x 1 a svět y 3 je v relaci R i s y 1 ) Tato formule může nicméně platit i tehdy, není-li relací dosažitelnosti, ani relace protějšku tranzitivní. Přeložil Petr Hromek. Přeloženo z anglického originálu David K. Lewis, Counterpart Theory and Modal Logic, The Journal of Philosophy 65 (1968), s Děkuji Davidu Kaplanovi, jehož kritika vedla k mnoha vylepšením tohoto článku. A. N. Prior mne upozornil na fakt, že můj systém se velmi podobá teorii de re modalit Petera T. Geache, o níž Priora informoval Geach v osobním kontaktu v roce W. V. Quine, Word and Object (Cambridge, Mass.: MIT Press, 1960, s. 245). 3 I za použití tohoto náhradního pojmu by nijak nevadilo, kdyby některé věci byly identické se svými protějšky v jiných světech! Princip P2 nám pouze umožňuje vyhnout se některým předvídatelným problémům s individuací objektů. 4 Tato charakteristika protějšku je inspirována úvahou z článku (povídky???????xxxxxxxxx) L. Sprague de Camp, The Wheel of If, in Unknown Fantasy Fiction, October, Jak o tom hovoří Michael A. Slote, The Theory of Important Criteria, The Journal of Philosophy 63 (1966), s Relace protějšku je analogická relaci intersubjektivní korespondence, která je studována v knize Rudolfa Carnapa Der Logische Aufbau der Welt (Berlin-Schlachtensee: Weltkreis-Verlag, 1928), oddíl Modalities and Quantification, Journal of Symbolic Logic 11 (1946), s Provability in Logic (Stockholm: Almqvist and Wiksell, 1957). 9 Modality as Referential Multiplicity, Ajatus 20 (1957), s A Completeness Theorem in Modal Logic, Journal of Symbolic Logic 24 (1959), s. 1 14; Semantical Considerations on Modal Logic, Acta Philosophica Fennica 14 (1963), s , viz Aluze Logical Necessity, Ethics, and Quantifiers, Inquiry 3 (1960), s NOTACE: Formule, resp. sentence zmiňuji pomocí řeckých písmen ϕ, ψ atd. Proměnné [tj. pro individua, resp. možné světy] pomocí písmen α, β, γ, δ,... Je-li ϕ nějaká n-místná formule a α 1,..., α n různé proměnné, pak ϕα 1...α n je formule, kterou dostaneme tak, že za první proměnnou ve ϕ dosadíme na všech místech α 1, za druhou proměnnou na všech místech α 2 a tak dále. Proměnné v překladech formulí musíme volit takovým způsobem, abychom se vyhnuli konfliktům vázaných proměnných. Symbolické výrazy používáme autonymně. [Tj. například výrazem xfx by zde autor rozuměl fakt, o němž výraz hovoří, tj. že existují věci, které mají vlastnost F a zároveň jméno tohoto výrazu, tj. jméno příslušné formule, která má tvar tzv. existenčního uzávěru. Pozn. překl.] 13 Jinými slovy, ve schématech T2i a T2j byl modální operátor homogenním způsobem přeložen pomocí obecných kvantifikátorů a operátor homogenním způsobem pomocí existenčních 13

14 kvantifikátorů. Naproti tomu ve schématech T2i a T2j jsou modální operátory přeloženy kombinacemi existenčních a obecných kvantifikátorů. Pozn. překl. 14 Kdybychom navíc postulovali, že relace protějšku musí být relací ekvivalence, dostali bychom interpretaci, kterou navrhuje Dag Føllesdal v Referential Opacity in Modal Logic (nepublikovaná PhD disertace, Harvard University 1961), oddíl 20, a v A Model-Theoretic Approach to Causal Logic, bude publikováno v Det Kongeliger Norske Videnskabers Selskabs Forhandliger. 15 Reference and Modality, in From a Logical Point of View, 2nd ed. (Cambridge, MA: Harvard, 1961), s [Známým příkladem je paradox cyklisty Jonese, který lze popsat následovně: Určitou osobu můžeme specifikovat jako cyklistu. Tato osoba má zřejmě nutně vlastnost být dvounohý a pouze nahodile vlastnost umět logicky uvažovat. Uvažujme jinou osobu, kterou můžeme způsobem specifikovat jako matematika. Pak tato osoba má nutně vlastnost umět logicky uvažovat a jen nahodile vlastnost být dvounohý. Jestliže však Jones je cyklista a zároveň matematik, které vlastnosti má nutně a které pouze nahodile? Pozn. překl.] 16 Reply to Professor Marcus, in The Ways of Paradox (New York: Random House, 1966), s NOTACE: Termíny (tj. individuální proměnné a jména objektů) zmiňuji pomocí řeckých písmen ζ, η atd. Formuli ϕζ dostaneme tak, že na všechna volná místa jednomístné formule ϕ dosadíme termín ζ. 18 Jako příklad můžeme uvést vlastní jméno Pegas (mytologický okřídlený kůň) a určitý popis ιx(px), kde predikát P je pegasuje ( je Pegasem ). Popis ιx(px) tak čteme právě to jedno x, které pegasuje (...které je Pegasem ). Pozn. překl. 19 Zde postupuji podle analýzy dosahu určitých popisů, kterou pro modální formule podal Arthur Smullyan v Modality and Description, in The Journal of Symbolic Logic 13 (1948), s , a zohledňuji Wilsonovu námitku v The Concept of Language (Toronto: University Press, 1959), s. 43, podle níž některé instance Leibnizova zákona nevedou v případě modálních formulí k platným úsudkovým schématům při žádné volbě dosahu popisu v závěru. [Je zde řeč o Leibnizově zákonu nahrazení identických termínů salva veritate (tj. při zachování pravdivosti). Podle tohoto principu můžeme jeden termín nahradit jiným termínem stejného rozsahu, aniž by se cokoli změnilo na pravdivostní hodnotě vět, které termíny obsahují. Použití principu viz níže. Pozn. překl.] 20 Reference and Modality in Philosophical Review 75 (1966), s [Referenčním užitím popisu rozumíme použití určitého popisu s cílem referovat k jeho nositeli. Příkladem může být popis ten muž u vedlejšího stolu, který pije šampaňské proslovený s cílem referovat k určitému člověku. Pozn. překl.] 21 Viz též J. Hintikka, Knowledge and Belief (Ithaca, NY: Cornell University Press, 1962), s Tento termín používám v návaznosti na Quina, který jej používá v článku Quantifiers and Propositional Attitudes, in The Ways of Paradox, s Viz Hintikka, op.cit., s Avšak za použití alternativního překladového schématu, kde schéma T2i nahradíme schématem T2i, by tato formule byla ekvivalentní překladu modální formule α(ζ=α) (ζ existuje nutně), kde ζ má široký dosah. 25 Vysvětlit pojem striktní implikace!!!!!!!!!xxxxxxxxxxx 26 Viz J. Hintikka, Quantifiers in Dentic Logic, in Societas Scientiarum Fennica, Commentationes Humanarum Litterarum XXIII, 4; S. Kanger, op. cit.; S. Kripke, op. cit.; R. Montague, op. cit.; A. Prior, Possible Worlds, in Philosophical Quarterly 12 (1962), s ; J. Hintikka, Knowledge and Belief, s ; D. Føllesdal, Quantification into Causal Contexts, in Boston Studies in the Philosophy of Science II (New York: Humanities Press, 1965), s ; J. Hintikka, The Logic of Perception, prezentováno v roce 1967 na Oberlin Colloquium in Philosophy. 14