5. Lokální, vázané a globální extrémy

Save this PDF as:

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "5. Lokální, vázané a globální extrémy"

Transkript

1 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka, δ platí fx fa 2 lokální minimum, když Ka, δ Df tak, že x Ka, δ platí fa fx Poznámka 52 1 Lokální minima a maxima funkce f se nazývají lokální extrémy 2 Jsou-li nerovnosti na Ka, δ {a} splněny ostře, tzn <, pak se extrémy nazývají ostré extrémy 3 Bod a Df se nazývá stacionární bod, když pro každé i = 1,, n platí f x i a = 0 Věta 53 1 Nechť funkce f : R n R má v bodě a Df lokální extrém a pro každé i = 1,, n existuje f x i a Pak pro každé i = 1,, n platí f x i a = 0, což znamená, že grad fa je nulový vektor 2 Funkce f může mít lokální extrémy pouze ve stacionárních bodech, nebo v bodech, v nichž neexistuje aspoň jedna parciální derivace prvního řádu Příklad 54 Určete lokální extrémy funkce: a fx, y = x 2 + y 2 ; b fx, y = x 2 + y 2 ; c fx, y = x 2 y 2 Řešení a Určíme první parciální derivace f x = 2x a f y = 2y Odtud plyne, že parciální derivace prvního řádu existují pro každé [x, y] R 2 Zřejmě jediný stacionární bod je bod a = [0, 0] a grad fa = 0, 0 V bodě a nastává lokální minimum Viz Obrázek 51 Obr 51: fx, y = x 2 + y 2, tj rotační paraboloid ÚM FSI VUT v Brně 16

2 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text b f x x = a f x2 +y 2 y = minimum funkce f Viz Obrázek 52 y Parciální derivace neexistují v bodě a = [0, 0] V bodě a je lokální x2 +y2 Obr 52: fx, y = x 2 + y 2, tj horní část kuželové plochy c f x = 2x a f y = 2y Parciální derivace prvního řádu existují pro libovolný bod [x, y] R 2 a zřejmě jediný stacionární bod je bod a = [0, 0] a grad fa = 0, 0 Zřejmě platí x 0 : fx, 0 = x 2 > 0 Podobně y 0 : f0, y = y 2 < 0 Z Definice 51 plyne, že f nemá v bodě a lokální extrém Viz Obrázek 53 Obr 53: fx, y = x 2 y 2, tj hyperbolický paraboloid Definice 55 Buď a Df a nechť i, j = 1,, n existuje f x ix j a Položme D k a = f x 1x 1 a f x 1x k a f x k x 1 a f x k x k a Následující věta ukazuje, jak lze subdeterminantů D k a využít k vyšetření lokálních extrémů Věta 56 Sylvestrovo rozhodovací kritérium Buď f : R n R, a Df stacionární bod Nechť existuje d 2 fa Platí 1 Jestliže D 1 a > 0, D 2 a > 0,, D n a > 0, pak f má v a lokální minimum 2 Jestliže D 1 a < 0, D 2 a > 0,, D n a 1 n > 0, pak f má v a lokální maximum 3 Nechť nenastane ani 1 ani 2 a k = 1,, n platí D k a 0 Pak v bodě a není lokální extrém Poznámka 57 Nenastane-li ani jedna z možností 1, 2, 3, pak může, ale nemusí být v a lokální extrém V této situaci je nutno vyšetřit chování f v okolí Ka, δ podrobněji Viz bod 5 Algoritmu 5 Věty 53 a 56 poskytují dobrý návod jak při hledání lokálních extrémů postupovat ÚM FSI VUT v Brně 17

3 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Algoritmus pro nalezení lokálních extrémů funkce n-proměnných 1 Spočítáme parciální derivace prvního řádu funkce f a položíme je rovny nule Tím získáme systém rovnic 2 Určíme všechna řešení a systému Řešení jsou stacionární body V nich může, ale nemusí být extrém Dále nalezneme všechny body, v nichž neexistuje aspoň jedna první parciální derivace 3 Spočteme parciální derivace druhého řádu a sestavíme matici funkcí f Určíme číselné matice f a odpovídající stacionárním bodům 4 Pro matice f a určíme hlavní subdeterminanty D k a pro k = 1,, n a podle Sylvestrova kritéria 56 rozhodneme, zda v a nastává extrém 5 Nelze-li rozhodnout podle kritéria, použijeme následovně definici extrému Spočteme fa Zvolíme libovolný vektor v a spočteme fa + v Pokusíme se dokázat jednu z nerovností fa fa + v max, fa fa + v min Pokud se nedaří tyto nerovnosti dokázat, zkoušíme volit speciální podmnožiny okolí bodu a Cílem volby je ukázat, že na zvolené části okolí není splněna definiční podmínka pro extrém, tj dokázat, že v a není extrém Podobně postupujeme v případě bodů v nichž neexistuje aspoň jedna parciální derivace prvního řádu Příklad 58 Vyšetřete lokální extrémy funkce fx, y = x 2 + y 2 + xy 6x 9y Řešení Spočteme parciální derivace a položíme je rovny nule Vznikne soustava rovnic f x = 2x + y 6 = 0, f y = 2y + x 9 = 0 Parciální derivace existují pro každé [x, y] R 2 a proto jedinými kandidáty na lokální extrémy jsou stacionární body, které nalezneme vyřešením vzniklé soustavy rovnic Soustava je lineární, můžeme tedy použít metod lineární algebry Nalezli jsme stacionární bod a = [1, 4] Spočteme druhé parciální derivace a sestavíme matici f a Platí f xx = 2, f xy = 1, f yy = 2 Odtud plyne, že f = f 2 0 a = 0 2 Určíme hlavní minory matice f a a použijeme Sylvestrovo kritérium Platí D 1 a = 2 > 0 a D 2 a = = 3 > 0 Podle kritéria nastává v bodě a = [1, 4] lokální minimum funkce f Vázané a globální extrémy Definice 59 Buďte f : R n R, m < n, g 1,, g m : R n R funkce Položme V = {x R n ; g 1 x = = 0 g m x = 0} Řekneme, že f má v bodě a Df V vázané lokální maximum podmínkou a V, když Ka, δ tak, že x Ka, δ Df V platí fx fa Řekneme, že f má v bodě a Df V vázané lokální minimum podmínkou a V, když Ka, δ tak, že x Ka, δ Df V platí fa fx Vázaná lokální minima a maxima funkce f se nazývají vázané lokální extrémy Poznámka 510 Podmínka a V se nazývá vazba a rovnice g 1 x = 0,, g m x = 0 se nazývají vazebné rovnice nebo též vazebné podmínky ÚM FSI VUT v Brně 18

4 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Poznámka 511 Buď m = 1 V některých případech lze z rovnice gx 1,, x n = 0 jednoznačně určit některé x i Například x i = gx 1,, x i 1, x i+1,, x n Pak za x i dosadíme do fx 1,, x n výraz g a dostáváme funkci F x 1,, x i 1, x i+1,, x n, která má pouze n 1 proměnných Úloha o nalezení vázaných extrémů funkce f s vazbou V je tím převedena na ekvivalentní úlohu o nalezení lokálních extrémů funkce F V případech, kdy nelze výše uvedeného postupu použít, vede v řadě případů k řešení tzv metoda Lagrangeových multiplikátorů viz následující Věta 512 Věta 512 Lagrange Buďte f : R n R, g 1,, g m : R n R, m < n funkce [ spojitě ] diferencovatelné na otevřené množině Ω obsahující V a nechť x Ω platí, že hodnost matice gi x j x je rovna m Buď i,j L : R n R funkce definovaná vztahem Lx 1,, x n = fx 1,, x n + λ 1 g 1 x 1,, x n + + λ m g m x 1,, x n 51 Funkce L se nazývá Lagrangeova funkce a konstanty λ 1,, λ m R se nazývají Lagrangeovy multiplikátory Nechť systém m + n rovnic o m + n neznámých L x 1 = 0, L x n = 0, g 1 = 0, 52 g m = 0 má řešení [a 1,, a n, λ 0 1,, λ 0 m] Má-li L v bodě a = [a 1,, a n ] pro λ 0 1,, λ 0 m lokální extrém, pak f má v a vázaný lokální extrém téhož typu s vazbou a V Nemá-li L lokální extrém, neplyne odtud, že f nemá vázaný lokální extrém Poznámka 513 [ ] 1 Výraz gi x j x i,j 2 Podmínka, že hodnost matice zbytečná označuje matici o m řádcích a n sloupcích [ ] gi x j x i,j je rovna m znamená, že žádná z rovnic g i x = 0 není ÚM FSI VUT v Brně 19

5 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Příklad 514 Vyšetřete vázané extrémy fx, y = 6 4x 3y s vazbou x 2 + y 2 = 1 Řešení Z vazby nelze vyjádřit jednoznačně žádnou proměnnou Sestavíme tedy Lagrangeovu funkci Lx, y = 6 4x 3y + λx 2 + y 2 1 Spočteme parciální derivace, položíme je rovny nule a přidáme vazebnou rovnici: L x = 4 + 2λx = 0, L y = 3 + 2λy = 0, x 2 + y 2 1 = 0 Získali jsme tak soustavu tří rovnic o třech neznámých x, y, λ Tuto soustavu musíme nyní vyřešit Z první rovnice plyne x = 2 3 λ a ze druhé y = 2λ Dosazením za x a y do rovnice vazby dostáváme = 1 λ 2λ Odtud po krátké úpravě plyne λ 2 = 25 4 a tedy λ = ± 5 2 Pro λ = 5 2 dostáváme x = 4 5, y = 3 5 Získali jsme stacionární bod Lagrangeovy funkce a 1 = [ 4 5, 3 5 ] Podobně pro λ = 5 2 dostáváme x = 4 5, y = 3 5 Nalezli jsme druhý stacionární bod a 2 = [ 4 5, 3 5 ] Nyní vyšetříme nalezené stacionární body pomocí druhé derivace Lagrangeovy funkce Určíme druhé parciální derivace a sestavíme matice L, L a 1, L a 2 Platí L = 2λ 0 0 2λ, L a 1 = , L a 2 = Nyní můžeme použít Sylvestrovo kritérium Pro a 1 platí D 1 a 1 = 5, D 2 a 1 = 25 Odtud plyne, že L má v bodě a 1 = [ 4 5, ] 3 5 pro λ = 5 2 lokální minimum a podle Věty 512 má f ve stejném bodě vázané lokální minimum vzhledem k dané vazbě Analogicky pro a 2 platí D 1 a 2 = 5, D 2 a 2 = 25 Odtud plyne, že L má v bodě a 2 = [ 4 5, 5] 3 pro λ = 5 2 lokální maximum a f má v bodě a 2 vázané lokální maximum Tím je úloha vyřešena Pokusme se ještě vysvětlit geometrický význam celé úlohy Grafem funkce fx, y = 6 4x 3y je rovina v obecné poloze Vazebná rovnice x 2 + y 2 = 1 je rovnice kružnice ležící v rovině xy Hledáme tedy extrémy na křivce, která vznikne průnikem válcové plochy určené touto kružnicí s danou rovinou Průnikovou křivkou je elipsa Situace je znázorněna na následujícím Obrázku 54 Poznamenejme jen, že na obrázku je zobrazena jen část elipsy a pouze vázané lokální minimum Polohu vázaného lokálního maxima si jistě pozorný čtenář dokáže sám představit, když si dopočítá z-ovou souřadnici bodu a 2 Obr 54: Vázané extrémy funkce fx, y = 6 4x 3y s podmínkou x 2 + y 2 = 1 ÚM FSI VUT v Brně 20

6 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Příklad 515 Vyšetřete vázané extrémy fx, y = x 2 y 2 s vazbou 2x y + 1 = 0 Řešení Lagrangeova funkce je tvaru Lx, y = x 2 y 2 + λ2x y + 1 Spočteme parciální derivace, položíme je rovny nule a přidáme vazebnou rovnici L x = 2x + 2λ = 0, L y = 2y λ = 0, 2x y + 1 = 0 Získali jsme soustavu tří rovnic o třech neznámých x, y, λ Z první rovnice plyne λ = x a ze druhé λ = 2y Odtud dostáváme x = 2y Dosazením do vazby a krátkým výpočtem zjistíme, že existuje jediný stacionární bod a = [ 2 3, 3] 1 pro λ = 2 3 Nyní vyšetříme stacionární bod pomocí druhé derivace Lagrangeovy funkce Spočteme druhé parciální derivace a sestavíme matice L, L a Platí L = L a = Protože D 1 a = 2 > 0 a D 2 a = 4 < 0 nemá Lagrangeova funkce L podle Sylvestrova kritéria lokální extrém Pozor! Odtud ale neplyne, že f nemá vázaný extrém s danou vazbou Ukážeme nyní, že f vázaný extrém má Budeme postupovat tak, že úlohu o vázaném extrému převedeme na ekvivalentní úlohu nalezení lokálního extrému funkce jedné proměnné Z vazby vyjádříme y Platí y = 2x + 1 Dosadíme do zadané funkce Dostaneme F x = fx, 2x + 1 = x 2 2x Odtud F x = 6x 4 Nalezneme stacionární bod x 0 = 2 3 Protože platí F x = 6 < 0 je v bodě x 0 = 2 3 lokální maximum funkce F x Tedy funkce fx, y má v bodě [ 2 3, 1 3] vázané lokální maximum Definice 516 Buď f : R n R, Ω Df, a Ω Řekneme, že f má v bodě a globální maximum na Ω, když x Ω platí fx fa Klademe max fω = fa Řekneme, že f má v bodě a globální minimum na Ω, když x Ω platí fa fx Klademe min fω = fa Hodnoty max fω a min fω se nazývají globální maximum a globální minimum funkce f na množině Ω Místo globální též říkáme absolutní Věta 517 Weierstrasse Buď Ω R n ohraničená, uzavřená množina a f : R n R spojitá funkce na Ω Df Platí následující tvrzení: 1 f je ohraničená na Ω 2 Existují a, b Ω tak, že x Ω : fa fx fb, tzn existuje min fω = fa a max fω = fb 3 Nechť min fω nastane v bodě a Ω Pak f má v a lokální minimum, nebo a hω Analogicky nechť max fω nastane v bodě a Ω Pak f má v a lokální maximum, nebo a hω ÚM FSI VUT v Brně 21

7 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Poznámka Není-li Ω uzavřená, nebo ohraničená, pak min fω a max fω nemusí existovat 2 Pokud min fω, max fω existují, jsou určena jednoznačně Funkce však může nabývat těchto hodnot obecně ve více bodech 3 Hranici množiny Ω lze často popsat pomocí rovnic Vyšetřování hranice tedy vede k vázaným extrémům Weierstrassova věta poskytuje návod pro nalezení min fω a max fω Jak postupovat popíšeme v následujícím algoritmu Poznámka 519 Algoritmus pro nalezení globálních extrémů 1 Nalezneme lokální extrémy funkce f a z nich vybereme ty, které leží v Ω Nechť A označuje množinu funkčních hodnot v nalezených bodech lokálních extrémů 2 Nalezneme vázané extrémy funkce f s vazbou V = hω Nechť B označuje množinu funkčních hodnot v nalezených bodech vázaných extrémů a v bodech, které jsou průniky různých vazeb 3 Nechť M = A B Pak globální maximum max fω = max M a globální minimum min fω = = min M Příklad 520 Určete globální extrémy funkce fx, y = x y na obdélníku Ω, který je určen body A = [0, 0], B = [2, 0], C = [2, 1], D = [0, 1] Řešení 1 Nalezneme lokální extrémy funkce f Spočteme parciální derivace f x = 2x 2 a f y = 2y 1 a nalezneme 2 0 stacionární bod s = [1, 1 2 ] Matice druhé derivace je rovna f = f s = Hlavní minory této 0 2 matice jsou kladné a proto v bodě s nastává lokální minimum funkce f Platí fs = 0 Tedy A = {0} 2 Hranice množiny Ω je tvořena čtyřmi úsečkami Vyšetření hranice hω se tedy rozpadá na vyřešení čtyř úloh na vázané extrémy s funkcí f a vazbami V 1 : y = 0, V 2 : x = 2, V 3 : y = 1 a V 4 : x = 0 Pozor! Při této formulaci je zapotřebí zvlášť vyšetřit body A, B, C, D, které jsou průniky různých vazeb Úlohy f, V i, kde i = 1, 2, 3, 4 převedeme na ekvivalentní úlohy nalezení lokálních extrémů funkcí F i, kde F 1 x = fx, 0 = x , F 2y = f2, y = y , F3 x = fx, 1 = x , F 4 y = f0, y = y Snadno se zjistí, že úloha f, V 1 má vázané minimum v bodě a = [1, 0]; f, V 2 má vázané minimum v b = [ 2, 1 2] ; f, V 3 má vázané minimum v c = [1, 1] a f, V 4 má vázané minimum v d = [ 0, 1 2] 3 Spočteme funkční hodnoty v nalezených bodech Platí fa = fc = 1 4, fb = fd = 1 a fa = = fb = fc = fd = 5 4 Odtud B = { 1 4, 1, } { 5 4 M = 0, 1 4, 1, } 5 4 Odtud max fω = max M = 5 4 a nastává v bodech A, B, C, D Dále min fω = min M = 0 a nastává v bodě s ÚM FSI VUT v Brně 22

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f Výklad Globální extrémy mají stejný význam jako u funkcí jedné proměnné. Hledáme je bud na celém definičním oboru dané funkce, nebo na předem zadané podmnožině definičního oboru. Definice 6..1. Řekneme,

Více

Funkce v ıce promˇ enn ych Extr emy Pˇredn aˇska p at a 12.bˇrezna 2018

Funkce v ıce promˇ enn ych Extr emy Pˇredn aˇska p at a 12.bˇrezna 2018 Funkce více proměnných Extrémy Přednáška pátá 12.března 2018 Zdroje informací Diferenciální počet http://homen.vsb.cz/~kre40/esfmat2/fceviceprom.html http://www.studopory.vsb.cz/studijnimaterialy/sbirka_uloh/pdf/7.pdf

Více

Průvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat

Průvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat 6. Extrémy funkcí více proměnných Průvodce studiem Hledání extrémů je v praxi často řešená úloha. Např. při cestě z bodu A do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat

Více

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH ÚLOHY ŘEŠITELNÉ BEZ VĚTY O MULTIPLIKÁTORECH Nalezněte absolutní extrémy funkce f na množině M. 1. f(x y) = x + y; M = {x y R 2 ; x 2 + y 2 1} 2. f(x y) = e x ; M = {x y R

Více

Extrémy funkce dvou proměnných

Extrémy funkce dvou proměnných Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže

Více

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu   (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28. Extrémy Vyšší matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz

Více

Globální extrémy (na kompaktní množině)

Globální extrémy (na kompaktní množině) Globální extrémy (na kompaktní množině) Budeme hledat globální extrémy funkce f na uzavřené a ohraničené (tedy kompaktní) množině M. Funkce f může svého globálního extrému na M nabývat bud v nějaké bodě

Více

verze 1.3 x j (a) g k 2. Platí-li vztahy v předchozím bodu a mají-li f, g 1,..., g s v a diferenciál K = f + j=1

verze 1.3 x j (a) g k 2. Platí-li vztahy v předchozím bodu a mají-li f, g 1,..., g s v a diferenciál K = f + j=1 1 Úvod Vázané extrémy funkcí více proměnných verze 1. Následující text popisuje hledání vázaných extrémů funkcí více proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT1 na Univerzitě Hradec

Více

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1 9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom

Více

Řešení 1b Máme najít body, v nichž má funkce (, ) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (, )=0, je-li: (, )= +,

Řešení 1b Máme najít body, v nichž má funkce (, ) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (, )=0, je-li: (, )= +, Příklad 1 Najděte body, v nichž má funkce (,) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (,)=0, je-li: a) (,)= + 1, (,)=+ 1 lok.max.v 1 2,3 2 b) (,)=+, (,)= 1 +1 1 c) (,)=, (,)=+ 1 lok.max.v

Více

Globální extrémy. c ÚM FSI VUT v Brně. 10. ledna 2008

Globální extrémy. c ÚM FSI VUT v Brně. 10. ledna 2008 10. ledna 2008 Příklad. Určete globální extrémy funkce f(x, y) = x 2 + 2xy + 2y 2 3x 5y na množině M. Množina M je trojúhelník určený body A[0, 2], B[3, 0], C[0, 1]. Protože množina M je kompaktní (uzavřená,

Více

1. Definiční obor funkce dvou proměnných

1. Definiční obor funkce dvou proměnných Definiční obor funkce dvou proměnných Řešené příklady 1. Definiční obor funkce dvou proměnných Vyšetřete a v kartézském souřadném systému (O, x, y) zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou

Více

verze 1.4 Ekvivalentní podmínkou pro stacionární bod je, že totální diferenciál je nulový

verze 1.4 Ekvivalentní podmínkou pro stacionární bod je, že totální diferenciál je nulový 1 Úvod Lokální extrémy funkcí více proměnných verze 14 Následující text popisuje výpočet lokálních extrémů funkcí více proměnných Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT1 na Univerzitě Hradec

Více

Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky

Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky 6. Vázané a absolutní extrémy. 01-a3b/6abs.tex Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky jednoduché, vyřešíme

Více

IX. Vyšetřování průběhu funkce

IX. Vyšetřování průběhu funkce IX. Vyšetřování průběhu funkce Úvodní poznámky: Cíl: vyšetřit průběh dané funkce f. Zahrnuje: základní vlastnosti: D(f), spojitost, limity v krajních bodech, průsečíky s osami souřadnic, intervaly, kde

Více

Matematika pro informatiky

Matematika pro informatiky (FIT ČVUT v Praze) Konvexní analýza 13.týden 1 / 1 Matematika pro informatiky Jaroslav Milota Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze Letní semestr 2010/11 Extrémy funkce

Více

1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH

1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH 1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH V minulém semestru jsme studovali vlastnosti unkcí jedné nezávislé proměnné. K popisu mnoha reálných situací obvkle s jednou proměnnou nevstačíme. FUNKCE DVOU

Více

Diferenciální a integrální počet funkcí více proměnných

Diferenciální a integrální počet funkcí více proměnných Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Diferenciální a integrální počet funkcí více proměnných RNDr. Jiří Klaška, Dr. Učební text předmětu Matematika II pro profesní a kombinovanou

Více

Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou

Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou 1 Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) vektory matice Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou rovnici A x = λ x, kde x je neznámá matice o jednom sloupci (sloupcový

Více

x 2(A), x y (A) y x (A), 2 f

x 2(A), x y (A) y x (A), 2 f II.10. Etrém funkcí Věta (nutná podmínka pro lokální etrém). Necht funkce f(, ) je diferencovatelná v bodě A. Má-li funkce f v bodě A lokální etrém, pak gradf(a) = 0. Onačme hlavní minor matice druhých

Více

Matematická analýza pro informatiky I. Extrémy funkcí více proměnných

Matematická analýza pro informatiky I. Extrémy funkcí více proměnných Matematická analýza pro informatiky I. 12. přednáška Extrémy funkcí více proměnných Jan Tomeček jan.tomecek@upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 12. dubna 2011

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 2

PŘÍKLADY K MATEMATICE 2 PŘÍKLADY K MATEMATICE ZDENĚK ŠIBRAVA. Funkce více proměnných.. Základní pojmy funkce více proměnných. Příklad.. Určeme definiční obor funkce tří proměnných f(x, y, z) = x y + x z. Řešení: Definičním oborem

Více

7.1 Extrémy a monotonie

7.1 Extrémy a monotonie KAPITOLA 7: Průběh funkce [ZMA13-P38] 7.1 Extrémy a monotonie Řekneme, že funkce f nabývá na množině M Df svého globálního maxima globálního minima A v bodě x 0, jestliže x 0 M, fx 0 = A a pro každé x

Více

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH DEFINICE. Funkce f více proměnných. má v bodě C D(f) lokální maximum, resp. lokální minimum, jestliže existuje okolí U bodu C takové, že f(c) je maximální (resp. minimální

Více

Funkce dvou a více proměnných

Funkce dvou a více proměnných Funkce dvou a více proměnných. Motivace V praxi nevstačíme s funkcemi jedné proměnné, většina veličin závisí více než na jedné okolnosti, např.: obsah obdélníka: S( ) kinetická energie: Ek = = x mv ekonomika:

Více

Derivace a monotónnost funkce

Derivace a monotónnost funkce Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkci f (x), která má na intervalu I derivaci f (x). Pak platí: je-li f (x) > 0 x I, funkce f je na intervalu I rostoucí. je-li f (x) < 0 x I, funkce f je

Více

DERIVACE FUKNCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH

DERIVACE FUKNCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH DERIVACE FUKNCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH Reálná funkce dvou proměnných a definiční obor Kartézský součin R R značíme R 2 R 2 je množina všech uspořádaných dvojic reálných čísel (rovina) Prvk R 2 jsou bod v rovině

Více

4. Diferenciál a Taylorova věta

4. Diferenciál a Taylorova věta 4. Diferenciál a Taylorova věta Definice 4.1. Buď f : R n R, a Df. Řekneme, že f je diferencovatelná v bodě a, když h V n takový, že a + h Df platí f(a + h) f(a) gradf(a) h + h τ(h), kde lim τ(h) 0. Funkce

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných študenti MFF 15. augusta 2008 1 5 Základy teorie funkcí více proměnných Požadavky Parciální derivace a totální

Více

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28. Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

5.3. Implicitní funkce a její derivace

5.3. Implicitní funkce a její derivace Výklad Podívejme se na následující problém. Uvažujme množinu M bodů [x,y] R 2, které splňují rovnici F(x, y) = 0, M = {[x,y] D F F(x,y) = 0}, kde z = F(x,y) je nějaká funkce dvou proměnných. Je-li F(x,y)

Více

1 Funkce dvou a tří proměnných

1 Funkce dvou a tří proměnných 1 Funkce dvou a tří proměnných 1.1 Pojem funkce více proměnných Definice Funkce dvou proměnných je předpis, který každému bodu z R 2 (tj. z roviny) přiřazuje jediné reálné číslo. z = f(x, y), D(f) R 2

Více

8.1. Určete všechny lokální extrémy funkce f(x, y) = x 2 + arctg 2 x + y 3 + y, x, y R.

8.1. Určete všechny lokální extrémy funkce f(x, y) = x 2 + arctg 2 x + y 3 + y, x, y R. Řešené příklady k extrémům funkcí více proměnných 8 Určete všechny lokální extrémy funkce fx y x + arctg x + y + y x y R Řešení Funkci f si vyjádříme jako součet f + f kde f x x + arctg x x R f y y + y

Více

14. Monotonnost, lokální extrémy, globální extrémy a asymptoty funkce

14. Monotonnost, lokální extrémy, globální extrémy a asymptoty funkce . Monotonnost, lokální extrém, globální extrém a asmptot funkce Studijní text. Monotonnost, lokální extrém, globální extrém a asmptot funkce A. Rostoucí a klesající funkce Pojm rostoucí, klesající a konstantní

Více

Funkce více proměnných. April 29, 2016

Funkce více proměnných. April 29, 2016 Funkce více proměnných April 29, 2016 Příklad (Derivace vyšších řádů) Daná je funkce f (x, y) = x 2 y + y 3 x 4, určte její parc. derivace podle x a podle y prvního i druhého řádu, i smíšené. f x = 2xy

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25 Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

CVIČENÍ Z MATEMATIKY II

CVIČENÍ Z MATEMATIKY II VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ CVIČENÍ Z MATEMATIKY II Řešené úlohy (Učební tet pro kombinovanou formu studia) RNDr. JIŘÍ KLAŠKA, Dr. ÚSTAV MATEMATIKY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ BRNO PŘEDMLUVA Učební

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta. 1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )

Více

Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy

Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy funkcí, průběh funkce) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 5. přednáška z AMA1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz)

Více

1 Funkce více proměnných

1 Funkce více proměnných 1 Funkce více proměnných Je-li n + 1 proměnných veličin obsaženo v nějaké rovnici, můžeme kteroukoliv z nich pokládat za funkci ostatních n nezávisle proměnných. Takové funkce mají podobné vlastnosti jako

Více

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1 Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1

Více

Napište rovnici tečné roviny ke grafu funkce f(x, y) = xy, která je kolmá na přímku. x = y + 2 = 1 z

Napište rovnici tečné roviny ke grafu funkce f(x, y) = xy, která je kolmá na přímku. x = y + 2 = 1 z Diferenciální počet příklad Napište rovnici tečné roviny ke grafu funkce fx, y) = xy, která je kolmá na přímku x + = y + = 1 z Řešení: Směrový vektor dané přímky je n p =, 1, 1). Na ploše dané rovnicí

Více

Michal Bulant. Masarykova univerzita Fakulta informatiky

Michal Bulant. Masarykova univerzita Fakulta informatiky Matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: derivace vyšších řádů, lokální a absolutní extrémy Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 6. 10. 2010 Obsah přednášky 1 Literatura 2

Více

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 4. Derivace funkce 4.3. Průběh funkce 2 Pro přesné určení průběhu grafu funkce je třeba určit bližší vlastnosti funkce. Monotónnost funkce Funkce monotónní =

Více

12. cvičení - LS 2017

12. cvičení - LS 2017 12. cvičení - LS 2017 Michal Outrata Opakování z přednášky Funkce dvou proměnných - obrázky; Funkce dvou proměnných na množině; Parciální derivace, Jaccobián; Množiny (hranice, vnitřek, kompaktní množina),

Více

Drsná matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: Inverzní a implicitně definovaná zobrazení, vázané extrémy

Drsná matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: Inverzní a implicitně definovaná zobrazení, vázané extrémy Drsná matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: Inverzní a implicitně definovaná zobrazení, vázané extrémy Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 10. 2011 Obsah přednášky 1 Literatura

Více

Přednáška 11, 12. prosince Část 5: derivace funkce

Přednáška 11, 12. prosince Část 5: derivace funkce Přednáška 11, 12. prosince 2014 Závěrem pasáže o spojitých funkcích zmíníme jejich podtřídu, lipschitzovské funkce, nazvané podle německého matematika Rudolfa Lipschitze (1832 1903). Fukce f : M R je lipschitzovská,

Více

Derivace funkcí více proměnných

Derivace funkcí více proměnných Derivace funkcí více proměnných Pro studenty FP TUL Martina Šimůnková 16. května 019 1. Derivace podle vektoru jako funkce vektoru. Pro pevně zvolenou funkci f : R d R n a bod a R d budeme zkoumat zobrazení,

Více

Definice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:

Definice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: Přednáška 1. Definice 1.1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: (1 pro každé x je ρ(x, x = 0; (2 pro každé x, y, x y, je ρ(x, y = ρ(y, x > 0; (3 pro každé

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Průběh funkce ZVMT lesnictví 1 / 21

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Průběh funkce ZVMT lesnictví 1 / 21 Průběh funkce Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu

Více

MATEMATIKA II. (Učební text pro kombinovanou formu studia) ÚSTAV MATEMATIKY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ

MATEMATIKA II. (Učební text pro kombinovanou formu studia) ÚSTAV MATEMATIKY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ MATEMATIKA II (Učební text pro kombinovanou formu studia) RNDr. JIŘÍ KLAŠKA, Dr. ÚSTAV MATEMATIKY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ BRNO 2002 PŘEDMLUVA Matematická analýza, která

Více

MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH

MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH CVIČENÍ Č. 8 Ing. Petra Schreiberová, Ph.D. Ostrava 01 Ing. Petra Schreiberová, Ph.D. Vysoká škola báňská Technická

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 3. Implicitní funkce Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 V této kapitole se seznámíme s dalším možným zadáním funkce jejím implicitním vyjádřením. Doplní tak nám již známé explicitní a parametrické

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) doplněné o další úlohy 24. 2. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi (e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz

Více

Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k),

Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k), Definice 5.2.1. Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo má v tomto bodě totální diferenciál, jestliže je možné její přírůstek z na nějakém okolí bodu A vyjádřit jako

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

APLIKACE. Poznámky Otázky

APLIKACE. Poznámky Otázky APLIKACE Následující úlohy lze zhruba rozdělit na geometrické, algebraické a úlohy popisující různé stavy v některých oblastech jiných věd, např. fyziky nebo ekonomie. GEOMETRICKÉ ÚLOHY Mezi typické úlohy

Více

Lokální extrémy. 1. Příklad f(x, y) = x 2 + 2xy + 3y 2 + 5x + 2y. Spočteme parciální derivace a položíme je rovny nule.

Lokální extrémy. 1. Příklad f(x, y) = x 2 + 2xy + 3y 2 + 5x + 2y. Spočteme parciální derivace a položíme je rovny nule. Lokální xtrémy - řšné příklady 1 Lokální xtrémy Vyštřt lokální xtrémy násldujících funkcí víc proměnných: 1 Příklad fx, y = x + xy + 3y + 5x + y Spočtm parciální drivac a položím j rovny nul Vznikn soustava

Více

10 Funkce více proměnných

10 Funkce více proměnných M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y

Více

5. cvičení z Matematiky 2

5. cvičení z Matematiky 2 5. cvičení z Matematiky 2 21.-25. března 2016 5.1 Nalezněte úhel, který v bodě 1, 0, 0 svírají grafy funkcí fx, y ln x 2 + y 2 a gx, y sinxy. Úhel, který svírají grafy funkcí je dán jako úhel mezi jednotlivými

Více

= 2x + y, = 2y + x 3. 2x + y = 0, x + 2y = 3,

= 2x + y, = 2y + x 3. 2x + y = 0, x + 2y = 3, V. Lokální extrémy. Příklad 1: Určete lokální extrémy zadané funkce. 1. f(x, y) = x 2 + y 2 + xy 3y 2. Definičním oborem funkce je množina Df = R 2 a funkce f má spojité parciální = 2x + y, = 2y + x 3.

Více

Diferenciální počet funkcí více proměnných

Diferenciální počet funkcí více proměnných Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Diferenciální počet funkcí více proměnných Doc RNDr Miroslav Doupovec, CSc Neřešené příklady Matematika II OBSAH Obsah I Diferenciální počet

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 2. 3. 2018 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

Písemná zkouška z Matematiky II pro FSV vzor

Písemná zkouška z Matematiky II pro FSV vzor Písemná zkouška z Matematik II pro FSV vzor. (0 bodů) Určete a nakreslete definiční obor funkce sin x f(x, ) = (Kalenda 00/) spočtěte její parciální derivace podle všech proměnných všude, kde existují,

Více

Označení derivace čárkami, resp. římskými číslicemi, volíme při nižším řádu derivace, jinak užíváme horní index v závorce f (5), f (6),... x c g (x).

Označení derivace čárkami, resp. římskými číslicemi, volíme při nižším řádu derivace, jinak užíváme horní index v závorce f (5), f (6),... x c g (x). 9 Využití derivace 9.1 Derivace vyšších řádů Definice 1. Nechť funkce má derivaci v nějakém okolí bodu c D(f). Nechť funkce ϕ() =f () máderivacivboděc. Pak hodnotu ϕ (c) nazýváme derivací 2. řádu (2. derivací)

Více

6. přednáška 5. listopadu 2007

6. přednáška 5. listopadu 2007 6. přednáška 5. listopadu 2007 Souvislost diferenciálu a parciálních derivací. Diferenciál implikuje parciální derivace a spojité parciální derivace implikují diferenciál. Tvrzení 2.3. Když je funkce f

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH

6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Funkce více proměnných 6 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Ve čtvrté kapitole jsme studovali vlastnosti funkcí jedné nezávisle proměnné K popisu mnoha reálných situací však s jednou nezávisle

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

Kapitola 4: Extrémy funkcí dvou proměnných 1/5

Kapitola 4: Extrémy funkcí dvou proměnných 1/5 Kapitola 4: Extrémy funkcí dvou proměnných 1/5 Lokální extrémy Definice: Necht f : M R 2 R a (x 0, y 0 ) M. Říkáme, že fce f má v bodě (x 0, y 0 ) lokální maximum (resp. lokální minimum) jestliže existuje

Více

Pavlína Matysová. 5. listopadu 2018

Pavlína Matysová. 5. listopadu 2018 Soubor řešených úloh Vyšetřování průběhu funkce Pavlína Matysová 5. listopadu 018 1 Soubor řešených úloh Tento text obsahuje 7 úloh na téma vyšetřování průběhu funkce. Každé úloha je řešena dvěma způsoby

Více

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi

Více

8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice

8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice 9. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Cíle Diferenciální rovnice, v nichž hledaná funkce vystupuje ve druhé či vyšší derivaci, nazýváme diferenciálními rovnicemi druhého a vyššího řádu. Analogicky

Více

Uzavřené a otevřené množiny

Uzavřené a otevřené množiny Teorie: Uzavřené a otevřené množiny 2. cvičení DEFINICE Nechť M R n. Bod x M nazveme vnitřním bodem množiny M, pokud existuje r > 0 tak, že B(x, r) M. Množinu všech vnitřních bodů značíme Int M. Dále,

Více

1 Extrémy funkcí - slovní úlohy

1 Extrémy funkcí - slovní úlohy 1 Extrémy funkcí - slovní úlohy Příklad 1.1. Součet dvou kladných reálných čísel je a. Určete 1. Minimální hodnotu součtu jejich n-tých mocnin.. Maximální hodnotu součinu jejich n-tých mocnin. Řešení.

Více

Drsná matematika III 2. přednáška Funkce více proměnných: Aproximace vyšších rádů, Taylorova věta, inverzní zobrazení

Drsná matematika III 2. přednáška Funkce více proměnných: Aproximace vyšších rádů, Taylorova věta, inverzní zobrazení Drsná matematika III. přednáška Funkce více proměnných: Aproximace vyšších rádů, Taylorova věta, inverzní zobrazení Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 9. 6 Obsah přednášky Literatura Derivace

Více

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015 Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární

Více

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost 3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární

Více

f(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 =

f(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 = Řešení vzorové písemky z předmětu MAR Poznámky: Řešení úloh ze vzorové písemky jsou formulována dosti podrobně podobným způsobem jako u řešených příkladů ve skriptech U zkoušky lze jednotlivé kroky postupu

Více

Matematika II Extrémy funkcí více promìnných

Matematika II Extrémy funkcí více promìnných Matematika II Extrémy funkcí více promìnných RNDr. Renata Klufová, Ph. D. Jihoèeská univerzita v Èeských Budìjovicích EF Katedra aplikované matematiky a informatiky Parciální derivace vy¹¹ích øádù Def.

Více

Průběh funkce 1. Průběh funkce. Při vyšetření grafu funkce budeme postupovat podle následujícího algoritmu:

Průběh funkce 1. Průběh funkce. Při vyšetření grafu funkce budeme postupovat podle následujícího algoritmu: Průběh funkce Průběh funkce Při vyšetření grafu funkce budeme postupovat podle následujícího algoritmu:. Určení definičního oboru. 2. Rozhodnutí, jestli je funkce sudá, lichá, periodická nebo nemá ani

Více

Matematika V. Dynamická optimalizace

Matematika V. Dynamická optimalizace Matematika V. Dynamická optimalizace Obsah Kapitola 1. Variační počet 1.1. Derivace funkcí na vektorových prostorech...str. 3 1.2. Derivace integrálu...str. 5 1.3. Formulace základní úlohy P1 var. počtu,

Více

Aplikace derivace a průběh funkce

Aplikace derivace a průběh funkce Aplikace derivace a průběh funkce Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného

Více

2. kapitola: Euklidovské prostory

2. kapitola: Euklidovské prostory 2. kapitola: Euklidovské prostory 2.1 Definice. Euklidovským n-rozměrným prostorem rozumíme neprázdnou množinu E n spolu s vektorovým prostorem V n a přiřazením, které každému bodu a z E n a každému vektoru

Více

Funkce pro studijní obory

Funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 22. 2. 2016 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak

Více

M. Hojdarová, J. Krejčová, M. Zámková

M. Hojdarová, J. Krejčová, M. Zámková VŠPJ Matematika II pro studenty oboru Finance a řízení M. Hojdarová, J. Krejčová, M. Zámková RNDr. Marie Hojdarová, CSc., RNDr. Jana Krejčová, Ph.D., RNDr. Ing. Martina Zámková, Ph.D. ISBN 978-80-88064-07-7

Více

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6 Příklad 1 Vyšetřete průběh funkce: a) = b) = c) = d) =ln1+ e) =ln f) = Poznámka K vyšetřování průběhu funkce použijeme postup uvedený v zadání. Některé kroky nejsou již tak detailní, všechny by ale měly

Více

1 Množiny, výroky a číselné obory

1 Množiny, výroky a číselné obory 1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou

Více

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28. INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 Báze vektorových prostorů, transformace souřadnic Michal Botur Přednáška

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 28. 2. 2017 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

Stručný přehled učiva

Stručný přehled učiva Stručný přehled učiva TU1M2 Matematika 2 pro LP17, LP18 4. Aplikace diferenciálního počtu 4.1 Rovnice tečny a normály Má-li funkce v bodě vlastní derivaci, pak je to směrnice tečny grafu funkce v tečném

Více

1 Topologie roviny a prostoru

1 Topologie roviny a prostoru 1 Topologie roviny a prostoru 1.1 Základní pojmy množin Intervaly a okolí Intervaly v rovině nebo prostoru jsou obdélníky nebo hranoly se stranami rovnoběžnými s osami souřadnic. Podmnožiny intervalů se

Více