Klasická výroková logika - tabulková metoda

Transkript

1 1 Klasická výroková logika - tabulková metoda Na úrovni výrokové logiky budeme interpretací rozumět každé přiřazení pravdivostních hodnot výrokovým parametrům. (V případě přiřazení pravdivostních hodnot výrokovým konstantám budeme hovořit o jejich pravdivostním ohodnocení.) Příklad: Máme-li k dva výrokové parametry, přichází v úvahu čtyři rozdílné interpretace: A B Každá formule pak má své pravdivostní podmínky. Ty můžeme např. pro formuli A B a formuli (A B) "vypočítat" z hodnot pro jednodušší formule a výsledek zobrazit takto: A B A B (A B) Význačné typy formulí Formule, které mají pravdivostní hodnotu 1 při každé interpretaci, nazýváme tautologie. Hovoříme také o tom, že takové formule jsou platné. příklad: zákon sporu (A A) zákon vyloučeného třetího A A Formule, které mají pravdivostní hodnotu 0 při každé interpretaci, nazýváme kontradikce.

2 2 příklad: (A B) A (A A) Formule, které mají pravdivostní hodnotu 1 alespoň při jedné interpretaci, nazýváme splnitelné. Přehled základních tautologií tvaru ekvivalence (někdy se o nich hovoří jako o logických zákonech) A A zákon dvojité negace (A A) A zákon idempotence konjunkce (A A) A zákon idempotence disjunkce (A B) (B A) zákon komutativity konjunkce (A B) (B A) zákon komutativity disjunkce A (B C) (A B) C zákon asociativity konjunkce A (B C) (A B) C zákon asociativity disjunkce (A B) ( A B) (A B) ( A B) I. de Morganův zákon II. de Morganův zákon (A (B C)) ((A B) (A C)) I. zákon distributivnosti (A (B C)) ((A B) (A C)) II. zákon distributivnosti pravidla nahrazování logických spojek: (A B) ( A B) (A B) (A B) (A B) ( A B)

3 3 (A B) ((A B) (B A)) další pravidla: (A B) ( B A) pravidlo transpozice problematické tautologie (paradoxy materiální implikace): A ( A B) A (B A) (A B) (B A) Skutečnost, že tyto formule jsou platné naznačuje, že spojka představuje jen velmi přibližný protějšek spojení "jestliže... pak...", tak jak jej známe z přirozeného jazyka. Správnost úsudku lze ověřit konstrukcí pravdivostní tabulky pro všechny jeho premisy a jeho závěr a kontrolou, zda závěr vychází jako pravdivý ve všech případech, kdy jsou pravdivé všechny premisy. Pokud je tomu tak, závěr z premis vyplývá, pokud najdeme interpretaci (pravdivostní ohodnocení) v níž jsou všechny premisy pravdivé a závěr nepravdivý, úsudek není z pohledu výrokové logiky správný. Příklad: Je správný následující úsudek? Pokud prší a je vichřice, je nečas. Jestliže není nečas, pak neprší ani není vichřice Tento úsudek má logickou strukturu (p v) n n ( p v)

4 4 Logická forma úsudku je následující: (A B) C C ( A B) Vepíšeme-li premisu a závěr do tabulky, reprezentující jednotlivé interpretace a ohodnotíme-li jednotlivé formule (v praxi postupujeme od ohodnocování jednodušších podformulí tak dlouho, až dostaneme výsledné ohodnocení celé formule), zjistíme, že v řádcích (interpretacích) 4. a 6. je premisa pravdivá a závěr nepravdivý. A B C (A B) C C ( A B) Zkoumaná úsudková forma tedy není výrokově logicky platná a zkoumaný úsudek není z pohledu výrokové logiky správným úsudkem. Otázku, zda je daný úsudek správný můžeme zkoumat i v podobě otázky, zda premisa implikuje závěr. Tímto způsobem můžeme zkoumanou úsudkovou formu přepsat do podoby formule ((A B) C) ( C ( A B)) Pomocí tabulky pak zjišťujeme, zda je uvedená formule tautologií. Pokud provedeme ohodnocení všech podformulí (které zde neuvádíme), zjistíme, že celá formule není tautologií, ale pouze splnitelnou formulí. Uvedený úsudek tedy není správný.

5 5 A B C ((A B) C) ( C ( A B))