Vyrokova logika. Zakladnim pojmem vyrokove logiky je vyrok.
|
|
- Kristina Vaňková
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Vyrokova logika Zakladnim pojmem vyrokove logiky je vyrok. V tzv. dvouhodnotove logice vyrokem rozumime tvrzeni (oznamovaci větu), o kterem je smysluplne prohlasit, zda je pravdive či nikoliv. Je-li tvrzeni pravdive, řikame, že jeho pravdivostni hodnota je TRUE, neni-li pravdive, že jeho pravdivostni hodnota je FALSE. Často se hodnota TRUE koduje čislem 1, hodnota FALSE jako 0. Přiklady vyroků (pravdivych i nepravdivych) mohou byt (zname-li okamžik, kdy jejich pravdivost posuzujeme): 1. Praha je hlavni město ČR. 2. Dnes v noci bude uplněk > = 3
2 Vyrokova logika Logicky usudek pak můžeme neformalně popsat jako metodu, jak z vyroků, jejichž pravdivostni hodnoty zname, vytvařet dalši vyroky o zname pravdivostni hodnotě. Přikladem velmi jednoducheho logickeho usudku může byt uvaha, že pokud je vyrok Pravě teď v mistě, kde se vyskytuji, neprši pravdivy, je jeho opak Pravě teď v mistě, kde se vyskytuji, prši nepravdivy (a naopak). Obvykle usudek vytvařime na zakladě vice vyroků. Napřiklad z pravdivosti vyroků: Franta je doma, nebo šel do restaurace. Je-li Franta doma, pak nas očekava. Můžeme usoudit na pravdivost vyroku: Jestliže nas Franta neočekava, pak odešel do restaurace. Při tvorbě usudků ze zakladnich (jednoduchych) vyroků vytvařime složeny vyrok.
3 Skládání výroků Běžny hovorovy jazyk, jako je napřiklad česky jazyk, je velice bohaty na různe slovni obraty, kterymi z jednoduchych vyroků vytvařime vyroky složene. Hlavnim ukolem vyrokove logiky je analyzovat skladani jednoduchych vyroků na složene vyroky pomoci tak zvanych logickych spojek1. Negace znamena neni pravda, že, neplati, ne-. papir je bily je vyrok Tento papir neni bily. Nejde tedy ve skutečnosti o spojku, protože se ji učastni pouze jediny vyrok. Formalně se negace vyroku x znači symbolem x, někdy tež x nebo x či NOT. Negaci vyroku Tento papir je bily je vyrok Tento papir neni bily.
4 Disjunkce Disjunkce znamená nebo. Ovšem nebo v tom smyslu, že se připoušti i platnost obou vyroků současně. Zde je třeba poznamenat, že čeština (pravě tak jako angličtina) neni zcela přesny jazyk v tom smyslu, že nebo ( or ) někdy může znamenat, že se obě možnosti nevylučuji, napřiklad Student u zkoušky neprospěl, protože nema dostatek nadani nebo se nepřipravil poctivě ale někdy i to, že se obě možnosti vylučuji Student zkoušku buď složi, nebo nesloži. Klasicka latina obě spojky pečlivě odlišuje (vel a aut). V logice je zvykem chápat nebo vždy jako nevylučujici nebo. Označuje se symbolem, někdy i + či slovem OR. Disjunkce je pravdivá, když je alespoň jeden z vyroků pravdivy. Vylučujici nebo je odlišnou logickou spojkou, pro kterou se uživa symbol, respektive XOR. Pro vylučujici nebo se uživa někdy i latinske slůvko vel. Latina byla totiž jazyk přisně dbajici na přesnost a na rozdil od většiny živych jazyků obě dvě vyznamově odlišne spojky nebo důsledně odlišovala.
5 Konjunkce Konjunkce znamena a, i, a zaroveň. Formalně se označuje symbolem, někdy i &, připadě znakem nasobeni či slovem AND. Konjunkce je pravdiva jen tehdy, když jsou oba vyroky pravdive. Přikladem může byt věta Dnes bude jasno a zaroveň bude vysoka teplota
6 Implikace Implikace znamena jestliže, pak, z plyne. Formalně se označuje symbolem Implikace je nepravdiva jen tehdy, jeli prvni vyrok pravdivy a druhy vyrok nepravdivy. Jinak je vždy pravdiva. Z nespravneho předpokladu lze tedy v souladu s pravidly vyrokove logiky vyvodit cokoliv, i zjevnou nepravdu. I takovy usudek je považovan za spravny z hlediska formalni logiky. Přikladem pravdive implikace může byt vyrok Vylezu-li z rybnika, budu mokry, ale i vyrok Je-li 1 = 2, potom 2 < 1.
7 Ekvivalence Ekvivalence znamena tehdy a pouze tehdy, když., tehdy a jen tehdy, když, nebo pravě tehdy, když. Formalně se označuje symbolem. Ekvivalence je pravdiva vždy, když oba vyroky nabyvaji stejnych ohodnoceni, tj. oba vyroky jsou pravdive, nebo jsou oba vyroky nepravdive. Označuje nutnou a současně postačujici podminku. Ekvivalence Budu mokry tehdy a pouze tehdy, když vylezu z nevypuštěneho rybnika nebude zřejmě spravnym vyrokem, protože jsem se mohl vratit z prochazky v dešti.
8 Pravdivostní tabulka
9 Logické spojky
10 Syntaktická pravidla
11 Formule je: Formule se nazyva tautologie, jestliže je pravdiva při všech pravdivostnich ohodnocenich logickych proměnnych, a kontradikce, jestliže je při všech pravdivostnich ohodnocenich logickych proměnnych nepravdiva. Formule se nazyva splnitelna formule, jestliže existuje alespoň jedno pravdivostni ohodnoceni jejich logickych proměnnych, při kterem je pravdiva.
12 Normální formy Konjunktivní normální forma (CNF) = konjunkce jednoho nebo konečně mnoha formulí, kde každá z nich je literál nebo disjunkce. Příklad: (x y) ( y z ) (x r z ) Disjunktivní normální forma (DNF) = disjunkce jednoho nebo konečně mnoha formulí, kde každá z nich je literál nebo konjunkce literálů. Příklad: (x y) ( y z ) (x r z ) Formule v konjunkci u CNF je nazývána klauzule. Je to tedy disjunkce literálů nebo literál. Zavádíme pojem prázdná klauzule,která neobsahuje žádný literál a není splnitelná. Pro každou log. formuli existuje tautologicky ekvivalentní DNF formule a také tautologicky ekvivalentní CNF formule. Pro každý Booleovskývýraz existuje odpovídající CNF i DNF formule.
13 Meze logiky, matematické důkazy Paradoxy. Kurt Goedel, teorémy o neúplnosti axiomatických formálních systémů: žádný formální systém nemůže být zároveň úplný a bezesporný bezespornost formálního systému nelze uvnitř tohoto systému dokázat Matematický důkaz je demonstrace nutné pravdivosti nějakého tvrzení za určitých předpokladů (axiomů). Typy matematických důkazů: Přímý důkaz Důkaz sporem/nepřímý důkaz Indukce, důkaz pro n a pro n+1 Důkaz rozborem případů Důkaz výpočtem. Nelze použít žádný postup založený na názoru, experimentu, intuici, zkušenosti, analogii... Vědecký důkaz vychází z falzifikace hypotéz (Karl Popper)
14 blank
15 Booleovská algebra System logickych spojek { } je zřejmě úplny, neni však minimalni. Velmi často se uživa uplny system logickych spojek { } zvany Booleova algebra. Ani Booleova algebra neni minimalnim uplnym systemem. Jednu ze spojek konjunkce a negace lze vždy nahradit druhou. Přesto byva často pohodlnějši pracovat jak s konjunkci, tak i negaci. Vypočty provaděne v Booleově algebře velmi připomina operace s čisly nebo s prvky libovolneho algebraickeho okruhu. Proto se často použiva misto konjunkce symbol nasobeni a misto disjunkce symbol sčitani +, někdy i misto FALSE 0 a misto TRUE 1. U logickych spojek ma disjunkce nižši prioritu než konjunkce. Negaci se přiznava nejvyšši priorita. Kombinaci negace a konjunkce nebo disjunkce jsou známá hradla NAND a NOR.
16 Operace Booleovské algebry
17 blank
18 Predikátová logika S výrokovou logikou vědecké disciplíny nevystačí. S predikátovou logikou prvého řádu se zpravidla vystačí v matematice i informatice. Jazyk predikátové logiky obsahuje tuto abecedu: Logické symboly: 1. Konečnou nebo nekonečnou spočetnou množinu proměnných (značíme x, y, z, u, v, x 1 1, x 2,... ). 2. Logické spojky,,,, ( ). 3. Univerzální kvantifikátor (čti pro všechna ), jako zobecnění konjunkce. 4. Existenční kvantifikátor (čti existuje), jako zobecnění disjunkce.
19 Blank
20 Logické odvozováni Vychazet z pevně dane množiny předpokladů. Tyto předpoklady musi byt dany předem. Při zdůvodňovani tvrzeni se nelze neustale odvolavat na stale zřejmějši a zřejmějši fakta. Někdy je nutne skončit něčim, co je již nepochybne nebo na čem jsme se dohodli. Axiomy maji tvar logickych formuli. Mit k dispozici pravidla (axiomy) přislušne (vyrokove či predikatove) logiky. Tato pravidla maji opět tvar formuli. Mit k dispozici odvozovaci pravidla, pomoci kterych z vyroků, jejichž spravnost jsme již prokazali, můžeme vytvařet dalši vyroky, ktere budeme pokladat za spravne. Tato pravidla musi byt shodna s naši intuici a měla by byt pokud možno jednoducha. Řikame jim dedukčni pravidla.
21 Dedukční pravidla
22 Resoluční princip Pro zjišťovani, zda je či neni nějaka formule semantickym a tedy logickym důsledkem nějakych předpokladů, se nabizeji u vyrokove logiky dvě metody. Prva, tak zvana tabulkova metoda, spočiva ve vyhodnoceni všech možnych m-tic možnych pravdivostnich hodnot, ktere mohou proměnne nabyvat. To lze samozřejmě provest algoritmicky a řešit vypočetni technikou. Pro větši počty proměnnych to však naraži na časovou naročnost, protože takovych m-tic je 2 na m. Druha metoda spočiva v provedeni logickeho důkazu. Tu však algoritmizovat nelze. Slepym prověřovanim všech potencialnich dokazovacich řetězců bychom sice někdy kladnou odpověď dostali, obecně však opět za neunosnou dobu. Zapornou odpovědi bychom si však nemohli byt jisti nikdy. U predikatove logiky prva z obou cest ( tabulkova metoda ) zcela odpada, protože interpretaci predikatove formule může byt nekonečně mnoho. Cesta konstrukci logickeho důkazu naraži opět na nemožnost algoritmizace. Zatim tedy nemame prostředky, jak rozhodnuti, zda je nějaka formule důsledkem danych předpokladů, automatizovat a svěřit počitači. Častečně tento problem řeši tak zvany resolučni princip.
23 Prolog Typicky připad užiti resolučniho principu je jazyk PROLOG (PROgramming in LOGic), ktery vychazi z databaze poznatků tvořene atomickymi formulemi predikatove logiky, popisujicimi fakta platna v zkoumanem vyseku světa a pravidly pouze typu implikaci: (α1 α2 αm) β, ktere musi platit současně. Tyto implikace, vyjadřujici platna pravidla, převede do tvaru klausuli: α1 α2 αm β, ve kterych jsou všechny proměnne negovany, vždy pouze kromě posledni proměnne, odpovidajici důsledku. Klausule tohoto typu se nazyva Hornova klausule. Databazi PROLOGu tedy tvoři Hornovy klausule. Při ověřovani, zda, nebo pro jake hodnoty proměnnych plati zadana formule predikatoveho počtu, přida interpret k databazi negaci dotazu a resolučni metodou zkouma splnitelnost takto ziskane množiny formuli. Interprety PROLOGu ovšem zpravidla nezkoumaji všechny možne resolventy, ale aplikuji tak zvanou linearni strategii. Tato strategie spočiva v tom, že vychazi z dotazu jako cile a pokouši se jej splnit tak, že prohliži databazi postupně klausuli po klausuli a hleda možnost nalezeni resolventy. Pokud ji je schopna sestrojit, pracuje s ni jako s dilčim cilem a snaži se k ni nalezt dalši klausuli umožňujici užiti resolučniho pravidla. Přitom vždy prohliži databazi linearně od začatku, to je od prvniho uloženeho faktu či pravidla. Tato strategie umožňuje sice rychle vyhodnoceni dotazu, jeji nedokonalost vede však někdy k tomu, že kladna odpověď na dotaz neni nalezena, nebo k tomu, že se vypočetni proces dostane do nekonečneho cyklu.
24 Blank
25 Trojhodnotová logika
26 blank
27 Fuzzy logika Větši uplatněni ziskala fuzzy logika, česky mlhava logika či neostra logika. Ta umožňuje přiřadit vyrokovym a predikatovym formulim spojite spektrum možnych pravdivostnich hodnot z intervalu <0, 1>. Tvrzeni s pravdivostni hodnotou 1 je interpretovano jako bezpochyby pravdive, tvrzeni s pravdivostni hodnotou 0 jakobezpochyby nepravdive. Pravdivostni hodnoty mezi 0 a 1 vyjadřuji větši (bliže k 1) či menši (bliže k 0) miru důvěry v pravdivost tvrzeni.
28 Proč je vlastně fuzzy logika tak důležitá? Jednak je potřeba pracovat s vágními daty a jednak používání přesných popisů nás vede k idealizování skutečností reálného světa a tedy k odklonu od reality. Zavedení fuzzy množin Každému prvku přiřadíme stupeň příslušnosti, který vyjadřuje míru příslušnosti daného prvku do fuzzy množiny. Např.: Každé hodnotě rychlosti přiřadíme číslo z intervalu <0,1>, který vyjadřuje míru našeho přesvědčení, že daná rychlost je nízká. Čím vyšší (nižší) je stupeň příslušnosti, tím více (méně) platí, že příslušná rychlost je nízká.
29 Funkce příslušnosti Jeden z hlavních problémů je určení funkce příslušnosti. Funkce příslušnosti umožňuje přiřadit příslušnost k množinám v rozmezí od 0 do 1, včetně obou hraničních hodnot. Fuzzy logika tak umožňuje matematicky vyjádřit pojmy jako trochu, dost nebo hodně. Přesněji, umožňuje vyjádřit částečnou příslušnost k množině.
30 Průběh síly v závislosti na teplotě Teplota Síla příslušnosti Slovní vyjádření 5 0 zcela jistě není příjemná 10 0,2 asi sotva 15 0,3 sotva 20 0,5 snad 25 0,8 téměř jistě 35 1,0 zcela jistě
31 Je nutné si uvědomit zásadní rozdíl mezi číslicovým zpracováním (sčítání, odčítání, násobení, dělení, mocniny ) a logickým zpracováním (AND, NAND, OR, XOR ). Pokud snímáme teplotu a používáme dvouhodnotovou logiku, pak když měříme např. teplotu vody, do 100 o C nevře - log0, od 100 o C vře log1. Pokud použijeme fuzzy systém, pak můžeme předpokládat, že voda vře od 80 C do 120 C a pravdivostní hodnoty mohou být rozložené podle závislosti na obrázku
32
33 Blokové schéma fuzzyregulace
Výroková logika - opakování
- opakování ormální zavedení Výroková formule: Máme neprázdnou nejvýše spočetnou množinu A výrokových proměnných. 1. Každá proměnná je výroková formule 2. Když α, β jsou formule, potom ( α), (α β), (α
VíceKaždé formuli výrokového počtu přiřadíme hodnotu 0, půjde-li o formuli nepravdivou, a hodnotu 1, půjde-li. α neplatí. β je nutná podmínka pro α
1. JAZYK ATEATIKY 1.1 nožiny nožina je souhrn objektů určitých vlastností, které chápeme jako celek. ZNAČENÍ. x A x A θ A = { { a, b a A = B A B 0, 1 2 a, a,..., a n x patří do množiny A x nepatří do množiny
VíceMatematická logika. Rostislav Horčík. horcik
Matematická logika Rostislav Horčík horcik@math.feld.cvut.cz horcik@cs.cas.cz www.cs.cas.cz/ horcik Rostislav Horčík (ČVUT FEL) Y01MLO Letní semestr 2007/2008 1 / 15 Sémantická věta o dedukci Věta Pro
Více1. Matematická logika
Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018 1. Matematická logika Základem každé vědy (tedy i matematiky i fyziky) je soubor jistých znalostí. To, co z těchto izolovaných poznatků
VíceLOGIKA VÝROKOVÁ LOGIKA
LOGIKA Popisuje pravidla odvozování jedněch tvrzení z druhých. Je to myšlenková cesta ke správným závěrům. Vznikla jako součást filosofie. Zakladatelem byl Aristoteles. VÝROKOVÁ LOGIKA Obsahuje syntaktická,
VíceMatematika pro informatiky KMA/MATA
Matematika pro informatiky KMA/MATA Informace k předmětu Mgr. Přemysl Rosa rosapr00@pf.jcu.cz, J349 Konzultační hodiny v ZS: úterý 10-11, čtvrtek 15-16 nebo individuálně po předchozí domluvě aktivní účast
VíceVýroková a predikátová logika - II
Výroková a predikátová logika - II Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2013/2014 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - II ZS 2013/2014 1 / 20 Základní syntax Jazyk Výroková logika je logikou
VíceVýroková a predikátová logika - II
Výroková a predikátová logika - II Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2015/2016 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - II ZS 2015/2016 1 / 18 Základní syntax Jazyk Výroková logika je logikou
VíceMatematická logika. Miroslav Kolařík
Matematická logika přednáška třetí Miroslav Kolařík Zpracováno dle textu R. Bělohlávka: Matematická logika poznámky k přednáškám, 2004. a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní matematika
VíceVýroková logika. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek
Výroková logika Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Teoretická informatika strana 2 Opakování z minulé přednášky Co je to formalismus a co je jeho cílem? Formulujte Russelův paradox
VíceVÝUKOVÝ MATERIÁL. Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632 Číslo projektu
VÝUKOVÝ MATERIÁL Identifikační údaje školy Vyšší odborná škola a Střední škola, Varnsdorf, příspěvková organizace Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632
VíceVýroková a predikátová logika - II
Výroková a predikátová logika - II Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2017/2018 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - II ZS 2017/2018 1 / 17 Předběžnosti Základní pojmy n-ární relace a funkce
VíceLogika. 5. Rezoluční princip. RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D.
Logika 5. Rezoluční princip RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D. Tato inovace předmětu Úvod do logiky je spolufinancována Evropským sociálním fondem a Státním rozpočtem ČR, projekt č. CZ. 1.07/2.2.00/28.0216,
VíceZákladní pojmy matematické logiky
KAPITOLA 1 Základní pojmy matematické logiky Matematická logika se zabývá studiem výroků, jejich vytváření a jejich pravdivostí. Základním kamenem výrokové logiky jsou výroky. 1. Výroková logika Co je
VíceBooleovská algebra. Booleovské binární a unární funkce. Základní zákony.
Booleovská algebra. Booleovské binární a unární funkce. Základní zákony. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Katedra aplikované geoinformatiky a kartografie, Přírodovědecká fakulta UK. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz
Více1. Matematická logika
MATEMATICKÝ JAZYK Jazyk slouží člověku k vyjádření soudů a myšlenek. Jeho psaná forma má tvar vět. Každá vědní disciplína si vytváří svůj specifický jazyk v úzké návaznosti na jazyk živý. I matematika
VíceFormální systém výrokové logiky
Formální systém výrokové logiky 1.Jazyk výrokové logiky Nechť P = {p,q,r, } je neprázdná množina symbolů, které nazýváme prvotní formule. Symboly jazyka L P výrokové logiky jsou : a) prvky množiny P, b)
VíceMísto pojmu výroková formule budeme používat zkráceně jen formule. Při jejich zápisu
VÝROKOVÁ LOGIKA Matematická logika se zabývá studiem výroků, jejich vytváření a jejich pravdivostí. Základním kamenem výrokové logiky jsou výroky. Co je výrok nedefinujejme, pouze si řekneme, co si pod
VícePredikátová logika [Predicate logic]
Predikátová logika [Predicate logic] Přesněji predikátová logika prvého řádu. Formalizuje výroky o vlastnostech předmětů (entit) a vztazích mezi předměty, které patří do dané předmětné oblasti univerza.
Více0. ÚVOD - matematické symboly, značení,
0. ÚVOD - matematické symboly, značení, číselné množiny Výroky Výrok je každé sdělení, u kterého lze jednoznačně rozhodnout, zda je či není pravdivé. Každému výroku lze proto přiřadit jedinou pravdivostní
VíceLogika a logické programování
Logika a logické programování témata ke zkoušce Poslední aktualizace: 16. prosince 2009 Zkouška je písemná, skládá se obvykle ze sedmi otázek (může být více nebo méně, podle náročnosti otázek), z toho
VíceV této výukové jednotce se student seznámí se základními pojmy a algoritmy ve výrokové logice.
1 Výroková logika Základní informace V této výukové jednotce se student seznámí se základními pojmy a algoritmy ve výrokové logice. Výstupy z výukové jednotky Student bude umět základní logické operace
VíceVýroková a predikátová logika - III
Výroková a predikátová logika - III Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2017/2018 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - III ZS 2017/2018 1 / 16 2-SAT 2-SAT Výrok je v k-cnf, je-li v CNF a
VíceJak jsem potkal logiku. Převod formule do (úplného) disjunktivního tvaru. Jan Hora
Česká zemědělská univerzita 17. října 2011 U makléře Já: Dobrý den, rád bych koupil nějaký světlý byt. Chtěl bych, aby měl dvě koupelny a aby byl v domě výtah. A neměl by být nijak extrémně drahý. Makléř:
Vícepřednáška 2 Marie Duží
Logika v praxi přednáška 2 Marie Duží marie.duzi@vsb.cz 1 1 Výroková logika Analyzuje způsoby skládání jednoduchých výroků do výroků složených pomocí logických spojek. Co je to výrok? Výrok je tvrzení,
VícePredikátová logika. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek
Predikátová logika Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz strana 2 Opakování z minulé přednášky Z čeho se skládá jazyk výrokové logiky? Jaká jsou schémata pro axiomy VL? Formulujte
VíceSémantika výrokové logiky. Alena Gollová Výroková logika 1/23
Výroková logika Alena Gollová Výroková logika 1/23 Obsah 1 Formule výrokové logiky 2 Alena Gollová Výroková logika 2/23 Formule výrokové logiky Výrok je oznamovací věta, o jejíž pravdivosti lze rozhodnout.
VíceZáklady logiky a teorie množin
Pracovní text k přednášce Logika a teorie množin (I/2007) 1 1 Struktura přednášky Matematická logika 2 Výroková logika Základy logiky a teorie množin Petr Pajas pajas@matfyz.cz Predikátová logika 1. řádu
VíceLogika. 2. Výroková logika. RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D.
Logika 2. Výroková logika RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D. Tato inovace předmětu Úvod do logiky je spolufinancována Evropským sociálním fondem a Státním rozpočtem ČR, projekt č. CZ. 1.07/2.2.00/28.0216, Logika:
Více1 Výroková logika 1. 2 Predikátová logika 3. 3 Důkazy matematických vět 4. 4 Doporučená literatura 7
1 Výroková logika 1 Výroková logika 1 2 Predikátová logika 3 3 Důkazy matematických vět 4 4 Doporučená literatura 7 Definice 1.1 Výrokem rozumíme každé sdělení, o kterém má smysl uvažovat, zda je, či není
VíceVýroková a predikátová logika - III
Výroková a predikátová logika - III Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2014/2015 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - III ZS 2014/2015 1 / 21 Výroková logika Horn-SAT Horn-SAT Jednotková
Víceλογος - LOGOS slovo, smysluplná řeč )
MATA P1: Výroky, množiny a operace s nimi Matematická logika (z řeckého slova λογος - LOGOS slovo, smysluplná řeč ) Výrok primitivní pojem matematické logiky. Tvrzení, pro které má smysl otázka o jeho
VíceKlasická výroková logika - tabulková metoda
1 Klasická výroková logika - tabulková metoda Na úrovni výrokové logiky budeme interpretací rozumět každé přiřazení pravdivostních hodnot výrokovým parametrům. (V případě přiřazení pravdivostních hodnot
VíceMatematická logika. Lekce 1: Motivace a seznámení s klasickou výrokovou logikou. Petr Cintula. Ústav informatiky Akademie věd České republiky
Matematická logika Lekce 1: Motivace a seznámení s klasickou výrokovou logikou Petr Cintula Ústav informatiky Akademie věd České republiky www.cs.cas.cz/cintula/mal Petr Cintula (ÚI AV ČR) Matematická
VícePredikátová logika. prvního řádu
Predikátová logika prvního řádu 2 Predikát Predikát je n-ární relace - vyjadřuje vlastnosti objektů a vztahy mezi objekty - z jednoduchého výroku vznikne vypuštěním alespoň jednoho jména objektu (individua)
VíceÚvod do informatiky. Miroslav Kolařík
Úvod do informatiky přednáška první Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu prof. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008. Obsah 1 Co a k čemu je logika? 2 Výroky a logické spojky
VíceMatematika I. Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Zkouška:
Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Matematika I katedra matematiky, UL-605, rvyrut@kma.zcu.cz tel.: 377 63 2658 Zkouška: Písemná část zkoušky - příklady v rozsahu zápočtových prací Ústní část zkoušky - základní
VíceM - Výroková logika VARIACE
M - Výroková logika Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a další šíření povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu
VíceLogika. 6. Axiomatický systém výrokové logiky
Logika 6. Axiomatický systém výrokové logiky RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D. Tato inovace předmětu Úvod do logiky je spolufinancována Evropským sociálním fondem a Státním rozpočtem ČR, projekt č. CZ. 1.07/2.2.00/28.0216,
Víceteorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce
Výroková logika teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce zabývá se způsoby tvoření výroků pomocí spojek a vztahy mezi pravdivostí různých výroků používá specifický jazyk složený z výrokových
VíceVýroková a predikátová logika - V
Výroková a predikátová logika - V Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2015/2016 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - V ZS 2015/2016 1 / 21 Dokazovací systémy VL Hilbertovský kalkul Hilbertovský
VíceMatematická analýza 1
Matematická analýza 1 ZS 2019-20 Miroslav Zelený 1. Logika, množiny a základní číselné obory 2. Limita posloupnosti 3. Limita a spojitost funkce 4. Elementární funkce 5. Derivace 6. Taylorův polynom Návod
Více1 Výrok a jeho negace
1 Výrok a jeho negace Výrokem se rozumí sdělení, u něhož má smysl otázka, zda je, či není pravdivé. Budeme určovat tzv. pravdivostní hodnotu výroku (PH). Příklady výroků: V Úhlopříčky čtverce jsou na sebe
VíceLogika Libor Barto. Výroková logika
Logika Libor Barto Výroková logika Definice.(Jazyk výrokové logiky) Ve výrokové logice používáme tyto symboly: (1) Výrokové proměnné: velká písmena, případně opatřená indexy. (2) Výrokovéspojky:,,&,,,....
VíceÚvod do TI - logika Výroková logika - pokračování (3.přednáška) Marie Duží
Úvod do TI - logika Výroková logika - pokračování (3.přednáška) Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Normální formy formulí výrokové logiky Každé formuli výrokové logiky přísluší právě jedna pravdivostní funkce,
VíceUnární je také spojka negace. pro je operace binární - příkladem může být funkce se signaturou. Binární je velká většina logických spojek
Otázka 06 - Y01MLO Zadání Predikátová logika, formule predikátové logiky, sentence, interpretace jazyka predikátové logiky, splnitelné sentence, tautologie, kontradikce, tautologicky ekvivalentní formule.
VícePro každé formule α, β, γ, δ platí: Pro každé formule α, β, γ platí: Poznámka: Platí právě tehdy, když je tautologie.
Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 5. Výroková logika, formule výrokové logiky a jejich pravdivostní ohodnocení, splnitelné formule, tautologie, kontradikce, sémantický důsledek, tautologicky ekvivalentní
VíceBinární logika Osnova kurzu
Osnova kurzu 1) Základní pojmy; algoritmizace úlohy 2) Teorie logického řízení 3) Fuzzy logika 4) Algebra blokových schémat 5) Vlastnosti členů regulačních obvodů 6) Vlastnosti regulátorů 7) Stabilita
VíceLogika. 1. Úvod, Výroková logika
Logika 1. Úvod, Výroková logika RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D. Tato inovace předmětu Úvod do logiky je spolufinancována Evropským sociálním fondem a Státním rozpočtem ČR, projekt č. CZ. 1.07/2.2.00/28.0216,
VíceMatematická indukce, sumy a produkty, matematická logika
Matematická indukce, sumy a produkty, matematická logika 8.9. -.0.009 Matematická indukce Jde o následující vlastnost přirozených čísel: Předpokládejme:. Nějaké tvrzení platí pro.. Platí-li tvrzení pro
VíceOkruh č.3: Sémantický výklad predikátové logiky
Okruh č.3: Sémantický výklad predikátové logiky Predikátová logika 1.řádu formalizuje úsudky o vlastnostech předmětů a vztazích mezi předměty pevně dané předmětné oblasti (univerza). Nebudeme se zabývat
VícePřednáška 2: Formalizace v jazyce logiky.
Přednáška 2: Formalizace v jazyce logiky. Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Úvod do teoretické informatiky (logika) Dva základní logické systémy: Výroková logika a predikátová logika. řádu. Výroková logika
Více1. MATEMATICKÁ LOGIKA A MNOŽINY
. MATEMATICKÁ LOGIKA A MNOŽINY Průvodce studiem V následující kapitole si připomeneme některé význačné poznatky z matematické logiky a teorie množin, tvořící základ množinově logického aparátu. S celou
VíceNegativní informace. Petr Štěpánek. S použitím materiálu M.Gelfonda a V. Lifschitze. Logické programování 15 1
Negativní informace Petr Štěpánek S použitím materiálu M.Gelfonda a V. Lifschitze 2009 Logické programování 15 1 Negace jako neúspěch Motivace: Tvrzení p (atomická formule) neplatí, jestliže nelze odvodit
Více7 Jemný úvod do Logiky
7 Jemný úvod do Logiky Základem přesného matematického vyjadřování je správné používání (matematické) logiky a logických úsudků. Logika jako filozofická discipĺına se intenzivně vyvíjí už od dob antiky,
VíceVýroková logika. Sémantika výrokové logiky
Výroková logika Výroková logika se zabývá vztahy mezi dále neanalyzovanými elementárními výroky. Nezabývá se smyslem těchto elementárních výroků, zkoumá pouze vztahy mezi nimi. Elementární výrok je takový
VíceLogika II. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12
Logika II. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 Evropský sociální
VíceÚvod do TI - logika Výroková logika (2.přednáška) Marie Duží
Úvod do TI - logika Výroková logika (2.přednáška) Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Výroková logika Analyzuje způsoby skládání jednoduchých výroků do výroků složených pomocí logických spojek. Co je to výrok?
Vícevýrok-každésdělení,uněhožmásmyslseptát,zdaječinenípravdivé, aproněžprávějednaztěchtodvoumožnostínastává.
1 Základní pojmy matematické logiky Výrokový počet... syntaktické hledisko Predikátový počet... sémantické hledisko 1.1 VÝROKOVÝ POČET výrok-každésdělení,uněhožmásmyslseptát,zdaječinenípravdivé, aproněžprávějednaztěchtodvoumožnostínastává.
VíceMatematická logika. Rostislav Horčík. horcik
Matematická logika Rostislav Horčík horcik@math.feld.cvut.cz horcik@cs.cas.cz www.cs.cas.cz/ horcik Rostislav Horčík (ČVUT FEL) Y01MLO Letní semestr 2007/2008 1 / 15 Splnitelnost množin Definice Množina
VíceMarie Duží
Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Normální formy formulí výrokové logiky Každé formuli výrokové logiky přísluší právě jedna pravdivostní funkce, zobrazení {p, q, r } {0, 1} (pravdivostní tabulka). Naopak však
VíceVýroková logika. p, q, r...
Výroková logika Výroková logika je logika, která zkoumá pravdivostní podmínky tvrzení a vztah vyplývání v úsudcích na základě vztahů mezi celými větami. Můžeme též říci, že se jedná o logiku spojek, protože
VíceCvičení Aktivita 1. část 2. část 3. část Ústní Celkem Známka
Celkové hodnocení BI-MLO (nevyplňujte!) Semestr Zkouška Cvičení Aktivita 1. část 2. část 3. část Ústní Celkem Známka BI-MLO Písemná zkouška 9. února 2016 Matematická logika FIT ČVUT v Praze Varianta B
VíceÚvod do logiky a logického programování.
Úvod do logiky a logického programování Luboš Popelínský popel@fi.muni.cz www.fi.muni.cz/~popel Přehled učiva Opakování základů výrokové a predikátové logiky Normální formy ve výrokové a predikátové logice
VíceVÝROKOVÁ LOGIKA. Výrok srozumitelná oznamovací věta (výraz, sdělení), která může být buď jen pravdivá nebo jen nepravdivá..
VÝROKOVÁ LOGIKA Teorie: Logika je vědní obor zabývající se studiem různých forem vyjadřování a pravidel správného posuzování. (Matematická logika je součástí tohoto vědního oboru a ve velké míře užívá
VíceMatematická logika. Miroslav Kolařík
Matematická logika přednáška šestá Miroslav Kolařík Zpracováno dle textu R. Bělohlávka: Matematická logika poznámky k přednáškám, 2004. a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní matematika
VíceMatematická logika. Rostislav Horčík. horcik
Matematická logika Rostislav Horčík horcik@math.feld.cvut.cz horcik@cs.cas.cz www.cs.cas.cz/ horcik Rostislav Horčík (ČVUT FEL) Y01MLO Letní semestr 2007/2008 1 / 18 Příklad Necht L je jazyk obsahující
Více1 Pravdivost formulí v interpretaci a daném ohodnocení
1 Pravdivost formulí v interpretaci a daném ohodnocení Než uvedeme konkrétní příklady, zopakujme si definici interpretace, ohodnocení a pravdivosti. Necht L je nějaký jazyk. Interpretaci U, jazyka L tvoří
VíceSystém přirozené dedukce výrokové logiky
Systém přirozené dedukce výrokové logiky Korektnost, úplnost a bezespornost Šárka Vavrečková Ústav informatiky, FPF SU Opava Poslední aktualizace: 6. října 2008 Věta o korektnosti Věta (O korektnosti Systému
VíceNormální formy. (provizorní text)
Normální formy (provizorní text) Výrokový počet Definice. Jazyk výrokového počtu obsahuje výrokové proměnné p, q, r, s,..., spojky,,,.. a závorky (,). Výrokové proměnné jsou formule. Jestliže a jsou formule,
VíceDisjunktivní a konjunktivní lní tvar formule. 2.přednáška
Disjunktivní a konjunktivní normáln lní tvar formule 2.přednáška Disjunktivní normáln lní forma Definice Řekneme, že formule ( A ) je v disjunktivním normálním tvaru (formě), zkráceně v DNF, jestliže je
VíceDalší (neklasické) logiky. Jiří Velebil: AD0B01LGR 2015 Predikátová logika 1/20
Predikátová logika Jiří Velebil: AD0B01LGR 2015 Predikátová logika 1/20 Jazyk predikátové logiky Má dvě sorty: 1 Termy: to jsou objekty, o jejichž vlastnostech chceme hovořit. Mohou být proměnné. 2 Formule:
VíceSémantika predikátové logiky
Sémantika predikátové logiky pro analýzu sémantiky potřebujeme nejprve specifikaci jazyka (doména, konstanty, funkční a predikátové symboly) příklad: formální jazyk s jediným binárním predikátovým symbolem
VíceCvičení 4. negace konjunkce disjunkce implikace ekvivalence. a) Najděte UDNF, UKNF a stanovte log. důsledky. 1) [p (p q)] [( p q) (q p)]
Cvičení 4 negace konjunkce disjunkce implikace ekvivalence a) Najděte UDNF, UKNF a stanovte log. důsledky 1) [p (p q)] [( p q) (q p)] p q p q p q q p p A B C D E UEK UED A B C D E F 0 0 1 1 0 0 0 1 p q
VíceÚplný systém m logických spojek. 3.přednáška
Úplný sstém m logických spojek 3.přednáška Definice Úplný sstém m logických spojek Řekneme, že množina logických spojek S tvoří úplný sstém logických spojek, jestliže pro každou formuli A eistuje formule
VíceZÁKLADY LOGIKY A METODOLOGIE
ZÁKLADY LOGIKY A METODOLOGIE Metodický list č. 1 Téma: Předmět logiky a metodologie, základy logiky a formalizace. Toto téma lze rozdělit do tří základních tématických oblastí: 1) Předmět logiky a metodologie
VíceKMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura
Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura Seminář 1 Cílem tohoto semináře je efektivní uvedení
Více2.2 Sémantika predikátové logiky
14 [101105-1155] 2.2 Sémantika predikátové logiky Nyní se budeme zabývat sémantikou formulí, tj. jejich významem a pravdivostí. 2.2.1 Interpretace jazyka predikátové logiky. Interpretace predikátové logiky
VíceSpojování výroků (podmínek) logickými spojkami
Spojování výroků (podmínek) logickými spojkami Spojování výroků logickými spojkami a) Konjunkce - spojení A B; Pravdivostní tabulka konjunkce A B A B 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 AND; A a současně B Konjunkce
Více4.9.70. Logika a studijní předpoklady
4.9.70. Logika a studijní předpoklady Seminář je jednoletý, je určen pro studenty posledního ročníku čtyřletého studia, osmiletého studia a sportovní přípravy. Cílem přípravy je orientace ve formální logice,
Více1 Základní pojmy. 1.1 Množiny
1 Základní pojmy V této kapitole si stručně připomeneme základní pojmy, bez jejichž znalostí bychom se v dalším studiu neobešli. Nejprve to budou poznatky z logiky a teorie množin. Dále se budeme věnovat
Více1 Úvod do matematické logiky
1 Úvod do matematické logiky Logikou v běžném slova smyslu rozumíme myšlenkovou cestu, která vede k určitým závěrům. Logika je také formální věda, která zkoumá způsob vyvozování závěrů. Za zakladatele
Více10. Techniky formální verifikace a validace
Fakulta informačních technologií MI-NFA, zimní semestr 2011/2012 Jan Schmidt EVROPSKÝ SOCIÁLNÍ FOND PRAHA & EU: INVESTUJENE DO VAŠÍ BUDOUCNOSTI 10. Techniky formální verifikace a validace 1 Simulace není
VíceFuzzy logika a reálný svět, aneb jsou všechny hromady skutečně malé?
Fuzzy logika a reálný svět, aneb jsou všechny hromady skutečně malé? Jiří Močkoř University of Ostrava Department of Mathematics Institute for Research and Applications of Fuzzy Modeling 30. dubna 22,
VíceMarie Duží
Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Učební texty: http://www.cs.vsb.cz/duzi Tabulka Courses, odkaz Mathematical Učební texty, Presentace přednášek kursu Matematická logika, Příklady na cvičení + doplňkové texty.
VíceMatematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
VíceCvičení z logiky II.
Cvičení z logiky II. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 https://edux.fit.cvut.cz/courses/bi-mlo/lectures/
VíceRezoluční kalkulus pro výrokovou logiku
AD4M33AU Automatické uvažování Rezoluční kalkulus pro výrokovou logiku Petr Pudlák Výroková logika Výhody Jednoduchý jazyk. Rozhodnutelnost dokazatelnosti i nedokazatelnosti. Rychlejší algoritmy. Nevýhody
VíceAbstrakt Text je určen jako doplňkový k přednášce Matematická logika a Paradigmata programování 4.
Abstrakt Text je určen jako doplňkový k přednášce Matematická logika a Paradigmata programování 4. 1 Matematická logika - poznámky k přednáškám Radim Bělohlávek 29. května 2003 1 Co je (matematická) logika?
VíceY36SAP Y36SAP-2. Logické obvody kombinační Formy popisu Příklad návrhu Sčítačka Kubátová Y36SAP-Logické obvody 1.
Y36SAP 26.2.27 Y36SAP-2 Logické obvody kombinační Formy popisu Příklad návrhu Sčítačka 27-Kubátová Y36SAP-Logické obvody Logický obvod Vstupy a výstupy nabývají pouze hodnot nebo Kombinační obvod popsán
VíceNepřijde a nedám 100 Kč měl jsem pravdu, o této
1.4.4 Implikace Předpoklady: 010403 Implikace Implikace libovolných výroků a,b je výrok, který vznikne jejich spojením slovním obratem jestliže, pak, píšeme a b a čteme jestliže a, pak b. Výroku a se říká
VíceBakalářská matematika I
do předmětu Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Podmínky absolvování předmětu Zápočet Zkouška 1 účast na přednáškách alespoň v minimálním rozsahu,
VíceRezoluční kalkulus pro logiku prvního řádu
AD4M33AU Automatické uvažování Rezoluční kalkulus pro logiku prvního řádu Petr Pudlák Logika prvního řádu (Někdy nepřesně nazývaná predikátová logika.) Výhody Vyšší vyjadřovací schopnost jazyka, V podstatě
VíceObsah Předmluva Rekapitulace základních pojmů logiky a výrokové logiky Uvedení do predikátové logiky...17
Obsah Předmluva...3 0. Rekapitulace základních pojmů logiky a výrokové logiky...11 0.1 Logika jako věda o vyplývání... 11 1. Uvedení do predikátové logiky...17 1.1 Základní terminologie... 17 1.2 Základní
VíceArchitektura počítačů Logické obvody
Architektura počítačů Logické obvody http://d3s.mff.cuni.cz/teaching/computer_architecture/ Lubomír Bulej bulej@d3s.mff.cuni.cz CHARLES UNIVERSITY IN PRAGUE faculty of mathematics and physics Digitální
VíceBooleovská algebra. Pravdivostní tabulka. Karnaughova mapa. Booleovské n-krychle. Základní zákony. Unární a binární funkce. Podmínky.
Booleovská algebra. Pravdivostní tabulka. Karnaughova mapa. Booleovské n-krychle. Základní zákony. Unární a binární funkce. Podmínky. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Katedra aplikované geoinformatiky
VíceStudijní text. Co je výroková logika. Výrokem se již od dob staré antiky rozumí věta, která je pravdivá nebo nepravdivá, tj. má pravdivostní hodnotu.
Studijní text Co je výroková logika Výrokem se již od dob staré antiky rozumí věta, která je pravdivá nebo nepravdivá, tj. má pravdivostní hodnotu. Pravdivostní hodnoty jsou dvě: pravda (označujeme také
VíceLogika 5. Základní zadání k sérii otázek: V uvedených tezích doplňte z nabízených adekvátní pojem, termín, slovo. Otázka číslo: 1. Logika je věda o...
Logika 5 Základní zadání k sérii otázek: V uvedených tezích doplňte z nabízených adekvátní pojem, termín, slovo. Otázka číslo: 1 Logika je věda o.... slovech správném myšlení myšlení Otázka číslo: 2 Základy
VíceEvropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti
Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti MI-SOC: 11 METODY VERIFIKACE SYSTÉMŮ NA ČIPU Hana Kubátov vá doc. Ing. Hana Kubátová, CSc. Katedra číslicového návrhu Fakulta 1 informačních
Více2.5 Rezoluční metoda v predikátové logice
2.5. Rezoluční metoda v predikátové logice [101104-1520] 19 2.5 Rezoluční metoda v predikátové logice Rezoluční metoda v predikátové logice je obdobná stejnojmenné metodě ve výrokové logice. Ovšem vzhledem
Více