VÝUKOVÝ MATERIÁL. Bratislavská 2166, Varnsdorf, IČO: tel Číslo projektu

Transkript

1 VÝUKOVÝ MATERIÁL Identifikační údaje školy Vyšší odborná škola a Střední škola, Varnsdorf, příspěvková organizace Bratislavská 2166, Varnsdorf, IČO: tel Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/ Název projektu Pro vzdělanější Šluknovsko Číslo a název šablony 32 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Autor 0207 Mgr. Bc. Jan Škoda Tematická oblast Programování Číslo a název materiálu VY_32_INOVACE_0207_0113 Booleova algebra Anotace Žák si upevní učivo o Booleově logice Vytvořeno Určeno pro 3. ročník oboru Informační technologie Přílohy Bez příloh

2 Metodický list Učitel: Výklad s projekcí elektronického učebního materiálu. Ukázka obecného postupu činností. Monitorování činnosti žáků. Žák: Sleduje výkladovou projekci a demonstraci učitele. Procvičuje.

3 Booleova algebra

4 Booleova algebra Booleova algebra (čti búlova ), nazvaná podle irského matematika a logika George Boolea ( ). Je užitečná v mnoha matematických disciplínách a má velmi široké uplatnění v technických aplikacích. Tvoří teoretický základ pro navrhování rozmanitých regulovacích a rozhodovacích systémů.

5 Definice Booleova algebra je definována jako množina prvků (proměnných A, B,,X, Y, které mohou nabývat hodnot buď 0 nebo 1) v níž je definována ekvivalence (rovnost) mezi prvky a v níž jsou axiomaticky zavedeny některé vlastnosti operací vytvářejících logické funkce příslušného úplného souboru. Podle principu substituce můžeme potom nahrazovat logické výrazy, které jsou si ekvivalentní (rovné).

6 Axiomy 1 * 1 = 1 1 * 0 = 0 * 1 = 0 0 * 0 = = = = = 1 0 = 1 1 = 0

7 Zákony Zákon Součet Součin Komutativní A + B = B + A A. B = B. A Asociativní A + (B + C) = (A + B) + C A. (B + C) = (A. B).C Distributivní (A + B). (A + C) = A + (B. C) A. B + A. C = A. (B + C) Vyloučení třetího A + not(a) = 1 A. Not(A) = 0 Agresivnosti 0 a 1 A + 1 = 1 A. 0 = 0 Neutrálnosti 0 a 1 A + 0 = A A. 1 = A Absorbce A + A = A A. A = A A + A. B = A A. (A + B) = A Absorbce negace A. (not(a) + B) = A. B A + not(a). B = A + B not(a). (A + B) = not(a). B not(a) + A. B = not(a) + B Dvojité negace not(not(a))= A not(not(a)) = A De Morganovy zákony not(a + B) = not(a). not (B) not(a. B) = not (A) + not(b) Zdroj: Autor

8 Booleova algebra Booelova algebra je jediná soustava pravidel a zákonů (viz. tabulka), která slouží k popisu vztahů mezi dvouhodnotovými logickými proměnnými. V podstatě se jedná o pravidla popisují nejčastější logické operace. Používají se zde tři logické funkce: negace, konjunkce, disjunkce.

9 Disjunkce Logická disjunkce (používají se pro ni symboly OR nebo ) je binární logická operace jejíž hodnota je pravda, právě když alespoň jedna vstupní hodnota je pravda. V logice a matematice je disjunkce označením pro nebo. Například Prší nebo svítí slunce. je disjunkce. A B Y=A+B Zdroj: Autor

10 Konjunkce Logická konjunkce (používají se pro ni symboly AND, & nebo ) je binární logická operace jejíž hodnota je pravda, právě když obě vstupní hodnoty jsou pravda. V logice a matematice je konjunkce označením pro a. Například Prší a zároveň svítí slunce. je konjunkce. A B Y=A B Zdroj: Autor

11 Negace Negace výroku (graficky, ; textově non či not) je v matematické logice opačná pravdivostní hodnota k výroku. V logice a matematice je negace označením pro not. A Y=A Zdroj: Autor

12 Výlučný logický součet Exkluzivní disjunkce (někdy též vylučovací nebo, exkluzivní OR či zkratkou XOR) je logická operace, jejíž hodnota je pravda, právě když každá vstupní hodnota nabývá, v porovnání s ostatními vstupy, unikátní hodnotu. V logice a matematice je exkluzivní disjunkce označením pro buď, anebo. Například Počítač je buď zapnutý, anebo vypnutý. je exkluzivní disjunkce. A B Y=A B Zdroj: Autor

13 Logická funkce NAND Logický člen neboli hradlo je základní stavební prvek logických obvodů, který vyčísluje logickou funkci. Typicky má jeden či více vstupů a jediný výstup. A B Y=A nand B Zdroj: Autor

14 Logická funkce NOR Logický člen neboli hradlo je základní stavební prvek logických obvodů, který vyčísluje logickou funkci. Typicky má jeden či více vstupů a jediný výstup. A B Y=A+B Zdroj: Autor

15 Implikace Logická implikace je logická operace se dvěma proměnnými (binární operace), jejíž hodnota je nepravda, právě když hodnota první proměnné je pravda a druhá je nepravda. Označuje se symbolem nebo, který naznačuje, že implikace není komutativní čili obě proměnné nelze zaměnit. Příklad: Jestliže je číslo x dělitelné čtyřmi, pak je i dělitelné dvěma. je implikace. A B A B Zdroj: Autor

16 Ekvivalence Název ekvivalence je v logice používán pro binární logický operátor značený symbolem nebo. Významově odpovídá tento operátor větné konstrukci "právě když" nebo také "tehdy a jen tehdy, když" ekvivalence tedy říká, že spojovaná tvrzení platí pouze zároveň (obě ano, nebo obě ne). Příklad: Zpěvačky jsou úspěšné právě tehdy, když jsou hezké. je ekvivalence. A B A B Zdroj: Autor

17 Výrokové formule V matematice a logice se pojmem výroková logika označuje formální odvozovací systém, ve kterém atomické formule tvoří výrokové proměnné. Tautologie je výroková formule, která je vždy pravdivá. Kontradikce je výroková formule, která je vždy nepravdivá.

18 Příklad Určete pravdivostní ohodnocení formule A B A B. A B A B A B A B A B A B Zdroj: Autor

19 Úlohy Sestavte pravdivostní tabulku a rozhodněte, zdali se jedná o tautologii nebo kontradikci. (A B) ( A B) (A B) (B A) (A B) ( A B) (A B) (A C) (B C) ( A C) (A C) B ( A B) (A B) (X Y) Z (X Z) Y

20 Zdroje Booleova algebra. In: Wikipedia: the free encyclopedia [online]. San Francisco (CA): Wikimedia Foundation, 2013 [cit ]. Dostupné z: DVOŘÁČKOVÁ, Petra. Booleova algebra [online]. Brno, 2012 [cit ]. Dostupné z: Booleova_algebra.pdf. Bakalářská práce. Masarykova univerzita. KLIMEŠ, Cyril. Booleova algebra [online] [cit ]. Dostupné z: 20systemy/Prednasky/04%20-%20Booleova%20algebra.pdf. ŠTĚPÁNEK, Luboš. Booleova algebra [online] [cit ]. Dostupné z: BooleovaAlgebraLS.pdf. ŽÁČKOVÁ, Lucie. Booleova algebra. Logické řízení [online] [cit ]. Dostupné z: cesky/logrizen/b_algebra/b_algebra.php.