Matematika I. Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Zkouška:

Transkript

1 Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Matematika I katedra matematiky, UL-605, rvyrut@kma.zcu.cz tel.: Zkouška: Písemná část zkoušky - příklady v rozsahu zápočtových prací Ústní část zkoušky - základní pochopení pojmů Literatura: (i) Karel Rektorys: Přehled užité matematiky (ii) Hans j. Bartsch: Matematické vzorce (iii) Mr. Trial: (iv) Mr. Google: (*) Josef Polák: Přehled středoškolské matematiky

2 Základní matematická terminologie Struktura matematického textu: axióm, definice, věta, lemma, důsledek, }{{} důkaz poznámka, příklad. Výrok V je takový jazykový výraz (sdělení), o němž má po obsahové stránce smysl tvrdit, že je buď pravdivý anebo nepravdivý, přičemž nastává právě jedna z těchto možností. Pravdivostní hodnota výroku V je číslo 0 nebo 1, přičemž: - pravdivostní hodnota 1 (pravda), je-li výrok pravdivý, - pravdivostní hodnota 0 (nepravda), je-li výrok nepravdivý. Logické spojky výroky můžeme negovat nebo spojovat pomocí logických spojek a vytvářet tak složené výroky: Negace: A, A, A negace A Konjunkce: A B A a B, A a současně B Disjunkce: A B A nebo B Implikace: A B z A plyne B, jestliže A, pak B Ekvivalence: A B A je ekvivalentní s B, A právě tehdy když B. A B A A B A B A B A B Výroková forma V (x) je takový jazykový výraz (sdělení) obsahující jednu nebo více proměnných x, který se po dosazení přípustných hodnost proměnných stává výrokem.

3 Základní kvantifikátory: pro každé, pro všechna (z ang. All) existuje (alespoň jedno) (z ang. Exists)! existuje právě jedno Základní kvantifikované výroky: x D : V (x) pro všechna x D platí V (x), x D : V (x) existuje (alespoň jedno) x D takové, že platí V (x),!x D : V (x) existuje právě jedno x D takové, že platí V (x). Množiny Množina M je soubor libovolných navzájem různých objektů m o kterých lze jednoznačně rozhodnout, zda do množiny patří, či nikoli. Každý z objektů m, který patří do množiny M, se nazývá prvek množiny M (píšeme m M). Množinové operace: A B := { x : x A x B, A je podmnožina B } A B := {x; x A x B}, A průnik B A B := {x; x A x B}, A sjednoceno s B A B := {x; x A x B}, A mínus B (popř. A \ B) A = B A B B A, A je rovno B. A B f : A B(f je bijektivní), A je ekvivalentní s B. Mohutnost množiny: A má konečně mnoho (n) prvků: m(a) = n, A má nekonečně mnoho prvků: A má spočetně mnoho prvků: m(a) = m(n) tj. A N, A má nespočetně mnoho prvků: m(a) > m(n) tj. A N. Disjunktní množiny: A B =

4 Číselné množiny reálná čísla R např.: π, 0, 3, 13 25,... racionální čísla Q např.: 0, 1 5, 4,... iracionální čísla R \ Q např.: π, e, 2 celá čísla Z např.: 0, ±1, ±2, ±3,... racionální lomená čísla Q \ Z např.: 1 3, 5 9, 12 13,... přirozená čísla N např.: 1, 2, 3, 4,... N N 0 Z Q R ( N0 = {0} N ) Operace v číselných množinách Vlastnosti operací sčítání a násobení: komutativnost: a + b = b + a, a b = b a, asociativnost: a + (b + c) = (a + b) + c, a (b c) = (a b) c, neutralita: a + 0 = a, a 1 = a, distributivnost: a (b + c) = a b + a c. Uspořádání vždy platí právě jedna z relací: a < b, a = b, a > b a dále pak (i) a < b b < c = a < c (ii) a > 0 b > 0 = a b > 0 (iii) a < b = a + c < b + c

5 Podmnožiny R( R 1 ), R 2, R 3 Intervaly - speciální podmnožiny R a, b := {x R : a x b}, - uzavřený interval, (a, b) := {x R : a < x < b}, - otevřený interval, (a, b := {x R : a < x b}, - polouzavřený interval, a, b) := {x R : a x < b}, - polouzavřený interval, a, + ) := {x R : a x}, (a, + ) := {x R : a < x}, (, b := {x R : x b}, (, b) := {x R : x < b}, Omezené číselné množiny Dále předpokládejme, že A R, B R. Definice (omezené množiny) Když c R, x A : x c, říkáme, že množina A je shora omezená. Když d R, x A : x d, říkáme, že množina A je zdola omezená. Množina A je omezená, je-li omezená zdola i shora. Definice (minimum a maximum množiny) Číslo a A se nazývá minimem množiny A, platí-li a x, x A. Číslo b A se nazývá maximem množiny A, platí-li x b, x A. Značíme a = min A, b = max A. Definice (absolutní hodnota) Absolutní hodnota reálného čísla x R je větší z čísel x a x, tj. Lemma 1. a, b R : a + b a + b, x := max{x, x}. 2. a, b R : a b a b a + b, 3. a R : a 2 = a.

6 Definice (supremum, infimum) Nechť A je neprázdná podmnožina množiny R. a) Supremem množiny A je číslo sup A, které má tyto vlastnosti: 1. x A : x sup A, 2. ε > 0 x A : x > sup A ε. b) Infimem množiny A je číslo inf A, které má tyto vlastnosti: 1. x A : x inf A, 2. ε > 0 x A : x < inf A + ε. Lemma Nechť v množině A R existuje max A (resp. min A). Potom max A = sup A (resp. min A = inf A). Věta (o existenci suprema a infima) a) Každá neprázdná shora omezená podmnožina množiny R má právě jedno supremum. b) Každá neprázdná zdola omezená podmnožina množiny R má právě jedno infimum. Definice inf := +, sup :=. Lemma a) A sup A inf A. b) A B sup A sup B inf A inf B c) Konečná množina má vždy maximum a minimum.