Něco málo o logice. Vydatná motivace jako předkrm, pořádná porce Gödelových vět a trocha fuzzy logiky jako zákusek. Petr Cintula
|
|
- Eduard Vopička
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Něco málo o logice Vydatná motivace jako předkrm, pořádná porce Gödelových vět a trocha fuzzy logiky jako zákusek Petr Cintula Ústav informatiky Akademie věd České republiky Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika 1 / 48
2 Outline 1 Co je (matematická) logika? (A k čemu je dobrá?) 2 Klasická výroková logika (ta nejjednodušší, která existuje) 3 Gödelovy věty o neúplnosti (rychle a nahrubo) 4 Matematická fuzzy logika (ta, kterou dělám já) 5 Budoucnost fuzzy logiky (a jak s tím můžete pomoci) Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika 2 / 48
3 Logika není o řešení logických paradoxů Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika 3 / 48
4 Logika není o řešení logických paradoxů Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika 3 / 48
5 Co je logika a trocha historie Logika je věda o správném usuzování Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika 4 / 48
6 Co je logika a trocha historie Logika je věda o správném usuzování Začala jako součást filosofie ve 4. století př.n.l. Cíl: rozeznat správné argumenty ve filosofické diskusi Všichni lidé jsou smrtelní, Sokrates je člověk, tudíž je smrtelný Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika 4 / 48
7 Co je logika a trocha historie Logika je věda o správném usuzování Od 19. století se část logiky vyvinula v matematickou logiku Cíl: vyřešit krizi v základech matematiky PA Pr(0 = S(0)) Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika 4 / 48
8 Co je logika a trocha historie Logika je věda o správném usuzování Dnes se logika používá zejména v informatice Cíl: popsat a provádět usuzování v různých formalizovaných kontextech [α](x = 4) [α; (x := 2x)](x = 8) Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika 4 / 48
9 Tři úrovně logiky I. Přirozený jazyk a usuzování v přirozených scénářích. kognitivní věda, psychologie, lingvistika, a filosofie Cíl: pochopit správné usuzování v přirozených scénářích a jejich tranformaci na formalizované scénáře Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika 5 / 48
10 Tři úrovně logiky I. Přirozený jazyk a usuzování v přirozených scénářích. kognitivní věda, psychologie, lingvistika, a filosofie Cíl: pochopit správné usuzování v přirozených scénářích a jejich tranformaci na formalizované scénáře II. Formální interpretované jazyky a usuzování ve formálních scénářích. matematika a (teoretická) informatika Cíl: vytvořit různé logické systémy pro popis a provádění usuzování ve formalizovaných scénářích Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika 5 / 48
11 Tři úrovně logiky I. Přirozený jazyk a usuzování v přirozených scénářích. kognitivní věda, psychologie, lingvistika, a filosofie Cíl: pochopit správné usuzování v přirozených scénářích a jejich tranformaci na formalizované scénáře II. Formální interpretované jazyky a usuzování ve formálních scénářích. matematika a (teoretická) informatika Cíl: vytvořit různé logické systémy pro popis a provádění usuzování ve formalizovaných scénářích III. Formální abstraktní jazyky a matematická logika. Cíl: vytvořit matematický základ pro předchozí úrovně matematika Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika 5 / 48
12 Matematická logika (dle Wikipedie) Matematická logika se zabývá zkoumáním, formalizováním a matematizováním zejména těch oblastí logiky, na jejichž základech je postavena matematika. V centru jejího zájmu jsou pojmy jako důkaz axiomatizace model bezespornost úplnost rozhodnutelnost Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika 6 / 48
13 Logika jako hygiena matematiky Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika 7 / 48
14 Logika jako hygiena matematiky Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika 7 / 48
15 Outline 1 Co je (matematická) logika? (A k čemu je dobrá?) 2 Klasická výroková logika (ta nejjednodušší, která existuje) 3 Gödelovy věty o neúplnosti (rychle a nahrubo) 4 Matematická fuzzy logika (ta, kterou dělám já) 5 Budoucnost fuzzy logiky (a jak s tím můžete pomoci) Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika 8 / 48
16 Co je správné usuzování? Úroveň I Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika 9 / 48
17 Co je správné usuzování? Úroveň I Příklad Pokud by Bůh existoval, tak by byl dobrý a všemocný. Pokud by Bůh byl dobrý a všemocný, tak by lidé netrpěli. Ale lidé trpí. Tudíž Bůh neexistuje. Je to správný úsudek? A pokud ano, tak v jakém smyslu? Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika 9 / 48
18 Co je správné usuzování? Úroveň I Úroveň II (Naivní) formalizace Atomické část: Formalizovaný úsudek: p: Bůh existuje q: Bůh je dobrý r: Bůh je všemocný s: Lidé trpí p q r q r s s p Je to správný úsudek? Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika 10 / 48
19 Klasická výroková logika: Syntax Úroveň III Atomické formule (výrokové atomy): spočetná nekonečná množina Var primitivních výroků (tedy výroků bez další vnitřní struktury) Formule: nejmenší množina For obsahující Var, tž. pro každé ϕ, ψ For platí: ϕ ψ For a ϕ ψ For a ϕ For Příklady neformulí: p pp q p p p q p Příklady formulí: p q p p p ( q p) (p q) q Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika 11 / 48
20 Klasická výroková logika: Sémantika Úroveň III Základní princip: v daném kontextu má každá formule právě jednu z pravdivostních hodnot: pravda, nepravda. Definice Ohodnocení je každé zobrazení e: For {0, 1} tž.: e( ϕ) = 1 e(ϕ) e(ϕ ψ) = min{e(ϕ), e(ψ)} { 1 pokud e(ϕ) e(ψ) e(ϕ ψ) = 0 pokud e(ϕ) > e(ψ) Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika 12 / 48
21 Správné usuzování Úroveň II Úroveň III Definice Formule ϕ je logickým důsledkem množiny formulí Γ, pokud pro každé ohodnocení e platí: pokud e(γ) = 1 pro každou fli γ Γ, pak e(ϕ) = 1. Správné usuzování = logický důsledek Formulím z Γ říkáme předpoklady a formuli ϕ závěr Úsudek je správný tehdy a jen tehdy, pokud není žádný kontex, v němž by byly všechny předpoklady pravdivé a závěr nepravdivý Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika 13 / 48
22 Příklady (ne)správných úsudků Příklad Modus ponens: p q p q Toto je správný úsudek (pokud e(p q) = e(p) = 1, pak e(q) = 1). Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika 14 / 48
23 Příklady (ne)správných úsudků Příklad Modus ponens: p q p q Toto je správný úsudek (pokud e(p q) = e(p) = 1, pak e(q) = 1). Příklad Abdukce: p q q p Toto není správný úsudek (vezměme: e(p) = 0 a e(q) = 1). Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika 14 / 48
24 Zpět k našemu původnímu příkladu Příklad p q r q r s s p Toto je správný úsudek: pokud e(p q r) = e(q r s) = e(s) = 1, pak e( s) = 0 a tak e(q r) = 0. Tudíž e(p) = 0 a tak e( p) = 1. ALE opravdu jsme dokázali, že Bůh není? Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika 15 / 48
25 Zpět k našemu původnímu příkladu Příklad p q r q r s s p Toto je správný úsudek: pokud e(p q r) = e(q r s) = e(s) = 1, pak e( s) = 0 a tak e(q r) = 0. Tudíž e(p) = 0 a tak e( p) = 1. ALE opravdu jsme dokázali, že Bůh není? Jistěže ne! Jen víme, že tento závěr je pravdivý pokud (!) jsou pravdivé předpoklady tohoto úsudku. Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika 15 / 48
26 Zpět k našemu původnímu příkladu Příklad p q r q r s s p Toto je správný úsudek: pokud e(p q r) = e(q r s) = e(s) = 1, pak e( s) = 0 a tak e(q r) = 0. Tudíž e(p) = 0 a tak e( p) = 1. ALE opravdu jsme dokázali, že Bůh není? Jistěže ne! Jen víme, že tento závěr je pravdivý pokud (!) jsou pravdivé předpoklady tohoto úsudku. A navíc! Víme to pouze, pokud souhlasíme se správností formalizace původního úsudku a věříme, že (klasicka výroková) logika je správná. Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika 15 / 48
27 Strukturalita logického usuzování Pokud by Bůh existoval, Pokud by Bůh byl dobrý a všemocný, Ale lidé trpí. tak by byl dobrý a všemocný tak by lidé netrpěli. Tudíž Bůh neexistuje. p q r q r s s p Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika 16 / 48
28 Strukturalita logického usuzování Pokud by politici byli ideální, tak by byli schopní a čestní. Pokud by politici byli schopní a čestní, tak by neexistovala korupce. Ale korupce existuje. Tudíž politici nejsou ideální. p q r q r s s p Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika 16 / 48
29 Strukturalita logického usuzování Pokud by X byla množina racionálních čísel, tak by byla nekonečná a hustá. Pokud by X byla nekonečná a hustá, tak existuje prosté f : N X Ale žádné takové f neexistuje. Tudíž X není množina racionálních čísel. p q r q r s s p Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika 16 / 48
30 Věta o úplnosti Úroveň III Formule ϕ je logickým důsledkem množiny formulí Γ, tehdy a jen tehdy pokud existuje důkaz formule ϕ z množiny předpokladů Γ, tedy konečná posloupnost formulí ψ 1,..., ψ n = ϕ tž. pro každé i n, bud ψ i je prvek Γ nebo ψ i je axiom, tedy existují formule ϕ, ψ, χ For tž.: ϕ (ψ ϕ) nebo ψ i = ( ϕ ψ) (ψ ϕ) nebo (ϕ (ψ χ)) ((ϕ ψ) (ϕ χ)) nebo formule ψ j a ψ j ψ i jsou v důkazu před ψ i. Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika 17 / 48
31 Outline 1 Co je (matematická) logika? (A k čemu je dobrá?) 2 Klasická výroková logika (ta nejjednodušší, která existuje) 3 Gödelovy věty o neúplnosti (rychle a nahrubo) 4 Matematická fuzzy logika (ta, kterou dělám já) 5 Budoucnost fuzzy logiky (a jak s tím můžete pomoci) Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika 18 / 48
32 Jsou jim připisovány až mýtické důsledky... Amazon book description: Kurt Gödel was an intellectual giant. His Incompleteness Theorem turned not only mathematics but also the whole world of science and philosophy on its head. Shattering hopes that logic would, in the end, allow us a complete understanding of the universe, Gödel s theorem also raised many provocative questions: What are the limits of rational thought? Can we ever fully understand the machines we build? Or the inner workings of our own minds? How should mathematicians proceed in the absence of complete certainty about their results? Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika 19 / 48
33 Malé varování... Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika 20 / 48
34 Malé varování... Amazon book description: Probing the life and work of Kurt Gödel, Incompleteness indelibly portrays the tortured genius whose vision rocked the stability of mathematical reasoning and brought him to the edge of madness. Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika 20 / 48
35 O co jde? Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika 21 / 48
36 O co jde? O přirozená čísla N = {0, 1, 2... }. Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika 21 / 48
37 O co jde? O přirozená čísla N = {0, 1, 2... }. Konkrétně o formule platné o těchto číslech v jazyce obsahujícím: konstantu 0, sčítání + násobení funkci následníka S, tj. přičítání jedničky běžné neostré uspořádání běžné ostré uspořádání < rovnost = Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika 21 / 48
38 O co jde? O přirozená čísla N = {0, 1, 2... }. Konkrétně o formule platné o těchto číslech v jazyce obsahujícím: konstantu 0, sčítání + násobení funkci následníka S, tj. přičítání jedničky běžné neostré uspořádání běžné ostré uspořádání < rovnost = Standardní model aritmetiky N: přirozená čísla, plus běžné interpretace těchto symbolů Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika 21 / 48
39 Formálně... Proměnné: OV = {x, y, z,... } Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika 22 / 48
40 Formálně... Proměnné: OV = {x, y, z,... } Termy: Term = OV 0 Term + Term Term Term S(Term) Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika 22 / 48
41 Formálně... Proměnné: OV = {x, y, z,... } Termy: Term = OV 0 Term + Term Term Term S(Term) Formule: For = Term Term Term = Term For For For OV(For) Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika 22 / 48
42 Formálně... Proměnné: OV = {x, y, z,... } Termy: Term = OV 0 Term + Term Term Term S(Term) Formule: For = Term Term Term = Term For For For OV(For) Příklady formulí: x y(x + y y) x y (x = y) x y(x y v(v + x = y))) Příklady ne-formulí: x y S( x(x = x)) S(x)(x y) Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika 22 / 48
43 Formálně... Proměnné: OV = {x, y, z,... } Termy: Term = OV 0 Term + Term Term Term S(Term) Formule: For = Term Term Term = Term For For For OV(For) Příklady formulí: x y(x + y y) x y (x = y) x y(x y v(v + x = y))) Příklady ne-formulí: x y S( x(x = x)) S(x)(x y) Sentence: formule, kde jsou všechny proměnné kvantifikované Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika 22 / 48
44 Pravá aritmetika a Peanova arithmetika PA Pravá aritmetika: množina všech sentencí platných v N (píšeme: N = ϕ) Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika 23 / 48
45 Pravá aritmetika a Peanova arithmetika PA Pravá aritmetika: množina všech sentencí platných v N (píšeme: N = ϕ) Peanova aritmetika: množina všech sentencí dokazatelných z následujících axiomů: (píšeme: PA ϕ) x y(s(x) = S(y) x = y) x(x 0 = 0) x(s(x) 0) x y(x S(y) = x y + x) x(x 0 y(x = S(y))) x(x + 0 = x) x y(x y v(v + xy)) x y(x + S(y) = S(x + y)) ϕ(0) x(ϕ(x) ϕ(s(x))) xϕ(x) for arbitrary formula ϕ Je snadné dokázat: PA ϕ implikuje N = ϕ říkáme, že N je model PA Platí to naopak? Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika 23 / 48
46 Gödelova věta o úplnosti Poznámka: existují i nestandardní modely Peanovy aritmetiky struktury M takové, že PA ϕ implikuje M = ϕ. Věta (Věta o úplnosti) PA ϕ, právě tehdy když M = ϕ pro každý model M On to dokázal pro libovolný jazyk a libovolnou množinu sentencí T Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika 24 / 48
47 První Gödelova věta o neúplnosti Věta (První Gödelova věta, sémanticky, partikulárně) Existuje sentence ϕ tž. N = ϕ a PA ϕ. Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika 25 / 48
48 První Gödelova věta o neúplnosti Věta (První Gödelova věta, sémanticky, partikulárně) Existuje sentence ϕ tž. N = ϕ a PA ϕ. Věta (První Gödelova věta, syntakticky, partikulárně) Existuje sentence ϕ tž. PA ϕ a PA ϕ. Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika 25 / 48
49 První Gödelova věta o neúplnosti Věta (První Gödelova věta, sémanticky, obecně) Necht T je množina sentencí tž.: N je model T, tedy T ϕ implikuje N = ϕ existuje algoritmus, který pro každou sentenci ϕ pozná, zda ϕ T Pak existuje sentence ϕ tž. N = ϕ a T ϕ. Věta (První Gödelova věta, syntakticky, partikulárně) Existuje sentence ϕ tž. PA ϕ a PA ϕ. Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika 25 / 48
50 První Gödelova věta o neúplnosti Věta (První Gödelova věta, sémanticky, obecně) Necht T je množina sentencí tž.: N je model T, tedy T ϕ implikuje N = ϕ existuje algoritmus, který pro každou sentenci ϕ pozná, zda ϕ T Pak existuje sentence ϕ tž. N = ϕ a T ϕ. Věta (První Gödelova věta, syntakticky, obecně) Necht T je množina sentencí v jazyce obsahujícím ten aritmetický tž.: T obsahuje PA, tedy PA ϕ implikuje T ϕ T je konsistentní, tedy T 0 = S(0) existuje algoritmus, který pro každou sentenci ϕ pozná, zda ϕ T Pak existuje sentence ϕ tž. T ϕ a T ϕ Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika 25 / 48
51 Hlavní myšlenky důkazu: 1. kódování syntaktických objektů pomocí přirozených čísel Numerály - 1 = S(0) a (n + 1) = S( n) Kódování posloupností - posloupnost 2, 3, 0 je jednoznačně kódovaná pomocí ve skutečnosti se to dělá složitěji, ale lépe Kódování formulí - formule je posloupnost symbolů, tedy... ϕ je numerál kódu formule ϕ Kódování důkazů - důkaz je posloupnost formulí, tedy... Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika 26 / 48
52 Hlavní myšlenky důkazu: 1. kódování syntaktických objektů pomocí přirozených čísel Numerály - 1 = S(0) a (n + 1) = S( n) Kódování posloupností - posloupnost 2, 3, 0 je jednoznačně kódovaná pomocí ve skutečnosti se to dělá složitěji, ale lépe Kódování formulí - formule je posloupnost symbolů, tedy... ϕ je numerál kódu formule ϕ Kódování důkazů - důkaz je posloupnost formulí, tedy... Věta (Aritmetizace syntaxe) Pro množinu T sentencí popsatelnou algoritmem existuje formule Pr T (x) tž. N = Pr T ( ϕ) iff T ϕ Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika 26 / 48
53 Hlavní myšlenky důkazu: 2. autoreference Věta (Autoreference) Pro každou formuli ψ(x) existuje sentence ϕ tž. PA ϕ ψ( ϕ) Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika 27 / 48
54 Hlavní myšlenky důkazu: 2. autoreference Věta (Autoreference) Pro každou formuli ψ(x) existuje sentence ϕ tž. PA ϕ ψ( ϕ) Věta (První věta o neúplnosti) Necht T je množina sentencí tž.: N je model T, tedy T ϕ implikuje N = ϕ existuje algoritmus, který pro každou sentenci ϕ pozná, zda ϕ T Pak existuje sentence ϕ tž. N = ϕ a T ϕ. Důkaz: uvažme sentenci ϕ tž. T ϕ Pr T ( ϕ) Pokud N = ϕ, pak N = Pr T ( ϕ) a tedy T ϕ a tak N ϕ spor Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika 27 / 48
55 Hlavní myšlenky důkazu: 2. autoreference Věta (Autoreference) Pro každou formuli ψ(x) existuje sentence ϕ tž. PA ϕ ψ( ϕ) Věta (První věta o neúplnosti) Necht T je množina sentencí tž.: N je model T, tedy T ϕ implikuje N = ϕ existuje algoritmus, který pro každou sentenci ϕ pozná, zda ϕ T Pak existuje sentence ϕ tž. N = ϕ a T ϕ. Důkaz: uvažme sentenci ϕ tž. T ϕ Pr T ( ϕ) Pokud T ϕ, pak N = ϕ, pak N = Pr T ( ϕ) a tedy T ϕ spor Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika 27 / 48
56 Druhá Gödelova věta o neúplnosti Věta (Druhá věta o neúplnosti) Necht T je množina sentencí v jazyce obsahujícím ten aritmetický tž.: T obsahuje PA, tedy PA ϕ implikuje T ϕ T je konsistentní, tedy T 0 = S(0) existuje algoritmus, který pro každou sentenci ϕ pozná, zda ϕ T Pak T Pr T (0 = S(0)) Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika 28 / 48
57 Mají Gödelovy věty opravdu tak zásadní důsledky? Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika 29 / 48
58 Mají Gödelovy věty opravdu tak zásadní důsledky? Amazon book description: Among the many expositions of Gödel s incompleteness theorems written for non-specialists, this book stands apart. With exceptional clarity, Franzén gives careful, non-technical explanations both of what those theorems say and, more importantly, what they do not. No other book aims, as his does, to address in detail the misunderstandings and abuses of the incompleteness theorems that are so rife in popular discussions of their significance. As an antidote to the many spurious appeals to incompleteness in theological, anti-mechanist and post-modernist debates. Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika 29 / 48
59 Chcete vědet více? Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika 30 / 48
60 Outline 1 Co je (matematická) logika? (A k čemu je dobrá?) 2 Klasická výroková logika (ta nejjednodušší, která existuje) 3 Gödelovy věty o neúplnosti (rychle a nahrubo) 4 Matematická fuzzy logika (ta, kterou dělám já) 5 Budoucnost fuzzy logiky (a jak s tím můžete pomoci) Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika 31 / 48
61 Dvouhodnotová logika je nudná... Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika 32 / 48
62 Dvouhodnotová logika je nudná... Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika 32 / 48
63 Ted seriózně, klasická logika má vážné problémy... Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika 33 / 48
64 Ted seriózně, klasická logika má vážné problémy... Existují totiž hromady písku Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika 33 / 48
65 Ted seriózně, klasická logika má vážné problémy... Existují totiž hromady písku Pokud odstraním z hromady písku zrnko písku, stále zbývá hromada písku. Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika 33 / 48
66 Ted seriózně, klasická logika má vážné problémy... Existují totiž hromady písku Pokud odstraním z hromady písku zrnko písku, stále zbývá hromada písku. Tudíž jedno (nebo dokonce žádné) zrnko písku je hromada písku. Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika 33 / 48
67 Paradox hromady (sorites) [Eubulides z Miletu, 400 př.n.l.] Pokud odstraním z hromady písku zrnko písku, stále mám hromadu. Milion zrnek písku je hromada. Tudíž jedno zrnko písku je hromada. Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika 34 / 48
68 Paradox hromady (sorites) [Eubulides z Miletu, 400 př.n.l.] Pokud odstraním z hromady písku zrnko písku, stále mám hromadu. Milion zrnek písku je hromada. Tudíž jedno zrnko písku je hromada. Formalizace p n : n zrnek písku je hromada písku p a p p tedy p p a p p tedy p p 2 a p 2 p 1 tedy p 1 Premisa p je nepochybně pravdivá. Závěr p 1 je nepochybně nepravdivý. Premisa p i p i 1 se zdá (pro každé i) pravdivá. Tudiž jde o logicky platný úsudek. A máme paradox! Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika 34 / 48
69 Vágnost a stupně pravdivosti Pridikátům podléhajícím paradoxu hromady se říká vágní. Možné řešení: předpokládejme, že existují stupně pravdy Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika 35 / 48
70 Vágnost a stupně pravdivosti Pridikátům podléhajícím paradoxu hromady se říká vágní. Možné řešení: předpokládejme, že existují stupně pravdy Definujme ohodnocení e našich atomů: e(p n ) = nε, pro ε = Tedy e(p 0 ) = 0 a e(p 10 6) = 1, první premisa je zcela pravdivá a závěr je zcela nepravdivý. e(p n p n 1 ) = min{1, 1 e(p n ) + e(p n 1 )} = 1 ε další premisy jsou skoro úplně pravdivé Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika 35 / 48
71 Fuzzy logika v širokém smyslu teorie fuzzy množin Fuzzy množina: zobrazení µ: U [0, 1] Zadeh 1965 pracuje se stupni pravdivosti kombinuje je pomocí operací, které odpovídají logickým spojkám jde o kolekci inženýrských metod většinou designovaných pro konkrétní účely v některých aplikacích jsou velmi úspěšné ANE nejedná se o podoblast matematické logiky např. neřeší pojem pravdy, platného úsudku, axiomatizaci, atd. Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika 36 / 48
72 Matematická Fuzzy Logika Jde o uznávanou oblast matematické logiky: Založenou Petrem Hájkem v knize Metamathematics of fuzzy logic Kluwer,1998. Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika 37 / 48
73 Matematická Fuzzy Logika 1) zkoumá řadu různých logický systémů: Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika 38 / 48
74 Matematická Fuzzy Logika 2) studuje mj. následující oblasti matematické logiky teorie důkazů teorie modelů teorie množin teorie rekurze teorie složitosti 3) souvisí s následujícími oblastmi matematiky: teorie svazů teorie grup/těles geometrie teorie her topologie teorie kategorií teorie míry Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika 39 / 48
75 Matematická Fuzzy Logika 4) má vlastní 1300 stránkovou kapesní příručku: 5) a heslo na SEPu: Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika 40 / 48
76 Outline 1 Co je (matematická) logika? (A k čemu je dobrá?) 2 Klasická výroková logika (ta nejjednodušší, která existuje) 3 Gödelovy věty o neúplnosti (rychle a nahrubo) 4 Matematická fuzzy logika (ta, kterou dělám já) 5 Budoucnost fuzzy logiky (a jak s tím můžete pomoci) Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika 41 / 48
77 Budoucnost fuzzy logiky Problém: logika se vzdálila studiu (lidského) usuzování Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika 42 / 48
78 Budoucnost fuzzy logiky Problém: logika se vzdálila studiu (lidského) usuzování Existuje hnutí, které se snaží je dát opět dohromady Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika 42 / 48
79 Budoucnost fuzzy logiky Problém: logika se vzdálila studiu (lidského) usuzování Existuje hnutí, které se snaží je dát opět dohromady Základní komponenta: transformace přirozených usuzovacích scénářů na ty formalizované, kde jsou pak různé logiky přímo použitelné Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika 42 / 48
80 Budoucnost fuzzy logiky Problém: logika se vzdálila studiu (lidského) usuzování Existuje hnutí, které se snaží je dát opět dohromady Základní komponenta: transformace přirozených usuzovacích scénářů na ty formalizované, kde jsou pak různé logiky přímo použitelné Můj program: přidat se k tomuto hnutí a soustředit se na scénáře (přirozené i formální) s vágními pojmy Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika 42 / 48
81 Budoucnost fuzzy logiky Problém: logika se vzdálila studiu (lidského) usuzování Existuje hnutí, které se snaží je dát opět dohromady Základní komponenta: transformace přirozených usuzovacích scénářů na ty formalizované, kde jsou pak různé logiky přímo použitelné Můj program: přidat se k tomuto hnutí a soustředit se na scénáře (přirozené i formální) s vágními pojmy A vyhnout se běžnému přistupu, který se při oné transformaci vágnosti (více či méně) násilně zbaví Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika 42 / 48
82 Tři úrovně logiky I. Přirozený jazyk a usuzování v přirozených scénářích a jejich transformace na formalizovné scénáře II. Formální interpretované jazyky a usuzování ve formálních scénářích III. Formální abstraktní jazyky a matematická logika Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika 43 / 48
83 Tři úrovně logiky vágních pojmů a mého programu I. Přirozený jazyk a usuzování v přirozených scénářích zahrnujících vágní pojmy a jejich transformace na formalizovné scénáře při zachování vágních pojmů II. Formální interpretované jazyky a usuzování ve formálních scénářích zahrnujících vágní pojmy III. Formální abstraktní jazyky a matematická logika vágních pojmů Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika 43 / 48
84 Tři úrovně logiky vágních pojmů a mého programu I. Přirozený jazyk a usuzování v přirozených scénářích zahrnujících vágní pojmy a jejich transformace na formalizovné scénáře při zachování vágních pojmů Cíl: pochopit lidské usuzování II. Formální interpretované jazyky a usuzování ve formálních scénářích zahrnujících vágní pojmy Cíl: vytvořit silné formální nástroje pro informatiku III. Formální abstraktní jazyky a matematická logika vágních pojmů Cíl: vytvořit matematický základ pro předchozí úrovně Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika 43 / 48
85 Nejsem na to sám... Akademie věd České republiky Ústav Informatiky v.v.i. Oddělení teoretické informatiky Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika 44 / 48
86 Náš tým Marta Bílková: modální logiky, teorie důkazů Petr Cintula: abstraktní algebraická logika Matěj Dostál (PhD student): modální logiky, co-algebraická logika Zuzana Haniková: teorie složitosti Rostislav Horčík: logika v informatice Ondrej Majer: teorie her Tommaso Moraschini: abstraktní algebraická logika Adam Přenosil (PhD student): parakonsistentní logiky Igor Sedlár: epistemické logiky Amanda Vidal: modální logiky, logika v informatice Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika 45 / 48
87 Naši nejbližší spolupracovníci Libor Běhounek, Ostrava: formální fuzzy matematika Rudolfo Ertola, Buenos Aires: parakonsistentní logiky Chris Fermuller, Vienna: teorie her Nick Galatos, Denver: algebraická logika Lluis Godo, Barcelona: logika v informatice Tomáš Kroupa, Prague, teorie her a provděpodobnosti Carles Noguera: Prague, logika v informatice a lidském usuzování George Metcalfe, Bern: teorie důkazů, automatická dedukce James Raftery, Johannesburg: abstraktní algebraická logika Nick Smith, Sydney: filosofické aspekty vágnosti Kazushige Terui, Kyoto: automatická dedukce. Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika 46 / 48
88 Nabízíme vedení bakalářek, diplomek, disertací Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika 47 / 48
89 Nabízíme vedení bakalářek, diplomek, disertací Na všech třech úrovních našeho programu: III v matematické fuzzy logice, ale i ostatních oblastech logiky II v logikách přímo aplikovatelných v informatice I a v budoucnu i ve snaze poruzumět lidskému usuzování Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika 47 / 48
90 Nabízíme vedení bakalářek, diplomek, disertací Na všech třech úrovních našeho programu: III v matematické fuzzy logice, ale i ostatních oblastech logiky II v logikách přímo aplikovatelných v informatice I a v budoucnu i ve snaze poruzumět lidskému usuzování Pokud máte zájem neváhejte mě/nás kontaktovat... cintula@cs.cas.cz Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika 47 / 48
91 A ještě trocha reklamy na závěr: logické kurzy na FJFI Matematická logika: já přednáším základy klasické logiky po Gödelovy věty Logika pro matematiky: různí přednášející se zaměří na roli logiky v matematice a jejich základech Logika v informatice: různí přednášející představí vybrané logické systémy aplikované v současné informatice Petr Cintula (ÚI AV ČR) Logika 48 / 48
Matematická logika. Lekce 1: Motivace a seznámení s klasickou výrokovou logikou. Petr Cintula. Ústav informatiky Akademie věd České republiky
Matematická logika Lekce 1: Motivace a seznámení s klasickou výrokovou logikou Petr Cintula Ústav informatiky Akademie věd České republiky www.cs.cas.cz/cintula/mal Petr Cintula (ÚI AV ČR) Matematická
VíceVýroková a predikátová logika - XIII
Výroková a predikátová logika - XIII Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2013/2014 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - XIII ZS 2013/2014 1 / 13 Úvod Algoritmická (ne)rozhodnutelnost Které
VíceCvičení ke kursu Logika II, část III
Cvičení ke kursu Logika II, část III (30. listopadu 2008) Osnova přednášky přednáška je určena studentům, kteří absolvovali úvodní kursy logiky a teorie rekurzívních funkcí. Předpokládané znalosti: syntax
VíceFuzzy logika a reálný svět, aneb jsou všechny hromady skutečně malé?
Fuzzy logika a reálný svět, aneb jsou všechny hromady skutečně malé? Jiří Močkoř University of Ostrava Department of Mathematics Institute for Research and Applications of Fuzzy Modeling 30. dubna 22,
VíceMatematická logika. Rostislav Horčík. horcik
Matematická logika Rostislav Horčík horcik@math.feld.cvut.cz horcik@cs.cas.cz www.cs.cas.cz/ horcik Rostislav Horčík (ČVUT FEL) Y01MLO Letní semestr 2007/2008 1 / 18 Příklad Necht L je jazyk obsahující
VíceVýroková logika. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek
Výroková logika Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Teoretická informatika strana 2 Opakování z minulé přednášky Co je to formalismus a co je jeho cílem? Formulujte Russelův paradox
VíceVýroková a predikátová logika - XI
Výroková a predikátová logika - XI Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2014/2015 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - XI ZS 2014/2015 1 / 21 Další dokazovací systémy PL Hilbertovský kalkul
VíceLogika, Gödel, neúplnost
Logika, Gödel, neúplnost Vítězslav Švejdar Karlova Univerzita v Praze, http://www.cuni.cz/~svejdar/ Český klub skeptiků, 23. únor 2018 Vítězslav Švejdar, FF UK Praha Logika, Gödel, neúplnost 1/13 Obsah
VíceMatematická logika. Rostislav Horčík. horcik
Matematická logika Rostislav Horčík horcik@math.feld.cvut.cz horcik@cs.cas.cz www.cs.cas.cz/ horcik Rostislav Horčík (ČVUT FEL) Y01MLO Letní semestr 2007/2008 1 / 20 Predikátová logika Motivace Výroková
VíceVýroková a predikátová logika - XIV
Výroková a predikátová logika - XIV Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2018/2019 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - XIV ZS 2018/2019 1 / 20 Nerozhodnutelnost Úvod Rekurzivní a rekurzivně
VíceVýroková a predikátová logika - VIII
Výroková a predikátová logika - VIII Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2017/2018 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - VIII ZS 2017/2018 1 / 21 Tablo Tablo metoda v PL - rozdíly Formule
Více4.2 Syntaxe predikátové logiky
36 [070507-1501 ] 4.2 Syntaxe predikátové logiky V tomto oddíle zavedeme syntaxi predikátové logiky, tj. uvedeme pravidla, podle nichž se tvoří syntakticky správné formule predikátové logiky. Význam a
VíceVýroková a predikátová logika - IX
Výroková a predikátová logika - IX Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2013/2014 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - IX ZS 2013/2014 1 / 15 Korektnost a úplnost Důsledky Vlastnosti teorií
VícePredikátová logika. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek
Predikátová logika Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz strana 2 Opakování z minulé přednášky Z čeho se skládá jazyk výrokové logiky? Jaká jsou schémata pro axiomy VL? Formulujte
VíceVýroková a predikátová logika - VIII
Výroková a predikátová logika - VIII Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2016/2017 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - VIII ZS 2016/2017 1 / 21 Tablo Tablo metoda v PL - rozdíly Formule
VíceCvičení ke kursu Klasická logika II
Cvičení ke kursu Klasická logika II (12. května 2017) 1. Nechť P a Q jsou unární a R binární predikát. Dokažte, že následující formule jsou logicky platné, ale obrátíme-li (vnější) implikaci, ve všech
VíceZáklady logiky a teorie množin
Pracovní text k přednášce Logika a teorie množin (I/2007) 1 1 Struktura přednášky Matematická logika 2 Výroková logika Základy logiky a teorie množin Petr Pajas pajas@matfyz.cz Predikátová logika 1. řádu
VíceVýroková a predikátová logika - IX
Výroková a predikátová logika - IX Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2018/2019 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - IX ZS 2018/2019 1 / 13 Dokončené tablo Chceme, aby dokončená bezesporná
VíceÚvod do logiky. (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/ / 23
Úvod do logiky (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/28.0216 2013 1 / 23 Co je logika? Čeho se týkají logické zákony? Tři možnosti: (1) světa (2) myšlení (3) jazyka (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/28.0216
VícePredik atov a logika - pˇredn aˇska () Predik atov a logika - pˇredn aˇska / 16
Predikátová logika - přednáška 3 6. 1. 2015 () Predikátová logika - přednáška 3 6. 1. 2015 1 / 16 Věta (o dedukci) Bud L jazyk, T teorie pro L, ϕ L-sentence a ψ L-formule. Pak Věta (o kompaktnosti) T ϕ
VíceVýroková a predikátová logika - IV
Výroková a predikátová logika - IV Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2018/2019 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - IV ZS 2018/2019 1 / 17 Tablo metoda Tablo Tablo - příklady F (((p q)
VíceVýroková a predikátová logika - VII
Výroková a predikátová logika - VII Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2013/2014 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - VII ZS 2013/2014 1 / 21 Sémantika PL Teorie Vlastnosti teorií Teorie
VíceSémantika výrokové logiky. Alena Gollová Výroková logika 1/23
Výroková logika Alena Gollová Výroková logika 1/23 Obsah 1 Formule výrokové logiky 2 Alena Gollová Výroková logika 2/23 Formule výrokové logiky Výrok je oznamovací věta, o jejíž pravdivosti lze rozhodnout.
VíceLogika. 6. Axiomatický systém výrokové logiky
Logika 6. Axiomatický systém výrokové logiky RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D. Tato inovace předmětu Úvod do logiky je spolufinancována Evropským sociálním fondem a Státním rozpočtem ČR, projekt č. CZ. 1.07/2.2.00/28.0216,
VíceMatematická logika. Miroslav Kolařík
Matematická logika přednáška třetí Miroslav Kolařík Zpracováno dle textu R. Bělohlávka: Matematická logika poznámky k přednáškám, 2004. a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní matematika
VíceLogický důsledek. Petr Kuchyňka (7765@mail.muni.cz)
Logický důsledek Petr Kuchyňka (7765@mail.muni.cz) Úvod P 1 Logický důsledek je hlavním předmětem zájmu logiky. Je to relace mezi premisami a závěry logicky platných úsudků: v logicky platném úsudku závěr
VíceMatematická logika. Miroslav Kolařík
Matematická logika přednáška šestá Miroslav Kolařík Zpracováno dle textu R. Bělohlávka: Matematická logika poznámky k přednáškám, 2004. a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní matematika
VíceObsah Předmluva Rekapitulace základních pojmů logiky a výrokové logiky Uvedení do predikátové logiky...17
Obsah Předmluva...3 0. Rekapitulace základních pojmů logiky a výrokové logiky...11 0.1 Logika jako věda o vyplývání... 11 1. Uvedení do predikátové logiky...17 1.1 Základní terminologie... 17 1.2 Základní
VíceSystém přirozené dedukce výrokové logiky
Systém přirozené dedukce výrokové logiky Korektnost, úplnost a bezespornost Šárka Vavrečková Ústav informatiky, FPF SU Opava Poslední aktualizace: 6. října 2008 Věta o korektnosti Věta (O korektnosti Systému
VíceGödelovy věty o neúplnosti
Gödelovy věty o neúplnosti Miloš Jakubíček PB016 Úvod do umělé inteligence Fakulta informatiky, Masarykova univerzita 23. listopadu 2007 1 Gödel & historie Kurt Gödel Historický kontext 2 Jazyk a metajazyk
VíceVýroková a predikátová logika - IX
Výroková a predikátová logika - IX Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2015/2016 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - IX ZS 2015/2016 1 / 16 Tablo metoda v PL Důsledky úplnosti Vlastnosti
Více1. Predikátová logika jako prostedek reprezentace znalostí
1. Predikátová logika jako prostedek reprezentace znalostí 1.1 Historie výrokové logiky Problém explicitních znalostí a údaj, kterých je obrovské množství, vedl ke vzniku výrokové logiky. lovk si obecn
VícePredikátová logika: Axiomatizace, sémantické stromy, identita. (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/ / 13
Predikátová logika: Axiomatizace, sémantické stromy, identita (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/28.0216 2013 1 / 13 Axiomatizace predikátové logiky Axiomatizace predikátové logiky Definice Hilbertovský
VíceDalší (neklasické) logiky. Jiří Velebil: AD0B01LGR 2015 Predikátová logika 1/20
Predikátová logika Jiří Velebil: AD0B01LGR 2015 Predikátová logika 1/20 Jazyk predikátové logiky Má dvě sorty: 1 Termy: to jsou objekty, o jejichž vlastnostech chceme hovořit. Mohou být proměnné. 2 Formule:
VícePredikátová logika dokončení
Predikátová logika dokončení Jiří Velebil: X01DML 1. října 2010: Predikátová logika dokončení 1/18 Syntaktická analýza Jako ve výrokové logice (syntaktické stromy). Každý list úspěšného stromu je obsazen
VíceÚvod do logiky a logického programování.
Úvod do logiky a logického programování Luboš Popelínský popel@fi.muni.cz www.fi.muni.cz/~popel Přehled učiva Opakování základů výrokové a predikátové logiky Normální formy ve výrokové a predikátové logice
VíceÚvod do informatiky. Miroslav Kolařík
Úvod do informatiky přednáška první Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu prof. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008. Obsah 1 Co a k čemu je logika? 2 Výroky a logické spojky
Víceteorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce
Výroková logika teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce zabývá se způsoby tvoření výroků pomocí spojek a vztahy mezi pravdivostí různých výroků používá specifický jazyk složený z výrokových
VíceUnární je také spojka negace. pro je operace binární - příkladem může být funkce se signaturou. Binární je velká většina logických spojek
Otázka 06 - Y01MLO Zadání Predikátová logika, formule predikátové logiky, sentence, interpretace jazyka predikátové logiky, splnitelné sentence, tautologie, kontradikce, tautologicky ekvivalentní formule.
VíceVýroková a predikátová logika - XII
Výroková a predikátová logika - XII Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2015/2016 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - XII ZS 2015/2016 1 / 15 Algebraické teorie Základní algebraické teorie
VícePredikátová logika. Z minula: 1. jazyk logiky 1. řádu. 2. term a formule. 3. interpretace jazyka (relační struktura) 4. Tarského definice pravdy
1 Predikátová logika Z minula: 1. jazyk logiky 1. řádu 2. term a formule 3. interpretace jazyka (relační struktura) 4. Tarského definice pravdy 5. vázané a volné výskyty proměnných ve formuli 6. otevřené
VíceVýroková a predikátová logika - VII
Výroková a predikátová logika - VII Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2018/2019 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - VII ZS 2018/2019 1 / 15 Platnost (pravdivost) Platnost ve struktuře
VíceVýroková a predikátová logika - XII
Výroková a predikátová logika - XII Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2018/2019 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - XII ZS 2018/2019 1 / 15 Rezoluční metoda v PL Rezoluční důkaz Obecné
VíceMatematika I. Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Zkouška:
Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Matematika I katedra matematiky, UL-605, rvyrut@kma.zcu.cz tel.: 377 63 2658 Zkouška: Písemná část zkoušky - příklady v rozsahu zápočtových prací Ústní část zkoušky - základní
VíceVýroková logika syntaxe a sémantika
syntaxe a sémantika Jiří Velebil: AD0B01LGR 2015 Handout 01: & sémantika VL 1/16 1 Proč formální jazyk? 1 Přirozené jazyky jsou složité a často nejednoznačné. 2 Komunikace s formálními nástroji musí být
VíceÚvod do predikátové logiky. (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/ / 1
Úvod do predikátové logiky (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/28.0216 2013 1 / 1 Relace Neuspořádaná vs. uspořádaná dvojice {m, n} je neuspořádaná dvojice. m, n je uspořádaná dvojice. (FLÚ AV ČR) Logika:
VíceZáklady matematické logiky
OBSAH 1 Základy matematické logiky Obsah 1 Úvod 2 1.1 Předmět matematiky.......................... 2 1.2 Nástin historie.............................. 2 1.3 Axiomatická výstavba matematických teorií.............
Více1. Matematická logika
Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018 1. Matematická logika Základem každé vědy (tedy i matematiky i fyziky) je soubor jistých znalostí. To, co z těchto izolovaných poznatků
VíceSémantika predikátové logiky
Sémantika predikátové logiky pro analýzu sémantiky potřebujeme nejprve specifikaci jazyka (doména, konstanty, funkční a predikátové symboly) příklad: formální jazyk s jediným binárním predikátovým symbolem
Vícepostaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy
Formální systémy (výrokové) logiky postaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy cíl: získat formální teorii jako souhrn dokazatelných
VícePro každé formule α, β, γ, δ platí: Pro každé formule α, β, γ platí: Poznámka: Platí právě tehdy, když je tautologie.
Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 5. Výroková logika, formule výrokové logiky a jejich pravdivostní ohodnocení, splnitelné formule, tautologie, kontradikce, sémantický důsledek, tautologicky ekvivalentní
Víceplatné nejsou Sokrates je smrtelný. (r) 1/??
Predikátová logika plně přejímá výsledky výrokové logiky zabývá se navíc strukturou jednotlivých jednoduchých výroků na základě této analýzy lze odvodit platnost některých výroků, které ve výrokové logice
VíceTeoretická informatika Tomáš Foltýnek Úvod do předmětu Formalismus a jeho užití Teorie a axiomy
Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Úvod do předmětu Formalismus a jeho užití Teorie a axiomy 2 Cíle předmětu Poskytnout dostatečné teoretické zázemí Dát jiný pohled na informatiku Odlišit inženýra
VíceHilbertovský axiomatický systém
Hilbertovský axiomatický systém Predikátová logika H 1 Šárka Vavrečková Ústav informatiky, FPF SU Opava Poslední aktualizace: 24. října 2008 Specifikace H 1 Jazyk L H1 přejímáme jazyk predikátové logiky
VíceVýroková logika - opakování
- opakování ormální zavedení Výroková formule: Máme neprázdnou nejvýše spočetnou množinu A výrokových proměnných. 1. Každá proměnná je výroková formule 2. Když α, β jsou formule, potom ( α), (α β), (α
VíceMarie Duží
Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Učební texty: http://www.cs.vsb.cz/duzi Tabulka Courses, odkaz Mathematical Učební texty, Presentace přednášek kursu Matematická logika, Příklady na cvičení + doplňkové texty.
Více2.2 Sémantika predikátové logiky
14 [101105-1155] 2.2 Sémantika predikátové logiky Nyní se budeme zabývat sémantikou formulí, tj. jejich významem a pravdivostí. 2.2.1 Interpretace jazyka predikátové logiky. Interpretace predikátové logiky
VíceMatematická logika. Miroslav Kolařík
Matematická logika přednáška první Miroslav Kolařík Zpracováno dle textu R. Bělohlávka: Matematická logika poznámky k přednáškám, 2004. a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní matematika
VíceVýroková a predikátová logika - VI
Výroková a predikátová logika - VI Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2017/2018 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - VI ZS 2017/2018 1 / 24 Predikátová logika Úvod Predikátová logika Zabývá
VíceModely Herbrandovské interpretace
Modely Herbrandovské interpretace Petr Štěpánek S využitím materialu Krysztofa R. Apta 2006 Logické programování 8 1 Uvedli jsme termové interpretace a termové modely pro logické programy a také nejmenší
VíceVýroková a predikátová logika - II
Výroková a predikátová logika - II Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2013/2014 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - II ZS 2013/2014 1 / 20 Základní syntax Jazyk Výroková logika je logikou
VíceÚvod do TI - logika Predikátová logika 1.řádu (4.přednáška) Marie Duží marie.duzi@vsb.cz
Úvod do TI - logika Predikátová logika 1.řádu (4.přednáška) Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Jednoduché úsudky, kde VL nestačí Všechny opice mají rády banány Judy je opice Judy má ráda banány Z hlediska VL
VíceVýroková a predikátová logika - III
Výroková a predikátová logika - III Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2017/2018 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - III ZS 2017/2018 1 / 16 2-SAT 2-SAT Výrok je v k-cnf, je-li v CNF a
Více1 Výroková logika 1. 2 Predikátová logika 3. 3 Důkazy matematických vět 4. 4 Doporučená literatura 7
1 Výroková logika 1 Výroková logika 1 2 Predikátová logika 3 3 Důkazy matematických vět 4 4 Doporučená literatura 7 Definice 1.1 Výrokem rozumíme každé sdělení, o kterém má smysl uvažovat, zda je, či není
VíceVýroková a predikátová logika - II
Výroková a predikátová logika - II Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2015/2016 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - II ZS 2015/2016 1 / 18 Základní syntax Jazyk Výroková logika je logikou
VíceZákladní pojmy matematické logiky
KAPITOLA 1 Základní pojmy matematické logiky Matematická logika se zabývá studiem výroků, jejich vytváření a jejich pravdivostí. Základním kamenem výrokové logiky jsou výroky. 1. Výroková logika Co je
VíceMísto pojmu výroková formule budeme používat zkráceně jen formule. Při jejich zápisu
VÝROKOVÁ LOGIKA Matematická logika se zabývá studiem výroků, jejich vytváření a jejich pravdivostí. Základním kamenem výrokové logiky jsou výroky. Co je výrok nedefinujejme, pouze si řekneme, co si pod
VíceKaždé formuli výrokového počtu přiřadíme hodnotu 0, půjde-li o formuli nepravdivou, a hodnotu 1, půjde-li. α neplatí. β je nutná podmínka pro α
1. JAZYK ATEATIKY 1.1 nožiny nožina je souhrn objektů určitých vlastností, které chápeme jako celek. ZNAČENÍ. x A x A θ A = { { a, b a A = B A B 0, 1 2 a, a,..., a n x patří do množiny A x nepatří do množiny
VíceMatematická logika. Miroslav Kolařík
Matematická logika přednáška devátá Miroslav Kolařík Zpracováno dle textu R. Bělohlávka: Matematická logika poznámky k přednáškám, 2004. Obsah 1 Úvod do fuzzy logiky 2 Úvod do aplikací fuzzy logiky 3 Výroková
VíceVýroková a predikátová logika - III
Výroková a predikátová logika - III Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2014/2015 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - III ZS 2014/2015 1 / 21 Výroková logika Horn-SAT Horn-SAT Jednotková
VíceLogika Libor Barto. Výroková logika
Logika Libor Barto Výroková logika Definice.(Jazyk výrokové logiky) Ve výrokové logice používáme tyto symboly: (1) Výrokové proměnné: velká písmena, případně opatřená indexy. (2) Výrokovéspojky:,,&,,,....
VíceVýroková a predikátová logika - V
Výroková a predikátová logika - V Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2015/2016 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - V ZS 2015/2016 1 / 21 Dokazovací systémy VL Hilbertovský kalkul Hilbertovský
VíceÚvod do výrokové a predikátové logiky
Úvod do výrokové a predikátové logiky Eva Ondráčková Na této přednášce se seznámíte se základy výrokové a predikátové logiky. Zjistíte, že podstatou logiky není vyplňování pravdivostních tabulek ani negování
VíceLogické programy Deklarativní interpretace
Logické programy Deklarativní interpretace Petr Štěpánek S využitím materialu Krysztofa R. Apta 2006 Logické programování 7 1 Algebry. (Interpretace termů) Algebra J pro jazyk termů L obsahuje Neprázdnou
VíceÚvod do TI - logika 1. přednáška. Marie Duží
Úvod do TI - logika 1. přednáška Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Úvod do TI - logika Učební texty: http://www.cs.vsb.cz/duzi Courses Introduction to Logic: Informace pro studenty Učební texty: Kapitoly: Úvod
VíceVýroková logika dokazatelnost
Výroková logika dokazatelnost Ke zjištění, zda formule sémanticky plyne z dané teorie (množiny formulí), máme k dispozici tabulkovou metodu. Velikost tabulky však roste exponenciálně vzhledem k počtu výrokových
Více10. Techniky formální verifikace a validace
Fakulta informačních technologií MI-NFA, zimní semestr 2011/2012 Jan Schmidt EVROPSKÝ SOCIÁLNÍ FOND PRAHA & EU: INVESTUJENE DO VAŠÍ BUDOUCNOSTI 10. Techniky formální verifikace a validace 1 Simulace není
VíceLOGIKA VÝROKOVÁ LOGIKA
LOGIKA Popisuje pravidla odvozování jedněch tvrzení z druhých. Je to myšlenková cesta ke správným závěrům. Vznikla jako součást filosofie. Zakladatelem byl Aristoteles. VÝROKOVÁ LOGIKA Obsahuje syntaktická,
VíceVýroková a predikátová logika - II
Výroková a predikátová logika - II Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2017/2018 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - II ZS 2017/2018 1 / 17 Předběžnosti Základní pojmy n-ární relace a funkce
VíceMatematika pro informatiky KMA/MATA
Matematika pro informatiky KMA/MATA Informace k předmětu Mgr. Přemysl Rosa rosapr00@pf.jcu.cz, J349 Konzultační hodiny v ZS: úterý 10-11, čtvrtek 15-16 nebo individuálně po předchozí domluvě aktivní účast
VíceJak je důležité být fuzzy
100 vědců do SŠ 1. intenzivní škola Olomouc, 21. 22. 6. 2012 Jak je důležité být fuzzy Libor Běhounek Ústav informatiky AV ČR 1. Úvod Klasická logika Logika se zabývá pravdivostí výroků a jejím přenášením
VíceÚvod do teoretické informatiky
Úvod do teoretické informatiky Zdeněk Sawa Katedra informatiky, FEI, Vysoká škola báňská Technická universita Ostrava 17. listopadu 15, Ostrava-Poruba 708 33 Česká republika 11. února 2018 Z. Sawa (VŠB-TUO)
VíceLogika a logické programování
Logika a logické programování témata ke zkoušce Poslední aktualizace: 16. prosince 2009 Zkouška je písemná, skládá se obvykle ze sedmi otázek (může být více nebo méně, podle náročnosti otázek), z toho
VíceVýroková a predikátová logika - I
Výroková a predikátová logika - I Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2019/2020 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - I ZS 2019/2020 1 / 19 K čemu je logika? Pro matematiky: matematika o matematice.
VíceMatematická logika. Rostislav Horčík. horcik
Matematická logika Rostislav Horčík horcik@math.feld.cvut.cz horcik@cs.cas.cz www.cs.cas.cz/ horcik Rostislav Horčík (ČVUT FEL) Y01MLO Letní semestr 2007/2008 1 / 15 Sémantická věta o dedukci Věta Pro
VíceFormální systém výrokové logiky
Formální systém výrokové logiky 1.Jazyk výrokové logiky Nechť P = {p,q,r, } je neprázdná množina symbolů, které nazýváme prvotní formule. Symboly jazyka L P výrokové logiky jsou : a) prvky množiny P, b)
Více1 Úvod do matematické logiky
1 Úvod do matematické logiky Logikou v běžném slova smyslu rozumíme myšlenkovou cestu, která vede k určitým závěrům. Logika je také formální věda, která zkoumá způsob vyvozování závěrů. Za zakladatele
VíceOBSAH Gödelova nezapomenutelná práce 15 0 ÚVOD 16 0.1 Základní pojmy... 18 0.1.1 Formální systémy... 18 0.1.2 Jazyk a metajazyk... 20 0.1.3 Bezesporné aneb konzistentní teorie... 21 0.1.4 Neúplné teorie...
VíceZÁKLADY LOGIKY A METODOLOGIE
ZÁKLADY LOGIKY A METODOLOGIE Metodický list č. 1 Téma: Předmět logiky a metodologie, základy logiky a formalizace. Toto téma lze rozdělit do tří základních tématických oblastí: 1) Předmět logiky a metodologie
VíceTřída PTIME a třída NPTIME. NP-úplnost.
VAS - Přednáška 9 Úvod ke kursu. Složitost algoritmu. Model RAM. Odhady složitosti. Metoda rozděl a panuj. Greedy algoritmy. Metoda dynamického programování. Problémy, třídy složitosti problémů, horní
VíceOkruh č.3: Sémantický výklad predikátové logiky
Okruh č.3: Sémantický výklad predikátové logiky Predikátová logika 1.řádu formalizuje úsudky o vlastnostech předmětů a vztazích mezi předměty pevně dané předmětné oblasti (univerza). Nebudeme se zabývat
VíceBooleovská algebra. Booleovské binární a unární funkce. Základní zákony.
Booleovská algebra. Booleovské binární a unární funkce. Základní zákony. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Katedra aplikované geoinformatiky a kartografie, Přírodovědecká fakulta UK. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz
VíceMatematická analýza 1
Matematická analýza 1 ZS 2019-20 Miroslav Zelený 1. Logika, množiny a základní číselné obory 2. Limita posloupnosti 3. Limita a spojitost funkce 4. Elementární funkce 5. Derivace 6. Taylorův polynom Návod
Víceverze 29/9/09 textu o logice, aritmetice a M. Bizzarrimu.
1 verze 29/9/09 Toto je prozatím definitivní verze provizorního textu o logice, aritmetice a množinách. věnováno Laskavým čtenářům a čtenářkám, kteří navštěvovali tyto přednášky. poděkování Za upozornění
VíceCvičení Aktivita 1. část 2. část 3. část Ústní Celkem Známka
Celkové hodnocení BI-MLO (nevyplňujte!) Semestr Zkouška Cvičení Aktivita 1. část 2. část 3. část Ústní Celkem Známka BI-MLO Písemná zkouška 9. února 2016 Matematická logika FIT ČVUT v Praze Varianta B
Vícepřednáška 2 Marie Duží
Logika v praxi přednáška 2 Marie Duží marie.duzi@vsb.cz 1 1 Výroková logika Analyzuje způsoby skládání jednoduchých výroků do výroků složených pomocí logických spojek. Co je to výrok? Výrok je tvrzení,
VíceVýroková a predikátová logika - X
Výroková a predikátová logika - X Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2018/2019 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - X ZS 2018/2019 1 / 16 Rozšiřování teorií Extenze o definice Rozšiřování
VíceMATEMATICKÁ LOGIKA. Petr Hájek a Vítězslav Švejdar. Praha, listopad (povrchní typografická revize v červnu 99)
MATEMATICKÁ LOGIKA Předběžný studijní text Petr Hájek a Vítězslav Švejdar Praha, listopad 1994 (povrchní typografická revize v červnu 99) 2 OBSAH Obsah Úvod 3 1 Výroková a predikátová logika 5 1.1 Formule
Více1. Matematická logika
MATEMATICKÝ JAZYK Jazyk slouží člověku k vyjádření soudů a myšlenek. Jeho psaná forma má tvar vět. Každá vědní disciplína si vytváří svůj specifický jazyk v úzké návaznosti na jazyk živý. I matematika
VíceÚvod do logiky (presentace 2) Naivní teorie množin, relace a funkce
Úvod do logiky (presentace 2) Naivní teorie množin, relace a funkce Marie Duží marie.duzi@vsb.cz 1 Úvod do teoretické informatiky (logika) Naivní teorie množin Co je to množina? Množina je soubor prvků
Více