Fyzikální praktikum FJFI ČVUT v Praze Úloha 1: Akustika Datum měření: 4. 3. 2016 Doba vypracovávání: 10 hodin Skupina: 1, pátek 7:30 Vypracoval: Tadeáš Kmenta Klasifikace: 1 Zadání 1. DÚ: Spočítejte, jakou vlastní a vyšší harmonické frekvence má struna napjatá zátěží 5 kg o délce 1 m, víte-li, že její lineární hustota je ρ l = 0.0162 kgm 1. 2. Do vzorce z předchozího úkolu dosaďte délku struny a spočítejte totéž. Naměřte pro prvních 10 rezonančních frekvencí. Z naměřených vyšších harmonických frekvencí zpětně dopočítejte lineární hustotu a porovnejte s uvedenou konstantou. Dopočtěte rychlost šíření vlnění na struně. 3. Pro cca 10 různých frekvencí v rozsahu 2 až 6 khz hledejte interferenční minima (či maxima) změnou délky Quinckovy trubice. Vyneste do grafu závislost vlnové délky zvuku na frekvenci. Proložením dat s errorbary určete rychlost zvuku. 4. Najděte vlastní frekvence Helmholtzova rezonátoru. Vyneste do grafu závislost vlastní frekvence na objemu rezonátoru. Pro hledání vlastní frekvence využijte Fourierovské frekvenční analýzy. Z naměřených hodnot určete rychlost zvuku proložením naměřených hodnot vhodnou funkcí. 2 Pomůcky Struna, frekvenční generátor, generátor mechanických kmitů, Quinckova trubice, reproduktor, mikrofon, osciloskop, skleněná baňka, rozhraní COBRA, vodiče, závaží, kladka, teploměr, měřící pásmo, počítač, program PHYWE. 3 Teoretický úvod Pro vlastní frekvenci a vyšší harmonické frekvence struny platí vztah f n 1 = n 2L T ρ = C n, C = 1 2L T ρ, (1) kde n je počet kmiten struny, L délka struny, T značí sílu, kterou je struna napínána a ρ je lineární hustota struny. Struna, která je napínána závažím o hmotnosti m = 5 kg, délce L = 1 m, lineární hustotě ρ = 0.0162 kg m 1 a g = 9.81 m s 2 bude mít dle vzorce (1) vlastní frekvenci a vyšší harmonické frekvence rovny f 0 = 27.5 Hz, Lineární hustota struna je potom ze vztahu (1) rovna ρ = f n 1 = n 27.5 Hz Pro rychlost šíření mechanického vlnění lze použít vztah T (2CL) 2. (2) 1
v = T ρ, (3) kde potom s využitím vzorce (2) obdržíme vztah v = 2CL. (4) Quinckova trubice je dvoucestný interferometr s nastavitelnou délkou jednoho ramene, která umožňuje prozkoumat interferenční jevy se zvukem. V trubici je přiváděný zvuk z reproduktoru rozdělován do dvou koherentních větví, které spolu interferují na výstupu, kde je signál zachycován a následně zobrazen na osciloskopu. Schéma Quinckovy trubice je zobrazené na obrázku 1. Obrázek 1: Schéma Quinckovy trubice [1]. Posunem trubice o vzdálenost d změníme dráhu jedné z větví, čímž se změní fáze, s níž vlny interferují. Jestliže je vzdálenost mezi dvěma minimy respektive maximy d, potom tato vzdálenost odpovídá přesně polovině vlnové délky zvuku a tedy Vlnová délka závisí na frekvenci f a rychlosti v vztahem λ = 2 d. (5) λ = v f. (6) Helmholtzova rezonance je rezonance mechanického vlnění plynů v uzavřené dutině. V našem experimentu bude Helmholtzův rezonátor reprezentován skleněnou baňkou a hrdlem do ní vedoucí, jejíž rezonanční frekvenci lze vyjádřit vztahem f = v 2π πr2 l + 1.4r 1 V, (7) kde l délka hrdla, r poloměr baňky, V objem baňky a v je rychlost zvuku. 4 Postup měření 4.1 Stojaté vlny na struně Aparaturu sestavíme podle obrázku 2. Obrázek 2: Aparatura pro pozorování stojatých vln na struně. [1] Nejprve posuvným metrem změříme vzdálenost napjaté struny od kladky k bodu úchytu struny generátoru mechanického vlnění. Generátor mechanického vlnění odaretujeme a zapneme generátor kmitů, přičemž amplitudu volíme co nejmenší a frekvenci v hodnotě vypočítané vzorcem (1). Úpravou frekvence nalezneme první mód vlastní frekvenci struny. Hodnotu frekvence zaznamenáme a frekvenci upravíme na nalezení dalšího módu. Tímto způsobem nalezneme 10 prvních rezonančních frekvencí. 2
4.2 Quinckova trubice Na Quinckovu trubici umístíme reproduktor, který přijímá signál z generátoru kmitů. Signál je na výstupu registrován osciloskopem. Pro 10 různých frekvencí v rozsahu 2 až 6 khz budeme hledat interferenční minima popřípadě maxima změnou délky Quinckovy trubice. Na výsuvném rameni Quinckovy trubice jsou zaznamenány rysky, první z nich označuje nulovou hodnotu. Jelikož je rozsah výsuvu ramena omezený, rozhodneme se, zdali budeme zaznamenávat maximum či minimum podle toho, zda je nejbližší amplituda zobrazená na osciloskopu od vzdálenosti nulové risky minimální popřípadě maximální. Takto pro každou frekvenci zaznamenáme polohy alespoň 6 (popřípadě do maximálního vysunutí ramene) maxim respektive minim od vzdálenosti nulové rysky. 4.3 Helmholtzův rezonátor Poblíž hrdla, ve kterém je mikrofon, skleněné baňky umístíme reproduktor, jenž přijímá signál z generátoru kmitů. Mikrofon se přes bateriový zesilovač připojuje na rozhraní COBRA, které se připojí k počítači přes USB. Data z rozhraní budeme sbírat programem PHYWE measure, ve kterém budeme sledovat velikost píku. Pomocí vzorce (7) spočteme přibližnou hodnotu rezonanční frekvence, kterou nastavíme na generátoru kmitů a následně ji za pomocí programu programu PHYWE upravujeme tak, aby byl pík maximální. Takto zaznamenáme rezonanční frekvence pro prázdnou báň a pro báň s vodou po 50 ml do poloviny objemu báně. 5 Naměřené hodnoty 5.1 Stojaté vlny na struně V tabulce 1 jsou uvedené naměřené hodnoty napnuté struny délky L, aritmetický průměr L a směrodatná odchylka σ L. L [cm] σ L [cm] L [cm] 110.0 110.2 109.7 109.9 110.0 0.2 Tabulka 1: Délka struny Dle vzorce (1) jsou vlastní a vyšší harmonické frekvence pro hustotu ρ = 0.0162 kg m 1 rovny f n 1 = n (25.0 ± 0.1) Hz. (8) V tabulce 2 jsou uvedeny naměřené hodnoty vlastních a vyšších harmonických frekvencí f a předpokládaných frekvencí f p dle vzorce (8) v závislosti na počtu kmiten n. n [-] f [Hz] f p ± n 0.1 [Hz] 1 25.0 25.0 2 50.7 50.0 3 76.0 75.0 4 101.5 100.0 5 126.8 125.0 6 151.9 150.0 7 177.0 175.0 8 202.2 200.0 9 227.5 225.0 10 252.9 250.0 Tabulka 2: Naměřené frekvence struny 3
Na obrázku 3 je vyobrazena závislost naměřené frekvence f na počtu kmiten n. Data jsou proložena lineárním fitem. Obrázek 3: Závislost frekvence na počtu kmiten. Fit má rovnici f = C n + b, kde parametr C = (25.28 ± 0.02). Potom podle vzorce (2) dostáváme lineární hustotu ρ struny délky L, která je napínána závažím o hmotnosti m = 5 kg rovnu ρ = (0.0159 ± 0.0001) kg m 1. Rychlost šíření vlnění na struně je dle vzorce (4) rovna v = (55.62 ± 0.15) m s 1. 5.2 Quinckova trubice Naměřené hodnoty jsou uvedeny v příloze v tabulce číslo 4. Na obrázku 4 je znázorněna závislost vlnové délky λ na frekvenci f. Data jsou proložena vztahem (6), kdy rychlost v je parametrem fitu. Obrázek 4: Závislost vlnové délky na frekvenci. Fit má rovnici λ = v + b, kde parametr v = (35184 ± 392). f Fitováním přes vzorec (6) jsme obdrželi rychlost zvuku rovnu v = (351.84 ± 3.92) m s 1. 4
5.3 Helmholtzův rezonátor Objem prázdné báně V 0 = 10.30 10 4 m 3. Délka hrdla l = 0.07 m. poloměr hrdla r = 0.0187 m. V tabulce 3 jsou zaneseny hodnoty objemu vody v báni V 1, objem vzduchu v báni V = V 0 V 1 a rezonanční frekvence f. V 1 [ml] 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 V [ml] 1030 980 930 880 830 780 730 680 630 580 530 f [Hz] 182.4 186.7 191.1 196.8 202.4 208.3 215.2 222.6 231.0 240.1 250.7 Tabulka 3: Frekvence rezonátoru závislé na objemu Na obrázku 5 je znázorněna závislost rezonanční frekvence f na V. Obrázek 5: Závislost frekvence na objemu. Fit je rovnicí tvaru f = a + b, kde parametr a = (5578.2 ± 15.4). Dle vzorce (7) a uvědoměním, že fitujeme objem v jednotkách mililitrů pod odmocninou, je parametr a = v 2π πr2 l+1.4r 103. Z čehož získáváme vztah pro rychlost v jako V l + 1.4r v = 2aπ πr 2 10 3. (9) Rychlost zvuku v je dle vzorce (9) rovna v = (327.9 ± 1.1) m s 1. 6 Diskuse Pozorováním stojatých vln na struně jsme určili její vlastní a vyšší harmonické frekvence. V tabulce číslo 2 jsou uvedeny naměřené hodnoty rezonančních frekvencí struny a hodnoty předpokládané, vypočtené pomocí referenční hustoty struny ρ = (0.0159 ± 0.0001), srovnány. Předkpokládané hodnoty se s čím vyšší harmonickou frekvencí více odlišují od frekvence naměřené, což již předpokládá budoucí nerovnost lineárních hustot struny. Z fitování přes naměřené frekvence a počet kmiten jsme získali lineární hustotu struny ρ = (0.0159 ± 0.0001). Hustota se oproti zadané hodnotě vskutku liší, což může být způsobeno stářím struny a jejím neustálým napínáním. Rychlost 5
šíření vlnění na struně je dle vzorce (4) vypočtena na v = (55.62 ± 0.15) m s 1. Relativní chyby měření jsou v řádech desetin procenta a měření lze tedy považovat za poměrně přesné. Pomocí Quinckovy trubice jsme určili rychlost zvuku ve vzduchu na hodnotu v = (351.84 ± 3.92) m s 1. Velikost relativní chyby měření rychlosti zvuku 1.1% je hlavně způsobena měřením vlnové délky na frekvenci 2000 a 2400 Hz, kde je již z grafu na obrázku 4 vidět velká chyba těchto měření, která je dána menším vzorkem měření vysunutí vzdálenosti kvůli omezenosti výsuvného ramene. Oproti tabulkové hodnotě [2] v = 344 m s 1 se námi naměřená rychlost zvuku liší o (2.2 ± 1.2)%. Chyba měření nepokrývá rozdíl rychlostí, a tudíž měření ovlivňovaly další faktory, které by se měly do chyby projevit, kupříkladu přesnost odečítání z osciloskopu, z posuvného metru, jaká je chyba frekvence uvedené na generátoru kmitů či vlhkost vzduchu. Helmholtzovým rezonátorem jsme určili rychlost zvuku na hodnotu v = (327.9 ± 1.1) m s 1. I přes malou relativní chybu 0.3% je odchylka od tabulkové hodnoty [2] v = 344 m s 1 veliká a tudíž bychom do chyby měření měli započítat další faktory. Předně se jedná o množství vody, které jsme do báně přilívali. K dispozici jsme měli kádinku s 50 ml ryskou, kterou jsme plnili podle oka a tak je přilitý objem zatížen chybou v řádu i deseti procent. Dalším faktorem je špatný odečet frekvence, kdy byl zobrazený pík na počítači nejvyšší. Pík totiž nebyl stabilní a tak je frekvence také přibližným odhadem. V neposlední řadě svou roli sehraje vlhkost vzduchu a vlastnosti povrchu vody v báni, která nehraje pevné dno a chová se membránovitým způsobem. 7 Závěr Měřením jsme určili lineární hustotu struny na ρ = (0.0159 ± 0.0001) kg m 1 a stanovili rychlost šíření vlnění na struně v = (55.62 ± 0.15) m s 1. Pomocí Quinckovy trubice jsme určili rychlost zvuku ve vzduchu na hodnotu v = (351.84 ± 3.92) m s 1 a pomocí Helmholtzova rezonátoru na hodnotu v = (327.9 ± 1.1) m s 1. Obě hodnoty se oproti tabulkové hodnotě [2] v = 344 m s 1 při t = 22 liší. 8 Reference [1] Návod Akustika. Citace 28. 02. 2016. http://praktikum.fjfi.cvut.cz/pluginfile.php/414/mod_resource/content/10/akustika-2016-feb- 27.pdf [2] Matematické, fyzikální a chemické tabulky & vzorce pro střední školy str. 224; nakl. Prometheus, 2011, Dotisk 1. vydání. 6
9 Příloha V tabulce číslo 3 jsou uvedeny naměřené hodnoty vysunutí ramene Quinckovy trubice o délku d, kdy docházelo k minimu (případně maximu) amplitudy, dle vzorce (5) dopočtené příslušné vlnové délky λ, kde d představují rozdíly dvou po sobě jdoucích vzdáleností d, s aritmetickým průměrem λ a směrodatnou odchylkou σ λ pro dané frekvence f. f [Hz] 2000 2400 2800 3200 3600 d [cm] λ [cm] d [cm] λ [cm] d [cm] λ [cm] d [cm] λ [cm] d [cm] λ [cm] 1.4 17.6 0.6 14.0 0.1 12.6 0.1 11.0-0.8 9.4 10.2 17.4 7.6 14.2 6.4 12.4 5.6 10.6 3.9 9.4 18.9 16.8 14.7 14.2 12.6 12.4 10.9 10.8 8.6 9.4 27.3 21.8 16.0 18.8 12.4 16.3 10.6 13.3 9.4 29.8 25.0 12.6 21.6 10.6 18.0 9.0 31.3 26.9 22.5 10.2 λ [cm] 17.27 14.60 12.48 10.72 9.47 σ λ [cm] 0.42 0.94 0.11 0.18 0.39 27.6 f [Hz] 4100 4600 5100 5550 6000 d [cm] λ [cm] d [cm] λ [cm] d [cm] λ [cm] d [cm] λ [cm] d [cm] λ [cm] -1.1 8.0-0.7 7.6-1.3 7.2-1.0 6.0 1.7 5.8 2.9 8.8 3.1 7.4 2.3 6.6 2.0 5.8 4.6 5.6 7.3 7.8 6.8 7.4 5.6 6.8 4.9 6.2 7.4 5.6 11.2 8.6 10.5 7.6 9.0 6.8 8.0 6.2 10.2 5.8 15.5 8.6 14.3 7.6 12.4 6.8 11.1 6.0 13.1 5.8 19.8 8.4 18.1 7.4 15.8 6.8 14.1 6.2 16.0 6.0 24.0 8.2 21.8 7.2 19.2 6.8 17.2 5.8 19.0 5.8 28.1 25.4 22.6 7.0 20.1 21.9 5.8 26.1 24.8 λ [cm] 8.34 7.46 6.85 6.03 5.78 σ λ [cm] 0.36 0.15 0.18 0.18 0.13 Tabulka 4: Quinckova trubice - f, d, λ. 7