SIMULACE URČOVÁNÍ LOMOVÉ ENERGIE: VLIV HUSTOTY SÍTĚ SIMULATION OF FRACTURE ENERGY DETERMINATION: INFLUENCE OF FEM MESH SIZE Ladislav Řoutil 1, Václav Veselý 2, Patrik Štancl 3, Zbyněk Keršner 4 Abstract One of fracture parameters characterizing the material resistance against crack propagation fracture energy is the main subject of the paper. The simple method for the determination of the true fracture energy (Karihaloo and co-workers) is applied here. Experimental tests required for evaluation of the true fracture energy are replaced by numerical simulations of ATENA 2D model, which was calibrated according to earlier experiments. Two FEM mesh size is used in the modelling. 1 Úvod Lomové parametry betonu mohou být užitečnými jednak při kvantifikaci jeho křehkosti, především jsou však nezbytnými při modelování chování vyztužených i nevyztužených betonových prvků a konstrukcí, pokud je u nich třeba vyšetřit vznik a šíření trhlin. Dominantním lomovým parametrem se v takovém případě ukázala být tzv. lomová energie. S touto veličinou pracují varianty kohezivních modelů používaných v příslušných programech MKP podrobnosti může čtenář nalézt např. v [1, 2, 3]. Při stanovování zmíněné lomové energie se u cementových kompozitů používá nejčastěji trojbodového ohybu vzorků/trámců se zářezem. Při této zkoušce dochází k několika druhům disipace energie, které mají např. podle [4, 5] znatelný vliv na její zjišťování. Ovlivněny jsou výsledky měření především u malých vzorků, jakož i při předčasném ukončení testu na sestupné větvi zaznamenávaného diagramu zatížení průhyb (l d diagramu). Závislost lomové energie na rozsahu a možnostech šíření lomové procesní zóny (LPZ) existující před čelem trhliny je analyzována v [6]. Velikost lomové energie (označované G f, určované podle metody RILEM [7]) závisí na velikosti a tvaru zkušebního tělesa, při uvažování konkrétní geometrie na hloubce zářezu a 0, resp. na poměru hloubky zářezu ku výšce vzorku, čili součiniteli α = a 0 /W. Množství energie disipované v LPZ při šíření trhliny je totiž podmíněno velikostí a tvarem LPZ. Při přibližování čela šířící se trhliny k okrajům tělesa se rozsah a tvar této zóny ovlivňuje volným povrchem tělesa, proto se také množství zde spotřebované energie mění. Autoři se dlouhodobě věnují problematice lomové mechaniky cementových kompozitů, přičemž předkládaný příspěvek přímo navazuje na práci započatou v [8, 9]. 1 Ing. Ladislav Řoutil, Vysoké učení technické v Brně, Fakulta stavební, Ústav stavební mechaniky, Veveří 331/95, 602 00 Brno, routil.l@fce.vutbr.cz 2 Ing. Václav Veselý, Ph.D., dtto, vaclav_vesely@centrum.cz 3 Ing. Patrik Štancl, dtto (externí doktorand), patrik.stancl@tiscali.cz 4 Doc. Ing. Zbyněk Keršner, CSc., dtto, kersner.z@fce.vutbr.cz 1
2 Skutečná lomová energie Karihaloo a spolupracovníci publikovali (např. v [7]) postup, jak na základě několika lomových zkoušek vzorků se stejnou geometrií lišících se hloubkou zářezu určit tzv. skutečnou lomovou energii G F. Tuto energii lze stanovit již ze zkoušek dvou vzorků, resp. dvou skupin stejných vzorků s různou hloubkou zářezu, pokud výše zmíněný poměr α první z nich nepřesahuje hodnotu 0,1 a hodnota α druhé testované skupiny vzorků je vyšší než 0,5 (uvedené hodnoty platí u testů na tříbodový ohyb). Pro tyto dvě skupiny vzorků se ještě doporučuje hodnota minimálního poměru rozpětí zkoušeného trámce k jeho výšce v závislosti na velikosti zrn kameniva obsaženého v použité betonové směsi tak, aby hodnota stanovené skutečné lomové energie nebyla zkreslena. Ve zmíněném postupu určení skutečné lomové energie G F se průběh velikosti lokální lomové energie po výšce průřezu testovaného trámce aproximuje bilineárně platí, že tyto dvě definované větve tvoří asymptoty průběhu lokální lomové energie g f po výšce průřezu W a. Bilineární závislost potom obsahuje dva parametry: skutečnou lomovou energii G F a přechodovou délku ligamentu a l, 3 Numerický experiment V příspěvku je užito nastíněného postupu pro určení skutečné lomové energie betonu, přičemž vstupní data představují výsledky získané virtuálním testováním sady trámců z pražcového betonu s centrálním zářezem v oblasti tažených vláken. Virtuálním testováním rozumíme numerickou simulaci zkoušek na tříbodový ohyb devíti trámců se zářezem lišících se poměrem α v rozmezí 0,02 až 0,8. Realizace numerických simulací proběhla v programu ATENA 2D [1]. V tomto softwaru je implementován Bažantův model pásu trhlin, což umožňuje simulovat reálné lomové chování betonu při zatížení. Simulace proběhly ve dvou sadách lišících se velikostí sítě MKP: v první činila průměrná velikost (resp. výška) prvku v oblasti nad zářezem 2,5 mm (síť 1, obr. 1), ve druhé 8 mm (síť 2, obr. 2), což se více blíží skutečné velikosti zrn kameniva betonové směsi (pražcový beton) užité pro odvození materiálových parametrů numerického modelu. Obr. 1: Schéma modelu zkoušky trámce se zářezem s poměrem α = 0,4 na tříbodový ohyb včetně vyznačení sítě konečných prvků (síť 1), podpor a zatěžování přírůstkem průhybu Obr. 2: Schéma modelu zkoušky trámce se zářezem s poměrem α = 0,4 na tříbodový ohyb včetně vyznačení sítě konečných prvků (síť 2), podpor a zatěžování přírůstkem průhybu Detaily tvorby sady numerických modelů lze nalézt v [8]. Výsledný soubory l d diagramů pro síť 2 znázorňuje obr. 3, pro síť 1 jej lze nalézt v [9]. Pro vyhodnocení 2
lomově-mechanických parametrů testovaných trámců byl využit program StiCrack [10]. Soubor sledovaných lomově-mechanických parametrů tvoří např. hodnoty efektivní trhliny a e, efektivní lomové houževnatosti či právě lomové energie. Grafické znázornění obdržené závislosti mezi hodnotami lomové energie G f a poměrem α ukazuje obr. 4. Zřejmě nedošlo k významnému poklesu hodnot lomové energie G f. Tento jev není v souladu s publikovanou databází experimentálně získaných dat [11]. 5,0 4,5 4,0 3,5 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 0,0 a=0,02 a=0,05 a=0,1 a=0,2 a=0,3 a=0,4 a=0,5 a=0,6 a=0,7 a=0,8 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,3 Obr. 3: Sada l d diagramů pro numerické modely se sítí 2 250 200 Gf,1 Gf,2 G [J/m2] 150 100 50 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 alfa [ ] Obr. 4: Závislost hodnot lomové energie G fs,m na poměru hloubka zářezu/výška vzorku virtuálně testovaných vzorků síť 1 (G f,1) a síť 2 (G f,2) Vzhledem k nesouladu výsledků prezentovaných na obr. 4 s experimenty bylo přistoupeno k normování l d diagramů podle obou sledovaných veličin (průhyb, zatěžovací síla). Získané grafy představují obr. 5 a 6. 3
alfa=0,1 alfa=0,3 alfa=0,5 alfa=0,7 alfa=0,05 alfa=0,2 alfa=0,4 alfa=0,6 0,20 0,40 0,60 0,80 Obr. 5: Normované l d diagramy numerického modelu se sítí 1 alfa=0,1 alfa=0,3 alfa=0,5 alfa=0,7 alfa=0,05 alfa=0,2 alfa=0,4 alfa=0,6 0,20 0,40 0,60 0,80 Obr. 6: Normované l d diagramy numerického modelu se sítí 2 Průběh normovaných l d diagramů byl podroben analýze, při níž došlo k eliminaci diagramů vykazující známky numerické nestability, a to především v úvodní fázi sestupné větve. Výsledky této činnosti ukazují obr. 7 a 8. 4
alfa=0,1 alfa=0,2 alfa=0,6 alfa=0,4 0,20 0,40 0,60 0,80 Obr. 7: Vybrané normované l d diagramy numerického modelu se sítí 1 alfa=0,3 alfa=0,05 alfa=0,7 0,10 0,20 0,30 0,40 0,60 0,70 0,80 Obr. 8: Vybrané normované l d diagramy numerického modelu se sítí 2 Na základě srovnání normovaných l d diagramů došlo k opětovné konstrukci grafu závislosti mezi hodnotami lomové energie G f a poměrem α, při které jako vstupy posloužily pouze vybrané l d diagramy (obr. 9). 5
250 200 Gf,1 Gf,2 G [J/m2] 150 100 50 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 alfa [ ] Obr. 9: Rekonstruovaný graf závislosti mezi hodnotami lomové energie G f a poměrem α pro síť 1 (G f,1) a síť 2 (G f,2) Rekonstruovaný graf (na obr. 9) závislosti mezi hodnotami lomové energie G f a poměrem α vykazuje již trend blížící se experimentálně získávaným datům. Vybrané l d diagramy splňující podmínku definovanou např. v [11] první z dvojice geometricky stejných vzorků vybraných pro stanovení skutečné lomové energie by měl mít velmi mělký zářez (α 0,1), naopak druhý vzorek by měl být opatřen zářezem významným (α 0,5) byly využity pro stanovení hodnot skutečné lomové energie G f,skut.. Výsledky výpočtů shrnují Tab. 1 (pro síť 1) a Tab. 2 (pro síť 2). Poměr α [ ] vzorků použitých pro výpočet G f,skut. G f,skut. [J/m 2 ] 0,02; 0,8 115,7 0,02; 0,6 113,3 0,1; 0,8 126,7 0,1; 0,6 128,3 Tab. 1: Přehled hodnoty skutečné lomové energie G f pro numerický model se sítí 1 stanovené na základě dvojic l d diagramů uvedených v prvním sloupci tabulky Poměr α [ ] vzorků použitých pro výpočet G f,skut. G f,skut. [J/m 2 ] 0,02; 0,8 206,1 0,02; 0,7 203,5 0,05; 0,8 197,0 0,05; 0,7 192,9 Tab. 2: Přehled hodnoty skutečné lomové energie G f pro numerický model se sítí 2 stanovené na základě dvojic l d diagramů uvedených v prvním sloupci tabulky 6
4 Závěr V předkládaném příspěvku bylo užito postupu pro určení skutečné lomové energie betonu podle prof. Karihaloo a jeho spolupracovníků, přičemž vstupní data představovala výsledky získané virtuálním testováním sady trámců z pražcového betonu. Pomocí software ATENA 2D byly takto numericky simulovány zkoušky na tříbodový ohyb trámců se zářezem lišících se poměrem hloubky zářezu ku výšce vzorku pro dvě velikosti sítě konečných prvků. Uvedené výsledky ukazují silný vliv velikosti této sítě na výslednou skutečnou lomovou energii. Poděkování Tento výsledek byl získán za finančního přispění MŠMT, projekt 1M6840770001, v rámci činnosti výzkumného centra CIDEAS. Literatura [1] ATENA, PROGRAM DOCUMENTATION (2000 2005), CERVENKA CONSULTING, 2005 [2] Bažant, Z. P. & Planas, J. FRACTURE AND SIZE EFFECT IN CONCRETE AND OTHER QUASIBRITTLE MATERIALS, CRC PRESS, BOCA RATON, FLORIDA, 1998 [3] Karihaloo, B. L. FRACTURE MECHANICS OF CONCRETE, LONGMAN SCIENTIFIC & TECHNICAL, NEW YORK, 1995 [4] Elices, M., Guinea, G. V. & Planas, J. MEASUREMENT OF THE FRACTURE ENERGY USING THREE-POINTS BEND TESTS: PART 3 INFLUENCE OF CUTTING THE P D TAIL, MATERIALS AND STRUCTURES, VOL. 25, 150, 1992 [5] Elices, M., Guinea, G. V. & Planas, J. ON THE MEASUREMENT OF CONCRETE FRACTURE ENERGY USING THREE-POINT BEND TESTS, MATERIALS AND STRUCTURES, VOL. 30, 375 376, 1997 [6] Karihaloo, B.L. & Abdalla, H.M. A SIMPLE METHOD FOR THE DETERMINATION OF THE TRUE SPECIFIC FRACTURE ENERGY OF CONCRETE, IN PROCEEDINGS OF CONFERENCE NON-TRADITIONAL CEMENT & CONCRETE, BÍLEK & KERŠNER (EDS.), BRNO, 415 432, 2005 [7] RILEM COMMITTEE 50-FMC (RECOMMENDATION) DETERMINATION OF THE FRACTURE ENERGY OF MORTAR AND CONCRETE BY MEANS OF THREE-POINT BEND TEST ON NOTCHED BEAMS. MATERIALS AND STRUCTURES, 18, 258 290, 1985 [8] Štancl, P., Řoutil, L., Veselý, V., Keršner, Z. SKUTEČNÁ HODNOTA LOMOVÉ ENERGIE BETONU PRO ŽELEZNIČNÍ PRAŽCE, IN INTEGROVANÝ PŘÍSTUP K PROJEKTOVÁNÍ STAVEBNÍCH KONSTRUKCÍ, OSTRAVA, 2005 [9] Řoutil, L., Štancl, P. SKUTEČNÁ LOMOVÁ ENERGIE Z NUMERICKÝCH SIMULACÍ ZKOUŠEK, IN JUNIORSTAV 2006, BRNO, 2006 [10] Stibor, M. LOMOVÉ PARAMETRY BETONU A JEJICH URČOVÁNÍ. DISERTAČNÍ PRÁCE, STM FAST VUT V BRNĚ, 2004 [11] Karihaloo, B. L., Abdalla, H. M., Imjai, T. A SIMPLE METHOD FOR DETERMINING THE TRUE FRACTURE ENERGY OF CONCRETE, IN MAGAZINE OF CONCRETE RESEARCH, 5/2003, 471 481, 2003 7