Fyzikální praktikum FJFI ČVUT v Praze Úloha 5: Měření teploty wolframového vlákna Datum měření: 1. 4. 2016 Doba vypracovávání: 12 hodin Skupina: 1, pátek 7:30 Vypracoval: Tadeáš Kmenta Klasifikace: 1 Zadání 1. DÚ: Z Planckova vyzařovacího zákona odvoďte Stefan-Boltzmannův zákon a určete tvar konstanty σ pomocí c, k a ħ. 2. Ocejchujte referenční žárovku pomocí měření odporu. Diskutujte, zda α v rovnici (9) v [1] je konstanta. Výsledky zpracujte graficky. Ověřte správnost výsledků pomocí závislosti výkonu na čtvrté mocnině teploty. Pomocí fitu určete konstantu β. 3. Ověřte Stefan-Boltzmannův zákon (5) v [1], výsledky vyneste do grafu a určete konstantu ε. 4. Zjistěte teploty žárovek (alespoň 6 měření) pomocí závislosti transmise na vlnové délce. Graficky zpracujte a teploty žárovek získejte pomocí fitu závislosti intenzity na vlnové délce I = I(λ). 2 Pomůcky Pulfrichův fotometr, zdroj napětí 0 30 V, wolframová vlákna (dvě světelné žárovky), multimetr, ohmmetr, zdroj referenčního napětí. 3 Teoretický úvod Elektromagnetická energie se může vyzařovat pouze po kvantech. Pro energii jednoho kvanta E 1 platí vztah E 1 = hω = ħ λ, (1) kde ω je úhlová frekvence záření, λ vlnová délka záření a h (ħ) je (redukovaná) planckova konstanta. Planckův vyzařovací zákon vyjadřuje závislost intenzity záření I absolutně černého tělesa na úhlové frekvenci záření ω vztahem di = ħ ω 3 4π 2 c 2 e ħω dω, (2) kt 1 kde ω je úhlová frekvence záření, ħ je redukovaná planckova konstanta, c je rychlost světla, T je teplota absolutně černého tělesa a k značí Boltzmannovu konstantu. Integrací vztahu (2) lze následně odvodit Stefan-Boltzmannův zákon. 1
I = + ħ ω 3 4π 2 c 2 e ħω dω 0 kt 1 I = + ħ 4π 2 c 2 0 + = ħ 4π 2 c 2 ω 3 0 e ħω kt 1 dω = + x = ħω kt ω = ktx ħ dx = ħ kt dω dω = kt ħ dx = x3 k 4 T 4 e x 1 ħ 4 dx = k4 T 4 4ħ 3 π 2 c 2 x3 e x 1 dx = π 2 k 4 60ħ 3 c 2 T4 Stefan-Boltzmannův zákon říká, že intenzita vyzařování černého respektive šedého tělesa roste se čtvrtou mocninou jeho teploty. Tedy 0 I = σt 4, resp. I = εσt 4, (3) kde ε je emisivita povrchu tělesa, vyjadřující skutečnost, že nepracujeme s absolutně černým tělesem a kde σ je Stefan-Boltzmannova konstanta odvozena výše a je rovna σ = π2 k 4 60ħ 3 c 2 5,67 10 8 Wm 2 K 4. (4) Rovnici (3) lze pomocí výkonu, jakožto součinu napětí a proudu přepsat do tvaru kde β je konstanta. P = UI = βt 4, (5) Dosadíme-li do Planckova vyzařovacího zákona za frekvenci vlnovou délku a prointegrujeme přes všechny vlnové délky, dostáváme pro intenzitu vztah I = 2hc2 1 λ 5 e hc. (6) λkt 1 Wienův posunovací zákon říká, že maximální energie záření vlnové délky absolutně černého tělesa se s jeho rostoucí teplotou posouvá ke kratším vlnovým délkám neboli kde b 2,898 K mm je Wienova konstanta. λ max = b T, (7) Transmise T je poměr světelných intenzit I před a po absorpci tělesem. S využitím absorpčního koeficientu δ λ a znalosti tloušťky vrstvy l, skrz kterou světlo prochází, ji můžeme vypočítat jako T = I 0λ I λ = e δ λl. (8) Měříme-li intenzitu záření žárovky skrz poměry transmisivit měřené a referenční žárovky, jsou transmisivity nastaveny tak, aby intenzita záření I λ po absorpci byla stejná, tedy T měř T ref = Pro výpočet intenzity záření měřené žárovky tedy platí vztah kde druhá rovnost plyne ze vztahu (6). T měř I měř = I ref = 2hc2 1 T ref λ 5 e hc λkt 1 I měř I λ I měř =. I (9) ref I ref I λ T měř Ohmův zákon dává do úměry proud I, napětí U a odpor R vodiče vztahem T ref, (10) R = U I. (11) Závislost odporu vodiče na změně teploty o T = T T 0 teplotě lze vyjádřit vztahem 2
R = R 0 (α T + 1), (12) kde R 0 je odpor při teplotě T 0 a α je konstanta nazývající se teplotní součinitel elektrického odporu. V případě wolframu je α = 4,5 10 3 K 1. Pro teplotu T za odporu R vyjádřením ze vzorce (11) můžeme psát 4 Postup měření T = R + αr 0T 0 R 0 αr 0. (13) Na optické lavici se nacházela již sestavená aparatura v podobě Pulfrichova fotometru, kondenzorů a obou žárovek. Nejprve jsme držáky kondenzorů a žárovek posunovali tak, abychom viděli dva ostré obrazy vlákna žárovek na stupnici byl nastaven filtr 12. Uspořádání jsme zafixovali šrouby a do kondenzorů vsunuli matné desky. Poté jsme k jedné žárovce připojili ohmmetr a změřili její vnitřní odpor R 0. Tuto referenční žárovku jsme pak připojili k regulovatelnému zdroji, ampérmetru a voltmetru a proměřili její voltampérmetrovou charakteristiku pro hodnoty napětí od 5 do 8 V. Následně jsme zapojili referenční zdroj napětí ke druhé měřené žárovce a pomocí Pulfrichova fotometru zaznamenávali ty hodnoty transmisí na referenční i měřené žárovce pro filtry 1-10 a pro napětí od 5-7 V, kdy intenzita vyzařovaného světla z referenční i měřené žárovky byla dle našeho oka stejná. 5 Naměřené hodnoty 5.1 Cejchování žárovky, Stefan-Boltzmannův zákon Jelikož v místnosti nebyl teploměr, budeme brát teplotu T 0 = 22. Odpor žárovky R 0 jsme změřili na R 0 = (0,1 ± 0,05) Ω. Vzhledem k velké chybě měření tohoto měření, budeme odpor R 0 i ostatní naměřené veličiny nadále uvažovat bez chyby viz. diskuse. V příloze v tabulce číslo 1 jsou uvedeny naměřené hodnoty napětí a proudu a dále vypočtené hodnoty odporu R pomocí vzorce (11), hodnoty teploty T pomocí vzorce (13), hodnoty výkonu P pomocí vzorce (5), hodnoty λ max vypočtené pomocí vzorce (7) a hodnoty intenzity záření vypočtené pomocí vzorce (6) pro vlnové délky ze vztahu (7). Na obrázku 1 je znázorněna změřená data proudu a napětí. Obrázek 1: Závislost proudu na napětí. 3
Na obrázku 2 je znázorněna závislost výkonu P na čtvrté mocnině teploty T. Obrázek 2: Závislost výkonu na teplotě. Fitováním vztahu P = βt 4 přes parametr β jsme obdrželi β = (2,44 ± 0,04) 10 12 WK 4. Na obrázku 3 je znázorněna závislost intenzity záření I na teplotě T daná vztahem (3). Obrázek 3: Závislost I na T. Fitováním rovnice (3) přes emisivitu ε jsme obdrželi hodnotu ε = (3,81 ± 0,07) 10 6, což je nesmysl a značí chybu v teorii viz. diskuse. 5.1 Získávání teploty žárovky V příloze v tabulce 2 je uvedena propustnost vlnových délek filtrů 1-10. V příloze v tabulkách 3-8 jsou uvedeny naměřené hodnoty transmise na měřené žárovce a na referenční žárovce pro jednotlivé filtry 1-10 pro šest různých přiváděných napětí na referenční žárovku a dále vypočtené hodnoty teploty referenční žárovky dle vztahu (13). 4
Pro výpočet teploty měřené žárovky musíme znát intenzitu vyzařování měřené žárovky. Tu vypočteme ze vztahu (10), kdy za vlnovou délku λ dosazujeme propustnou vlnovou délku dle použitého filtru. Následným fitem přes parametr T rovnice (6) zjistíme teplotu žárovky. 6 Diskuse Jednotlivé fity teplot jsou vyobrazeny na obrázcích 4-9 v příloze. V tabulce 9 jsou uvedeny nafitované teploty s chybou měřené žárovky. T [K] σ T [K] 1762 1 1842 2 1925 1 1976 3 2052 1 2123 1 T [K] 1947 ± 133 Tabulka 9: Teplota měřené žárovky Hodnotu odporu wolframového vlákna jsme určili z naměřených dat proudu a napětí na žárovce skrze pomocí Ohmova zákona. Hodnotu odporu R 0 jsme pomocí ohmmetru změřili na hodnotu R 0 = (0,1 ± 0,05) Ω. Tato naměřená hodnota je zatížena dost velkou chybou, která se promítla do dalšího zpracování dat, a ukázalo se, že jejím následkem je skoro 100% relativní chyba výsledné teploty T spočítané vzorcem (13). Z tohoto důvodu jsme chyby u tohoto měření nezkoumali. V případě lepšího změření odporu R 0 by se do výsledné chyby mohl projevit i fakt, že teplotní součinitel elektrického odporu α je pouze prvním členem Taylerova rozvoje, a tak se pro velké rozdíly teplot již nebude jednat o konstantu. V našem případě to je zcela zanedbatelný poznatek. Fitováním rovnice (5) skrz parametr β jsme určili hodnotu β = (2,44 ± 0,04) 10 12 WK 4. Z obrázku 2 je vidět, že fit přesně neodpovídá naměřeným hodnotám, což je způsobeno hlavně velkou chybou teplot. I přesto bych to považoval za úspěch a závislost výkonu na čtvrté mocnině teploty je patrná. Ověření Stefan-Boltzmannova zákona v podobě rovnice (3) se nepodařilo. Fit vyobrazený na obrázku 3 sice závislost intenzity záření na čtvrté mocnině teploty vykazuje, ovšem vypočtená konstanta ε = (3,81 ± 0,07) 10 6 má od intervalu (0,1) daleko. Příčinu selhání bych viděl v teorii úlohy, kdy intenzita v rovnici (6) má jiný rozměr než intenzita ve Stefan-Boltzmannově zákoně v rovnici (3), a tedy nelze takovýmto stylem data zpracovávat/fitovat. Ze zjištěných poměrů transmisí na jednotlivých žárovkách a znalosti intenzity vyzařování referenční žárovky, jsme byli schopni poměrně přesně určit teplotu neznámé žárovky fitováním závislosti intenzita na vlnové délce I = I(λ). Teplotu jsme tak určili na T = (1947 ± 133) K. Opět je zde ovšem třeba myslet na velice špatně změřený odpor R 0, které měření zatěžuje velkou chybou. Během měření ani během zpracování jsme nezaznamenali problém s údajně problémovým filtrem 2. 7 Závěr Fitováním rovnice (5) přes parametr β jsme určili hodnotu β = (2,44 ± 0,04) 10 12 WK 4. Stefan-Boltzmannův zákon se nám ověřit nepodařilo, pravděpodobně z důvodu jiných rozměrů jednotek intenzit v rovnici (6) a (3). Teplotu měřené žárovky jsme určili na T = (1947 ± 133) K. 5
8 Reference [1] Návod Měření teploty wolframového vlákna. URL: http://praktikum.fjfi.cvut.cz/pluginfile.php/ 3964/mod_resource/content/14/Wolfram-2016-Mar-02.pdf [Citace 30. 3. 2016.] [2] Matematické, fyzikální a chemické tabulky & vzorce pro střední školy str. 154; Fořtová, nakl. Prometheus, 2011, Dotisk 1. vydání. 6
9 Příloha V tabulce 1 jsou uvedeny naměřené hodnoty napětí a proudu a dále vypočtené hodnoty odporu R pomocí vzorce (8), hodnoty teploty T pomocí vzorce (12), hodnoty výkonu P pomocí vzorce (5) a hodnoty λ max vypočtené pomocí vzorce (6). U [V] I [A] R [Ω] P [W] T [K] λ [nm] I [GWm 2 ] 4,86 5,61 0,87 27,26 1725 892 1484 5,05 5,72 0,88 28,89 1762 872 1660 5,30 5,85 0,91 31,01 1813 846 1933 5,57 6,01 0,93 33,48 1859 824 2208 5,65 6,04 0,94 34,13 1879 815 2332 5,91 6,18 0,96 36,52 1925 794 2652 6,18 6,33 0,98 39,12 1969 775 2991 6,38 6,43 0,99 41,02 2005 761 3285 6,42 6,47 0,99 41,54 2005 761 3286 6,68 6,59 1,01 44,02 2052 742 3717 6,95 6,73 1,03 46,77 2095 726 4137 7,14 6,82 1,05 48,69 2126 715 4476 7,29 6,91 1,05 50,37 2144 709 4677 7,41 6,96 1,06 51,57 2166 702 4928 7,50 7,01 1,07 52,58 2177 698 5069 7,65 7,09 1,08 54,24 2198 691 5320 7,76 7,14 1,09 55,41 2215 685 5545 7,95 7,25 1,10 57,64 2237 678 5834 Tabulka 1: Naměřené hodnoty U, I. Vypočtené hodnoty R, P, T, λ. V tabulce 2 jsou uvedeny propuštěné vlnové délky filtrů. Filtry propouští obor vlnových délek v rozsahu 20 40 nm. Ve výpočtech uvažujeme střední hodnotu uvedenou v tabulce. Číslo filtru λ [nm] 1 420 2 430 3 470 4 500 5 530 6 570 7 610 8 660 9 720 10 750 Tabulka 2: Propouštěné vlnové délky filtrů. 7
V tabulkách 3-8 jsou uvedeny naměřené hodnoty transmise na měřené žárovce a na referenční žárovce pro jednotlivé filtry 1-10 pro šest různých přiváděných napětí na referenční žárovku a dále vypočtené hodnoty teploty referenční žárovky dle vztahu (13). I = 5,7 A U = 5,3 V T = 1866 K 1 30 67 2 30 75 3 40 100 4 40 95 5 40 90 6 40 83 7 40 79 8 50 103 9 50 94 10 50 92 Tabulka 3: Transmise 1 I = 6,2 A U = 6,2 V T = 2022 K 1 50 65 2 50 64 3 50 64 4 50 61 5 50 63 6 50 64 7 50 65 8 50 63 9 50 60 10 50 65 Tabulka 6: Transmise 4 I = 5,8 A U = 5,6 V T = 1945 K 1 30 60 2 30 63 3 30 64 4 30 70 5 30 63 6 30 61 7 30 57 8 30 51 9 30 53 10 30 54 Tabulka 4: Trasnmise 2 I = 6,4 A U = 6,5 V T = 2056 K 1 60 59 2 60 72 3 60 61 4 60 63 5 60 64 6 60 63 7 60 62 8 60 61 9 60 62 10 60 61 Tabulka 7: Transmise 5 I = 6,0 A U = 5,9 V T = 1985 K 1 50 75 2 50 90 3 50 80 4 50 82 5 50 78 6 50 75 7 50 73 8 50 72 9 50 68 10 50 67 Tabulka 5: Transmise 3 I = 6,6 A U = 6,9 V T = 2123 K 1 50 41 2 50 38 3 50 42 4 50 39 5 50 41 6 50 43 7 50 45 8 50 47 9 50 44 10 50 47 Tabulka 8: Transmise 6 8
Na obrázcích 4 9 jsou vyobrazeny jednotlivé fity závislosti I na λ. Obrázek 4: Závislost I na λ. T=1762K. Obrázek 5: Závislost I na λ. T=1842K. Obrázek 6: Závislost I na λ. T=1925K. 9
Obrázek 7: Závislost I na λ. T=1976K Obrázek 8: Závislost I na λ. T=2052K Obrázek 9: Závislost I na λ. T=2123K. 10