Elektronický výstup z projektu Perspektiva 2010 reg. č. CZ.1.07/1.3.05/11.0019

Elektronický výstup z projektu Perspektiva 2010 reg. č. CZ.1.07/1.3.05/11.0019 Vydalo s podporou Evropského sociálního fondu a státního rozpočtu České republiky Krajské zařízení pro další vzdělávání pedagogických pracovníků a informační centrum, Nový Jičín, příspěvková organizace, Štefánikova 7/826, 741 11 Nový Jičín. Autor na originále závěrečné práce stvrdil svým podpisem prohlášení, že tento materiál vypracoval samostatně a to včetně grafických a zvukových příloh, a dílo splňuje podmínky uvedené v 31 zákona č. 121/2000 Sb., autorského zákona. (CC BY-NC-ND 3.0) Uveďte autora-neužívejte dílo komerčně-nezasahujte do díla 3.0 Česko

ÚVODNÍ SLOVO Mgr. Blanka Kozáková Projekt Perspektiva 2010 reg. č. CZ.1.07/1.3.05/11.0019, financovaný z operačního programu Vzdělávání pro konkurenceschopnost, probíhal v období let 2009 2011. Tento projekt byl vyústěním dlouhodobé a systematické metodické podpory pedagogickým pracovníkům, kteří se zaměřují na rozvoj ICT ve školách Moravskoslezského kraje, poskytované Krajským zařízením pro další vzdělávání pedagogických pracovníků a informačním centrem, Nový Jičín, příspěvkovou organizací. Významnou vzdělávací aktivitu projektu tvořilo dlouhodobé vzdělávání ICT lídrů. Jedním z výstupů procesu zvyšování jejich digitální gramotnosti byla závěrečná práce, která postihovala oblast, které se v ICT detailněji věnovali. Její úvodní část vždy popsala teoretická východiska a v další části se pak autoři zaměřili na praktické aspekty problému ve školské praxi. Protože se jednalo o práce rozsáhlejšího charakteru, které měly vazbu na současný stav využívání ICT ve školách Moravskoslezského kraje, shrnuli jsme tyto výstupy do motivačního sborníku zajímavých řešení, návodů, postupů a dáváme je tímto k dispozici pedagogickým pracovníkům základních a středních škol Moravskoslezského kraje. Vlastní příprava závěrečných prací byla řízena v Learning Management System Moodle. Díky tomuto nástroji jsme mohli sledovat postup při zpracování, a to jak u autora práce, tak i u jeho vedoucího. Pro tento účel měli oba v prostředí LMS připraveny komunikační nástroje (fórum, chat) a termínované odevzdávání jednotlivých verzí závěrečné práce. V konečné fázi zpracování dostal do prostředí LMS přístup také oponent práce pro zpracování a vložení svého posudku. Všichni zúčastnění tak měli přehled o aktuálním stavu komunikace a zpracovaného materiálu a mohli neprodleně reagovat, pokud si to situace vyžádala. Děkujeme touto cestou všem pedagogickým pracovníkům, kteří se nechají uváděnými příklady inspirovat ke své další pedagogické práci podpořené využitím ICT ve své škole. Poděkování za vedení přípravy závěrečných prací patří celému realizačnímu týmu projektu Perspektiva 2010.

Využití programu dynamické geometrie GeoGebra při výuce geometrie na 2. stupni ZŠ Ing. Ladislav Pleva

Obsah 1 ÚVOD... 3 2 OBECNÝ POPIS A VYUŽITÍ PROGRAMŮ DYNAMICKÉ GEOMETRIE... 4 2.1 Co je program dynamické geometrie... 4 2.2 Moţnosti vyuţití programů dynamické geometrie ve výuce... 6 2.2.1 Organizace vyučování... 6 2.2.2 Vhodné metody vyučování... 7 2.2.3 Technické příprava učitele na výuku s programy dynamické geometrie... 9 3 POROVNÁNÍ JEDNOTLIVÝCH PROGRAMŮ DYNAMICKÉ GEOMETRIE A PŘEDNOSTI GEOGEBRY... 11 3.1 Cabri Geometrie II Plus... 11 3.2 GeoGebra... 12 3.3 Geonext 1.73... 13 3.4 C.a.R.... 14 3.5 Dynamická geometrie v rovině 3.1... 15 3.6 Shrnutí porovnání a závěrečné zhodnocení... 15 3.7 Výhody GeoGebry... 16 4 APLIKACE GEOGEBRY VE VÝUCE... 17 4.1 Výběr učiva z geometrie pro 9. ročník... 17 4.1.1 Podobnost... 17 4.1.2 Tělesa... 18 4.2 Úlohy na podobnost... 18 4.2.1 Určení a použití poměru podobnosti... 18 4.2.2 Dělení úsečky s využitím podobnosti trojúhelníků... 20 4.3 Planimetrie... 22 4.3.1 Souvislost mezí Ludolfovým číslem a obvodem kruhu, vztah mezi radiány a stupni.... 22 4.4 Tělesa... 23 4.4.1 Jehlan... 23 4.4.2 Kužel... 27 4.4.3 Koule... 29 4.5 Ostatní zdroje z internetu... 31 5 ZÁVĚR... 31 6 SEZNAM POUŽITÝCH ZDROJŮ A LITERATURY... 33 2

1 Úvod Trendem v současné výuce, nejen matematiky, je všeobecné pronikání výpočetní techniky do vyučovacího procesu. Často je důvodem snaha zatraktivnit a zpestřit výuku pro naše málo motivované ţáky a přinést jim jiný pohled na právě probíranou látku. Výsledkem by však mělo být, dle mého názoru, zejména zefektivnění výuky. Tedy dosáhnout toho, aby ţáci lépe a rychleji chápali probíranou látku a aby si ji dokázali vybavit i po delším časovém období. Při výuce matematiky na naší škole jiţ pouţíváme několik programů pro výuku probíraného učiva, ale stále nám chyběl software, který by dokázal zefektivnit výuku geometrie. Po krátkém seznámení s programem Cabri II jsem nabyl přesvědčení, ţe tento typ programu nám skutečně v naší plejádě programů pro výuku matematiky schází. Vzhledem k tomu, ţe finanční prostředky malých základních škol, určené na nákup výukových pomůcek, jsou velmi skromné, jsem se rozhodl prozkoumat, zda existují srovnatelné varianty programů dynamické geometrie, které by pro výuku na základní škole byly vhodné a které by školu nic nestály. Výsledkem byla volba programu Geo Gebra a následně výběr tohoto tématu pro mou práci. Tato práce bude také podkladem pro vyuţití programu GeoGebra na naší škole při výuce geometrie na druhém stupni. Současně by měla poskytnout určitý didaktick ý základ pro učitele, který se rozhodne tento program při výuce vyuţít, ať uţ formou demonstrace či jako nástroj pro praktickou výuku konstrukce geometrických útvarů. 3

2 Obecný popis a využití programů dynamické geometrie 2.1 Co je program dynamické geometrie Dynamická geometrie je moderní, rychle se rozvíjející oblast geometrie, která je s úspěchem začleňována do výuky na všech typech škol. Počítačové programy umoţňují oprostit se od statické geometrie, ve školní praxi reprezentované rýsováním do sešitu respekt ive na tabuli, kde jednou narýsované objekty jiţ dále nelze výrazně měnit. Základním rysem dynamické geometrie je více neţ jen její interaktivnost, neboli moţnost změny parametrů (např. polohy, rozměrů, barvy) narýsovaných objektů. Interaktivní jsou v podstatě téměř všechny geometrické programy, neboť umoţňují vzájemné ovlivňování uţivatele a geometrické situace na displeji. Zde je jedna z moţných definicí programů dynamické geometrie včetně popisu jejich klíčové vlastnosti. Software, v němţ nejsou sestrojené objekty statické, ale lze s nimi po jejich vytvoření dále manipulovat, měnit jejich tvar, velikost a polohu v nákresně i pozici vzhledem k ostatním objektům (při zachování určitých invariantů, jimiţ jsou definované vztahy mezi objekty), nazýváme progra my dynamické geometrie. Tu oblast geometrie, v níţ má pohyb některého objektu podstatný vliv na vhled do situace, na řešení úlohy, pak nazývejme geometrií dynamickou. [ 1 ] Nejdůleţitější charakteristikou je tedy zachování zadaných vztahů mezi objekty během pohybu. Dynamický přístup umoţňuje hlubší pochopení souvislostí a snadné zobrazení zadané konstrukce při změně výchozích parametrů. Schopností podněcovat představivost a kreativnost je dynamická geometrie předurčena k výuce, zároveň je však vhodným prostředkem pro výzkumnou činnost v různých oblastech. O dynamické geometrii pojednává například Jiří Vaníček. 1 1 VANÍČEK, Jiří. Dynamická geometrie. [Online] leden 2011. http://www.pf.jcu.cz/cabri/temata/dynamgeo/dyngeo.htm 4

Dynamická geometrie nutí ţáky dodrţovat správný postup konstrukce daného objektu proto, ab y byly dodrţeny návaznosti a vztahy jednotlivých elementárních částí objektu. Výsledkem pak je, ţe při změně některého parametru se nám objekt překresluje, ale jsou zachovány jeho základní vlastnosti. Tyto parametry, jako je změna polohy, velikosti částí, tvaru, se mění metodou táhni a pusť. Pro ilustraci mohu uvést jako příklad některé důsledky výše uvedeného: rovnostranný trojúhelník mění současně délku všech stran stejně, tedy zůstává stále rovnostranným trojúhelníkem; obecný čtyřúhelník můţe přejít v čtverec, ovšem (řádně sestrojený) čtverec nemůţe přejít v obecný čtyřúhelník ; správně sestrojená tečna ke kruţnici je tečnou i při změně poloměru či změně polohy kruţnice Obrázek 1 stopa obecného a rovnostranného trojúhelníku. Vlevo je stopa obecného trojúhelníku bez zadaných podmínek při konstrukci a vpravo je stopa rovnostranného trojúhelníku při manipulaci s vrcholem C. 5

2.2 Možnosti využití programů dynamické geometrie ve výuce Vyuţití programů dynamické geometrie ve výuce vyţaduje od ţáků základní dovednosti spojené s ovládáním počítače a dodrţování pravidel a návazností v konstrukci konkrétních objektů. Na učitele je pak kladen poţadavek vysvětlit a naučit ţáky ovládat a samostatně pouţívat program dynamické geometrie. Je třeba dát dětem dostatek času, aby mohly objevit, jak program funguje a jaké je jeho ovládání, aby jej mohli zaţít a některé činnosti zautomatizovat. Při této seznamovací činnosti není nutno ţáky úkolovat, jejich badatelská činnost tak bude více podporová na, bude-li se učitel zajímat, co jiţ který ţák objevil. Odměnou je pak atraktivnější výuka, soustředění dětí na vlastní proces konstrukce, jednoduchá zpětná vazba při konstrukci, rychlejší a trvalejší pochopení relačních vztahů dané konstrukce, také větší motivace ţáků atd. Jednoduchým pohnutím objekty dané konstrukce si učitel můţe snadno ověřit, zda ţák postupoval při konstrukci správně, coţ při klasické konstrukci pomocí rýsovacích potřeb lze velmi obtíţně. Tím se u ţáků pěstuje logické myšlení, představivost a smysl pro pravidla konstrukce a její souvislosti, a to účinněji, neţ při klasické konstrukci. Nasazení programů interaktivní geometrie do výuky přináší moţnost či nutnost změnit styl vyučování, jeho organizaci, přípravu učitele na vyučování atd. Teprve změnou stylu výuky lze uplatnit výhody a eliminovat nevýhody pouţití dynamické geometrie při vyučovací hodině. 2.2.1 Organizace vyučování Práce s geometrickými programy, tak jako jiná činnost na počítači, podporuje samostatnou práci dítěte. Je vhodná i pro skupinovou výuku po dvou u počítače (např. ţák matematicky zdatnější vede slabšího, který při práci ovládá počítač nebo dvojice schopnějších ţáků pracuje na obtíţnějším úkolu). Velmi příjemným jevem je individualizace učebního procesu, kdy ţák můţe dostávat úlohy adekvátní jeho schopnostem. Učitel se zabývá ţákem, 6

který nejvíce potřebuje jeho pomoc, neboť má na to časový prostor. To je obecný charakter práce při výuce pomocí počítačů. Ţáci se nebojí učitele zeptat, protoţe v tu chvíli nejsou sledováni celou třídou. Vyšší motivace je příčinou větší kázně při hodině a vytvoření aktivního a motivovaného pracovního prostředí, které přináší dobré učební výsledky. Programy dynamické geometrie lze také vyuţít k zadávání domácích úkolů. To nám umoţňuje nasazení programů dynamické geometrie s volnou licencí, kdy si je ţák můţe zdarma nainstalovat na svůj počítač doma nebo můţe vyuţívat k přípravě počítače ve školní učebně během hodin k tomu vyhrazených. Díky zpětnovazební vlastnosti těchto programů můţe ţák dojít ke správnému řešení kombinací získaných znalostí a metody pokus -omyl, coţ jej vede k experimentování. 2.2.2 Vhodné metody vyučování Paleta metod vyučování, pouţitelných s programy dynamické geometrie, je velmi široká. Od vyuţití při výkladu nové látky, přes instruktáţ a demonstraci nové konstrukce k řešení neproblémových a problémových úloh. Velmi silným momentem je moţnost experimentování s tímto programem, coţ zdůrazní objevnou činnost ţáků a ve výsledku bohatší a trvalejší znalosti a dovednosti v oblasti geometrie. Programy interaktivní geometrie usnadňují práci a není nutno učit ţáky náročný matematický jazyk zápisu postupu geometrické konstrukce. Pomocí menu a ukazování na zvolené objekty se také ţáci mohou vyhnout sloţitému popisování bodů a obrazců. Toto má význam především u slabších ţáků neschopných se dostatečně rychle naučit pouţívat formální matematický jazyk pro zápis postupu. Vlastní zápisy postupu konstrukce v matematickém jazyce si mohou ţáci bezprostředně zkontrolovat jejím sestrojením, případně mohou provést konstrukci podle postupu daného učitelem či knihou. Při výkladu nové látky lze vyuţít dynamických konstrukcí k demonstraci obrázků, které znají ţáci z učebnice, a které jsou přímo určeny k dynamizaci (zvláště u důkazů některých vět, při hledání nových poznatků). 7

Mnoho jich je k dispozici ke staţení na stránkách podpory jednotlivých programů dynamické geometrie. Má-li dostatečné technické vybavení, má tak učitel pomůcku, s níţ můţe při svém zaţitém a vyzkoušeném způsobu práce pracovat efektivněji neţ s tabulí. V současné době lze pro tuto metodu s výhodou vyuţít interaktivních tabulí. Jako příklad je moţné pouţít důkaz Pythagorovy věty. Obrázek 2 grafický důkaz Pythagorovy věty. Metoda problémového vyučování se přímo nabízí, neboť nástroje interaktivní geometrie, jsou velmi vhodným prostředkem k řešení geometrických problémů. Například příklady 1, 2, níţe, kde je zde vţdy srozumitelný úkol, sada nástrojů k dispozici a chybějící řešení. 1. Sestroj rovnostranný trojúhelník, tak aby bylo moţno měnit pomocí jednoho bodu velikost všech tří stran současně. 2. Za jakých podmínek se průsečík výšek bude nacházet uvnitř trojúhelníku a kdy vně trojúhelníku. Obrázek 3 výšky a těžnice trojúhelníku. 8

Všechny základní geometrické konstrukce lze pomocí programů interaktivní geometrie učit různými způsoby a tyto způsoby kombinovat. 1. Můţeme zkoumat hotovou konstrukci a manipulovat s ní a provést následný rozbor pomocí jiţ vytvořeného návodného příkladu, v němţ: a. je hotova jen část konstrukce, b. nebo v něm lze objevit novou informaci, poznatek, který ţák v konstrukci můţe pouţít (např. při hledání středu kruţnice lze ukázat, ţe střed leţí na ose těti vy, nebo např. při motivaci ke studiu Thaletovy věty apod.), c. je konstrukce provedena špatně a ţák má za úkol najít chybu v konstrukci a opravit ji. 2. Je také moţno provést konstrukci podle zadaného postupu, ať uţ slovního či matematicky zapsaného. 3. Ţák provede vlastní konstrukci na základě jiţ získaných znalostí a dovedností kombinovaných se samostatným objevováním nových postupů a souvislostí. Rozbor úlohy s diskusí moţných řešení významně usnadňuje právě systém práce s dynamicky se měnícími objekty, kdy ţák můţ e manipulací s těmito objekty měnit různé vstupní parametry konstrukce, a tak nacházet nová řešení. Současně s tím vnímá vztahy mezi jednotlivými objekty jako je např. kolmost, rovnoběţnost, průnik a další. 2.2.3 Technická příprava učitele na výuku s programy dynamické geometrie Technická příprava učitele spočívá v přípravě materiálů pro výuku s respektováním zvolené metody. Je třeba mít nejen připravená zadání úkolů, ale také jejich řešení. Pro demonstraci a experimentální manipulaci je vhodné mít připravený objekt ve formátu, který manipulaci umoţní, ale současně neposkytne moţnost ţákům objekt smazat či ho nevhodně pozměnit. Z tohoto hlediska je důleţité, aby daný program umoţnil export ve formátu tzv. java appletů. Je to velmi uţitečný prvek www stránky, po skytující komfort, interaktivitu i kvalitní zobrazení. Stačí mít k dispozici internetový prohlíţeč 9

a nainstalovanou tzv. Java konzoli a je pak jiţ bez jakýchkoliv problémů moţné tyto java applety spouštět a pouţívat, ať jsou umístěny na vašem počítači, v sítí nebo na internetových stránkách. V současné době je na internetu k dispozici mnoho geometrických aplikací v java appletech, takţe učitelé mohou z počátku, alespoň pro demonstraci, vyuţívat jiţ hotové dynamické obrázky. Samozřejmě další výhodou je, ţe nezáleţí, ve kterém programu byly tyto java applety vytvořeny. 10

3 Porovnání jednotlivých programů dynamické geometrie a přednosti GeoGebry V současné době existuje na trhu softwaru více programů dynamické geometrie. K porovnání těchto programů jsem vyb ral ty, které jsou dostupné na našem trhu v české jazykové variantě. V porovnávání jsem se zaměřil na následující vlastnosti: cena, rychlost vykreslování, moţnosti exportu, on-line provoz, mnoţství nástrojů, uţivatelská přívětivost, tvorba maker (nových nástrojů), uţivatelská podpora softwaru. 3.1 Cabri Geometrie II Plus Nejznámější software hojně propagovaný v našem školství za cenu 18490 Kč v neomezené multilicenci. Při srovnávání programů dynamické geometrie se pouţívá jako srovnávací standard. Má kompletně počeštěná menu a nástroje. Manuál je k dispozici v elektronické formě v češtině a je výborně zpracovaný. Rychlost vykreslování je výborná a nástroje velmi dobře rozmístěné a kombinované s textem. Paleta nástrojů je velmi bohatá, a pokud by nějaký chyběl, lze jej vytvořit pomocí makroinstrukcí. Obsahuje nástroje pro body, přímky, mnohoúhelníky, křivky, měření délek a úhlů. Nechybí také nástroje pro konstrukce jako kolmice, rovnoběţky, osy, středy úseček, nástroje pro různá zobrazení a moţnost vkládání textu. Lze také nastavit různé grafické atributy jako tloušťku bodů, tloušťku a typ čar. Je moţné ukládat vytvořené projekty ve formě souboru Cabri, v bitmapovém a vektorovém formátu. Pro export k vytvoření java appletů je třeba stáhnout a pouţít software CabriJava. Pro vytváření webových stránek s CabriJava applety je třeba nainstalovat program CabriWeb. U nás je výborná podpora i s rozcestníkem na webu Jihočeské univerzity. 2 2 VANÍČEK, Jiří. Odkazy do světa Cabri. Cabri Geometrie český výukový portál. [Online] 1999. http://www.pf.jcu.cz/cabri/odkazy.htm. 11

3.2 GeoGebra Tento software vytvořil student Markus Hohenwarter jako svou diplomovou práci na univerzitě v Salcburku v roce 2001. V současnosti je vyvíjený pod vedením autora na Floridské univerzitě v Tallahassee. Program je k dispozici v licenci GPU, tedy volně šiřitelný software. Získala i několik mezinárodních ocenění. Nejnovější verze je 3.2.46.0. Je moţné vyuţít instalovanou verzi WebStart, která umoţní práci i v reţimu offline nebo verzi AppletStart (bez instalace), která otevře plně funkční java applet GeoGebry v internetovém prohlíţeči. Vývoj programu i nadále pokračuje. Má také kompletně počeštěná menu a nástroje. Příklady lze nalézt na velmi dobře provedeném webu podpory, který je i v české mutaci. 3 Manuál je k dispozici v elektronické formě v češtině a je dobře zpracovaný. Rychlost vykreslování je výborná a nástroje velmi dobře rozmístěné a také kombinované s textem. Jsou větší a lépe viditelné neţ v Cabri. Paleta nástrojů je velmi bohatá, a pokud by nějaký chyběl, lze jej vytvořit pomocí volby Vytvořit nový nástroj. Obsahuje nástroje pro body, přímky, mnohoúhelníky, křivky, kuţelosečky, měření délek a úhlů. Nechybí také nástroje pro konstrukce jako kolmice, rovnoběţky, osy, středy úseček, nástroje pro různá zobrazení a moţnost vkládání textu. Lze také nastavit různé grafické atributy jako tloušťku a typ bodů, tloušťku a typ čar. Je moţné ukládat vytvořené projekty ve formě souboru GeoGebra, v bitmapovém a otevřeném vektorovém formátu. Pro export k vytvoření java appletů není třeba nic instalovat, neboť GeoGebra umí vyexportovat webovou stránku i s java appletem přímo v programu. Má velmi dobře udělaný algebraický vstup, coţ umoţňuje vykreslovat nejen geometrické objekty pomocí vzorců či zadávání vektorů. Taktéţ umí vygenerovat postup konstrukce, coţ je vhodný nástroj pro kontrolu správnosti postupu ţáků při konstrukci. Velmi dobrý program, který více neţ zdatně konkuruje Cabri Geometrii. 3 Hohenwarter, Markus. GeoGebra Domovská stránka programu. [Online] 2001. http://www.geogebra.org/cms/ 12

3.3 Geonext 1.73 Geonext je freewarový program vyvinutý na německé Universität Bayreuth a šířený pod GNU General Public License. Instalace je bezproblémová a je moţné také on-line spouštění. 4 Má také kompletně počeštěná menu a nástroje. Manuál je k dispozici v elektronické formě v češtině, ale je velmi stručný. 5 V programu je obsah nápovědy v češtině, ale jednotlivé popisy jsou v angličtině. Podpora uţivatelských materiálů je u nás malá, je nutné pátrat na internetu po materiálech kolegů. Rychlost vykreslování je velmi dobrá a pro aplikace v geometrii na ZŠ je dostatečná. Nástroj e jsou velmi dobře rozmístěné a také kombinované s textem. Paleta nástrojů je velmi bohatá, ale nenašel jsem nástroj pro tvorbu maker. Obsahuje nástroje pro body, přímky, mnohoúhelníky, křivky, měření délek a úhlů. Nechybí také nástroje pro konstrukce jako kolmice, rovnoběţky, osy, středy úseček a moţnost vkládání textu. Chybí mi tu bohatší nástroje pro zobrazení, má jen nástroj pro osově a bodově souměrný bod. Lze také nastavit různé grafické atributy jako tloušťku a typ bodů, tloušťku a typ čar. Je moţné ukládat vytvořené projekty ve formě souboru Geonext, v bitmapovém a otevřeném vektorovém formátu. Pro export k vytvoření java appletů není třeba nic instalovat, neboť Geonext umí vyexportovat webovou stránku i j ava appletem přímo v programu. Algebraický vstup je omezen pouze na zadávání funkcí. Taktéţ umí vygenerovat protokol konstrukce, coţ je vhodný nástroj pro kontrolu správnosti postupu ţáků při konstrukci. Stejně jako GeoGebra jej umí vygenerovat i s jiţ hotových souborů, které je moţné stáhnout z webu tvůrce. Velmi slušný program, který sice nedosahuje zcela kvalit programu Cabri Geometrie, ale je zdarma a má dostatečné nástroje pro výuku geometrie 4 Bayreuth, Univerzita. GEONEXT Domovská stránka. [Online] http://geonext.uni - bayreuth.de/index.php?id=2453 5 PRIKNER, Milan. Geonext dynamická geometrie zdarma. Milan Prikner ZŠ Filosofská. [Online] 22. březen 2011. http://prikner.wz.cz/files/navod_geonext.pdf?phpsessid=7d4dfbbc5a466db383d9de9a49e ec38b 13

na ZŠ. V současné době je k dispozici verze z roku 2008, z čehoţ plyne, ţe se program pravděpodobně dále nevyvíjí. 3.4 C.a.R. Autorem program je profesor René Grothmann z Katholische Universität Eichstätt. Je k dispozici v licenci GNP, tedy volně šiřitelný software. 6 Na rozdíl od ostatních programů je tento ve slovenské jazykové verzi. To samozřejmě není ideální, ale domnívám se, ţe by děti neměl y s porozuměním ovládacích prvků výraznější problémy. Pro ovládání je k dispozici pouze kontextová nápověda, která není v podstatě rozumně pouţitelná. Program lze spouštět i on-line na internetu z domovského webu bez instalace na počítač. Rychlost vykreslování je velmi dobrá. Nástroje jsou však oproti předchozím programům trochu nepřehledně rozmístěné, ale jsou naštěstí kombinované s textem. Při častějším pouţití by si však uţivatel měl na rozmístění zvyknout. Naproti tomu jsou větší a lépe viditelné neţ v Cabri. Paleta nástrojů je velmi bohatá, a kdyby nějaký chyběl, lze jej vytvořit pomocí volby Makrá. Obsahuje nástroje pro body, přímky, mnohoúhelníky, křivky, měření délek a úhlů. Nechybí také nástroje pro konstrukce jako kolmice, rovnoběţky, osy, středy úseče k, nástroje pro různá zobrazení a moţnost vkládání textu. Lze také nastavit různé grafické atributy jako tloušťku a typ bodů, tloušťku a typ čar. Je moţné ukládat vytvořené projekty ve formě souboru C.a.R., v bitmapovém a otevřeném vektorovém formátu a také do formátu pdf. Pro export k vytvoření java appletů není třeba nic instalovat, neboť C.a.R. umí vyexportovat webovou stránku i s java appletem přímo v programu s bohatým nastavením ovládacích prvků. Umoţňuje vykreslovat funkce zadané algebraicky. Postup konstrukce se zaznamenává postupně v levém okně, a to volitelně, coţ lze pouţít jako nástroj pro kontrolu správnosti postupu ţáků při konstrukci. Velmi dobrý program, který v mnohém Cabri Geometrii můţe nahradit. Tutoriál je velmi příjemným bonusem tohoto programu. 6 GROTHMANN, René. C.a.R., Compass and Ruler, Construct and Rule. [Online] 2001. http://zirkel.sourceforge.net/doc_en/index.html 14

3.5 Dynamická geometrie v rovině 3.1 Český výukový software z dílny RNDr. Petra Branta. Distributorem softwaru je stejně jako u Cabri firma Pachner. Za cenu 1690 Kč jej lze získat jako školní multilicenci. 7 Program je samozřejmě v češtině. Pro uţivatelskou podporu je na instalačním CD video průvodce. Nápověda programu je sice srozumitelná, ale poněkud stručná s minimem příkladů. Webová podpora k programu není. Program nelze spouštět on-line. Rychlost vykreslování je velmi dobrá. Nástroje jsou však oproti předchozím programům poněkud skromnější a neobsahuje makroinstrukce. Obsahuje nástroje pro body, přímky a kruţnice, měření délek a úhlů, kalkulačku. Nechybí také nástroje pro konstrukce jako kolmice, rovnoběţky, osy, středy úseček. Nástroje pro různá zobrazení chybí, je třeba tato zobrazení klasicky zkonstruovat. Je zde i moţnost vkládání textu. Lze také nastavit různé grafické atributy jako tloušťku a typ bodů, tloušťku a typ čar. Neumí nastavit barvu pozadí ani vybarvení objektů. Je moţné ukládat vytvořené projekty pouze ve formátu tohoto programu a ve formě animace, kterou lze však přehrát pouze v mateřském programu. Ostatní moţnosti exportu chybí. Zadávání funkcí neumí a záznam konstrukce nelze vygenerovat, lze jej vysledovat pouze při přehrávání konstrukce, coţ by se také dalo pouţít pro kontrolu správnosti postupu ţáků. Velmi jednoduchý program ve srovnání s ostatními, coţ můţe být i s cenou určitá výhoda pro učitele, kteří by dali přednost jednoduchosti před bohatostí výbavy. Kaţdopádně by v mnohém postačoval pro výuku geometrie na 2. stupni ZŠ. Video-průvodce je jistě přínosným bonusem tohoto programu. 3.6 Shrnutí porovnání a závěrečné zhodnocení Abych mohl tyto programy zhodnotit a seřadit dle vhodnosti pro pouţití na naší škole, pouţil jsem následující kritéria. Hodnotil jsem vlastnosti 7 PACHNER. ABC vzdělávání e-shop. [Online] 26. 3 2011. http://pachner.inshop.cz/inshop /. 15

jednotlivých programů dle jejich váhy pro mé rozhodnutí for mou udělovaných bodů (2-10 bodů). Zvaţoval jsem následující vlastnosti: cena, rychlost vykreslování, moţnosti exportu, on -line provoz, mnoţství nástrojů a uţivatelská přívětivost, tvorba maker (nových nástrojů), uţivatelská podpora softwaru (viz. Tabulka 1). Tabulka 1 porovnání progra mů dyna mické geometrie. Vlastnosti Váha Cabri GeoGebra Geonext C.a.R. D.G. v rovině % body váţené body váţené body váţené body váţené body váţené Cena 25 2 0,5 10 2,5 10 2,5 10 2,5 8 2 Rychlost 20 10 2 8 1,6 8 1,6 7 1,4 10 2 Export 15 7 1,05 9 1,35 8 1,2 9 1,35 2 0,3 On-line 5 0 0 8 0,4 8 0,4 6 0,3 0 0 Ovládání 20 10 2 9 1,8 8 1,6 6 1,2 8 1,6 Podpora 10 10 1 9 0,9 6 0,6 5 0,5 0 0 Makra 5 10 0,5 10 0,5 0 0 10 0,5 0 0 Celkem 100 49 7,05 63 9,05 48 7,9 53 7,75 28 5,9 Umístění 4. 1. 2. 3. 5. Ze srovnání vyplývá, ţe nejlepším produktem pro účely nasazení v naší škole dle zadaných kritérií je program GeoGebra. 3.7 Výhody GeoGebry Program GeoGebra jsem tedy vybral pro instalaci na naší škole a také pro aplikaci v této práci pro výuku geometrie na 2. stupni ZŠ. Tento program má mnoho předností a zde bych uvedl jen výčet těch nejdůleţitějších: je zdarma a díky tomu je vhodný i pro domácí přípravu ţáků a učitelů, má online i offline verzi, je i v českém jazyce, existuje poměrně velké mnoţství jiţ hotových prací na internetu, 16

má přehledné pracovní prostředí, má bohatou škálu nástrojů, umoţňuje krokování, zápis konstrukce, je v současné době velmi rozšířen ve výuce v USA, Francii a Německu, ale i v dalších státech, je v současnosti i nadále vyvíjen a podporován. 4 Aplikace GeoGebry ve výuce Aplikace programů do výuky geometrie můţe být velmi široká. Vzhledem k tomu, ţe budu příští školní rok pravděpodobně znova učit ţáky 9. a 8. tříd, jsem se rozhodl, ţe se budu věnovat didaktické aplikaci právě pro tyto ročníky. Je to záruka toho, ţe vytvořené materiály budou prakticky vyuţity a případně doplňovány a vylepšovány. V kaţdém zvoleném tématu bych rád vytvořil objekty vhodné pro demonst raci a ilustraci daného učiva, zadání různých úloh dle obtíţnosti a způsobu řešení a samozřejmě také hotové vyřešené úlohy. Demonstrační obrázky budou ve formátu tzv. java appletu, aby je bylo moţno jednoduše prohlíţet a manipulovat s nimi v jakémkoliv internetovém prohlíţeči s nainstalovaným doplňkem Java. 4.1 Výběr učiva z geometrie pro 9. ročník Současně v této kapitole uvádím i ročníkové výstupy, které lépe vystihují účel a cíl tvořených objektů a úloh pro výuku s programy dynamické geometrie. 4.1.1 Podobnost Učivo: Podobnost, poměr podobnosti, dělení úsečky v daném poměru, věty o podobnosti trojúhelníků. Ročníkové výstupy: Ţák určí podobné útvary. Ţák určí a pouţije poměr podobnosti. 17

Ţák rozdělí úsečku v daném poměru. Ţák zvětší nebo zmenší útvar v rovině v daném poměru. Ţák uţívá poměr podobnosti při práci s mapou a plány. Ţák vyuţívá podobnosti trojúhelníků v příkladech z praxe. 4.1.2 Tělesa Učivo: Jehlan, kuţel, koule. Ročníkové výstupy: Ţák odhadne a vypočítá povrch a objem těles jehlan, kuţel, koule. Ţák načrtne a sestrojí sítě základních těles. Ţák načrtne a sestrojí obraz jednoduchých těles v rovině. Ţák určuje a charakterizuje základní prostorové útvary (těles a), analyzuje jejich vlastnosti. Ţák odhaduje a vypočítá objem a povrch těles. Ţák analyzuje a řeší aplikační geometrické úlohy s vyuţitím osvojeného matematického aparátu. 4.2 Úlohy na podobnost 4.2.1 Určení a použití poměru podobnosti Následující dva pracovní listy slouţí k samostatné práci ţáků, kde objevují poměry při podobnosti trojúhelníků. Na obrázku níţe je pracovní list, na kterém si ověří pomocí výpočtu, ţe při jakékoliv změně trojúhelníků zůstávají poměry stran zachovány stejně jako jejich podobnost. Na tomto pracovním listě si ověří i podobnost podle vět sus a uu. 18

Obrázek 4 pracovní list "Podobnost trojúhelníků". Pracovní list Neznámá strana u podobných trojúhelníků slouţí k poznávání, jak lze u podobných útvarů vypočítat neznámý rozměr, známe -li poměr a rozměr na vzorovém útvaru. Obrázek 5 pracovní list "Nezná má strana u podobných trojúhelníků". 19

Pracovní list Podobný čtyřúhelník na příkladu obecného čtyřúhelníku demonstruje podobnost geometrických útvarů s tím, ţe úkolem ţáka je manipulací s objekty nastavit příslušný poměr podobnosti, porovnávat podobné objekty při překrytí a stanovit minimální počet shodných úhlů pro zjištění podobnosti čtyřúhelníků. Obrázek 6 pracovní list Podobný čtyřúhelník. 4.2.2 Dělení úsečky s využitím podobnosti trojúhelníků Dalším praktickým modelem je dynamický pracovní list vhodný pro demonstraci konstrukce dělení úsečky s vyuţitím podobnosti trojúhelníků. Je moţné konstrukci krokovat, spustit animaci a pohybovat. Výhodou těchto typů java appletů je, ţe poslouţí učiteli pro vysvětlení postupu, pravidel, souvislostí a současně mohou být pouţity samotnými ţáky pro objevování vztahů a postupů při konstrukci. Na pracovním listu Dělení úsečky je zadání příkladu podobného výše uvedenému s tím rozdílem, ţe jde o java applet bez konstrukce a ţák provede konstrukci samostatně nebo ve dvojici. Navíc má vyvodit při konstrukci odpovědi na doplňující otázky o této konstrukci. Pro případ nutné nápovědy 20

je přiloţen postup konstrukce v symbolické textové podobě, dle kterého se ţák můţe řídit, či jen do něj nahlíţet pro kontrolu postupu. Obrázek 7 pracovní list Dělení úsečky. 21

4.3 Planimetrie 4.3.1 Souvislost mezí Ludolfovým číslem a obvodem kruhu, vztah mezi radiány a stupni. Připravil jsem téma jako dokumentační java applet (obrázek 13) a připomenutí co je to π. Nastavením úhlu se zobrazí tento úhel na obrázku a současně se přepočítá na radiány. Změnou r si pouze ţák ověří, ţe na poloměru nezávisí počet radiánů úhlu. Je to příprava na učivo o povrchu a objemu těles a na goniometrické funkce. Obrázek 8 pracovní list Radiány a π. 22

4.4 Tělesa 4.4.1 Jehlan Následující obrázek je z java appletu francouzského profesora matematiky, Daniela Mentranda 8. Vypracoval více témat, která ve formátu html nabízejí univerzální pouţití. Jedinou chybičkou je francouzský jazyk, ale i to se dá překonat v dnešní době pomocí on-line překladačů. Tento java applet umoţňuje modelovat i víceboké jehlany s nastavením základních rozměrů. Zajímavá je také moţnost natáčení v prostoru, coţ podpoří prostorovou představivost ţáků. Obrázek 9 jehlan 8 MENTRAND, Daniel. 2011. Les Pyramides a bases Polygonales. LES MATHEMATIQUES AVEC GEOGEBRA. [Online] 2011. http://d mentrard.free.fr/geogebra/maths/espace/lespyramide.html 23

Následující konstrukce je zajímavá tím, ţe modeluje čtyřboký jehlan a na něj v návaznosti síť tohoto jehlanu. Síť jehlanu j e opatřena nastavitelnými okraji ke slepení pro případ, ţe dáme ţákům za úkol jehlan z papíru vyrobit. Opět jsou zde uvedeny úkoly, které ţák poté musí splnit. Obrázek 10 jehlan a jeho síť Na dalším obrázku je ilustrační příklad zadání konstrukce s výpočtem povrchu. Je na učiteli, zda ţákům dá k dispozici postup konstrukce či nikoli. V případě motivovaných ţáků slouţí postup konstrukce jen jako kontrola správnosti postupu jak pro ţáka, tak i pro učitele, kt erý si aktuální postup konstrukce vygeneruje přímo na ţákově ploše, nebo si konstrukci jen přehraje. To však učitel provádí jen tehdy, není -li z dynamické konstrukce při manipulaci s ní zřejmé, zda je konstrukce provedena správně. 24

Obrázek 11 síť a povrch trojbokého jehlanu 25

Následující příklad slouţí k samostatnému zkoumání vztahů u objemu a povrchu čtyřbokého jehlanu. Ţákům lze zadat v tomto případě různé úlohy na výpočet objemu či povrchu jehlanu, a pomocí java appletu si ţáci sami ověřují správnost řešení. Nebo ke konkrétnímu objemu či povrchu ţáci hledají optimální rozměry atd. Obrázek 12 objem a povrch jehlanu 26

4.4.2 Kužel Další java applet je z dílny Daniela Mentranda. 9 Pracovní list umoţňuje modelovat pomocí animace rotaci pravoúhlého trojúhelníku tak, ţe vzniká rotační kuţel. Vyuţívá zde nastavení stopy na přeponu a stojící odvěsnu, které pak svými stopami před očima ţáků vytvářejí obraz kuţelu. Je zde moţné nastavit i základní rozměry. Zajímavá je také moţnost přizpůsobení rychlosti otáčení a automatická animace. Obrázek 13 rotující, pravoúhlý trojúhelník (kužel) Následující obrázek je z java appletu, v němţ si ţáci vyzkouší, jak se mění s parametry kuţelu i jeho síť. Je to spíše demonstrační java applet, který můţe být doplněn úkolem na téma obsah a povrch kuţelu. 9 MENTRAND, Daniel. 2011. Cone de révolution. [Online] 20 11. http://d mentrard.free.fr/geogebra/maths/espace/cone.html. 27

Obrázek 14 kužel a jeho síť 28

4.4.3 Koule Třetí produkt z ruky Daniela Mentranda. 10 Java applet poskytuje animaci vyplnění vnitřního prostoru koule s následným vypsáním příslušného vzorce pro výpočet objemu koule. I kdyţ je tento java applet poněkud jednodušší, je dle mého názoru vhodný pro demonstraci zobrazení koule a jejího vnitřního prostoru. Obrázek 15 animace koule Poslední java applet, který zde představím, je z kategorie dynamických pracovních listů. Jedná se o vzorce a výpočty objemu a povrchu koule. Ţák má pro poznání látky splnit úkoly, které jsou uvedené pod vygenerovaným java appletem. Jedná se o úkoly nejprve na hledání ob jemů k daným různým poloměrům, poté k opačnému postupu. K hledání poloměru, kdyţ známe 10 MENTRAND, Daniel. 20 11. Volume d une Boule. LES MATHEMATIQUES AVEC GEOGEBRA. [Online] 2011. http://d mentrard.free.fr/geogebra/maths/espace/volboule.html 29