Kvantifikace operačního rizika v rámci Přistupu distribuce ztrát

Kvantifikace operačního rizika v rámci Přistupu distribuce ztrát Jiří Havlický 1 Abstrakt Článek je zaměřen na stanovení a zhodnocení citlivosti výše očekávané a neočekávané ztráty plynoucí z podstupovaného operačního rizika v závislosti na zvoleném typu rozdělení pravděpodobnosti výše ztráty individuální události. V rámci metody zvané přístup distribuce ztrát jsou postupně provedeny kalkulace očekávané a neočekávané ztráty pro logaritmickonormální, gama a kombinaci logaritmicko-normálního se zobecněným Paretovo rozdělením ztráty individuální události operačního rizika české finanční instituce. Získané výsledky poukazují na důležitost rozhodnutí v oblasti volby rozdělení pravděpodobnosti výše ztráty individuální události, jež je v současné době problematičtější z důvodů všeobecného nedostatku empiricky napozorovaných dat. Klíčová slova operační riziko, očekávaná ztráta, neočekávaná ztráta, přístup distribuce ztrát, teorie extrémních hodnot 1 Přístup distribuce ztrát (LDA) V rámci přístupu distribuce ztrát dochází k modelování ztráty plynoucí z podstupovaného operačního rizika pomocí agregace dvou stochastických procesů. Na jedné straně ovlivňuje výši celkové ztráty diskrétní náhodná veličina popisující četnost událostí operačního rizika a na druhé straně spojitá náhodná veličina představující výši ztráty jedné konkrétní události operačního rizika v případě, že nastane (viz. následující schéma) Schéma č. 1 Agregace stochastických procesů četnosti a výše ztrát událostí operačního rizika 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 Četnost 160 Model četností událostí operačního rizika 170 180 190 200 Třídy 210 220 230 Další Agregované rozdělení celkové ztráty operačního rizika Pravděpodobnost 4 35,00% 25,00% 15,00% 5,00% Rozdělení výše individuální ztráty operačního rizika 921 1 421 1 921 2 421 2 921 Výše ztráty 3 421 3 921 4 35,00% Pravděpodobnost 25,00% 15,00% Cílem je získat agregované 5,00% rozdělení pravděpodobnosti celkové výše ztráty plynoucí z podstupovaného operačního 921 rizika 1 421 za 1 921 2 určitý 421 2 921 časový 3 421 3 921 interval. Tvorba modelu k získání Výše ztráty takového rozdělení spočívá v následujících krocích, které zobrazuje níže uvedené schéma. 1 Ing. Jiří Havlický, Českomoravská stavební spořitelna, a.s., Vinohradská 169, 117 00 Praha 10, Email : jiri_havlicky@cmss.cz 82

Schéma č. 2 Proces tvorby modelu agregovaného rozdělení pravděpodobnosti celkové ztráty Tvorba databáze událostí operačního rizika Tvorba modelu četností událostí Tvorba modelu výše individuální ztráty Agregované rozdělení celkové ztráty Vybrané charakteristiky podstupovaného operačního rizika 1.1 Tvorba databáze událostí operačního rizika Tvorba databáze událostí operačního rizika spočívá ve sběru interních dat (popřípadě nákupu externích dat) popisujících realizovaná operační rizika v rámci finanční instituce. Jedná se o nastavení procesu sběru dat na všech úrovních organizace s cílem zachytit informace včas a v požadované struktuře. 1.2 Model četností událostí Diskrétní náhodná veličina popisující četnost událostí operačního rizika představuje počet událostí, které nastanou během zvoleného časového intervalu. Sestavení modelu četností událostí operačního rizika spočívá v nalezení takového rozdělení pravděpodobnosti diskrétní náhodné veličiny, které nejvíce odpovídá napozorovaným datům (viz. následující schéma). Schéma č. 3 Tvorba modelu popisujícího četnost událostí operačního rizika Volba rozdělení pravděpodobnosti Odhad parametrů rozdělení Test dobré shody Volba nejvhodnější alternativy Nejčastěji používaná rozdělení pro modelování četností operačního rizika jsou Poissonovo popřípadě binomické rozdělení. 1.2.1 Poissonovo rozdělení Diskrétní náhodná veličina X má Poissonovo rozdělení s parametrem λ < 0, pokud nabývá hodnot k N (přirozená čísla) s pravděpodobnostmi k λ λ pk = e k! 1.3 Model výše ztráty Model výše individuální ztráty události operačního rizika představuje druhou skupinu modelů, která slouží v kombinaci s modely četností událostí operačního rizika k získání agregovaného rozdělení celkové výše ztráty plynoucí z podstupovaného operačního rizika. 83

Cílem je determinovat takové rozdělení pravděpodobnosti, které nejlépe vystihuje empiricky napozorovaná data o ztrátách plynoucích z individuálních událostí operačního rizika (viz. následující schéma). Schéma č. 4 Tvorba modelu popisujícího výše ztráty z individuální události operačního rizika Volba rozdělení pravděpodobnosti Odhad parametrů rozdělení Test dobré shody Volba nejvhodnější alternativy Pro ztráty plynoucí z operačního rizika je typický velmi těžký konec rozdělení pravděpodobnosti. Mezi nejpoužívanější rozdělení pravděpodobnosti patří logaritmickonormální, gama, Weibullovo a zobecněné Paretovo rozdělení. 1.3.1 Logaritmicko-normální rozdělení Spojitá náhodná veličina X má logaritmicko-normální rozdělení za předpokladu, že 2 veličina ln x má normální rozdělení s parametry µ a σ. Funkce hustoty náhodné veličiny s logaritmicko-normálním rozdělením je dána vztahem ( ln x µ ) 1 2 2σ f ( x) = e pro x 0. 2πσx 1.3.2 Gama rozdělení Spojitá náhodná veličina X má Gama rozdělení s parametry a a b (a,b, > 0), pokud má hustotu pravděpodobnosti dánu vztahem ( x) = Γ( a) kde Γ( a) = 1 a bx a 1 f b e x pro x 0, 0 z a 1 e z dz se nazývá Gama funkce. Distribuční funkce Gama rozdělení je dána vztahem a x b bu a 1 F( x) = e u du pro x 0. Γ a ( ) 0 1.3.3 Zobecněné Paretovo rozdělení (GPD) Spojitá náhodná veličina X má zobecněné Paretovo rozdělení s parametry ξ a ω ω, ξ > 0, pokud je její funkce hustoty dána vztahem ( ) ( x) 1 1 1 x ω = 1 + ξ f pro x 0. ω ω Distribuční funkce spojité náhodné proměnné X s parametry ξ a ω (, ξ > 0) vztahem ω je pak dána 84

1 ξ x F ( x) = 1 1 + ξ pro x 0. ω 1.4 Agregované rozdělení celkové ztráty Rozdělení celkové ztráty plynoucí z podstupovaného operačního rizika získáme agregací rozdělení četností a výše individuální ztráty získaných dle kapitol 1.2 a 1.3. Zpravidla však nelze agregované rozdělení pravděpodobnosti analyticky vyjádřit. Je tedy potřeba přistoupit k simulačním technikám. Postup spočívá v generování velkého počtu scénářů diskrétní náhodné veličiny popisující četnost událostí operačního rizika a na ní navázané generování příslušného počtu realizací spojité náhodné veličiny popisující výši ztráty individuální události operačního rizika dle následujícího schématu. Schéma č. 5 Proces simulace agregovaného rozdělení celkové výše ztráty operačního rizika Generování náhodného čísla n z diskrétního rozdělení četností Generování n náhodných čísel ze spojitého rozdělení výše individuální ztráty Rozdělení pravděpodobnosti celkové výše ztráty Výsledkem je rozdělení pravděpodobnosti celkové ztráty plynoucí z podstupovaného operačního rizika. 1.5 Očekávaná a neočekávaná ztráta Přístup distribuce ztrát je založen na aplikaci metodologie Value-at-risk (VAR), která spočívá v nalezení potenciální ztráty na určité hladině pravděpodobnosti za určité období. VAR p = F 1( 1 p), 1 kde F představuje inverzní funkci k distribuční funkci rozdělení ztráty a p zvolenou hladinu významnosti. V případě LDA přístupu je funkce F reprezentována distribuční funkcí rozdělení celkové agregované ztráty. Cílem LDA přístupu měření operačního rizika je zejména výpočet očekávané (EL) a neočekávané ztráty (UL) plynoucí z podstupovaného operačního rizika. V případě očekávané ztráty se jedná o střední hodnotu celkové agregované ztráty. Neočekávaná ztráta je dána následujícím vzorcem: UL = VAR EL. p 1.6 Teorie extrémních hodnot (Extreme Value Theory - EVT) Klasická rozdělení pravděpodobnosti používaná při modelování výše ztráty (logaritmickonormální, gama) zpravidla dostatečně nevystihují těžké konce empiricky napozorovaných dat událostí operačního rizika. Při identifikaci vysokých kvantilů za účelem výpočtu neočekávané ztráty může teorie extrémních hodnot (EVT) zastávat velmi významnou roli. V zásadě existují dva způsoby identifikace extrémů v reálných datech Block Maxima a Peak over Threshold. 1.6.1 Peak over Threshold (POT) POT přistupuje k identifikaci extrémních událostí pomocí stanovení prahové hodnoty u, jejíž překonání značí výskyt extrémní hodnoty. Předpokládejme existenci (neznámé) 85

distribuční funkci F náhodné veličiny X. Cíl spočívá v nalezení distribuční funkce F u hodnot x, které překonají stanovenou hranici u. Distribuční funkce F u se nazývá podmíněná exces distribuční funkce (cedf) a je formálně definována jako F u ( y) = P( X u y X > u), 0 y X F u, kde X značí náhodnou veličinu v podobě velikosti ztráty, u představuje stanovenou prahovou hodnotu velikosti ztráty, y = x u je exces a x vyjadřuje pravý konec F. Teorém 2. (Pickands, 1975), (Balkema a de Haan, 1974). Pro velkou skupinu distribučních funkcí F je podmíněná exces distribuční funkce F u ( y) pro vysoké u dobře aproximovatelná pomocí F u ( y) G ξ, ϖ ( y), pro u, kde 1 ξ ξ 1 1 + = ξ 0 Gξ, ϖ ω, pokud ξ = 0 y ω 1 e pro y ( x u) 0 F za předpokladu, že ξ 0 a pro 0 y ω ξ za předpokladu ξ 0, kde G představuje zobecněné Paretovo rozdělení. ξ, ϖ 2 Aplikace přístupu distribuce ztrát F Cílem aplikační části je stanovit citlivost výše očekávané a neočekávané ztráty plynoucí z podstupovaného operačního rizika v horizontu jednoho roku v závislosti na zvoleném typu rozdělení pravděpodobnosti individuální ztráty události operačního rizika. 2.1 Vstupní data - databáze událostí operačního rizika Vstupní data tvoří databáze ztrát z událostí operačního rizika české bankovní instituce za období let 2004-2005. Při tvorbě vstupní databáze nebyl stanoven spodní práh výše škody. Základní charakteristiky vstupních dat zobrazuje následující tabulka: Statistiky událostí operačního rizika 2004 2005 Celková výše ztráty z událostí operačního rizika 1 895 425 4 105 083 Počet případů 178 210 Průměrná výše ztráty 10 648 19 548 Maximální výše ztráty 821 035 1 125 530 Směrodatná odchylka výše ztráty 63 533 109 235 Tabulka č. 1 Základní charakteristiky vstupních dat událostí operačního rizika 2.2 Tvorba modelu četností událostí operačního rizika 2.2.1 Volba typu rozdělení pravděpodobnosti Pro tvorbu modelu četností událostí operačního rizika bylo použito Poissonovo rozdělení. 86

2.2.2 Odhad parametrů rozdělení pravděpodobnosti Poissonovo rozdělení je charakterizováno parametrem λ, který lze odhadnout pomocí metody maximální věrohodnosti. Hodnota parametru λ je na základě analyzované databáze události operačního rizika rovna hodnotě 194. Dále se předpokládá, že rozdělení počtu událostí bylo stejné pro všechny analyzované roky a zůstane nadále shodné i v budoucnosti, a dále že počty událostí jsou na sobě v jednotlivých letech nezávislé. 2.2.3 Provedení testů dobré shody Provedení testu dobré shody rozdělení pravděpodobnosti modelu četností událostí operačního rizika s napozorovanými daty nemá praktický smysl vzhledem ke krátké historii databáze události operačního rizika (2 roky) aplikovat. 2.3 Tvorba modelu výše ztráty událostí operačního rizika Cílem tvorby modelu výše ztráty událostí operačního rizika je determinovat takové rozdělení pravděpodobnosti, které nejlépe vystihuje empiricky napozorovaná data ohledně ztrát plynoucích z individuálních událostí operačního rizika. 2.3.1 Volba typu rozdělení pravděpodobnosti Model výše individuální ztráty událostí operačního rizika bude odvozen pro následující zvolené typy rozdělení pravděpodobnosti : a) Logaritmicko-normální rozdělení pravděpodobnosti b) Gama rozdělení pravděpodobnosti c) Kombinace logaritmicko-normálního rozdělení pro malé ztráty a zobecněného Paretova rozdělení pravděpodobnosti pro velké ztráty Kombinace log-normálního rozdělení pro malé ztráty a zobecněného Paretova rozdělení pravděpodobnosti pro velké ztráty vyžaduje stanovení prahové hodnoty výše ztráty u. Prahová hodnota byla stanovena ad-hoc ve výši 100 000 Kč, což odpovídá 97. percentilu empiricky napozorovaných hodnot. 2.3.2 Odhad parametrů jednotlivých rozdělení pravděpodobnosti Odhad parametrů pomocí metody maximální věrohodnosti zvolených typů rozdělení pravděpodobnosti v předchozí kapitole zobrazuje následující tabulka : Parametry rozdělení µ σ a b ξ ω Logaritmicko normální rozdělení 7,59 1,70 - - - - Gama rozdělení - - 0,03 538 602 - - Kombinaace log-normálního a zobecněného Paretova rozdělení 7,44 1,48 - - 0,71 46 145 Tabulka č.2 Odhady parametrů vybraných typů rozdělení pravděpodobností Dále se předpokládá, že velikosti ztrát z událostí operačního rizika jsou na sobě nezávislé v rámci jednotlivých let i mezi roky a rozdělení velikosti ztráty z jedné události operačního rizika je stejné pro všechny roky. 2.3.3 Provedení testů dobré shody Následující grafy zobrazují výsledky aplikovaných grafických testů dobré shody pro logaritmicko-normální, gama a kombinaci logaritmicko-normálního se zobecněným Paretovo rozdělením: Graf č. 1 Grafické testy dobré shody 87

Z grafů je zřejmé, že empiricky napozorovaná data lépe odpovídají gama rozdělení pravděpodobnosti oproti logaritmicko normálnímu. Oddělením velkých hodnot z empiricky napozorovaných dat pomocí zvoleného prahu u bylo dosaženo větší shody napozorovaných dat s log-normálním rozdělením. 2.4 Agregované rozdělení celkové ztráty událostí operačního rizika Rozdělení celkové ztráty plynoucí z podstupovaného operačního rizika bylo získáno agregací modelů četností a výše individuální ztráty získaných v předchozích kapitolách 2.2 a 2.3 dle kapitoly 1.4 s cílem stanovit výši očekávané a neočekávané ztráty dle kapitoly 1.5 v závislosti na zvoleném typu rozdělení pravděpodobnosti výše individuální ztráty. Agregace modelů byla provedena pomocí simulační metody dle schématu č.5 (viz. kapitola 1.4), kdy bylo simulováno 250 pokusů diskrétní náhodné veličiny modelu četností událostí operačního rizika dle kapitoly 2.2 (Poissonovo rozdělení) a k tomu příslušných 48 406 pokusů spojité náhodné veličiny pro každý model výše individuální ztráty dle kapitoly 2.3 (logaritmicko-normální, gama a kombinace logaritmicko-normálního se zobecněným Paretovo rozdělením). Získaná rozdělení celkové ztráty zobrazují následující grafy: Graf č. 2 Rozdělení pravděpodobnosti výše celkové ztráty událostí operačního rizika pro logaritmicko-normální a gama rozdělení Logaritmicko-normální rozdělení Gama rozdělení 4 35,00% 35,00% pravděpodobnost 25,00% 15,00% pravděpodobnost 25,00% 15,00% 5,00% 5,00% 900 000 1 400 000 1 900 000 2 400 000 2 900 000 3 400 000 3 900 000 Graf č. 3 Rozdělení pravděpodobnosti výše celkové ztráty událostí operačního Výše rizika ztráty pro kombinaci Výše ztráty logaritmicko-normálního se zobecněným Paretovo rozdělením (aplikace EVT) 9 8 Kombinace logaritmicko-normálního se zobecněným Paretovo rozdělením 7 6 5 4 88 300 000 1 300 000 2 300 000 3 300 000 4 300 000 5 300 000 6 300 000 7 300 000 8 300 000 9 300 000 pravděpodobnost

Vybrané charakteristiky získaných rozdělení celkové ztráty uvádí následující tabulka : Statistika [v Kč] Logaritmicko-normální Gama Logaritmicko-normální + GPD Výše očekávané roční ztráty 1 474 215 2 643 341 10 286 496 Výše neočekávané roční ztráty (p = 0,01) 1 429 574 3 857 565 60 138 698 Výše neočekávané roční ztráty (p = 0,001) 1 795 801 4 333 557 69 853 134 Tabulka č 3 Vybrané statistiky rozdělení pravděpodobnosti celkové ztráty 2.5 Shrnutí výsledků Porovnání získaných hodnot očekávané a neočekávané celkové roční výše ztráty plynoucí z podstupovaného operačního rizika v závislosti na zvoleném typu rozdělení pravděpodobnosti výše individuální ztráty zobrazuje následující graf. Graf č. 4 Porovnání výše očekávané a neočekávané ztráty v závislosti na zvoleném typu rozdělení [mil. Kč] 80 70 60 50 40 30 Porovnání výše očekávané a neočekávané ztráty v závislosti na zvoleném typu rozdělení pravděpodbnosti Logaritmicko-normální Gama Log-normální + GPD 20 10 Simulovaná výše roční ztráty pomocí gama rozdělení vykazuje těžší konec ve srovnání s logaritmicko-normálním rozdělením. Kombinace log-normálního rozdělení pro malé ztráty a zobecněného Paretova rozdělení pravděpodobnosti pro velké ztráty vykazuje významně těžší konec ve srovnání s log-normálním i gama rozdělením. Ze získaných výsledků je zřejmé, že výše očekávané a neočekávané celkové ztráty z operačního rizika se v závislosti na zvoleném typu rozdělení pravděpodobnosti výše individuální ztráty významně liší. Volba rozdělení pravděpodobnosti výše individuální události představuje významné rozhodnutí pro finanční instituci při modelováni ztrát operačního rizika. Literatura 0 Výše očekávané roční ztráty Výše neočekávané roční ztráty (p = 0,01) Výše neočekávané roční ztráty (p = 0,001) [1] BASEL COMMITTEE ON BAKING SUPERVISION, International Convergence of Capital Measurement and Capital Standards A revised framework, 2005, odstupné 89

na www.bis.org [2] CRUZ, M. G., Modeling, Measuring and Hedging Operational Risk, John Wiley & Sons Ltd., 2002 ISBN 0-471-51560-4 [3] DOWD, K. Beyond Value at Risk: The new Science of Risk Management. John Wiley and Sons, 1998 ISBN 0-471-97621-0 [4] FAISST, A., KOVACS, M., Methoden zur Quantifizierung operationeller Risiken, Die Bank, 2002 [5] GIESECKE, K., SCHMIDT, T., WEBER, S., Measuring the Risk of Extreme Events, 2005. Dostupné na http://www.stanford.edu/dept/msande/people/faculty/giesecke/kts.pdf [6] HEINTZE, M. Mastering and managing operational risks in banking and financial institutions & Basel II new accord for Operational Risk, 2003, Dostupné na http://www.hec.unil.ch/cms_inforge/m2003iloewenton.pdf [7] HUŠEK, R. a LAUBER, J. Simulační modely. STNL Nakladatelství technické literatury Praha, 1987 ISBN 04-326-87 [8] CHAPELLE, A., CRAMA, Z., HÜBNER, G, PETERS, J., Basel II and Operational Risk: Implications for risk measurement and management in the financial sector working Paper, 2004. [9] JORION, P. Financial Risk Management Handbook 2001-2002. Wiley Finance, 2002 ISBN 0-471-97621-0 [10] McNEIL, J., Extreme Value Theory for Risk Managers, 1999. Dostupné na http://www.math.ethz.ch/~mcneil/ftp/cad.pdf [11] ZMEŠKAL, Z., HANČLOVÁ J., TICHÝ, T. Finanční modely, VŠB Technická univerzita Ostrava, Ekonomická fakulta, Ostrava 2002, ISBN 80-248-0182-5 Summary The scope of this paper is to determine the sensitivity of expected and unexpected operational risk loss depending on the choice of the severity distribution of an individual operational risk event. Brief explanation of a model generation within the so called methodology - Loss distributional approach is described, which is afterwards applied in the application part of this paper where calculations of expected and unexpected losses are done - first for the lognormal, second for gamma and third for combination of lognormal and generalized Pareto distribution for individual operational loss event. The results of the application part of this paper show that the decision about the choice of probability distribution of individual operational loss represents important factor, which has substantial impact on the calculated expected and unexpected operational risk loss. 90