Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz
|
|
- Žaneta Bílková
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz
2 Úvod do teorie pravděpodobnosti Náhoda a pravděpodobnost, náhodný jev, náhodná veličina rozdělení pravděpodobnosti a jeho souvislost s histogramem pravidla pro počítání s pravděpodobností podmíněná pravděpodobnost závislost náhodných veličin využití závislosti při stanovení pravděpodobnosti - věta o úplné pravděpodobnosti a Bayesova věta
3 Úvod do teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus = činnost, která může skončit různým výsledkem a my dopředu nevíme kterým Náhodný jev = výsledek náhodného pokusu, o kterém dopředu nevíme, zda nastane či ne Pravděpodobnostní prostor (, F,P) (Kolmogorov, 1933) Ω - množina elemetárních náhodných jevů F - jevové pole (σ-algebra náhodných jevů) (a) (b) pokud (c) pokud Ø, 2 F 2 F, potom platí C 2 F 1, 2, 2 F, potom platí P - pravděpodobnostní míra na F S 1 i=1 i 2 F
4 Úvod do teorie pravděpodobnosti Definice pravděpodobnosti 1. Klasická definice pravděpodobnosti: P () = µ() µ() =počet elementárních jevů v jevu µ() = míra jevu µ() 2. xiomatická definice pravděpodobnosti (a) 8 2 F : P () 2h0, 1i (b) P (Ø) = 0, P() =1 (c) jsou-li 1, 2, 2 F, po dvou disjunktní, potom P ( S 1 i=1 i)= P 1 i=1 P ( i) 3. Statistická definice pravděpodobnosti: lim j!1 n j n j
5 Úvod do teorie pravděpodobnosti Pravidla pro počítání s pravděpodobností 1) 2) 3) P () 2h0, 1i P (Ø) = 0, P() =1 P ( S 1 i=1 i)= P 1 i=1 P ( i) C B 4) 5) P ( [ B) =P ()+P (B) P ( \ B) P ( B) =P () P ( \ B) 6) P ( C )=1 P ( \ B) =? P ()
6 Podmíněná pravděpodobnost P ( \ B) =P ().P (B ) P (B ) = P ( \ B) P () B Příklad: Je známo, že v dlouhodobém průměru je mezi 1000 dodaných komponent 2,34% vadných výrobků výrobce, 1,08% vadných výrobků výrobce B, 65,97% bezvadných výrobků výrobce a zbytek (30,6%) jsou bezvadné výrobky od výrobce B. Lze považovat jev, že výrobek je vadný, za stochasticky závislý na výrobci?
7 Podmíněná pravděpodobnost P ( \ B) =P ().P (B ) P (B ) = P ( \ B) P () B Příklad: Jevy a V jsou stochasticky nezávislé právě když P (V ) =P (V ) P ( V )=P () P ( \ V )=P ().P (V ) B vada (V) 2,34 1,08 bez vady 65,98 30,6 celkem 3,42 96,58 celkem 68,32 31,68 100
8 30,60 = 96,58. 31,68 o.k. Podmíněná pravděpodobnost P ( \ B) =P ().P (B ) P (B ) = P ( \ B) P () B Příklad: Jev, že výrobek je vadný, lze považovat za stochasticky nezávislý na výrobci. 2,34 = 3,42. 68,32 B celkem 1,08 = 3,42. 31,68 65,98 = 96,58. 68,32 vada (V) 2,34 1,08 bez vady 65,98 30,6 3,42 96,58 celkem 68,32 31,68 100
9 Podmíněná pravděpodobnost P ( \ B) =P ().P (B ) P (B ) = P ( \ B) P () B Příklad: Z šetření obchodního řetězce vyplývá, že 34% zákazníků nakupuje pivo Pardál a současně dámské kalhotky. 28% zákazníků nakupuje dámské kalhotky, ale nenakupuje pivo Pardál, 19% nakupuje Pardála a nekupuje dámské kalhotky. Ostatních 19% nekupuje ani jednu z komodit. Lze považovat nákup piva Pardál stochasticky nezávislý na nákupu dámských kalhotek?
10 Podmíněná pravděpodobnost P ( \ B) =P ().P (B ) P (B ) = P ( \ B) P () B Příklad: 0,62. 0,53 = 0,3286 P(K) = 0,62 P P C celkem P(K P) = 0,42/0,62 K 0,42 0,2 0,62 = 0,677 > P(K) Nákup dámských kalhotek je stochasticky závislý na nákupu piva Pardál K C 0,19 0,19 0,38 celkem 0,53 0,47 1
11 Věta o úplné pravděpodobnosti je náhodný jev, {H 1,H 2,H 3,H 4 } je úplné pokrytí H i \ H j =Ø, H 1 [ H 2 [ H 3 [ H 4 = P () =P ( H 1 ).P (H 1 ) +P ( H 2 ).P (H 2 ) +P ( H 3 ).P (H 3 ) +P ( H 4 ).P (H 4 ) H 1 H 2 H 3 H 4 Příklad: Na trhu jsou výrobky od čtyř výrobců v pořadí, B, C a D v poměru 1:2:4:5. Zmetkovitost je u těchto výrobců po řadě 0,5%, 0,8%, 0,3% a 0,3%. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný výrobek na trhu bude vadný? bude-li vadný, jaká je pravděpodobnost, že byl vyroben výrobcem?
12 Věta o úplné pravděpodobnosti je náhodný jev, {H 1,H 2,H 3,H 4 } je úplné pokrytí H i \ H j =Ø, H 1 [ H 2 [ H 3 [ H 4 = P () =P ( H 1 ).P (H 1 ) +P ( H 2 ).P (H 2 ) +P ( H 3 ).P (H 3 ) +P ( H 4 ).P (H 4 ) H 1 H 2 H 3 H 4 Příklad: P (H1) = 1/12, P ( H1) = 0,005 P (H2) = 2/12, P ( H2) = 0,008 P (H3) = 4/12, P ( H3) = 0,003 P (H4) = 5/12, P ( H4) = 0,003 P () = ( )/12000 = 0,004
13 Bayesova věta je náhodný jev, {H 1,H 2,H 3,H 4 } je úplné pokrytí H i \ H j =Ø, H 1 [ H 2 [ H 3 [ H 4 = P (H 1 ) = H 1 H 2 H 3 H 4 P ( H 1 ).P (H 1 ) P ()
14 Bayesova věta je náhodný jev, {H 1,H 2,H 3,H 4 } je úplné pokrytí H i \ H j =Ø, H 1 [ H 2 [ H 3 [ H 4 = P (H 1 ) = P ( H 1 ).P (H 1 ) P 4 i=1 P ( H i).p (H i ) H 1 H 2 H 3 H 4 Příklad: P (H1) = 0,08333, P ( H1) = 0,005 P (H2) = 0,16667, P ( H2) = 0,008 P (H3) = 0,33333, P ( H3) = 0,003 P (H4) = 0,41667, P ( H4) = 0,003 P (H1 ) = 0,005.0,08333/0,004 = 0,10417
15 Bayesova věta Příklad: Tělo kompresoru musí být 100% hermeticky uzavřeno. V průměru jeden ze sta kompresorů trochu netěsní a je třeba jej rozložit a znovu složit. Zkouška těsnosti odhalí vadný výrobek s pravděpodobností 0,8. Naproti tomu, s pravděpodobností 0,05 označí jako vadný bezvadný výrobek. Jaká je pravděpodobnost vady u výrobku, který zkouška označila jako vadný? kompreso 0,01 V 0,80 0, ,008 0,002 0,008 P (V +) = 0,008+0,0495 0,99 B 0,05 + 0,0495 0,95-0,9405
16 Bayesova věta Příklad: Tělo kompresoru musí být 100% hermeticky uzavřeno. V průměru jeden ze sta kompresorů trochu netěsní a je třeba jej rozložit a znovu složit. Zkouška těsnosti odhalí vadný výrobek s pravděpodobností 0,8. Naproti tomu, s pravděpodobností 0,05 označí jako vadný bezvadný výrobek. Jaká je pravděpodobnost vady u výrobku, který zkouška označila jako vadný? kompreso 0,01 0,99 V B 0,80 0,20 0, ,008 0,002 0,0495 0,008 P (V +) = 0,008+0,0495 = 0,1391 0,95-0,9405
17 Bayesova věta Příklad: Tělo kompresoru musí být 100% hermeticky uzavřeno. V průměru jeden ze sta kompresorů trochu netěsní a je třeba jej rozložit a znovu složit. Zkouška těsnosti odhalí vadný výrobek s pravděpodobností 0,8. Naproti tomu, s pravděpodobností 0,05 označí jako vadný bezvadný výrobek. Jaká je pravděpodobnost vady u výrobku, který zkouška označila jako vadný? kompreso 0,139 0,861 V B 0,80 0,20 0, ,0111 0,0028 0,0042 0,0111 P2(V +) = 0,0111+0,0042 = 0,7255 Při opakovaném testu 0,95-0,8179
18 Náhodná veličina Náhodná veličina je funkce X :! R Přesněji: měřitelná funkce X :(, F)! (R, B) 8x 2 R : {! 2 : X(!) apple x} 2 F P ({! 2 : X(!) apple x}) =F (x), x 2 R Distribuční funkce náhodné veličiny: F (x) =P (X apple x), x 2 R Distribuční funkce odpovídá na otázku: S jakou pravděpodobností náhodná veličina nepřekročí hodnotu x?
19 Náhodná veličina Náhodná veličina je funkce z do a) spočetné podnmožiny S R b) souvislé podnmožiny Q R diskrétní náhodná veličina spojitá náhodná veličina Diskrétní náhodná veličina: obor hodnot = {x1, x2,, xn, } pravděpodobnostní funkce: P(xi) = pi, i=1, 2, vždycky musí platit, že p i 2h0, 1i, 1X i=1 potom je F (x) =P (X apple x) = X i=:x i applex p i =1 p i, x 2 R
20 Náhodná veličina Spojitá náhodná veličina: obor hodnot = (a,b) či a, ) nebo celé R nutně platí: P(x) = 0, 8x 2 (a, b) zavádíme nezápornou, zpravidla spojitou funkci f(x) tak, Z že platí: x F (x) = vždycky musí platit, že 1 f(t)dt, Z x 2 R f(t)dt =1 hustota pravděpodobnosti
21 Charakteristiky náhodné veličiny Kvantily: Často se ptáme: Jakou hodnotu sledovaná náhodná veličina nepřekročí s danou pravděpodobností? tedy pro zadané 2 (0, 1) hledáme x 2 R tak, že F (x ) apple α - kvantil je-li F(x) spojitá a prostá, potom je x = F 1 ( ) v případě diskrétní (po částech konstantní) F(x) je to taková maximální hodnota veličiny X, pro niž platí P (X apple x ) a zároveň P (X <x ) apple. Patří sem: minimum, medián, maximum, dolní a horní decily, horní a dolní kvartily,.
22 Charakteristiky náhodné veličiny Momenty: střední hodnota E(X) = E(X) = 1X i=1 Z 1 1 Vlastnosti střední hodnoty: - aditivita: - homogenita: x i p i diskrétní náhodné veličiny xf(x)dx spojité náhodné veličiny E(X + Y )=E(X)+E(Y ) E(kX) =ke(x), k 2 R linearita Střední hodnota tvoří jakési těžiště náhodné veličiny.
23 Charakteristiky náhodné veličiny Momenty: k-tý obecný moment náhodné veličiny m k = E(X k ) k-tý centrální moment náhodné veličiny k = E(X EX) k rozptyl (míra variability) šikmost (míra symetrie) špičatost (míra koncentrace) Var(X) =E(X EX) 2 Skew(X) = E(X EX)3 (Var(X)) 3/2 Kurt(X) = E(X EX)4 (Var(X)) 2
24 Charakteristiky náhodné veličiny Další charakteristiky modus, rozpětí, typ rozdělení,
Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.
Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 2010 1.týden (20.09.-24.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza
Více1. Pravděpodobnost a statistika (MP leden 2010)
1. Pravděpodobnost a statistika (MP leden 2010) Pravděpodobnost pojmy 1. Diskrétní pravděpodobnostní prostor(definice, vlastnosti, příklad). Diskrétní pravděpodobnostní prostor je trojice(ω, A, P), kde
VícePravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.
Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 2010 1.týden (20.09.-24.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza
VícePravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz
Pravděodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@niax.cz Pravděodobnost a matematická statistika 2010 1.týden (20.09.-24.09. ) Data, tyy dat, variabilita, frekvenční analýza
Vícez možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet
6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p
VícePravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.
Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 2010 1.týden (20.09.-24.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza
VíceDrsná matematika IV 7. přednáška Jak na statistiku?
Drsná matematika IV 7. přednáška Jak na statistiku? Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 2. 4. 2012 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Co je statistika? 3 Popisná statistika Míry polohy statistických
Více2. Je dáno jevové pole (Ω;A) a na něm nezáporná normovaná funkce. Definujte distrubuční funkci náhodného vektoru.
Varianta I 1. Definujte pravděpodobnostní funkci. 2. Je dáno jevové pole (Ω;A) a na něm nezáporná normovaná funkce. Definujte distrubuční funkci náhodného vektoru. 3. Definujte Fisher-Snedecorovo rozdělení.
VíceStatistika. Program R. popisná (deskriptivní) statistika popis konkrétních dat. induktivní (konfirmatorní) statistika. popisná statistika
Statistika Cvičení z matematické statistiky na PřF Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy léto 2012 Základní dělení popisná (deskriptivní)
VícePravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.
Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 2010 1.týden (20.09.-24.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza
VíceTématické celky { kontrolní otázky.
Tématické celky kontrolní otázky. Základy teorie pravdìpodobnosti..pravdìpodobnostní míra základní pojmy... Vysvìtlete pojem náhody, náhodného pokusu, náhodného jevu a jeho mno- ¾inovou interpretaci. Popi¹te
VícePRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA I
PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA I RNDr. Tomáš Mrkvička, Ph.D. 16. března 2009 Literatura [1] J. Anděl: Statistické metody, Matfyzpress, Praha 1998 [2] V. Dupač, M. Hušková: Pravděpodobnost a matematická
VícePravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.
Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 2010 1.týden (20.09.-24.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza
VícePravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.
Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipa.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 2010 1.týden 20.09.-24.09. Data, tp dat, variabilita, frekvenční analýza histogram,
Vícea způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D.
Podmíněná pravděpodobnost, náhodná veličina a způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D. Podmíněná pravděpodobnost Pokud je jev A vázán na uskutečnění jevu B, pak tento jev nazýváme jevem podmíněným
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 2. KAPITOLA PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST 3. KAPITOLA NÁHODNÁ VELIČINA 9.11.2017 Opakování Uveďte příklad aplikace geometrické definice pravděpodobnosti
VíceJiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou
Více1. Alternativní rozdělení A(p) (Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy. p(0) = P (X = 0) = 1 p, p(1) = P (X = 1) = p, 0 < p < 1.
2. Některá důležitá rozdělení Diskrétní rozdělení. Alternativní rozdělení Ap) Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy náhodná veličina X nabývá pouze dvou hodnot a a pro její pravděpodobnostní funkci platí:
VícePraktická statistika. Petr Ponížil Eva Kutálková
Praktická statistika Petr Ponížil Eva Kutálková Zápis výsledků měření Předpokládejme, že známe hodnotu napětí U = 238,9 V i její chybu 3,3 V. Hodnotu veličiny zapíšeme na tolik míst, aby až poslední bylo
Více1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.
Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která
VícePravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík
Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2017/2018 Tutoriál č. 2:, náhodný vektor Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz náhodná veličina rozdělení pravděpodobnosti náhodné
VíceDiskrétní rozdělení Náhodná veličina má diskrétní rozdělení pravděpodobnosti, jestliže existuje seznam hodnot
Rozdělení Náhodná veličina Náhodná veličina je vyjádření výsledku náhodného pokusu číselnou hodnotou. Jde o reálnou funkci definovanou na množině. Rozdělení náhodné veličiny udává jakých hodnot a s jakou
VíceNěkteré zákony rozdělení pravděpodobnosti. 1. Binomické rozdělení
Přednáška 5/1 Některé zákony rozdělení pravděpodobnosti 1. Binomické rozdělení Předpoklady: (a) pst výskytu jevu A v jediném pokuse P (A) = π, (b) je uskutečněno n pokusů, (c) pokusy jsou nezávislé, tj.
VíceNáhodná proměnná. Náhodná proměnná může mít rozdělení diskrétní (x 1. , x 2. ; x 2. spojité (<x 1
Náhodná proměnná Náhodná proměnná může mít rozdělení diskrétní (x 1, x 2,,x n ) spojité () Poznámky: 1. Fyzikální veličiny jsou zpravidla spojité, ale změřené hodnoty jsou diskrétní. 2. Pokud
VícePřehled pravděpodobnostních rozdělení
NSTP097Statistika Zima009 Přehled pravděpodobnostních rozdělení Diskrétní rozdělení. Alternativní(Bernoulliovo, nula-jedničkové) rozdělení X Alt(p) p (0, ) X {0,} Hustota: P[X= j]=p j ( p) j, j {0,} Středníhodnota:
Více6. T e s t o v á n í h y p o t é z
6. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot z realizace náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Používáme k tomu vhodně
VícePrognóza poruchovosti vodovodních řadů pomocí aplikace Poissonova rozdělení náhodné veličiny
Prognóza poruchovosti vodovodních řadů pomocí aplikace Poissonova rozdělení náhodné veličiny Ing. Jana Šenkapoulová VODÁRENSKÁ AKCIOVÁ SPOLEČNOST, a.s. Brno, Soběšická 156, 638 1 Brno ÚVOD Každé rekonstrukci
VíceBiostatistika a matematické metody epidemiologie- stručné studijní texty
Biostatistika a matematické metody epidemiologie- stručné studijní texty Bohumír Procházka, SZÚ Praha 1 Co můžeme sledovat Pro charakteristiku nebo vlastnost, kterou chceme sledovat zvolíme termín jev.
VíceJAK MODELOVAT VÝSLEDKY NÁH. POKUSŮ? Martina Litschmannová
JAK MODELOVAT VÝSLEDKY NÁH. POKUSŮ? Martina Litschmannová Opakování Základní pojmy z teorie pravděpodobnosti Co je to náhodný pokus? Děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž
VícePravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz
Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická
VíceUrčete zákon rozložení náhodné veličiny, která značí součet ok při hodu a) jednou kostkou, b) dvěma kostkami, c) třemi kostkami.
3.1. 3.2. Třikrát vystřelíme na cíl. Pravděpodobnost zásahu při každém výstřelu je p = 0,7. Určete: a) pravděpodobnostní funkci počtu zásahů při třech nezávislých výsledcích, b) distribuční funkci a její
VíceRozptyl. Pozn.: rozptyl je nezávislý na posunu hustoty pravděpodobnosti na ose x, protože Var(X) mi určuje jen šířku rozdělení.
Rozptyl Základní vlastnosti disperze Var(konst) = 0 Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) (nezávislé proměnné) Lineární změna jednotek Y = rx + s, například z C na F. Jak vypočítám střední hodnotu a rozptyl? Pozn.:
VíceNáhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti
3.2 Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti Bůh hraje se světem hru v kostky. Jsou to ale falešné kostky. Naším hlavním úkolem je zjistit, podle jakých pravidel byly označeny, a pak toho využít pro
Víceveličin, deskriptivní statistika Ing. Michael Rost, Ph.D.
Vybraná rozdělení spojitých náhodných veličin, deskriptivní statistika Ing. Michael Rost, Ph.D. Třídění Základním zpracováním dat je jejich třídění. Jde o uspořádání získaných dat, kde volba třídícího
VíceČíselné charakteristiky
. Číselné charakteristiky statistických dat Průměrný statistik se během svého života ožení s 1,75 ženami, které se ho snaží vytáhnout večer do společnosti,5 x týdně, ale pouze s 50% úspěchem. W. F. Miksch
VíceCharakterizace rozdělení
Charakterizace rozdělení Momenty f(x) f(x) f(x) μ >μ 1 σ 1 σ >σ 1 g 1 g σ μ 1 μ x μ x x N K MK = x f( x) dx 1 M K = x N CK = ( x M ) f( x) dx ( xi M 1 C = 1 K 1) N i= 1 K i K N i= 1 K μ = E ( X ) = xf
VíceStřední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.
Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která
VíceCvičení ze statistiky - 4. Filip Děchtěrenko
Cvičení ze statistiky - 4 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Dokončili jsme deskriptivní statistiku Tyhle termíny by měly být známé: Korelace Regrese Garbage in, Garbage out Vícenásobná regrese Pravděpodobnost
VíceStatistické metody v ekonomii
Statistické metody v ekonomii vyučující: Mgr. David Zapletal, Ph.D. Výuka probíhá v počítačové učebně Univerzity Pardubice min počet účastníků pro otevření kurzu - 16 osob Testování hypotéz - běžné parametrické
VícePravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.
Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 010 1.týden (0.09.-4.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza
VícePravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika Diskrétní rozdělení Vilém Vychodil KMI/PRAS, Přednáška 6 Vytvořeno v rámci projektu 2963/2011 FRVŠ V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 6) Diskrétní rozdělení Pravděpodobnost a
VíceMATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST
MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST 1. Úvod. Matematická statistika (statistics) se zabývá vyšetřováním zákonitostí, které v sobě obsahují prvek náhody. Zpracováním hodnot, které jsou výstupem sledovaného
VíceNáhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která
Náhodná veličina a její charakteristiky Náhodná veličina a její charakteristiky Představte si, že provádíte náhodný pokus, jehož výsledek jste schopni ohodnotit nějakým číslem. Před provedením pokusu jeho
VícePřednáška 5. Výběrová šetření, Exploratorní analýza
Přednáška 5 Výběrová šetření, Exploratorní analýza Pravděpodobnost vs. statistika Výběrová šetření aneb jak získat výběrový soubor Exploratorní statistika aneb jak popsat výběrový soubor Typy proměnných
VícePoznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma
Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma 4. Náhodné vektory V praxi se nám může hodit postihnout více vlastností jednoho objektu najednou, např. výšku, váhu a pohlaví člověka; rychlost chemické
VíceZáklady teorie pravděpodobnosti
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodná veličina Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 12. února 2012 Statistika by Birom Základy teorie
VíceOrganizační pokyny k přednášce. Matematická statistika. Přehled témat. Co je statistika?
Organizační pokyny k přednášce Matematická statistika 2012 2013 Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta UK hudecova@karlin.mff.cuni.cz http://www.karlin.mff.cuni.cz/
VícePoznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma
Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma 4. Náhodné vektory V praxi se nám může hodit postihnout více vlastností jednoho objektu najednou, např. výšku, váhu a pohlaví člověka; rychlost chemické
Vícepravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti.
3.1 Základy teorie pravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti. Co se dozvíte Náhodný pokus a náhodný jev. Pravděpodobnost, počítání s pravděpodobnostmi.
VíceMgr. Rudolf Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký Dr.Sc.
Náhodné veličiny III Mgr. Rudolf Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký Dr.Sc. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Rudolf Blažek, Roman
VíceModely diskrétní náhodné veličiny. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Po(λ) je možné použít jako model náhodné veličiny, která nabývá hodnot 0, 1, 2,... a udává buď počet událostí,
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodná proměnná Náhodná veličina slouží k popisu výsledku pokusu. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáme. Přesto bychom chtěli tento pokus
VíceInovace bakalářského studijního oboru Aplikovaná chemie
http://aplchem.upol.cz CZ.1.07/2.2.00/15.0247 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Základy zpracování dat chemometrie, statistika Doporučenáliteratura
Vícealternativní rozdělení Statistika binomické rozdělení bi(n, π)(2)
Statistika (MD360P03Z, MD360P03U) ak. rok 2007/2008 Karel Zvára karel.zvara@mff.cuni.cz http://www.karlin.mff.cuni.cz/ zvara 5. listopadu 2007 1(178) binomické rozdělení Poissonovo rozdělení normální rozdělení
VíceNMAI059 Pravděpodobnost a statistika
NMAI059 Pravděpodobnost a statistika podle přednášky Daniela Hlubinky (hlubinka@karlin.mff.cuni.cz) zapsal Pavel Obdržálek (pobdr@matfyz.cz) 205/20 poslední změna: 4. prosince 205 . přednáška. 0. 205 )
VíceMATEMATICKÁ STATISTIKA
MATEMATICKÁ STATISTIKA 1. Úvod. Matematická statistika se zabývá vyšetřováním zákonitostí, které v sobě obsahují prvek náhody. Zpracováním hodnot, které jsou výstupem sledovaného procesu, se snažíme popsat
VíceTématické okruhy pro státní závěrečné zkoušky. bakalářské studium. studijní obor "Management jakosti"
Tématické okruhy pro státní závěrečné zkoušky bakalářské studium studijní obor "Management jakosti" školní rok 2013/2014 Management jakosti A 1. Pojem jakosti a význam managementu jakosti v současném období.
VíceTématické okruhy pro státní závěrečné zkoušky. bakalářské studium. studijní obor "Management jakosti"
Tématické okruhy pro státní závěrečné zkoušky bakalářské studium studijní obor "Management jakosti" školní rok 2010/2011 Management jakosti A 1. Pojem jakosti a význam managementu jakosti v současném období.
VíceJAK MODELOVAT VÝSLEDKY
JAK MODELOVAT VÝSLEDKY NÁHODNÝCH POKUSŮ? Martina Litschmannová Opakování Základní pojmy z teorie pravděpodobnosti Co je to náhodný pokus? Děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za
Víceprof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Pravděpodobnost a statistika Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií
prof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Rudolf Blažek, Roman Kotecký, 2011 Pravděpodobnost
VícePravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 7
Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 7 R. Blažek, M. Jiřina, J. Hrabáková, I. Petr, F. Štampach, D. Vašata Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení
VíceZápočtová práce STATISTIKA I
Zápočtová práce STATISTIKA I Obsah: - úvodní stránka - charakteristika dat (původ dat, důvod zpracování,...) - výpis naměřených hodnot (v tabulce) - zpracování dat (buď bodové nebo intervalové, podle charakteru
VíceSTP022 PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA
Poslední aktualizace: 29. května 200 STP022 PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA PŘÍKLADY Pro zdárné absolvování předmětu doporučuji věnovat pozornost zejména příkladům označenými hvězdičkou. Příklady
VíceMendelova zemědělská a lesnická univerzita v Brně Institut celoživotního vzdělávání Fakulta regionálního rozvoje a mezinárodních studií
Mendelova zemědělská a lesnická univerzita v Brně Institut celoživotního vzdělávání Fakulta regionálního rozvoje a mezinárodních studií STATISTIKA pro TZP Modul : Pravděpodobnost a náhodné veličiny Prof
VíceTématické okruhy pro státní závěrečné zkoušky. bakalářské studium. studijní obor "Management jakosti"
Tématické okruhy pro státní závěrečné zkoušky bakalářské studium studijní obor "Management jakosti" školní rok 2009/2010 Management jakosti A 1. Pojem jakosti a význam managementu jakosti v současném období.
Více1 Rozptyl a kovariance
Rozptyl a kovariance Nechť X je náhodná veličina s konečnou střední hodnotou EX Potom rozptyl náhodné veličiny X definujeme jako: DX E(X EX, pokud střední hodnota na pravé straně existuje Podobně jako
VícePřednáška. Diskrétní náhodná proměnná. Charakteristiky DNP. Základní rozdělení DNP
IV Přednáška Diskrétní náhodná proměnná Charakteristiky DNP Základní rozdělení DNP Diskrétní náhodná veličina Funkce definovaná na Ω, přiřazující každému elementárnímu jevu E prvky X(E) D R kde D je posloupnost
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 4. KAPITOLA STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY 16.10.2017 23.10.2017 Přehled témat 1. Pravděpodobost (defiice, využití, výpočet pravděpodobostí
Více1 Klasická pravděpodobnost. Bayesův vzorec. Poslední změna (oprava): 11. května 2018 ( 6 4)( 43 2 ) ( 49 6 ) 3. = (a) 1 1 2! + 1 3!
Výsledky příkladů na procvičení z NMSA0 Klasická pravděpodobnost. 5. ( 4( 43 ( 49 3. 8! 3! 0! = 5 Poslední změna (oprava:. května 08 4. (a! + 3! + ( n+ n! = n k= ( k+ /k! = n k=0 ( k /k!; (b n k=0 ( k
VíceTeoretická rozdělení
Teoretická rozdělení Diskrétní rozdělení Obsah kapitoly Studijní cíle Doba potřebná ke studiu Pojmy k zapamatování Úvod Některá teoretická rozdělení diskrétních veličin: Alternativní rozdělení Binomické
VíceNÁHODNÁ VELIČINA. 3. cvičení
NÁHODNÁ VELIČINA 3. cvičení Náhodná veličina Náhodná veličina funkce, která každému výsledku náhodného pokusu přiřadí reálné číslo. Je to matematický model popisující více či méně dobře realitu, který
VíceI. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í
6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme
VíceCvičení ze statistiky - 5. Filip Děchtěrenko
Cvičení ze statistiky - 5 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Začali jsme pravděpodobnost Klasická a statistická definice pravděpodobnosti Náhodný jev Doplněk, průnik, sjednocení Podmíněná pravděpodobnost
VícePravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika 1 Náhodné pokusy a náhodné jevy Činnostem, jejichž výsledek není jednoznačně určen podmínkami, za kterých probíhají, a které jsou (alespoň teoreticky) neomezeně opakovatelné,
Vícep(x) = P (X = x), x R,
6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme
VíceNáhodný vektor a jeho charakteristiky
Náhodný vektor a jeho číselné charakteristiky 1 Náhodný vektor a jeho charakteristiky V následující kapitole budeme věnovat pozornost pouze dvourozměřnému náhodnému vektoru, i když uvedené pojmy a jejich
VíceSemestrální projekt. do předmětu Statistika. Vypracoval: Adam Mlejnek 2-36. Oponenti: Patrik Novotný 2-36. Jakub Nováček 2-36. Click here to buy 2
Semestrální projekt do předmětu Statistika Vypracoval: Adam Mlejnek 2-36 Oponenti: Patrik Novotný 2-36 Jakub Nováček 2-36 Úvod Pro vypracování projektu do předmětu statistika jsem si zvolil průzkum kvality
VíceV praxi pracujeme s daty nominálními (nabývají pouze dvou hodnot), kategoriálními (nabývají více
9 Vícerozměrná data a jejich zpracování 9.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat, hledáme souvislosti mezi dvěmi, případně více náhodnými veličinami. V praxi pracujeme
VíceZáklady teorie pravděpodobnosti
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodná veličina Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 12. února 2012 Statistika by Birom Základy teorie
VíceMěřicí a řídicí technika Bakalářské studium 2007/2008. odezva. odhad chování procesu. formální matematický vztah s neznámými parametry
MODELOVÁNÍ základní pojmy a postupy principy vytváření deterministických matematických modelů vybrané základní vztahy používané při vytváření matematických modelů ukázkové příklady Základní pojmy matematický
VíceStatistika. Diskrétní data. Spojitá data. Charakteristiky polohy. Charakteristiky variability
I Přednáška Statistika Diskrétní data Spojitá data Charakteristiky polohy Charakteristiky variability Statistika deskriptivní statistika ˆ induktivní statistika populace (základní soubor) ˆ výběr parametry
Vícesprávně - A, jeden celý příklad správně - B, jinak - C. Pro postup k ústní části zkoušky je potřeba dosáhnout stupně A nebo B.
Zkouška z předmětu KMA/PST. Anotace předmětu Náhodné jevy, pravděpodobnost, podmíněná pravděpodobnost. Nezávislé náhodné jevy. Náhodná veličina, distribuční funkce. Diskrétní a absolutně spojitá náhodná
VícePoznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 9.téma
Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 9téma Princip testování hypotéz, jednovýběrové testy V minulé hodině jsme si ukázali, jak sestavit intervalové odhady pro některé číselné charakteristiky normálního
VícePravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.
Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 2010 1.týden (20.09.-24.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza
VíceMinikurz aplikované statistiky. Minikurz aplikované statistiky p.1
Minikurz aplikované statistiky Marie Šimečková, Petr Šimeček Minikurz aplikované statistiky p.1 Program kurzu základy statistiky a pravděpodobnosti regrese (klasická, robustní, s náhodnými efekty, ev.
Víceletní semestr Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika vektory
Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 202 Založeno na materiálech doc. Michala Kulicha Náhodný vektor často potřebujeme
VíceTéma 22. Ondřej Nývlt
Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené
VíceNáhodná veličina Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Spojitá náhodná veličina. Pravděpodobnost
Pravděpodobnost Náhodné veličiny a jejich číselné charakteristiky Petr Liška Masarykova univerzita 19.9.2014 Představme si, že provádíme pokus, jehož výsledek dokážeme ohodnotit číslem. Před provedením
VíceNÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN?
NÁHODNÉ VELIČINY GENEROVÁNÍ SPOJITÝCH A DISKRÉTNÍCH NÁHODNÝCH VELIČIN, VYUŽITÍ NÁHODNÝCH VELIČIN V SIMULACI, METODY TRANSFORMACE NÁHODNÝCH ČÍSEL NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN. JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU
VíceCvičení 5. Přednášející: Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc.
5 Přednášející: Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc. Katedra počítačových systémů Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v
VíceČíselné charakteristiky a jejich výpočet
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz charakteristiky polohy charakteristiky variability charakteristiky koncetrace charakteristiky polohy charakteristiky
VíceZáklady popisné statistiky. Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek
Základy popisné statistiky Anotace Realitu můžeme popisovat různými typy dat, každý z nich se specifickými vlastnostmi, výhodami, nevýhodami a vlastní sadou využitelných statistických metod -od binárních
VíceInženýrská statistika pak představuje soubor postupů a aplikací teoretických principů v oblasti inženýrské činnosti.
Přednáška č. 1 Úvod do statistiky a počtu pravděpodobnosti Statistika Statistika je věda a postup jak rozvíjet lidské znalosti použitím empirických dat. Je založena na matematické statistice, která je
VíceMatematické symboly a značky
Matematické symboly a značky Z Wikipedie, otevřené encyklopedie Matematický symbol je libovolný znak, používaný v. Může to být znaménko pro označení operace s množinami, jejich prvky, čísly či jinými objekty,
VíceIII. Úplná pravděpodobnost. Nezávislé pokusy se dvěma výsledky. Úplná pravděpodobnost Nezávislé pokusy se dvěma výsledky Náhodná veličina
III Přednáška Úplná pravděpodobnost Nezávislé pokusy se dvěma výsledky Náhodná veličina Pravděpodobnost při existenci neslučitelných hypotéz Věta Mějme jev. Pokud H 1,H 2, : : :,H n tvoří úplnou skupinu
VíceDistribuční funkce je funkcí neklesající, tj. pro všechna
Téma: Náhodná veličina, distribuční funkce a její graf, pravděpodobnostní funkce a její graf, funkce hustoty pravděpodobnosti a její graf, výpočet střední hodnoty a rozptylu náhodné veličiny 1 Náhodná
VíceVýznamná diskrétní rozdělení pravděpodobnosti
Alternativní rozdělení Příklad Střelec vystřelí do terče, pravděpodobnost zásahu je 0,8. Náhodná veličina X udává, jestli trefil: položíme X = 1, jestliže ano, a X = 0, jestliže ne. Alternativní rozdělení
VíceFAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich Dlouhý,
Více