Dokument SX008a-CZ-EU Strana 1 z 9 Řešený příklad: Stabilita prutové konstrukce s posuvem Tento příklad řeší celkovou stabilitu prutové konstrukce a stabilitu s posuvem. Řešen je nevztužený dvoupodlažní rám budov. Předmětem tohoto příkladu je dvoupodlažní budova podle obrázku níže. Vzdálenost mezi příčnými vazbami je s = 10 m. [m] 3,5 A 3,5 7,0 7,0 Všechn stčník jsou navržen jako tuhé podle obrázku. A
Dokument SX008a-CZ-EU Strana 2 z 9 Vstupní data příčné vazb: Vnější sloup HEA 200, S355 Moment setrvačnosti 4 I = 3692 10 mm 4 Vnitřní sloup HEA 220, S355 Moment setrvačnosti 4 I = 5410 10 mm 4 Horní nosník IPE 400, S355 Moment setrvačnosti 4 I = 23130 10 mm 4 Dolní nosník IPE 450, S355 Moment setrvačnosti 4 I = 33740 10 mm 4 Zatížení: a konstrukci působí následující zatížení. Stálá zatížení: Deska g slab = 4,0 k/m 2 Podlaha g ffin = 0,8 k/m 2 Ocelová konstrukce g s = 0,3 k/m 2 Příčk g W = 0,5 k/m 2 Podhled g sc = 0,2 k/m 2 Instalace g I = 0,2 k/m 2 Střecha vč. izolace g roof = 0,4 k/m 2 ahodilá zatížení: Vnitřní užitné zatížení q = 2,5 k/m 2 Sníh q snow = 1,0 k/m 2 Vítr - tlak q wind1 =0, 5 0, 75 = 0, 375 k/m 2 Vítr - sání q wind2 =0, 5 0, 4= 0, 2k/m Součinitele zatížení: γ G = 1,35 (stálá zatížení) E 1990 γ Q = 1,5 (nahodilá zatížení) ψ 0 = 0,7 (užitné zatížení a zatížení sněhem)
Dokument SX008a-CZ-EU Strana 3 z 9 ávrhová zatížení: ávrhová zatížení jsou vpočtena se zatížením větrem jako s rozhodujícím. q = ( γ ( g + g + g + g + g ) + γ ψ q ) s= 82,1 k/m 1 G roof slab s I sc Q 0 snow q = ( γ ( g + g + g + g + g + g ) + γ ψ q) s=107,3k/m 2 G ffin W slab s I sc Q 0 E1990 6.4.3.2 (6.10) q = 15, q s= 5,6 k/m w1 w2 wind1 q = 15, q s= 3,0 k/m wind2 Obrázek níže ukazuje návrhová zatížení na konstrukci. q w1 q 1 q w2 q 2 Posoudí se, zda lze zanedbat imperfekce ve tvaru naklonění. H 015, V 5.3.2 (4)B H = ( qw1 + qw 2) h = ( 56, + 30, ) 7= 60,2 k V = ( q1 + q2 ) L = ( 82, 1+ 107, 3) 14 = 2651,6 k H = 60, 2 < 0, 15 2651, 6 = 398 = 0, 15 V Imperfekce ve tvaru naklonění se musí uvažovat.
Dokument SX008a-CZ-EU Strana 4 z 9 Výpočet imperfekcí ve tvaru počátečního naklonění: φ = φ0 αh α m 1 φ 0 = 200 2 α h = kde h je výška konstrukce v metrech h 5.3.2 (3) α m 1 = 05, 1+ m kde m počet sloupů v řadě 1 2 1 φ = 0, 5 1 3 09 10 200 + = 70 3,, 3 Výpočet náhradních vodorovných sil H 1 a H 2 od počátečního naklonění: 5.3.2 (7) H 1 q 1 H 2 q 2 H 1 + H 2 H q L 3 1 = φ 1 = 309 10 82114 H q L,, = 3,55 k 3 2 = φ 2 = 309 10 1073 14,, = 4,64 k
Dokument SX008a-CZ-EU Strana 5 z 9 Určení náchlnosti k vbočení s patrovým posuvem α : Existují různé způsob výpočtu α. Jedna z nich, uvedená v 5.2.1 (4)B, je popsána níže jako první. Další vchází ze stabilitní analýz metodou konečných prvků. Ta je též popsána a použita níže. Vliv patrového posuvu lze zanedbat, je-li splněna následující podmínka: F α = F 10 Určení náchlnosti k vbočení s patrovým posuvem pro každé podlaží: α H h = V δ H, H V δ H, h je vodorovná síla. V tomto příkladu se použije pouze náhradní vodorovná síla.. je celkové svislé návrhové zatížení konstrukce v patě uvažovaného podlaží. je vodorovný posun ve vrcholu podlaží od vodorovného zatížení. je výška podlaží. Viz CCI S001 5.2.1 (3) 5.2.1 Rovnice (5.2) Viz CCI S001 Obrázek 5.1 Vodorovný posun v každém podlaží od náhradního vodorovného zatížení se vpočte pomocí statického software pro prutové konstrukce. Posun δ H,1 a δ H,2 jsou na obrázku níže. H 1 H 2 δ H,1 = 0,69 mm δ H,2 = 1,23 mm
Dokument SX008a-CZ-EU Strana 6 z 9 Celkové svislé zatížení na dvě podlaží: V1 = q1 L = 82, 1 14 = 1149,4 k V2 = q2 L = 107, 3 14 = 1502,2 k α pro horní podlaží: H 1 h 3, 55 3500 α = = V 1 δ H,1 1149, 4 0, 69 =15,66 > 10 α pro dolní podlaží: H1 + H 2 h 3, 55 + 4, 64 3500 α = = V1 + V 2 δ H,2 1149, 4 + 1502, 2 1, 23 = 8,79 < 10 Účink patrového posuvu nelze pro tuto konstrukci zanedbat. Druhou alternativou je použít pro určení α řešení programem konečnými prvk. V takovém případě se uvažují pouze svislá zatížení, zavedená do uzlů konstrukce podle obrázku. V 1o V 1i V 1o V 2o V 2i V 2o Ze stabilitní analýz lze α přímo určit: α = 7,51 < 10 Vliv patrového posuvu tudíž nelze zanedbat.
Dokument SX008a-CZ-EU Strana 7 z 9 Jak je vidět, vedou obě metod k různým výsledkům. Stabilitní řešení konečnými prvk b mělo dát správné výsledk, neboť rovnice z je zjednodušením. V tomto případě dává konzervativní výsledek, protože sloup mají konstantní průřez a horní část je méně zatížená než spodní. Avšak pro velké hodnot α je rozdíl v příspěvku od patrového posuvu spíše malý. V tomto příkladu se použije α ze stabilitní analýz metodou konečných prvků. Určení, zda se musí uvažovat imperfekce ve tvaru počátečního prohnutí Imperfekce ve tvaru počátečního prohnutí se mají uvažovat, pokud platí následující dvě podmínk: nejméně jeden ohbově tuhý přípoj na konci prutu, a kde λ > 05, A f je návrhová hodnota tlakové síl A f λ = poměrná štíhlost pro vbočení v rovině, stanovená pro prut s kloubovým uložením na koncích. 5.3.2(6) 6.3.1.2(1) Podmínk lze zapsat následovně: A f > 05, A f > 025, Kritické síl pro sloup za předpokladu kloubového uložení jsou: Vnější sloup, HEA 200 Vnitřní sloup, HEA 220 2 2 4 π E I π 210000 3692 10 = = = 6247 k 2 2 l 3500 2 2 4 π E I π 210000 5410 10 = = = 9153 k 2 2 l 3500
Dokument SX008a-CZ-EU Strana 8 z 9 Prut, které přenášejí největší normálovou sílu, jsou spodní části vnějšího sloupu a vnitřního sloupu. ormálová síla ve spodní části vnějšího sloupu pomocí výpočtu prvním řádem: = 568 k = 568 k < 1562 k = 0, 25 ormálová síla ve spodní části vnitřního sloupu pomocí výpočtu prvním řádem: =1533 k = 1533 k < 2288 k = 0, 25 Protože pro tto dva prut podmínka neplatí, neplatí ani pro jiný prut a imperfekce ve tvaru počátečního prohnutí se proto nemusí uvažovat. Výběr metod pro uvážení vlivu patrového posuvu Účink druhého řádu od patrového posuvu lze vpočítat podle teorie prvního řádu, pokud se vodorovná zatížení, např. větrem, a náhradní vodorovná zatížení zvětší součinitelem: 1 1 1α 5.2.2(5)B & (6)B za předpokladu, že α 30,. V tomto případu α = 7,51 a tuto metodu lze ted použít. Při výpočtu podle teorie prvního řádu se budou uvažovat následující zatížení: H 1a q w1a q 1 q w2a 9 10 2 4 6 H 2a q 2 7 8 1 3 5 Čísla značí čísla prutů.
Dokument SX008a-CZ-EU Strana 9 z 9 kde vodorovná zatížení označená a se zvětšují součinitelem 1 1 115, 1 1α = 1 1 7, 51 = tzn. H 1a = 115, 355, = 4,08 k H 2a = 115, 4, 64= 5,34 k q w1a = 115, 5, 6= 6,44 k/m q w2a = 115, 3, 0= 3,45 k/m ávrhové vnitřní síl v prutech konstrukce: V tabulce níže jsou uveden vnitřní síl ve všech prutech. Dvě hodnot pro smkové síl a moment odpovídají dvěma koncům prutů. Pro sloup je první hodnota pro spodní a druhá pro horní konec, pro nosník je první hodnota pro levý a druhá pro pravý konec. Prut [k] V [k] M [km] 1 546,9 0,95 21,6 6,0 42,2 2 238,3 42,9 65,4 86,0 103,5 3 1533,1 26,9 26,9 48,4 45,8 4 668,4 9,6 9,6 16,3 17,3 5 570,9 50,8 38,7 67,5 89,1 6 242,7 72,0 59,9 114,0 116,8 7 16,0 308,6 442,1 128,2 595,4 8 33,3 422,5 328,2 533,3 203,2 9 69,5 238,3 336,4 103,5 446,8 10 59,9 332,0 242,7 429,5 116,8
SX008a-CZ-EU Qualit Record RESOURCE TITLE Swa stabilit Reference(s) ORIGIAL DOCUMET ame Compan Date Created b Jonas Gozzi SBI 30/4/05 Technical content checked b Bernt Johansson SBI 18/5/05 itorial content checked b Technical content endorsed b the following STEEL Partners: 1. UK G W Owens SCI 7/7/05 2. France A Bureau CTICM 17/8/05 3. Sweden A Olsson SBI 8/8/05 4. German C Muller RWTH 10/8/05 5. Spain J Chica Labein 12/8/05 Resource approved b Technical Coordinator G W Owens SCI 21/5/06 TRASLATED DOCUMET This Translation made and checked b: T. Vraný CTU in Prague 31/7/07 Translated resource approved b: J. Macháček CTU in Prague 31/7/07 ational technical contact F. Wald CTU in Prague