Fibonacciovými posloupnostmi se zabývají nejen matematici, ale i botanici. Proč? Listy, pokud vyrůstají jednotlivě, jsou na větvičkách rozloženy tak, že každý list vyrůstá nad předchozím listem více či méně posunut o určitý úhel, jak je znázorněno na obrázku. Tento úhel, který je pro každou rostlinu charakteristický, vyjadřují botanici ve tvaru zlomku, který udává, jakou část obvodu kružnice vytíná. Čísla v čitatelích zlomků tvoří Fibonacciovy posloupnosti: Zlatý řez se tak nepřímo uplatňuje i při rozložení listů na ose rostliny. Fylotaxe je botanický termín pro postavení listů na stoncích rostlin. V dolní části stonku jsou listy starší a větší, u vrcholu mladší a menší. Všechny listy jsou stejnoměrně osvětlovány, menší nestíní větším, které nad to mají ještě delší řapíky. Zákonitostí rozestavění listů se zabývali, v 30.- 40. letech minulého století, francouzští badatelé bratři Louis a Antoine Bravais, a němečtí morfologové Karel Schimper a Alexandr Braun. Tito botanici vybudovali celou nauku o postavení listů, která k výkladům používá matematických pouček. Page 1 of 9
Listy jsou postaveny na stonku trojím způsobem, nás však bude zajímat pouze střídavé postavení listů. Kolem stonku opisujeme spirálu, která vystupuje vzhůru podle stáří listů. Tuto myšlenou spirálu nazýváme genetická spirála. Tak můžeme stanovit, že listy jsou postaveny jednak ve spirále, přičemž vždy určitý počet listů tvoří skupiny mezi dvěma listy stojícími nad sebou a opakujícími se pravidelně na celém stonku, a jednak tvoří listy určitý počet svislých řad, v nichž stojí listy vždy po určitém počtu otáček spirály kolem osy. Tedy dva sousední listy jsou od sebe vzdáleny o určitou výškovou distanci d a odchýleny o úhel, který nazýváme divergence d. Distance je proměnlivá veličina podle tloušťky osy a příkrosti genetické spirály, kdežto divergence je vždy stálá a lze ji vyjádřit zlomkem. Tento zlomek m/n, který bývá u celé rostliny stejný, nám ve jmenovateli udává počet listů v jedné skupině a v čitateli počet otáček spirály kolem stonku od prvního listu k následujícímu, který stojí přímo nad ním. Postavení listů si můžeme znázornit schématicky. Část stonku pokládáme za pravidelný válec, který je v podstatě kuželem, neboť se k vrcholu zúžuje. Page 2 of 9
Na obrázku je schéma střídavého postavení listů na stonku se zlomkem 1/2, které najdeme např. na větévce lípy nebo révy vinné: zde stojí vždy třetí list nad prvním, přičemž celý cyklus obsahuje jen jediný obvod genetické spirály. Na větvi olše nebo lísky tvoří genetická spirála též jeden obvod, ale přechází tři listy, aby došla k listu, který stojí právě nad listem, od něhož jsme vyšli. Divergence dvou listů je 120, všechny listy jsou uspořádány ve tři svislé řady a zlomek je 1/3. U stromů např. dub, višeň, topol, akát, vrba či jabloň stojí listy střídavě v pěti řadách a genetická spirála se otočí okolo osy dvakrát, tedy zlomek 2/5. Méně časté je postavení 3/8, např. len, ředkev, vavřín. Pro větší názornost si uvedeme diagramy postavení listů podle zlomků 1/2, 1/3, 2/5. Přesným pozorováním a počítáním na různých druzích rostlin bylo stanoveno, že všechny divergence můžeme sestavit do řad: nebo nebo Page 3 of 9
u nichž každý zlomek má v čitateli součet čitatelů, v jmenovateli součet jmenovatelů dvou zlomků předcházejících. Jednotlivé divergence jsou pak konvergentní k hodnotám řetězců: Jsou to vesměs přibližné hodnoty podílu, když obvod stonku rostliny rozdělíme zlatým řezem. Nejčastější jsou divergence první řady: podle 1/2 má sestaveny listy buk, jilm, mnohé trávy; podle 1/3 ostřice; podle 2/5 většina našich stromů a keřů; podle 3/8 len, hledík, ploník; podle 5/13 smetánka, rozchodník, divizny; podle 8/21 jsou uspořádány plodní šupiny v šiškách smrku a jedle; podle 13/34 jehlice jedlí, šupiny v šiškách sosny černé. Květy v úboru slunečnice jsou uspořádány podle 55/144 a podle téhož zlomku stojí i listy na kmeni cykasu. Divergence druhých řad jsou velmi vzácné, např. podle 1/5 květy v hlavici jetelů, 2/7 v klásku některých ostřic. Vzácně se vyskytuje úkaz, že hned druhý list stojí nad prvním, takže divergence se rovná nule, např. u výhonků hrušky. O příčinách zákonitého rozestavení listů jsou různé teorie. Alex Braun viděl ve spirálním postavení listů uskutečnění matematické myšlenky v plánovité stavbě rostlinného těla. Hanstein a později Kerner vykládají, že listy se snaží zaujmout takové místo, aby každý měl dostatek místa, vzduchu i světla. A mohli bychom ve výčtu teorií pokračovat dál. Je však nesporné, že rozestavení listů závisí nejen na vnitřních podmínkách dědičně fixovanými v každém rostlinném druhu, nýbrž i na podmínkách vnějších, které mají často velký vliv na poměry vegetačního vrcholu. Pokud víme, že květy dnešních rostlin vznikly přeměnou listů, není těžké se dovtípit, že v šroubovici by měli být uspořádány i části květu: kališní lístky, korunní lupínky, tyčinky a pestíky. V některých případech tomu tak skutečně je. Šroubovici by jste našli například v květu magnolie nebo slunečnice. Ve většině květů se však závitnice vývinem tak stlačila, že vypadá jako kruh, a květní lístky jsou rozložené po jeho obvodě. A co šišky jehličnatých stromů? Vždyť to jsou zdřevnatělé květy či dřevěné klasy. Jejich šupiny by tedy měly být uložené na šroubovici. A skutečně jsou. Některé pravotočivé, jiné levotočivé, všechny na jednom stromě. Na rozdíl od listů jsou však šupiny příliš u sebe, divergence je malá a genetická spirála málo patrná. V takovém případě vynikají příkřejší spirály, které nespojují šupiny v genetickém pořádku, nýbrž podle šikmých paralelních řad, které také spojují šupiny v zákonitém sledu. Např. při 2/5 jde genetická spirála 1,2,3,..., příkřejší spirála 1,4,7,... vpravo, 2,9,16,... vlevo atd., jak je vidět na rozvinutém plášti osy. Svislé řady označené I, II, III, IV, V znázorňují šupiny nad sebou, písmenko A řady s diferencí tři: 0-3-6-9-12..., 2-5-8-11..., jsou v obvodu tři, písmenko B řady s diferencí sedm, C řady s diferencí osm a D řady vlevo s diferencí dva. Page 4 of 9
Tyto řady tvoří systém rovnoběžných, různě nakloněných přímek. Podle geometrických pravidel snadno odvodíme dva důležité zákony o těchto řadách: 1. Řady se stejnou diferencí jsou spolu rovnoběžné. 2. V obvodu osy může být pouze tolik řad s určitou diferencí, kolik je hodnota diference. Těchto zákonů prakticky používáme v takových případech, kde svislé řady a genetická spirála jsou nezřetelné, např. u šišky smrku. Zde pozorujeme osm řad vpravo a pět méně příkrých, běžících vlevo; první tedy mají diferenci osm, druhé pět. Označme si některou šupinu číslem 1 a protněme kolmicí nejbližší šupinu stojící nad ní. Abychom k této šupině došli, jdeme nejprve vpravo po řadě k nejbližší šupině, která je devátou šupinou (řada má diferenci 8), pak vlevo po řadě opět k nejbližší, ta je čtrnáctá (9+5) a pak vpravo na již označenou šupinu, která je dvaadvacátou (14+8). Počet šupin v Page 5 of 9
jednom cyklu je tudíž 21, což bude jmenovatel zlomku. K tomu náleží divergence 8/21, podle níž jsou šupiny na šišce smrku postaveny. Dalším projevem fylotaxe je tedy uspořádání slunečnice nebo smrkové šišky, ve kterých jsou šupiny rozmístěny jako spirála nebo točité schody. Toto rozmístění je velice dobře vidět u ananasu, majícího více či méně šestiúhelníkové buňky na povrchu, které tvoří řady jdoucí různými směry. Každá buňka je členem třech řad (má tři páry protilehlých stran). Povrch ananasu můžeme zkoumat podobně jako šupiny smrkové šišky. Tyto teorie však řeší problém fylotaxe příliš jednostranně. Jsou to spekulace, které mohou být potvrzeny pouze pečlivým pozorováním. V poslední době se dvacetistěn opět objevil na stránkách odborných publikací. Ukázalo se totiž, že bór krystalizuje v do-konalých dvacetistěnech. Také viry, které byly dříve pokládány za kulovité, například virus dětské obrny, mají tvar dvacetistěnu. Biologové bombardovali virus napadající komáry ze dvou stran atomy kovu. Za virem tak vznikly jakési stíny. Na fotografii lze při této metodě rozeznat, že stíny mají ostré rohy. Virus tedy nemůže být kulový, jak se dříve předpokládalo. Aby byl určen jeho tvar, byly různé mnohostěny osvětlovány pod týmiž úhly, jako byl bombardován virus. Ukázalo se, že jen jeden mnohostěn vrhá právě takový stín. Byl to dvacetistěn. Můžete se ptát, proč právě dvacetistěn. Zřejmě je vše založeno na ekonomii genetické informace. Virus musí hostitelskou buňku obrátit vzhůru nohama: Musí ji donutit, aby produkovala různé fermenty a jiné molekuly nutné k syntéze dalších virů. Všechny tyto fermenty musí být zakódovány v nukleové kyselině viru. Její množství je však omezené. Virus tak mnohokrát využívá jeden a tentýž úsek nukleové kyseliny k syntéze velkého počtu standardních molekul, stavebních bílkovin, které se v reprodukčním procesu viru spojují. Je tak dosaženo maximální úspornosti genetické informace. Zbývá dodat, že podle matematických zákonů je nejekonomičtějším uzavřeným obalem složeným ze stejných prvků právě dvacetistěn pozorovaný u virů. Viry tak řeší komplikovanou úlohu, tzv. izoperický problém: na-jít těleso, které má při daném objemu nejmenší povrch složený ze stejných jednoduchých obrazců. Viry, nejmenší organizmy, u nichž dosud nemáme jasno, patří-li spíše k živé nebo k neživé přírodě, vyřešily geometrický problém, s nímž se lidstvo potýkalo více než dvě tisíciletí. Všechny tzv. kulovité viry mají tvar dvacetistěnu a ne koule, jak se dříve předpokládalo. Tato elegantní a přitom účelná konstrukce složená z dvaceti identických nejjednodušších Page 6 of 9
prvků, pravidelných trojúhelníků, a obepínající největší možný objem nám opět připomíná původní jednoduchost přírody. Pravidelné mnohostěny nalezneme i u živočichů. Na obrázku jsou nakresleny kostry některých mřížovců. Jsou to drobní mořští živočichové, jejichž kostrami je pokryto dno Tichého a Indického oceánu. Tito mřížovci žili před milióny lety. Kostry na obrázku tvoří skoro dokonalý osmistěn, dvánáctistěn a dvacetistěn. Příroda všechno své bohatství a rozmanitost buduje z nejjednodušších elementů. Jakub Bernoulli (1654-1705), nejstarší z rodiny vynikajících učenců, se mimo jiné zajímal o zákonitosti křivek. Logaritmická spirála, kterou krátce předtím objevil francouzský filozof a matematik René Descartes, ho přímo fascinovala. Napsal o ní: "...mohla by být symbolem podobnosti potomstva a rodičů, proto chci, aby byla vyryta do mého náhrobního kamene s nápisem Eadem numero mutata resurget" (Volně přeloženo: Ze změn se znovuzrozuje ta samá). Jeho přání se vyplnilo v Bazileji roku 1705. Čím mohla elegantní křivka natolik upoutat? Bernoulli neváhal a označil ji za spira mirabilis - neobyčejná, obdivuhodná spirála. Jak jsme již uvedli, nemění tvar, roste stejně do délky i do šířky. Tak rostou živočichové a rostliny. Je to jediná křivka, která roste tak, že zachovává tvar a poměr částí. Asymetrická křivka vyjadřuje symetrický růst. Není v tom rozpor? Začaly se hledat důkazy pro i proti. Zjistilo se, že růst člověka není úplně rovnoměrný, některé části můžou růst rychleji než jiné, např. poměr délky částí ruky je u dětí jiný než u dospělých. A co vlasy a nehty? Ty rostou jedním směrem a víme, která část je starší. Ale ani vlasy ani nehty nejsou živé. Kdyby byly, musely by nám u holiče dát nejdříve narkózu a až potom stříhat. To nám dokonale zpřesňuje, jaký růst logaritmická spirála vlastně vyjadřuje. Růst neživých částí živého tvora. Můžou to být zobáky, zuby, rohy, parohy nebo schránky měkkýšů. Někdy nás ani nenapadne, že to, co před sebou vidíme, je částí spirály. Hlavně ne tehdy, jedná-li se o rychle rostoucí spirálu. Čím více se její zakřivení liší od zakřivení kružnice, tím méně vám bude připomínat spirálu. Mírně ohnutý sloní kel i hustě točená ulitka plže jsou v tomto ohledu příbuzné. Turovitým kopytníkům, mezi které patří i náš hovězí dobytek a ovce, rostou do spirály rohy. Nebývá to vždy na první pohled zřetelné, neboť obyčejně jsou jen částí jednoho závitu spirály, ale některé jsou přímo ukázkou prostorové logaritmické spirály, např. africký kudu. Page 7 of 9
A poznáte zvířata, jejichž ozdobou jsou dlouhé zuby? V prvním momentě si jistě každý vzpomene na slona. Méně známý je narval. Narval má zubů velmi málo, a ještě je má pouze v horní čelisti. Samcovi jeden z těchto zubů naroste do obrovských rozměrů. Je to vždy levý zub a pokud byste si ho prohlédli zblízka, zjistíte, že na povrchu je spirálovitá struktura, podobná, jako se vytvoří na utěrce při ždímání. O účelu tohoto zubu se zatím vedou spory. Nejspíš se jedná o projev dimorfizmu samce a samice. Pokud je řeč o hlavonožcích, obyčejně se o nějaké ulitě či schránce nehovoří. Schránkatí hlavonožci, kteří se kdysi plavili v mořích, už vymřeli. Žije jen jeden rod - Nautilus. Živý prototyp ponorky. Schránka Nautila je ukázkovou ilustrací logaritmické spirály. Nejlépe se o tom přesvědčíme na průřezu ulity. Přepážky, které ji rozdělují na komůrky, svědčí o tom, jak Nautilus rostl. Page 8 of 9
Nautilus totiž obývá ve svém bytě vždy jen poslední pokoj. Pokud je mu malý, přistaví hned vedle další, o kousek větší, a nastěhuje se do něj. Komůrka je sice větší než předcházející, ale má přesně ten samý tvar. Bylo by neodpustitelnou chybou, kdybychom zapomněli na schránky ze všech schránek "nejspirálovitější": ulity plžů. Má plž spirálovitou ulitu, protože má spirálovité tělo a "šije si šaty" na míru? Nebo je to naopak - tělo je spirálovité proto, aby pasovalo do stočené ulity? Pozor, to, co je z plže venku, to je pouze noha. Než odpovíte, vzpomeňte si, jak jsme zjistili, že logaritmická spirála je příznačná pro neživé části živého organismu. Plž nezačal stavět spirálovitou ulitu, protože měl takové tělo, ale protože schránka, kterou stavěl, se zatáčela do spirály, přizpůsobilo se tvarem i jeho tělo. Ale to bylo dávno. A ještě něco. Hmyz se ke světlu blíží po spirále a to logaritmické. Vysvětlení je jednoduché. Pohybuje se tak, aby světlo viděl stále pod stejným úhlem. Takže spirála pozpátku. Kromě toho nalezneme logaritmickou spirálu v umístění jader v plodu slunečnice, na úponku vinné révy, u mučenky, na kruhovém schodišti nebo u spirálových galaxií. Page 9 of 9