Ten objekt (veličina), který se může svobodně měnit se nazývá nezávislý.
|
|
- Ivo Jelínek
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 @ Základní pojmy Funkce funkční? Oč jde? Třeba: jak moc se oblečeme, závisí na venkovní teplotě, jak moc se oblečeme, závisí na našem mládí (stáří) jak jsme staří, závisí na čase jak moc zaplatíme na daních, závisí na našich příjmech jak dlouho se budeme dívat na televizi, závisí na tom, jak dlouho nás bude bavit atd. Především jde o závislost něčeho na něčem. Z naučného slovníku se dozvíme, že funkce vyjadřuje vztah mezi dvěma objekty (nebo skupinami objektů), při čemž změna jednoho z nich je provázena změnou druhého. Ten objekt (veličina), který se může svobodně měnit se nazývá nezávislý. Ve výše uvedených příkladech jsou nezávislé veličiny: venkovní teplota, náš věk, čas, příjmy,... Objekt (veličina), která se mění v závislosti na změnách jiného objektu se nazývá závislý. V matematice je pojem funkce velmi důležitý. Pojem funkce do vědy zavedl G. W. Leibniz ( německý filozof, matematik a diplomat). O zpřesnění pojmu funkce a prozkoumání jejich obecných vlastností se zasloužili v 18. století J. Bernoulli ( švýcarský matematik a fyzik), L. Euler ( švýcarský matematik a fyzik) a jiní, v 19. století zejména A. L. Cauchy ( francouzský matematik) a pražský rodák B. Bolzano ( filosof, matematik a logik - univerzitní profesor v Praze). Důvodem, proč se tolik zabýváme funkcemi a proč pokládáme funkce za jeden z nejdůležitějších pojmů matematiky, je přehlednost a snadná použitelnost funkcí jako modelů reálného světa, který nás obklopuje. Ať ve fyzice či ostatních přírodovědných a společenských oborech se vždy snažíme vztahy mezi veličinami svázat do jednoduchého vzorce - funkce. V tomto kurzu se naučíme postup, jak rychle získat graf studované funkce, protože obrázek řekne víc než nějaký vzorec. A dále si vytvoříme atlas tzv. elementárních funkcí, jehož znalost se nám v budoucnu vyplatí úplně stejně jako například atlas hub či motýlů. K dosažení našeho cíle potřebujeme spoustu pojmů. Ty jsou shromážděny právě v této kapitole. Nezbývá než je se s nimi seznámit a osvojit si příslušnou terminologii.
2
3 @004 Funkce může být zadána několika způsoby. Vždycky jde o to, abychom u každého reálného čísla x 0 dokázali určit: - zdali patří do definičního oboru x 0 D - jakou má přiřazenu funkční hodnotu f(x 0 ) H A Funkce může být zadána analyticky, tj. vzorcem : f : y 1 1 x 2 g : y x x x (0; {0} ( ) ;0) k získání funkčních hodnot stačí do předpisu dosadit a vzorec vyčíslit například f(0) = 1, f(1) = f(-1) = 1/2 g(0) = 0, g(1) = g(10) = 1, g(-2) = -1 B Funkce může být zadaná tabulkou (například naměřené hodnoty) Funkce F x y Funkční hodnoty, kdy je hodnota x uvedená v tabulce, se získá jejím odečtením; například F(12)=-1, F(5)=9 Získat funkční hodnoty pro x, které v tabulce nejsou uvedeny, je problém. Lze-li to, provedeme další měření. Nelze-li to, nastupují různé metody (interpolace, regrese) a musíme si být vědomi toho, že jde jen o lepší nebo horší odhad. C Funkce může být zadána grafem (empirické údaje z grafických měřících přístrojů)
4 Úkol: Jaký je rozdíl mezi funkcí y = f(x) a funkční hodnotou y 0 = f(x 0 )? žádný zásadní jen kosmetický
5 @007 Určete definiční obor funkce f 2 x : y 2 x x x 1 1 Pouze nula ve jmenovateli nám dělá problémy (nulou nelze dělit). Proto musíme řešit rovnici a kořeny vyloučit. x 2 - x + 1 = 0 Diskriminant kvadratické rovnice je D = 1-4 < 0 Z toho vyplývá, že neexistuje reálný kořen, a proto pro žádné reálné číslo nebude jmenovatel nulový => definičním oborem funkce f je celá množina reálných čísel D f = R Množina reálných čísel (definiční obor funkce) má nekonečně mnoho čísel. Tabulku hodnot nejsme schopni pro všechna čísla uvést (to je výhoda vzorce). Vytvoříme tabulku pro několik hodnot. x f: y 0, ,33 Úkol: Zakreslete do soustavy souřadnic body z tabulky a pokuste se načrtnout, jak asi vypadá graf funkce f. výsledek
6 @010 Právě ukončený příklad názorně ukazuje, že tabulková metoda moc účinná není. Víme-li, že grafem je přímka, pak stačí dva body (dvě funkční hodnoty) tak průběh funkce nakreslíme snadno. Ale jinak? Když se nad tím zamyslíme, pomohlo by nám, nějak vědět, kdy křivka grafu "jde nahoru", "jde dolů", kde má body "zvratu", jakou hodnotu a kdy určitě nepřekročí, a tak podobně. Půjdeme touto cestou. Musíme se však domluvit na terminologii, a proto následuje několik nutných definic. Bude jich hodně, ale je to potřeba. Dobře si je promyslete a prostudujete doprovodné obrázky.
7 @013 Definice: Říkáme, že funkce f je na intervalu J rostoucí, právě když pro každá dvě čísla z intervalu J platí, že menší číslo má také menší funkční hodnotu x 1,x 2 J : x 1 < x 2 => f(x 1 ) < f(x 2 ) Pozor! Nelze říct, že je funkce rostoucí na sjednocení intervalů J 1 J 2!!! Poznámka: (Jako pěší zleva doprava bychom řekli, že v úseku J cesta stoupá.) Proboha, neříkejte, že funkce je na intervalu stoupající. To se znemožníte! Správně odborně je to funkce rostoucí.
8 @016 Definice: Říkáme, že funkce f je na intervalu J nerostoucí, právě když pro každá dvě čísla z intervalu J platí, že menší číslo má větší nebo stejnou funkční hodnotu x 1,x 2 J : x 1 < x 2 => f(x 1 ) f(x 2 ) Poznámka: (Cesta v úseku J klesá nebo jde po rovině.)
9 @019 Poznámka: Aby funkce f mohla být sudá nebo lichá je nutné, aby byla definována na množině M souměrné kolem počátku souřadnic. Graf funkce sudé je osově souměrný podle osy y. Graf funkce liché je středově souměrný podle počátku souřadnic.
10 @022 Definice: Říkáme, že funkce f má v bodě a lokální minimum, právě když existuje okolí bodu a takové, že všechny funkční hodnoty pro čísla z tohoto okolí jsou větší nebo rovna funkční hodnotě f(a) >0 x U (a) : f(x) f(a) Poznámka: Mluvíme-li o lokálním minimu a maximu dohromady, bez rozlišení, mluvíme o lokálním (místním) extrému.
11 @025 Funkce f je zdola omezená. Musí mít již nutně také nějaké minimum? Ovšemže nemusí, ale může. Například ze základní školy známá nepřímá úměra 1 f : y pro x x se pro veliká čísla stále blíží k nule, ale nikdy jí nedosáhne. 0
12 @002 Co je to funkce v matematice? Lze nalézt několik různých definic. Dávají totéž, jen se opírají o jiné znalosti. Nejjednodušší je tento: Definice: Funkce je předpis, který každému reálnému číslu x z množiny D nejvýše jedno reálné číslo y. Číslo y se také označuje y = f(x). R přiřazuje Funkci stručně zapisujeme y = f(x) x D Je-li D = R (celá množina reálných čísel), ještě stručněji y = f(x) Chceme-li zvláště zdůraznit, že jde o funkci f, pak píšeme f: y = f(x) x D f Poznámka: Přesněji je nutné mluvit o reálné funkci jedné reálné proměnné. Ale protože my nebudeme studovat žádnou jinou, budeme mluvit stručně o funkci. Definice: Množina D těch reálných čísel, kterým je přiřazeno funkcí f právě jedno reálné číslo, se nazývá definiční obor funkce f. Definice: Množina H těch reálných čísel y, ke kterým existuje aspoň jedno reálné číslo x z definičního oboru funkce f tak, že y=f(x) se nazývá obor hodnot funkce f. Poznámka: Máme-li více funkcí f, g, h, v jednom příkladu, používáme pro rozlišení dolní indexy D f, D g, D h H f, H g, H h Úkol: Pokuste se nějak znázornit pomocí Vennových diagramů definiční obor a obor hodnot funkce f. výsledek
13 @005 Jaký je rozdíl mezi funkcí y = f(x) a funkční hodnotou y 0 = f(x 0 )? Řešení: Zásadní! y = f(x) to je funkce (definiční obor, obor hodnot, přiřazovací předpis) y 0 = f(x 0 ) to je číslo (jedna hodnota y 0 z oboru hodnot) Definice: Dvě funkce f a g se sobě rovnají (zapíšeme f=g) právě když 1) se rovnají definiční obory D f = D g 2) pro každé číslo x 0 z definičního oboru se sobě rovnají jejich funkční hodnoty y 0 = f(x 0 ) = g(x 0 ) Poznámka: Pozor rozlišujte f = g rovnost funkcí (stejné def. obory, stejné funkční hodnoty) f(x 0 ) = g(x 0 ) rovnost čísel (funkčních hodnot pro jedno x 0 ) f(x) = g(x) rovnice (hledáme čísla x 0, pro která bude platit rovnost čísel)
14 @008 Jak pospojovat izolované body z tabulky? V obrázku jsou tři odhady grafu funkce. Všechny mohou platit, protože křivky procházejí oněmi čtyřmi známými body. Mohli bychom vypočítat další souřadnice grafu rozšířením tabulky a graf tak zpřesnit, ale tento postup bude vždycky zatížen až absurdní chybou. Musíme si osvojit jinou metodu, jak získat graf funkce, která je zadaná předpisem.
15 @011 Definice: Funkce f se nazývá prostá, právě když pro každá dvě různá čísla definičního oboru dává různé funkční hodnoty x 1,x 2 D f : x 1 x 2 => f(x 1 ) f(x 2 ) Poznámka: Každá přímka rovnoběžná s osou x protíná graf prosté funkce nejvýše v jednom bodě.
16 @014 Definice: Říkáme, že funkce f je na intervalu J neklesající, právě když pro každá dvě čísla z intervalu J platí, že menší číslo má menší nebo stejnou funkční hodnotu x 1,x 2 J : x 1 < x 2 => f(x 1 ) f(x 2 ) Poznámka: Od předchozí definice se liší přidanou rovností: rostoucí <, neklesající Laicky lze říct, že rostoucí a(nebo) konstantní = neklesající. Poznámka: (Cesta v úseku J stoupá :-x nebo jde po rovině.)
17 @017 Definice: Říkáme, že funkce f je na intervalu J ryze monotonní právě když je na intervalu J rostoucí nebo klesající. Definice: Říkáme, že funkce f je na intervalu J monotonní právě když je na intervalu J rostoucí nebo nerostoucí nebo neklesající nebo klesající. Úkol: O funkci víme, že je na celém definičním oboru ryze monotonní. Lze tvrdit, že je prostá? ne ano
18 @020 Okolí bodu Další definice se týkají "malých" intervalů, kterým říkáme okolí. Definice: -okolím bodu a R, kde > 0, rozumíme množinu U (a) = {x R; x - a < } = {x R; a- < x < a+ } Poznámka: Nehledejte v tom nic složitého. Prostě vezmete do kružítka velikost, zapíchnete kružítko do bodu a, opíšete kružnici. -okolím je pak vnitřek opsaného kruhu. Protože se ale pohybujeme pouze po přímce (ose x), -okolím je průnik popsaného kruhu s osou x, tedy úsečka s bodem a uprostřed. -okolí má v matematice smysl pro hodně malá čísla.
19 @023 Definice: Říkáme, že funkce f je shora omezená, právě když existuje reálné číslo K a platí, že na celém definičním oboru jsou všechny funkční hodnoty menší nebo rovny K K R x D f : f(x) K
20 @026 Definice: Mějme funkci f, pro kterou je splněno tvrzení (její funkční hodnoty se po čase p znovu stejně opakují a opět, a opět) p>0 x D f : f(x+p) = f(x) Pokud lze ze všech takových čísel p nalézt minimum, tj. nalézt nejmenší kladné číslo p>0 splňující definiční vztah, funkce se nazývá periodická a číslo p se nazývá perioda.
21 @003
22 @006 Člověk nejvíce informací vnímá očima. (Druhá věc je, jak je umí vyhodnotit.) Proto i funkce nejraději vnímáme graficky. Definice: Grafem funkce f rozumíme obraz množiny (všech bodů [x; f(x)], kde x D) v rovině opatřené souřadnou soustavou. {[x; y]; x D, y H, y=f(x)} Problém je, jak k dané funkci sestrojit její graf. Na základní škole jste vytvořili tabulku pro několik vybraných hodnot a ty jste pak spojili jednoduchou čarou. Zkusme stejnou metodu pro funkci f 2 x : y 2 x x x 1 1 Úkol: Určete definiční obor, tj. množinu reálných čísel, pro která má předpis smysl (budeme určovat vždy ten největší možný) funkce f. výsledek
23 @009 Čárkovaná čára je asymptota, kterou graf vlevo i vpravo nemůže překročit.
24 @012 Definice: Říkáme, že funkce f je na intervalu J konstantní, právě když pro všechna čísla z intervalu J dává stejnou funkční hodnotu x 1,x 2 J : f(x 1 ) = f(x 2 ) J symbolizuje jakýkoli souvislý interval: otevřený, uzavřený, polouzavřený, neomezený. Poznámka: Graf funkce konstantní na intervalu J je na intervalu J rovnoběžný s osou x. (Jako pěší zleva doprava bychom řekli, že jdeme v úseku cesty J po rovině.)
25 @015 Definice: Říkáme, že funkce f je na intervalu J klesající, právě když pro každá dvě čísla z intervalu J platí, že menší číslo má větší funkční hodnotu x 1,x 2 J : x 1 < x 2 => f(x 1 ) f(x 2 ) Poznámka: (Jako pěší zleva doprava bychom řekli, že v úseku J cesta klesá.)
26 @018 O funkci víme, že je na celém definičním oboru ryze monotonní. Lze tvrdit, že je prostá? Ano, lze. Ryze monotonní = rostoucí nebo klesající funkce, tedy platí, že dvěma různým číslům přiřazuje dvě různé funkční hodnoty (větší nebo menší), a proto je prostá. Definice: Říkáme, že funkce f definovaná na množině M je sudá právě když x M : f(-x) = f(x) Definice: Říkáme, že funkce f definovaná na množině M je lichá právě když x M : f(-x) = -f(x) Poznámka: Sudá funkce dává stejné hodnoty bez ohledu na znaménko, maže znaménko. Například y = x 2, protože (-x) 2 = x 2 Lichá funkce znaménko vystrkuje například y = x 3, protože (-x) 3 = -x 3
27 @021 Definice: Říkáme, že funkce f má v bodě a lokální maximum, právě když existuje okolí bodu a takové, že všechny funkční hodnoty pro čísla z tohoto okolí jsou menší nebo rovna funkční hodnotě f(a) >0 x U (a) : f(x) f(a) Poznámka: Prostě funkční hodnota f(a) je v nejbližším okolí (dostatečně malém, třeba miniaturním, hlavně že takové okolí existuje) největší hodnotou.
28 @024 Definice: Říkáme, že funkce f je zdola omezená, právě když existuje reálné číslo K a platí, že na celém definičním oboru jsou všechny funkční hodnoty větší nebo rovny K K R x D f : f(x) K Definice: Říkáme, že funkce, která je omezená zdola i shora, je omezená. Úkol: Funkce f je zdola omezená. Musí mít již nutně také nějaké minimum? ne ano
29 @027 Jedním cílem této lekce je dovednost rychlého kreslení grafů funkcí. Abychom nakreslili dobře průběh funkce (její graf) musíme si všímat a) hraničních bodů definičního oboru, často to jsou - a +, b) bodů, kdy je ve jmenovateli 0, případně bodů něčím jiným důležitých c) najít body s lokálními minimy a lokálními maximy d) hledat intervaly, kde je funkce konstantní, rostoucí, klesající e) je-li funkce sudá, lichá nebo periodická To všechno nám dovolí zpřesnit náš náčrtek průběhu studované funkce. Výsledky si budeme zaznamenávat do přehledné tabulky - viz dále. Jak ale zmíněné body nalézt? Jak zjistit, kde je funkce monotónní? Matematika má prostředek, jak to zjistit. My si musíme nejprve tento prostředek osvojit. Seznámíme se s ním v další kapitole. KONEC LEKCE
Jak pracovat s absolutními hodnotami
Jak pracovat s absolutními hodnotami Petr Matyáš 1 Co to je absolutní hodnota Absolutní hodnota čísla a, dále ji budeme označovat výrazem a, je jeho vzdálenost od nuly na ose x, tedy je to vždy číslo kladné.
VíceFunkce a lineární funkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce
Více4. Lineární nerovnice a jejich soustavy
4. Lineární nerovnice a jejich soustavy 9. ročník 4. Lineární nerovnice a jejich soustavy 5 > 0 ostrá nerovnost 5.0 50 neostrá nerovnost ( používáme pouze čísla) ZNAKY NEROVNOSTI: > je větší než < je menší
VíceFUNKCE POJEM, VLASTNOSTI, GRAF
FUNKCE POJEM, VLASTNOSTI, GRAF Zavedení pojmu funkce funkce Funkce f na množině D R je předpis, který každému číslu x z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo y z množiny R. Množina D se nazývá definiční
VíceZáklady matematiky kombinované studium 714 0365/06
Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 1. Některé základní pojmy: číselné množiny, intervaly, operace s intervaly (sjednocení, průnik), kvantifikátory, absolutní hodnota čísla, vzorce: 2. Algebraické
VíceFunkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,
VíceFunkce - pro třídu 1EB
Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému
Více0.1 Úvod do matematické analýzy
Matematika I (KMI/PMATE) 1 0.1 Úvod do matematické analýzy 0.1.1 Pojem funkce Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost
VíceVariace. Kvadratická funkce
Variace 1 Kvadratická funkce Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Kvadratická funkce Kvadratická
VíceKOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky
KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE
VíceInovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT
Střední průmyslová škola a Vyšší odborná škola technická Brno, Sokolská 1 Šablona: Téma: Název: Autor: Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Funkce Funkce a její vlastnosti Ing. Vacková Věra
VícePrůběh funkce 1. Průběh funkce. Při vyšetření grafu funkce budeme postupovat podle následujícího algoritmu:
Průběh funkce Průběh funkce Při vyšetření grafu funkce budeme postupovat podle následujícího algoritmu:. Určení definičního oboru. 2. Rozhodnutí, jestli je funkce sudá, lichá, periodická nebo nemá ani
VíceJazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa
2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace
VícePRACOVNÍ SEŠIT FUNKCE. 4. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.
Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online PRACOVNÍ SEŠIT 4. tematický okruh: FUNKCE vytvořila: RNDr. Věra Effenberger epertka na online přípravu na SMZ z matematiky
VíceÚloha určit průběh funkce znamená nakreslit graf funkce na zadaném intervalu, nejčastěji na celé množině reálných čísel R.
@034 3. Průběhy funkcí Úloha určit průběh funkce znamená nakreslit graf funkce na zadaném intervalu, nejčastěji na celé množině reálných čísel R. Abychom nakreslili dobře průběh funkce (její graf) musíme
Více0.1 Funkce a její vlastnosti
0.1 Funkce a její vlastnosti Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost (m) čas (t) výše úrokové sazby v bance (i) cena
VíceEuklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.
Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a
VíceMATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu 2. stupeň
MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu 2. stupeň Obsahové, časové a organizační vymezení Předmět Matematika se vyučuje jako samostatný předmět v 6. až 8. ročníku 4 hodiny týdně, v 9. ročníku 3
VícePoznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení.
@083 6 Polynomické funkce Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. Definice: Polynomická funkce n-tého stupně (n N) je dána předpisem n n 1 2 f : y a x
Vícea r Co je to r-tá mocnina čísla a, za jakých podmínek má smysl, jsme důkladně probrali v kurzu ČÍSELNÉ MNOŽINY. Tam jsme si mj.
@121 12. Mocninné funkce a r Co je to r-tá mocnina čísla a, za jakých podmínek má smysl, jsme důkladně probrali v kurzu ČÍSELNÉ MNOŽINY. Tam jsme si mj. řekli: 1. Je-li exponent r přirozené číslo, může
VíceMatematika (KMI/PMATE)
Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Funkce a její vlastnosti Veličina Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Funkce a její
VícePavlína Matysová. 5. listopadu 2018
Soubor řešených úloh Vyšetřování průběhu funkce Pavlína Matysová 5. listopadu 018 1 Soubor řešených úloh Tento text obsahuje 7 úloh na téma vyšetřování průběhu funkce. Každé úloha je řešena dvěma způsoby
VíceExponenciální a logaritmická funkce
Variace 1 Exponenciální a logaritmická funkce Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Exponenciální
VíceBAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Numerické metody jednorozměrné minimalizace
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Numerické metody jednorozměrné minimalizace Vedoucí bakalářské práce: RNDr. Horymír
VíceMatematika I (KMI/PMATE)
Přednáška první aneb Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Úvod do matematické analýzy Osnova přednášky pojem funkce definice funkce graf funkce definiční obor funkce obor hodnot funkce
VíceMatematická funkce. Kartézský součin. Zobrazení. Uspořádanou dvojici prvků x, y označujeme [x, y] Uspořádané dvojice jsou si rovny, pokud platí:
Matematická funkce Kartézský součin Uspořádanou dvojici prvků x, y označujeme [x, y] Uspořádané dvojice jsou si rovny, pokud platí: [x, y] = [u, v] x = u y = v Pokud K, L jsou libovolné množiny, pak množinu
VíceKvadratická rovnice. - koeficienty a, b, c jsou libovolná reálná čísla, a se nesmí rovnat 0
Kvadratické rovnice Kvadratická rovnice a + b + c = 0 a, b, c R a 0 - koeficienty a, b, c jsou libovolná reálná čísla, a se nesmí rovnat 0 - pokud by koeficient a byl roven nule, jednalo by se o rovnici
VíceMATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY
MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY POMNĚNKA prase Pomni, abys nezapomněl na Pomněnku MSc. Catherine Morris POMNĚNKA Verze ze dne: 14. října 01 Materiál je v aktuální
VíceM - Kvadratická funkce
M - Kvadratická funkce Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně
VíceDerivace a průběh funkce.
Derivace a průběh funkce. Robert Mařík 14. října 2008 Obsah 1 Základní myšlenky. 2 2 Přesné věty a definice 10 3 Okolí nevlastních bodů. 16 4 Sestrojení grafu funkce. 19 1 Základní myšlenky. y x Uvažujme
VíceFunkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická
Variace 1 Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu
VíceKapitola 1: Reálné funkce 1/13
Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny 2/13 N = {1, 2, 3, 4,... }... přirozená čísla N 0 = N {0} = {0, 1, 2, 3, 4,... } Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4,... }... celá čísla Q = { p q p, q Z}... racionální
VíceVypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY
Vlastnosti funkcí Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Definiční obor Definiční obor funkce je množina všech čísel,
VíceTeorie množin. kapitola 2
Teorie množin kapitola 2 kapitola 2 část 3 Intervaly Základní poznatky Teorie množin Co po tobě budu dneska chtít? V této podkapitole tě naučím pracovat s intervaly, správně je zapisovat a zakreslovat
Více1. Definiční obor funkce dvou proměnných
Definiční obor funkce dvou proměnných Řešené příklady 1. Definiční obor funkce dvou proměnných Vyšetřete a v kartézském souřadném systému (O, x, y) zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou
VíceNejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně.
@021 3. Řešení grafické přímka v kartézské soustavě souřadnic Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně. Rovnice ax + by + c = 0, kde aspoň jedno z čísel a,b je různé od nuly je v kartézské
VíceDodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Strojírenství. (platné znění k 1. 9. 2009)
Střední průmyslová škola Jihlava tř. Legionářů 1572/3, Jihlava Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu Strojírenství (platné znění k 1. 9. 09) Tento dodatek nabývá platnosti dne 1. 9. 13 (počínaje
VíceMatice se v některých publikacích uvádějí v hranatých závorkách, v jiných v kulatých závorkách. My se budeme držet zápisu s kulatými závorkami.
Maticové operace Definice Skalár Představme si nějakou množinu, jejíž prvky lze sčítat a násobit. Pěkným vzorem jsou čísla, která už známe od mala. Prvky takové množiny nazýváme skaláry. Matice Matice
VíceFunkce základní pojmy a vlastnosti
Funkce základní pojm a vlastnosti Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Pojem funkce Vlastnosti funkcí Inverzní funkce 4 Základní elementární funkce Mocninné Eponenciální Logaritmické
VíceFUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI
PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI Pojem zobrazení a funkce Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic
VíceOtázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.
1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.
VíceFunkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015
Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární
VíceFunkce jedné reálné proměnné. lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou
Funkce jedné reálné proměnné lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou lineární y = ax + b Průsečíky s osami: Px [-b/a; 0] Py [0; b] grafem je přímka (získá se pomocí
VíceDIFERENCIÁLNÍ POČET SPOJITOST FUNKCE,
DIFERENCIÁLNÍ POČET SPOJITOST FUNKCE, LIMITA FUNKCE, DERIVACE FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století
Více7.2.1 Vektory. Předpoklady: 7104
71 Vektory Předpoklady: 7104 Některé fyzikální veličiny (například rychlost, síla) mají dvě charakteristiky: velikost směr Jak je znázornit, jedno číslo (jako například pro hmotnost m = 55kg ) nestačí?
Více7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy
, základní pojmy POJEM FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Reálná funkce f jedné reálné proměnné je funkce (zobrazení) f: X Y, kde X, Y R. Jde o zvláštní případ obecného pojmu funkce definovaného v přednášce. Poznámka:
VíceKvadratickou funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí. Definičním oborem kvadratické funkce je množina reálných čísel.
Kvadratická funkce Kvadratickou funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí y = ax 2 + bx + c Číslo a je různé od nuly, b,c jsou libovolná reálná čísla. Definičním oborem kvadratické funkce je
VíceMatematická analýza III.
1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )
VíceEdita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY
Přípravný kurs z matematik Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik 1 Obsah 1 Přehled použité smbolik 3 Základní pojm matematické logik a teorie množin 4.1 Element matematické logik.........................
VíceFunkce a základní pojmy popisující jejich chování
a základní pojmy ující jejich chování Pro zobrazení z reálných čísel do reálných čísel se používá termín reálná funkce reálné proměnné. 511 f bude v této části znamenat zobrazení nějaké neprázdné podmnožiny
Více9. Úvod do teorie PDR
9. Úvod do teorie PDR A. Základní poznatky o soustavách ODR1 Diferenciální rovnici nazveme parciální, jestliže neznámá funkce závisí na dvou či více proměnných (příslušná rovnice tedy obsahuje parciální
VíceRovnice. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou
Rovnice RNDr. Yvetta Bartáková Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Grafické řešení soustav rovnic a nerovnic VY INOVACE_0 0_M Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Soustav lineárních rovnic Soustavou
VíceŽe tuto definici znáte, ale stále přesně nevíte, jak funkci chápat? Ukážeme si konkrétní příklad. 1 2 3 4 5 Definiční obor (množina A)
Funkce úvod Co je funkce Funkce je předpis, který číslu z množiny A přiřazuje právě jedno číslo z množiny B. Množina A je definiční obor funkce a množina B je obor hodnot funkce. Že tuto definici znáte,
Víceobecná rovnice kružnice a x 2 b y 2 c x d y e=0 1. Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3;2].
Kružnice množina bodů, které mají od středu stejnou vzdálenost pojmy: bod na kružnici X [x, y]; poloměr kružnice r pro střed S[0; 0]: SX =r x 0 2 y 0 2 =r x 2 y 2 =r 2 pro střed S[m; n]: SX =r x m 2 y
VíceVyplňování souvislé oblasti
Počítačová grafika Vyplňování souvislé oblasti Jana Dannhoferová (jana.dannhoferova@mendelu.cz) Ústav informatiky, PEF MZLU. Které z následujících tvrzení není pravdivé: a) Princip interpolace je určení
VíceKVADRATICKÁ FUNKCE URČENÍ KVADRATICKÉ FUNKCE Z PŘEDPISU FUNKCE
KVADRATICKÁ FUNKCE URČENÍ KVADRATICKÉ FUNKCE Z PŘEDPISU FUNKCE Slovo kvadrát vzniklo z latinského slova quadratus které znamená: čtyřhranný, čtvercový. Obsah čtverce se vypočítá, jako druhá mocnina délky
VíceFunkce zadané implicitně
Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf
Vícezejména Dijkstrův algoritmus pro hledání minimální cesty a hladový algoritmus pro hledání minimální kostry.
Kapitola Ohodnocené grafy V praktických aplikacích teorie grafů zpravidla graf slouží jako nástroj k popisu nějaké struktury. Jednotlivé prvky této struktury mají často přiřazeny nějaké hodnoty (může jít
VíceExponenciální funkce. Exponenciální funkcí o základu a se nazývá funkce, která je daná rovnicí. Číslo a je kladné číslo, různé od jedničky a xεr.
Exponenciální funkce Exponenciální funkcí o základu a se nazývá funkce, která je daná rovnicí y = a x Číslo a je kladné číslo, různé od jedničky a xεr. Definičním oborem exponenciální funkce je tedy množina
VíceZadání projektů z BPC2 pro letní semestr 2007/2008
Zadání projektů z BPC2 pro letní semestr 2007/2008 Několik poznámek na úvod Projekt může být i konzolová aplikace. Záleží však na typu zadání, ne každé v konzolové aplikace vyřešit lze. Mezi studenty jsou
VíceOrganizace. Zápočet: test týden semestru (pátek) bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část
Matematika I 1/15 2/15 Organizace Zápočet: test 6. + 11. týden semestru (pátek) 80 bodů 50 79 bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část www.vscht.cz/mat Výuka www.vscht.cz/mat/jana.nemcova
VíceFunkce. Obsah. Stránka 799
Obsah 4. Funkce... 800 4.. Základní vlastnosti funkcí... 800 4.. Grafy funkcí... 8 4.. Eponenciální a logaritmické funkce... 8 4.4. Eponenciální a logaritmické rovnice... 8 4.5. Eponenciální a logaritmické
Více11. Geometrická optika
Trivium z optiky 83 Geometrická optika V této a v následující kapitole se budeme zabývat studiem světla v situacích, kdy je možno zanedbat jeho vlnový charakter V tomto ohledu se obě kapitoly podstatně
VíceLineární programování
Lineární programování Úlohy LP patří mezi takové úlohy matematického programování, ve kterých jsou jak kriteriální funkce, tak i všechny rovnice a nerovnice podmínek výhradně tvořeny lineárními výrazy.
VíceCZ.1.07/1.5.00/34.0527
Projekt: Příjemce: Digitální učební materiály ve škole, registrační číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0527 Střední zdravotnická škola a Vyšší odborná škola zdravotnická, Husova 3, 371 60 České Budějovice
VíceFAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 2003 2004
PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 003 004 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO M 0030 Vyjádřete jedním desetinným číslem (4 ½ 4 ¼ ) (4 ½ + 4 ¼ ) Správné řešení: 0,5 Zjednodušte výraz : ( 4)
VícePoznámky z matematiky
Poznámky z matematiky Verze: 14. dubna 2015 Petr Hasil hasil@mendelu.cz http://user.mendelu.cz/hasil/ Ústav matematiky Lesnická a dřevařská fakulta Mendelova univerzita v Brně Vytvořeno s podporou projektu
VíceLineární funkce, rovnice a nerovnice
Lineární funkce, rovnice a nerovnice 1. Lineární funkce 1.1 Základní pojmy Pojem lineární funkce Funkce je předpis, který každému číslu x z definičního oboru funkce přiřadí právě jedno číslo y Obecně je
VíceO FUNKCÍCH. Obsah. Petr Šedivý www.e-matematika.cz Šedivá matematika
O FUNKCÍCH Obsah Nezbytně nutná kapitola, kterou musíte znát pro studium limit, derivací a integrálů. Základ, bez kterého se neobejdete. Nejprve se seznámíte se všemi typy funkcí, které budete potřebovat,
VíceMatematika I Reálná funkce jedné promìnné
Matematika I Reálná funkce jedné promìnné RNDr. Renata Klufová, Ph. D. Jihoèeská univerzita v Èeských Budìjovicích EF Katedra aplikované matematiky a informatiky Reálná funkce Def. Zobrazení f nazveme
VíceZkouška ze Základů vyšší matematiky ZVMTA (LDF, ) 60 minut. Součet Koeficient Body
Zkouška ze Základů vyšší matematiky ZVTA (LDF, 8.2.202) 60 minut 2 3 4 5 6 7 Jméno:................................. Součet Koeficient Body. [6 bodů] a) Definujte pojem primitivní funkce. Co musí platit,
VícePedagogická poznámka: Celý obsah se za hodinu stihnout nedá. z ] leží na kulové ploše, právě když platí = r. Dosadíme vzorec pro vzdálenost:
753 Kulová plocha Předpoklady: 750 Pedagogická poznámka: Celý obsah se za hodinu stihnout nedá Kulová plocha = kružnice v prostoru Př : Vyslov definici kulové plochy Kulová plocha je množina všech bodů
VíceIntervalové stromy. Představme si, že máme posloupnost celých čísel p 0, p 1,... p N 1, se kterou budeme. 1. Změna jednoho čísla v posloupnosti.
Intervalové stromy Představme si, že máme posloupnost celých čísel p 0, p 1,... p N 1, se kterou budeme průběžně provádět tyto dvě operace: 1. Změna jednoho čísla v posloupnosti. 2. Zjištění součtu čísel
VíceFunkce. Definiční obor a obor hodnot
Funkce Definiční obor a obor hodnot Opakování definice funkce Funkce je předpis, který každému číslu z definičního oboru, který je podmnožinou množiny všech reálných čísel R, přiřazuje právě jedno reálné
VíceKFC/SEM, KFC/SEMA Elementární funkce
Elementární funkce Požadované dovednosti: lineární funkce kvadratická funkce mocniná funkce funkce s asolutní hodnotou lineárně lomená funkce exponenciální a logaritmická funkce transformace grafu Lineární
VícePřednáška 3: Limita a spojitost
3 / 1 / 17, 1:38 Přednáška 3: Limita a spojitost Limita funkce Nejdříve je potřeba upřesnit pojmy, které přesněji popisují (topologickou) strukturu množiny reálných čísel, a to zejména pojem okolí 31 Definice
VíceKGG/STG Statistika pro geografy
KGG/STG Statistika pro geografy 10. Mgr. David Fiedor 27. dubna 2015 Nelineární závislost - korelační poměr užití v případě, kdy regresní čára není přímka, ale je vyjádřena složitější matematickou funkcí
Více3. Matice a determinanty
. Matice a determinanty Teorie matic a determinantů představuje úvod do lineární algebry. Nejrozsáhlejší aplikace mají matice a determinanty při řešení systémů lineárních rovnic. Pojem determinantu zavedl
VíceSpojitost funkcí více proměnných
Reálné funkce více proměnných Reálnou funkcí n reálných proměnných rozumíme zobrazení, které každé uspořádané n ticireálnýchčíselznějaképodmnožinykartézskéhosoučinur R=R n přiřazuje nějaké reálné číslo.
VíceFinanční. matematika pro každého. f inance. 8. rozšířené vydání. věcné a matematické vysvětlení základních finančních pojmů
Finanční matematika pro každého 8. rozšířené vydání J. Radová, P. Dvořák, J. Málek věcné a matematické vysvětlení základních finančních pojmů metody pro praktické rozhodování soukromých osob i podnikatelů
VíceJe založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y =
0.1 Diferenciální počet Je částí infinitezimálního počtu, což je souhrnný název pro diferenciální a integrální počet. Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si
VíceZáklady matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 4. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 27 Množiny Zavedení pojmu množina je velice
VíceRozptyl. Pozn.: rozptyl je nezávislý na posunu hustoty pravděpodobnosti na ose x, protože Var(X) mi určuje jen šířku rozdělení.
Rozptyl Základní vlastnosti disperze Var(konst) = 0 Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) (nezávislé proměnné) Lineární změna jednotek Y = rx + s, například z C na F. Jak vypočítám střední hodnotu a rozptyl? Pozn.:
VíceFunkce, které jsme až dosud probírali, se souhrnně nazývají elementární funkce. Elementární snad proto, že jsou takové hladké, žádný nečekaný zlom.
@213 17. Speciální funkce Funkce, které jsme až dosud probírali, se souhrnně nazývají elementární funkce. Elementární snad proto, že jsou takové hladké, žádný nečekaný zlom. Nyní si řekneme něco o třech
VíceKomplexní číslo. Klíčové pojmy: Komplexní číslo, reálná část, imaginární část, algebraické počty s komplexním číslem
Komplexní číslo Cíl kapitoly: seznámení s použitím komplexního čísla v pythonu Klíčové pojmy: Komplexní číslo, reálná část, imaginární část, algebraické počty s komplexním číslem Komplexní číslo Opakování
Více1 Množiny, výroky a číselné obory
1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou
Vícehttp://user.mendelu.cz/marik, kde je dostupný ve formě vhodné pro tisk i ve formě vhodné pro prohlížení na obrazovce a z adresy http://is.mendelu.
Inženýrská matematika Robert Mařík Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg.
VíceVyučovací předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu
Vyučovací předmět: Matematika Školní vzdělávací program pro základní vzdělávání Základní školy a mateřské školy Dobrovice Charakteristika vyučovacího předmětu Obsahové, časové a organizační vymezení předmětu
Více7.1 Extrémy a monotonie
KAPITOLA 7: Průběh funkce [ZMA13-P38] 7.1 Extrémy a monotonie Řekneme, že funkce f nabývá na množině M Df svého globálního maxima globálního minima A v bodě x 0, jestliže x 0 M, fx 0 = A a pro každé x
VíceGymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. volné rovnoběžné promítání průmětna
Předmět: Matematika Náplň: Stereometrie, Analytická geometrie, Komplexní čísla Třída: 3. ročník Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: PC a dataprojektor Volné rovnoběžné promítání Zobrazí ve volném rovnoběžném
Více2 Spojité modely rozhodování
2 Spojité modely rozhodování Jak již víme z přednášky, diskrétní model rozhodování lze zapsat ve tvaru úlohy hodnocení variant: f(a i ) max, a i A = {a 1, a 2,... a p }, kde f je kriteriální funkce a A
VíceSemestrální projekt. do předmětu Statistika. Vypracoval: Adam Mlejnek 2-36. Oponenti: Patrik Novotný 2-36. Jakub Nováček 2-36. Click here to buy 2
Semestrální projekt do předmětu Statistika Vypracoval: Adam Mlejnek 2-36 Oponenti: Patrik Novotný 2-36 Jakub Nováček 2-36 Úvod Pro vypracování projektu do předmětu statistika jsem si zvolil průzkum kvality
Více5. Kvadratická funkce
@063 5. Kvadratická funkce Kvadratickou funkci také znáte ze základní školy, i když jen v té nejjednodušší podobě. Definice: Kvadratická funkce je dána předpisem f: y = ax 2 + bx + c, kde a, b, c R, a
VíceBakalářská matematika I
1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,
VíceFunkce pro učební obory
Variace 1 Funkce pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,
VíceMatematika 1 pro PEF PaE
Vázané extrémy funkcí více proměnných 1 / 13 Matematika 1 pro PEF PaE 11. Vázané extrémy funkcí více proměnných Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Vázané extrémy funkcí více proměnných Vázané
VíceMaturitní témata profilová část
Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,
VíceZákladní škola Moravský Beroun, okres Olomouc
Charakteristika vyučovacího předmětu matematika Vyučovací předmět má časovou dotaci čtyři hodiny týdně v prvním ročníku, pět hodin týdně ve druhém až pátém ročníku, pět hodin týdně v šestém ročníku a čtyři
Více7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy
Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/..00/07.0018 7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy V této chvíli jsme již ve výkladu přikročili ke kapitole, kterou můžeme považovat za
VíceMATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel
MATEMATIKA Příklady pro 1. ročník bakalářského studia II. část II.1. Posloupnosti reálných čísel Rozhodněte, zda posloupnost a n (n = 1, 2, 3,...) je omezená (omezená shora, omezená zdola) resp. monotónní
Více