Laboratorí cvičeí ze Základů fyziky Fakulta techologická, UTB ve Zlíě Cvičeí č. Úvod do zpracováí měřeí Teorie chyb Opakujeme-li měřeí téže fyzikálí veličiy za stejých podmíek ěkolikrát za sebou, dostáváme zpravidla růzé hodoty. Měřeé veličiě přísluší však jediá správá hodota. Každou odchylku aměřeé hodoty od správé hodoty azýváme obecě chybou. Chybou měřeí X budeme rozumět rozdíl mezi hodotou správou X a hodotou x získaou měřeím, tedy X X x. (1) Chyba může být jak kladá, tak i záporá. Je-li chyba kladá, musíme ji k aměřeé hodotě přičíst, abychom dostali hodotu správou, a aopak ji odečítáme, jde-li o chybu záporou. Udáváme-li chybu rozdílem správé hodoty a aměřeé hodoty daé veličiy, tj. absolutě, mluvíme o absolutí chybě měřeé veličiy. Rovice (1) je pak rovicí pro absolutí chybu. Jestliže vyjádříme chybu relativě vůči měřeé hodotě, docházíme k pojmu relativí chyby měřeé veličiy. Relativí chybou δ měřeé veličiy rozumíme poměr absolutí chyby X této veličiy a správé hodoty veličiy X. Pro relativí chybu tedy platí: X δ. () X Relativí chybu lze také vyjádřit poměrem aměřeé a správé hodoty daé veličiy: x δ 1. (3) X Relativí chyba se velmi často udává v procetech. Z obou uvedeých výrazů () i (3) je patré, že také relativí chyba může abývat kladých i záporých hodot. Podle jejich původu dělíme chyby do tří skupi: 1. Chyby hrubé vzikají při měřeí prováděém edbale ebo epozorě, s edokoalými či vadými přístroji, při užití evhodé metody. Naměřeá hodota se při opakovaém měřeí začě liší od ostatích, a proto je uté ji ahradit ovým měřeím ebo ji při koečém zpracováí výsledků euvažovat.. Chyby systematické (soustavé) jsou způsobey stále stejými a pravidelými vlivy, tedy výsledek měřeí je soustavě větší ebo meší ež správá hodota. Podle toho můžeme systematické chybě přisoudit určité zaméko. Původ systematických chyb je obvykle buď v měřící metodě (založeé a určitých zjedodušujících předpokladech), v měřících přístrojích (apř. posuutí počátku (uly) a stupici, závislost výchylky a měřeé veličiě eodpovídá děleí stupice apod.), ebo ve způsobu čiosti pozorovatele (apř. odhad a zaokrouhlováí zlomků dílků a stupici, pozorováí stupice a ukazatele z evhodého směru chyba úkosu, paralaxa). V řadě případů je možo systematické chyby vyloučit vhodými korekcemi. Systematické chyby elze vyloučit statistickými metodami. - 1 -
Laboratorí cvičeí ze Základů fyziky Fakulta techologická, UTB ve Zlíě 3. Chyby áhodé vzikají zcela áhodě vzájemým působeím pozorovatele, přístroje a prostředí. Jejich původ emůžeme odhalit. Každou áhodou chybu můžeme považovat za složeou z velkého počtu velmi malých áhodě vziklých a ojediěle epozorovatelých elemetárích chyb. O těchto elemetárích chybách můžeme předpokládat, že jejich zaméka i velikosti jsou epravidelě rozděley a aby vzikla pozorovatelá chyba, musí se jich složit větší počet. Elemetárí chyby jsou kladé i záporé a jejich složeím dojde pravděpodobě stejě často k chybám kladým i záporým. Nejčastěji se sejde přibližě stejý počet elemetárích chyb kladých i záporých, čímž vzikou malé áhodé chyby. Méě často se vyskytuje případ, že převažují elemetárích chyby stejého zaméka, a pak vzike áhodá chyba větší. Takové případy jsou málo pravděpodobé, takže počet áhodých chyb bude s velikostí chyby zatelě klesat. Chyby systematické ás svým způsobem iformují o správosti měřeí, chyby áhodé o přesosti měřeí. Normálí rozděleí Obecě lze říci, že toto rozděleí je použitelé všude tam, kde a kolísáí áhodé veličiy působí velký počet epatrých a vzájemě ezávislých jevů. Pro ahodilé rozděleí měřeých hodot při počtu měřeí, které se blíží ekoeču, platí vztah, odvozeý Gaussem tzv. ormálí statistické rozděleí, jemuž odpovídá i aalogické vyjádřeí pro rozděleí četosti áhodých chyb. Ze statistického rozboru tohoto problému plye ěkolik důležitých závěrů, které umožňují určit ejpravděpodobější hodotu měřeé veličiy a iterval, v ěmž se dá očekávat skutečá hodota s předem zvoleou pravděpodobostí. Kdybychom mohli vykoat ekoečý počet měřeí, pak by z přesé platosti zákoa četosti plyulo, že počet kladých chyb je rový počtu záporých chyb a že se tedy součet všech chyb rová ule. Aritmetický průměr všech měřeí by pak udával správou hodotu měřeé veličiy. Při skutečých měřeích můžeme ajít pouze ejpravděpodobější hodotu měřeé veličiy. Předpokládejme pro veličiu x měřeím získaé hodoty x 1, x,.., x. Předpokládejme dále, že chyby v jedom směru (kladé odchylky) jsou právě tak pravděpodobé jako chyby ve směru druhém (záporé odchylky), takže součet všech chyb je rove ule. Ozačíme-li pravděpodobou hodotu měřeé veličiy x, pak platí ( x ) + ( x x ) +... + ( x x ) 0 x (4) 1 a odtud plye pro pravděpodobou hodotu x měřeé veličiy výraz 1 x x i i 1. (5) Pravděpodobou hodotou je aritmetický průměr aměřeých hodot. To ovšem ezameá, že aritmetický průměr je přesě rový správé hodotě. Jeho smysl je te, že - -
Laboratorí cvičeí ze Základů fyziky Fakulta techologická, UTB ve Zlíě kdybychom měli velký počet řad o koečém počtu měřeí, vedl by aritmetický průměr častěji ke správé hodotě, ež kdybychom hodotu měřeé veličiy počítali jakýmkoli jiým způsobem. Každá hodota k x xk udává odchylku měřeí od aritmetického průměru. Abychom určili středí chybu jedotlivého měřeí, emůžeme odchylky sečíst a dělit počtem měřeí, protože součet odchylek od aritmetického průměru je rový ule. Proto odchylky umocíme a sečteme; součet ozačíme. Dělíme-li teto součet počtem měřeí, dostaeme průměr ze čtverců chyb, který se ve statistice azývá rozptyl ebo také variace a začí se., (6) Odmocia z tohoto průměru je směrodatá odchylka. (7) Tuto hodotu bychom mohli považovat za středí chybu jedoho měřeí, kdyby aritmetický průměr byl správou hodotou. Musíme však uvážit, že pro určeí směrodaté odchylky máme k dispozici je výběr ze souboru všech možých měřeí. Jedo měřeí potřebujeme k aměřeí hodoty, zbývajících -1 měřeí ke kotrole výpočtu chyby. Proto pro výpočet středí chyby jedoho měřeí bereme -1 místo. Výběrová směrodatá odchylka -1 azývaá též středí kvadratická chyba jedoho měřeí je 1. (8) 1 Nás však bude především zajímat, jakou chybou je zatíže výsledek měřeí - aritmetický průměr. Teto průměr je staove z většího počtu aměřeých hodot, máme tedy větší jistotu, že se skutečé hodotě blíží aritmetický průměr, ež pouze jediá hodota měřeí. Projeví se to i v chybách: aritmetickému průměru přísluší meší chyby, ež jedotlivým měřeím. Teorie chyb vede k výsledku, že chyba aritmetického průměru je krát meší ež chyba jedoho měřeí, přičemž je počet měřeí. Směrodatá odchylka aritmetického průměru (středí kvadratická chyba) je dáa vztahem. (9) ( 1) Vztah (9) eí příliš vhodý pro praktický výpočet, protože pro výpočet odchylek od průměru je třeba mít průměr předem vypočítaý. Můžeme vyjádřit: ( ) ( + ) ( ) i x xi xi x x xi xi x, (10) 1-3 -
Laboratorí cvičeí ze Základů fyziky Fakulta techologická, UTB ve Zlíě využili jsme při tom skutečosti, že xi x xi xi x ( ) i a ( xi ) x 1 i ( x ) x. (11) Do (1.9) dosadíme (1.10) a (1.11) a dostaeme ( xi ) 1 xi. (1) ( 1) Na Obr. 1 je akreslea fukce hustoty pravděpodobosti pro ormálí rozděleí. Obr. 1: Fukce hustoty pravděpodobosti pro ormálí rozděleí. Plocha pod křivkou (itegrál fukce) je úměrá pravděpodobosti, se kterou správá hodota může abývat hodot vyeseých a ose x. - V itervalu (-, ) (a Obr. 1 vybarveo tmavě) je tato pravděpodobost 0,683, to zameá. že v tomto itervalu by mělo být 68% hodot. - V itervalu (-, ) (a obr. 1 vybarveo světle i tmavě) je pravděpodobost 0,955. - V itervalu (-3, 3) pak je to 0,997. Kromě středí chyby uvádíme ěkdy také pravděpodobou chybu, která je rova /3 středí chyby. Její výzam je teto: je stejě pravděpodobé, že chyba jedoho měřeí (libovolě vybraého) je meší ež pravděpodobá chyba, jako že tato chyba je větší ež pravděpodobá chyba. Při velkém počtu měřeí je tedy polovia skutečých chyb meší, druhá polovia větší ež pravděpodobá chyba. Pravděpodobá chyba jedoho měřeí je ϑ 1. (13) 3-4 -
Laboratorí cvičeí ze Základů fyziky Fakulta techologická, UTB ve Zlíě V ěkterých případech používáme ještě krají chybu χ, která je rova trojásobku středí chyby: χ 3. U krají chyby máme pravděpodobost 99,73 %, že se ám v měřeí evyskyte hodota s chybou větší ež je krají chyba. Jedu chybu větší ež χ můžeme tedy očekávat průměrě v 370 měřeích. Vzájemé vztahy mezi uvedeými chybami jsou ásledující: ϑ : : χ 0,67 :1: 3. (14) Stejé vztahy jako mezi chybami jedoho měřeí jsou i mezi odpovídajícími chybami aritmetického průměru. Na Gaussově křivce (Obr. 1) odpovídá pravděpodobé chybě hodota, jejíž pořadice dělí plochu Gaussovy křivky a části, z ichž prostředí zaujímá poloviu celkové plochy, obě krají také poloviu. Geometrický výzam středí kvadratické chyby je te, že v místě má Gaussova křivka iflexí bod. Aby bylo zřejmé, do jaké míry je zaruče výsledek měřeí, připisujeme k ěmu jeho středí kvadratickou chybu. Píšeme tedy výsledek ve tvaru: x x ±. (15) Číselě uvádíme chybu zpravidla pouze a jedo platé místo a počet číslic ve výsledku omezíme tak, aby chyba zasahovala pouze do posledího místa. Například: m(7,3 ± 0,04) g. V případě, že je matisa chyby 1, uvádíme chybu zpravidla a dvě místa (apř. m(7,3 ± 0,1) g). Pokud z ějakých důvodů uvádíme jiou chybu ež středí kvadratickou, je třeba a teto fakt v textu výslově upozorit! Obr. : Závislost chyby průměru a počtu měřeí. Chyba průměru je vyášea jako ásobek výběrové chyby jedoho měřeí. Je zřejmé, že čím větší počet měřeí vykoáme, tím máme větší jistotu při staoveí výsledé hodoty a tím meší bude chyba výsledku. Závislost středí chyby aritmetického průměru a počtu měřeí je graficky zázorěa a Obr.. Vidíme, že se vzrůstajícím počtem měřeí klesá chyba aritmetického průměru zpočátku prudce, pak mírě. Z této křivky můžeme odhadout, kolik musíme vykoat měřeí,abychom dosáhli požadovaé přesosti. Obvykle stačí měřit desetkrát; při dalším zvyšováí počtu měřeí vzrůstá přesost výsledku je velmi zvola. - 5 -
Laboratorí cvičeí ze Základů fyziky Fakulta techologická, UTB ve Zlíě Výpočet aritmetického průměru a chyby (příklad) Ručí zpracováí Posuvým měřítkem byla staovea desetkrát tloušťka x, přičemž byly odhadováy ještě desetiy dílků stupice. Výsledky jsou uvedey v tabulce: xi,559 x 0,559 cm 10 Aritmetický průměr tloušťky je 0,559 cm. ( xi ) i x i (cm) x i (cm ) 1 0,56 0,0655 0,58 0,0666 3 0,55 0,0650 4 0,55 0,0650 5 0,54 0,0645 6 0,56 0,0655 7 0,57 0,0660 8 0,55 0,0650 9 0,59 0,0671 10 0,54 0,0645 Σ,559 0,6549 1 xi 0,654873,559 /10 0,654873 0,6548481 0, 00053 cm. ( 1) 90 90 Směrodatá odchylka aritmetického průměru je 0,00053 cm. Zaokrouhlíme a jedu platou číslici: ±0, 0005 cm. Výsledek měřeí apíšeme tak, že k aritmetickému průměru připíšeme středí kvadratickou chybu zaokrouhleou a jedo platé místo: x (0,559±0,0005) cm. Pravděpodobá chyba aritmetického průměru je rova dvěma třetiám směrodaté odchylky: ϑ ±.0,00053 ± 0,00035 cm. 3 3 Zpracováí v Excelu Výpočet průměru s směrodaté odchylky průměru je v Excelu velmi jedoduchý. Pro výpočet aritmetického průměru obsahuje fukci PRUMER(). Pro směrodatou odchylku průměru eí k dispozici přímá fukce a je třeba použít fukce SMODCH(), která vrací směrodatou odchylku jedoho měřeí vypočítaou podle vztahu (7). Abychom získali směrodatou odchylku průměru, je třeba tuto hodotu vydělit, v souladu se vztahem (9), odmociou z počtu měřeí zmešeého o jedu, viz. Obr. 3. - 6 -
Laboratorí cvičeí ze Základů fyziky Fakulta techologická, UTB ve Zlíě Obr. 3: Výřez listu Excelu s výpočtem průměru a jeho směrodaté odchylky. Výpočet chyby hodoty fukce z chyb ezávisle proměých Než přejdeme k určeí chyby aritmetického průměru, předpokládejme, že máme z výsledků měřeí ěkolika vzájemě ezávislých veliči x, y, z,, určit hodotu veličiy (Veličia V je tedy výsledkem epřímých měřeí). V f (x,y,z, ) (16) Jsou-li chyby jedotlivých měřeých veliči ( x), ( y), ( z),, (emusí to ovšem být právě směrodaté odchylky, mohou to být chyby odpovídající jié pravděpodobosti výskytu, avšak pro všechy veličiy x, y, z,., stejého druhu), pak při počítáí chyby veličiy V s imi pracujeme podobě jako s difereciály ezávisle proměých. Z teorie pravděpodobosti pro chybu veličiy V dostáváme f f ( V ) [ ( x) ] + [ ( y) ] +.... (17) x y Je-li V f (x) (fukce jedé ezávisle proměé), pak (apř. je-li V ax, je ( V ) a ( x) df ( V ) ( x) f ( x) ( x). (18) dx ). ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Zavedeme-li relativí chybu ( ) ( x) δ x pak x k Pro V x je k 1 ( V ) kx ( x) (19) a odtud ( ) ( V ) δ V k. δ ( x). (0) V - 7 -
Laboratorí cvičeí ze Základů fyziky Fakulta techologická, UTB ve Zlíě f f Pro V x ± y je 1, ± 1 x y a ( V ) ( x) ( y) +. (1) Geometricky to zameá, že chybu součtu ebo rozdílu dvou veliči určíme jako délku přepoy v pravoúhlém trojúhelíku, o odvěsách rových velikostem chyb jedotlivých sčítaců. Toto pravidlo sado rozšíříme i a větší počet sčítaců. Pro V x. y dostaeme ebo relativí chybu součiu ( V ) x. ( y) y. ( x) + () ( V ) δ ( x) δ ( x) δ +. (3) Vidíme, že relativí chyba součiu je vyjádřea podobým vztahem, jako absolutí chyba x součtu. Sado se odvodí podobé vztahy i pro chybu součiu V x. y. z a podílu V. y (Odvoďte sami, obojí i pro relativí chyby). ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Příklad 1: Vypočteme objem V válečku a jeho středí kvadratickou chybu ( V ) užitím vzorce V π. r. h, kde r je poloměr válečku a h jeho výška. Mikrometrem byl změře průměr d válečku: Posuvým měřítkem výška h válečku: d (,44 ± 0,004) cm, h (4,56 ± 0,01) cm. Vypočteme ejdříve poloměr válečku. Poloměr d r 1,1 cm. Středí chyba poloměru je rova poloviě středí chyby průměru: ( r ) Poloměr válečku je tedy r (1,1± 0,00) cm. V π cm 3 Po dosadíme do vzorce. r. h 3,14. ( 1,1). 4,56 1, 5 ( d ) 0,00 cm. (protože průměr je měře a čtyři místa, výška a tři, počítáme objem zkráceě a čtyři místa) Středí chybu tohoto výsledku vypočteme dosazeím do vzorce ( V ) ( V ) ( ) + ( V ) ± ( r ) h. r h - 8 -
Laboratorí cvičeí ze Základů fyziky Fakulta techologická, UTB ve Zlíě Protože parciálí derivace V r V πrh, h πr, je ( V ) ± [ π r h ( r )] [ π r δ ( h )] + a po úpravě ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) r h V ± πr h + πr h. r h Absolutí středí chyba výsledku je dáa vzorcem ( V ) ± V r ( r ) ( h ) + h a relativí chyba ( V ) ( r ) ( h ) δ ( V ) ± +. V r h Numericky počítáme absolutí středí chybu objemu a jedo místo, tj pod odmociou a dvě místa růzá od uly: 0,004 0,01 ( V ) ± 1,5. + ± 1,5. 0,0033 + 0,00 1,1 4,56 ± 1,5. 0,000011+ 0,000005 1,5. 0,000016 ±1,5.0,004 & 0,08 cm 3 Výsledek píšeme ve tvaru: V (1,5±0,08) cm 3. Pozámka 1: Při výpočtu jsme viděli, že relativí chyba poloměru, který je ve vzorci pro výpočet objemu ve druhé mociě, se uplatila dvojásobě, bylo by proto vhodé měřit poloměr s větší přesostí! ( V ) 0,08 Vypočteme ještě relativí chybu objemu: 0,0038, tj. přibližě 0,4% V. V 1,5 Pozámka : U fukcí typu u x k y m z vychází pro relativí chybu vztah: u ( u ) k. ( x) m. ( y). ( z) ± x + y + z. - 9 -
Laboratorí cvičeí ze Základů fyziky Fakulta techologická, UTB ve Zlíě Příklad : Určete chybu objemu koule vypočítaého z aměřeého průměru d: 3 Protože platí vztah V π 6 d, π určíme ( V ) d ( d ), ( V ) ( d ) takže 3. V d Sami zvažte, co plye z provedeého rozboru chyby. Sezam použité a doporučeé literatury: [1]... - - 10