ZÁKLADY INFORMATIKY 14ZINF Číselné soustavy
Data v číslicových počítačích I. nejčastěji počítače pracují s údaji vyjádřenými ve dvojkové soustavě, tedy pomocí číslic 0 a 1 důvod dvojkové soustavy byl ten, že první počítače byly reléové, tedy šlo rozlišit pouze 2 stavy (0 rozepnuto, 1 sepnuto) nejmenší jednotkou informace je 1 bit (1b) z anglického binary digit
Data v číslicových počítačích II. nejmenší objem dat, se kterými obvykle počítač může pracovat je 1 Byte (1 bajt, 1B) 1 Byte = 8 bit pomocí 1B lze vyjádřit 2 8 =256 různých hodnot
Předpony soustavy SI kilobyte kb 1000 1 B 10 3 bajtů megabyte MB 1000 2 B 10 6 bajtů gigabyte GB 1000 3 B 10 9 bajtů terabyte TB 1000 4 B 10 12 bajtů petabyte PB 1000 5 B 10 15 bajtů exabyte EB 1000 6 B 10 18 bajtů
Násobky bajtů Historicky (z technologických důvodů) vzniklo označování 1kB (malé k )= 10 3 B = 1000 B 1KB (velké k )= 2 10 B = 1024 B Problém, jak to rozlišit u dalších předpon (mega, giga,.) velikostí písmene není možné (mb není zkratkou pro megabajt) - řešení viz IEC
International Electrotechnical Commission (IEC) v roce 1998 kibibyte KiB 1024 1 B 2 10 bajtů mebibyte MiB 1024 2 B 2 20 bajtů gibibyte GiB 1024 3 B 2 30 bajtů tebibyte TiB 1024 4 B 2 40 bajtů pebibyte PiB 1024 5 B 2 50 bajtů exbibyte EiB 1024 6 B 2 60 bajtů v ČR převzato jako ČSN IEC 60027-2
Obvyklé uvádění velikostí polovodičové paměti, velikost souborů ~ 2 x 1GB = 1 GiB = 2 30 B např. 2GB RAM (prodejní velikost) reálná velikost = 2*2 30 /2 20 = 2048MB IEC 60027-2 není moc používána (výjimka např. WinSCP) pevné disky ~ 10 x 1GB = 10 9 B např. 1.5TB HDD (prodejní velikost) reálná velikost = 1.5*10 12 /2 40 =1.364TB
Vyřešte Společnost XYZ nabízí připojení k Internetu s rychlostí 25Mb/s. Za jakou dobu při této rychlosti by bylo přeneseno video o velikosti 724 MiB? 25 Mb/s = 25*10 6 b/s = (25*10 6 ):8 B/s = 3,125 *10 6 B/s 724 MiB = 724*2 20 B = 759169024 B doba stahování [s] = 724*2 20 [B] / 3,125*10 6 [B/s] = 242,93...[s] 243 [s] = 4 min, 3 s
Polyadické soustavy I. jsou označovány jako soustavy poziční, hodnota číslice je dána její pozicí v čísle. V běžném životě i v informatice často používány každá standardní polyadická soustava je charakterizována přirozeným číslem z, z 2, tzv. základem soustavy hovoříme o soustavě se základem z, aneb o z-adické soustavě pro zápis čísla v z-adické soustavě je k dispozici z číslic v rozsahu <0,,z-1>
Polyadické soustavy II. obecný zápis čísla v z-adické soustavě a n a n-1.a 1 a 0,a -1 a -m = a n *z n +a n-1 *z n-1 +.+a 1 *z 1 +a 0 *z 0 +a -1 *z -1 + +a -m *z -m pozice jednotlivých číslic se nazývají řády, a n n-tý řád,a 0 nultý řád
Nejznámější polyadické soustavy dvojková (binární) z = 2 osmičková (oktalová) z = 8 desítková (dekadická) z = 10 šestnáctková (hexadecimální) z = 16
Polyadické soustavy III. Pro dekadickou soustavu (z=10) např. 495,3 = 4*10 2 +9*10 1 +5*10 0 +3*10-1 základ řád 495,3 celá část zlomková část
Polyadické soustavy IV. v soustavě o libovolném základu lze vždy vyjádřit celou část čísla o určité hodnotě na konečný počet řádů zlomkovou část čísla nelze vyjádřit na konečný počet řádů v soustavě o libovolném základu důsledek počítače zaokrouhlují (zaokrouhlovací chyba) 1 3 = 0, 3 (10) = 1 3 1 = 0,1 (3)
Dvojková soustava základ soustavy z=2 číslice 0 a 1 řád 3 2 1 0-1 -2 1 0 0 1, 0 1 = 1*2 3 +0*2 2 +0*2 1 +1*2 0 +0*2-1 +1*2-2
Šestnácková soustava základ soustavy z=16 číslice 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F oproti dvojkové soustavě výrazně kratší zápis a snadný převod (2)=>(16) řád 3 2 1 0-1 -2 9 B 0 1, 0 F = 9*16 3 +11*16 2 +0*16 1 +1*16 0 +0*16-1 +15*16-2
Převod do desítkové soustavy I. obecně ze z-adické soustavy a n a n-1.a 1 a 0,a -1 a -m (z) = a n *z n +a n-1 *z n-1 +.+a 1 *z 1 +a 0 *z 0 +a -1 *z -1 + +a -m *z -m (10)
Převod do desítkové soustavy II. 11101 (2) =1*2 4 +1*2 3 +1*2 2 +0*2 1 +1*2 0 =16+8+4+0+1 =29 (10) 11101 (3) =1*3 4 +1*3 3 +1*3 2 +0*3 1 +1*3 0 =81+27+9+0+1=118 (10) 11101 (4) =1*4 4 +1*4 3 +1*4 2 +0*4 1 +1*4 0 =256+64+16+0+1=337 (10) 11101 (8) =1*8 4 +1*8 3 +1*8 2 +0*8 1 +1*8 0 =4096+512+64+0+1=4673 (10)
Převod z desítkové soustavy I. převod do z-adické soustavy 1. metoda rozepsat číslo na součet mocnin z D n D 0(10) = a n *z n +.+a 1 *z 1 +a 0 *z 0 =a n a 1 a 0(z) 75 (10) = 64 + 8 + 2 +1 = 1*2 6 +1*2 3 +1*2 1 +1*2 0 = 1001011 (2)
Převod z desítkové soustavy II. převod do z-adické soustavy 2. metoda počítání zbytků po celočíselném dělení z (% zbytek po dělení) a celočíselných podílů z ( celočíselný podíl)
Převod z desítkové soustavy II. 75 10 => 1001011 2 75 % 2 = 37 1 (%[modulo], celočíselný zbytek po dělení) 37 % 2 = 18 1 18 % 2 = 9 0 9 % 2 = 4 1 4 % 2 = 2 0 2 % 2 = 1 0 1 % 2 = 0 1
Převod z desítkové soustavy III.
Převody mezi soustavami Obecný převod a) z-adické soustavy do desítkové b) z desítkové do z-adické soustavy (3) (8) Příbuzné soustavy základ soustavy X je n-tou mocninou základu soustavy Y (2) (16) => 2 4 = 16 číslice šestnáctkové soustavy je ve dvojkové soustavě reprezentována čtyřmi číslicemi (a naopak)
Převodová tabulka (10) <=> (16) <=> (2) SOUSTAVA desítková šestnáctková binární 0 0 0 1 1 1 2 2 10 3 3 11 4 4 100 5 5 101 6 6 110 7 7 111 8 8 1000 9 9 1001 10 A 1010 11 B 1011 12 C 1100 13 D 1101 14 E 1110 15 F 1111 -- 1*2 3 +0*2 2 +1*2 1 +0*2 0 = 10 (10) = A (16)
Převod z (2) do (4) a zpět 100101101 (2) =10231 (4) 1 0 2 3 1 3 1 0 0 2 (4) =1101000010 (2) 1101000010
Převod z (2) do (8) a zpět 111110011 (2) =763 (8) 7 6 3 4 0 7 2 (8) =100000111010 (2) 100000111010
Převod z (2) do (16) a zpět 111110011 (2) =1F3 (16) 1 F 3 E 9 4 A (16) =1110100101001010 (2) 1110100101001010
Jak snadno udělat převod z (4) do (16) a zpět? (4) =>. (2) =>.. (16) (16) =>. (2) =>.. (4)
Převody mezi číselnými soustavami I. A5F (16) => (2) A 5 F 1010 0101 1111 = 101001011111 (2) 723 (8) => (2) = 111010011 (2) 111001010 (2) => (16) = 1CA (16) 111001010 (2) => (8) = 712 (8) 111001010 (2) => (4) = 13022 (4)