ZÁVISLOSTI, VZTAHY A PRÁCE S DATY

ZÁVISLOSTI, VZTAHY A PRÁCE S DATY Očekávané výstupy: 1. Žák vyhledává, vyhodnocuje a zpracovává data - Žák vyhledává potřebné údaje v tabulce, diagramu a grafu - Žák vyhledá a vyjádří vztahy mezi uvedenými údaji v tabulce, diagramu a grafu (četnost, aritmetický průměr, nejmenší a největší hodnota) - Žák pracuje s časovou osou - Žák převádí údaje z textu do tabulky, diagramu, grafu a naopak 2. Žák porovnává soubory dat - Žák porovná kvantitativní vztahy, které jsou uvedeny v různých tabulkách nebo v tabulce a diagramu - 3. Žák určuje vztah přímé a nepřímé úměrnosti - - Žák vytvoří tabulku pro přímou a nepřímou úměrnost na základě textu úlohy - Žák rozliší přímou a nepřímou úměrnost z textu úlohy 4. Žák vyjádří jednoduchý funkční vztah tabulkou, rovnicí, grafem - Žák pozná funkční závislost z textu úlohy, z tabulky, z grafu a rovnice - Žák přiřadí funkční vztah vyjádřený tabulkou k příslušnému grafu a naopak - Žák vyčte z grafu podstatné informace (nejmenší, největší hodnota, růst, pokles) 5. Žák matematizuje jednoduché reálné situace s využitím funkčních vztahů - - Žák vybere odpovídající funkční vztah, který popisuje jednoduchou reálnou situaci

Úloha 1 1. Žák vyhledává, vyhodnocuje a zpracovává data 1. Největší měsíční přírůstek odpovídá největšímu rozdílu mezi předchozí a následující hodnotou v různých měsících. Přírůstek od února do března činil 400-200 = 200 g, od března do dubna 750-400 = 350g, od května do dubna 1050-750=300g, od května do června 1300-1050=250g a od června do července 1500-1300=200g. Největší přírůstek je tedy 350g. 2. Průměrný měsíční přírůstek je podíl celkového součtu všech přírůstků a počtu měsíců, kdy přírůstků dosahoval, tedy aritmetický průměr všech přírůstků: tj. (200+350+300+250+200):5 = 260 gramů. 3. váha po dalších 5i měsících je rovna součtu váhy v červenci a pětinásobku přírůstku 120g za měsíc, tedy váha = 1500 g +5.120 g = 2100 g

Úloha 2 Gymnázium, Boskovice Řešení : 1. Česko 2. Švédsko, 3. 2 branky 4. Sestav tabulku četností branek ve všech utkáních a urči, který tým byl brankově nadprůměrný? 4. Tabulka četností branek Rusko Kanada Švýcarsko Německo Švédsko Dánsko Finsko Česko 8 2 0 3 9 2 1 7 5. Ve všech utkáních padlo celkem mezi osmi soupeři 32 branek, průměrně tedy dal jeden tým 8:2 = 4 branky. Brankově nadprůměrné bylo tedy Rusko, Švédsko a Dánsko.

Úloha 3 V průběhu 24 hodin se zaznamenávala do grafu teplota vzduchu: a) kolik hodin byla teplota vzduchu 1stupeň Celsia nebo vyšší? b) Urči tříhodinové intervaly, během nichž teplota poklesla právě o 3 stupně Celsia. c) Ve kterou denní dobu rostla teplota největším tempem? a) z grafu je vidět, že teplota větší nebo rovna 1 stupni Celsia byla v noci od půlnoci až do 4 hodin ráno a pak během dne od 12i do 20i hodin, celkem tedy 12 hodin b) zaměříme se jen na části grafu s poklesem teplot ( přibližně mezi 0 a 9. hodinou a mezi 15. a 24. hodinou), v první části s poklesem teplot klesla teplota o 3 stupně v době od 3 do 6i hodin ( ze 2 na -1 stupeň) a v druhé části s poklesem teplot je to interval od 18i do 21 hodin (ze 3 na 0 stupňů), v ostatních částech poklesu o 3 stupně neodpovídají přesně tříhodinové intervaly c) nárůst teplot je patrný např. od 9. do 13. hodiny, kdy za 4 hodiny narostla teplota o 5 stupňů (z -2 na 3 stupně), ale nejvyšší nárůst je patrný v té části grafu, kde křivka nejstrměji stoupá, a to je mezi 11. a 13. tou hodinou kdy teplota vzrostla za dvě hodiny o 4 stupně ( z -1 na 3)

2. Žák porovnává soubory dat - Úloha 1: a) Na obrázku je sledovanost televizních programů v ČR 15.3.2001 mezi 18. a 19. hodinou ve 1200 domácnostech. Urči kolik domácností sledovalo v uvedeném čase jednotlivé televizní kanály. Sestav tabulku četností. určíme si, kolik tvoří 1 % z celkového počtu 1200 domácností, je to 1200:100 = 12 domácností. Pak již jednoduchou přímou úměrou (trojčlenkou) určíme počet domácností d vzhledem k procentuální sledovanosti p, tedy d = 12.p, proto například kanál ČT1 sledovalo d=12.45=540 domácností. Sestavíme tabulku četností: kanál Kanál ČT1 Kanál TV3 Kanál Prima Kanál Nova Kanál ČT2 Počet domácností 540 12 60 408 180 b) Diagram znázorňuje statistiku navštívení webových stránek podle oblastí, na které se zaměřují. Urči procentuální návštěvnost oblastí webových stránek, které jsou navštěvovány nejvíce a nejméně. Nejdříve určíme z grafu podle vybarvené plochy v diagramu, že nejnavštěvovanější oblast je oblast informace/komunikace a nejméně navštěvovaná je oblast zábava/kultura. Abychom mohli určit procentuální návštěvnost jednotlivých stránek, musíme nejdříve určit celkový počet návštěvníků na všech stránkách, tedy c = 6474122+4588354+969039+962679+747858+1446554 = 15188606, a teprve nyní můžeme určit procentuální návštěvnost jako relativní četnost jako podíl návštěvníků na daných stránkách a celkového počtu návštěvníků. Pro oblast informace/komunikace je to podíl 6474122/15188606 = 0,426 = 42,6%. Pro oblast zábava/kultura je to podíl 747858/15188606 = 0,049 = 4,9%

Úloha 2: Gymnázium, Boskovice Lze tabulka doplnit jediným způsobem? Vyjdeme z prvního řádku, kde jdou všechny informace o Adamovi a z nich lze určit, kolik činila cena za 1 den pobytu. Pokud zaplatil za 7 dnů 540 Kč a 36 mu vrátili, stál jeden den (540-36):7 = 72 Kč. Pak již můžeme vyplňovat ostatní řádky. David zaplatil 490 Kč a vrátili mu 58, tak při ceně 72 Kč za jeden den, byl na výletě (490-58):72 = 6 dnů. Filip byl na výletě 7 dnů, měl by tedy zaplatit 7.72 = 504 Kč, pokud musí doplatiti 44 Kč, je jeho záloha 504-44 = 460 Kč. Honza byl na výletě 4 dny, měl by tedy zaplatit 4.72 = 288 Kč,pokud mu nic nevrátili, mohl zaplatit zálohu 288 Kč a pak by ani nemusel nic doplácet. Ale není to jediná možnost doplnění tabulky, pokud by zaplatil o x Kč méně v záloze, tedy částku 288 x, musel by pak x Kč doplácet.

Úloha 3: a) Každý měsíc koupila právě jeden druh rybiček a zaplatila za ně 420 Kč. Který měsíc koupila nejdražší a který měsíc nejlevnější rybičky? Kolik které stály? b) V květnu si chce přikoupit tolik rybiček, kolik by si jich kupovala v předchozích měsících,kdyby chtěla přidávat do akvária každý měsíc stejný počet rybiček. Kolik bude stát jedna rybička v květnu, pokud má zase k dispozici 420 Kč? nesestrojila diagram správně, zaměnila počty rybek v lednu a únoru a) mezi cenou c za jednu rybičku a počtem p rybiček platí vztah nepřímé úměrnosti c = 420: p, nejdražší byly ty, kterých bylo nejméně - 3 v lednu, jedna stála c = 420:3 = 140 Kč, nejlevnější byly ty, kterých bylo nejvíce 7 v dubnu cena za ně byla c = 420:7 = 60Kč b) v květnu si koupí počet, který odpovídá aritmetickému průměru p = (3+4+6+7) :4 = 5 za cenu 420: 5 = 84 Kč za jednu rybičku.

3. Žák určuje vztah přímé a nepřímé úměrnosti Úloha 1: Urči, jaká úměrnost platí v dané situaci popsané následujícím textem. Pokud to lze, sestav vzorec úměrnosti, tabulku nutnou pro sestrojení grafu a sestroj graf dané úměrnosti: a) jeden kilogram banánů stojí 28 Kč, maminka za 1,5 kg zaplatila 42 Kč pokud jeden kilogram stojí 28 Kč, jde o přímou úměrnost mezi cenou c banánů a počtem p kilogramů koupených banánů, která jde vyjádřit vztahem c = 28. p, kde c je cena a p je počet kilogramů, zkontrolujeme, že tato úměrnost je splněna i dalším textu, tedy jestli uspořádaná dvojice (1,5, 42) je také členem této přímé úměrnosti, evidentně platí, že 28.1,5=42, tedy tato dvojice je členem uvedené přímé úměrnosti. Protože grafem přímé úměrnosti je přímka (vodorovně nezávislá proměnná počet p kilogramů, svisle závislá proměnná cena c), stačí k jejímu sestrojení dva body (do tabulky by stačilo dát souřadnice dvou bodů), které ze zadání již máme určeny- body: (1,28) a (1,5 42). Protože budeme uvažovat jen nezáporný počet kilogramů, začneme graf v bodě (0,0) a budeme pokračovat spojnicí jen v části, kde počet p kilogramů i cena c je kladná b) když půjdeš do školy pěšky rychlostí 4 km/h, bude ti cesta trvat déle, než když pojedeš na in-line bruslích rychlostí 7 km/h jde o nepřímou úměrnost mezi dobou cesty v závislosti na rychlosti pohybu. lze vyjádřit známým vztahem z fyziky ve tvaru t = s/ v, kde t je čas v hodinách, s je dráha v kilometrech a v je rychlost v kilometrech za hodinu..grafem nepřímé úměrnosti by byla hyperbola, v daném případě nám k jejímu sestrojení však chybí zadaná jedna konkrétní hodnota (uražená dráha)

c) na brigádu na vysázení stromků přišlo 6 brigádníků a byli s prací hotovi za 8 hodin jde o nepřímou úměru mezi počtem hodin nutných k odvedení práce a počtu brigádníků, kteří tuto práci vykonávají, zadané údaje nám stačí k nalezení vzorce nepřímé úměrnosti i sestavení tabulky a sestrojení grafu. Počet hodin h nutných k odvedení práce v závislosti na počtu b brigádníků lze vyjádřit vzorcem pro nepřímou úměrnost h = k/b, kde k je koeficient nepřímé úměrnosti, v našem případě k = b.h a 6.8 = 48, Vzorec nepřímé úměrnosti je tedy h = 48/b, do tabulky zaneseme jen celistvé počty b brigádníků do maximálního počtu 6 a tabulku sestavujeme tak, aby hodnoty b a h dávali v součinu číslo 48. Počet brigádníků b 1 2 3 4 6 Počet hodin h 48 24 16 12 8 Z hodnot v tabulce pak sestrojíme graf. Protože počet brigádníků je celistvý, jsou grafem této nepřímé úměrnosti pouze jednotlivé (nespojené) body ležící na hyperbole.

Úloha 2: Doplň tabulku a zapiš vzorec úměrnosti, víš-li, že veličiny x,y jsou: a) přímo úměrné b) nepřímo úměrné x 8 5 2 y 16 8 10 100 a) vyjdeme z dvojice x=2, y=16, jde-li o přímou úměrnost platí, že y = k. x, v tomto případě 16 = k. 2, koeficient přímé úměrnosti je tedy k = 8, tedy vzorec přímé úměrnosti je y = 8.x ( y je 8krát větší než x, resp. X je 8krát menší než y ) a po doplnění na tabulku přímé úměrnosti platí x 8 5 2 1 1,25 12,5 y 64 40 16 8 10 100 b) vyjdeme zase z dvojice x=2, y=16, jde-li o nepřímou úměrnost platí, že y = k/x, resp. k=x.y, v tomto případě k=2.16=32, koeficient nepřímé úměrnosti je tedy k = 32, tedy vzorec nepřímé úměrnosti je y = 32/x ( součin hodnot x.y =32) a po doplnění na tabulku nepřímé úměrnosti platí x 8 5 2 4 3,2 0,32 y 4 6,4 16 8 10 100

Úloha 3: Pro 1.auto platí: plná nádrž 42 litrů při spotřebě 7 litrů na 100 km vydrží na 42:7= 6.100 = 600 kilometrů (poslední údaj), proto ¾ nádrže vydrží na ¾ ze 600 km, tj 600:4.3 = km, polovina nádrže na ½ ze 600 km, tj.na 300 km a 1/3 nádrže vydrží na 1/3 z 600 km, tj. na 600:3 = 200 km Pro 2.auto platí: pokud má spotřebu 7,5 litru na 100 km a vydrží mu plná nádrž na 640 km, je objem nádrže 640:100.7,5 = 48 litrů a pak ujeté kilometry budou 1/3, ½ a ¾ z celkových 640 km Pro 3. auto platí: pokud mu 1/3 nádrže vystačí na 250km, pak plná nádrž mu vystačí na 3.250 km = 750 km. Pak polovina nádrže vystačí na ½ z 750 = 375 km, a ¾ nádrže vystačí na ¾ z 750 km = 562,5 km. Objem nádrže určíme tak, že pokud 1/3 nádrže vyprázdní, zbývá mu ještě 2/3 nádrže, tedy 32 litreů tcoří 2/3 nádrže, proto celá nádrž má 32:2.3 = 48 litrů. Je-li spotřeba na 750 km 48 litrů, je spotřeba na 100 km 48:7,5 = 6,4 litru 1.auto 42 7 200 300 450 600 2.auto 48 7,5 213,3 320 480 640 3.auto 48 6,4 250 375 562,5 750

Úloha 1: 4. Žák vyjádří jednoduchý funkční vztah tabulkou, rovnicí, grafem e) Lze některý z grafů považovat za graf přímé či nepřímé úměrnosti? a) růst hodnot lze pozorovat na grafech A,B C, přitom pouze růst hodnot jen na grafu C (v ostatních jen na částech grafu), b)pokles hodnot lze pozorovat na grafech A, B a D, přitom pouze pokles hodnot jen na grafu D ( v ostatních jen na částech grafu), c) nejmenší hodnotu lze najít na grafech A a B, ale vyčíst ji lze jen u grafu a (hodnota 2), d)nejvyšší hodnotu vykazují grafy A a B, ale vyčíst ji lze pouze u grafu B (hodnota 5) e) za graf přímé úměrnosti lze považovat graf C ( s růstem hodnot jedné veličiny rostou i hodnoty druhé veličiny) a za graf nepřímé úměrnosti graf D (s růstem hodnot jedné veličiny klesají hodnoty druhé veličiny)

Úloha 2: správný je graf D, protože cena roste s počtem kilogramů, proto to nemohou být grafy A a B, z hodnot v grafech C a D jsou vidět jen správné uspořádané dvojice udávající počet kilogramů a cenu za ně pouze v grafu D (uspořádané dvojice (1,24) a (2,48) a (10,240) odpovídající skutečnosti, že za každý 1 kg zaplatíme 24 Kč)

Úloha 3: a) Doplň tabulku b) Urči, kdy hladina vody stoupá nejrychleji? a) protože jde o rovnoměrné zvyšování hladiny, kdy je z tabulky vidět, že za každé 2 hodiny stoupla hladina o 0,2 metry, platí v této části napouštění přímá úměrnost mezi zvýšením výšky hladiny h v metrech na času t v hodinách h = 0,1 t, proto od 11. do 13. h vzroste hladina o h= 0,1.2 = 0,2 m, proto v tabulce doplníme k času 13 h údaj 1,8m. Od 15. hodiny vzrostla hladina z 2 na 2,8 m, tedy o 0,8 m, platí pro čas v hodinách t = h/0,1 = 0,8:0,1 = 8 h, proto doplníme do tabulky k výšce 2,8 údaj 23 h b) z jednotlivých rozdílů výšky hladiny je vidět, že bejvětší rozdíl (tedy, kdy se hladina zvyšovala nejrychleji) je mezi první půl hodinou a hodinou, kdy se za půl hodiny hladina zvýšila o 0,135 m. V dalším zvýšení je to jen 0,24 m za hodinu (tedy 0,12 za půl hodiny) a v dalších časech je to ještě pomaleji. Důvodem je šikmé dno, kdy se neplní ze začátku celý objem kvádru, ale jen jeho část.

5. Žák matematizuje jednoduché reálné situace s využitím funkčních vztahů Úloha 1: tabulka udává počet lyžařů, kteří nastoupili na vlek v průběhu několika minut Počet minut od otevření vleku Počet nastoupených lyžařů 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 24 36 48 60 72 84 96 108 Urči, zda existuje závislost mezi časem od otevření vleku a počtem lyžařů. Pokud ano, najdi její vzorec. jde o přímou úměrnost., kdy počet lyžařů přímo úměrně závisí na počtu minut, a protože každou minutu nastoupí 12 lyžařů, je počet lyžařů dvanáctkrát větší než počet minut, proto správný vztah pro počet lyžařů y v závislosti na počtu minut t je y = 12.t Úloha 2: Čerpadlo přečerpá za minutu 0,63 metrů krychlových. Bylo zapnuto čtvrt hodiny. Urči správný vzorec určující vztah závislosti množství m přečerpané vody v hektolitrech na čase t v minutách, po který čerpadlo pracovalo. a) m = 0,63.t b) m = 0,63.t, 0 t c) m = 6,3:t, 0 t d m.t, t při převodu 0,63 krychlových metrů na 630 decimetrů krychlových, tedy litrů a dalším převodu 630 litrů na 6,3 hektolitrů přečerpané vody za každou jednu minutu je platný vztah přímé úměrnosti přečerpané vody v závislosti na minutách d m.t, t kde je správně uveden i interval minut, po které čerpadlo pracovalo

Úloha 3: Loďka převáží přes řeku cestující tam a zpět. Uveze najednou 9 lidí a cesta v jednom směru včetně nástupu na loď trvá 12 minut. Jízdné pro jednu osobu je 12 Kč. a) Kolik Kč se utrží za lístky na plně obsazenou loďku za 1 hodinu provozu? b) Loďka byla v provozu 10 hodin, ale nebyla stále plně obsazena. Uveď v %, jak byla loďka v průměru vytížena, jestliže cestující zaplatili za lístky celkem 3240 Kč? a) Určíme funkční závislost utržených korun na počtu jízd plně naložené lodi. Protože za každou jízdu se zaplatí 12 Kč, je závislost utržených korun k = 12. j, kde j je počet celkově zaplacených jízd. Trvá-li jedna cesta 12 minut, za hodinu se uskuteční 60 : 12 = 5 jízd plně naložené lodi. Protože v každé lodi bude 9 lidí, je počet jízd, za které se za každou zaplatí 12 Kč, 5.9 = 45 jízd. Proto utržených korun za jednu hodinu je k = 12. 45 = 540 Kč. b) Pokud se za jednu hodinu provozu plně naložené lodi utrží 540 Kč, za 10 hodin by to bylo 10 krát více, tedy 5400 Kč ( přímá úměra ). Průměrné vytížení zjistíme poměrem mezi skutečně utrženou cenou a teoreticky utrženou cenou při plné vytíženosti lodi, tedy podle vzorce pro určení procentové části, pokud známe teoretický základ a skutečnou část, v našem případě p = č/ z = 3240 / 540o = 0,6 = 60%. Loďka tedy byla vytížena ze 60i procent.