2.1. Pojem funkce a její vlastnosti. Reálná funkce f jedné reálné proměnné x je taková

Transkript

1 .. Funkce a jejich graf.. Pojem funkce a její vlastnosti. Reálná funkce f jedné reálné proměnné je taková binární relace z množin R do množin R, že pro každé R eistuje nejvýše jedno R, pro které [, ] f. Množinu všech, pro které eistuje právě jedno takové, nazýváme definičním oborem funkce f a značíme D f. Množinu všech = f(), kde D f, nazýváme oborem hodnot funkce f a značíme H f,. Nechť f je reálná funkce a J D f. Říkáme, že funkce f je v intervalu J D f rostoucí, pravě kdž pro všechna, J : < = f( ) < f( ) ; klesající, pravě kdž pro všechna, J : < = f( ) > f( ) ; neklesající, pravě kdž pro všechna, J : < = f( ) f( ) ; nerostoucí, právě kdž pro všechna, J : < = f( ) f( ) ; prostá, právě kdž pro všechna, J : = f( ) f( ). Je-li f prostá na svém definičním oboru, eistuje inverzní funkce f. Tato funkce je také prostá a platí D f = H f, H f = D f. Graf funkcí f a f jsou navzájem souměrné podle přímk =. Funkce f, pro kterou platí D f ( ) D f, se nazývá sudá, jestliže pro všechna D f : f( ) = f(), lichá, jestliže pro všechna D f : f( ) = f(). Funkce f, která je definovaná v R, se nazývá periodická, jestliže eistuje T > 0 tak, že pro každé k Z platí: R f( + kt ) = f(). Číslo T se nazývá perioda funkce f ; nejmenší periodu nazýváme základní periodou funkce f. 9

2 0 Kapitola >?.. Lineární funkce. Lineární funkce je funkce daná předpisem: = k + q, k, q R, D = R Grafem je přímka, viz obr.. a,b,c. k = 0 k > 0 k < 0 q konstantní q rostoucí klesající q br.. a br.. b br.. c.3. Kvadratická funkce. Kvadratická funkce je funkce daná předpisem: Grafem je parabola s vrcholem V = prostá. A = a + b + c, a, b, c R, a 0, D f = R [ b ( a, f b )], viz obr.. a, b. Kvadratická funkce není na R a a > 0 a < 0 V B V br.. a br.. b

3 C Funkce a jejich graf.4. Lineární lomená funkce. Lineární lomená funkce je funkce daná předpisem Grafem je hperbola se středem S = = a + b { c + d, c 0, ad bc, D f = R \ d } c [ d c, a ], viz obr..3. Asmptot mají rovnice c = d/c, = a/c. Poznámka. Je-li ad = bc, c 0, potom eistuje k tak, že a = kc, b = kd, a ted = kc + kd c + d = k(c + d) c + d je konstantní funkce. Je-li c = 0, d 0, je = (a/d) + b/d lineární funkce. a c d c = k br Řešené příklad.. Nakreslete graf funkcí a) = 3 +, b) = +, c) = , d) =. + Řešení: a) [ = ] 3 + : D f = R a grafem je přímka, kterou určíme dvěma bod, např. průsečíkem 3, 0 s osou a průsečíkem [0, ] s osou (viz obr..4).

4 H Kapitola 3 = 3+ br..4 b) = + : D f = R ; bod, dělí D f na tři interval (, ),, ) a, ) a v každém z těchto intervalů je daná funkce lineární: I (, ) = = + + +, =, ) = = +, =, ) = =, =. Graf je nakreslen na obr..5. c) = + br..5 : D f = R \ {0} ; postupujeme stejně jako v případě b) a dostaneme: Graf je nakreslen na obr..6. (, 0) = = +, = 0 (0, ) = = +, =

5 J Funkce a jejich graf 3 br d) = : Je = ( + ) 0, a ted definičním oborem je množina + D f = {; R, + 0} = R \ { }. Dále je: a ted ( + ) = = + + = + +, K ( + ) (, ) = =, =, + (, ) = = + +, =. Graf jsou dvě otevřené polopřímk rovnoběžné s osou (viz obr..7). br..7. Nakreslete graf funkcí a) = +, b) = 6 +, c) = 4, d) = 4 +.

6 4 Kapitola L Řešení: a) = + : Je D f = R a = ( ) = ( + ) + = ( ) +. Ted grafem je parabola s vrcholem [, ]. Dosazením = 0 dostaneme = 0, což znamená, že graf protíná osu v počátku. Podobně řešením rovnice = 0 ( ) + = 0 zjistíme, že průsečík s osou jsou bod [0, 0] a [, 0]. Graf je nakreslen na obrázku.8. br..8 b) = 6 + : Je D f = R a rovnice 6 + = 0 má kořen 3 ±. Ted = { 6 + = ( 3) 8 pro (, 3 3 +, ), + 6 = 8 ( 3) pro (3, 3 + ). M br..9

7 Funkce a jejich graf 5 To znamená, že část grafu dané funkce ležící nad intervalem 3, 3 + je obloukem parabol = + 6 a zbývající část je sjednocením dvou oblouků parabol = 6 +. Graf (viz obr..9) protíná osu v bodě [0, ] a osu v bodech [3, 0], [3 +, 0]. Vrchol středního oblouku grafu je v bodě [3, 8]. c) = 4 : Je D f = R a ( = ( + ) 4 = 4 = ) 9 ( ) 4 = 4 pro, ). pro (, ), N Graf dané funkce (viz obr..0) je ted sjednocením oblouku parabol = 4 ležícího nad intervalem (, ) a polopřímk vcházející z[ bodu ][, 0] a obsahující bod [4, 4]. Graf obsahuje vrchol oblouku parabol, kterým je bod, 9. 9 br..0 d) = 4 + : Funkce je sudá s D f = R. Graf je ted souměrný podle os, a proto stačí všetřit jeho část nad intervalem 0, ) zbývající část získáme pomocí osové souměrnosti. Rovnice 4 + = 0 má kořen ±, takže = 4 + = ( + )( ), a proto { 4 + = ( ) pro 0, +, ), = + 4 = ( ) pro (, + ). Pravá část grafu dané funkce, tj. část ležící nad intervalem 0, ), se ted skládá ze dvou oblouků parabol = 4 + nad interval 0, a +, ) a z oblouku parabol = + 4 nad intervalem (, + ). Celý graf dané funkce se ted skládá ze šesti oblouků čtř různých parabol (viz obr..). Z obrázku je vidět, že graf obsahuje vrchol dvou z těchto čtř parabol.

8 6 Kapitola + + br.. 3. Sestrojte graf funkcí Řešení: a) =, b) = 4 +. P a) = : Funkce je sudá s D f = R \ {0}, graf je ted souměrný podle os. Pro > 0 je =, a proto graf dané funkce je sjednocením dvou větví dvou různých rovnoosých hperbol (viz obr..). br.. b) = 4 + : Je D f = R \ { }. Ukážeme, že grafem je hperbola. Za tímto účelem upravíme algebraický výraz, jímž je funkce definována: = 4 + = + 6 = Položíme-li u = + a v = +, tj. zavedeme-li nové souřadnice, dostaneme rovnici hperbol v = 6 u. Středem hperbol je počátek nové souřadné soustav a asmptotami jsou její souřadné os. dtud plne, že v původní souřadné soustavě má střed hperbol souřadnice 0 =,

9 S 4 Funkce a jejich graf 7 0 Q = a asmptot mají rovnice =, =. Průsečík hperbol se souřadnými osami, jsou bod [4, 0] a [0, ]. Graf dané funkce je nakreslen na obr..3, kde jsou vznačen i souřadné os u, v. br Neřešené příklad. Nakreslete (do jednoho obrázku) graf funkcí:. = ; = + 3 ; = 3 [( ; )]. = ; = ( ) ; = ( + ) [( ; )] 3. = ; = ; = + Nakreslete graf funkce: [( ; 0) (0; ); ( ; ) (; ); ( ; ) ( ; )]. = +. = + [( ; )] [( ; 0) (0; )] 3. = + 4. a) = 5 3, b) = + 5, c) = [( ; ) (; )] [( ; 3) (3; ); ( ; 5) ( 5; ); ( ; 3) (3; )] 5. = 6. = + 7. = [( ; )] [( ; )] [( ; )] 8. = [( ; )]