7. Silně zakřivený prut

Transkript

1 7. Silně zakřivený prut 2011/2012 Zadání Zjistěte rozložení napětí v průřezu silně zakřiveného prutu namáhaného ohybem analyticky a experimentálně. Výsledky ověřte numerickým výpočtem. Rozbor Pruty, které mají kruhovou střednici, dělíme na silně a slabě zakřivené podle poměru /, kde R je poloměr střednice prutu a h je příčný rozměr střednice. Je-li tento poměr výrazně vyšší než 1, pak se jedná o prut slabě zakřivený a napjatost v oblasti zakřivení je možné počítat pomocí vztahů platných pro přímé pruty. Je-li však poměr řádově roven 1, pak prut považujeme za silně zakřivený a napjatost a deformaci musíme počítat pomocí vztahů pro zakřivené pruty. Experimentální soustavou, na které budeme měřit, je prut tvaru podkovy z novoduru, který má v oblasti zakřivení nalepené tenzometry uvnitř a vně průměru (nákres je na obrázku 1). Obrázek 1: Nákres prutu včetně rozměrů a míst s tenzometry Z rozměrů je jasné, že jde o silně zakřivený prut, neboť platí: ,2 30 Prut je namáhán na ohyb silou F 2. Síla F 2 je vyvolána přes rameno silou F 1 měřenou siloměrem (viz obrázek 2). Obrázek 2: Nákres zatěžování prutu, a = 260 mm, b = 770 mm 1

2 Každý tenzometr je zapojen do polovičního mostu s kompenzačním tenzometrem a připojen k měřící ústředně. Cílem je změřit přetvoření na krajích prutu a tím popsat rozložení napětí po šířce průřezu prutu. Tato naměřená přetvoření pak porovnat s analytickým a numerickým řešením. Nakonec ještě určit závislost poměru přetvoření na zatěžující síle, kterou očekáváme přibližně konstantní. Vypracování a) experimentálně Zapojíme tenzometry a začneme měřit. Postupně zvyšujeme sílu F 1. Když se zatížení zdá dostatečné, necháme aparaturu ustálit a pak vypneme. Průběh zatěžující síly ukazuje obrázek 3. Obrázek 3: Průběh zatěžující síly F 1 v čase Hodnoty z ustáleného stavu zprůměrujeme a dostaneme 67,7. Tuto hodnotu použijeme pro další výpočty. Průběh přetvoření vypadá jako na obrázku 4. Obrázek 4: Průběh přetvoření a v čase Stejně jako sílu F 1 stanovíme maximální přetvoření ε 1391 / a 663,1 /. Z intervalu přibližně od času 25 s do 40 s vybereme hodnoty síly a přetvoření a vykreslíme závislost poměru / na zatěžující síle. Tuto závislost proložíme vhodnou křivkou, neboť hodnoty síly a přetvoření hodně kolísají (viz obrázek 5). Obrázek 5: Závislost poměru přetvoření na zatěžující síle 2

3 Naměřená přetvoření přepočítáme na napětí: , ,1 10 1,989 kde 3000 je modul pružnosti novoduru. Víme, že na neutrální ploše v průřezu je napětí nulové. Tím pádem máme tři body, které můžeme proložit křivkou a odhadnout tak průběh napětí v průřezu. Jak se odvodí poloměr neutrální plochy viz dále. Aproximace průběhu napětí je na obrázku 6. Obrázek 6: Aproximace průběhu napětí po průřezu prutu b) analyticky Při namáhání silně zakřiveného prutu ohybem není neutrální plocha (tj. plocha, kde je napětí a přetvoření nulové) totožná se střednicí prutu (viz obrázek 6). Proto musíme nejdříve určit poloměr této plochy " a její vzdálenost od střednice #. Symbolem $ označíme šířku příčného průřezu, který má plochu %. % $ & ' 14 &5121' 420 " Obrázek 7: Průběh přetvoření po příčném průřezu % - ). * +, - /, % $ ln & -. - / ' ln & 2 ' 33,8 # " ,8 2,2 2 2 Ohybový moment vyvozený silou v místě vzdáleném od působiště 3 87 je: 4 67,7 770 $ ,

4 Napětí v libovolném místě průřezu 6 získáme, dosadíme-li tyto hodnoty do vzorce: 4 6 % # "6 Průběh napětí pro 67817,2 ;12,8:, tedy v místě neutrální plochy je 0, je na obrázku 7. Obrázek 7: Průběh napětí po průřezu prutu Krajní hodnoty, které by měly odpovídat měřeným, jsou 11,6 a 6,4. c) numericky Modelujeme úlohu v systému ANSYS jako rovinnou pomocí prvků SHELL181, kterým přiřadíme tloušťku. Vykreslíme-li rozložení napětí v příslušném směru, dostaneme obrázek 8. Obrázek 8: Řešení napětí pomocí MKP 4

5 Vytvoříme-li cestu po průřezu, můžeme podél ní vykreslit průběh napětí, obrázek 9. Obrázek 9: Průběh napětí v MPa v závislosti na poloze v průřezu v mm V krajních místech můžeme z tohoto grafu odečíst hodnoty napětí, které mají hodnoty 10,214 a 6,846. Závěr Porovnáme-li napětí v krajních bodech průřezu získaná analyticky a numericky a přetvoření získaná měřením, dostaneme tabulku: analyticky numericky experimentálně ; < 11,6 10,214 4,173 ; < -6,4-6,846-1,989 Zde je vždy napětí tahové na vnitřním průměru zakřivení prutu. Je jasné, že musí být větší než. To je splněno pro všechny případy. Platí tedy předpokládaný průběh napětí po průřezu prutu. Bohužel výsledky měření se značně liší od výsledků vypočítaných analyticky a numericky. To může být způsobeno různými faktory, především pak hrubou chybou v nastavení měření, případně chybným určením materiálu a jeho charakteristik použitých k výpočtu. Poměr přetvoření na vnitřním průměru k přetvoření na vnějším průměru se s měnící se zatěžující silou nemění, což vyplývá z obrázku 5. Kolísání hodnot proložených křivkou je však výrazné. To je způsobeno výkyvy hodnot při snímání přetvoření a síly pomocí citlivých tenzometrů. Použitá literatura [1] Janíček, P., Ondráček, E., Vrbka, J., Burša, J.: Mechanika těles Pružnost a pevnost I 5