Asymptoty grafu funkce

Transkript

1 .. Asmptot grafu funkce Předpoklad:, Asmptot grafu už známe kreslili jsme si je jako přímk, ke kterým se graf funkce přibližuje. Nakreslení asmptot, pak umožňuje přesnější kreslení grafu. Například u hperbol jsme kreslili asmptot jako první. Př. : Najdi na grafech následujících funkcí asmptot. Asmptot je možné rozdělit do dvou skupin. Zkus takové dělení vmslet a asmptot do dvou skupin rozdělit

2 pro jdoucí k ± se hodnot funkce přibližují nule asmptota = pro jdoucí k se hodnot funkce přibližují ± asmptota = na obrázku není graf funkce pro jdoucí k ± se hodnot funkce přibližují ± asmptot = ± pro jdoucí k ± se hodnot funkce přibližují asmptota = pro jdoucí k se hodnot funkce přibližují ± asmptota = pro jdoucí k se hodnot funkce přibližují - asmptota = Asmptot bchom mohli roztřídit do dvou skupin: asmptot, ke kterým se graf funkce blíží, kdž se blíží k ±. Tto asmptot jsou přímk vodorovné nebo šikmé, vžd jde o graf lineární funkce asmptot se směrnicí grafu funkce f asmptot, ke kterým se graf funkce blíží, kdž se blíží k nějakému číslu a. Tto asmptot jsou svislé přímk dané rovnicí = a asmptot bez směrnice grafu funkce f Pedagogická poznámka: Studentům činí problém nalézt třídící kritérium. Mslím, že nemá cenu hledání příliš prodlužovat. Asmptot bez směrnice grafu funkce f jsou vžd kolmé na osu s grafem funkce se nikd neprotínají graf funkce se k nim blíží, kdž se hodnot proměnné blíží k nějakému číslu a Definice:

3 + Nechť je funkce definována v R ( a) (případně v R ( a) nebo R ( a) δ δ δ ). Přímka o rovnici = a se nazývá asmptota bez směrnice grafu funkce f, právě kdž má funkce f v bodě a aspoň jednu jednostrannou nevlastní limitu. Jak najdeme asmptot bez směrnice pro funkce f? Stačí kdž najdeme bod, kde má funkce nevlastní limit ve vlastním bodě (většinou bod, kde není definována). Př. : Najdi asmptot bez směrnice pro funkci =. Hledáme bod, kde funkce není definována (tam je šance na nevlastní limitu ve vlastním bodě a tím i asmptotu bez směrnice). Funkce obsahuje zlomek jmenovatel musí být různý od nul = + =, ( )( ) ( ) = R { ;} D f zjišťujeme lim+ : Zkusíme =, :, = =, kladná čísla dělíme velmi malými kladnými čísl lim = + funkce má asmptotu bez směrnice = + (limitu z druhé stran nemá cenu zjišťovat) zjišťujeme lim+ : Zkusíme =,99 : (,99 ) ( ) = =, 99 záporná čísla dělíme zápornými čísl s malou absolutní hodnotou lim = + funkce má asmptotu bez + směrnice = (limitu z druhé stran nemá cenu zjišťovat) Výsledek si můžeme ověřit pomocí grafu nakresleného počítačem:

4 Př. : Prostuduj obrázek grafu funkce směrnicí. Odhadni její rovnici. = a rozhodni zda má funkce asmptotu se Z obrázku se zdá, že graf funkce přímka =. = se pro blížící se k ± chová podobně jako Přidáme do obrázku funkci = :

5 Zdá se, že jsme se trefili. Jak přesně definovat asmptotu se směrnicí pro funkci? Podíváme se na obrázek v místech, kde se hodnot blíží k asmptotě: Jak se pozná, že se funkce blíží k asmptotě? 5

6 S rostoucím se zmenšuje rozdíl mezi hodnotou funkce a hodnotou asmptot f a + b. ( ) ( ) Podobně jako u limit musíme zajistit, ab asmptota bla pro funkci nejbližší přímkou vzdálenost mezi grafem a přímkou musí jít k nule: lim f ( ) ( a + b) = +. Definice: Přímku = a + b nazýváme asmptotou se směrnicí grafu funkce f, jestliže f ( ) ( a + b) = nebo f ( ) ( a b) lim + lim + =. Jak určíme asmptotu nějaké funkce (ted hodnot koeficientů a a b)? Definice: lim f ( ) ( a + b) = + není úplně ideální (ve výrazu jsou oba koeficient, což je na určení koeficientů z jedné rovnice příliš mnoho). vdělíme limitu číslem : f ( ) a b f ( ) b f ( ) b lim + = lim a + = lim lim a + lim = f ( ) f ( ) lim a + = lim = a - teď už máme vztah pro koeficient a + + Jakmile určíme koeficient a můžeme určit koeficient b z původní limit lim f ( ) ( a + b) = lim f ( ) a lim b = b = lim f ( ) a Rovnici asmptot = a + b určíme ve dvou krocích: ( ) f a = lim + b = lim f ( ) a + + Př. : Urči pomocí předchozího postupu asmptotu funkce =. f ( ) a = lim = lim = lim = lim = lim = = b = lim f ( ) a lim lim lim + = = = = b = lim = lim = = + + Limit pro počítat nebudeme, všl b stejně asmptotou funkce = přímka =. je 6

7 Pedagogická poznámka: Následující příklad při hodině spíše nestihneme, každopádně je studenti mají doma k nahlédnutí. Př. 5: Urči asmptot funkce = +. + ( ) f lim lim + lim lim lim + a = = + = = = = = b = lim f ( ) a lim lim lim + = = + + = + = b lim = = lim = = asmptotou funkce = je přímka =. + Výsledek si opět můžeme ověřit obrázkem: 7

8 Př. 6: Urči asmptot funkce = +. f ( ) lim lim lim lim lim a = = + = = = = = b = lim f ( ) a lim lim lim lim + = + = = = b = = + asmptotou funkce = je přímka =. + I tento výsledek si ověříme obrázkem: Př. 7: Petáková: strana 55/cvičení 5 c) e) Shrnutí: Pomocí limit můžeme určit rovnice asmptot funkce. 8