Oceňování CDO a řízení orelačního rizia Jiří Mále Abstrat Příspěve se zabývá oceňováním CDO a delta hedžingem v závislosti na vzájemné orelaci titulů. Vychází se ze standardního modelu orelovaných ativ a výpočty jsou prováděny v Matlabu pomocí metody Monte-Carlo. Jsou uvedeny grafy udávající závislost ceny jednotlivých tranší a delt v závislosti na orelaci> Klíčová slova: CDO, oceňování, tranše, orelace, delta, Monte-Carlo Úvod CDO (Collateralized Debt Obligation) jsou poměrné nové produty, teré zísaly velou popularitu na trzích s reditním riziem. Kolaterál pro CDO (půjčy, bondy) je sdružen v SPV (Special Purpose Vehicle) Tato podladová ativa bývají samostatně málo lividní, ale měly by mít jao cele relativně stabilní a prediovatelný cash flow. SPV potom vydává něoli úrovní dluhových úpisů (pouáze) jao např. seniorsé, střední (mezzanine), subordinované (juniorsé, equity) tranše. Platby investorům pa probíhají podle úrovně tranše. Seniorsá tranše je vyplácena první a je tedy nejvíce odolná vůči defaultu, následuje střední atd. Riziovost jednotlivých tranší se projevuje v očeávané výnosnosti. Nejméně riziová seniorsá tranše je prodávána za nejvyšší cenu a nese nejmenší výnos. Nejvíce riziová equity tranše je prodávána za cenu nejnižší a je (v očeávání) nejvýše výnosná 2. Jao první vša nese nálady případných defaultů jednotlivých podladových instrumentů Ceny tranší závisí na mnoha fatorech: pravděpodobnosti defaultu jednotlivých titulů v olaterálu, úroové míře, orelaci titulů, času maturity emitovaných pouáze. V tomto příspěvu se soustředíme na oceňování jednotlivých tranší se speciálním přihlédnutím e vzájemné orelaci. Budeme uvažovat pouze jednu periodu, tzn. že investor si na počátu pouázu oupí a na onci obdrží (poud nenastane default) její jmenovitou hodnotu. V případě defaultů obdrží jmenovitou hodnotu pouázy sníženou o příslušnou ztrátu. I dyž by v našem zjednodušeném případě bylo možné zísat analyticé vyjádření, budeme používat metodu Monte-Carlo, neboť v případě více period by už analyticé vyjádření bylo nemožné. 2 Model určení hodnot ativ Hodnota ativ je řízena společným fatorem Y a idiosynraticým fatorem e i () ( ) V T = ry + - r e, () n i Doc. Jiří Mále, Ph.D. atedra banovnictví a pojišťovnictví, VŠE, nám. W. Churchila 4, Praha 3, male@vse.cz 2 Ve sutečnosti bývají pouázy všech tranší prodávány za stejnou cenu, ale liší se ve vypláceném upónu. Seniorsá tranše má upón nejnižší, equity tranše nejvyšší.
de Y, e i a jsou nezávislé normálně rozdělené náhodné veličiny se střední hodnotou a rozptylem. Důsledem je, že hodnoty ativ dvou různých firem mají orelaci r a podmíněná orelace při realizaci společného fatoru Y je. Systematicý fator Y lze chápat jao indiátor obchodního cylu a idiosynraticý fator e i jao specifium firmy odrážející management nebo inovaci. Default je následně určen polesem ativ pod hranici K 3. Práh defaultu je hlavně určen firemními rezervami a bilancí (poměr ativ a závazů) Relativní vztah systematicého a specificého rizia je dán orelačním oeficientem r. Pravděpodobnost defaultu při dané bariéře K a za podmíny Y=y je (viz. Schonbucher) p() y = PéVi () Y K Y yů ë < = ű = Pé ry ( r) ei K Y yů ę + - < = ë úű é K- r Y ů = P ei Y y < = r ęë - úű ék- r yů =F - r ęë úű Podmíněná pravděpodobnost defaultů se pa řídí binomicým rozdělením při pravděpodobnosti p( y ) N! N P X = Y = y = p( y) ( p( y) ) ( N )!! Nepodmíněná pravděpodobnost je pa N- Ą N! ć K r y ö ć K r y ö é - ů é - ů PX [ = ] = ň F - F f () ydy ( N- )!! ç - r ç - r - Ą č ëę űú ř č ęë úű ř resp. N- Ą N! ć K r y ö ć K r y ö é - ů é - ů PX [ Ł ] = ĺ ň F - F f () ydy n= - Ą ( N- )!! ç - r ç - r č ëę űú ř č ęë úű ř F, f je distribuční funce, resp hustota standardizovaného normálního rozdělení 3 Přílad Předpoládáme homogenní portfolio (pool) složené ze titulů (půjčy, orporativní bondy), aždý titul je o veliosti mil. Míru návratnosti (recovery rate) předpoládáme, nulová bude rovněž (bezriziová) úroová míra. Emitují se pouázy ve třech tranších. Poud nenastane default, obdrží investor nominální hodnotu pouázy Uvažujeme pouze tři tranše: seniorsá, mezzanine, equity. -3 equity (EQ) 3 Budeme předpoládat, že hranice defaultu je stejná pro všechny tituly.
4-6 mezzanine (MEZ) 6- senior (SEN) Equity tranše snese maximálně 3 defaulty, než je vymazána, mezzanine tranše do tří defaultů zůstává nedotčena a je vymazána, nastane-li 6 a více defaultů. Seniorsá tranše zůstává nepošozena do šesti defaultů a je vymazávána při defaultech. Jmenovité hodnoty tranší jsou postupně snižovány podle počtu defaultů. Poud nastanou např. 2 defaulty hodnota equity tranše je snížena o dvě třetiny(mezzaninová a seniorsá tranše zůstanou nedotčeny), poud nastanou 4 defaulty je equity tranše vymazána, hodnota mezzanine tranše je snížena o jednu třetinu a seniorsá tranše zůstane nedotčena. Tranše jsou emitovány postupně v nominálních hodnotách 3,3, 94mil. Následné pouázy jsou emitovány v hodnotě mil. 3. Algoritmus a výpočet Generování hodnoty firmy Vn (), T n= K N podle (). V našem příladě se provádělo simulací Poud Vn () T < K nastává default Definujeme náhodnou veličinu Xn = jestliže Vn( T) < K Xn = jestliže Vn( T) K N Počet defaultů je Xn (orelované binomicé rozdělení). Vztah orelace r a orelace n= Xn, n=, K, N ( je stejná pro všechny dvojice) je navzájem jednoznačný i dyž není totožný (viz Obr.) Určení pravděpodobnosti defaultů, é N ů P Xn, =,,, N ęĺ = K ë ú n= ű Tyto pravděpodobnosti jsou určeny pomocí poměrné četnosti 3.2 Určení hodnot tranší Hodnoty (ceny) tranší jsou určeny na záladě očeávané hodnoty. Označme P() j pravděpodobnost, že nastane j defaultů. 6 ĺ () ĺ ()( ). SEN = 94 P j + P j - j j= j= 7 První člen na pravé straně udává hodnotu tranše v případě, že počet defaultů je maximálně 6 (tranše zůstává nedotčena), druhý člen je pa součtem pravděpodobností defaultů více než 6 vynásobenou hodnotou tranše sníženou o počet defaultů. 4 Podobně pro ostatní tranše: 3 6 ĺ ĺ () ()( ) MEZ = 3 P j + P j 6- j ĺ 3 EQ = - j= j= j= 4 ( 3 j) P( j) 4 -j=94-(j-6)
.2.8 orelace defaultů.6.4.2 -.2..2.3.4.5.6.7.8.9 orelace ativ Obr.:Vztah orelace ativ a orelace defaultů (tečovaná řiva). senior tranche.95 mezanine tranche.9 price of tranche.85 equity tranche.8 PD=.64.75.7..2.3.4.5.6.7.8.9 correalation Obr.2: Ceny tranší v závislosti na orelaci ativ
3.3 Delta hedžing Obrázy 3-6 se vyjadřují hedžování jednotlivých tranší pomocí jiných tranší. Tyto situace se týají např. obchodníů s indexovými tranšemi (indexy itraxx, iboxx, apod.) Delta v v těchto případech zajišťuje obchodnía proti orelačnímu riziu a je definováno na záladě následujícího vztahu: Změna ceny tranše i (při malé změně orelace)+delta*změna ceny tranše j (při malé změně orelace)= Jina, řečeno, chce-li si obchodní zajistit např. mezzaninovou tranši pomocí equity tranše proti změně orelace, pa delta udává ja velou pozici v equity tranši zaujmout. 5 Tento delta hedžing nicméně chrání obchodnía pouze proti orelačnímu riziu, další rizia (např. zvýšení pravděpodobnosti defaultu, změna úroových měr) si musí zajistit jina. Jeliož delta je v podstatě derivace, pro snadnější výpočet proládáme cenovou funci vhodným polynomem (viz obr. 3) a příslušné delta počítáme z derivace tohoto polynomu.. data 4th degree.8.6.4.2 Cena MEZ tranše.998.996.994.992.99 2 4 6 8 2 orelace Obr. 3: Proložení cenové funce polynomem čtvrtého řádu. 5 Záporné delta udává rátou pozici, tedy vypisovatele tranše.
.4 Delta SEN/EQ.2.8 Delta.6.4.2 2 3 4 5 6 7 8 9 Corr Obr. 4: Delta seniorsé tranše v závislosti na equity tranši Delta MEZ/SEN - -2 Delta -3-4 -5-6 2 3 4 5 6 7 8 9 Corr Obr.5: Delta mezzaninové tranše v závislosti na seniorsé tranši
.6 Delta MEZ/EQ.4.2 delta -.2 -.4 -.6 -.8 2 3 4 5 6 7 8 9 corr Obr.6: Delta mezzaninové tranše v závislosti na equity tranši 4 Závěry Při rostoucí orelaci cena seniorsé tranše lesá a equity tranše roste. Cena mezzaninové tranše zpočátu lesá a následně roste. Při orelaci jsou ceny všech tranší stejné (viz Obr.2). Tyto efety jsou pozorovány i v realitě Delta hedžing je dynamicou záležitostí. Dealer musí pravidelně přizpůsobovat svoji pozici. Poud hedžuje pomocí mezzaninové tranše, musí si dát pozor na situaci, dy je tato tranše v blízosti cenového minima. Potom je hedžing neúčinný. I dyž uvedený algoritmus lze snadno zobecnit na více period, jeden předpolad může vyvolávat námity: všechny tituly mají stejnou vzájemnou orelaci. Tento přístup se nicméně v praxi používá. Uvedenou orelaci lze chápat jao průměrnou orelaci a vychází z tzv. diversity score, terý zavedla ratingová agentura Moody s. Není totiž možné určit přesně vzájemnou orelaci defaultů jednotlivých titulů, neboť default je poměrně vzácná událost. Jediné možné zobecnění, teré se nabízí, je určit orelaci určité supiny titulů s podobnými charateristiami (stejný rating, stejné odvětví). Literatura [] Bruyere, R a ol.: Credit Derivatives and Structured Credit (A Guide for Investors), John Wiley and Sons, 26 [2] [2] Mále, J.: Ris Management,sripta VŠE, 24 [3] Schonbucher, P. J.:Credit Derivatives Pricing Model (Models, Pricing and Implementation. John Wiley and Sons, 23