NUMP403 (Pravděpodobnost a Matematická statistika I)

Transkript

1 NUMP0 (Pravděpodobnost a Matematicá statistia I Střední hodnota disrétního rozdělení. V apce máte jednu desetiorunu, dvě dvacetioruny a jednu padesátiorunu. Zloděj Vám z apsy náhodně vybere tři mince. (a Spočítejte Vaši očeávanou ztrátu. (b Spočítejte rozptyl Vaší ztráty. (c Poté, co Vás zloděj oradl, se rozdělí se svým omplicem (spravedlivě a následně si oupí líste na tramvaj za Kč. Spočítejte střední hodnotu a rozptyl peněz, teré mu zbydou.. Test obsahuje n otáze, e aždé z nich jsou uvedeny možné odpovědi a, b, c, d. U aždé otázy je právě jedna odpověd správná. Předpoládejme, že student zašrtává odpovědi zcela náhodně. Označme X počet správně zodpovězených otáze. (a Odvod te rozdělení veličiny X. Ja se toto rozdělení nazývá? (Znáte ho z přednášy. (b Jaý je očeávaný počet správně zodpovězených otáze? (c Spočtěte rozptyl správně zodpovězených otáze.. Cyril má na svazu 8 líčů a snaží se odemnout dveře (e terým pasuje právě jeden líč. Náhodně vybere líč a vyzouší ho. Po aždém neúspěšném pousu mu líče spadnou na zem a další líč znovu volí zcela náhodně. Ta poračuje, doud onečně dveře neotevře. (a Jaé je rozdělení počtu všech neúspěšných Cyrilových pousů? (b Jaý je očeávaný počet neúspěšných pousů? (c Jaý je rozptyl počtu neúspešných pousů?.(a Určete limitní rozdělení z příladu., jestliže n a np λ > 0 (de p je pravděpodobnost úspěšného zodpovězení onrétní otázy. (b Určete střední hodnotu a rozptyl rozdělení z bodu (a. 5.(a Necht X má Poissonovo rozdělení s parametrem λ, X má Poissonovo rozdělení s parametrem λ a X a X jsou nezávislé náhodné veličiny. Určete rozdělení náhodné veličiny Y X + X. (b Necht počet příchozích hovorů na ústředně během daného časového intervalu se řídí Poissonovým rozdělením (parametr λ je přímo úměrný délce časového intervalu. Průměrně přijde během hodiny dvacet hovorů. Jaé je rozdělení počtu příchozích hovorů během deseti minut? Jaá je pravděpodobnost, že během následující minuty přijme ústředna alespoň dva hovory? Jaé je rozdělení doby čeání na další hovor? Určete jeho hustotu. Jaá je rozdělení doby čeání na další hovor, víme-li, že hovor nepřišel během časového intervalu [0, T ]?

2 NUMP0 (Pravděpodobnost a Matematicá statistia I Opaování z přednášy Náhodná veličina X je měřitelné zobrazení (funce z prostoru (Ω, A do (R, B. Střední hodnota veličiny X je definována jao EX Ω X(ωdP(ω. Vyjadřuje očeávanou hodnotu veličiny X. Rozptyl veličiny X je Var X E(X EX EX (EX (jestliže EX a EX existují. Rozptyl je vždy nezáporné číslo! Jestliže a, b R a X je náhodná veličina, pa platí E(a + bx a + bex, Var (a + bx b Var X. Jestliže X,..., X K jsou náhodné veličiny, pa ( K E X i i K EX i. i Jsou-li veličiny nezávislé, pa i Var ( K X i i K Var X i. i Disrétní rozdělení: Nabývá-li náhodná veličina X s ladnou pravděpodobností nejvýše spočetně mnoha (tj. onečně nebo spočetně hodnot x, x,..., říáme, že má disrétní rozdělení. Rozdělení X je charaterizováno pravděpodobnostmi p P(X x,,,..., a platí p. Střední hodnota X se spočítá jao EX x P(X x x p (existuje-li. Rozptyl X spočteme Var X EX (EX ( x P(X x x P(X x.

3 NUMP0 (Pravděpodobnost a Matematicá statistia I.(a Řešení P (X , P (X , P (X (b (c Y X EX Var X ( ( ( , tedy EY E( X EX 7.5.5,.(a (b (c Var Y Var ( X 5 Var X P (X ( Jde o binomicé rozdělení s parametry n a p. ( n, 0,,..., n. ( n ( n EX p ( p n p ( p n 0 n! (n!(! p ( p n (n! np (n!(! p ( p n ( n np p ( p n np(p + ( p n np. EX ( ( 0 n(n p p ( p n (( + p ( p n + p ( p n + np p ( p n p ( p n n! (n!(! p ( p n + np p ( p n + np n(n p + np Var X EX (EX n(n p + np n p np( p.

4 NUMP0 (Pravděpodobnost a Matematicá statistia I.(a (b (c 0 P (X ( 7, 0,, EX p ( p ( pp p ( pp ( pp p de p 7, tedy EX 7. 8 EX p ( p 0 ( p ( pp p + p p ( p p p, (( + p ( p p (p ( pp p ( p ( p + ( pp ( p + p p p + ( pp p p ( p + ( pp p p p p p p p + ( p( + p pp ( p ( p, p p ( p pro p 7, tedy Var X Var X EX (EX p( + p ( p p ( p p ( p,.(a (b P (X lim lim lim λ! ( n p ( p n ( n(n...(n + λ! n (n...(n + n ( pn (( p p np ( p λ ( (pn λ! (( p p np lim n(n...(n + lim lim n (( p p np λ! e λ. EX 0 λ! e λ λe λ λ (! e λ λe λ λ, λ ( p EX 0 λ! e λ ( λ e λ + 0 λ! e λ e λ λ λ (! + λ λ + λ, Var X EX (EX λ + λ λ λ.

5 NUMP0 (Pravděpodobnost a Matematicá statistia I 5.(a P (Y P (X + X e λ λ i i! e (λ +λ! e λ λ i ( i! P (X i, X i e (λ +λ! i!( i! λi λ i e (λ +λ! e (λ +λ (λ + λ, 0,,...! P (X ip (X i i!( i! λi λ i ( λ i i λ i (b Je-li X (60 počet příchozích hovorů za hodinu, pa EX (60 λ 0. Rozdělení X (0 počtu příchozích hovorů během deseti minut je tedy Poissonovo s parametrem λ 0 0, tedy P (X 6 (0 e 0 ( 0, pro 0,,...! P (X ( e! 0 e! e ( + e. Necht Y je čas mezi dvěma hovory (v minutách. Pa F Y (t P (Y < t P (Y t P (X (t 0 e t ( t 0 0! e t. h Y (t F Y (t e t, t > 0. F Y Y >T (t P (Y < t Y > T P (Y t Y > T P (X (t 0 P (X (T 0 e t e T P (Y t P (Y > T e t T F Y (t T, t T. 5