Alternativní rozdělení. Alternativní rozdělení. Binomické rozdělení. Binomické rozdělení
|
|
- Stanislava Fišerová
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Alternativní rozdělení Alternativní rozdělení Alternativní rozdělení Alternativní rozdělení Náhodná veličina X má alternativní rozdělení s parametrem p, jestliže nabývá hodnot 0 a 1 s pravděpodobnostmi P[X = 1] = p a P[X = 0] = 1 p pro nějaé p (0, 1). Značíme X Alt(p). dva možné výsledy: 1 (úspěch) a 0 (neúspěch) alternativním rozdělením modelujeme indiátor náhodného jevu (úspěch/neúspěch) apod. parametr p často nazýváme pravděpodobnost úspěchu Platí: EX = p, var X = p(1 p). distribuční funce má soy v bodech 0 a 1 o veliostech 1 p a p, jina je onstantní Matematicá statistia Šára Hudecová 1/ 50 Matematicá statistia Šára Hudecová 2/ 50 Motivace: n nezávislých pousů, v aždém z nich nastane úspěch s pravděpodobností p zajímáme se o počet úspěchů (náhodná veličina) přílad: n hodů ostou, zajímá nás počet šeste, teré padly odvození rozdělení: počet úspěchů je celé číslo mezi 0 a n, pravděpodobnost, že zaznamenáme právě úspěchů je rovna ( ) n P[X = ] = p = p (1 p) n. Náhodná veličina X má binomicé rozdělení s parametry n 1 a p (0, 1), jestliže nabývá hodnot 0,..., n s pravděpodobnostmi ( ) n P[X = ] = p (1 p) n, = 0,..., n. Značíme X Bi(n, p). Poznáma: Platí n =0 P[X = ] = 1 (z binomicé věty). Matematicá statistia Šára Hudecová 3/ 50 Matematicá statistia Šára Hudecová 4/ 50
2 y Pravděpodobnosti binomicého rozdělení Platí Hustota EX = np var X = np(1 p) distribuční funce je po částech onstatní a má soy v bodech 0, 1,..., n, v bodě je so o veliosti ( ) n p (1 p) n f() 0 F(b)=P[X<b] b F() Matematicá statistia Šára Hudecová 5/ Matematicá statistia Šára Hudecová 6/ 50 Přílad Přílad řešení Přílad: Test obsahuje 10 otáze, e aždé z nich jsou uvedeny 4 možnosti: a, b, c, d. U aždé otázy je právě jedna odpověď správná. Předpoládejme, že student zašrtává odpovědi zcela náhodně. Označme X počet správně zodpovězených otáze. 1 Jaé rozdělení veličiny X? 2 Jaý je očeávaný počet správně zodpovězených otáze? 3 Na úspešné napsání testu je nutné správně zodpovědět alespoň 8 otáze. S jaou pravděpodobností se to studentovi povede? 4 Jaá je pravděpodobnost, že student zodpoví alespoň jednu otázu správně? 1. Pro {0, 1,..., n} máme P(X = ) = ( 10 ) ( 1 4 Tj. X má binomicé rozělení Bi(10, 1/4) Bi(10,1/4) ) ( 1 1 4) n Matematicá statistia Šára Hudecová 7/ 50 Matematicá statistia Šára Hudecová 8/ 50
3 Přílad porač. 2. EX = 10 4 = 2.5. Očeáváme, že student zodpoví čtvrtinu všech otáze správně, tj. v průměru dvě a půl otázy. 3. P(X 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) = (po dosazení) = P(X 1) = P(X = 1) + + P(X = 10) =... Lepší postup: P(X 1) = 1 P(X = 0) = 1 ( ) 3 10 = Matematicá statistia Šára Hudecová 9/ 50 Náhodná veličina X má s parametrem λ, jestliže nabývá hodnot 0, 1, 2,... s pravděpodobnostmi P[X = ] = λ! e λ, = 0, 1, 2,..., pro nějaé λ > 0. Značíme X Po(λ). Jeliož =0 musí platit =0 P[X = ] = 1. λ! = eλ, Matematicá statistia Šára Hudecová 10/ 50 Pravděpodobnosti Poissonova rozdělení Platí Použití: EX = λ, var X = λ. Poissonovým rozdělením modelujeme počty událostí olirát nastal určitý jev během jednotového časového intervalu, na jednotové ploše apod. parametr λ představuje intenzitu výsytu událostí přílady: počet autonehod na dálnici D1 za jeden den, počet srážových dnů v měsíci, počet vadných pielů na obrazovce, apod. počet částic emitovaných radioativní látou určité hmotnosti za jednotu času P[X=] P[X=] Po(0.8) Po(5) P[X=] P[X=] Po(3) Po(10) Matematicá statistia Šára Hudecová 11/ 50 Matematicá statistia Šára Hudecová 12/ 50
4 Souvislost s binomicým rozdělením Vztah Bi(n, λ/n) a Po(λ) Porovnání pravděpodobností pro n = 50 a λ = 5 Bi(50,0.1) pro n velé lze Bi(n, λ n ) aproimovat pomocí Po(λ) neboli pro velé n a malé p lze Bi(n, p) aproimovat Po(np) přílad: počet nehod,... výhoda: numericý výpočet je snazší pro y Po(5) y Matematicá statistia Šára Hudecová 13/ 50 Matematicá statistia Šára Hudecová 14/ 50 Rovnoměrné rozdělen Rovnoměrné rozdělení Rovnoměrné rozdělen Hustota rovnoměrného rozdělení Náhodná veličina X má rovnoměrné rozdělení na intervalu (a, b), jestliže její hustota je Značíme X R(a, b). f () = { 1 b a 0 jina. pro (a, b), f() Hustota R(0,2) hodnoty pouze z intervalu (a, b) hustota je na tomto intervalu onstantní X nabývá všech hodnot rovnoměrně, resp. stejně pravděpodobně Matematicá statistia Šára Hudecová 15/ platí f () d = 1 pravděpodobnost P[c < X < d] závisí pouze na délce intervalu (c, d) Matematicá statistia Šára Hudecová 16/ 50
5 Rovnoměrné rozdělen Rovnoměrné rozdělení Distribuční funce rovnoměrného rozdělení je F () = a pro (a, b), b a F () = 0 pro a a F () = 1 pro b. F() Distr. funce R(0,2) Matematicá statistia Šára Hudecová 17/ 50 Rovnoměrné rozdělen Charateristiy rovnoměrného rozdělení Střední hodnota Rozptyl EX = a + b 2 var X = (b a)2 12 Medián je stejný jao střední hodnota, tj. a+b 2 (plyne ze symetrie rozdělení) Kvantil na hladině α F (q α ) = q α a b a = α q α = α(b a) + a Matematicá statistia Šára Hudecová 18/ 50 Rovnoměrné rozdělen Přílady Příady využití modelování doby čeání na událost, terá nastává v pravidelných intervalech dély d např. čeání na příjezd autobusu (přicházíme-li v náhodný oamži) Matematicá statistia Šára Hudecová 19/ 50 Náhodná veličina X má normální rozdělení s parametry µ R a σ 2 > 0, jestliže má hustotu Značíme X N(µ, σ 2 ). f X () = 1 µ)2 ( e 2σ 2 pro R. 2πσ nejdůležitější rozdělení ve statistice může nabývat jaýcholiv reálných hodnot hustota je tzv. Gaussova řiva, je symetricá olem µ a má v tomto bodě maimum parametr σ ovlivňuje zploštělost hustoty Matematicá statistia Šára Hudecová 20/ 50
6 Hustota normálního rozdělení Hustota normálního rozdělení Hustoty N(0,1) a N(0,1/4) N(0,1) N(0,1/4) f() f() σ 2 Hustoty N( 1,1) a N(1,2) 0.3 N( 1,1) N(1,2) f() µ Matematicá statistia Šára Hudecová 21/ 50 Matematicá statistia Šára Hudecová 22/ 50 Charateristiy Využití Střední hodnota EX = µ Rozptyl var X = σ 2 Distribuční funci je nutné počítat numericy. Medián je stejný jao střední hodnota, tj. µ (ze symetrie). výsledy eperimentálního měření, chyby měření rozdělení vantitativních znaů v populaci (výša, hmotnost, IQ) apod. má hezé teoreticé vlastnosti má výsadní postavení ve statistice, neboť průměry většího počtu veličin mají rozdělení blízé normálnímu (přesněji viz Centrální limitní věta, terá bude později). normální rozdělení je předpoladem řady statisticých metod Matematicá statistia Šára Hudecová 23/ 50 Matematicá statistia Šára Hudecová 24/ 50
7 Normované normální rozdělení Distribuční funce normálního rozdělení N(0, 1) (s nulovou střední hodnotou a jednotovým rozptylem) nazýváme normované. Jeho hustotu značíme ϕ, tj. ϕ() = 1 e 2 /2. 2π Distribuční funce N(0, 1) se značí Φ() a počítá se jao Φ() = ϕ(t) dt = 1 2π e t2 /2 dt. Nelze ji vyjádřit eplicitně, její hodnoty lze najít v tabulách. Matematicá statistia Šára Hudecová 25/ 50 Tabula: Hodnoty distribuční funce N(0, 1) Φ() Přičemž platí Φ( ) = 1 Φ(). Φ() Matematicá statistia Šára Hudecová 26/ 50 Distribuční funce normálního rozdělení Distribuční funce normálního rozdělení Důležité vztahy: Distr. funce N(0,1) a N(0,1/4) Poud X N(0, 1), pa σx + µ N(µ, σ 2 ). Poud X N(µ, σ 2 ), pa X µ N(0, 1). σ Distribuční funci N(µ, σ 2 ) lze proto vyjádřit jao ( ) µ F () = Φ σ a proto platí ( ) ( ) b µ a µ P(a < X < b) = Φ Φ. σ σ F() F() N(0,1) N(0,1/4) N( 1,1) N(1,2) Distr. funce N( 1,1) a N(1,2) Matematicá statistia Šára Hudecová 27/ 50 Matematicá statistia Šára Hudecová 28/ 50
8 Přílad Přílad: Obsah vápníu v revním séru (v mmol/l) se řídí normálním rozdělením N(2.30, ) u zdravých lidí a rozdělením N(2.10, ) u nemocných lidí. Diagnosticý test zjistí obsah revního séra v rvi a na záladě něj je člově diagnostiován jao nemocný nebo jao zdravý (nízé hodnoty signalizují nemoc), přičemž za hraniční hodnotu je bráno 2.15 mmol/l. (Pacienti označení jao nemocní jsou následně podrobeni detailnějším diagnosticým testům.) 1 Koli procent zdravých osob bude falešně označeno za nemocné? 2 Koli procent nemocných nebude odhaleno? z z nemocni zdravi nemocni zdravi Matematicá statistia Šára Hudecová 29/ 50 Matematicá statistia Šára Hudecová 30/ 50 Koli procent zdravých osob bude falešně označeno za nemocné? Vezmeme X N(2.30, ). Zajímá nás P(X < 2.15) = F (2.15) = Φ( ) = Φ( 0.833) 0.18 = 1 Φ(0.833) = (tabuly) = 02. Tedy asi 20% zdravých bude zbytečně podrobněji testováno. Koli procent nemocných nebude odhaleno? Vezmeme Y N(2.10, ). Zajímá nás P(Y > 2.10) = 1 F (2.10) = 1 Φ( = (tabuly) = ) = 1 Φ(78) 0.18 Pravidlo dvou (tří) sigma Z tabelovaných hodnot Φ() plyne, že pro náhodnou veličinu X N(µ, σ 2 ) platí P[µ σ X µ + σ] 0.68 P[µ 2σ X µ + 2σ] 0.95 P[µ 3σ X µ + 3σ] Náhodná veličina X tedy zřída padá dále než 2σ 3σ od středu µ její hustoty. Tedy téměř 40% nemocných nebude odhaleno. Matematicá statistia Šára Hudecová 31/ 50 Matematicá statistia Šára Hudecová 32/ 50
9 Ilustrace Přílad Přílad revní sérum: Obsah vápníu v rvi zdravých lidí je s pravděpodobností přibližně 95 % v intervalu ( , ) = (1.94, 2.66) 95 % 2.5 % 2.5 % (v mmol/l) a pouze 0.3% zdravých osob má obsah vápníu mimo interval ( , ) = (1.76, 2.84) (v mmol/l). µ 3σ µ 2σ µ µ + 2σ µ + 3σ Matematicá statistia Šára Hudecová 33/ 50 Matematicá statistia Šára Hudecová 34/ 50 Kvantily normovaného normálního rozdělení Kvantily normálního rozdělení důležité ve statistice α-vantily N(0, 1) budeme značit jao u α platí P(X < u α ) = Φ(u α ) = α hodnoty jsou uvedeny v tabulách a implementovány ve statisticých (matematicých) programech hodnoty z α = u 1 α splňují P(X > z α ) = α a nazývají se riticé hodnoty N(0, 1) f() % 15 % 5 % u 0.8 u Matematicá statistia Šára Hudecová 35/ 50 Matematicá statistia Šára Hudecová 36/ 50
10 Přílad Tabula: Vybrané vantily rozdělení N(0, 1) α u α Jeliož platí Φ( ) = 1 Φ(), máme u 1 α = u α. Přílad: Obsah vápníu v revním séru (v mmol/l) se řídí normálním rozdělením N(2.30, ) u zdravých lidí a rozdělením N(2.10, ) u nemocných lidí. 1 Jaou je třeba zvolit hranici, aby pouze 5% nemocných nebylo testem odhaleno? 2 Jaou je třeba zvolit hranici, aby se maimálně 10% zdravých lidí muselo zbytečně podrobovat dalším testům? Matematicá statistia Šára Hudecová 37/ 50 Matematicá statistia Šára Hudecová 38/ 50 Jaou je třeba zvolit hranici, aby pouze 5 % nemocných nebylo testem odhaleno? Hledáme vantil rozdělení N(2.10, ) na hladině 95 %. Vezměme X N(2.10, ), pa ( X = P(X < q) = P < q 2.1 ) ( ) q 2.1 = Φ a odtud = u 0.95 = q a tedy q = = Je tedy potřeba vzít za hraniční hodnotu mmol/l. Jaou je třeba zvolit hranici, aby se maimálně 10% zdravých lidí muselo zbytečně podrobovat dalším testům? Hledáme vantil rozdělení N(2.30, ) na hladině 10 %. Vezměme Y N(2.30, ), pa ( Y = P(Y < q) = P < q 2.3 ) ( ) q 2.3 = Φ a odtud = u 0.10 = q a tedy q = = Je tedy potřeba vzít za hraniční hodnotu mmol/l. Matematicá statistia Šára Hudecová 39/ 50 Matematicá statistia Šára Hudecová 40/ 50
11 Eponenciální rozdělení Eponenciální rozdělení Eponenciální rozdělení Charateristiy Náhodná veličina X má eponenciální rozdělení s parametrem λ > 0, jestliže má hustotu { λe λ pro > 0, f () = 0 jina. Značíme X Ep(λ). nabývá pouze ladných hodnot, její hustota eponenciálně lesá nejpravděpodobnější jsou malé hodnoty Matematicá statistia Šára Hudecová 41/ 50 Střední hodnota EX = 1 λ Čím vyšší je parametr λ, tím nižší je střední hodnota a naopa. Distribuční funce F () = a F X () = 0 pro 0. Odtud pa vypočteme medián a platí medx < EX. f (t) dt = [ e λt] 0 = 1 e λ pro > 0 medx = log 2 λ Matematicá statistia Šára Hudecová 42/ 50 Eponenciální rozdělení Hustota eponenciálního rozdělení Eponenciální rozdělení Medián a střední hodnota Ep(1) f() λ P = f() Ep(5) f() m XEX Matematicá statistia Šára Hudecová 43/ 50 Matematicá statistia Šára Hudecová 44/ 50
12 Eponenciální rozdělení Přílady Mawellovo rozdělení Mawellovo rozdělení Přílady využití modelování doby čeání na událost déla telefonního hovoru, doba obsluhy u poladny, apod. rozdělení ineticé energie moleuly ideálního plynu ve dvourozměrném prostoru je eponenciální Náhodná veličina X má Mawellovo rozdělení s parametrem a > 0, jestliže má hustotu 2 f () = a 3 2π 2 e 2 2a 2 pro > 0, 0 jina. Mawellova veličina X nabývá pouze ladných hodnot její hustota je mírně asymetricá a nabývá maimální hodnoty v bodě = 2a Matematicá statistia Šára Hudecová 45/ 50 Matematicá statistia Šára Hudecová 46/ 50 Mawellovo rozdělení Přílady Mawellovo rozdělení Charateristiy Využití Mawellovo rozdělení se používá pro modelování rychlosti moleul ideálního plynu. V tom případě je jeho parametr roven T a = m, de je Boltzmannova onstanta, T je teplota [K] a m je hmotnost částice [g]. Distribuční funci nelze vyjádřit eplicitně, je nutné ji počítat numericy jao F () = 1 2π 2 /a 2 0 z e z/2 dz pro > 0. (Tj. i medián a vantily lze spočíst jen numericy.) Střední hodnota EX = 8 8 π a = T π m Matematicá statistia Šára Hudecová 47/ 50 Matematicá statistia Šára Hudecová 48/ 50
13 Mawellovo rozdělení Hustota Mawellova rozdělení Hustota Mawellova rozdělení pro různé plyny při 25 Mawellovo rozdělení Hustota Mawellova rozdělení pro různé teploty Hustoty rychlostí moleul yslíu při teplotách 100, 300 a 500 K H 2 He O 2 Cl K 300 K 500 K Matematicá statistia Šára Hudecová 49/ 50 rychlost [m/s] Matematicá statistia rychlost [m/s] Šára Hudecová 50/ 50
Příklady: - počet členů dané domácnosti - počet zákazníků ve frontě - počet pokusů do padnutí čísla šest - životnost televizoru - věk člověka
Náhodná veličina Náhodnou veličinou nazýváme veličinu, terá s určitými p-stmi nabývá reálných hodnot jednoznačně přiřazených výsledům příslušných náhodných pousů Náhodné veličiny obvyle dělíme na dva záladní
VíceNUMP403 (Pravděpodobnost a Matematická statistika I)
NUMP0 (Pravděpodobnost a Matematicá statistia I Střední hodnota disrétního rozdělení. V apce máte jednu desetiorunu, dvě dvacetioruny a jednu padesátiorunu. Zloděj Vám z apsy náhodně vybere tři mince.
VícePřednáška. Další rozdělení SNP. Limitní věty. Speciální typy rozdělení. Další rozdělení SNP Limitní věty Speciální typy rozdělení
VI Přednáška Další rozdělení SNP Limitní věty Speciální typy rozdělení Rovnoměrné rozdělení R(a,b) Příklad Obejít celý areál trvá strážnému 30 minut. Jaká je pravděpodobnost, že u vrátnice budete čekat
VíceRozdělení náhodné veličiny. Distribuční funkce. Vlastnosti distribuční funkce
Náhodná veličina motivace Náhodná veličina Často lze výsledek náhodného pokusu vyjádřit číslem: číslo, které padlo na kostce, výška náhodně vybraného studenta, čas strávený čekáním na metro, délka života
VíceE(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =
Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní
VíceVŠB-TU OSTRAVA, FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A INFORMATIKY, KATEDRA APLIKOVANÉ MATEMATIKY. Statistika. Vzorce a tabulky
VŠB-TU OSTRAVA, FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A INFORMATIKY, KATEDRA APLIKOVANÉ MATEMATIKY Statistia Vzorce a tabuly Martina Litschmannová 3. března 05 Oficiální vzorce a tabuly KOMBINATORIKA Bez opaování Uspořádané
VíceROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN
ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN Rovnoměrné rozdělení R(a,b) rozdělení s konstantní hustotou pravděpodobnosti v intervalu (a,b) f( x) distribuční funkce 0 x a F( x) a x b b a 1 x b b 1 a x a a x b
VíceKGG/STG Statistika pro geografy
KGG/STG Statistika pro geografy 4. Teoretická rozdělení Mgr. David Fiedor 9. března 2015 Osnova Úvod 1 Úvod 2 3 4 5 Vybraná rozdělení náhodných proměnných normální rozdělení normované normální rozdělení
VíceNáhodná veličina. Michal Fusek. 10. přednáška z ESMAT. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek
Náhodná veličina Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 10. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 71 Obsah 1 Náhodná veličina 2 Diskrétní náhodná veličina 3
VíceKMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC
Přednáša 04 Přírodovědecá faulta Katedra matematiy KMA/P506 Pravděpodobnost a statistia KMA/P507 Statistia na PC jiri.cihlar@ujep.cz Záon velých čísel Lemma Nechť náhodná veličina nabývá pouze nezáporných
VíceVybraná rozdělení náhodné veličiny
3.3 Vybraná rozdělení náhodné veličiny 0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 Rozdělení Z 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Život je umění vytvářet uspokojivé závěry na základě nedostatečných předpokladů.
VíceVýběrové charakteristiky a jejich rozdělení
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Statistické šetření úplné (vyčerpávající) neúplné (výběrové) U výběrového šetření se snažíme o to, aby výběrový
VíceMinikurz aplikované statistiky. Minikurz aplikované statistiky p.1
Minikurz aplikované statistiky Marie Šimečková, Petr Šimeček Minikurz aplikované statistiky p.1 Program kurzu základy statistiky a pravděpodobnosti regrese (klasická, robustní, s náhodnými efekty, ev.
VíceDefinice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze
Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze Náhodná veličina X se nazývá spojitá, jestliže existuje nezáporná funkce f : R R taková, že pro každé a, b R { }, a < b, platí P(a < X < b) = b a f
Více8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak.
8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) e, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá normované
VíceTestování hypotéz. December 10, 2008
Testování hypotéz December, 2008 (Testování hypotéz o neznámé pravděpodobnosti) Jan a Františe mají pytlíy s uličami. Jan má 80 bílých a 20 červených, Františe má 30 bílých a 70 červených. Vybereme náhodně
VíceMgr. Rudolf Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký Dr.Sc.
Náhodné veličiny III Mgr. Rudolf Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký Dr.Sc. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Rudolf Blažek, Roman
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Číselné charateristiy náhodných proměnných Charateristiy náhodných proměnných dělíme nejčastěji na charateristiy polohy a variability. Mezi charateristiy polohy se nejčastěji
VíceNormální rozložení a odvozená rozložení
I Normální rozložení a odvozená rozložení I.I Normální rozložení Data, se kterými pracujeme, pocházejí z různých rozložení. Mohou být vychýlena (doleva popř. doprava, nebo v nich není na první pohled vidět
VíceX = x, y = h(x) Y = y. hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní
..08 8cv7.tex 7. cvičení - transformace náhodné veličiny Definice pojmů a základní vzorce Je-li X náhodná veličina a h : R R je měřitelná funkce, pak náhodnou veličinu Y, která je definovaná vztahem X
Více6 5 = 0, = 0, = 0, = 0, 0032
III. Opaované pousy, Bernoulliho nerovnost. Házíme pětrát hrací ostou a sledujeme výsyt šesty. Spočtěte pravděpodobnosti možných výsledů a určete, terý má největší pravděpodobnost. Řešení: Jedná se o serii
VíceTéma 22. Ondřej Nývlt
Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené
Vícez Matematické statistiky 1 1 Konvergence posloupnosti náhodných veličin
Příklady k procvičení z Matematické statistiky Poslední úprava. listopadu 207. Konvergence posloupnosti náhodných veličin. Necht X, X 2... jsou nezávislé veličiny s rovnoměrným rozdělením na [0, ]. Definujme
VíceBuckinghamův Π-teorém (viz Barenblatt, Scaling, 2003)
Bucinghamův Π-teorém (viz Barenblatt, Scaling, 2003) Formalizace rozměrové analýzy ( výsledné jednoty na obou stranách musí souhlasit ). Rozměr fyziální veličiny Mějme nějaou třídu jednote, napřílad [(g,
VícePoznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 5.téma
Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 5.téma 5. Některá významná rozdělení A. Diskrétní rozdělení (i) Diskrétní rovnoměrné rozdělení na množině {,..., n} Náhodná veličina X, která má diskrétní rovnoměrné
VíceVYBRANÁ ROZDĚLENÍ. SPOJITÉ NÁH. VELIČINY Martina Litschmannová
VYBRANÁ ROZDĚLENÍ SPOJITÉ NÁH. VELIČINY Martina Litschmannová Opakování hustota pravděpodobnosti f(x) Funkce f(x) je hustotou pravděpodobností (na intervalu a x b), jestliže splňuje následující podmínky:
VíceZákladní typy pravděpodobnostních rozdělení
Základní typy pravděpodobnostních rozdělení Petra Schreiberová, Jiří Krček Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Vysoká škola báňská Technická Univerzita Ostrava Ostrava 208 OBSAH Diskrétní rozdělení
VíceCharakterizace rozdělení
Charakterizace rozdělení Momenty f(x) f(x) f(x) μ >μ 1 σ 1 σ >σ 1 g 1 g σ μ 1 μ x μ x x N K MK = x f( x) dx 1 M K = x N CK = ( x M ) f( x) dx ( xi M 1 C = 1 K 1) N i= 1 K i K N i= 1 K μ = E ( X ) = xf
VícePravděpodobnost a statistika I KMA/K413
Pravděpodobnost a statistika I KMA/K413 Konzultace 3 Přírodovědecká fakulta Katedra matematiky jiri.cihlar@ujep.cz Kovariance, momenty Definice kovariance: Kovariance náhodných veličin Dále můžeme dokázat:,
VíceKMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC
Přednáška 03 Přírodovědecká fakulta Katedra matematiky KMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC jiri.cihlar@ujep.cz Diskrétní rozdělení Důležitá diskrétní rozdělení pravděpodobnosti
VíceI. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í
6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme
Víceχ 2 testy. Test nekorelovanosti.
χ 2 testy. Test neorelovanosti. Petr Poší Části doumentu jsou převzaty (i doslovně) z Miro Navara: Pravděpodobnost a matematicá statistia, https://cw.fel.cvut.cz/lib/exe/fetch.php/courses/a6m33ssl/pms_print.pdf
Vícep(x) = P (X = x), x R,
6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme
VíceMATEMATICKÁ STATISTIKA
MATEMATICKÁ STATISTIKA 1. Úvod. Matematická statistika se zabývá vyšetřováním zákonitostí, které v sobě obsahují prvek náhody. Zpracováním hodnot, které jsou výstupem sledovaného procesu, se snažíme popsat
Více8. Normální rozdělení
8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, 2 ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) 2 e 2 2, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá
Vícesprávně - A, jeden celý příklad správně - B, jinak - C. Pro postup k ústní části zkoušky je potřeba dosáhnout stupně A nebo B.
Zkouška z předmětu KMA/PST. Anotace předmětu Náhodné jevy, pravděpodobnost, podmíněná pravděpodobnost. Nezávislé náhodné jevy. Náhodná veličina, distribuční funkce. Diskrétní a absolutně spojitá náhodná
VíceStatistika II. Jiří Neubauer
Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Zaměříme se především na popis dvourozměrných náhodných veličin (vektorů). Definice Nechť X a Y jsou
VíceZáklady teorie pravděpodobnosti
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodná veličina Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 12. února 2012 Statistika by Birom Základy teorie
Více1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.
VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:
VíceÚVOD. Rozdělení slouží: K přesnému popisu pravděpodobnostního chování NV Střední hodnota, rozptyl, korelace atd.
ROZDĚLENÍ NV ÚVOD Velké skupiny náhodných pokusů vykazují stejné pravděpodobnostní chování Mince panna/orel Výška mužů/žen NV mohou být spojeny s určitým pravděpodobnostním rozdělení (již známe jeho hustotu
Více10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457.
0 cvičení z PST 5 prosince 208 0 (intervalový odhad pro rozptyl) Soubor (70, 84, 89, 70, 74, 70) je náhodným výběrem z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) Určete oboustranný symetrický 95% interval spolehlivosti
VíceMotivace. Náhodný pokus, náhodný n jev. pravděpodobnost. podobnostní charakteristiky diagnostických testů, Bayesův vzorec. Prof.RND. RND.
Pravděpodobnostn podobnostní charateristiy diagnosticých testů, Bayesův vzorec Prof.RND RND.Jana Zvárov rová,, DrSc. Náhodný pous, náhodný n jev Náhodný pous: výslede není jednoznačně určen podmínami,
VícePravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.
Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 2010 1.týden (20.09.-24.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza
Vícef (k) (x 0 ) (x x 0 ) k, x (x 0 r, x 0 + r). k! f(x) = k=1 Řada se nazývá Taylorovou řadou funkce f v bodě x 0. Přehled některých Taylorových řad.
8. Taylorova řada. V urzu matematiy jsme uázali, že je možné funci f, terá má v oolí bodu x derivace aproximovat polynomem, jehož derivace se shodují s derivacemi aproximované funce v bodě x. Poud má funce
VíceŘešení. Označme po řadě F (z) Odtud plyne, že
Úloha Nechť ~ R(, ) a Y = Jinak řečeno, Y je odmocnina čísla vybraného zcela náhodně z intervalu (, ) Popište rozdělení veličiny Y a určete jeho modus, medián, střední hodnotu a rozptyl Řešení Označme
VíceDefinice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně
7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností
Více1 Klasická pravděpodobnost. Bayesův vzorec. Poslední změna (oprava): 11. května 2018 ( 6 4)( 43 2 ) ( 49 6 ) 3. = (a) 1 1 2! + 1 3!
Výsledky příkladů na procvičení z NMSA0 Klasická pravděpodobnost. 5. ( 4( 43 ( 49 3. 8! 3! 0! = 5 Poslední změna (oprava:. května 08 4. (a! + 3! + ( n+ n! = n k= ( k+ /k! = n k=0 ( k /k!; (b n k=0 ( k
VíceIntervalové Odhady Parametrů
Parametrů Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc. Katedra počítačových systémů Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze
VíceJiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou
VíceVšechno, co jste chtěli vědět z teorie pravděpodobnosti, z teorie informace a
Všechno, co jste chtěli vědět z teorie pravděpodobnosti, z teorie informace a báli jste se zeptat Jedinečnou funkcí statistiky je, že umožňuje vědci číselně vyjádřit nejistotu v jeho závěrech. (G. W. Snedecor)
VíceLIMITNÍ VĚTY DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PR. 8. cvičení
LIMITNÍ VĚTY DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PR. 8. cvičení Způsoby statistického šetření Vyčerpávající šetření prošetření všech jednotek statistického souboru (populace) Výběrové šetření ze základního souboru
VíceZáklady počtu pravděpodobnosti a metod matematické statistiky
Errata ke skriptu Základy počtu pravděpodobnosti a metod matematické statistiky K. Hron a P. Kunderová Autoři prosí čtenáře uvedeného studijního textu, aby případné další odhalené chyby nad rámec tohoto
VíceFyzikální korespondenční seminář MFF UK
Úloha I.S... náhodná 10 bodů; průměr 7,04; řešilo 45 studentů a) Zkuste vlastními slovy popsat, co je to náhodná veličina a jaké má vlastnosti (postačí vlastními slovy objasnit následující pojmy: náhodná
VíceTesty. Pavel Provinský. 19. listopadu 2013
Testy Pavel Provinský 19. listopadu 2013 Test a intervalový odhad Testy a intervalové odhady - jsou vlastně to samé. Jiný je jen úhel pohledu. Lze přecházet od jednoho k druhému. Například: Při odvozování
VíceMatematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace
Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 28. 11 2. 12. 2016 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Střední
VíceVYBRANÁ ROZDĚLENÍ. DISKRÉTNÍ NÁH. VELIČINY Martina Litschmannová
VYBRANÁ ROZDĚLENÍ DISKRÉTNÍ NÁH. VELIČINY Martina Litschmannová Opakování Základní pojmy z teorie pravděpodobnosti Co je to náhodná veličina (dále NV)? Číselné vyjádření výsledku náhodného pokusu. Jaké
VíceStatistika a spolehlivost v lékařství Charakteristiky spolehlivosti prvků I
Statistika a spolehlivost v lékařství Charakteristiky spolehlivosti prvků I Příklad Tahová síla papíru používaného pro výrobu potravinových sáčků je důležitá charakteristika kvality. Je známo, že síla
Více(iv) D - vybíráme 2 koule a ty mají různou barvu.
2 cvičení - pravděpodobnost 2102018 18cv2tex Definice pojmů a záladní vzorce Vlastnosti pravděpodobnosti Pravděpodobnost P splňuje pro libovolné jevy A a B následující vlastnosti: 1 0, 1 2 P (0) = 0, P
VíceStřední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.
Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která
VíceFunkce hustoty pravděpodobnosti této veličiny je. Pro obecný počet stupňů volnosti je náhodná veličina
Přdnáša č 6 Náhodné vličiny pro analyticou statistiu Při výpočtch v analyticé statistic s používají vhodné torticé vličiny, tré popisují vlastnosti vytvořných tstovacích charatristi Mzi njpoužívanější
VíceSPOJITÉ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI. 7. cvičení
SPOJITÉ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI 7. cvičení Intenzita poruch Funkce modelující dobu do výskytu události životnost, dobu do poruchy, dobu do relapsu (návratu onemocnění), apod. používáme spolu s distribuční
Vícepopulace soubor jednotek, o jejichž vlastnostech bychom chtěli vypovídat letní semestr Definice subjektech.
Populace a Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 2012 1 populace soubor jednotek, o jejichž vlastnostech bychom
VíceSTATISTICKÉ ODHADY Odhady populačních charakteristik
STATISTICKÉ ODHADY Odhady populačních charakteristik Jak stanovit charakteristiky rozložení sledované veličiny v základní populaci? Populaci většinou nemáme celou k dispozici, musíme se spokojit jen s
VíceKMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC
Přednáša 02 Přírodovědecá faulta Katedra matematiy KMA/P506 Pravděpodobnost a statistia KMA/P507 Statistia na PC jiri.cihlar@ujep.cz Náhodné veličiny Záladní definice Nechť je dán pravděpodobnostní prostor
Více6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení
6 Spojitá rozdělení 6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení Ze spojitých rozdělení se v praxi setkáme nejčastěji s normálním rozdělením. Toto rozdělení je typické pro mnoho náhodných veličin z rozmanitých oborů
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 2. KAPITOLA PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST 3. KAPITOLA NÁHODNÁ VELIČINA 9.11.2017 Opakování Uveďte příklad aplikace geometrické definice pravděpodobnosti
VícePravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 4
Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 4 J. Hrabáková, I. Petr, F. Štampach, D. Vašata Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze ZS 2014/2015
VíceLimitní věty teorie pravděpodobnosti. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jestliže opakujeme nezávisle nějaký pokus, můžeme z pozorovaných hodnot sestavit rozdělení relativních četností
VíceHodnocení přesnosti výsledků z metody FMECA
Hodnocení přesnosti výsledů z metody FMECA Josef Chudoba 1. Úvod Metoda FMECA je semivantitativní metoda, pomocí teré se identifiují poruchy s významnými důsledy ovlivňující funci systému. Závažnost následů
VíceSemestrální písemka BMA3 - termín varianta A13 vzorové řešení
Semestrální písemka BMA3 - termín 6.1.9 - varianta A13 vzorové řešení Každý příklad je hodnocen maximálně 18 body, z toho část a) 1 body a část b) body. Mezivýsledky při výpočtech zaokrouhlujte alespoň
VíceRovnoměrné rozdělení
Rovnoměrné rozdělení Nejjednodušší pravděpodobnostní rozdělení pro diskrétní náhodnou veličinu. V literatuře se také nazývá jako klasické rozdělení pravděpodobnosti. Náhodná veličina může nabývat n hodnot
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Bayesovské odhady
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bayesovské odhady Bayesovské odhady - úvod Klasický bayesovský přístup: Klasický přístup je založen na opakování pokusech sledujeme rekvenci nastoupení zvolených jevů Bayesovský
VíceStudent(ka): Písemná část státní závěrečné zkoušky Fyzika (učitelství) červen Bodové hodnocení: Hodnotil(a): Celkové hodnocení testu:
Spránou odpoěď zaroužujte. Celoé hodnocení testu: Úloha 1 (3 body) Mějme ýtah o hmotnosti m, terý je poěšen na laně přes penou ladu. Za druhý onec lana tahá silou F čloě, terý stojí onom ýtahu. Jeho hmotnost
VíceTECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI
TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií Základní pojmy diagnostiky a statistických metod vyhodnocení Učební text Ivan Jaksch Liberec 2012 Materiál vznikl
VíceNÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN?
NÁHODNÉ VELIČINY GENEROVÁNÍ SPOJITÝCH A DISKRÉTNÍCH NÁHODNÝCH VELIČIN, VYUŽITÍ NÁHODNÝCH VELIČIN V SIMULACI, METODY TRANSFORMACE NÁHODNÝCH ČÍSEL NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN. JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU
VíceAproximace binomického rozdělení normálním
Aproximace binomického rozdělení normálním Aproximace binomického rozdělení normálním Příklad Sybilla a Kassandra tvrdí, že mají telepatické schopnosti, a chtějí to dokázat následujícím pokusem: V jedné
VíceRozhodnutí / Skutečnost platí neplatí Nezamítáme správně chyba 2. druhu Zamítáme chyba 1. druhu správně
Testování hypotéz Nechť,, je náhodný výběr z nějakého rozdělení s neznámými parametry. Máme dvě navzájem si odporující hypotézy o parametrech daného rozdělení: Nulová hypotéza parametry (případně jediný
VíceNáhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti
3.2 Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti Bůh hraje se světem hru v kostky. Jsou to ale falešné kostky. Naším hlavním úkolem je zjistit, podle jakých pravidel byly označeny, a pak toho využít pro
VíceTestování statistických hypotéz
Testování statistických hypotéz Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 11. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 27 Obsah 1 Testování statistických hypotéz 2
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 8. KAPITOLA STATISTICKÉ TESTOVÁNÍ HYPOTÉZ 22.11.2016 Opakování: CLV příklad 1 Zadání: Před volbami je v populaci státu 52 % příznivců
VícePravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík
Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2017/2018 Tutoriál č. 2:, náhodný vektor Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz náhodná veličina rozdělení pravděpodobnosti náhodné
VíceNáhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která
Náhodná veličina a její charakteristiky Náhodná veličina a její charakteristiky Představte si, že provádíte náhodný pokus, jehož výsledek jste schopni ohodnotit nějakým číslem. Před provedením pokusu jeho
VíceZáklady teorie odhadu parametrů bodový odhad
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Odhady parametrů Úkolem výběrového šetření je podat informaci o neznámé hodnotě charakteristiky základního souboru
VícePravděpodobnost a matematická statistika
Pravděpodobnost a matematická statistika Příklady k přijímacím zkouškám na doktorské studium 1 Popisná statistika Určete aritmetický průměr dat, zadaných tabulkou hodnot x i a četností n i x i 1 2 3 n
Více15. T e s t o v á n í h y p o t é z
15. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:
Více1. Klasická pravděpodobnost
Příklady 1. Klasická pravděpodobnost 1. Házíme dvakrát kostkou. Jaká je pravděpodobnost, že padne alespoň jedna šestka? 2. Základy teorie pravděpodobnosti vznikly v korespondenci mezi dvěma slavnými francouzskými
VíceNMAI059 Pravděpodobnost a statistika
NMAI059 Pravděpodobnost a statistika podle přednášky Daniela Hlubinky (hlubinka@karlin.mff.cuni.cz) zapsal Pavel Obdržálek (pobdr@matfyz.cz) 205/20 poslední změna: 4. prosince 205 . přednáška. 0. 205 )
VíceCvičení 10. Přednášející: Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc.
10 Přednášející: Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc. Katedra počítačových systémů Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické
VícePříklady na testy hypotéz o parametrech normálního rozdělení
Příklady na testy hypotéz o parametrech normálního rozdělení. O životnosti 75W žárovky (v hodinách) je známo, že má normální rozdělení s = 5h. Pro náhodný výběr 0 žárovek byla stanovena průměrná životnost
VícePravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.
Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipa.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 2010 1.týden 20.09.-24.09. Data, tp dat, variabilita, frekvenční analýza histogram,
VícePravděpodobnost, náhodná proměnná. Statistické metody a zpracování dat. III. Pravděpodobnost, teoretická rozdělení. Pravděpodobnost, náhodná proměnná
Pravděpodobnost, náhodná proměnná Statistické metody a zpracování dat III. Pravděpodobnost, teoretická rozdělení Petr Dobrovolný Popisné a průzkumové metody umožňují přehledné shrnutí informací, které
VícePříklad 1. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 11
Příklad 1 Vyhláška Ministerstva zdravotnictví předpokládala, že doba dojezdu k pacientovi od nahlášení požadavku nepřekročí 17 minut. Hodnoty deseti náhodně vybraných dob příjezdu sanitky k nemocnému byly:
VícePravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Tutoriál č. 5: Bodové a intervalové odhady, testování hypotéz.
Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2015/2016 Tutoriál č. 5: Bodové a intervalové odhady, testování hypotéz Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz Obsah: Výběrová rozdělení
Více1.5.7 Prvočísla a složená čísla
17 Prvočísla a složená čísla Předpolady: 103, 106 Dnes bez alulačy Číslo 1 je dělitelné čísly 1,, 3,, 6 a 1 Množinu, terou tvoří právě tato čísla, nazýváme D 1 množina dělitelů čísla 1, značíme ( ) Platí:
Více4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY
4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY Průvodce studiem V této kapitole se seznámíte se základními typy rozložení diskrétní náhodné veličiny. Vašim úkolem by neměla být
VíceCvičení ze statistiky - 5. Filip Děchtěrenko
Cvičení ze statistiky - 5 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Začali jsme pravděpodobnost Klasická a statistická definice pravděpodobnosti Náhodný jev Doplněk, průnik, sjednocení Podmíněná pravděpodobnost
Více9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y
9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota y závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí y = f(x).
Více1. Pravděpodobnost a statistika (MP leden 2010)
1. Pravděpodobnost a statistika (MP leden 2010) Pravděpodobnost pojmy 1. Diskrétní pravděpodobnostní prostor(definice, vlastnosti, příklad). Diskrétní pravděpodobnostní prostor je trojice(ω, A, P), kde
Více12. prosince n pro n = n = 30 = S X
11 cvičení z PSI 1 prosince 018 111 test střední hodnoty normálního rozdělení při známém rozptylu Teploměrem o jehož chybě předpokládáme že má normální rozdělení se směrodatnou odchylkou σ = 3 jsme provedli
VíceMetoda konjugovaných gradientů
0 Metoda onjugovaných gradientů Ludě Kučera MFF UK 11. ledna 2017 V tomto textu je popsáno, ja metodou onjugovaných gradientů řešit soustavu lineárních rovnic Ax = b, de b je daný vetor a A je symetricá
Více