(iv) D - vybíráme 2 koule a ty mají různou barvu.

Transkript

1 2 cvičení - pravděpodobnost cv2tex Definice pojmů a záladní vzorce Vlastnosti pravděpodobnosti Pravděpodobnost P splňuje pro libovolné jevy A a B následující vlastnosti: 1 0, 1 2 P (0) = 0, P (1) = 1; 0 V, 1 U 3 = 1 A B P (B) 5 A B P (B\A) = P (B) ; B\A B A 6 A B = P (A B) = + P (B) 7 P (A B) = + P (B) P (A B) Klasicá pravděpodobnost (Laplaceův model) Náhodný pous má n možných výsledů, teré mají stejnou pravděpodobnost výsytu Jestliže se náhodný jev A realizuje v m případech, pa je jeho pravděpodobnost = m n 21 Přílad V osudí je a bílých a b černých oulí Vypočtěte pravděpodobnosti uvedených náhodných jevů: {Házíme mincí - bílá = rub, černá = líc, a = b = 1 Házíme hrací ostou - bílá = 6, černá = opa, a = 1, b = 5} (i) A - náhodně vybraná oule je bílá; (ii) B - postupně vybíráme oule a poslední tažená oule je bílá; (iii) C - vybíráme 2 oule a obě jsou bílé; (iv) D - vybíráme 2 oule a ty mají různou barvu Řešení: (i) Při výběru máme a + b možností a v a případech nastane náhodný jev Je tudíž = a a+b (ii) Pro výběr poslední oule máme a + b možností a v a případech nastane náhodný jev Je tudíž P (B) = a a+b (iii) Přílad můžeme řešit dvěma způsoby: 1

2 1 Vybíráme dvojice, de nezáleží na pořadí výběru a výběr se nemůže opaovat (ombinace) Vybíráme z a+b oulí a v případě výběru z a bílých nastane sledovaný náhodný jev Je tedy P (C) = a 2 a + b 2 = a(a 1) (a + b)(a + b 1) 2 Nebo uvažujeme výběr jedné bílé oule a potom opět jedné bílé oule, ale z osudí, ve terém je o jednu bílou ouli méně Podle příladu (i) je P (C) = a a + b a 1 a 1 + b (iv) Máme opět 2 možnosti řešení: 1 Vybíráme dvojici oulí různé barvy a to učinit ab způsoby Hledaná pravděpodobnost je ab P (D) = a + b = 2 = 2ab (a + b)(a + b 1) ; 2 Náhodný jev D nastaneme ve dvou disjutních (neslučitelných) případech: D a -postupně losujeme bílou a pa černou ouli; D b - postupně losujeme černou a pa bílou ouli Obdobně jao v (iii) je = a a + b b a 1 + b + P (D) = P (D a ) + P (D b ) = b a + b a a + b 1 = 2ab (a + b)(a + b 1) 22 Přílad (Pravděpodobnost zařazení do průzumu) Alice a Bob žijí ve městě, teré má n = 10 obyvatel Do statisticého průzumu bude vybráno = 500 respodentů Pro všechny druhy výběrů vypočtěte pravděpodobnosti náhodných jevů: a) Do výběru bude Alice (Bob) vybrána alespoň jednou, jev A, resp B b) Budou vybráni Alice a Bob, jev A B 2

3 Řešení: Jestliže označíme symbolem v(n, ) počet výběrů prvů z n prvů a A, resp B jev, že je vybrána Alice, resp Bob, pa dostaneme počty výběrů: v(n 1, ) není vybrána Alice (Bob); v(n, ) v(n 1, ) je vybrána Alice (Bob); v(n, ) 2 v(n 1, ) + v(n 2, ) jsou vybráni Alice a Bob Pro hledané pravděpodobnosti dostaneme vzorce v(n 1, ) = P (B) = 1 = 1 v(n, ) a v(n 1, ) v(n 2, ) P (A B) = v(n, ) v(n, ) Pro jednotlivé druhy výběrů dostaneme jejich počty podle vzorců, ve terých druhy výběrů rozlišíme indexy: (i) Uspořádaný výběr bez vracení (variace bez opaování) (rozhoduje pořadí výběru): Všech možných výběrů je v ub = n(n 1) (n + 1) = n! (n )! (ii) Neuspořádaný výběr bez vracení (ombinace) (nezáleží na pořadí výběru): Všech možných výběrů je n!! (n )! v nb = n = (iii) Uspořádaný výběr s vracením (variace s opaováním) (je možný opaovaný výběr ): Celový počet výběrů je v us = n (iv) Neuspořádaný výběr s vracením (ombinace s opaováním) (je možný opaovaný výběr): n + 1 Celový počet výběrů je v ns = = (n + 1)!! (n 1)! V tomto případě nemůžeme použít uvedených vzorců, nebot ombinace s opaováním nemají stejnou pravděpodobnost Jednotlivým ombinacim odpovídá různý počet variací s opaovaním, teré mají stejnou pravděpodobnost Dosazením do vzorců dostaneme požadované pravděpodobnosti (i) = P (B) = 1 (n 1)(n 2) (n ) n(n 1)(n 2) (n + 1) = 3

4 = 1 n n = n = 005 P (A B) = 1 2 n n + (n )(n 1) n(n 1) = ( 1) n(n 1) = (ii) = P (B) = 1 n 1 n = 1 n n = n = 005 n 1 P (A B) = 1 2 n + n 2 n = ( 1) n(n 1) = (iii) ( ) n 1 = 1 = = 0088 n ( ) n 1 ( ) n 2 P (A B) = = n n = = Přílad U zoušy si student losuje otázy z 20 Pro nedostate času si stačil připravit 15 otáze Jestliže označíme A, 0, náhodný jev, dy student zodpoví dobře otáze, určete pravděpodobnosti jednotlivých možností Řešení: Všechny výběry dostaneme jao výběry prvů z 20 Pro jednotlivé případy vybíráme otáze z 15 a ze zbývajících 5 Jsou tudíž jednotlivé pravděpodobnosti rovny: 15 P (A ) = P (A 2 ) = 20 = 02817; P (A 3 ) = = 02167; P (A 1 ) = = 0696; 5 3 = 0031;

5 5 P (A 0 ) = 20 = 0001 (P (A ) + P (A 3 ) + P (A 2 ) + P (A 1 ) + P (A 0 ) = 1) 2 Přílad (Hypergeometricé rozdělení) Obecná formulace modelu Množina má N prvů a mezi nimi má M prvů sledovanou vlastnost Jaá je pravděpodobnost toho, že mezi n náhodně vybranými prvy má právě, 0 min{m, n} sledovanou vlastnost? Model se používá u situací podobného charateru jao: Loterie s N losy, z nichž M losů vyhrává a n losů zaoupíme V partii N výrobů je M 1 jaosti a zbývající jsou jiné vality, případně mají vadu Situaci můžeme znázornit na obrázu M n N M Řešení: Vybraná supina n prvů bude obsahovat právě prvů sledované vlastnosti, jestliže provedeme výběr ta, že prvů vybereme z množiny om prvcích a zbývajících n prvů vybereme ze supiny N M prvů, teré uvažovanou vlastnost nemají Všech možných výběrů n prvů z N je celem N Jednotlivé výběry (elementární jevy) jsou rovnocenné, n tedy stejně pravděpodobné Z M prvů se sledovanou vlastností vybereme supinu o prvcích celem M způsoby a zbývajících n prvů, teré vlastnost nemají vybereme ze supiny N M prvů celem N M n způsoby Podle pravidla součinu a definice pravděpodobnosti je výsledná pravděpodobnost výběru právě prvů, teré mají sledovanou vlastnost, rovna M N M n P =, 0 min{n, M} N M 25 Přílad Je-li Ω = {a, b, c} množinou elemntárních jevů, roz- 5

6 hodněte, zda je uvedená množina A σ algebrou a poud není doplňte ji ta, aby tuto vlastnost měla (I) A = {, {a}, {b}, {a, c}} Řešení: Množina A musí obsahovat celou množinu Ω, doplňy, sjednocení a průniy (I) Uvedená množina není σ algebrou Musíme ji doplnit o všechny prvy z Ω, dále o dvojice a trojice prvů a celou množinu Ω Po doplnění dostaneme: A = {, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}} 26 Přílad Na množině A z příladu 5 definujte alespoň dvě různé pravděpodobnosti Řešení: (i) Můžeme požadovat stejnou pravděpodobnost elementárních jevů (rovnoměrné rozdělení) a dostaneme pro pravděpodobnosti jevů z A hodnoty: P ( ) = 0, P (a) = P (b) = P (c) = 1 3, P (a b) = P (a c) = P (b c) = 2 3, P (a b c) = 1 (ii) Můžeme třeba volit lineární funci pravděpodobnosti Protože je = 6, můžeme volit P (a) = 1 6, P (b) = 2 6, P (c) = 3 6 Potom je P ( ) = 0, P (a b) = P (a) + P (b) = = 3 6 P (b c) = P (b) + P (c) = = 5 6, P (a b c) = P (a) + P (b) + P (c) = = 1, P (a c) = = 6, 27 Geometricá pravděpodobnost Tento model používáme v situacích, dy jistému jevu U odpovídá neprázdná množina U R n, terá má onečný ladný objem v(u) Pravděpodobnost můžeme definovat na σ algebře A měřitelných podmnožin množiny U předpisem = v(a) v(u), A A 28 Přílad Náhodně volíme číslo x v intervalu 0, 10 ta, že je aždá volba stejně pravděpodobná Určete: a) pravděpodobnost P ( x 3 < 1), P (x = 2); b) závislost pravděpodobnosti F (a) = P ( x 3 a), a R na hodnotě parametru a 6

7 Řešení: a) K řešení použijeme geometricou pravděpodobnost Pravděpodobnost výsytu čísla x v intervalu je přímo úměrná jeho délce Ze situace znázorněné na obrázu Obr 81 dostaneme P ( x 3 < 1) = P (x (2, )) = = 2 10 = 02 Z obrázu Obr 82 dostaneme P (x = 2) = = Obr 81 Obr 82 b) Interval, ve terém leží číslo a se mění v závislosti na hodnotě parametru a Protože je 3 0 = 3 a 10 3 = 7, dostaneme vzorce pro vyjádření pravděpodobnosti: a < 0 : F (a) = 0; 0 a < 3 : F (a) = 3+a (3 a) 10 = 2a 10 = a 5 ; 3 a < 7 : F (a) = 3+a 0 10 = a+3 10 ; a 7 : F (a) = = 1 Graf závislosti je na obrázu Obr 83 1 F (a) Obr 83 Poznáma Všimněme si, že v tomto případě mají elementární jevy x = x 0 pravděpodobnost nulovou Je jich totiž příliš mnoho Dále nezáleží na tom, zda v případě a) uvažujeme otevřený, uzavřený a nebo polouzavřený interval Jevy se liší o jev s nulovou pravděpodobností Tato vlastnost je typicá pro náhodné veličiny, teré mají spojité rozdělení pravděpodobnosti 29 Přílad Konáme serii náhodných pousů, ve terých se objevuje jao výslede náhodný jev A s pravděpodobností = p, 0 < p < 1 Pous onáme doud nenastane náhodný jev A a) Vypočtěte pravděpodobnosti pro jednotlivé počty provedených pousů 7

8 b) Určete oli musíme minimálně provést pousů, aby se náhodný jev objevil s pravděpodobností větší než (i) 09, (ii) 095 Hodnoty vyčíslete pro p = p 1 = 05, p = p 2 = 1 6 Model odpovídá třeba situacím, dy házíme ostou doud nepadne šesta (p = 1/6), nebo házíme mincí poud nepadne rub (p = 1/2), případně z osudí s a bílými a b černými oulemi vytáhneme bílou ouli (p = a/(a + b)) Řešení: a) Při řešení úlohy použijeme jazya náhodných veličin Počet pousů, teré provedeme, doud nenastane jev A považujeme za náhodnou veličinu X Její hodnoty nejsou omezené, nabývají hodnot z množiny přirozených čísel N Množina elementárních jevů je tedy neonečná, je rovna množině přirozených čísel N Náhodný pous opaujeme, poud se objeví jev A, opačný jevu A, terý má pravděpodobnost = 1 p Jestliže je počet provedených pousů roven X N, pa pro pravděpodobnostní funci p X náhodné veličiny dostaneme vzorec p X (1) = P (X = 1) = p, p X (2) = P (X = 2) = (1 p)p, p X (3) = P (X = 3) = (1 p) 2 p, obecně je p X (n) = P (X = n) = (1 p) n 1 p, n N Pro zadané číselné hodnoty dostaneme pro pravděpodobnostní funci vyjádření p 1 = 05 p X (n) = 1 2 n; p 2 = 5 6 p X(n) = 5n 1 6 n, n N b) Jestliže si označíme zadanou pravděpodobnost jao P 0, pa hledáme nejmenší přirozené číslo n, pro teré platí ( ) P (X n) > P 0 Z vyjádření pravděpodobnostní funce dostaneme, že P (X n) = n =1 p X () = n =1 Po dosazení dostaneme podmínu ( ) ve tvaru p(1 p) 1 1 (1 p)n = p 1 (1 p) = 1 (1 p)n 1 (1 p) n > P 0 1 P 0 > (1 p) n ln (1 P 0 ) > n ln (1 p) ( ) n > ln (1 P 0) ln (1 p) Pro zadané číselné hodnoty dostaneme pro minmální počet opaování: 8

9 p = p 1 = 05 : n > ln (1 P 0) ln 05 ln 01 (i) P 0 = 09 n > ln 05 ln 005 (ii) P 0 = 095 n > ln 05 p = p 2 = 1/6 : n > ln (1 P 0) = 332 n = ; = 32 n = 5 ln (5/6) ln 01 (i) P 0 = 09 n > = 1262 n = 13; ln (5/6) ln 005 (ii) P 0 = 095 n > = 13 n = 17 ln (5/6) Poznáma Pravděpodobnosti jednotlivých výsledů tvoří geometricou řadu s vocientem q = 1 p Snadno se přesvědčíme, že n=1 P (X = n) = n=1 (1 p) n 1 p = p 1 (1 p) = 1 Teoreticy se může stát, že se náhodný jev jao výslede neobjeví Je to jev, terý nemůžeme považovat za nemožný, ale pro jeho pravděpodobnost dostaneme, že je rovna Podmíněná pravděpodobnost a nezávislost jevů Jestliže je (Ω, A, P ) pravděpodobnostní prostor a A, B A, P (B) > 0, pa definujeme podmíněnou pravděpodobnost jevu A B jao P (A B) = P (A B) P (B) B A B A B A Potom je P (A B)P (B) = P (B A) Náhodné jevy A a B jsou nezávislé právě dyž platí jedna z podmíne ( ) P (A B) = P (B), P (A B) =, P (B A) = P (B), teré jsou evivalentní 9

10 Náhodné jevy A, B a C jsou nezávislé, právě dyž platí: ( ) P (A B C) = P (B) P (C), P (A B) = P (B), P (A C) = P (C), P (B C) = P (B) P (C) 211 Přílad Tři střelci zasahují terč po řadě s pravděpodobnostmi p 1 = 02, p 2 = 0 a p 3 = 06 Současně vystřelí a v terči je jediný zásah Určete pravděpodobnosti P i toho, že zásah pochází od i tého střelce Řešení: Označme si náhodné jevy A i, i = 1, 2, 3, terč zasáhne i tý střelec a A v terči je právě jeden zásah Potom je A = (A 1 A 2 A 3 ) (A 1 A 2 A 3 ) (A 1 A 2 A 3 ) Ve sjednocení jsou jednotlivé jevy neslučitelné (disjuntní), je tedy výsledná pravděpodobnost součtem dílčích pravděpodobností Protože jsou zásahy jednotlivých střelců na sobě nezávislé, pa pro pravděpodobnost jevu A dostaneme = p 1 (1 p 2 )(1 p 3 ) + (1 p 1 )p 2 (1 p 3 ) + (1 p 1 )(1 p 2 )p 3 a po dosazení pravděpodobností p 1 = 02, p 2 = 0, p 3 = 06 = = = 06 Jestliže si označíme B i jevy, že zásah pochází od i tého střelce, pa B i = A A i a podle vzorce pro podmíněnou pravděpodobnost dostaneme, že P (B i ) = P (A A i), i = 1, 2, 3 Po dosazení příslušných hodnot dostaneme P (B 1 ) = P (A 1 A 2 A 3 ) = p 1(1 p 2 )(1 p 3 ) = = 0103; P (B 2 ) = P (A 1 A 2 A 3 ) P (B 3 ) = P (A 1 A 2 A 3 ) = (1 p 1)p 2 (1 p 3 ) = (1 p 1)(1 p 2 )p 3 = = = 0276; = 0621 Všimněme si, že se pravděpodobnost nejlepšího střelce zvýší a pravděpodobnost nejhoršího sníží 10

11 212 Přílad Nezávislé náhodné jevy A, B, C mají po řadě pravděpodobnosti = 02, P (B) = 03, P (C) = 0 Určete pravděpodobnosti náhodných jevů: a) X = A B; b) Y = (A B) C; c) Z = A B; d) W = A B C Řešení: Pro nezávislé jevy platí: P (A B) = P (B), tedy: a) P (X) = P (A B) = +P (B) P (A B) = = = = 0 b) P (Y ) = P (A B) P (C) = 0 0 = 0176 c) P (Z) = P (A B) = P (A B) = = = = 01 d) P (W ) = + P (B) + P (C) P (A B) P (A C) P (B C) + P (A B C) = = = Přílad Automat vyrábí podložy ve tvaru obdélnía Tolerance v šířce není dodržena v 8%, tolerance v délce v 7% a v obou rozměrech ve 3% případů a) Rozhodněte, zda jsou porušení tolerance v délce a v šířce, závislé či nezávislé jevy b) Vypočtěte pravděpodobnost toho, že náhodně vybraný us má oba rozměry v toleranci Řešení: Označíme-li A jev porušení tolerance v šířce a B porušení tolerance v délce, pa A B je jev porušení tolerance v obou rozměrech a) Potom je = 008, P (B) = 007, P (A B) = 003 Sledované náhodné jevy jsou nezávislé právě dyž je P (A B) = P (B) = 00056, jsou tedy oba jevy A a B závislé b) Vybrání dobrého výrobu je jev A B Potom je jeho pravděpodobnost rovna P (A B) = P (A B) = 1 P (A B) = = 1 P (B) + P (A B) = = Přílad Ve čtverci 1, 1 1, 1 volíme náhodně bod (X, Y ) ta, že je aždá volba stejně pravděpodobná Rozhodněte, zda jsou náhodné 11

12 jevy A = {(X, Y ); X > 0}, B = {(X, Y ); Y > 0} a C = {(X, Y ); X Y > 0} závislé či nezávislé Řešení: K určení pravděpodobností využijeme geometricé pravděpodobnosti Je patrné, že = P (B) = P (C) = 1 2 Dále je: A B = {(X, Y ); X > 0 Y > 0}, tedy P (A B) = 1 ; A C = {(X, Y ); X > 0 Y > 0}, tedy P (A C) = 1 ; B C = {(X, Y ); X > 0 Y > 0}, tedy P (B C) = 1 Je tedy P (A B) = P (B) = 1, P (A C) = P (C) = 1, P (B C) = P (B) P (C) = 1 Jsou tudíž náhodné jevy A, B a C po dvou nezávislé Pro všechny tři náhodné jevy dostaneme A B C = {(X, Y ); X > 0 Y > 0}, tedy P (A B C) = 1 P (B) P (C) = 1 8 Náhodné jevy A, B a C jsou tudíž závislé 12