Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze

Transkript

1

2 Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze Náhodná veličina X se nazývá spojitá, jestliže existuje nezáporná funkce f : R R taková, že pro každé a, b R { }, a < b, platí P(a < X < b) = b a f (x) dx. Funkce f se nazývá hustota pravděpodobnosti náhodné veličiny X. Některé vlastnosti hustoty f (x) 0, f (x) dx = 1.

3 Důležitá vlastnost spojitých náhodných veličin Jestliže má náhodná veličina X spojité rozdělení pravděpodobnosti, pak je pro každé x R P(X = x) = 0. Význam hodnoty hustoty v určitém bodě f (x) P(X = x)!!! Pro malé x > 0 platí přibližně P(x < X < x + x) =. f (x) x.

4 Distribuční funkce spojitých náhodných veličin Připomenutí definice Distribuční funkce náhodné veličiny X se definuje jako F (x) = P(X x). Výpočet F (x) pro spojité náhodné veličiny a vztah s hustotou f Je-li X spojitá náhodná veličina s hustotou f, pak F (x) = P(X x) = P( < X x) = Díky tomu platí F (x) = f (x) x ve všech bodech x R, kde má funkce F derivaci. f (t) dt.

5 Důležitá vlastnost distribuční funkce spojité náhodné veličiny Distribuční funkce spojité náhodné veličiny je spojitá. Výpočty různých pravděpodobností pomocí F Je-li X libovolná náhodná veličina (tj. ne nutně spojitá) s distribuční funkcí F, pak P(X b) = F (b), P(X > a) = 1 F (a), P(a < X b) = F (b) F (a). Je-li X spojitá náhodná veličina, pak díky vztahu P(X = x) = 0 můžeme všechny neostré nerovnosti nahradit ostrými a naopak.

6 Střední hodnota a rozptyl pro spojité náhodné veličiny Pro spojitou náhodnou veličinu X s hustotou f je střední hodnota EX = a rozptyl DX = (x EX ) 2 f (x) dx = x f (x) dx x 2 f (x) dx (EX ) 2.

7 Kvantily Kvantil pro spojitou náhodnou veličinu Jestliže X je náhodná veličina se spojitým rozdělením a její distribuční funkce F je prostá, pak pro α (0, 1) je α-kvantil to číslo x α, pro které platí F (x α ) = P(X x α ) = α. Jinak řečeno, je to hraniční hodnota, pod kterou zůstane α 100% hodnot.

8 Kvantil obecně Pro jakoukoli náhodnou veličinu X a α (0, 1) je α-kvantil to číslo x α, pro které platí P(X x α ) α a současně P(X < x α ) α neboli, zhruba řečeno, je to nejmenší možná hodnota hranice, pod kterou zůstane alespoň α 100% hodnot. Medián Medián náhodné veličiny X je její 0,5-kvantil u spojitých náhodných veličin je to hranice, pod kterou zůstává polovina hodnot.

9 U mnoha významných spojitých rozdělení pravděpodobnosti je hustota f složitá, primitivní funkci k ní nelze vyjádřit pomocí elementárních funkcí. Hodnoty distribuční funkce a někdy i kvantily lze nalézt ve statistických tabulkách nebo pomocí vhodného programu. Na ukázku: Normální rozdělení: f (x) = 1 2π σ e (x µ)2 2σ 2, x R (µ R je střední hodnota, σ > 0 je směrodatná odchylka) Pearsonovo χ 2 rozdělení: x ν 2 1 e x 2 f (x) = 2 ν pro x > 0, 2 Γ( ν 2 ) 0 pro x < 0 (ν {1, 2,... } je tzv. počet stupňů volnosti, Γ(z) = 0 t z 1 e t dt)

10 Exponenciální rozdělení

11 Exponenciální rozdělení Exponenciální rozdělení Nechť platí stejné předpoklady jako u Poissonova rozdělení. Náhodná veličina X, která udává dobu mezi dvěma výskyty určité události (nebo též dobu čekání na další událost), když víme, že průměrně nastává λ událostí za jednotku času, má exponenciální rozdělení pravděpodobnosti s parametrem λ, píšeme X Exp(λ) Hustota exponenciálního rozdělení je { λe λx pro x 0, f (x) = 0 pro x < 0. Distribuční funkce je F (x) = { 1 e λx pro x 0, 0 pro x < 0.

12 Exponenciální rozdělení Střední hodnota a rozptyl exponenciálního rozdělení EX = 1 λ, DX = 1 λ 2.

13 Exponenciální rozdělení Příklad Životnost regulátoru napětí v automobilu má exponenciální rozdělení se střední hodnotou 6 let. a) Jaká je pravděpodobnost, že regulátor vydrží alespoň 2 roky? b) Jestliže regulátor už 6 let vydržel, jaká je pravděpodobnost, že vydrží další dva roky? c) Jakou životnost můžeme očekávat s pravděpodobností 0,9? Exponenciální rozdělení nemá paměť Pro náhodnou veličinu X s exponenciálním rozdělením platí P((X > a + t) (X > a)) = P(X > t), tj. pravděpodobnost, že další událost přijde od této chvíle později než za t jednotek času, nezávisí na tom, jak dlouho už čekáme.