Elementární matematika - výběr a vypracování úloh ze sbírky OČEKÁVANÉ VÝSTUPY V RVP ZV Z MATEMATIKY VE SVĚTLE TESTOVÝCH ÚLOH Martin Beránek 19. dubna 2014 1
Obsah 1 Předmluva 4 2 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 4 2.1 Algebrogramy - úloha vyjatá z jiné sbírky pro zajímavost [1]... 4 2.2 Závorky - úloha 2........................... 5 3 Žák zaokrouhluje a provádí odhady s danou přesností, účelně využívá kalkulátor 5 3.1 Přepážky - úloha 3.......................... 5 4 Žák modeluje a řeší situace s využitím dělitelnosti v oboru přirozených čísel 6 4.1 Mince - úloha 1............................ 6 5 Žák řeší aplikační úlohy na procenta (i pro případ, že procentová část je větší než celek) 6 5.1 Společnost - úloha 8......................... 6 6 Žák analyzuje a řeší jednoduché problémy, modeluje konkrétní situace, v nichž využívá matematický aparát v oboru celých a racionálních čísel 7 6.1 Válec - úloha 4............................ 7 7 Žák určuje vztah přímé anebo nepřímé úměrnosti 7 7.1 Jáma - úloha 4............................ 7 8 Žák určuje vztah přímé anebo nepřímé úměrnosti 8 8.1 Teplota - úloha 5........................... 8 9 Žák zdůvodňuje a využívá polohové a metrické vlastnosti základních rovinných útvarů při řešení úloh a jednoduchých problémů; využívá potřebnou matematickou symboliku 10 9.1 Strom - úloha 4............................ 10 10 Žák charakterizuje a třídí základní rovinné útvary 11 10.1 Útvary - úloha 1........................... 11 11 Žák odhaduje a vypočítává obsah a obvod základních rovinných útvarů 13 11.1 Obsah útvarů - úloha 1....................... 13 12 Žák využívá pojem množina všech bodů dané vlastnosti k charakteristice útvaru a k řešení polohových a nepolohových konstrukčních úloh 13 12.1 Střed kružnice - úloha 8....................... 13 13 Užívá k argumentaci a při výpočtech věty o shodnosti a podobnosti trojúhelníků 14 13.1 Úhly - úloha 3............................ 14 2
14 Žák načrtne a sestrojí obraz rovinného útvaru ve středové a osové souměrnosti, určí osově a středově souměrný útvar 14 14.1 Souměrnost - úloha 7......................... 14 15 Žák užívá logickou úvahu a kombinační úsudek při řešení úloh a problémů a nalézá různá řešení předkládaných nebo zkoumaných situací 15 15.1 Sčítání a násobení - úloha 14.................... 15 16 Zdroje 15 17 GNUškola 16 3
1 Předmluva Dokument vznikl jako zápočtový domácí úkol z předmětu Elementární matematika 2 na PEDF UK. Je určen k revizi cvičení zaměřených na druhý stupeň základní školy [2]. Úlohy jsou vypracovány v několika krocích implikujících řešení. Ze sbírky byly vybrány úlohy, které pokrývají několik témat tak, aby tvořily ukázku možného průřezu výuky na základní škole. 2 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 2.1 Algebrogramy - úloha vyjatá z jiné sbírky pro zajímavost [1] Algebrogramy jsou úlohy, kde písmena (často v kapitálkách) mají číselnou hodnotu, kterou je nutné zjistit. Úlohy mohou mít více řešení. a) Příklad se dá vyjádřit jako 3B = 15 z toho plyne, že B = 5. b) Příklad je lepší napsat si pod sebe. Protože XX = počítáme s tím, že X je jedna cifra. Pakliže uvažujeme XX = 20 + X musíme zdůraznit, že X je pořád jedna cifra, proto je jediný výsledek X = 2. c) Podle minulého příkladu víme, že jeden symbol pokrývá jedno cifru, proto i tady můžeme uvažovat ekvivalenci v podobě Y = 4. d) Zde je důležité uvažovat, na které pozici je písmeno. Zde je X na pozici desítek, proto musí být 5. Potom už zbývá jen dosadit 1 za Y, aby byl výsledek správný. e) Tento příklad naznačuje, že cifry mohou přejít přes 10, proto je postup trochu jiný, než v minulém příkladě. Protože potřebujeme překročit hranici 80, musí být kombinace v podobě S = 7, T = 6. f) V tomto příkladě hledáme dvouciferný palindrom, který se dá najít pouze u A = 8, B = 9 4
2.2 Závorky - úloha 2 1. (122 + 12).(12 + 132) 2. (12.12).(12 + 112) 3. 4. (2 24+120) 14 2 (12+60) 12 Cvičení zdůrazňuje použití závorkování bez potřeby znalosti celkového výsledku. Student se může soustředit pouze na jednotlivá čísla tak, aby složila příklad z levé strany. Pokud se student zamyslí před začátkem úvahy, jsou příklady triviální. 3 Žák zaokrouhluje a provádí odhady s danou přesností, účelně využívá kalkulátor 3.1 Přepážky - úloha 3 Student si může přepsat příklad do celkového počtu minut, které obě přepážky fungovaly, tedy 120 + 90. Jeden klient zabere 9 minut, tedy 120+90 9 = 23 klientů. Podle zadání není poznat na co se zaokrouhlovalo, výsledek je tedy asi C. 5
4 Žák modeluje a řeší situace s využitím dělitelnosti v oboru přirozených čísel 4.1 Mince - úloha 1 Nejmenší počet mincí je závislý na podmínce, že obě dívky mají rozdílný počet mincí. To znamená, že Marie může mít čtyři desetikoruny a jednu pětikorunu a Eliška už musí mít rozdílný počet, tedy tři desetikoruny a tři pětikoruny. Nejmenší počet je tedy jedenáct. Oproti tomu u největšího počtu můžeme sestavit peněženku pro Marii jako devět pětikorun, zatímco Eliška musí mít aspoň jednu desetikorunu. Protože chceme největší počet mincí, Eliška má právě jednu desetikorunu a sedm pětikorun. Studentům by bylo hezké nastínit, že obecný tvar by nemusel vůbec uvažovat Marii a Elišku, protože jejich použití se dá otočit a výpočty jsou stále identické. 5 Žák řeší aplikační úlohy na procenta (i pro případ, že procentová část je větší než celek) 5.1 Společnost - úloha 8 Důležité je zmínit, co je celek pro výpočet procent. V tomto případě je to 720000. Bylo by hezké naznačit význam slova procento (per cent), tedy poměr ku stu. V tomto případě dělíme celek na čtyři nestejně veliké díly. První díl je třetina, tedy 33,33% procent jako racionální číslo vyjádřitelné 1 3. Druhý díl je 25%, tedy čtvrtina a poslední dva kusy jsou polovinou ze zbytku. My potřebujeme získat jednu z polovin ze zbytku, je jedno kterou, protože jsou identické. 720000 3 + 720000 4 - tedy naše první dva díly, zbytek ještě rozdělíme na půl: 300000 2 = 150000. 6
6 Žák analyzuje a řeší jednoduché problémy, modeluje konkrétní situace, v nichž využívá matematický aparát v oboru celých a racionálních čísel 6.1 Válec - úloha 4 Student by měl mít možnost použít vzorec pro obsah válce. Měl by být upozorněn na to, že obsah kruhu je Π r 2 a válec je jen násobkem tohoto obsahu. R je v tomto smyslu poloměr, ne průměr, který se značí d. Pro výpočet jen změníme parametr výšky a vyjádříme nový poloměr. Π r 2 v = S tedy Π (4, 5) 2 2 = 127, 17 z toho znovu 127, 17 = Π r 2 0, 5 127,17 Π z toho můžeme vyjádřit 0,5 = r, z toho vyjde r = 8, 99cm vyjádříme průměr na d = 17, 88. 7 Žák určuje vztah přímé anebo nepřímé úměrnosti 7.1 Jáma - úloha 4 Pokud házeli oba společně pět minut, stačí sečíst oba výkony za minutu a vynásobit, tedy (5 + 7) 5 = 60. V druhé části je příklad identický, ale známe předem kvantum, které naplní, tedy 300 5+7 = 25. Z toho vychází, že 300 lopat písků zpracují za 25 minut. 7
8 Žák určuje vztah přímé anebo nepřímé úměrnosti 8.1 Teplota - úloha 5 Graf se tvoří postupným vynesením do soustavy osy X a Y, kde osa Y znázorňuje teplotu a osa X je čas. Pro vynesení hodnot pro 100 cm je nutné, aby student tento fakt pochopil. V dnešní době se používá Kartézská soustava, v rámci výuky je důležité naznačit, co to znamená a jaké jsou jiné alternativy. 8
Vyplnění tabulky je potom o schopnostech studenta vyčíst hodnoty z grafu. 1. Červenec; srpen 2. Leden; únor 3. 18,8; 13,6 4. Leden-červenec; leden-srpen 5. Červenec-leden; srpen-únor 6. * 7. Březen, duben, květen, červen, srpen * Předposlední otázka směřuje k dohadům, ke kterým by se studenti neměli vést v rovině přibližných hodnot. Student by měl argumentovat, že hodnoty jsou ekvivalentní, pokud zaokrouhlíme na jistou úroveň. Proto je správnou odpovědí březen a září, pokud budeme zaokrouhlovat na celá čísla. 9
9 Žák zdůvodňuje a využívá polohové a metrické vlastnosti základních rovinných útvarů při řešení úloh a jednoduchých problémů; využívá potřebnou matematickou symboliku 9.1 Strom - úloha 4 U tohoto příkladu je nutné, aby student chápal význam Pythagorovy věty, tedy c 2 = a 2 + b 2 s tím, že c je přepona, a a b jsou strany. Rovnost závisí na faktu, že mezi stranami je 90. Navíc nám může poradit poměr, který je nanesený na vedlejším obrázku. Úhel, který svírá základna a přepona, je stále stejný. Takže můžeme vynásobit c z výpočtu poměrem získaným z 5 0.5 = 10, tedy 10 c, kde c = a 2 + b 2 po dosazení c = sqrt1 2 + 0, 5 2 = 1, 11803 a ten vynásobíme 10 1, 11803 = 11, 1803. Ted už víme jak je velká přepona, podstava je 5 m, takže znovu dosadíme do vzorce a = b 2 + c 2. Znovu dosadíme a = 5 2 + 11, 803 2 = 10.69 10
10 Žák charakterizuje a třídí základní rovinné útvary 10.1 Útvary - úloha 1 1. Pravoúhlý trojúhelník H 2. Kosodélník - B 3. Pravoúhlý lichoběžník - E 11
4. Rovnostranný trojúhelník - A 5. Různoběžník - C 6. Pravidelný šestiúhelník - J 7. Kružnice - F 8. Čtverec - G 9. Lichoběžník - I 10. Pravidelný osmiúhelník - K 11. Tupoúhlý trojúhelník - D Student musí dostat od vyučujícího možnost nalézt nějakou tabulku pokrývající problematiku pojmenování obrazců a tu pak může využít. Opakovaným průchodem tabulky se může naučit nejpoužívanější tvary. Způsob vyhledání tabulky je zcela v rukou studentů, jediným kritériem je pravost údajů v tabulce. Obrázek 1: Tabulka rovinných obrazců ilustračně převzatá z kovo-vyroba.sk [3] 12
11 Žák odhaduje a vypočítává obsah a obvod základních rovinných útvarů 11.1 Obsah útvarů - úloha 1 Student je schopen intuitivně obrazce seřadit. Pokud tak udělá, měl by být nucen svojí intuici vysvětlit. Pro každý obrazec platí jeho vzorce, které se dají použít. Může to být následující krok při vypracování úlohy. E > F = H > G > A > D > C = B 12 Žák využívá pojem množina všech bodů dané vlastnosti k charakteristice útvaru a k řešení polohových a nepolohových konstrukčních úloh 12.1 Střed kružnice - úloha 8 Student by měl být seznámen s geometrickým vyjádřením opsané kružnice. Její nákres se vytváří z průsečíku os stran, tedy správná odpověd je B. 13
13 Užívá k argumentaci a při výpočtech věty o shodnosti a podobnosti trojúhelníků 13.1 Úhly - úloha 3 Student by měl být upozorněn na obecný vzorec pro výpočet vnitřních úhlů, který je Π (n 2) pro radiány, tedy 180 (n 2). Velikost vnitřního úhly, pokud je útvar pravidelný, záleží na poměru ku celkovému součtu vnitřních úhlů, takže je můžeme jednoduše podělit. 3 4 5 6 7 8 60 90 108 120 128 135 180 360 540 720 900 1080 Tabulka 1: Vyplněná tabulka úhlů obrazců 14 Žák načrtne a sestrojí obraz rovinného útvaru ve středové a osové souměrnosti, určí osově a středově souměrný útvar 14.1 Souměrnost - úloha 7 T, U, V, A E, C, D, K S, Z, N F, R, P, L Tabulka 2: Vyplněná tabulka souměrnosti 14
15 Žák užívá logickou úvahu a kombinační úsudek při řešení úloh a problémů a nalézá různá řešení předkládaných nebo zkoumaných situací 15.1 Sčítání a násobení - úloha 14 Studentovi by mělo být vysvětleno proč schéma zápisu sčítání a násobení funguje. Jde o vlastnost číselné soustavy. Také jé důležité pochopit, která čísla nepřechází přes desítkovou hranici a kdy se toho dá využít. a) 3 6 3 8 + 8 7 0 7 1 2 3 4 5 b) 3 3 1 3 0 3 9 9 3 9 9 3 1 0 0 2 9 3 16 Zdroje [1]HEJNÝ, Milan a Darina JIROTKOVÁ. Matematické úlohy pro druhý stupeň základního vzdělávání: náměty pro rozvoj kompetencí žáků na základě zjištění výzkumu TIMSS 2007 [online]. 1. vyd. Praha: Ústav pro informace ve vzdělávání, 2010, 111 s. [cit. 2014-04-19]. ISBN 978-80-211-0612-3. Dostupné z: http://www. ceskaskola.cz/2013/05/e-kniha-pro-vas-matematicke-ulohy-pro_6.html [2]CIHLÁŘ, Jiří. Očekávané výstupy v RVP ZV z matematiky ve světle testových úloh [online]. 1. vyd. Praha: Ústav pro informace ve vzdělávání - Divize nakladatelství Tauris, 2007, 109 s. [cit. 2014-04-19]. ISBN 978-80-211-0544- 7. Dostupné z: http://info.edu.cz/cs/system/files/cekavane_vystupy_ v_rvp_zv_z_ma.pdf [3]Kovovyroba.sk. [online]. [cit. 2014-04-19]. Dostupné z: http://kovo-vyroba. sk/upload/product/hnrhwrxyxzhupzae.jpg 15
17 GNUškola Tento materiál je vytvořen pomocí svobodného software v rámci projektu Gnuskola.cz 16