Identifikace ŘEŠENÍ Žák/yně jméno příjmení identifikátor Identifikátor zjistíš po přihlášení na http://olympiada.astro.cz/korespondencni. Jeho vyplnění je nutné. Škola ulice, č.p. město PSČ Hodnocení A: (max. 30 b) B I: (max. 15 b) B II: (max. 15 b) B III: (max. 25 b) C: (max. 15 b) Σ: (max. 100 b) Účast v AO se řídí organizačním řádem, č.j. MŠMT 14 896/2012-51, zveřejněným na webových stránkách AO. poštovní adresa pro zaslání vypracovaných úloh: Mgr. Lenka Soumarová Štefánikova hvězdárna Strahovská 205 118 00 Praha 1 Termín odeslání: nejpozději pátek 21. 3. 2014 (rozhoduje datum poštovního razítka). A) Přehledový test řeší se elektronicky (online) (celkem max. 30 bodů) POKYNY: Úvodní test (30 otázek) se řeší online na http://olympiada.astro.cz/korespondencni. Přihlašovací údaje přišly úspěšným řešitelům školního kola e-mailem, nebo je dostaneš od svého učitele, který je může zjistit v sekci pro učitele na http://olympiada.astro.cz/ucitel. Velmi doporučujeme řešení testu neodkládat na poslední dny před uzávěrkou. U problémů s řešením testu oznámených po 7. 3. 2014 bohužel nemůžeme zaručit jejich včasné vyřízení. B) Příklady řeší se písemně do vytištěného formuláře U všech příkladů uváděj postup řešení a odpověď. Pouhé uvedení správného výsledku k dosažení plného počtu bodů nestačí! I. Rudá planeta (celkem max. 15 bodů) Spatřit na vlastní oči planetu je vždycky hezký zážitek a o Marsu to díky jeho červenému zbarvení platí dvojnásob. Možná právě proto se astronom z následující úlohy vypravil pozorovat právě tento objekt. Jak zjistil, Mars vycházel při západu Slunce a zapadal při východu Slunce. Po krátké úvaze mu bylo jasné, v jaké pozici se Země a Mars vůči Slunci a sobě navzájem nacházejí. Na dvou obrázcích níže máš pro názornost schematicky nakreslenou polohu pozorovatele, jeho vodorovnou rovinu (horizont) a směr rotace Země pro obě situace. a) Do posledního obrázku doplň správnou pozici Marsu (dráha Marsu je již na obrázcích zakreslena):
b) Napiš, jak se takové postavení Marsu odborně nazývá. Mars se právě nalézá v: opozici c) Ve školním kole jsi počítal(a), jaká je úhlová rychlost oběhu Země a Marsu kolem Slunce. Přitom jsme sledovali pohyb obou planet vzhledem ke vzdáleným hvězdám. Správné hodnoty těchto veličin byly: Ω Z 0,99 /den; Ω M 0,52 /den. Rychlost, jakou se planety pohybují, je ovšem určitě jiná, pokud ji budeme vztahovat vzhledem k jiným objektům tyto objekty se nazývají vztažnou soustavou. Tak například ve vztažné soustavě spojené se spojnicí Slunce a Země bude úhlová rychlost oběhu Země kolem Slunce nulová, neboť v této soustavě mají tělesa stále stejné postavení. Jiná (ale nenulová) bude také úhlová rychlost Marsu v této vztažné soustavě, označíme ji Ω M. Vypočti ji! (Napovíme, že stačí provést jednoduchou početní operaci s výsledky ze školního kola.) V souřadné soustavě vztažené ke spojnici Slunce Země se Mars pohybuje úhlovou rychlostí o velikosti Ω M = Ω Z Ω M 0,47 /den. Žák jméno příjmení strana 2/8
d) S využitím tohoto výsledku spočítej, za jak dlouho se stejná konfigurace Slunce, Země a Marsu bude opakovat. Hledaný čas je T = 360 Ω M 766 dní. Opozice Marsu se bude opakovat po 766 dnech. II. Slunce v Galaxii (celkem max. 15 bodů) V astronomii máme jednoduchý a přesný zákon, pomocí kterého dokážeme určit hmotnost Slunce jen z toho, že známe dobu oběhu Země kolem něj (periodu) a délku velké poloosy této dráhy. Tento zákon nazýváme 3. Keplerův zákon a má následující tvar: a 3 G(M + m) = T2 4π 2 kde a je velká poloosa dráhy, T je perioda oběhu planety kolem Slunce, G je gravitační konstanta (někteří možná znáte ze školy označení κ), M je hmotnost jednoho tělesa, například Slunce, a m je hmotnost druhého, např. Země. a) Pokud předpokládáme, že astronomická jednotka je 150 milionů km a gravitační konstanta G = 6,67 10 11 m 3 s 2 kg 1, spočítej ze třetího Keplerova zákona společnou hmotnost Země a Slunce. (Nestačí najít hmotnosti v tabulkách nebo na internetu a sečíst je.) M + m = 4π2 a 3 GT 2 = 4π 2 (1,5 10 11 ) 3 6,67 10 11 (86400 365,25) 2 kg 2,0059 1030 kg b) Jak jistě víte, neputuje Slunce se svou planetární rodinou jen tak nazdařbůh vesmírem, ale obíhá kolem středu hvězdného ostrova nazývaného Galaxie. Najdi a napiš vzdálenost od Slunce ke galaktickému středu v kpc ( kiloparsecích ). Napiš, kolik přibližně činí tato vzdálenost v miliardách astronomických jednotek (1 000 000 000 au) a v galaktických poloměrech (Galaxie má poloměr přibližně 16 kpc). Uznat vše v rozmezí: 7,6 8,7 kpc = 1,57 (~1,6) 1,79 (~1,8) miliard au = 0,48 0,54 R Galaxie Žák jméno příjmení strana 3/8
c) Předpokládejme, že sluneční soustava obíhá galaktický střed po kružnici. Vypočítej obvod dráhy Slunce v Galaxii, vyjádřený v kpc. o = 2πr = 47,75 (~48) 54,66 (~55) kpc d) Spočítej, kolik pozemských roků (365 dní) trvá galaktický rok, je-li rychlost Slunce v Galaxii 220 km/s. o[km] 220 km s 1 (86400 365 s rok 1 = 212 243 milionů roků ) III. Galaktický střed (celkem max. 25 bodů) Výhodou 3. Keplerova zákona, který jsme si představili v minulé úloze, je, že lze uplatnit i mimo sluneční soustavu pokud například pozorujeme dvojhvězdu nebo jakýkoliv jiný osamocený systém dvou těles, kde obdobně jako u systému Slunce Země obíhají obě složky po elipsách. Dokonce někdy stačí, když vidíme a změříme pouze jednu složku takového systému, abychom dokázali vypočítat hmotnost obou. Astronomové pozorují v různých oborech spektra. Aby mohli změřit pohyby hvězd uvnitř hustých mlhovin, do kterých viditelné světlo nepronikne, používají např. infračervenou oblast spektra. Takový prachoplynný oblak je i okolo galaktického centra. rok x ( ) y ( ) 1992,226 0,104-0,166 1994,321 0,097-0,189 1995,531 0,087-0,192 1996,256 0,075-0,197 1996,428 0,077-0,193 1997,543 0,052-0,183 1998,365 0,036-0,167 rok x ( ) y ( ) 1999,465 0,022-0,156 2000,474-0,000-0,103 2000,523-0,013-0,113 2001,502-0,026-0,068 2002,252-0,013 0,003 2002,334-0,007 0,016 2002,408 0,009 0,023 rok x ( ) y ( ) 2002,575 0,032 0,016 2002,650 0,037 0,009 2003,214 0,072-0,024 2003,353 0,077-0,030 2003,454 0,081-0,036 Žák jméno příjmení strana 4/8
a) Při studiu oblasti blízko galaktického středu naměřili po dobu 11 let tato data pro jednu hvězdu. Zakresli souřadnice, které jsou uvedené v úhlových vteřinách ( ) v tabulce, do čtverečkové sítě nahoře, nebo přilož vytištěný graf z Excelu ve stejných rozsazích na osách (pak napiš ke grafu zde slovo Excel, ať víme, že je graf jinde). b) RUČNĚ zakresli elipsu, která je určená body z minulého příkladu. Elipsa NEMUSÍ přesně spojovat všechny body, radši dej větší důraz na to, aby byla hezky hladká tomu se říká prokládání bodů křivkou. c) Nyní najdi velkou poloosu, tedy polovinu nejdelšího rozměru elipsy. Změř a zapiš toto číslo v úhlových vteřinách ( ). Převeď ho také na světelné dny a pak i na metry, za předpokladu, že 1 úhlová vteřina odpovídá 48 světelným dnům a světlo se pohybuje rychlostí 3 10 8 m s 1. 0,13 = 6,2 sv. dnů = 1,6 10 14 m Žák jméno příjmení strana 5/8
d) Nyní vám prozradíme, že perioda oběhu této hvězdy je 15,7 roku. Použij výsledků z předchozích bodů a vypočti společnou hmotnost hvězdy a tělesa, okolo kterého obíhá. Výsledek uveď v kilogramech a ve hmotnostech Slunce (M S = 2 10 30 kg). M + m = 4π2 a 3 GT 2 = 4π 2 (1,6 10 14 ) 3 = 6,67 10 11 (86400 365,25 15,7) 2 kg 1 1037 kg 5 10 6 M S e) Hvězda, kterou astronomové pozorovali, váží jen několik desítek hmotností Slunce, proto ji můžeme vůči hmotnosti centrálního tělesa zanedbat. Co může být centrálním tělesem, pokud je to objekt, který není vidět a který váží několik milionů hmotností Slunce nebo víc? Supermasivní černá díra / černá veledíra / černá díra / C) Pozorování řeší se písemně do vytištěného formuláře Určení MHV (celkem max. 15 bodů) Astronomové kromě samotných pozorování astronomických objektů také zjišťují, jak je kvalitní obloha, na které tyto objekty sledují. Obloha bývá více či méně přesvětlena umělými zdroji světla z našeho okolí, a tím je na ní vidět více či méně hvězd. Jasnost nejslabších hvězd, které jsou ještě vidět za daných podmínek, se nazývá mezní hvězdná velikost (MHV). Astronomové, kteří pozorují pouhým okem, si na obloze vytyčili celkem 30 úseků, většinou trojúhelníků, které používají k určování MHV. Jednoduchým spočítáním hvězd v obrazci a vyhledáním v převodní tabulce lze určit MHV docela spolehlivě. Obrazec by měl být v tu dobu v dostatečné výšce nad obzorem. Žák jméno příjmení strana 6/8
Zde je tvůj pozorovací úkol: Zadané dva obrazce (trojúhelníky) vyhledej na obloze a spočti, kolik hvězd v nich vidíš (počítají se i hvězdy, které tvoří vrcholy trojúhelníku). Počítání proveď raději několikrát rychle za sebou a pak zapiš číslo, které ti vyšlo nejčastěji. Určení MHV proveď ve dvou různých jasných nocích ze stejného stanoviště. Nepozoruj, když je Měsíc na obloze a je okolo úplňku. Jako bonus můžeš udělat jedno pozorování i během úplňku. Schválně, zda se budou výsledky odlišovat od bezměsíčných nocí. Do tabulky vyplň všechna volná pole. Čas udávej ve středoevropském čase, který máš na hodinkách. Polohu pozorovacího stanoviště udej jako GPS souřadnice, nebo jako adresu. V popisu pozorovacího stanoviště stručně charakterizuj povahu svého pozorovacího místa zda je to ve městě, vesnici či mimo, na okraji či v centru, zda jsou v okolí lampy, které přímo ruší pohled na oblohu atd. Do popisu meteorologické situace uveď, zda je obloha zcela jasná, či jen polojasná, v oparu. Dále teplotu vzduchu, případné další neobvyklé nebo zajímavé informace. Tabulka: zjištěné hodnoty vepiš do volných políček poloha pozorovacího stanoviště popis pozorovacího stanoviště pozorování 1 2 bonus datum čas.. :.. :.. : trojúhelník 1 trojúhelník 2 popis meteorologické počet * MHV počet * MHV situace Žák jméno příjmení strana 7/8
Trojúhelník 1: β Per δ Per ζ Per počet hvězd 2 3 4 6 7 8 10 11 12 13 14 15 17 20 23 MHV 2,9 3,1 3,9 5,0 5,1 5,4 5,6 5,7 5,8 6,0 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 Trojúhelník 2: α Cep β Cep δ Cep počet hvězd 1 2 3 4 5 7 8 10 12 13 14 15 17 18 22 MHV 2,6 3,3 4,0 4,5 4,6 4,9 5,2 5,4 5,5 5,9 6,0 6,1 6,2 6,3 6,4 Žák jméno příjmení strana 8/8