ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

Transkript

1 ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA VYŠŠÍ GEODÉZIE název předmětu úloha/zadání název úlohy Geodetická astronomie 3/6 Aplikace keplerovského pohybu školní rok semestr skupina zpracoval datum klasifikace 2010/11 1 NG1-88 Jan Dolista

2 Aplikace keplerovského pohybu Zadání: V heliocentrickém ekliptikálním souřadnicovém systému jsou dány dráhové elementy komety k epoše MJD a dráhové elementy Země k epoše Pro zadané datum a stanovisko vypočtěte její geocentrické rovníkové souřadnice, vzdálenost od Země i od Slunce a velikost elongace. Graficky znázorněte její geocentrickou dráhu z vypočtených obzorníkových souřadnic s vyznačením její ev. pozorovatelnosti. Uveďte obecný postup řešení úlohy a výsledky uspořádejte do přehledné tabulky. Pozn.: Převod aktuálního data na MJD vč. hvězdného času pro půlnoc UT zjistíte např. na Dráhové elementy komety: Dráhové elementy Země: Ω = Ω = ω = ω = i = i = a = AU a = AU e = e = n = /den n = /den M 0 = 197, 510 Datum a souřadnice stanoviska: datum: φ = λ = 0 h 57 m 33.4 s Další potřebné vstupní hodnoty: ε = Vypracování: Veškeré výpočty byly provedeny v programu Octave. 1 Převod data Pomocí webového formuláře na bylo zadané datum převedeno na juliánské datum. To bylo dále převedeno na modifikované juliánské datum. MJD = JD MJD 0 = Zároveň byl ve stejném webovém formuláři zjištěn hvězdný čas pro světovou půlnoc S 0, tedy greenwichský hvězdný čas pro 0 h UT1. 2 Epochy výpočtu S 0 = 20 h 57 m 42 s Jelikož stanovisko se nachází v České republice, byly obzorníkové souřadnice hvězdy určovány v závislosti na Středoevropském čase (SEČ) a to v kroku jedné hodiny v rámci daného dne, tedy 0 24 h SEČ dne

3 Zadané keplerovské elementy komety a Země jsou však vztaženy k MJD, které je spojeno s časem UT1 (celočíselné MJD je v 0 h UT1), proto byly výpočetní časy převedeny na UT1. Z čehož plyne SEC = UT C + 1 h UT 1 = UT C + DUT 1 UT 1 = SEC 1 h + DUT 1, kde hodnota DUT 1 = ms byla pro dané datum vyhledána v bulletinu B dostupného na ftp://hpiers.obspm.fr/iers/bul/bulb_new/bulletinb.272. Dále bylo určeno MJD výpočetní epochy MJD epochy = MJD 0 + UT 1 24 h, jelikož je SEČ 0 24 h, je pro první epochu UT1 záporné a tedy MJD odpovídá konci předchozího dne. 3 Poloha komety a Země v heliocentrické ekliptikální soustavě Pro výpočetní epochy byla určena jak poloha komety v heliocentrické ekliptikální soustavě, tak poloha Země v této soustavě. Poloha byla určena na základě keplerovských elementů dráhy a výpočetní epochy. 3.1 Poloha komety Střední anomálie Jelikož pro kometu není zadána hodnota střední anomálie, je tato hodnota M 0 = 0, tedy kometa se v této epoše nachází v perihéliu. M = n (t t 0 ), kde t je MJD výpočetní epochy, t 0 je MDJ ke kterému jsou vztaženy keplerovské elementy a n je střední denní pohyb Excentrická anomálie E = M + e sin E Excentrická anomálie byla určena iteračně, kdy v první iteraci je hodnota excentrické anomálie volena E 0 = M + e sin M. V dalších iteracích je hodnota anomálie dána vztahem E i = M + e sin E i 1. Výpočet je opakován, dokud rozdíl ve dvou po sobě jdoucích iteracích není menší než Pravá anomálie v = 2atan ( 1 + e tg E ) 1 e Průvodič r = a(1 e cos E)

4 3.1.5 Vektor polohy v rovině dráhy r = r cos v sin v 0 Tento vektor obsahuje pravoúhlé souřadnice s počátkem v ohnisku elipsy dráhy, kladná osa x směřuje do perihélia a rovina xy leží v rovině dráhy Vektor souřadnic v heliocentrické ekliptikální soustavě Transformace z roviny dráhy do ekliptikální heliocentrické soustavy byla provedena trojitou rotací. Nejprve byla kladná osa x otočena z perihélia do výstupního uzlu a to rotací kolem osy z o úhel ω (argumet výstupního uzlu). V druhém kroku byla sklopena rovina dráhy do roviny ekliptiky, tedy rotace kolem nové osy x o úhel i (sklon dráhy). Posledním krokem bylo otočení nové osy x z výstupního uzlu do jarního bodu, rotace kolem nové osy z o úhel Ω (rektascenze výstupního uzlu). kde matice rotace R X ( Ω) = X kom e cos ( Ω) sin ( Ω) 0 sin ( Ω) cos ( Ω) R X ( ω) = Vzdálenost komety a Sluce = R Z ( Ω)R X ( i)r Z ( ω)r, R Z ( i) = cos ( ω) sin ( ω) 0 sin ( ω) cos ( ω) Vzdálenost Slunce a komety je velikost vektoru souřadnic d SK = X kom e. 3.2 Poloha Země cos ( i) sin ( i) 0 sin ( i) cos ( i) Poloha Země je vypočtena obdobně, jediným rozdílem je, že epocha k níž jsou vztaženy keplerovské elementy není epocha průchodu perihéliem. Střední anomálie je pak dána vztahem M = M 0 + n (t t 0 ), kde M 0 je střední anomálie v epoše, k níž jsou vztaženy keplerovské elementy dráhy. 4 Poloha komety a Země v heliocentrické rovníkové soustavě Transformace z ekliptikální do rovníkové soustavy byla provedena rotací kolem osy x o úhel ε (sklon ekliptiky) X r = R X ( ε)x e, kde R X ( ε) = cos ( ε) sin ( ε) 0 sin ( ε) cos ( ε) Částečnou kontrolou výpočtu je porovnání délky mezi Sluncem a kometou resp. Sluncem a Zemí v ekliptikální a rovníkové soustavě. Délka musí zůstat stejná.

5 5 Poloha komety v geocentrické rovníkové soustavě S Změna počátku byla provedena odečtením vektoru souřadnic Země od vektoru souřadnic komety. X = X kom r X Zeme r, Z pravoúhlých souřadnic komety byla vyjádřena rektascenze a deklinace ( ) y α = atan ( ) z δ = asin X Vzdálenost Země a komety je velikost vektoru souřadnic. d ZK = X. 6 Elongace komety Elongace je úhel mezi kometou a Sluncem pozorovaný ze Země. Ten byl vypočten z pravidla pro skalární součin u v = u v cos θ. Elongaci lze tedy vyjádřit kde X Slunce = X Zeme r elongace = arccos x X kom X kom X Slunce XSlunce, je vektor souřadnic slunce v geocentrické rovníkové soustavě. 7 Poloha komety v geocentrické rovníkové soustavě S r1 Pravoúhlé souřadnice v soustavě S r1 byly získány rotací kolem osy z o úhel s (místní hvězdný čas). X r1 = R Z (s)x, kde Místní hvězdný čas R Z (s) = cos (s) sin (s) 0 sin (s) cos (s) s = S 0 + (UT 1) (1 + μ) + λ, kde 1 + μ = je změna měřítka mezi hvězdným a slunečním časem. 8 Poloha komety v obzorníkové soustavě S o Pravoúhlé souřadnice v obzorníkové soustavě byly vypočteny rotací o úhel 90 φ (zeměpisná šířka stanoviska) X o = R x (90 φ)x r1, kde R Z (90 φ) = cos (90 φ) 0 sin (90 φ) sin (90 φ) 0 cos (90 φ) Následně byl vyjádřen azimut a zenitová vzdálenost ( ) yo a = atan ( ) zo z = asin X o Průběh azimutu a zenitové vzdálenosti byl vynesen do grafů. Zároveň byl v grafu zenitové vzdálenosti znázorněn obzorník, aby bylo možné určit, kdy je kometa z daného stanoviska pozorovatelná. x o

6

7 9 Číselné výsledky SEČ d SK d ZK α δ z a elongace 0 h AU AU 21 h 33 m s h AU AU 21 h 34 m s h AU AU 21 h 34 m s h AU AU 21 h 34 m s h AU AU 21 h 34 m s h AU AU 21 h 34 m s h AU AU 21 h 34 m s h AU AU 21 h 34 m s h AU AU 21 h 34 m s h AU AU 21 h 35 m s h AU AU 21 h 35 m s h AU AU 21 h 35 m s h AU AU 21 h 35 m s h AU AU 21 h 35 m s h AU AU 21 h 35 m s h AU AU 21 h 35 m s h AU AU 21 h 35 m s h AU AU 21 h 36 m s h AU AU 21 h 36 m s h AU AU 21 h 36 m s h AU AU 21 h 36 m s h AU AU 21 h 36 m s h AU AU 21 h 36 m s h AU AU 21 h 36 m s h AU AU 21 h 36 m s Závěr: Z keplerovských elementů komety a Země v heliocentrickém ekliptikálním systému byly určeny obzorníkové souřadnice v průběhu daného dne. Souřadnice byly určovány v kroku jedné hodiny. Zároveň byly určeny i geocentrické rovníkové souřadnice, elongace, vzdálenost komety od Slunce a vzdálenost komety od Země. Obzorníkové souřadnice komety byly vyneseny do grafu a byla určena její viditelnost. Kometa je z daného místa pozorovatelná, pokud se nachází nad obzorem, tedy zenitová vzdálenost je menší než 90 resp. menší než cca 80. Je totiž nutné uvažovat rozdíl mezi obzorníkem a skutečným obzorem, zvláště pokud je na obzoru kopcovitý terén nebo zástavba. Z grafů je patrné, že kometa je pozorovatelná v noci a to přibližně do 6 hodin ráno a následně přibližně od 19 hodin. Maximální výšky nad obzorem dosahuje kometa mezi půlnocí a jednou hodinou SEČ. Výpočty byly provedeny v programu Octave. Zdrojový kód k výpočtům není přílohou technické zprávy (v případě potřeby bude zaslán). V Kralupech nad Vltavou Jan Dolista (so-cool@ehm.cz)