Doprava kapalin čerpadly

Doprava kapalin čerpadly Opakování CHI I, M. Jahoda Schéma jednoduché potrubní linky se zařazeným čerpadlem je uvedeno na obr. 1, kde čerpáme kapalinu ze zásobníku A do zásobníku B. Vzdálenost h s označujeme jako sací výšku a h v jako výšku výtlačnou. Čerpadlo je v tomto systému aktivním členem, který dodává kapalině energii (koná práci na protékající kapalině), zatímco v potrubním systému a armaturách se energie spotřebovává. Bernoulliova rovnice pro potrubní linku se rozšíří o člen e c, který vyjadřuje měrnou mechanickou energii, kterou tekutina získá při průchodu čerpadlem p 1 ρ + v2 1 2 + z 1g + e c = p 2 ρ + v2 2 2 + z 2g + e dis, (1) přičemž platí e dis = e dis, s + e dis, v, z 2 p 2 (2) kde členy e dis, s a e dis, v vyjadřují měrnou ztrátu mechanické energie v sací, resp. výtlačné části potrubí. Měrnou ztrátu mechanické energie v potrubí počítáme například ze vzorce e dis = (λ l d + ζ j ) v2 2, (3) kde λ je součinitel tření obecně závislý na Reynoldsově kritériu Re a relativní drsnosti ε/d, l - délka potrubí, d - vnitřní průměr potrubí, ζ j - suma součinitelů místních odporů armatur a v - střední rychlost tekutiny v potrubí, která je počítána z objemového průtoku V a vnitřního průměru potrubí d h v h s z 1 B směr toku čerpadlo p 1 sací část A šoupě výtlačná část sací koš v = 4 V π d 2. (4) Obr. 1: Potrubní linka s čerpadlem 1 Rozdělení čerpadel Volba vhodného čerpadla závisí na provozních podmínkách a dopravované tekutině. Čerpadla obecně rozdělujeme na hydrostatická a hydrodynamická. U hydrostatických čerpadel probíhá přeměna mechanické energie na tlak přímo na pracovním prvku čerpadla. Pracovní prvek je většinou konstrukčně řešen jako píst, zub, lamela nebo membrána. Od pracovního prvku se často odvozuje označení čerpadel: pístové, zubové, lamelové nebo membránové. Tlak kapaliny v činném prostoru čerpadla je hydrostatický a je nezávislý na kinematických hodnotách proudového pole, tj. na rychlosti a poloze. Pracovní prvky se u hydrostatických čerpadel střídají cyklicky, čímž dochází k pulsacím čerpané tekutiny. Pulsaci můžeme zmírnit zvětšením počtu prvků (např. zubů nebo lamel), částečným překrýváním (např. pístů) a v případě dopravy kapalin zapojením vzdušníku do potrubí.vzdušník je tlaková nádoba, kde je uzavřen vzduch, nebo 1

jiný plyn. Při krátkodobém zvýšení tlaku (při pulsu) dopravovaná kapalina zaplní spodní část vzdušníku a stlačí přítomný plyn, který následně po poklesu tlaku nahromaděnou kapalinu vytlačuje zpět do potrubí. Hydrostatická čerpadla se užívají pro dopravu kapalin i plynů. V následujícím textu se zaměříme na popisy konstrukcí a principy činností základních typů. a) b) c) Obr. 2: Hydrostatická čerpadla; a) pístové, b) zubové, c) zubové pro víceviskózní kapaliny Pístová čerpadla se užívají pro dosažení vysokých tlaků na výtlačné části ( p až 80 MPa, kde p je tlakový rozdíl mezi sacím a výtlačným hrdlem čerpadla). Mechanická část čerpadla je v klasickém provedení tvořena klikovým mechanismem, který je mazán tlakovým olejem. Aby nedocházelo ke znečištění dopravované tekutiny mazacím olejem, je mechanická a hydraulická část utěsněná, např. těsnícím kroužkem. Úplného hermetického uzavření hydraulické části čerpadla dosáhneme membránou. Pracovním prvkem se místo pístu stává membrána, jejíž pohyb zprostředkuje vnější tlak oleje vytvářený pístovým čerpadlem. Princip pístových čerpadel je znázorněn na obr. 2a. Na vstupu do čerpadla (sací část) a na výstupu z čerpadla (výtlačná část) jsou umístěny ventily. Nejčastěji jsou užívány kuželové ventily, pro větší průtoky ventily talířové a pro víceviskózní kapaliny ventily kulové. Při pohybu pístu (membrány) směrem od ventilů vzniká v pracovním prostoru podtlak, výtlačný ventil se uzavře a přes sací ventil proniká do pracovního prostoru dopravovaná tekutina. Při obráceném pohybu dojde k uzavření ventilu na sání a přes výtlačný ventil odchází kapalina do výtlačného potrubí. Zubová čerpadla (obr. 2b) jsou nejvíce užívána pro čerpání viskózních kapalin, např. mazacích a topných olejů, s rozdílem tlaků na výtlaku do p = 2, 5 MPa. Používají se také jako podávací jednotky u vysokotlakých pístových čerpadel. Kapalina se u zubových čerpadel přesouvá v prostoru mezi zuby a skříní od sání do výtlaku, kde je vytlačována tím, že zuby do sebe zapadají. S rostoucí viskozitou obvykle klesá počet zubů (obr. 2c). Lamelová čerpadla mají excentricky umístěnou rotační část, ve které jsou kluzně umístěny lamely (obr. 3a). Lamely jsou pružinami přitlačovány k vnitřní stěně skříně (statoru). Rotací se pracovní prostor mezi lamelami mění a tím dochází k vytěsňování dopravované tekutiny. Lamelová čerpadla slouží k dopravě kapalin i plynů. Rozdíl tlaků na výtlaku je do p = 10 MPa. Existují také konstrukčně jednodušší nízkotlaká ( p do 0,5 MPa) čerpadla s elastickými lamelami z pryže nebo neoprenu, které těsně přiléhají ke statoru. Čerpadla s pružnými lamelami se užívají pro dopravu kapalin a mají samonasávací vlastnosti. Šroubová (vřetenová) čerpadla se užívají pro dopravu viskózních a těstovitých látek, hustých kalů s pevnými příměsemi nebo k čerpání zkapalněných plynů. Jejich hydraulická část je tvořena ze závitového vřetene, které je umístěno bud v polootevřeném krytu (žlabu), nebo je zcela uzavřeno (obr. 3b). Mezi statorem a jednotlivými závity rotujícího vřetena vzniká prostor, do něhož se na sání nabírá kapalina, která postupuje k výtlaku. Čerpadla s pootevřeným závitovým vřetenem jsou rovnotlaká (nízkotlaká). Pro tlaky vyšší ( p do 4 MPa) se užívají jednovřetenová čerpadla s oblým závitem statoru i rotoru (obr. 3c). Vyšších 2

tlaků kapaliny ( p do 35 MPa) dosahují čerpadla vícevřetenová. lamela vřeteno ucpávka a) b) c) Obr. 3: Hydrostatická čerpadla; a) lamelové b) šroubové, c) vřetenové U hydrodynamických čerpadel probíhá přeměna mechanické energie na tlak nepřímo prostřednictvím změny kinetické energie tekutiny. Tlak tekutiny je hydrodynamický, funkčně závislý na kinematických hodnotách proudového pole tekutiny (rychlostech a poloze). Pracovním prvkem hydrodynamických čerpadel je oběžné kolo, kde přeměna mechanické energie na tlak začíná na vstupní hraně oběžné lopatky (obr. 4c), bod A, a končí na výstupní hraně této lopatky, bod B. Průtok tekutiny u hydrodynamických čerpadel je kontinuální, nebot kanály oběžného kola jsou trvale propojeny tekutinou se vstupní a výstupní částí čerpadla. Podle konstrukce oběžného kola rozdělujeme hydrodynamická čerpadla na axiální a radiální (odstředivá). Dále je rozdělujeme na nízkotlaká ( p do 2 MPa), středotlaká ( p od 2 MPa do 30 MPa) a vysokotlaká ( p nad 30 MPa). ložisko ucpávka ložisko ucpávka těleso čerpadla difuzor A B oběžné kolo a) b) c) Obr. 4: Hydrodynamická čerpadla; a) axiální čerpadlo, b) radiální (odstředivé) čerpadlo Axiální čerpadla jsou určená pro nízkotlakou dopravu velkých objemů kapalin nebo plynů. Oběžné kolo mají ve tvaru vrtule a jeho rotací se vytváří pohyb tekutiny ve směru shodném s osou hřídele (obr. 4a). Radiální (odstředivá) čerpadla pracují na principu odstředivé síly způsobené rotací oběžného kola, které je umístěné ve stacionární skříni. Sací potrubí je vedeno k ose oběžného kola, které má lopatky různých tvarů. Při otáčení oběžného kola je tekutině udělována kinetická energie a odstředivou silou je vynášená k vnějšímu obvodu kola, kde je umístěno výtlačné potrubí. Při vstupu do výtlačného potrubí se značná část kinetické energie přemění na energii tlakovou (kanály na oběžném kole se rozšiřují, platí rovnice kontinuity a Bernoulliova rovnice). Ve skříni čerpadla může být umístěn stacionární difuzor pro usměrnění proudění tekutiny k výtlaku. Radiální čerpadla se užívají jak pro dopravu nízkoviskózních kapalin (např. voda), tak pro dopravu plynů (radiální ventilátory). Nízkotlaká odstředivá čerpadla jsou jednostupňová, zatímco středotlaká a vysokotlaká jsou obvykle vícestupňová, 3

řazením většího počtu oběžných kol za sebou. Vícestupňová čerpadla mohou mít tzv. článkovou konstrukci, kde každý článek obsahuje oběžné kolo s rozvaděči tekutiny. Pro určitou velikost čerpadla, tj. pro konstantní průtok tekutiny, se podle požadovaného tlaku na výstupu řadí potřebný počet článků. Hydrostatická i hydrodynamická čerpadla mají společné některé konstrukční prvky např. spojky hřídelů, ložiska a ucpávky, které zabezpečují pracovní činnost čerpadel. Tyto součásti jsou normalizované a v příslušných obměnách se používají u čerpadel různých tvarů a velikostí. Podrobnější popis těchto částí čerpadel najdeme například v příručce Bláha a Brada (1997). Existují také jiné typy čerpadel např. proudová, řetězová, monžík atd. Jejich popisy a principy činnosti jsou uvedeny v Doplňku. 2 Charakteristika čerpadel a potrubí Při výpočtech charakteristik čerpadel a potrubí se obvykle používá výškový tvar Bernoulliovy rovnice, který získáme dělením rovnice (1) tíhovým zrychlením g. Jednotlivé členy mají rozměr délky (m) p 1 ρ g + v2 1 2 g + z 1 + H c = p 2 ρ g + v2 2 2 g + z 2 + h dis, (5) kde h dis = e dis /g je ztrátová a H c = e c /g pracovní výška. Veličina H c je někdy nazývána dopravní výška, ale toto označení nebudeme užívat, nebot se snadno zamění za čerpací výšku h = h s + h v (obr. 1). Charakteristika čerpadla je závislost měrné energie, resp. pracovní výšky, čerpadla na objemovém průtoku a zjišt uje se experimentálně. Schéma experimentu je ukázáno na obr. 5a. Přivíráním šoupěte měníme objemový průtok tekutiny, který měříme současně s rozdílem tlaků na sání (1) a výtlaku (2) čerpadla. Každé hodnotě objemového průtoku V přiřadíme vypočtenou pracovní výšku H c podle vztahu H c = p ρ g, (6) což je upravená rovnice (5) podle experimentálního uspořádání. Typické charakteristiky hydrodynamického čerpadla pro různé frekvence otáčení n a charakteristika hydrostatického čerpadla jsou znázorněny na obr. 5b. Z obrázku je patrné, že hydrodynamická čerpadla jsou schopna vyvinout jen omezený maximální tlak tekutiny, zatímco hydrostatická čerpadla mají schopnost neomezeného zvýšení tlaku a musí se proto havarijně chránit v tlakové (výtlačné) části systému pojistným ventilem, aby po překročení kritického tlaku nedošlo k destrukci čerpadla. Charakteristiky čerpadel obvykle dodávají výrobci čerpadel. Charakteristika potrubí je závislost mezi potřebou dodat tekutině takovou měrnou energii e c (resp. H c ), aby nastal v daném potrubním řadu objemový průtok tekutiny V. Charakteristiku potrubí počítáme z výškového tvaru Bernoulliovy rovnice (5) H c = p 2 p 1 ρ g + v2 2 v 2 1 2 g + z 2 z 1 + e dis g. (7) 4

p šoupě směr toku H C HS n 1 n 2 n 3 1 2 čerpadlo průtokoměr HD n 3 n 2 a) b) V. n 1 Obr. 5: Charakteristika čerpadla; a) schéma experimentu, b)porovnání charakteristik hydrostatického (HS) a hydrodynamického (HD) čerpadla pro různé frekvence otáčení oběžného kola Po dosazení měrné ztráty mechanické energie e dis z rov. (3) a střední rychlosti tekutiny v z rov. (4) získáme zobecněný vztah H c = p 2 p 1 ρ g + v2 2 v 2 1 2 g + z 2 z 1 + (λ l d + ζ j ) 8 V 2 π 2 d 4 g. (8) Když charakteristiku potrubí zakreslíme do stejného grafu jako charakteristiku čerpadla a obě křivky se protnou (obr. 6), získáme průsečík, který se nazývá pracovní bod čerpadla. Pracovní bod nám určí, jaký bude objemový průtok v potrubním řadu se zabudovaným čerpadlem a jaká bude hodnota měrné energie čerpadla e c, resp. pracovní výšky H c. Z této hodnoty můžeme vypočítat teoretický výkon čerpadla N c = e c ṁ, N c = H c g ṁ, N c = H c g V ρ, (9) kde ṁ je hmotnostní průtok tekutiny. Skutečný příkon na hřídeli čerpadla bude větší díky ztrátám energie ve vlastním čerpadle H C charakteristika čerpadla charakteristika potrubí pracovní bod Obr. 6: Společná charakteristika čerpadla a potrubí V. P c = N c η c, kde veličina η c je celková účinnost čerpadla, která zahrnuje všechny ztráty mechanického původu (tj. ztráty třením mechanických částí v ucpávkách, ložiskách a dalších pohybových mechanismech), ztráty třením kapaliny v čerpadle a ztráty místní vznikající změnou průtokového průřezu. Pokud průtok vypočtený z pracovního bodu neodpovídá provozním požadavkům, je nutné změnit bud charakteristiku čerpadla, nebo charakteristiku potrubí. Z ekonomického hlediska je lepší provozní stav čerpacího systému řídit na straně čerpadla, tj. změnou charakteristiky čerpadla. Řízení čerpacího systému změnou charakteristiky čerpadla Změna charakteristiky hydrostatických čerpadel se týká jen objemového průtoku, který je prakticky nezávislý na pracovní výšce čerpadla, viz obr. 5b. Například u pístových čerpadel můžeme ovlivňovat průtok: 5 (10)

změnou počtu pístů nebo jejich průměru, změnou délky zdvihu, změnou frekvence otáčení, změnou objemové účinnosti, např. přepouštění tekutiny z činného prostoru čerpadla. U hydrodynamických čerpadel průtoku, tak měrné energie např.: lze ovlivnit charakteristiku změnou jak objemového změnou frekvence otáčení oběžného kola, natáčením lopatek na oběžném kole, ovlivněním rotace tekutiny v sání čerpadla před oběžným kolem. Změnou frekvence otáčení oběžného kola se mění množství dopravované tekutiny V, pracovní výška H c a příkon čerpadla P c. Z teorie podobnosti lze vliv změny frekvence otáčení na charakteristiku čerpadla vyjádřit vztahy V 1 V 2 = n 1 n 2, H c1 H c2 = n2 1 n 2 2, P c1 P c2 = n3 1 n 3 2, (11) kde index 1 značí stav před změnou a index 2 po změně. Vztahy (11) neplatí zcela přesně, ale pro praktické účely zcela vyhovují. Řízení čerpacího systému změnou charakteristiky potrubí Změny charakteristiky potrubí pro regulaci průtoku se dosahuje bud změnou hydrodynamického odporu výtlačného řadu (tzv. škrcením), nebo obtokem. Při řízení škrcením se přivírá regulační prvek (ventil, šoupě, kohout, klapka), který je zabudován ve výtlačné části potrubí. Škrcením se zvyšuje místní odpor v potrubí, tím se změní měrná ztráta mechanické energie ve výtlačné části potrubí a tím i charakteristika potrubí (obr. 7). Řízení průtoku škrcením je vhodné pouze pro hydrodynamická čerpadla, protože hydrostatická čerpadla reagují na změnu charakteristiky potrubí změnou měrné energie (tlaku), přičemž průtok zůstává prakticky stejný. U hydrostatických čerpadel škrcením na výtlaku dochází k nebezpečnému růstu tlaku, který může způsobit zničení čerpadla, a proto se objemový průtok potrubním řadem H C škrcení. V max Obr. 7: Řízení průtoku škrcením na výtlaku odstředivého čerpadla reguluje obtokem. Při strmé charakteristice může být řízení škrcením provozně nehospodárné, nebot nárůst měrné energie čerpadla a tím také jeho příkonu, viz rov. (9) a (10), je větší než pokles objemového průtoku. Technicky je to však nejjednodušší a často užívaná metoda pro regulaci malých čerpadel s občasným provozem. Řízení průtoku obtokem je vhodné pro čerpadla se strmou charakteristikou a je hospodárnější než regulace škrcením ve výtlačném řadu. Schéma řízení průtoku kapaliny obtokem je uvedeno na obr. 8. Při plně otevřeném šoupěti na obtoku, se kapalina vrací obtokem a tím je nulový nebo minimální průtok potrubím. Uzavíráním šoupěte (škrcení obtoku) se zvyšuje průtok potrubím a při zcela uzavřeném obtoku veškerá kapalina vystupující z čerpadla jde do potrubí. 6 šoupě V. Obr. 8: Regulace obtokem

Více čerpadel v potrubní lince Do potrubní linky můžeme zařadit i více čerpadel, např. když při užití jednoho čerpadla nedosáhneme požadované pracovní výšky H c (resp. pracovního tlaku p), objemového průtoku V nebo z důvodu zajištění ekonomicky optimálního chodu dopravní linky. U kontinuálních provozů je běžné zdvojování čerpadel, nebot při havárii čerpadla by bylo nutno odstavit celý provoz. Čerpadla řadíme bud sériově, nebo paralelně. Sériové řazení (za sebou) slouží k docílení vyšší pracovní výšky H c (e c, p) nebo objemového průtoku. Výslednou charakteristiku spojených čerpadel (obr. 9a, b) sestrojujeme tak, že pro daný průtok sčítáme pracovní výšky. Paralelní řazení (vedle sebe) užíváme pro dosažení vyššího objemového toku V. Výsledná charakteristika (obr. 9c) je dána součtem objemových toků při stejné pracovní výšce H c. Při paralelním řazení se doporučuje, aby měla čerpadla stejné nebo blízké charakteristiky. H C H C H potrubí C potrubí C 1 + C 2 C 1 + C 2 potrubí C 2 C 1, C 2 C 1, C 2 C 1 + C 2 C 1 a) V. b) V. c) V. Obr. 9: Řazení více čerpadel; a) sériové řazení dvou stejných čerpadel pro zvýšení tlaku b) sériové řazení dvou různých čerpadel pro zvýšení průtoku c) paralelní řazení dvou stejných čerpadel pro zvýšení průtoku 3 Sací a výtlačná výška Čerpadlo rozděluje potrubní linku na část sací a část výtlačnou (obr. 1). U čerpání kapalin se objevuje problematika geodetické sací výšky, nebot při toku tekutin potrubím klesá tlak ve směru toku a nejnižší tlak v potrubí je obvykle v místě, kde sací potrubí ústí do čerpadla. V okolí vstupu do kanálů oběžného kola u hydrodynamických čerpadel a na vstupu do činného prostoru hydrostatických čerpadel mohou pak v důsledku nízkého tlaku vznikat kavitace (kavitační dutiny) v kapalině. Kavitační dutiny jsou především vyplněny nasycenými parami dopravované kapaliny v případě, že je tlak nižší než tlak nasycených par p při dané teplotě (dochází k lokálnímu varu dopravované kapaliny), nebo desorbovaným plynem uvolněným z kapaliny. Kavity jsou unášené proudem kapaliny a dostávají se do oblastí s větším tlakem, kde jsou plyny absorbovány kapalinou a páry rychle kondenzují. Při zanikání kavit se dutiny vysokou rychlostí vyplňují okolní kapalinou (implodují), dochází k rázům a k opotřebení materiálu (např. lopatek rotoru). Vznik kavitací můžeme snížit např.: umístěním čerpadla co nejblíže k hladině čerpané kapaliny, čímž snížíme délku sací části potrubí, resp. e dis, s, co možno největší hodnotou tlaku na hladině p 1, 7

použitím sacího potrubí s co největším průměrem, snižujeme tak hodnotu e dis, s, omezením místních odporů na sacím potrubí, a proto nikdy neregulujeme průtok škrcením na straně sání, zajištěním dokonalé těsnosti sacího potrubí, čímž zamezíme přisávání okolního plynu (např. vzduchu) do dopravované kapaliny. Odstředivá čerpadla při větším výskytu kavitačních dutin přestávají pracovat, nebot se přeruší spojitost dopravované kapaliny v pracovní části. Pro každou kapalinu a teplotu existuje maximální přípustná sací výška, při které je čerpadlo v daném potrubí provozuschopné. Teoretická maximální sací výška h s, max se vypočítá ze základní Bernoulliovy rovnice pro úsek mezi hladinou nasávané kapaliny (index 1) a vstupem do čerpadla (index s), pokud za tlak na konci sací části potrubí p s dosadíme hodnotu tlaku nasycených par při teplotě kapaliny p. Teoretická maximální sací výška může být i záporná, což vyžaduje umístění čerpadla pod hladinu nasávané kapaliny h s, max = p 1 p ρ g + v2 1 v 2 s 2 g e dis, s g. (12) V praxi užíváme korekci při výpočtu maximální sací výšky čerpadla pomocí Thomova kavitačního součinitele σ na takovou hodnotu, která zaručí minimální výskyt kavit. V literatuře se uvádějí empirické orientační vztahy pro různé typy hydrodynamických čerpadel. Pro základní výpočty můžeme použít vztah σ = 0, 2936 V 2/3 n 4/3 H c, (13) kde V je objemový průtok kapaliny (m 3 s 1 ), n - frekvence otáčení oběžného kola čerpadla (s 1 ) a H c - pracovní výška čerpadla (m). Redukovaná sací výška h s, max, r je pak dána rovnicí h s, max, r = h s, max σ H c h br = h s, max 0, 2936 V 2/3 n 4/3 h br, (14) kde h br (m) je výšková bezpečnostní rezerva, minimálně 0,5 m. Maximální výtlačná výška čerpadla je ovlivněna frekvencí otáčení oběžného kola a konstrukcí čerpadla, které musí i krátkodobě odolat nejvyššímu tlaku, který se může vyskytnout. Příklad P1: Příkon čerpacího zařízení Voda se čerpá z otevřené studny do uzavřeného zásobníku (obr. 10), ve kterém se udržuje konstantní přetlak 0,02 MPa. Výškový rozdíl mezi hladinou vody ve studni a hladinou vody v zásobníku je 25 m, průřezy studny a zásobníku se prakticky neliší. Voda protéká plastovým potrubím střední rychlostí 1,2 m s 1 a její teplota je 10 C (ρ 1 000 kg m 3, η = 1, 3 10 3 Pa s). Potrubí je 28 m dlouhé, jeho vnitřní průměr je 32 mm a obsahuje sací koš, uzavírací ventil a 2 kolena 90. Vypočtěte příkon na hřídeli čerpadla, příkon elektromotoru a 8 1 Obr. 10: Schéma k příkladu P1 2

denní (24 hodin) spotřebu elektrické energie čerpacího zařízení, je-li celková účinnost čerpadla 60% a celková účinnost elektromotoru 74%. Zadáno: Hustota vody ρ = 1 000 kg m 3, dynamická viskozita vody η = 1, 3 10 3 Pa s, tlak na hladině vody ve studni p 1 = p at (p at = 101 325 Pa), tlak na hladině vody v zásobníku p 1 = p at + 2 10 4 Pa, vnitřní průměr potrubí d = 0,032 m, délka potrubí l = 28 m, střední rychlost vody v potrubí v = 1,2 m s 1, geode-tický rozdíl hladin (čerpací výška) h = 25 m, účinnost čerpadla η c = 0,6 a účinnost elektromotoru η el = 0,74. Řešení: Z Bernoulliovy rovnice (1) nejprve vypočteme hodnotu měrné energie čerpadla e c, kterou následně dosadíme do spojených rovnic (9) a (10). Nejdříve si indexem 1 označíme veličiny, které příslušejí k hladině vody ve studni a indexem 2 veličiny, které se vztahují k hladině vody v tlakovém zásobníku. Za referenční geodetickou rovinu volíme hladinu vody ve studni: z 1 = 0 a z 2 = 25 m. Průřezy studně S 1 a tlakového zásobníku S 2 jsou prakticky shodné, a proto se budou shodovat i střední rychlosti v rovinách 1 a 2: v 1 v 2. Pro výpočet měrné ztráty mechanické energie kapaliny v potrubí e dis v Bernoulliově rovnici užijeme vztahu (3) obsahující součinitele místních odporů armatur zařazených do potrubí: Armatura ζ sací koš 6 uzavírací ventil 3 2 kolena 90 2 x 1,26 výtok z potrubí 1 ζj = 12,52 Další veličinou je součinitel tření λ, který je funkcí Reynoldsova kritéria Re a relativní drsnosti potrubí ε/d Re = v d ρ η = 1, 2 0, 032 1 000 1, 3 10 3 = 29 538. Pro výpočet relativní drsnosti potrubí ε/d nalezneme hodnotu absolutní drsnosti pro plasty: ε = 0, 01 10 3 m, takže relativní drsnost ε/d = 0, 01 10 3 0, 032 = 3, 1 10 4. Vypočteme velikost součinitele tření pro turbulentní oblast proudění (Re > 2 300) λ = { log [ (6, 81 Re 0, 25 ) 0,9 + ε/d 3, 7 ]} 2 = Rovnice (1) se dle zadání zjednoduší na tvar e c = p 2 p 1 ρ 0, 25 { [ ( ) 0,9 6, 81 log + 29 538 + z 2 g + (λ l d + ζ j ) v2 2 = = 2 104 1 000 + 25 9, 81 + (0, 024 28 1, 22 + 12, 52) 0, 032 2 9 ]} 2 = 0, 024. 3, 1 10 4 3, 7 = 289, 4 J kg 1.

Pro výpočet příkonu na hřídeli čerpadla použijeme spojené rovnice (9) a (10), v níž neznámý hmotnostní průtok čerpané kapaliny ṁ vyjádříme pomocí objemového průtoku (respektive rychlosti) a hustoty vody P c = e c ṁ η c = e c V ρ η c = e c v π d 2 ρ = 289, 4 1, 2 3, 14 0, 0322 1 000 4 η c 4 0, 6 = 465, 3 W. Příkon elektromotoru čerpacího zařízení vypočteme z příkonu na hřídeli čerpadla, který dělíme účinností elektromotoru: P z = P c η el = 465, 3 0, 74 = 628, 8 W. Spotřebu elektrické energie čerpacího zařízení vypočteme z hodnoty příkonu elektrického spotřebiče (tj. elektromotoru) v kw, kterou vynásobíme dobou provozu v hodinách: E z = P c τ = 628, 8 10 3 24 = 15, 1 kwh (1 kwh = 3 600 kws = 3 600 kj). Výsledek: Při čerpání vody ze studně do tlakového zásobníku bude příkon na hřídeli čerpadla 465,3 W, příkon elektromotoru 628,8 W a denní spotřeba elektrické energie čerpacího zařízení 15,1 kwh. Příklad P2: Společné řešení charakteristiky čerpadla a potrubí 2 1 23 m Obr. 11: Schéma k příkladu P2 Máme naplnit otevřený zásobník o objemu 12 m 3 vodou z řeky o teplotě 25 C (ρ = 997 kg m 3, η = 0,89 10 3 Pa s). Řeka je se zásobníkem propojena mírně korodovaným ocelovým potrubím o vnitřním průměru 2,5 cm, do kterého je zapojen jeden sací koš, uzavírací ventil, čtyři kolena 90, pět kolen 45 a odstředivé čerpadlo. Celková délka potrubí je 100 m. Zásobník je umístěn výše než je hladina řeky a svislá vzdálenost mezi hladinou a koncem výtlačné části potrubí je 23 m, viz schéma na obr. 11. Charakteristika čerpadla je zadána tabulkou V / l min 1 0 20 40 60 80 100 H c / m 50 48,3 45,5 41,6 36,5 30 Jak dlouho bude trvat naplnění zásobníku vodou? V případě užití dvou čerpadel se shodnou charakteristikou, které uspořádání z hlediska doby čerpání by bylo výhodnější: vedle sebe, nebo za sebou? 10

Zadáno: Hustota vody ρ = 997 kg m 3, dynamická viskozita vody η = 0,89 10 3 Pa s, vnitřní průměr potrubí d = 0,025 m, rozdíl geodetických výšek (čerpací výška) h = 23 m, délka potrubí l = 100 m, tlak v referenční rovině 1 (hladina řeky) p 1 = p at a tlak v referenční rovině 2 (hladina v zásobníku) p 2 = p at. Objem zásobníku 12 m 3 (12 000 litrů). Řešení: Společným grafickým řešením charakteristiky potrubí a charakteristik čerpadel zjistíme objemové průtoky vody v potrubí pro zadaná uspořádání. Do grafu nejdříve vyneseme charakteristiku samostatného čerpadla z dat uvedených v tabulce (křivka 1, obr. 12). Dále zakreslíme společnou charakteristiku dvou čerpadel zapojených vedle sebe (sčítáme hodnoty průtoků příslušející stejné pracovní výšce (křivka 2, obr. 12) a společnou charakteristiku dvou čerpadel zapojených za sebou (sčítáme hodnoty pracovních výšek příslušející stejným hodnotám objemových průtoků (křivka 3, obr. 12). Data pro charakteristiky čerpadel jsou pro větší přehled uvedená v tabulce. V / l min 1 0 20 40 60 80 100 120 160 200 H c / m 50 48,3 45,5 41,6 36,5 30 křivka 1, obr. 12 H c / m 50 48,3 45,5 41,6 36,5 30 křivka 2, obr. 12 H c / m 100 96,6 91 83,2 73 60 křivka 3, obr. 12 Do grafu dále znázorníme charakteristiku potrubí (křivka 4, obr. 12), pro jejíž sestrojení použijeme rovnici (8). Postup při sestrojení charakteristiky potrubí je následující: Indexem 1 označíme veličiny vztahující se k hladině řeky, v jejíž úrovni volíme i referenční rovinu k určování geodetických výšek. Indexem 2 označíme veličiny vztahující se ke konci výtlačné části potrubí. Ze zadání příkladu vyplývá, že z 1 = 0, z 2 = 23 m a p 1 = p 2. Střední rychlost kapaliny v úrovni 1 je zanedbatelná (hladina řeky: v 1 0) a střední rychlost kapaliny v úrovni 2 je rovna střední rychlosti ve spojovacím potrubí (v 2 = v). Vypočteme součet hodnot součinitelů místních odporů armatur zařazených do potrubí Armatura ζ sací koš 6 uzavírací ventil 3 4 kolena 90 4 x 1,26 5 kolen 45 5 x 0,3 výtok z potrubí 1 ζj = 16,54 Rovnice (8) se dle zadání zjednoduší na tvar H c = z 2 + 8 V 2 = 23 + π 2 d 4 g + (λ l d + ζ j ) 8 V 2 3, 14 2 0, 025 4 9, 81 8 V 2 π 2 d 4 g = = 23 + 3, 71 10 6 V 2 + 8, 47 10 8 V 2 λ. + (λ 100 0, 025 + 16, 54) 8 V 2 3, 14 2 0, 025 4 9, 81 = Součinitel tření λ je funkcí Reynoldsova kritéria a relativní drsnosti potrubí ε/d, avšak Reynoldsovo kritérium je funkcí objemového průtoku V. Postupujeme proto tak, že vhodně volíme několik hodnot objemového průtoku V (v rozsahu zadané charakteristiky čerpadla) a vypočítáme hodnoty Reynoldsova kritéria, odpovídající těmto zvoleným průtokům. Po 11

vyčíslení relativní drsnosti potrubí ε/d a z hodnot Reynoldsova kritéria získáme hodnoty součinitele tření. Pak vypočteme pracovní výšky H c příslušející zvoleným objemovým průtokům V a zjištěným hodnotám součinitelů tření λ. Výsledky uspořádáme do přehledné tabulky a získanou závislost charakteristiky potrubí znázorníme graficky společně se zadanou charakteristikou čerpadla. Ze získaného pracovního bodu zjistíme hledaný objemový průtok V. Výpočet si ukážeme pro jednu zvolenou hodnotu objemového průtoku, např. V = 40 l min 1, tj. 6,66 10 4 m 3 s 1. Reynoldsovo kritérium Re = v d ρ η = 4 V ρ π d η = 4 6, 66 10 4 997 = 38 016. 3, 14 0, 025 0, 89 10 3 Pro výpočet relativní drsnosti potrubí ε/d nalezneme absolutní drsnost mírně korodované oceli: ε = 0, 3 10 3 m, takže relativní drsnost ε/d = 0, 3 10 3 0, 025 = 1, 2 10 2. Vypočteme velikost součinitele tření pro turbulentní oblast proudění (Re > 2 300) λ = { log [ (6, 81 Re 0, 25 ) 0,9 + ε/d 3, 7 ]} 2 = 0, 25 { [ ( ) 0,9 6, 81 log + 38 016 ]} 2 = 0, 0421. 1, 2 10 2 3, 7 Po dosazení objemového průtoku a součinitele tření do rovnice charakteristiky potrubí získáme pracovní výšku odpovídající zvolenému objemovému průtoku H c = 23 + 3, 71 10 6 (6, 66 10 4 ) 2 + 8, 47 10 8 (6, 66 10 4 ) 2 0, 0421 = 40, 4 m. Tabulka dílčích výsledků charakteristiky potrubí V / l min 1 0 20 40 60 80 100 V / m 3 s 1 0 3, 33 10 4 6, 66 10 4 10 10 4 13, 3 10 4 16, 6 10 4 Re - 1, 9 10 4 3, 8 10 4 5, 7 10 4 7, 6 10 4 9, 5 10 4 λ - 0,0436 0,0421 0,0416 0,0413 0,0411 H c / m 23 27,5 40,4 61,7 91,4 129,4 Na obr. 12 nalezneme souřadnice pracovních bodů pro jednotlivá uspořádání. Při zapojení jednoho čerpadla je zjištěný objemový průtok V = 44,7 l min 1 (pracovní bod P1). Doba plnění zásobníku τ = V V = 12 000 44, 7 = 268, 5 min. V případě zapojení dvou čerpadel vedle sebe vzroste objemový průtok na V = 47,9 l min 1 (pracovní bod P2) a při zapojení za sebou dosáhneme objemového průtoku V = 71,3 l min 1 (pracovní bod P3). Z výsledných hodnot je patrné, že v tomto případě bude výhodnější zapojení dvou čerpadel za sebou. Výsledek: Doba čerpání bude 268,5 minut. Při užití dvou shodných čerpadel je v tomto případě výhodnější zapojení za sebou. 12

100 4 Hc m 80 60 40 P1 P2 P3 3 2 1 20 0 0 20 40 60 80 100 120. V / l min -3 Obr. 12: Společné řešení charakteristiky čerpadel a potrubí pro příklad P2 Příklad P3: Maximální sací výška Jaká je dovolená geodetická sací výška čerpadla, která vyloučí vznik kavitace, při čerpání vody teplé 20 C (p = 2 313,3 Pa, ρ = 998 kg m 3, η = 1 10 3 Pa s) z otevřené nádrže, požaduje-li se průtok 15 litrů za sekundu. Svislé plastové sací potrubí má vnitřní průměr 100 mm a čerpadlo pracuje při frekvenci otáčení 2 950 min 1. Zadáno: Hustota vody ρ = 998 kg m 3, dynamická viskozita vody η = 1 10 3 Pa s, tlak nad hladinou vody p 1 = p at (p at = 101 325 Pa), tlak nasycených par vody při teplotě 20 C (z Antoineovy rovnice) p = 2 313,3 Pa, objemový průtok V = 0,015 m 3 s 1, vnitřní průměr potrubí d = 0,1 m a frekvence otáčení oběžného kola čerpadla n = 2 950 min 1, tj. 49,17 s 1. Řešení: Teoretickou sací výšku vypočteme z rovnice (12), do které dosadíme hodnotu měrné ztráty mechanické energie v sacím potrubí e dis, s z rovnice (3). Při výpočtu předpokládáme maximální délku potrubí 10 m. Rychlost kapaliny v rovině 1 (hladina zásobníku) v 1 bude zanedbatelná vzhledem k rychlosti v s, předpokládáme v 1 0. Střední rychlost vody v potrubí bude shodná s rychlostí na vstupu do čerpadla v = v s. Součinitel tření λ vypočteme z hodnoty Reynoldsova kritéria Re a relativní drsnosti potrubí ε/d. Při zanedbání vtoku do potrubí budeme předpokládat, že suma součinitelů místních odporů armatur je nulová. Dovolenou geodetickou sací výšku čerpadla vypočteme z rovnice (14). Rychlost v potrubí v = 4 V 4 0, 015 = πd2 3, 14 0, 1 = 1, 91 m 2 s 1. Reynoldsovo kritérium Re = v d ρ η = 1, 91 0, 1 998 1 10 3 = 190 618. 13

Pro výpočet relativní drsnosti potrubí ε/d nalezneme hodnotu absolutní drsnosti pro plasty: ε = 0, 01 10 3 m, takže relativní drsnost ε/d = 0, 01 10 3 0, 1 = 1 10 4. Vypočteme velikost součinitele tření pro turbulentní oblast proudění (Re > 2 300) λ = { log [ (6, 81 Re 0, 25 ) 0,9 + ε/d 3, 7 ]} 2 = Teoretická maximální sací výška, rov. (12) doplněná rov. (3) 0, 25 { [ ( ) ]} 0,9 6, 81 log + 1 2 = 0, 0164. 10 4 190 618 3, 7 h s, max = p 1 p + v2 1 vs 2 (λ l ρ g 2 g d + ζ j ) v2 2 g = 101 325 2 313, 3 0 1, 912 10 = + (0, 0164 998 9, 81 2 9, 81 0, 1 + 0) 1, 91 2 = 9, 62 m. 2 9, 81 Redukovaná sací výška při zvolené bezpečnostní rezervě h br = 0,5 m z rovnice (14) h s, max, r = h s, max 0, 2936 V 2/3 n 4/3 h br = = 9, 62 0, 2936 0, 015 2/3 49, 17 4/3 0, 5 = 5, 9 m. Výsledek: Dovolená geodetická sací výška čerpadla, která vyloučí vznik kavitace, bude 5,9 m. Seznam použitých symbolů d e c e dis h H c l n N c p P c v V z ε ζ j η η c η el λ ρ σ průměr potrubí; m měrná mechanická energie, kterou tekutina získá při průchodu čerpadlem; J kg 1 měrná ztráta mechanické energie v potrubí; J kg 1 čerpací výška; m pracovní výška čerpadla; m délka potrubí; m frekvence otáčení oběžného kola čerpadla; s 1 výkon čerpadla; W tlak; Pa příkon čerpadla; W rychlost; m s 1 objemový průtok; m 3 s 1 geodetická výška; m drsnost potrubí; m součinitel místních odporů armatur v potrubí dynamická viskozita tekutiny; Pa s celková účinnost čerpadla celková účinnost elektromotoru součinitel tření hustota tekutiny; kg m 3 Thomův kavitační součinitel 14

Literatura Bláha J., Brada K.: Příručka čerpací techniky. Vydavatelství ČVUT, Praha 1997. 15