Sbírka řešených příkladů do semináře fyziky 2

Svět práce v každodenním životě Sbírka řešených příkladů do semináře fyziky G Gymnázium Hranice

Svět práce v každodenním životě Mechanické kmitání a vlnění Kinematika G Gymnázium Hranice. Hmotný bod koná harmonický kmitavý pohyb s amplitudou výchylky 0 cm a s periodou s. Zapište rovnici harmonického kmitání. Určete výchylku, rychlost a zrychlení bodu v čase 0, s od začátku pohybu. Počáteční fáze kmitavého pohybu je nulová. y m = 0 cm = 0, m, T = s, t = 0, s Pro okamžitou výchylku harmonického kmitavého pohybu s nulovou počáteční fází platí vztah: y = y m. sin ωt T = s ω = π = π s-, y m = 0, m Velikost okamžité výchylky v čase t = 0, s: y = 0,. sin π.0, = 0,059 m Pro okamžitou rychlost harmonického kmitavého pohybu s nulovou počáteční fází platí vztah: v = ω.y m. cos ω.t Velikost okamžité rychlosti v čase t = 0, s: v = π. 0,. cos π.0, = 0,5 m.s - Pro okamžité zrychlení harmonického kmitavého pohybu s nulovou počáteční fází platí vztah: v = - ω.y m. sin ω.t a = - π. 0,. sin π.0, = - 0,58 m.s - Velikost okamžitého zrychlení v čase t = 0, s: Záporné znaménko jen symbolizuje, že vektor zrychlení v každém okamžiku směřuje do rovnovážné polohy.. Hmotný bod vykonává harmonický kmitavý pohyb. Pro velikost okamžité výchylky platí vztah y = 0,. sin ( πt + π ). Určete amplitudu výchylky, periodu a počáteční fázi kmitavého pohybu. Nakreslete 3 4 fázorový a časový diagram kmitavého pohybu. Pro okamžitou výchylku harmonického kmitavého pohybu s nenulovou počáteční fází platí vztah: y = y m. sin ( ωt + φ 0 ) Porovnáním obou rovnic dostáváme: y m = 0, m ω = π T = π 3 T = 6 s φ 0 = 4 π rad 3

Fázorový a časový diagram: 0, y m 0,4 φ o 0,75,5 5,5 t s - 0, K tomu, aby byl časový diagram úplný, potřebujeme okamžitou výchylku y o v čase t = 0 s a také čas t o, před kterým kmitající oscilátor prošel rovnovážnou polohou: Pro okamžitou výchylku našeho harmonického kmitavého pohybu platí vztah: y = 0,. sin ( 3 πt + 4 π ) Pro t = 0 s dostáváme: y o = 0,. sin π = 0,. = 0,4 m 4 Vzhledem k pěkné počáteční fázi platí: t o = T = 6 s = 0,75 s 8 8 3. Za jakou dobu od počátečního okamžiku dosáhne oscilátor kmitající podle rovnice y = 0,07.sin4πt okamžité výchylky -7 cm? y m = 0,07 m = 7 cm, ω = 4π s -, y = -7 cm Vzhledem k pěknému zadání si můžeme řešení příkladu zjednodušit. Stačí si všimnout, že okamžitá výchylka má stejnou velikost jako maximální výchylka. Oscilátor dosáhne této výchylky za 3 4 T. ω = π T 4π = π T T = s 3 4 T = 3 4. s = 3 8 s = 0,375 s Příklad můžeme složitěji řešit pomocí goniometrické rovnice: Kmitání mechanického oscilátoru je popsáno rovnicí: y = y m.sin ωt Dosazením za okamžitou výchylku: -7 cm = 7. sin4πt cm sin4πt = 4πt = π t = 3 8 s = 0,375 s Pozn: bylo zbytečné převádět cm na m. Jednotky se při řešení vykrátí. 4. S jakou frekvencí bude kmitat pružina, zavěsíme-li na ni závaží 0, kg (síla N protáhne pružinu o,5 cm)? F G = N m = 0, kg, Δl =,5 cm =,5.0 - m, g = 9,8 m.s Frekvence kmitání pružinového oscilátoru je dána rovnicí: f = π. k m 4

Neznáme ale tuhost pružiny k. Tu vypočítáme ze známého vztahu: m.g = k. Δl k = m.g dosadíme do vztahu pro frekvenci: f = π. k m = π. m.g Δl f = m π. g Δl Δl Po dosazení: f = π. 9,8 Hz = 4,07 Hz 0,05 5. Pružina je zatížená závažím 00 g. Přívažkem 0 g se prodlouží o 3 cm. Jak velká je její doba kmitu (i s přívažkem) po uvedení v podélné kmity? K hmotnosti pružiny nepřihlížíme. m = 00 g = 0, kg, m 0 = 0g = 0,0 kg, Δl = 3 cm = 3.0 - m, g = 9,8 m.s Při řešení použijeme známý vztah pro periodu pružinového oscilátoru: Δm.g = k. Δl k = Δm.g Δl m+ Δm T = π. k m+ Δm T = π. k m+ Δm = π. Δm.g k Δl Δl.(m+ Δm) T = π. Δmg 0,03.(0,+ 0,0) Po dosazení: T = π. 0,0.9,8 s =,5 s 6.. Jaká je doba kyvu kyvadla na obrázku, je-li délka kyvadla 90 cm a zarážka A je umístěna v polovině délky? l = 90 cm = 0,9 m, g = 9,8 m.s Pro dobu kmitu toho matematického kyvadla platí: T = T + T, kde T = π. l g A T = π. l l = π. T = π. g g l g + π. l g T = π. l g. ( + ) doba kyvu: τ = T = π. l g. ( + ) Po dosazení: τ = T = π. 0,9 9,8. ( + ) = 0,8 s 7.. Matematické kyvadlo délky l =, m bylo vychýleno o úhel 60 a puštěno. Jakou rychlostí projde rovnovážnou polohou? l =, m, g = 9,8 m.s 5

l.cos α α l Vyjdeme ze zákona zachování mechanické energie. V rovnovážné poloze prochází kyvadlo nulovou hladinou potenciální energie kinetická energie je maximální, potenciální nulová. V krajní poloze ( vychýleno o 60 ) je kyvadlo v klidu kinetická energie je nulová, potenciální maximální. Víme, že celková mechanická energie E = E p + E k je stále konstantní: E p = E k m.g. ( l l.cosα ) =. m. v v =. g. l. ( cosα ) Po dosazení: v =.9,8.,. ( cos60 ) = 3,43 m.s - 8. V kabině výtahu visí kyvadlo, jehož perioda je T =, s. Jestliže se kabina pohybuje se stálým zrychlením, kyvadlo kmitá s periodou T =,4 s. Určete velikost zrychlení kabiny. T =, s, T =,4 s, g = 9,8 m.s Vyjdeme ze známého vztahu pro periodu matematického kyvadla: T = π. l g T = π. l g+a Ze vztahu pro T si vyjádříme neznámé zrychlení výtahu: T = π. l T g+a = 4. π l. g + a = 4. g+a π l. T a = 4. π l. T - g Neznámou délku matematického kyvadla si vyjádříme ze vztahu pro T : T = π. l g T = 4. π. l g l = T. g 4.π Tento vztah dosadíme do vztahu pro vyjádření zrychlení: Obrázek l T. g 4.π a = 4. π. T g = 4. π. T g = T T. g g a = g. ( T T ) Po dosazení: a = 9,8. (,,4 ) m.s = -,6 m.s Jak interpretovat záporné znaménko ve výsledku? Ano, zrychlení kabiny výtahu má opačný směr než tíhové zrychlení výtah jede nahoru se zrychlením a = -,6 m.s. 6

9. Celková energie harmonického oscilátoru je 6.0-5 J a maximální velikost síly, která na oscilátor působí, je 3.0-3 N. Napište rovnici pro okamžitou výchylku, jestliže oscilátor kmitá s periodou T = s a počáteční fází 60 o = π 3 rad. E = 6.0-5 J, F = 3.0-3 N, T = s, φ = 60 o Pro okamžitou výchylku harmonického kmitavého pohybu s nenulovou počáteční fází platí vztah: y = y m. sin ( ωt + φ o ) Pro celkovou energii harmonického kmitavého pohybu platí : E = k.y m y m =.E kde tuhost pružiny můžeme vyjádřit ze vztahu pro sílu: F = k.y m k = F k F E = k.y y m m =.y y m =. F. y m m Pro okamžitou výchylku harmonického kmitavého pohybu pak platí: y m =.E F Po dosazení: y m =.6.0 5 3.0 3 m = 4. 0 m Pro úhlovou rychlost platí vztah: ω =.π T =.π = π y =.E F. sin ( πt + π 3 ) Po dosazení: y = 4. 0. sin ( πt + π 3 ) m 0. Hmotný bod koná harmonický pohyb určený rovnicí y = 6.sin(6.π.t) cm. V jakém čase je jeho kinetická energie třikrát větší jak potenciální energie? y m = 6 cm, ω = 6π Pro kinetickou energii harmonického kmitavého pohybu platí vztah: E k = m. v, kde dále platí v = ω. y. cos(6. π. t) E k = m. ω y cos (6. π. t) Pro potenciální energii harmonického kmitavého pohybu platí vztah: E p = k. y, kde platí, že ω = k m E p = m. ω y sin (6. π. t) Podle zadání má platit: E k = 3. E p m. ω y cos (6. π. t) = 3. m. ω y sin (6. π. t) cos (6. π. t) = 3. sin (6. π. t) cotg (6. π. t) = 3 cotg (6. π. t) = 3 6. π. t = π 6 t = 36 s 7

. Určete, s jakou periodou T bude kmitat kámen vhozený do šachty provrtané skrze střed Země ( ze severního pólu na jižní pól ) a jakou rychlostí proletí středem Země. Zanedbejte odpor prostředí a uvažujte Zemi jako homogenní kouli o hustotě ρ a poloměru R = 6378 km. R = 6378 km = 6378. 0 3 m, M = 6. 0 4 kg, к = 6,67. 0 - N. m. kg - Na těleso prolétající šachtou působí v každém okamžiku proměnná gravitační síla. Víme, že síla způsobující kmitání mechanického oscilátoru je dána vztahem: F = -k.y Znaménko mínus jen vyjadřuje, že síla směřuje v každém okamžiku do rovnovážné polohy; v našem případě do středu Země. Pro periodu harmonického kmitání platí známý vztah: T =.π. m k Obrázek Odkud zjistíme poměr m k? V hloubce h pod povrchem Země působí na hmotný bod gravitační síla, jejíž velikost je dána Newtonovým gravitačním zákonem: m. M F g = к. ( R h) m hmotnost kmitajícího tělesa M hmotnost části Země o poloměru R h M = ρ. V, kde V je objem koule o poloměru R h V = 4. π. ( R h)3 3 F g = к. m.ρ.4.π.( R h)3 3 = 4 ( R h) 3 4 3 h. к. ρ. π. m. ( R h ) = k. ( R h ) m R. к. ρ. π. m. ( R h ) ; tato síla je příčinou harmonického kmitání! = 4 k.к.ρ.π 3 Pro hmotnost celé Země platí: M = ρ. V ; V = 4 3. π. R3 M = ρ. 4 3. π. R3 ρ. 4 3. π = M R 3 m = k M R 3.к = R3 M.к Pro periodu harmonického kmitání nyní platí: T =.π. m k =.π. R3 M.к Po dosazení: T =.π. 63783 0 9 6.0 4.6,67.0 s = 5059 s = hod 4 min 9 s Maximální rychlost při průletu středem Země je dána vztahem Po dosazení: v =.π 5059.6378. 03 = 79 m. s - v = ω. R =.π T. R. Postupné vlnění, které se šíří pružným vláknem, je popsáno rovnicí y = 0,.sin(6.t-0,75.x) m. Určete amplitudu výchylky vlákna, periodu, vlnovou délku a rychlost, kterou se vlnění vláknem šíří. Rovnice pro postupné vlnění má tvar: y = y m. sin π. ( t T x λ ) 8

V rovnici z našeho příkladu musíme tedy π vtáhnout do závorky: y = y m. sin. ( π.t 0,.sin(6.t - 0,75.x) = y m. sin. ( π.t Nyní stačí pouze srovnávat obě rovnice: Y m = 0, m = cm T π.x λ ) T π.x λ ) π = 6 T = π s = 0,5 s T 6 π π = 0,75 λ = λ m = 4,9 m 0,75 v = λ T = 4,9 0,5 m. s = 8,38 m. s 3. Ocelová tyč délky m je upevněna uprostřed a její konec opatřený pístem je vsunut do otevřeného rezonátoru. Podélným rozkmitáním tyče vznikne chvění a v rezonátoru se vytvoří stojaté vlnění o vlnové délce 4 cm. Určete rychlost zvuku v oceli, je-li rychlost zvuku ve vzduchu 340 m. s -. l = m, λ = 4 cm = 0,4 m, v = 340 m.s - Rezonátor i tyč kmitají se stejnou frekvencí f = f Pro frekvenci platí: f = v λ Je li tyč upevněna uprostřed, tak pro její délku platí: l = λ Z těchto vztahů snadno určíme rychlost zvuku v oceli: f = f v = v v = λ.v =.l.v λ λ λ λ Po dosazení: v =..340 0,4 m. s = 4857 m. s - 4. Vlnění s periodou T postupuje podél osy x. Bod se souřadnicí x = 4 cm má v čase t = T okamžitou výchylku 6 y = 0,5y m. Určete vlnovou délku vlnění. x = 4 cm = 0,04 m, t = T 6 s, y = 0,5y m Rovnice pro postupné vlnění má tvar: y = y m. sin π. ( t T x λ ) dosazením zadaných hodnot dostáváme: 0,5 y m = y m. sin π. ( T 0,04 ) sin π. ( 0,04 ) = 6.T λ 6 λ Řešením goniometrické rovnice získáváme: π. ( 6 0,04 0,04 λ = λ = 0,04. m = 0,48 m = 48 cm λ ) = π 6 0,04 = 0,04 = 6 λ λ 6 9

5. Jestliže zkrátíme délku struny (při nezměněné napínací síle) o 0 cm, změní se její základní frekvence krát. Určete původní délku struny l. Δl = 0 cm = 0, m, f f 0 = Pro frekvenci struny platí vztah: f 0 = v λ ; l = λ λ =. l f 0 = v Zkrátíme-li strunu, pak pro její frekvenci platí: f = Ze zadání příkladu pro poměr frekvencí platí: f f 0 = Řešíme tuto rovnici:.l.δl = l l =.Δl Po dosazení: l =. 0, m = 0, m = 0 cm Původní délka struny byla 0 cm. v.(l Δl) v.(l Δl) v =.l.l l l Δl = Obrázek 3 6. Jak dlouhý je vzduchový sloupec otevřené retné píšťaly, vydává-li píšťala komorní a? f = 440 Hz, v = 340 m.s - l = λ ; λ = v f l = v f = v f Po dosazení: l = 340 m = 0,386 m = 38,6 cm.440 Z obrázku vidíme, že délka otevřené retné píšťaly je rovna polovině vlnové délky vlnění. Dále víme, že frekvence komorního a je 440 Hz, rychlost zvuku přibližně 340 m.s -. Výpočet je nyní už snadný: 7. Tryskové letadlo proletělo rychlostí 650 m.s - po přímé dráze ve výšce 3 km nad pozorovatelem. V jaké vzdálenosti od pozorovatele bylo letadlo, když pozorovatel uslyšel jeho zvuk? v z = 340 m.s -, v l = 650 m.s -, h = 3 km = 3.0 3 m Obrázek 4 α s d α h Z obrázku platí podle Pythagorovy věty: d = h + s Z výšky h dorazí zvuk k pozorovateli za čas t = h v z ; za tento čas uletí letadlo vzdálenost s = v l. t = v l. h v z d = h + (v l. h v z ) 0

Po dosazení: d = 9.0 6 + (650. 3.03 340 ) m = 6475,5 m = 6,5 km 8. Ve vzdálenosti 0 m od zdroje zvuku je hladina intenzity 0 db. Určete hladinu intenzity ve vzdálenosti 5 m. r = 0 m, L = 0 db, r = 5 m, L =? db Jedná se o náročnější učivo, proto trochu teorie: Šíření zvukového vlnění je spojeno s přenosem energie. Zdroj zvuku vyzařuje energii zvukového vlnění a ta je předávána k přijímači zvuku, kterým je nejčastěji ucho. Čím větší část energie ΔE zvukového vlnění se za dobu Δt přenese ze zdroje zvuku do uvažovaného místa, tím má zvukové vlnění větší akustický výkon P. akustický výkon P je vyjádřen vztahem: P = ΔE Δt [ ΔE Δt ] = W Názorněji nás o hlasitosti zvuku informuje intenzita zvuku I, která je definována vztahem I = ΔP kde ΔS je malá plocha kolmá na směr šíření zvukového vlnění [I] = [ ΔP ] = W. m ΔS ΔE = Δt = ΔE ; ΔS ΔS Δt.ΔS Sluchem můžeme vnímat při referenčním kmitočtu zvuky o velmi malém akustickém výkonu 0 - W,tzn. pw. Tato hodnota určuje práh slyšení. Naopak práh bolesti může vyvolat zvuk o výkonu větším než W. Poměr největšího a nejmenšího akustického výkonu má velkou hodnotu! Proto se tento poměr vyjadřuje v logaritmické stupnici v jednotkách bel značka B. V praxi se používá jednotka desetkrát menší decibel značka db. Hladina intenzity zvuku je vyjádřena vztahem: L = 0. log P P 0 = 0. log I zvuku I 0 [I] = db, I je intenzita daného V tomto vyjádření odpovídá při frekvenci khz: I o = 0 db - práh slyšení práh bolesti má hodnotu 30dB; vypočítáme ho po dosazení: L = 0. log P = 0. log P db = 0dB 0 pro akustický výkon v obou případech platí, že P = P I S = I S I = I S I S = I.4πr I. ( r r ) Pro neznámou hodnotu hladiny intenzity zvuku platí: L = 0. log I I. ( r ) r = 0. log = 0. log I ( r ) = 0. logl I 0 I 0 I 0 r. ( r ) = L r + 0. log ( r ) r 0 4πr = I r r = L = L + 0. log r r Po dosazení: L = 0 + 0. log 0 = 0 + 0. log = 6,0 db 5

9. Zvuková intenzita elektrofonické kytary byla zesílena z 0-0 W.m - na 0-5 W.m -. Kolik decibelů činí zesílení? I = 0-0 W.m -, I = 0-5 W.m -, ΔL =? db Z minulého příkladu už známe vztahy pro intenzitu zvuku a hladinu intenzity zvuku: L = 0. log I I 0 L = 0. log I I 0 Obrázek 5 ΔL = L L = 0. log I I 0 0. log I I 0 = 0. log I I0 I I0 ΔL = 0. log I I Po dosazení: ΔL = 0. log 0 5 0 0 db = 50 db 0. O kolik decibelů se zvýší hladina intenzity zvuku, pokud se intenzita zvuku zvýší tisíckrát? Určete hodnotu této intenzity zvuku. I = I W.m -, I = 000.I W.m -, ΔL =? db, I =? W.m - Už známe vztahy pro intenzitu zvuku a hladinu intenzity zvuku: a) ΔL = L L = 0. log I I 0 0. log I I 0 = 0. log I I0 I I0 ΔL = 0. log I I l Po dosazení: ΔL = 0. log 03 I I = 0.3 db = 30 db b) Jak určit hodnotu této intenzity? Vyjdeme ze základního vztahu: L = 0. log I I 0 Po dosazení: 30 = 0. log I 0 log I. 0 = 3 I. 0 = 0 3 I = 0 9 W. m = 0 nw. m

Svět práce v každodenním životě Elektrický náboj a el. pole elel.polpolepole Kinematika G Gymnázium Hranice (). Na skleněné tyči, kterou jsme třeli kůží, vznikl náboj 80 nc. Kolik elektronů přešlo z tyče na kůži? Jak se zmenšila hmotnost skleněné tyče při tomto ději? Q = 90 nc = 90.0-9 C, e =,6. 0-9 C, m e = 9,.0-3 kg Při tření tyče, která se nabila kladně, došlo k tomu, že na kůži přešlo n volných elektronů. Na tyči převládl kladný náboj protonů, jejichž náboj je stejný jako náboj elektronů, ale má kladnou hodnotu. Velikost tohoto náboje se nazývá elementární náboj a pro jeho velikost platí: e =,6. 0-9 C pro celkový náboj tyče platí: Q = n.e n = Q e Obrázek 6 Po dosazení: n = 90.0 9,6.0 9 = 56,5. 00 Tím získala tyč kladný náboj a její hmotnost se zmenšila o hmotnost uvolněných elektronů. Δm = n. m e Po dosazení: Δm = 56,5. 0 0. 9,. 0 3 kg = 5. 0 kg = 5,. 0 9 kg Pozn: Víte, kdo je na obrázku? Charles Augustin Coulomb ( 736-806).. Dva stejné náboje o velikosti 6.0-8 C se odpuzují ve vzduchu (k = 9.0 9 N.m C - ) silou 4.0-4 N. Jaká je mezi nimi vzdálenost? Q = Q = Q = 90 nc = 9.0-8 C, F = 4.0-4 N, r =? m Velikost elektrických sil, kterými na sebe působí dva bodové náboje, je dána Coulombovým zákonem: F e = k. Q. Q r r Náboje stejného znaménka se odpuzují, náboje opačného znaménka se přitahují. 3

Konstanta úměrnosti k závisí na prostředí, ve kterém se náboje nacházejí. Obecně je vyjádřena vztahem: k = = 4.π.ε 4.π.ε 0.ε r kde ε udává permitivitu prostředí, pro kterou platí: ε= ε 0. ε r ε 0 = 8,85. 0 N. m C je permitivita vakua, ε r je relativní permitivita prostředí Pro vakuum (přibližně i pro vzduch) platí: k = = = 9. 4.π.ε 0 4.π.8,85.0 09 C N m Pro náš příklad platí Q = Q = Q Coulombův zákon lze psát ve tvaru: F e = k. Q r r = k. Q F e r = k. Q F e Po dosazení: r = 9. 0 9. (9.0 8 ) 4.0 4 = 9.8.0 7 4.0 4 = 0,47 m = 4,7 cm 3. Mezi dvěma kladnými bodovými náboji Q a Q umístěnými ve vzdálenosti cm působí v prostředí s ε r síla F e. Oba náboje přemístíme do prostředí s ε r. Do jaké vzdálenosti musíme přemístit bodové náboje, aby se velikost elektrostatické síly nezměnila? Q, Q, r = cm, r =? Velikost elektrických sil, kterými na sebe působí dva bodové náboje, je dána Coulombovým zákonem: F e = k. Q.Q, k = F r 4.π.ε 0.ε e =. Q.Q r =. Q.Q r 4.π.ε 0.ε r r 4.π.ε 0.ε r F Ze zadání příkladu musí platit: F e = F e. Q.Q 4.π.ε 0.ε r r =. Q.Q 4.π.ε 0.ε r r. ε r r =. ε r r r r = ε r ε r r = r. ε r ε r Po dosazení: r =. ε r cm ε r 4. Dva stejné náboje Q = Q = 0 7 C se ve vakuu odpuzují silou 5 N. Jak je třeba změnit vzdálenost mezi náboji, aby se stejnou silou odpuzovaly i v petroleji ( ε r = )? Q = Q = 0 7 C, F = 5 N, ε r =, ε r = Pro řešení příkladu použijeme vztahy pro Coulombův zákon, které jsme uvedli v minulém příkladu: F e = k. Q, k = F r 4.π.ε 0.ε e =. Q ; F r 4.π.ε 0.ε r r e = F e = F Z Coulombova zákona si vyjádříme vzdálenosti mezi náboji v obou případech: 4

r =. Q 4.π.ε 0.ε r F r =. Q 4.π.ε 0.ε r F Vyjádříme si rozdíl mezi vzdálenostmi nábojů v obou případech: r r =. Q. Q r 4.π.ε 0.ε r F 4.π.ε 0.ε r F r = Q.. ( ) π.ε 0.F ε r ε r Po dosazení: r r = 0 7. 3,4.8,85.0.5. ( ) =,.0-3 m =, mm Vzdálenost mezi náboji musíme zmenšit o, mm. 5. Dva kladné bodové náboje Q, Q = 5. Q jsou pevně umístněné ve dvou bodech vzdálených od sebe 8 cm. Určete, kde je třeba na přímce spojující oba body umístit třetí náboj Q 0, aby na něj nepůsobila žádná elektrická síla. Q, Q = 5. Q, r = 8 cm = 8. 0 m Q x F = 0 Q 0 r x Je lhostejné, je-li náboj Q 0 kladný nebo záporný. Vyznačené síly, působící na tento náboj budou buď přitažlivé, nebo odpudivé. Proto nelze do obrázku tyto síly označit. Podstatné je to, že musí být stejné! Q = 5. Q F e = F e Podle Coulombova zákona platí: F e = k. Q.Q 0 F x e = k. Q.Q 0 = k. 5. Q.Q 0 (r x) (r x) F e = F e k. Q.Q 0 x = k. 5. Q.Q 0 (r x) (r x) = 5. x Pro přehlednější výpočet této kvadratické rovnice dosadíme známou vzdálenost mezi náboji r = 8 cm. Pokud vyjádříme tuto vzdálenost v centimetrech, vyjde i výsledek v centimetrech. (8 x) = 5. x 64 6.x + x = 5.x 4.x + 6.x - 64 = 0 Po vyřešení kvadratické rovnice získáme dva kořeny: x =,47 cm, x = - 6,6 cm ; je zřejmé, že záporný kořen rovnice našemu příkladu nevyhovuje. náboj Q 0 musíme umístit do vzdálenosti,47 cm od náboje Q. Je lhostejné, je-li náboj Q 0 kladný nebo záporný. 6. V určitém bodě elektrického pole kladného bodového náboje Q (ve vakuu) působí na náboj Q 0 = 40 nc síla Fe = 0-4 N. Určete: a) intenzitu elektrického pole v tomto bodě, b) velikost náboje Q vzdáleného od Q 0 30 cm. Q 0 = 40 nc = 40. 0 9 C = 4. 0 8 C, F e = 0 4 N, r = 30 cm = 3. 0 m, k = 9. 0 9 C. N. m, Q =? Kladný náboj Q Náboj Q 0 30 cm 5

a) Z definičního vztahu pro intenzitu elektrického pole platí: E = F e Q 0 Po dosazení: E = 0 4 4.0 8 N. C = 0,5. 0 4 N. C = 500 N. C =,5 kn. C Pozn. V praxi se používá jako jednotka intenzity elektrického pole častěji jednotka V. m E =,5 kv.m - b) Dosadíme-li do vztahu E = F e Coulombův zákon: F Q e = k. Q.Q 0 E = k. Q.Q0 r 0 r Q 0 Q = E.r k Po dosazení: Q = 0,5.04.(3.0 ) 9.0 9 C = 5. 0 9 C = 5 nc E = k. Q r 7. Malá částice, která má hmotnost mg a náboj 0,4 nc, je na začátku v klidu. S jakým zrychlením se bude pohybovat v homogenním elektrickém poli o intenzitě 0 kv.m -? Jakou dráhu urazí za 0, s ve vakuu? Tíhovou sílu působící na částici nebudeme uvažovat. m = mg = 0 6 kg, Q 0 = 0, 4 nc = 4. 0 0 C, E = 0. 0 3 V. m =. 0 4 V. m, t = 0, s, g = 0 m. s, a =?, s =? + a E - Síla, která způsobuje zrychlený pohyb částice, je síla elektrická, pro kterou platí vztah: F e = E. Q 0. Podle druhého Newtonova pohybového zákona platí pro velikost výslednice síly, která způsobuje pohyb se zrychlením a : F = m. a F = F e m. a = E. Q 0 a = E.Q 0 m Po dosazení: a =.04.4.0 0 m. s = 8 m. s 0 6 Pro dráhu rovnoměrně zrychleného pohybu platí: s =. a. t Po dosazení: s =.8. 0, m = 0,6 m = 6 cm 8. Malá částice, která má hmotnost 0,0 mg a náboj 0 nc, je umístěna v homogenním gravitačním a elektrickém poli, jehož siločáry mají vodorovný směr. Částice se začne pohybovat s nulovou počáteční rychlostí a za 4s získá rychlost o velikosti 50 m.s -. Určete velikost intenzity elektrického pole. (g = 0 m.s - ) m = 0, 0 mg = 0 8 kg, Q 0 = 0 nc = 0 8 C, t = 4 s, v = 50 m. s, g = 0 m. s, E =? E Na částici, která je v homogenním gravitačním a elektrickém poli, působí: + F G F e F - - Tíhová síla o velikosti F G = m. g ; působí svisle dolů - Elektrická síla o velikosti F e = Q. E ; působí vodorovně Pro velikost výslednice těchto sil platí: F = F G + F e = m g + Q E Tato síla uděluje částici stálé zrychlení. Částice se pohybuje rovnoměrně 6

zrychleně ve směru této výslednice F a podle druhého Newtonova pohybového zákona platí: F = m. a a = F m = m g +Q E m Pro velikost zrychlení platí samozřejmě vztah pro rovnoměrně zrychlený pohyb: a = v t Porovnáním obou vztahů a dalšími úpravami můžeme vyjádřit velikost intenzity homogenního elektrického pole: m g +Q E m = v m g +Q E = v t m t g + Q E m = v t Q E m = v t g E = m. Q v t g Po dosazení: E = 0 8 0 8. 50 4 0 V.m - = 7,5 V.m - 9. Kulička, která má hmotnost 0,3 g a náboj 0,6μC, je zavěšená na niti a umístěná v homogenním elektrickém poli o intenzitě 5 kv.m -, jehož siločáry mají vodorovný směr. Elektrická síla vychýlí kuličku se závěsem ve směru elektrických siločar. Určete, o jaký úhel se odchýlí od svislého směru. m = 0, 3 g = 3. 0 3 kg, Q 0 = 0, 6 μc = 6. 0 7 C, E = 5. 0 3 V. m, g = 0 m. s α Na kuličku působí elektrická a tíhová síla. Výslednice těchto sil má směr prodloužení závěsu kuličky. Z obrázku vyplývá: tg α = F e F G tg α = E.Q m.g F e Po dosazení: tg α = 5.03.6.0 7 3.0 3.0 = F G. α = 45 9 0.. Je dán čtverec ABCD o straně a = 30 cm. Ve vrcholech B, D jsou umístěny dva kladné bodové náboje o velikosti 0nC. Určete velikost intenzity elektrického pole: a) středu čtverce, b) ve vrcholu C. Předpokládáme, že daná situace se odehrává na vzduchu. a = 30 cm = 3. 0 m, Q = 0 nc =. 0 8 C, k = 9. 0 9 C N m D E B E B C E C E D a) Z obrázku vyplývá: E S = E B + E D ; pro velikost intenzity ve středu čtverce platí = 0E S = 0 V. m b) E C = E B + E D E C = E B + E D Ze zadání vyplývá, že platí: E B = E D E D A S B E C =. E B = E B., E B = k. Q a EE C = k. Q a. 7

.0 8 Po dosazení: E C = 9. 0 9.. V. (3.0 ) m = 800 V. m =,8 kv. m Směr výsledné intenzity je zřejmý z obrázku.. Jakou rychlost získá elektron při přechodu potenciálním rozdílem 00 V? e =,6.0-9 C, m e = 9,. 0-3 kg, Δφ = U = 00 V = 0 V, v =? + v E - Mezi body A, B je rozdíl potenciálů, tj. napětí, 00V. Elektrické pole vykoná při přemístění elektronu z bodu A do bodu B práci W = e. U Elektron získá rychlost v a tím také kinetickou energii E k =. m e. v Ze zákona zachování energie platí: W = E k B A e. U =. m e. v v =.e.u m e v =.e.u m e e je elementární elektrický náboj elektronu (e =,6.0 9 C ); m e je hmotnost elektronu (me = 9,.0 3 kg ) Po dosazení: v =.,6.0 9.0 9,.0 3 m. s = 3, 9,. 04 m. s 0,59. 0 7 m. s = 5,9. 0 6 m. s Pozn. Je zajímavé, že elektron by v elektrickém poli mohl získat rychlost, která se rovná rychlosti světla (c = 3. 0 8 m. s )..Jaké napětí by muselo být mezi body A, B? Z řešení příkladu vyplývá: e. U =. m e. c U = m e.c.e Po dosazení: U = 9,.0 3.(3.0 8 ) V = 5,59. 0 4 V 56 kv.,6.0 9 A toto napětí je v reálném životě dostupné!!! Ale my víme, že se zvyšující se rychlostí elektronu se zvyšuje také jeho hmotnost podle Einsteinova vztahu ze m speciální teorie relativity m = 0 Elektron nikdy nepřesáhne svou rychlostí rychlost světla! v c. Částice α vletěla do homogenního elektrického pole rychlostí.0 6 m.s -. Částice se zastavila po přeletění dráhy 3m. a) Jak velký potenciální rozdíl částice překonala? b) Jakou velikost má intenzita elektrického pole? v =.0 6 m. s, s = 3 m, U =?, E =? Pro vyřešení použijeme stejné vztahy jako v předcházejícím příkladu. Potřebujeme ale nejdříve vypočítat 4 hmotnost a náboj α částice. Víme, že α částice je vlastně jádro helia He, které obsahuje dva protony a dva nukleony. Pro jejich hmotnost přibližně platí: m p m n =,67. 0 7 kg hmotnost α částice: m α = 4.,67. 0 7 kg = 6,68. 0 7 kg Elektrický náboj má pouze proton: Q p = +e = +,6. 0 9 C náboj α částice: Q α = +.,6. 0 9 C = +3,. 0 9 C 8

a) Jak velký potenciální rozdíl částice překonala? Q α. U =. m α. v U = m α.v.q α Po dosazení: U = 6,68.0 7.(.0 6 ).3,.0 9 V = 4,75. 0 4 V 4 kv b) Jakou velikost má intenzita elektrického pole? Při přemístění α částice koná elektrické pole práci W = F e. s = E. Q α. s E = W = Q α.u Q α.s Q α.s E = U s Po dosazení: E = 4,75.04 3 V. m =,39. 0 4 V. m 4 kv. m Pozn. Částice α se v homogenním elektrickém poli zastavila, pohybovala se proti směru intenzity elektrického pole. Uvedaná dráha α částice byla vlastně brzdnou dráhou. Z učiva kinematiky známe vztah pro brzdnou dráhu: s b = v 0.a Z tohoto vztahu můžeme zjistit zrychlení částice: a = v 0.s b Po dosazení: a = (.06 ) m. s =. 0 m. s.3 3. Mezi deskami nabitého kondenzátoru se vznáší záporně nabitá olejová kapka hmotnosti 0-3 kg. Desky kondenzátoru mají vzdálenost 4,8 mm a napětí mezi nimi je kv. a) Jaký je náboj kapky? b) Kolik nadbytečných elektronů má záporně nabitá kapka? c) Kolik elektronů ztratí, jestliže se začne pohybovat dolů se zrychlením o velikosti 5 m.s -? m = 0-3 kg, d = 4,8cm = 4,8.0-3 m, U = kv = 0 3 V, g = 0 m.s - + - F e F G + - Obrázek 7 Obrázek 8 Úloha ukazuje princip historicky významného pokusu amerického fyzika R. A. Millikana (obrázek 7), kterým v roce 909 poprvé změřil hodnotu elementárního náboje e. Současně ukazuje, že každý elektrický náboj je vždy celistvým násobkem tohoto elementárního náboje e. Na obrázku 8 je již moderní aparatura tohoto pokusu. Olejovými kapičkami jsou zde kapky ricinového oleje, vstřikované mezi desky kondenzátoru pomocí rozprašovače (červený balónek). a) Na kapku působí dvě síly. Elektrická směrem nahoru a tíhová směrem dolů. Poněvadž se kapka vznáší, je velikost těchto sil stejná F e = F G Q. E = m. g Q. U m.g.d = m. g Q = d U 9

Po dosazení: Q = 0 3.0.4,8.0 3 0 3 C = 4,8. 0 8 C b) Počet nadbytečných elektronů vytvářejících záporný náboj kapky je: n = Q e Po dosazení: n = 4,8.0 8,6.0 9 = 30 c) Jestliže se kapka začne pohybovat dolů, je jasné, že se velikost elektrické síly snížila. Z toho usuzujeme, že kapka ztratila n elektronů; její náboj se zmenšil. Výslednice sil, které působí na kapku, má nyní směr dolů a pro její velikost platí F = F G - F e ; podle druhého Newtonova pohybového zákona zároveň platí pro její velikost: F = m.a F G - F e = m.a m.g - F e = m.a Pro výpočet použijeme vztahy z a): F e = Q. E = Q. U d Náboj kapky je ale nyní: Q = (n n ). e ; n udává počet ztracených elektronů m.g - F e = m.a m.g - Q. U = m.a m.g - (n n d ). e. U = m.a (n n d ). e. U = m. (g a) d (n n ) = d.m.(g a) U.e n = n d.m.(g a) U.e Po dosazení: n = 30 4,8.0 3.0 3.(0 5) 0 3.,6.0 9 = 5 4. Kulička s hmotností 40 mg nabitá kladným nábojem 0 9 C se pohybuje rychlostí 0 cm.s -. Na jakou minimální vzdálenost se kulička může přiblížit ke kladnému bodovému náboji,33.0 9 C? m = 40.0-6 kg = 4. 0-5 kg, Q 0 = 0-9 C, v = 0 cm.s - = 0 - m.s -, Q =,33.0-9 C, k = 9. 0 9 C. N. m Q v Q 0 Potenciální energie kuličky v hledaném místě musí být podle zákona zachování energie rovna její kinetické energii: k.q E p = Q 0. φ = Q 0. r E k =. m. v k.q Q 0. =. m. r v r =.k.q 0.Q m.v Po dosazení: r =.9.09.0 9.,33.0 9 4.0 5.(0 ) m = 5,99. 0 m 6 cm 5. Určete poloměr a kapacitu koule, která by se nábojem μc nabila na potenciál 000V vzhledem k Zemi. Q = μc = 0 6 C, φ = 000 V = 0 3 V, ε 0 = 8, 85. 0 C. N. m φ Q r Pro potenciál kulového vodiče platí ( viz příklad 4): φ = E p = F e. r k. Q 0. Q = r. r = Q 0 Q 0 Q 0 k. Q r r = k. Q φ 0

Kde pro konstantu k platí ( viz př.): k = = 9. 4.π.ε 0 4.π.8,85.0 09 C N m Po dosazení: r = 9.09. 0 6 0 3 m = 9 m Pro kapacitu osamoceného vodiče platí obecně vztah: C = Q φ Po dosazení: C = 0 6 0 3 F = 0 9 F = nf 6. Určete relativní permitivitu dielektrika v rovinném deskovém kondenzátoru, jsou-li jeho desky o ploše 000 cm od sebe vzdálené 0, mm a kondenzátor se nábojem 7,7.0-6 C nabije na 00 V. S = 0 3 cm = 0 m, d = 0, mm = 0 4 m, Q = 7, 7. 0 6 C, U = 00 V, ε 0 = 8, 85. 0 C +Q Q E -Q Pro kapacitu deskového kondenzátoru platí obecný vztah: C = Q U = Q E.d E = Q C.d Podle předcházejícího příkladu pro plošnou hustotu náboje na kouli S S platí vztah: σ = Q S = Q = E. ε E = σ Q = S 4.π.r ε ε = Q S.ε d Porovnáním obou vztahů pro intenzitu elektrického pole mezi deskami kondenzátoru získáme známý vztah pro kapacitu deskového kondenzátoru: Q C. d = Q C = ε. S S. ε d kde ε udává permitivitu prostředí, pro kterou platí: ε= ε 0. ε r ε 0 = 8,85. 0 N. m C je permitivita vakua, ε r je relativní permitivita prostředí Z výše uvedených vztahů již snadno získáme relativní permitivitu dielektrika deskového kondenzátoru: C = Q = ε S U 0ε Q.d r d r = ε 0.U. S Po dosazení: ε r = 7,7.0 6. 0 4 8,85.0.00. 0 0 7. Deskový kondenzátor se vzduchovým dielektrikem je připojen ke zdroji napětí 6 V. Prostor mezi deskami kondenzátoru má objem 300 cm 3. Intenzita homogenního elektrického pole mezi deskami kondenzátoru má hodnotu 00 V.m -. Určete kapacitu tohoto kondenzátoru. Jak se změní kapacita kondenzátoru, jestliže: a) zdroj bude mít trojnásobnou hodnotu napětí, b) intenzita elektrického pole se sníží na polovinu. U = 6V, V = 300 cm 3 = 3. 0 4 m 3, E = 00 V. m, ε 0 = 8, 85. 0 C. N. m Obrázek 9 Z příkladu 6 víme, že pro kapacitu deskového kondenzátoru platí vztah: C = Q = ε S U 0ε r d Je-li dielektrikem vzduch, pak ε r = S C = ε 0 d Z obrázku v příkladu 6 je jasné, že pro objem prostoru mezi rovnoběžnými

deskami kondenzátoru platí vztah: V = S. d S = V d dále víme, že platí vztah mezi napětím a intenzitou el. pole: U = E.d d = U E V S C = ε = ε d 0 d 0 = ε V d 0 = ε V d 0 C = ε V.E ( U E ) 0 U Po dosazení: C = 8,85. 0. 3.0 4.00 F 3. 0 F = 3pF 6 Odpovíme na další otázky: a) Ze vztahu pro kapacitu kondenzátoru vidíme, že bude - li napětí zdroje 3x větší, bude kapacita deskového kondenzátoru 9x menší. V.E Označíme-li C 0 = ε V.E 0, potom pro případ, že U = 3.U U 0 platí C = ε = ε V.E 0 0 U 0 =. ε V.E (3.U 0 ) 9 0 =. C U 0 9 0 b) Jestliže se intenzita el. pole sníží na polovinu, klesne kapacita kondenzátoru na čtvrtinu C 0 = ε 0 V.(E 0 ) U V.( E0 C = ε ) 0 U = 4. C 0 8. Dva kondenzátory o stejné kapacitě zapojíme sériově, a potom paralelně. Rozdíl výsledných kapacit obou zapojení je 3.0-6 F. Určete kapacitu jednotlivých kondenzátorů. ΔC = 3.0-6 F Sériové zapojení kondenzátorů: C C C S Na deskách kondenzátorů je náboj stejné velikosti, který vznikl elektrostatickou indukcí.pro uvedená napětí platí: U U U U = U + U Z předcházejících příkladů už víme, že pro kapacitu kondenzátoru platí vztah C = Q U U = Q C U = c Q C = Q C + Q C C = C + C Pokud se jedná o sériové zapojení dvou kondenzátorů, je výhodné postupovat v úpravách ještě dále: C = + C C = C + C C. C C = C. C C + C Pokud C = C = C, pak pro výslednou kapacitu sériového zapojení platí: C S = C.C = C = C C+C.C Paralelní zapojení kondenzátorů: C, Q C, Q U = U C P Q = Q + Q U Z obrázku je zřejmé, že Q = Q + Q a napětí na obou kondenzátorech jsou stejné. Q = Q + Q C. U = C. U + C. U Pro výslednou kapacitu paralelního zapojení platí: C P = C + C Pokud C = C = C, pak platí: C P =. C

Je zřejmé, že při paralelním zapojení kondenzátorů je výsledná kapacita větší ΔC = C P C s =. C C = 3 C C = 3. ΔC Po dosazení: C = 3. 3. 0 6 F = μf 9. Urči celkovou kapacitu, náboje a napětí na všech kondenzátorech u následujícího zapojení. C = μf C 3 = 4μF U = 6V C = μf C 4 = μf Kondenzátory C a C 3 jsou zapojeny paralelně. Pro jejich výslednou kapacitu, podle předcházejícího příkladu 8, platí: C,3 = C + C 3 Kondenzátory C a C 4 jsou také zapojeny paralelně. Pro jejich výslednou kapacitu opět platí: C,4 = C + C 4 Kondenzátory C,3 a C,4 jsou již zapojeny sériově. Pro jejich výslednou kapacitu, podle předcházejícího příkladu 8, platí: C = C,3. C,4 C,3 + C,4 = (C + C 3 ). (C + C 4 ) (C + C 3 ) + (C + C 4 ) Po dosazení: C = (+4)(+) (+4)+(+) 6.3 μf = μf = μf 9 Ze známé hodnoty napětí zdroje a celkové kapacity zapojení můžeme vypočítat celkový náboj: Q = C. U Pro jednodušší počítání dosadíme konkrétní hodnoty: Q =. 0 6. 6 C =. 0 6 C = μc Pro určení náboje a napětí na jednotlivých kondenzátorech zapojení si obvod zjednodušíme: U = 6V Z příkladu 8 už víme,že: Na deskách sériově zapojených kondenzátorů je náboj stejné velikosti, který vznikl elektrostatickou indukcí.pro uvedená napětí platí: C,3 = 6μF C,4 = 3μF U = U,3 + U,4 ; Q,3 = Q,4 = Q C,3. U,3 = C,4. U,4 U,3 U,4 = C,4 C,3 Po dosazení: 6 = U,3 + U,4 U,3 U,4 = 3 6 = Tuto soustavu rovnic vyřešíme, vzhledem k pěknému zadání, zpaměti. U,3 = V; U,4 = 4V Napětí na paralelně zapojených kondenzátorech je stejné C = μf; U = V Q + Q 3 = μc U = V; U 3 = V; U = 4V; U 4 = 4V Jak určíme náboje na jednotlivých kondenzátorech? C 3 = 4 μf; U 3 = V 3

Opět nám pomůže příklad 8. Už víme,že při paralelním zapojení kondenzátorů platí: Q = Q + Q a napětí na obou kondenzátorech jsou stejné U = U Q C = Q C Q Q = C C ; Pro naše zapojení tedy po dosazení platí: μc = Q + Q 3 Q Q 3 = 4 = μc = Q + Q 4 Q = Q 4 Tuto soustavu rovnic vyřešíme, vzhledem k pěknému zadání, zpaměti. Q = 4μC; Q 3 = 8μC; Q = 4μC; Q 4 = 8μC 0. Deskový kondenzátor bez dielektrika s deskami o plošném obsahu 500 cm je nabit na napětí 300V. Vypočtěte práci vnějších sil potřebných na oddálení desek z původní vzdálenosti cm do vzdálenosti 3cm, jestliže při oddalování je kondenzátor odpojen od zdroje napětí. S = 500 cm = 5. 0 m, U = 300 V, d = cm = 0 m, d = 3 cm = 3. 0 m, ε 0 = 8, 85. 0 C. N. m, W =? Na oddálení desek je třeba vykonat práci, neboť desky kondenzátoru mají nesouhlasné náboje, a proto se navzájem přitahují. Podle zákona zachování energie je velikost této práce rovna přírůstku energie kondenzátoru: W = E c E C Připomeňme si vztahy pro výpočet energie kondenzátoru: Tyto vztahy si nebudeme pamatovat zpaměti! Nejrychlejší cesta k jejich objevení je pomocí grafu závislosti náboje na deskách kondenzátoru na napětí mezi deskami Q = f(u) Rovnice závislosti už známe: Q = C.U ; jedná se o rovnici lineární funkce; konkrétně přímé úměrnosti. Grafem této závislosti je polopřímka, procházející počátkem. Plocha pod grafem funkce vyjadřuje velikost energie nabitého kondenzátoru. Vypočítat obsah pravoúhlého trojúhelníka není problém: Q Q = C.U E C =. Q. U =. C. U =. Q C E C U Při oddalování desek zůstává náboj na deskách stejný, proto pro naši potřebu použijeme vztah: E C =. Q C W = E c E C =. Q C. Q C = Q. ( C C ) Náboj na deskách kondenzátoru určíme z počátečních podmínek: Q = C. U = ε 0. S d. U W = (ε 0. S d.u). ( ε 0. S d ε 0. S d.u ε 0. S ) =. ( ) = d d d ε 0. S d.u. (d d ) W = ε 0..d. U. (d d ) S 5.0 Po dosazení: W = 8,85. 0...(0 ) 300. (3. 0 0 )J = 8,85. 0...(0 ) 300.. 0 J = 8,85. 0. 5.0 (0 ). 300 J = 8,85. 0. 5. 300 J 3,98. 0 6 J 4 μj 5.0 4

Svět práce v každodenním životě Elektrický proud v kovech G Gymnázium Hranice. Urči náboj, který projde za s obvodem s žárovičkou, kterou prochází proud I = 0,3 A. Kolik elektronů při tom projde za s průřezem vodiče v libovolném místě? e =, 6. 0 9 C, I = 0, 3 A, t = s, N =? Pro velikost stejnosměrného proudu, který projde vodičem, platí: Q = I. t I. t N = e Po dosazení: Q = 0,3. C = 0,3 C 0,3. N = =,6.0 9,875.08 I = Q t = N.e t. Během 0 s prošlo vodičem 9,36. 0 9 elementárních částic s nábojem. K jak velkému zdroji napětí byl vodič připojen? Vodič je z hliníku, má délku 30m a průměr 0,4 mm. N = 9,36.0 9, e =, 6. 0 9 C, l = 30 m, d = 0, 4 mm = 4. 0 4 m, ρ = 0,07 μω.m = 7.0 9 Ω. m, U =? Podle Ohmova zákona platí: U = R. I ; Pro elektrický odpor platí: R = ρ. l ; kde l udává délku vodiče, S jeho průřez ( za předpokladu, že S průřezem vodiče je kruh, platí: S = π. r = π. ( d ) =. π. 4 d l ) R = ρ. = 4. ρ. l 4.π.d π.d Pro velikost stejnosměrného proudu, který projde vodičem, platí: I = Q = N.e t t Dosazením všech uvedených vztahů do Ohmova zákona získáme pro velikost napětí vztah : l N.e U = R. I = 4. ρ. π.d. U = 4.ρ.l.N.e t π.d.t Po dosazení: U = 4. 7.0 9. 30. 9,36.0 9.,6.0 9 π.(4.0 4 ).0 = 9, 3 V 3. Určete hustotu ρ N vodivostních elektronů v hliníku, předpokládáme-li, že na každý atom hliníku připadá jeden vodivostní elektron. Z MFCHT zjistíme základní konstanty pro hliník: ρ = 700 kg. m 3, A r = 6, 98, m u =, 66. 0 7 kg, e =, 6. 0 9 C, ρ N =? Co je to hustota ρ N vodivostních elektronů v hliníku? Zřejmě, počet vodivostních elektronů v objemové jednotce. 5

ρ N = N V = m ma V = Ar.mu V ρ.v ρ N = ρ A r.m u Po dosazení: ρ N = 700 6,98.,66.0 7 m 3 = 6,03. 0 8 m 3 Pozn: Celkový náboj vodivostních elektronů v hliníku obsažených v krychli o objemu m 3 je obrovský!!! Q = ρ N. e = 6,03. 0 8.,6. 0 9 C. m 3 = 9,648. 0 9 C. m 3 9,6. GC. m 3 Celkový náboj malé krychličky hliníku o objemu mm 3 je 6,03. 0 9.,6. 0 9 C = 9,6 C 4. Určete střední rychlost uspořádaného pohybu vodivostních elektronů v hliníkovém drátu o průřezu 4 mm, kterým prochází proud 5A. ρ N = 6, 03. 0 8 m 3 ( z příkladu č. ), e =, 6. 0 9 C, I = 5 A, S = 4 mm = 4. 0 6 m, v =? S v I = ΔQ = e.ρ N.S.v.Δt = e. ρ Δt Δt N. S. v v = Po dosazení: v = v.δt I e.ρ N.S Vodivostní elektrony, které projdou za dobu Δt střední rychlostí v průřezem vodiče o obsahu S, leží v prostoru ΔV = S.v.Δt ( viz obrázek) Počet těchto elektronů zjistíme ze vztahu ρ N = N V ΔN = ρ N. ΔV = ρ N. S. v. Δt Celkový náboj přenášený elektrony je ΔQ = e. ΔN = e. ρ N. S. v. Δt Pro velikost proudu protékajícího vodičem platí: 5,6.0 9.6,03.0 8.4.0 6 m. s = 0,. 0 3 m. s = 0, mm. s 5. Jakou hmotnost má měděný vodič o délce km, je-li jeho odpor 6 kω? Z MFCHT zjistíme potřebné konstanty pro měď: ρ = 8930 kg. m 3, ρ R = 0, 08 μω. m 0 = 8. 0 9 Ω. m, l = km = 0 3 m, R = 6 Ω, m =? Vyjdeme ze základního vztahu pro hmotnost: m = ρ. V = ρ. S. l ; kde l udává délku vodiče, S jeho průřez Pro elektrický odpor platí: R = ρ R. l ; kde l udává opět délku vodiče, S jeho S průřez ; z tohoto vztahu si vyjádříme obsah průřezu vodiče: S = ρ R. l R Obrázek 0 m = ρ. S. l = ρ. ρ R. l R. l m = ρ.ρ R.l R Po dosazení:. m = 8930. 8. 0 9. (0 3 ) 6 kg = 6790. 0 3 kg 6,8 kg 6

6. Platinový odporový teploměr má při teplotě 0 C odpor 500 Ω. Odpor teploměru v rozpálené peci je 500 Ω. Jaká je teplota pece? Z MFCHT zjistíme teplotní součinitel elektrického odporu pro platinu: α = 3, 9. 0 3 K R 0 = 500 Ω, R P = 500 Ω, t 0 = 0 C, t P =? Experimentálně bylo zjištěno, že závislost elektrického odporu kovových vodičů na teplotě je ve velkém teplotním intervalu prakticky lineární a můžeme ji vyjádřit vztahem: R = R 0. ( + α.δt ) Pro náš případ lze tuto rovnici psát ve tvaru: R P = R 0. ( + α.δt ) kde Δt = t P t 0 R P = R 0. ( + α.δt ) + α.δt = R P α.δt = R P α.δt = R P R 0 Δt = R P R 0 R 0 R 0 R 0 R 0.α t P t 0 = R P R 0 R 0.α t P = R P R 0 R 0.α + t 0 Po dosazení:. t P = ( 500 500 500. 3,9.0 3 + 0 ) C = 045,6 C 7. Vláknem wolframové žárovky s teplotou 8 C prochází při napětí 0 V proud 300 ma. Určete teplotu vlákna svítící žárovky, jestliže vláknem prochází proud 0,5 A a napětí na koncích vlákna je 0 V. Z MFCHT zjistíme teplotní součinitel elektrického odporu pro wolfram: α = 4, 4. 0 3 K t 0 = 0 C, U 0 = 0 V, I 0 = 300 ma = 0, 3 A, I = 0, 5 A, U = 0 V t =? Ze zkušenosti víme, že wolframové vlákno žárovky se silně zahřívá. Svítící žárovka je pořádně horká! Její teplotu můžeme určit pomocí změněného odporu svítící vlákna žárovky. Z příkladu 6 už víme, že platí: R = R 0. ( + α.δt ) kde Δt = t t 0, R 0 = U 0 I 0 ; R = U I Obrázek t t 0 = U I U 0 I0 U0 = I0.α (U I R = R 0. ( + α.δt ) + α.δt = R R 0 α.δt = R R 0 α.δt = R R 0 R 0 Δt = R R 0 R 0.α U 0 I 0 ). I 0 U 0.α = U.I 0 U 0.I I. 0 = U.I 0 U 0.I I.I 0 U 0.α I.U 0.α Po dosazení: t = ( 8 + 0.0,3 0.0,5 0,5.0.4,4.0 3 ) C = 570 C t = t 0 + U.I 0 U 0.I I.U 0.α 8. V obvodu jsou paralelně zapojeny dva rezistory o odporech 3 Ω a 6 Ω. Urči jejich celkový odpor a proud, který prochází obvodem i jednotlivými rezistory, pokud jsou připojeny ke zdroji o napětí V. R = 3Ω, R = 6Ω, U = V 7

U = V U I R = 6Ω Pro celkový odpor dvou paralelně zapojených odporů platí: = + R R R Pro výpočet příkladů je užitečné si tento vztah upravit a přímo si pamatovat: R = R +R R.R R = R.R R +R R Po dosazení: R = 3.6 Ω = 8 = 3Ω I Ω = Ω 3+6 9 Pro proud protékající obvodem pak podle Ohmova zákona platí: I = U U R Po dosazení: I = A = 6 A Proudy protékající jednotlivými odpory je nejlepší řešit prostou úvahou: Podle I.Kirchhoffova zákona pro proudy protékající jednotlivými rezistory platí: I = I + I Napětí na těchto rezistorech je stejné: U = U R. I = R. I I = R I R proudy se dělí v opačném poměru jako odpory. Jestliže odpory jsou v poměru :, jsou proudy v opačném poměru : I = A; I = 4A (Pokud by hodnoty v zadání příkladu nebyly tak pěkné, řešili bychom soustavu dvou rovnic o dvou proměnných: I = I + I R. I = R. I ) Pozn. Protože známe elektromotorické napětí zdroje, můžeme postupovat v našem příkladu velmi jednoduše: U = U = U I = U ; I R = U R Po dosazení: I = 6 A = A ; I = 3 A = 4 A 9. Proud A se dělí ve tři paralelní větve s odpory 0 Ω, 30 Ω, 60 Ω. Určete proudy v jednotlivých větvích. I = A, R = 0 Ω, R = 30 Ω, R 3 = 60 Ω I Pro výsledný odpor tří paralelně zapojených odporů platí: I I R R = + + R R R 3 R I 3 R 3 = R.R 3 +R.R 3 +R.R R R.R.R 3 R = R.R.R 3 R.R 3 +R.R 3 +R.R 0.30.60 Po dosazení: R = Ω = 0 Ω 30.60+0.60+0.30 Ze známé hodnoty proudu a celkového odporu si můžeme vypočítat napětí v obvodu, které je stejné ve všech paralelních větvích. U = R. I Po dosazení: U = 0. V = 0 V Dále postupujeme stejně jako v příkladě 8: I = U ; I R = U ; I R 3 = U R 3 Po dosazení: I = 0 0 A = 6 A ; I = 0 30 A = 4 A ; I 3 = 0 60 A = A 8

0. Řešte obvod (tzn. vypočítejte napětí na jednotlivých odporech a proudy protékající jednotlivými rezistory). I 3 U 3 RR 33 = Ω = Ω = Ω R = 4Ω U = 8 V U I I Odpory R, R jsou zapojeny paralelně. Lze je nahradit odporem o velikosti: R = R.R = 4.4 Ω = 6 Ω = Ω R +R 4+4 8 Odpory R a R 3 jsou zapojeny sériově celkový odpor obvodu je roven součtu hodnot jejich velikostí: R = R + R 3 = ( + ) Ω = 4 Ω R R = 4Ω = 4Ω = 4Ω U I Obvodem protéká proud o velikosti: I = U = 8 A = A R 4 Z obrázku je jasné, že tento proud protéká odporem R 3 I 3 = A V paralelní části obvodu se proud podle KZ dělí. Část teče odporem R, část odporem R. Z příkladu 8 už víme: U = U R. I = R. I I I = R R I I = 4 4 = I = A, I = A Pro napětí platí: U = U 3 + U ; protože R 3 = R, tak samozřejmě platí, že také U 3 = U U 3 = 4V, U = 4V U = 4 V, U = 4 V. Dva rezistory R, R mají při sériovém zapojení odpor 5 Ω a při paralelním zapojení, Ω. Jaké jsou odpory jednotlivých rezistorů? R S = 5Ω, R P =, Ω R S = 5Ω R P =,Ω R R R R Pro výsledný odpor sériového zapojení platí: R S = R +R Pro výsledný odpor paralelního zapojení platí: = + R P R R Aby byl náš výpočet přehlednější, zavedeme si substitucí nové proměnné a dosadíme výsledný odpor sériového a paralelního zapojení: S: x = R ; y = R x + y = 5 + = x y, x + y = 5 y = 5 - x x + y = 5 6 + = 5 x 5 x 6 6.(5-x)+6.x = 5.x.(5-x) 30 6.x + 6.x = 5.x 5.x 5.x - 5.x + 30 = 0 x - 5.x + 6 = 0 9

Pro řešení této jednoduché normované kvadratické rovnice užijeme Vietovy vzorce: x + x = 5 x + x =6 ) x = y = 3 ) x = 3 y = R = 3 R =. Elektromotorické napětí zdroje je, V. Po připojení spotřebiče s odporem 5 Ω je svorkové napětí jen 0,6 V. Určete a) vnitřní odpor zdroje, b) proud procházející obvodem, c) načrtněte zatěžovací charakteristiku zdroje. U e =, V, R = 5Ω, U = 0, 6 V, R i =?, I =? Pro uzavřený obvod platí Ohmův zákon ve tvaru: I = U e R+R i U e - elektromotorické napětí nezatíženého zdroje, které někdy nazýváme napětí naprázdno a značíme U 0 R - odpor vnějšího obvodu (výraz U = R. I se nazývá tzv. svorkové napětí) R i - vnitřní odpor zdroje a) určení vnitřního odporu zdroje: I = U e R+R i R + R i = U e I R i = U e I R lepším vyjádřením je vztah: R i = U e R.I I = U e U I ; U = R. I I = U R je svorkové napětí R i = U e U U R = (U e U).R U Po dosazení: R i = (, 0,6).5 0,6 Ω = 4,7 Ω b) proud procházejícím obvodem: I = U R Po dosazení: I = 0,6 A = 0, A 5 c) Graf U = f (I); tzv. zatěžovací charakteristika zdroje: U U e rovnice této závislosti je: I = U e R+R i I. (R + R i ) = U e I. R + I. R i = U e U + I. R i = U e rovnice grafu U = U e R i. I - jedná se o lineární klesající funkci Stanovíme průsečíky s osami: P U I = 0 A U = U e R i. 0 = U e = U 0 I k I P I : U = 0 0 = U e R i. I I = U e R i ; tento proud se nazývá kritický (zkratový); R = O došlo ke zkratu, ke spojení pólů zdroje nakrátko 3. Jestliže k baterii s elektromotorickým napětím 4,5 V připojíme odpor o velikost Ω, bude jím procházet proud,5 A. Jaký proud bude procházet vodičem při spojení nakrátko? U e = 4, 5 V, R = Ω, I =, 5 A, I k =? V příkladu jsme vysvětlili, co je to kritický proud, známe Ohmův zákon pro uzavřený obvod stačí si 30

pohrát s rovnicemi: I k = U e R i R i = U e R.I I Po dosazení: I k = 4,5.,5 4,5.,5 I k = U e Ue R.I I A = 4,5 A I k = U e.i U e R.I Pozn. Odběr velkých proudů ze zdroje o malém vnitřním odporu může vést k poškození zdroje nebo vedení. Proto se do elektrických obvodů zařazují pojistky a jističe, které při překročení určité hodnoty proudu obvod přeruší. 4. Jaký je odpor vnější části vedení, je-li vnitřní odpor zdroje 0, Ω a elektromotorické napětí zdroje je, V. Voltmetr v obvodu ukazuje napětí V. Určete zkratový proud a maximálním výkon obvodu. R i = 0, Ω, U e =, V, U = V, R =?, I k =? Odpor vnější části vedení vypočítáme užitím známých vztahů: U I = e I = U U e = U U R+R i R R+R i R e. R = U. ( R + R i ) = U. R + U. R i U e. R- U. R = U. R i R. (U e - U ) = U. R i R = U.R i U e U Po dosazení: R =.0,, Ω = Ω Určíme zkratový proud: Z předcházejících příkladů už známe vzoreček I k = U e R i Po dosazení: I k =, A = 5,5 A 0, Jak určit maximální výkon obvodu? Výkon elektrického proudu ve spotřebiči je dán známým vztahem: P = U. I Z příkladu už známe rovnici zatěžovací charakteristiky zdroje: U = U e R i. I P = ( U e R i. I ). I P = U e. I R i. I jedná se o kvadratickou závislost výkonu na proudu. Grafem této závislosti je parabola otočená dolů, která nabývá své extrémní hodnoty P max ve vrcholu paraboly. Graf P = f ( I ): rovnice P = U e. I R i. I P Stanovíme průsečíky s osami: P I P = 0 A U e. I R i. I = ( U e R i. I ). I = 0 ) U e R i. I = 0 I = I k = U e R i ) I = 0 A P P : I = 0 P = 0 P I = P P = [0,0] P max Vrchol paraboly vždy leží uprostřed mezi průsečíky, to znamená, že bude-li mít proud hodnotu I = I k = U e.r i, bude mít výkon maximální hodnotu: P max = U e. I R i. I = U e. I k R i. ( I k ) = U e. U e R.R i. ( U e ) i.r i 0 I k I k I = U e U e.r i 4.R i P max = U e.r i Po dosazení: P max =,.0 W = 0,6 W 3

5. Ke zdroji o elektromotorickém napětí 5 V s vnitřním odporem 5 Ω je připojený rezistor s odporem 0 Ω. Ke svorkám zdroje napětí je paralelně připojený kondenzátor s kapacitou μf. Určete náboj na deskách kondenzátoru. R i = 5 Ω, U e = 5 V, R = 0 Ω, C = μf =. 0 6 F, Q =? R i = 5Ω R = 6Ω U e = 5V V I Pro kapacitu připojeného kondenzátoru platí: C = Q U Q = C. U Kondenzátor nabíjí připojený zdroj, který je ale zatížený, a proto napětí U je svorkovým napětím zdroje, pro které platí: U e U = R. I = R. R+R i Q = C. R. U e R+R i 5 Po dosazení: Q =. 0 6. 0. C = 0. 0+5 0 6 C = 0 μc 6. Dvě žárovky s příkonem 45 W a 5 W jsou paralelně připojeny ke zdroji napětí, kterým prochází proud 3 A. Určete proudy, které procházejí žárovkami. P = 45 W, P = 5 W, I = 3 A, I =?, I =? U U U P = 45 W I I P = 5 W Výkon elektrického proudu ve spotřebiči je dán známým vztahem: P = U. I Podle I.Kirchhoffova zákona pro proudy protékající jednotlivými žárovkami platí: I = I + I Napětí na těchto žárovkách je stejné: U = U = U P = U. I I = P P U = U. I I = P U I = I + I = P U + P U = P + P U U = P + P I Proud, protékající první žárovkou: I = P = P U P+P I Po dosazení: I = 45.3 A =,7 A 45+5 Proud, protékající první žárovkou: I = P = P U P+P Po dosazení: I = 5.3 45+5 A = 0,3 A I I = I = P.I P +P P.I P +P Proud I jsme už mohli počítat podle vztahu: I = I + I I = I I Po dosazení: I = (3,7)A = 0,3 A Aspoň máme jistotu! 3

7. Svíčka na vánoční stromeček má příkon 8,9 W a odpor 0 Ω. Kolik svíček můžeme sériově zapojit na napětí 0 V? P = 8 W, R = 0 Ω, U = 0 V, n =? Je zřejmé, že jsou-li svíčky zapojeny sériově, pak součet napětí na jednotlivých svíčkách je roven celkovému napětí U = 0 V. Jestliže si napětí na jedné svíčce označíme U 0 a předpokládáme, že vánoční osvětlení se obsahuje n svíček, pak platí: U = n. U 0 n = U U 0 Obrázek Pro příkon každé svíčky vánočního osvětlení platí: P = U 0 U U R 0 = P. R n = Po dosazení: n = 0 8.0 P.R = 7,4 8 8. Galvanometr má základní rozsah U G = 00 mv a I G = ma: a) Jaký rezistor R P je třeba galvanometru předřadit, jestliže ho chceme použít jako voltmetr s rozsahem 0 V? b) Jaký rezistor R B je třeba připojit ke galvanometru, chceme-li galvanometrem měřit proud do 0, A? U G = 00 mv = 0, V, I G = ma = 0 3 A, U V = 0 V, I A = 0, A, R P =?, R B =? Z laboratorních prací víme, že k měření napětí a proudu používáme univerzální měřicí přístroje, tzv. galvanometry. Ty můžeme použít jako voltmetr i jako ampérmetr. Jak je zapojit do obvodu všichni doufám umíte! Zároveň můžeme měnit rozsahy těchto měřících přístrojů. Jak to vlastně děláme? Ano, lupeme jakýmsi knoflíkem! Obrázek 3 A nyní si situaci vysvětlíme pomocí Kirchhoffových zákonů : R P U P R G U G a) Voltmetr zapojujeme paralelně ke spotřebiči, na němž měříme napětí. Abychom mohli zanedbat proud, který jím prochází, musí být vnitřní odpor voltmetru co největší. Chceme-li z galvanometru udělat voltmetr, je nutné, aby na samotném galvanometru bylo nejvýše jeho maximální napětí U G. To znamená, že musíme ke galvanometru zapojit do série předřadný odpor ( slangově balast ). Galvanometrem i předřadným odporem protéká stejný proud I G, pro který podle Ohmova zákona platí: I G = U G R G U V 33

Podle schématu zapojení platí: U V = U P + U G = R P I G + R G I G = R P U G R G + U G R P = R G U G (U V U G ) R P = R G. ( U V U G ) Co vyjadřuje výraz n = U V U G? Kolikrát chceme změnit rozsah měřicího přístroje!!! Závěr: Měřicí rozsah voltmetru zvětšujeme předřadným odporem ( balastem ). Velikost tohoto předřadného rezistoru vypočteme ze vztahu: R P = ( n )R V My neznáme odpor voltmetru, proto musíme pokračovat v úpravách: R P = R G. ( U V ) = U G. ( U V ) = U G. U V U G R U G I G U G I G U P = U V U G G I G Po dosazení: R P = 0 0, Ω = 9 800 Ω 0,00 b) Ampérmetr se zapojuje do série se spotřebičem, u něhož chceme měřit procházející proud. Aby na ampérmetru vznikalo jen zanedbatelné napětí, musí být jeho odpor co nejmenší. Chceme-li z galvanometru udělat ampérmetr, musí samotným galvanometrem protékat nejvýše proud I G. musíme ke galvanometru zapojit paralelně rezistor o odporu R B tzv. bočník ( slangově šunt). Na galvanometru i bočníku je stejné napětí U G. Chceme-li změnit rozsah ampérmetru na I A, platí: R I A = I G + I B = I G + U G = I R G + R GI G B R B R G I G R B = I A I G R B = R G I G I A I G. I G I G = U G I G I A I G = R G n I A I B R B Chceme-li zvětšit měřicí rozsah ampérmetru, připojíme paralelně k měřicímu přístroji rezistor (bočník). Pro odpor bočníku platí: I G G R B = R G n v úpravách: n = I A I G U G ; R G = U G I G R B = U G I G I A I G = Po dosazení: R B = 0, Ω =,0 Ω 0, 0,00 My neznáme odpor ampérmetru, proto musíme pokračovat U G I G I A I G I G R B = UG I A I G 9. Miliampérmetr se stupnicí do 5 ma má vnitřní odpor 5 Ω. Jak je třeba k přístroji připojit rezistor a jaký odpor musí mít tento rezistor, abychom mohli tímto přístrojem měřit: a) proudy do 0,5 A, b) napětí do 50 V. 34

R G = 5 Ω, I G = 5 ma = 0, 05 A, I A = 0, 5 A, U V = 50 V, R B =? R P =? Teorii k vyřešení tohoto příkladu už známe z příkladu 8. Doufám, že jste ji pořádně pochopili a samotné řešení příkladu tak bude hračka! a) ke galvanometru musíme připojit paralelně bočník R B, pro jehož velikost platí: R B = R G n R B = R G n R B = R G I A I G Obrázek 4 Po dosazení: R B = 5 0,5 0,05 Ω = 0,56 Ω a) ke galvanometru musíme připojit sériově předřadný odpor R P, pro jehož velikost platí: R P = R G. ( n ) R P = R G. ( n ) R G. ( U V U G ) R P = R G. ( U V R G I G ) Po dosazení: R P = 5. ( 50 5.0,05 ) Ω = 9 995 Ω 0. Řešte elektrickou síť Určete, jaké proudy procházejí jednotlivými rezistory (jaký mají směr a velikost). U e = 0 V U e =. U e K řešení příkladu použijeme opět Kirchhoffovy zákony: R = 0Ω R = 30Ω R R 3 = 0Ω 30Ω U e I. KZ: Algebraický součet proudů v uzlu je roven nule. i=n I i = 0 i= II. KZ: Algebraický součet úbytků napětí na spotřebičích se v uzavřené části obvodu (smyčce) rovná algebraickému součtu elektromotorických napětí zdrojů ve i=n i=n smyčce. i= R i I i = i= U ei Slovíčko algebraický znamená, že vkládané hodnoty mají svá znaménka podle uvedeného postupu:. V elektrické síti vyznačíme směry elektromotorických napětí zdrojů. Je to pevně dáno! Ve směru rostoucího potenciálu od plus k mínus! ( zelené šipky ). U jednoho uzlu zakreslíme libovolně jednotlivé proudy a jejich směry. 3. Zvolíme si potřebný počet jednoduchých obvodů ( smyčky) a jejich směr obíhání ( modré šipky). 4. Napíšeme soustavu rovnic podle KZ. I. KZ: Algebraický součet proudů v uzlu je roven nule Proudy, které jdou do uzlu, budou mít v rovnicích znaménko +, proudy, které jdou z uzlu, budou mít v rovnicích znaménko -. To, že jsme směry volili dobře, nebo špatně, ukáže výsledek. Pokud vyjde velikost proudu se záporným znaménkem, má proud opačný směr, než který jsme si zvolili. 35

II. KZ: Algebraický součet úbytků napětí na spotřebičích se v uzavřené části obvodu (smyčce) rovná algebraickému součtu elektromotorických napětí zdrojů ve U e =. U e smyčce. Tam, kde směr zdroje souhlasí se směrem obíhání ve R = 0Ω smyčce, bude mít U e kladné znaménko, tam, kde nesouhlasí, záporné znaménko. I Tam, kde směr proudu procházejícího rezistorem souhlasí I U e se směrem obíhání ve smyčce, bude mít R i I i kladné R = 30Ω znaménko, tam, kde nesouhlasí, záporné znaménko. I 3 R R 3 = 0Ω 30Ω 30. I + 0. I 3 = 0 Sestavíme rovnice podle návodu : I + I I 3 = 0 0. I 30. I = 0 40 A nyní jen stačí tuto soustavu tří rovnic o třech neznámých vyřešit. Můžeme použít různé postupy. Nejjednodušší je zredukovat soustavu na soustavu dvou rovnic o dvou neznámých tak, že sečteme dvě a dvě rovnice a vyloučíme při tom stejnou proměnnou. Z matematiky jsme zvyklí na proměnné x,y,z je docela dobré zavést substituci S: x = I y = I z = I 3 x + y - z = 0 0x 30y = -60 30y + 0z = 0 x + y - z = 0 x 3y = -6 3y + z = 5 x - 3z = -6 x + z = 5 x - 3z = -6 x + z = 8x = -3 x = - 3 8 A = - 0,375 A x + z = - 3 + z = z = A =,375 A 8 8 x + y - z = 0-3 + y - = 0 y = 4 A = 7 A =,75 A 8 8 8 4 Zpět do substituce: x = I = - 3 8 A = - 0,375 A, y = I = 7 4 A =,75 A, z = I 3 = 8 A =,375 A Velikost proudů v jednotlivých větvích známe. Podle znamének vidíme, že proud I jde z uzlu, protože má záporné znaménko. Můžeme si zkontrolovat, jestli jsme počítali správně! Stačí dosadit do I. KZ: 0,375 +,75,375 = 0 Vyšlo nám to. Jsme dobří!!! 36

Pro počet procent přidaného india logicky platí: p = m In m Ge ; m In udává hmotnost India v daném objemu V, m Ge pak hmotnost germania o objemu V Pro tyto fyzikální veličiny platí: m In = N In,V.V. m 0 = N In,V.V. A r,in. m u m Ge = ρ Ge. V p = m In = N In,V.V.A r,in.m u m Ge ρ Ge.V p = N In,V. A r,in. m u ρ Ge Po dosazení: p = 0.4,8.,66.0 7 35,96. 0 8 = 35,96. 0 6. 0 = 35,96. 0 6 % 5,3.0 3 Hmotnost india v daném objemu činí 35,96. 0 6 %. Pozn. polovodičové součástky jsou srdcem mikroelektronické revoluce, která tak výrazně ovlivňuje náš život. Stačí malé množství příměsi! 3. Termistor má při teplotě 0 C odpor 50 kω a při teplotě 5 C se jeho odpor zmenšil na 4,5 kω. Určete hodnotu teplotního součinitele odporu v tomto intervalu teplot. t 0 = 0 C, R 0 = 50 kω, t = 5 C, R = 4, 5 kω, α =? R 0 0 C 5 C t Termistor je nejjednodušší polovodičová součástka. Je to teplotně závislý rezistor, vyrobený z oxidů kovů (např. Mn, Fe, Co, Ni ). Termistory se vyrábějí ve tvaru tyčinek, destiček nebo perliček, které jsou opatřeny dvěma vývody. Změna odporu závisí na materiálu, z něhož je termistor vyroben. Tuto závislost charakterizuje tzv. teplotní součinitel elektrického odporu α.s rostoucí teplotou se odpor termistoru rychle zmenšuje a proud v obvodu roste. Termistory se využívají pro měření a regulaci teploty, pro stabilizaci elektrických obvodů aj. Pro závislost termistoru na teplotě platí: R = R 0. ( + α.δt ) kde Δt= t t 0 ; z minulých kapitol už víme, že Δt= ΔT + α.δt = R, α.δt = R α. Δt = R R 0 α = R R 0 R 0 R 0 R 0 R 0.ΔT Jednotky odporu nemusíme převádět; vykrátí se! Po dosazení: α = 4,5kΩ 50kΩ 50kΩ.5K = 0,03 K Teplotní součinitel odporu má hodnotu α = 0,03 K. 4. Střední hodnota teplotního součinitele odporu termistoru má hodnotu α = 0,05 K. O kolik se musí zvýšit teplota termistoru, aby se jeho odpor zmenšil na polovinu? α = 0, 05 K, R t = R t0, Δt = t t 0= ΔT Pro závislost termistoru na teplotě platí: 38

R t = R t0. ( + α.δt ), kde Δt= t t 0 + α.δt = R t R t0 α.δt = R t Δt = R t0 R t R t0 α Δt = R t R t0 R t0.α Obrázek 6 Po dosazení: Δt = R t0 R t0 = R t0.r t0 = R t0 = R t0.α.r t0.α.r t0.α =.α.( 0,05 ) C = 0 C Teplota termistoru se musí zvýšit o 0 C. 5. Ke zdroji o napětí 0 V je do série zapojen termistor a rezistor o odporu kω. Při teplotě 0 C jsme ampérmetrem naměřili v obvodu hodnotu proudu 5 ma. Po ponoření termistoru do teplé vody se proud v obvodu zvětšil na 0 ma. Jaká je teplota vody, jestliže při vztažné teplotě 0 C je střední hodnota teplotního součinitele odporu -0,04 K -? U e = 0 V, t 0 = 0 C, R = kω = 0 3 Ω, t = 0 C, I 0 = 5 ma = 5. 0 3 A, I = 0 ma = 0 A, α = 0, 04 K, t =? U e = 0 V U e = 0 V A 5 ma R A 0 ma R Termistor je do obvodu připojen sériově, proto celkový odpor obvodu bude roven součtu odporu rezistoru a termistoru R + R t Z Ohmova zákona platí: ) U e = ( R + R t0 ). I 0 R + R t0 = U e I 0 R t0 = U e - R I 0 ) U e = ( R + R t ). I R + R t = U e I Pro závislost termistoru na teplotě platí: R t = U e I - R R t = R t0. ( + α.δt ), kde Δt = t t 0 ; z minulých kapitol už víme, že Δt= ΔT + α.δt = R t R t0 α.δt = R t R t0 t t 0 = pro měnící se odpor termistoru: R t R t0 α = R t R t0 R t0.α t = R t R t0 + t R t0.α 0 ; nyní dosadíme vztahy 39

t = R t R t0 R t0. α + t 0 = U e I R U e + R I 0 ( U + t 0 t = e R). α I 0 U e I ( U e I 0 U e I 0 + t 0 R). α Po dosazení: t = 0 0 0 5. 0 3 ( 0 + 0 6,7 + 0 = 36,7 C 5. 0 3 03 ). ( 0,04) Termistor je ponořený do vody o teplotě 36,7 C. 6. Napětí na termistoru má stálou hodnotu U = 4,5 V. Při teplotě t = 0 0 C prochází termistorem proud I = 9 ma, při teplotě t = 0 C proud I = 0 ma. Určete velikosti odporu termistoru při těchto teplotách a také teplotní součinitel odporu α. U = 4, 5 V, t = 0 C, I = 9 ma = 9. 0 3 A, t = C, I = 0 ma = 0 A, R, R, α =? Tato úloha je jednoduchá. Veškerá teorie potřebná k jejímu vyřešení už byla probrána v předcházejících příkladech. Pro odpor termistoru platí: R = U R I = U I R = R. ( + α.δt ) = R. [ + α. ( t t )] [ + α. ( t t )] = R α. ( t t ) = R R α = Po dosazení: 4,5 R R t t α = R = = 9.0 3 0,5.03 Ω = 500 Ω R = 450 500 α = 500.( 0) K = 0,05 K R R R.( t t ) 4,5 0 Ω = 450 Ω Odpory termistoru při daných teplotách mají hodnotu 500 Ω a 500 Ω. Teplotní součinitel α = 0,05 K. R 7. V elektrickém obvodu je zapojen rezistor o odporu 0 Ω a polovodičová křemíková dioda v propustném směru. Na obrázku je zakreslena voltampérová charakteristika diody. a) Nakreslete elektrický obvod včetně ampérmetru a voltmetru, který je připojen pouze na diodu. b) Jaký údaj bude na voltmetru, jestliže ampérmetr ukazuje 50 ma? c) Určete napětí na rezistoru a svorkové napětí baterie. R = 0 Ω, I = 50 ma = 5. 0 A, U D, U R, U =? a) R=0 Ω V A I ma 50 40 0,8 U V b) Proud diodou není přímo úměrný napětí, tj. neplatí Ohmův zákon. Velikost napětí na diodě při známém

proudu musíme odečíst z grafu. Protože voltmetr je ideální, tak celým obvodem protéká stejný proud. Ampérmetr tedy skutečně ukazuje hodnotu proudu diodou, baterií i rezistorem. Z voltampérové charakteristiky zjistíme, že proud procházející diodou I D =50 ma odpovídá napětí na diodě U D = 0,8 V Obrázek 7 c) Rezistorem i diodou protéká stejný proud. Pro velikost úbytku napětí na rezistoru platí Ohmův zákon: U R = R. I Po dosazení : U R = 0. 5.0 V =,5 V Svorkové napětí je rovno součtu napětí na rezistoru a diodě U = U R + U D Z voltampérové charakteristiky diody už jsme v části b) zjistili, že proudu I D =50mA odpovídá napětí na diodě U D = 0,8 V Po dosazení : U = (,5 + 0,8)V = 3,3 V Na diodě bude napětí 0,8 V, na rezistoru bude napětí,5 V a svorkové napětí má hodnotu 3,3 V. 8. Tranzistorem, který pracuje v zapojení se společným emitorem, procházejí proudy I B = 0 μa, I C = ma. Napětí mezi bází a emitorem je U BE = 0,7 V, napětí mezi kolektorem a emitorem je U CE =0 V. Vypočítejte výkony v obou zdrojích a porovnejte je. I B = 0 μa =. 0 5 A, I C = ma =. 0 3 A, U BE = 0, 7 V, U CE = 0 V, P, P =? Obrázek 8 Obrázek 9 Musíme samozřejmě předpokládat, že nedochází ke ztrátám energie; tzn. platí zákon zachování energie Pro výkon v obou zdrojích pak platí: P B = U BE. I B Po dosazení: P B = 0,7..0 5 W =,4. 0 5 W = 4. 0 6 W = 4 μw P C = U CE. I C Po dosazení: P C = 0..0 3 W = 40. 0 3 W = 40 mw A nyní porovnáme oba výkony: P C 40.0 3 = P = 857 P B 4.0 6 C = 857 P B 4

Pozn: Při zapojení tranzistoru se společným emitorem prochází obvodem báze malý proud, který je příčinou vzniku mnohem většího proudu v kolektorovém obvodu. Nastal tzv. tranzistorový jev. Tranzistor je zapojený jako zesilovač. Pomocí obvodu s malým proudem a výkonem tedy ovládáme větší proud a výkon v obvodu kolektorovém. V elektrických obvodech může být tranzistor zapojen třemi základními způsoby. Podle elektrody, která je společná pro vstupní i výstupní obvod, se rozlišuje zapojení se společným emitorem, společnou bází a společným kolektorem. Zapojení tranzistoru se společnou bází výrazně zesiluje napětí a nepatrně zeslabuje proud. Zesiluje tedy výkon. Díky zesilování napětí i proudu se při zapojení tranzistoru se společným emitorem zesiluje výkon více než v zapojení se společnou bází. Proto je zapojení se společným emitorem výhodnější a více používané. 9. Tranzistor, který pracuje se společným emitorem, má bázový proud I B = 30 μa, kolektorový I C = ma. Určitě kolektorový proud I C při proudu báze I B = 00 μa, pokud proudový zesilovací činitel je β = 60. I B = 30 μa = 3. 0 5 A, I C = ma =. 0 3 A, I B = 00 μa = 0 4 A, β = 60, I C =? Při činnosti tranzistoru dochází k zesílení proudu. Tomu odpovídá základní použití tranzistoru jako zesilovače v elektronických zařízeních. Základním parametrem je pak proudový zesilovací činitel β, který vystihuje zesilovací funkci tranzistoru a je definován vztahem: Odtud můžeme určit I C : β = ΔI C ΔI B ; U CB = konst. β = ΔI C ΔI B = I C I C I B I B I C I C = β. (I B I B ) I C = β. (I B I B ) + I C Po dosazení: I C = (60. (0 4 3.0 5 ) +.0 3 )A = 6,. 0 3 A = 6, ma Kolektorový proud má hodnotu 6, ma. Pozn. Tranzistory se v elektronice používají nejen jako jednotlivé součástky, ale jsou funkčními prvky integrovaných obvodů. První integrovaný obvod zkonstruoval Jack St Clair Kilby z firmy Texas Instruments již v roce 958. V roce 966 sestrojil také první kapesní kalkulačku založenou na integrovaném obvodu umějícím sčítat, odčítat, násobit a dělit. V roce 000 získal Nobelovu cenu za fyziku. Obrázek 0 0. Jaký elektrický proud procházel elektrolytem, když měděná katoda vážila před měřením 30 g a po měření, které trvalo 40 minut, 34 g? m 0 = 30 g = 3. 0 kg, m = 34 g = 3, 4. 0 kg, t = 40 min = 400 s, I =? Elektrolyty jsou kapaliny (roztoky kyselin, zásad a solí), které vedou elektrický proud. 4

Vodivost elektrolytu způsobují kladné a záporné ionty, uváděné do pohybu elektrickým polem, které vzniká mezi elektrodami. Ty jsou ponořené do elektrolytu a připojené ke zdroji stejnosměrného napětí. Kladná elektroda se nazývá anoda, záporná katoda. Elektrolytická disociace je děj, při kterém nastává rozpad látky na ionty. Elektrolýza je jev, kdy průchodem proudu elektrolytem dochází na elektrodách k látkovým změnám. A Pokus k našemu příkladu jste určitě viděli v hodinách fyziky: Do nádoby s roztokem síranu měďnatého (modrá skalice) ponoříme uhlíkovou katodu a měděnou anodu. Kationty mědi Cu + přijímají na katodě dva elektrony a vylučují se jako neutrální atomy. Anionty SO 4 reagují s materiálem anody a vytvářejí nové molekuly CuSO 4. Z anody přechází do roztoku právě tolik atomů mědi, kolik se jich vyloučí na katodě. Koncentrace roztoku se nemění. V pokusu jsme viděli, že černá uhlíková katoda se po určitém čase pokryla vrstvičkou mědi. Zároveň ubývá materiálu anody, což samozřejmě nemůžeme za tak krátký čas vidět! Pro vyřešení našeho příkladu použijeme I. Faradayův zákon: Hmotnost m látky vyloučené na katodě při elektrolýze, je přímo úměrná náboji Q, který prošel elektrolytem. Matematický zápis: m = A. Q = A. I. t Konstanta úměrnosti A se nazývá elektrochemický ekvivalent; je pro danou látku charakteristická a najdeme ji v MFCH tabulkách. A Cu = 0,39. 0 6 kg. C Δm = m m 0 = A. Q = A. I. t I = m m 0 A. t Po dosazení: I = 3,4.0 3.0 A = 5,065 A 0,39.0 6.400 Elektrolytem procházel proud 5,065 A.. Elektrolytem CuSO 4 prochází proud A. Kolik atomů mědi se vyloučí na katodě za 0 sekund? I =, A, t = 0 s, A Cu = 0, 39. 0 6 kg. C, N =? Z předcházejícího příkladu víme, že kationty mědi Cu + přijímají na uhlíkové katodě dva elektrony a vylučují se jako neutrální atomy. Při výpočtu musíme zabrousit do molekulové fyziky: Z I. Faradayova zákona víme, že hmotnost m látky, vyloučené na katodě při elektrolýze, je přímo úměrná náboji Q, který prošel elektrolytem m = A. Q = A. I. t Pro hmotnost m platí: m = N. m 0 kde N je počet atomů mědi vyloučených na katodě, m 0 je hmotnost jednoho atomu mědi, kterou zjistíme právě pomocí molárních veličin: m 0 = M m = M r.0 3 ; M N A N m = M r. 0 3 je molární hmotnost, N A Avogadrova konstanta, která udává počet částic A v jednom molu. Tyto dvě konstanty opět zjistíme z MFCH tabulek: N A = 6,0. 0 3 mol, M m = 63,546. 0 3 kg. mol m = A. I. t N. M m = A. I. t N = N A. A. I. t N A M m 43

Po dosazení: N = 6,0.03. 0,39.0 6.,. 0 = 7,48. 0 9 Na katodě se vyloučí 7,48. 0 9 atomů 63,546.0. 3 mědi. Určete: a) Množství hliníku, který se vyloučí při elektrolýze na katodě za den proudem 5 ka? b) Jakým proudem by se vyloučil z elektrolytu chrom s hmotností 5 g za hodinu? a) I = 5 ka = 5. 0 3 A, t = 4 hod = 4. 3600 s, A Al = 0, 093. 0 6 kg. C, m =? b) m = 5 g = 5. 0 3 kg, t = hod = 3600 s, A Cr = 0, 8. 0 6 kg. C, I =? Elektrolýza má široké technické využití při galvanickém pokovování, galvanickém leptání i v metalurgii; např. při výrobě hliníku. a) m = A. I. t Po dosazení: m = 0,093. 0 6. 5.0 3. 4.3600 kg = 40,76 kg Na elektrodě se vyloučí asi 40 kg hliníku. Obrázek b) m = A. I. t I = m Po dosazení: I = A. t 5.0 3 0,8.0 6. 3600 = 3,48 A 3 A Uvedené množství chromu se vyloučí na elektrodě proudem 3 A. 3. Koule o poloměru 7 cm má být poniklovaná vrstvou tloušťky 0,3 mm. Jak dlouho je třeba ponechat kouli v elektrolytu při proudu A? r = 7 cm = 7. 0 m, d = 0, 3 mm = 3. 0 5 m, I = A, A Ni = 0, 304. 0 6 kg. C, t =? Při výpočtu předpokládáme, že kulová vrstva o tak malé tloušťce svou tloušťku nemění m = ρ. V = ρ. S. d = ρ. 4. π. r. d S = 4. π. r. povrch koule ρ hustota niklu z MFCH tabulek ρ Ni = 8,8. 0 3 kg. m 3 Z I. Faradayova zákona víme, že m = A. Q = A. I. t A. I. t = ρ. 4. π. r. d t = ρ.4.π.r.d A. I Po dosazení: t = 8,8. 03.4. π.(7.0 ). 3.0 5 0,304.0 6. Poniklování koule trvá asi 64 hod 0 min. s = 3 599 s 64 hod 0 min 4. Jakou energii potřebujeme, abychom při elektrolýze síranu měďnatého CuSO 4 získali měď o hmotnosti g, jestliže elektrolýza probíhá při napětí 3 V? m = g =. 0 3 kg, U = 3 V, A Cu = 0, 39. 0 6 kg. C, E =? Z I. Faradayova zákona víme: m = A. Q = A. I. t 44

Pro práci elektrického proudu platí: W = E = U. I. t V uvedených vzorcích neznáme ani proud I, ani čas t! S tím si lehce poradíme! druhou rovnici vydělíme první rovnicí: E m Po dosazení: E = 3..0 3 0,39.0 = U.I.t A.I.t E = U.m A 6 J = 8 37,08 J 8, kj Na získání g mědi potřebujeme energii 8, kj. 5. Určete elektrochemický ekvivalent hliníku a mědi. Al: M m = 6, 98. 0 3 kg. mol, z Al = 3 Cu: M m = 63, 546. 0 3 kg. mol, z Cu = Elektrolýzu popisuje ještě II. Faradayův zákon. Ten vlastně vysvětluje význam elektrochemického ekvivalentu A, který vystupuje v I. Faradayově zákoně m = A. Q = A. I. t Je ale žádoucí, abyste mu také rozuměli! Nechcete se přece jen učit vzorečky! V příkladu 0 jsme popsali, jak probíhá elektrolýza v případě síranu měďnatého. Ke katodě se pohybují kladně dvojmocné ionty mědi Cu + m = A. Q A = m Q Hmotnost vyloučené mědi popisuje příklad : m = N. m 0 m 0 = M m = M r.0 3 ; M N A N m = M r. 0 3 je molární hmotnost, N A Avogadrova konstanta, která udává počet částic A v jednom molu. m = N. M r.0 3 N A Náboj přenesený při elektrolýze: Každý kationt mědi nese náboj +e; kde e =,6.0 9 C je elementární náboj (kladně dvojmocný iont má v obalu o dva elektrony méně, než je počet protonů v jádře). Některý iont je dvojmocný, některý trojmocný Tato vlastnost se udává jako mocenství; valence Značí se v různé literatuře různě použijeme značku z. Obecně N iontů přenese při elektrolýze náboj: Q = N.z.e A = N.Mr.0 3 N A N.z.e = M r.0 3 N A.z.e = M r.0 3 F.z A = M r.0 3 F.z = M m F.z F = N A. e = 6,0. 0 3 mol.,6.0 9 C = 9,65. 0 4 C. mol je Faradayova konstanta Uvedený vztah představuje matematický zápis II. Faradayova zákona, který se slovně dá vyjádřit větou: Látková množství různých látek vyloučených při elektrolýze týmž nábojem jsou chemicky ekvivalentní. (A to nám, fyzikům, moc neříká! ) Teď už tomu všemu rozumíme a příklad vyřešíme prostým dosazením do II. Faradayova zákona: A Al = 6,98.0 3 9,65.0 4. 3 kg. C = 9,3. 0 8 kg. C = 0,093. 0 6 kg. C A Cu = 63,546.0 3 9,65.0 4. kg. C = 3,9. 0 7 kg. C = 0,39. 0 6 kg. C 45

Tyto údaje souhlasí s MFCHT tabulkami; už jsme je používali v předcházejících příkladech. 6. Akumulátorová baterie se nabíjela proudem 60 A po dobu 5 h a vybíjela proudem 5 A po dobu 0 h. Jak velká je kapacita baterie a její nábojová účinnost? I = 60 A, t = 5 h, I = 5 A, t = 0 h, Q =?, η Q =? Akumulátor je sekundární zdroj elektrické energie. Stává se zdrojem až po předchozím nabití. Kapacita akumulátoru je určena celkovým nábojem, který může akumulátor vydat při vybíjení Q = I. t Po dosazení: Q = 5.0 A. h = 50 A. h Nábojová účinnost akumulátoru je definována jako poměr náboje vydaného při vybíjení a náboje přijatého při nabíjení. Obrázek Po dosazení: η Q = 5.0 60. 5 = 0, 833 = 83, 3% η Q = Q Q = I.t I.t Akumulátor má kapacitu 50 A. h a nábojovou účinnost 83,3%. 7. Určete intenzitu elektrického pole E potřebnou k ionizaci nárazem elektronu ve vzduchu (E i = 5 ev) při normálním tlaku. Volná dráha elektronu je d = 3.0-6 m. E i = 5 ev, d = 3. 0 6 m, E =? Za běžných okolností jsou plyny velmi dobrými izolanty a jejich elektrická vodivost je zanedbatelná. Elektricky vodivými se stanou ionizací, kdy se z původně neutrálního atomu uvolní elektron, a vznikne tak kladný iont a záporný elektron, který může být dále zachycen neutrálním atomem a vznikne iont záporný. Ionizační energie E i je rovna práci, potřebné k této ionizaci: E i = W = Q. U [E i ] = C. V = J Co představuje jednotka ev? ev =,6.0 9 C. V =,6. 0 9 J Obrázek 3 Po dosazení: E = 5.,6.0 9 E = F e e =,6.0 9.3.0 6 V. m = 5. 0 6 V. m Intenzita elektrického pole je 5. 0 6 V. m. E i d e E = E i e. d 46

8. Mezi zemí a mrakem vznikl výboj ve formě blesku, při kterém byl přenesen náboj 0 C. Rozdíl potenciálů mezi mrakem a zemí byl 0 6 V. Blesk trval 0-3 s. Určete energii výboje a střední hodnotu vzniklého proudu. Q = 0 C, U = φ Z φ m = 0 6 V, t = 0 3 s, E v =?, I =? Použijeme známý vztah z elektřiny: Po dosazení: E v = 0 6. 0 J = 0 MJ E v = U. Q Energii výboje lze také určit ze vztahu: E v = U. Q = U. I. t I = E v Po dosazení: I = 0.0 6 0 6. 0 3 A = 0.03 A = 0 ka U.t Obrázek 4 Energie výboje je 0 MJ a střední hodnota proudu 0 ka. 9. Ve vzduchu je umístěna kovová koule o poloměru r = 3 cm. Na jaký potenciál je možné nabít kouli, pokud intenzita elektrického pole, při které ve vzduchu nastává samostatný výboj, má velikost 3 MV.m -? r = 3cm = 3. 0 m, E = 3 MV. m = 3. 0 6 V. m, φ =? Pro potenciál kulového vodiče platí: φ = k. Q r ; k 9. 0 9 N. m. kg Náboj koule zjistíme ze vztahu pro intenzitu elektrického pole na povrchu koule: E = k. Q E. r r Q = k φ = k. Q E. r = k. k φ = E. r r r Po dosazení: φ = 3. 0 6.3. 0 V = 9. 0 4 V = 90. 0 3 V = 90 kv Kovovou kouli můžeme nabít na potenciál 90 kv. 0. Jakou rychlost získá elektron při dopadu na anodu vyčerpané trubice, pokud je napětí mezi anodou a katodou 3 kv a počáteční rychlost elektronu je nulová? U = 3 kv = 3. 0 3 V, m e = 9,. 0 3 kg, v =? Elektron získá na cestě k anodě takovou kinetickou energii, která je rovna práci elektrického pole. Pro kinetickou energii elektronu platí vztah: E k =. m e. v m e = 9,. 0 3 kg. Práce elektrického pole je dána vztahem: E = e. U. m e. v = e. U v =.e.u m e Obrázek 5 47

Vodič svírá se směrem indukčních čar úhel α = 4 37. 3. Vodič, kterým prochází proud A a který má obsah příčného řezu S = mm, se pohybuje v homogenním magnetickém poli se stálým zrychlením 4 m. s kolmo na směr indukčních čar. Hustota látky vodiče je 700 kg. m 3. Určete velikost magnetické indukce. I = A, S = mm =. 0 6 m, a = 4 m. s, ρ = 700 kg. m 3, B =? Síla, která způsobuje pohyb vodiče s daným zrychlením, je síla magnetická: Pokud by vše hrálo jako v příkladu., pohyboval by se vodič za nákresnu. Podle druhého Newtonova pohybového zákona síly platí: F m = B. I. l F v = m. a F m = F m B. I. l = m. a B = m. a I. l Pro neznámou hmotnost vodiče použijeme známý vztah: m = ρ. V = ρ. S. l B = ρ. S. l. a ρ. S. a B = Po dosazení: B = 700..0 6. 4 Vektor magnetické indukce má velikost 5,4 mt. I. l T = 5,4. 0 3 T = 5,4 mt I 4. Přímý hliníkový vodič, který leží rovnoběžně s povrchem Země, má délku 80 cm a prochází jím proud 5 A ve směru od západu k východu. Vodič se nachází v magnetickém poli Země v místě, kde je magnetická indukce rovnoběžná s povrchem Země a směřuje na sever. Její velikost je 5 0 5 T. Určete: a) velikost a směr magnetické síly působící na vodič s proudem, b) velikost elektrického proudu vodičem o hmotnosti 0 g, který by způsoboval vznášení vodiče v tíhovém poli. F m l = 80 cm = 0, 8 m, I = 5 A, B = 5. 0 5 m, m = 0 g =. 0 kg, F m =?, I x =? B F G I a) Na vodič s proudem, který se nachází v magnetickém poli, působí magnetická síla o velikosti F m = B. I. l Po dosazení: F m = 5. 0 5. 5. 0,8 N = 6. 0 4 N = 0,6 mn Směr vektoru magnetické síly určíme opět pomocí Flemingova pravidla levé ruky. Magnetická síla je kolmá na vektor magnetické indukce a na vodič s proudem a směřuje nahoru. To znamená, že mírně nadlehčuje vodič. b) Aby se mohl vodič s proudem nadnášet v tíhovém poli Země, musí být magnetická síla z a) aspoň tak velká, jako tíhová síla působící na vodič v tíhovém poli Země. F m = F G B. I. l = m. g I = m. g B. l Po dosazení: I =. 0. 0 A = 5 000A = 5 ka 5.0 5. 0,8 Pozn. Pokud by vodičem procházel elektrický proud v opačném směru, tedy od východu na západ, magnetická síla působící na vodič s proudem by měla opačný směr, směřovala by dolů. Vodič by se v tíhovém poli nenadnášel, ale byl by naopak přitlačen směrem dolů. 49

5. V homogenním magnetickém poli o magnetické indukci 0,5 T leží na vodorovné nevodivé rovinné podložce pevný vodivý závit ve tvaru obdélníka. Indukční čáry magnetického pole jsou rovnoběžné s jeho kratší stranou. Rozměr závitu jsou 7 cm a 4 cm. Jaký minimální proud musí procházet závitem, aby se začal otáčet kolem delší strany?. Jak velký je moment dvojice magnetických sil, jestliže elektrický proud má velikost 3 A? B = 0, 5 T, a = 7 cm = 7. 0 m, b = 4 cm = 4. 0 m, I = 3 A, D =? a F m b B F m b B Z minulých příkladů víme, že na delší stranu závitu působí magnetická síla o velikosti: F m = B. I. l = B. I. a Směr vektoru magnetické síly určíme opět pomocí Flemingova pravidla levé ruky viz obrázek na závit působí dvojice sil s ramenem dvojice sil b (na kratší stranu závitu magnetická síla nepůsobí). moment dvojice těchto sil má velikost: D = F m. b = B. I. a. b Po dosazení: D = 0,5.3.7. 0.4. 0 N. m = 4. 0 4 N. m = 4, mn. m Na závit působí moment dvojice sil o velikosti 4, mn. m. 6. Vodič o délce l = 80 cm a hmotnosti m = 0,6 kg je zavěšen na dvou tenkých závěsných vodičích a je umístěn v homogenním magnetickém poli, jehož indukční čáry mají směr svisle nahoru. Určitě úhel α, o který se závěsné vodiče odchýlí od svislého směru, jestliže vodičem prochází proud I = A a B = T. l = 80 cm = 0, 8 m, m = 0, 6 kg, I = A, B = T Na vodič s proudem I, který směřuje za nákresnu, působí magnetická síla F m = B. I. l, která způsobí jeho vychýlení od svislého směru o úhel α ( viz FPLR ). Na vodič působí svisle dolů také tíhová síla o velikosti α F G = m. g Protože je vodič po vychýlení v klidu, má výslednice těchto sil směr prodloužení závěsu a podle obrázku platí: B I F m tgα = F m F G = B. I. l m. g I F G α Po dosazení: tgα =..0,8 = α = 45 0,6.0 Vodič se vychýlí od svislého směru o 45 50

7. Mějme dva nekonečné rovnoběžné vodiče, kterými prochází proudy A a A stejným směrem. Vodiče jsou ve vzdálenosti 6 cm. Určete geometrické místo všech bodů, ve kterých je celková magnetická indukce nulová. d I I B I = A, I = A, d = 6 cm, x =? Magnetická pole kolem vodičů s proudem jsou charakterizovaná pomocí magnetických indukčních čar, které leží v rovině kolmé k vodiči, mají tvar soustředných kružnic a jejich směr je dán x B d -x Ampérovým pravidlem pravé ruky (APPR) : Vodič s proudem uchopím do pravé ruky tak, aby palec ukazoval směr proudu; zahnuté prsty ukazují směr vektoru magnetické indukce. Protože vodiči prochází stejně orientované proudy, mají vektory magnetických indukcí od obou vodičů opačný směr. Pokud chceme najít místo mezi vodiči, kde je výsledná magnetická indukce nulová, musíme najít bod, ve kterém se velikosti vektorů magnetických indukcí od jednotlivých vodičů rovnají. B = B Za velikosti vektorů magnetických indukcí dosadíme vztah pro velikost vektoru magnetické indukce dlouhého přímého vodiče s proudem: B = μ 0 π. I d kde I je velikost proudu procházejícím ve vodič, d je vzdálenost bodu, ve kterém určujeme velikost vektoru magnetické indukce od vodiče a μ 0 = 4. π. 0 7 T. m. A je permeabilita vakua. Pokud není určena permeabilita prostředí, předpokládáme, že je vodič ve vakuu ( vzduchu ). V daném prostředí by platilo: B = μ π. I d = μ 0.μ r π. I d μ r najdeme pro dané prostředí v MFCH tabulkách. Označme bodu od prvního vodiče x. Potom bude vztah pro velikost vektoru magnetické indukce B od prvního vodiče mít tvar B = μ 0 π. I x Pro velikost vektoru magnetické indukce B od druhého vodiče bude platit B = μ 0 π. I ( d x) Výrazy pro velikosti jednotlivých magnetických indukcí porovnáme: μ B = B 0. I = μ 0. I I = I I π d π ( l d) d ( l d). ( l d) = I. d I. l = I. d + I. d I x. (I + I ) = I. d x =. d Po dosazení: x =.6 (+ ) (I + I ) cm = cm Ve vzdálenosti cm od prvního vodiče je výsledná magnetická indukce nulová. 5

8. Čtyři dlouhé přímé vodiče protínají kolmo nákresnu ve vrcholech A, B, C, D čtverce o straně 0 cm. Prochází jimi stejný proud 0 A. Směry proudu ve vodičích jsou naznačeny na obrázku. Určete velikost výsledného magnetické indukce ve středu čtverce. I A = I B = I C = I D = 0 A, a = 0 cm = 0, m, B S =? D B S B C B A B B C V obrázku jsou vyznačeny vektory magnetických indukcí, které jsou produkovány vodiči, umístěnými ve vrcholu čtverce. Všechny mají stejnou velikost, směry jsme určili APPR. Výslednou indukci ve středu čtverce získám vektorovým součtem jednotlivých vektorů: B D B S = B A + B B + B C + B D A a =. μ 0. I A =. μ0. I A B π a π. a S =. μ 0. I A π.. a B Pro velikost B S podle obrázku platí: B S =. B A =. μ 0 π. I A d = Po dosazení: B S =.4.π.0 7.0 π.. 0, T =.4.0 7.0. 0, T =,8. 0 5 T = 8 μt Ve středu čtverce má indukce velikost 8 μt; směřuje k vrcholu D. 9. Dva tenké nekonečné rovnoběžné vodiče jsou umístněny ve vzdálenosti L. Oběma prochází proud I. Směry proudů ve vodičích jsou opačné. Určete velikost a směr magnetické indukce v bodech roviny souměrnosti (tj. na rovině uprostřed mezi vodiči). Velikost výsledné magnetické indukce určíme v obecném bodě P na rovině souměrnosti o, která je kolmá k rovině vodičů. I L I Velikost výsledné magnetické indukce v tomto bodě se rovná vektorovému součtu vektorů magnetických indukcí od obou vodičů. Protože vodiči prochází proudy o stejné velikosti a bod, v němž určujeme výslednou magnetickou indukci, je od obou vodičů stejně vzdálen, budou mít magnetické indukce od obou vodičů v tomto bodě stejnou velikost. Lišit se budou pouze směrem, který určíme pomocí Ampérova pravidla pravé ruky. Vektor výsledné magnetické indukce v bodě P na rovině souměrnosti o mezi vodiči určíme jako součet vektorů magnetických indukcí od jednotlivých vodičů B = B + B Protože vodiči prochází stejně veliké proudy, vytváří v bodě P na rovině souměrnosti magnetická pole o stejných velikostech. Pro jejich velikosti platí vztah B = B = μ 0 π. I R 5

kde I je proud procházející každým z vodičů a R je vzdálenost bodu P od vodiče pro kterou platí: R = L + x Pro velikost magnetické indukce B tak platí: B = B = μ 0 π. I L + x Z obrázku vidíme, že výsledná magnetická indukce B bude ležet v rovině souměrnosti. Její velikost B získáme sečtením velikostí průmětů obou vektorů B, B do dané roviny: B = B cosφ + B cosφ = B cosφ Úhel φ vyjádříme z pravoúhlého trojúhelníku (viz obrázek): cosφ = L R = L L +x pro velikost magnetické indukce B v libovolném bodě P na rovině souměrnosti o mezi vodiči platí vztah: B = μ 0. I. L = μ 0. I.L π L +x L +x π L +x Pozn. Vztah pro velikost výsledné magnetické indukce v rovině souměrnosti obou vodičů můžeme ověřit tím, že určíme velikost magnetické indukce ve středu mezi vodiči. To znamená, že do vztahu dosadíme x = 0. B = μ 0. I.L = μ 0. I, který odpovídá součtu magnetických indukcí od jednotlivých vodičů s proudy o stejné π L +0 π L velikosti a směru: B =.B =. μ 0. I = μ 0. I π L π L 0. Střelka kompasu ukazuje sever v zemském magnetickém poli, jehož magnetická indukce má velikost přibližně 0 5 T. Dlouhý přímý vodič je umístněn ve vzdálenosti 5 cm nad kompasem a je orientován ze severu na jih (tj. stejně jako střelka). Po zapojení elektrického proudu ukáže střelka na severovýchod. Určete: a) velikost výsledné magnetické indukce v místě střelky, b) velikost a směr elektrického proudu ve vodiči. B Z = 0 5 T, d = 5 cm = 5. 0 m, μ 0 = 4. π. 0 7 T. m. A, B =?, I =? a) V okolí vodiče, kterým neprochází proud, se nevytváří magnetické pole a kompasová střelka se tak natočí podle magnetických indukčních čar zemského magnetického pole. Jestliže vodičem začne procházet elektrický proud, vytváří se v jeho okolí magnetické pole. Střelka kompasu se vychýlí ze své původní polohy tak, že bude ukazovat směr magnetické indukce výsledného magnetického pole. Jestliže se střelka vychýlila o 45 od původní polohy, znamená to, že velikost magnetické indukce v bodě, kde se nachází střelka, má stejnou velikost jako velikost magnetické indukce od zemského magnetického pole. Z obrázku lze odvodit: B = B Z + B V B Z = B V B Z 45 B V B B =. B Z Po dosazení: B =. 0-5 T =,83. 0-5 T = 8,3 μt Výsledné magnetické pole má velikost 8,3 μt. b) Určení velikosti a směru elektrického proudu ve vodiči. Pro velikost vektoru magnetické indukce dlouhého přímého vodiče s proudem platí: B = μ 0 π. I d I = π.d.b μ 0 Po dosazení: I = π.5.0.,83.0 5 4.π.0 7 A = 5.0.,83.0 5.0 7 A = 53

=, A Směr elektrického proudu určíme pomocí Ampérova pravidla pravé ruky. V našem případě je směr proudu ve vodiči od severu k jihu. Obrázek 6 Pozn. Země se chová jako obrovský magnet. Už Gauss v 7. století ukázal, že převážná část geomagnetického pole (asi 90%) je taková, jako kdyby ji vytvářel tzv. elementární magnetický dipól, který je umístěn přibližně ve středu Země a svírá s její osou rotace malý úhel (v současné době asi ). Osa dipólu protíná zemský povrch v geomagnetickém severním pólu (v roce 980 ležel v severozápadním Grónsku asi 50 km od pólu geografického) a v geomagnetickém jižním pólu v protilehlém bodě v Antarktidě. Indukční čáry pole obecně vycházejí z jižní polokoule a vstupují do Země na severní polokouli. Severní magnetický pól, ležící na severní polokouli, je tedy ve skutečnosti jižním pólem zemského magnetického dipólu.. Jakou magnetickou indukci má magnetické pole solenoidu s délkou 0cm se 400 závity, pokud proud procházející solenoidem je 5A? Jaký průměr má drát, ze kterého je solenoid navinutý, pokud jednovrstvé vinutí má závity těsně vedle sebe? l = 0 cm = 0, m, N = 400, I = 5 A, b =?, d =? Uvnitř velmi dlouhého solenoidu navinutého hustě tenkým vodičem má ve vakuu magnetická indukce velikost: B = μ 0. N. I l N udává počet závitů, l je délka cívky. Obrázek 7 N závitů d Po dosazení: B = 4. π. 0 7 400.5. T = 0, 0,05T = mt Je-li cívka hustě navinutá, potom průměr drátu l d = l N Po dosazení: d = 0 cm = 0,05 cm = 0,5 mm 400 Uvnitř solenoidu má vektor magnetické indukce velikost mt. Závity mají průměr0,5mm.. Válcová cívka bez jádra má tvar dlouhého solenoidu navinutého hustě izolovaným vodičem tak, že se sousední závity dotýkají. Cívkou prochází proud I =,5 A a v jejím nitru má magnetická indukce velikost B = 3,5 mt. Určete průměr vodiče d, ze kterého je provedeno vinutí cívky. 54

I =, 5 A, B = 4, 5 mt = 4, 5. 0 3 T, d =? Z předcházejícího příkladu už známe vztah pro velikost magnetické indukce uvnitř solenoidu: B = μ 0. N.I d = l N B = μ 0. I d d = μ 0. I B Po dosazení: d = 4. π. 0 7. m = 4,87. 4,5.0 3 0 4 m = 4,87. 0 3 m 4 mm Závity mají průměr 4 mm.,5 l Obrázek 8 Pozn. Na obrázku je obrovský solenoid z CERNU. 3. Dlouhým solenoidem, ležícím ve vakuu, s hustotou 0 závitů na centimetr a poloměrem 7 cm protéká proud 0 ma. Přímým vodičem ležícím v ose solenoidu protéká proud 6 A. V jaké vzdálenosti od osy solenoidu bude svírat vektor celkové magnetické indukce úhel 45 s osou vodiče? Jaká je v tomto místě velikost magnetické indukce B? ρ Z = 0 cm = 0 3 m, r s = 7cm = 7. 0 m, I S = 0 ma =. 0 A, I V = 6A, φ = 45, d =?, B =? Jestliže svírá vektor celkové magnetické indukce s osou vodiče 45, musí být obě indukce stejné. B S = B V Pro velikost magnetické indukce solenoidu Bs platí: B S = μ 0. N. I S, kde výraz: l = ρ l N Z udává hustotu závitů solenoidu: B S B S = μ 0. I S. ρ Z Obrázek 9 d = μ 0 π. I V μ 0.I S.ρ Z d = I V π.i S.ρ Z Pro velikost magnetické indukce dlouhého vodiče Bv platí: B V = μ 0. I V π d Porovnáním těchto vztahů získáme hledanou vzdálenost: B S = B V μ 0. I S. ρ Z = μ 0. I V π d 6 Po dosazení: d = = 0, 477. π..0.0 3 0 m = 4,77. 0 m 4,8 cm Velikost celkové magnetické indukce ve vzdálenosti d od osy vodiče nyní vypočítáme pomocí goniometrické funkce cosinus: B = B V B S = μ 0.I S.ρ Z cos 45 cos 45 Po dosazení: B = 4.π.0 7.. 0.0 3 = 35,56. 0 6 T 35,5 μt B 4. Tři dlouhé přímé vodiče protínají kolmo nákresnu ve vrcholech A, B, C rovnostranného trojúhelníka o straně 0 cm. Prochází jimi stejný proud 00 A. Směry proudu ve vodičích jsou naznačeny na obrázku. Určete velikost síly, která působí na část každého vodiče o délce m. 55

I A = I B = I C = 00 A, a = 0 cm = 0, m, l B =? F C I Jelikož všemi vodiči prochází stejně velký proud a vzájemná vzdálenost vodičů je také stejná, působí na sebe libovolné dva vodiče silou o stejné velikosti. F 60 C F Jak určíme velikost této síly: Ve vzdálenosti a od vodiče A vzniká magnetické pole o magnetické indukci B A = μ 0 π. I A a V tomto poli se nachází vodič B kolmý na magnetickou indukci B A. Působí na něj magnetická síla : F AB = B A. I B. l F D A 60 F E F A Vodič A tedy působí na vodič B silou F AB = μ 0. I A. I π a B. l Stejně velikou silou působí vodič B na vodič A (3. Newtonův zákon). Jelikož jsou proudy procházející všemi třemi vodiči, i vzájemné vzdálenosti vodičů stejné, působí na sebe vodiče silami o stejné velikosti. Velikost síly označíme F F = μ 0 π. I a Směry, ve kterých síly působí, jsou zakresleny na obrázku. Z něj vidíme, že trojúhelníky ADE a BFG jsou rovnostranné, pro velikost sil F A a F B vyplývá F A = F B = F = μ 0 π. I a Vztah pro velikost síly FC dostaneme z trojúhelníku CHI: F C =. F. cos30 =. F. 3 = F. 3 Po dosazení: F A = F B = F = 4.π.0 7 π a F B F F 60 B G F F C = F. 3 = μ 0 π. I a l l l. 3. 00 0, N = 0,0 N = 0 mn, F C = 0,0. 3 N = = 0,0346 N = 35 mn Na rovnoběžné vodiče s proudem působí síly o velikostech F A = 0 mn, F B = 0 mn a F C =35 mn. 5. Dvěma rovnoběžnými vodiči vzdálenými od sebe 30cm procházejí stejné proudy 0A. Určete aktivní délku vodičů, pokud na ně působí síla N. Jak se změní síla vzájemného působení, pokud vodiče umístíme do trojnásobné vzdálenosti a proudy ve vodičích zvětšíme o 30 %? I A = I B = I C = 0 A, d = 30cm = 0, 3 m, F m = N, μ 0 = 4. π. 0 7, l 0 =? Dva rovnoběžné vodiče, kterými procházejí stejné proudy, se navzájem přitahují silou o velikosti: l = F m.π.d μ 0.I.π.0,3 Po dosazení: l = m = m 4.π.0 7.0 F m = μ 0 π. I d. l 56

Aktivní délka vodičů je m. Jak se změní síla vzájemného působení, pokud tyto vodiče umístíme do trojnásobné vzdálenosti a proudy ve vodičích zvětšíme o 30 %? F m = μ 0. (,3I). l =,69. μ 0. I π 3.d 9 π d Po dosazení: F m = 0,38 N Síla se zmenší na 9% původní síly.. l F m = 0, 9. F m 6. Dvěma rovnoběžnými vodiči vzdálenými od sebe 5cm procházejí stejné proudy. Určete velikost proudu procházejícího vodiči, jestliže na metr délky vodičů působí síla, N. I = I = I, l = m, d = 5 cm = 0,5 m, F m =, N, I =? F m = μ 0 π. I d. l I = F m.π.d μ 0.l I = F m.π.d μ 0.l Po dosazení: I =,.π.0,5 A =,.0,5 A = 948,68 A 949 A 4.π.0 7..0 7. Velikost proudu je I = 949A. Pozn: Dvěma rovnoběžnými vodiči vzdálenými od sebe m procházejí stejné proudy. Určete velikost proudu procházejícího vodiči, jestliže na metr délky vodičů působí síla.0 7 N. Po dosazení: I =.0 7.π. 4.π.0 7. A = A I = F m.π.d μ 0.l Definice základní jednotky soustavy SI: Ampér je stálý elektrický proud, který při průchodu dvěma přímými rovnoběžnými nekonečně dlouhými vodiči zanedbatelného průřezu umístěnými ve vakuu ve vzájemné vzdálenosti m vyvolá mezi nimi stálou sílu.0 7 N na metr délky vodiče. 7. Jakou kinetickou energii má proton (m p =,673. 0 7 kg, e =,60. 0 9 C), který se pohybuje po kružnici o poloměru r = 3 cm v homogenním magnetickém poli s B = 0, T, kolmo na indukční čáry? m p =, 673. 0 7 kg, e =, 60. 0 9 C, r = 3 cm = 0,3 m, B = 0, T, E k =? Na částici s nábojem, která vlétne kolmo do homogenního magnetického pole, působí síla, kde B je velikost vektoru magnetické indukce, Q náboj částice a v její rychlost. Experimentálně bylo dokázáno, že pokud je rychlost částice v kolmá na B, dojde k zakřivení její trajektorie a částice se pohybuje po kružnici o poloměru r. Pohyb po kružnici způsobuje dostředivá síla a tou je nyní síla magnetická: velikosti obou sil jsou shodné F m = F d m je hmotnost částice, v její rychlost. B. Q. v = m. v r F m = B. Q. v Kinetická energie pohybujícího se protonu je dána vztahem: E k =. m. v 57

B. Q. v = m. v Pro proton platí: Po dosazení: r v = B.Q.r m ; tuto rychlost dosadíme do vztahu pro E k: E k = (0,.,60.0 9.0,3).,673.0 7 J = 5,8. 0 5 J Kinetická energie protonu je E k =. m. v =. m. (B. Q. r m ) = E k = E k = 5,8. 0 5 J (B. e. r). m p (B. Q. r). m Pozn. Víte, jak vyjádřit díl 0 5? Je to femto J a značí se fj! Zase jste o něco chytřejší! 8. Jakou rychlostí by se musel pohybovat proton v magnetickém poli Země kolmo na indukční čáry, aby se velikost magnetické síly rovnala velikosti síly, kterou na něj působí tíhová síla? m p =, 673. 0 7 kg, e =, 60. 0 9 C, B Z = 5. 0 5 T, v =? F m = F G Po dosazení: v = B. Q. v = m. g v = m.g B.Q,673.0 7. 0 5.0 5.,60.0 9 m. s =,. 0 3 m. s Proton se musí pohybovat rychlostí,. 0 3 m. s. 9. Elektrony s kinetickou energií E k vylétají z urychlovače. Ve vzdálenosti r od urychlovače se nachází kovová destička umístěná kolmo ke svazku vylétávajících elektronů. Jak můžeme zabránit tomu, aby svazek dopadl na destičku? Určete velikost magnetické indukce, jestliže mají elektrony energii 5 kev a vzdálenost konce urychlovače od kovové destičky je 5 mm. m e = 9,. 0 3 kg, e =, 60. 0 9 C, E k = 5 kev= 8,0. 0 6 J, r = 5 mm = 5. 0 3 m, B =? B Paprsek elektronů odchýlí magnetická síla, která musí být kolmá na směr pohybu, a působí tedy jako síla dostředivá. Bez přítomnosti magnetického pole by elektrony letěly přímo a F m narážely na kovovou destičku. Chceme-li zabránit dopadu trubice v paprsků na destičku, musíme elektrony vychýlit z jejich původního směru necháme ho procházet magnetickým polem; částice se budou v magnetickém poli pohybovat po kružnici; r vektor magnetické indukce musí být kolmý k rovině obrázku (viz minulé příklady). Nyní stačí určit, zda bude orientován před nebo za nákresnu. To určíme pomocí Flemingova pravidla levé ruky. POZOR! V našem příkladě se pohybuje záporná částice! Podle obrázku v zadání jsou elektrony vychylovány směrem nahoru, tím směrem působí i magnetická síla. Vektor magnetické indukce musí tedy mířit před obrázek. Směr vektoru magnetické indukce již známe. Jeho velikost vypočítáme pomocí znalosti předchozích příkladů: Magnetická síla působí kolmo na směr pohybu, působí tedy jako síla dostředivá. 58

F m = F d B. e. v = m. v B. e = m. v B= m. v r r r.e Jelikož neznáme velikost rychlosti elektronů v, určíme ji ze zadané kinetické energie Ek: A dosadíme do vzorce pro velikost magnetické indukce B: B= m. v r.e = m..e k m r.e B =.E k.m (r.e) E k =. m. v v =. E k m Po dosazení: B =.8,0.0 6.9,.0 3 (5.0 3.,60.0 9 ) = 0,048 T = 48 mt Pozn: Zopakujme si převody jednotek! E k = 5keV = 5.000.,60. 0 9 C.V = 8,0. 0 6 J 0. Jádra těžkého vodíku, deuterony, jsou urychlovány v kruhovém urychlovači, cyklotronu. a) Určete frekvenci, jakou musí mít zdroj napětí cyklotronu, je-li velikost magnetického pole v urychlovači,5 T a deuterony mají hmotnost 3,3 0-7 kg? b) Jak velký musí být poloměr cyklotronu, jestliže částice opouští urychlovač s kinetickou energií 6 MeV? Kolikrát proběhne deuteron mezi duanty cyklotronu, je-li mezi nimi potenciální rozdíl 50 kv? m D = 3, 3. 0 7 kg, e =, 60. 0 9 C, B =, 5 T, E k = 6 MeV=,56. 0 J,U = 50 kv = 5. 0 4 V, f =?, r =?, n =? Obrázek 30 Cyklotron je zařízení, které urychluje nabité částice. Je tvořen dvěma půlválci ve tvaru písmene D, otevřenými na rovné straně - nazývají se duanty. Jsou umístěny v homogenním magnetickém poli o velké magnetické indukci, která je kolmá na vodiče. Mezi vodiči je mezera, na kterou je přivedeno střídavé napětí. Jestliže nabitá částice vstoupí v blízkosti středu cyklotronu do elektrického pole mezi duanty, je urychlena v prostoru mezi nimi a získá rychlost, se kterou vstupuje kolmo do magnetického pole uvnitř jednoho z duantů. Magnetické pole zakřiví její dráhu, takže v prostoru duantu opíše půlkružnici. V okamžiku, kdy částice vystoupí z tohoto duantu, změní elektrické pole mezi duanty svou orientaci, částice je opět urychlena směrem do druhého duantu. Má větší rychlost pohybuje se po větší kružnicové trajektorii. Tento proces se dokola opakuje a v okamžiku, kdy poloměr trajektorie dosáhne poloměru cyklotronu, částice s velkou kinetickou energií vystupuje z cyklotronu. a) Deuterony s nábojem e vstupují do homogenního magnetického pole. Při rovnoměrném pohybu po kružnici platí: F m = F d B. e. v = m. v B. e = m. v r r Polovina periody T (tj, doba pro jeden oběh po půlkružnici) je rovna: T r = = π.r v m.v B.e. π.r T = v Perioda oběhu T částice nezávisí na její rychlosti ani energii, takže doba mezi dvěma průlety částice mezi duanty je v průběhu urychlování pořád stejná Pro frekvenci f platí: f = = v T Aby cyklotron takto urychloval protony, musí být frekvence f, se kterou proton obíhá v magnetickém poli, rovna frekvenci fz zdroje napětí f z = f = v. π.r B. e = m. v r Po dosazení: f z =,5.,60.0 9.π.3,3.0 7 Hz = 0,. 08 Hz = MHz. π.r v = B.e.r m f z = B.e.r m. π.r = B.e.π.m 59

b) Pro energii E k, kterou částice s nábojem e získá při urychlení napětím U, platí E k = e. U Ale! Deuteron musí projít n-krát mezi duanty, aby dosáhl požadované energie E max = n. E k Pro počet průchodů deuteronu mezi duanty tedy platí: n = E max E k = E max e.u,56.0 Po dosazení: n = = 30,60.0 9.5.0 4 Poloměr duantu R odpovídá poloměru kružnice r max při maximální energii částice. Velikost cyklotronu musí být rovna největšímu poloměru kružnice, po níž se částice pohybuje: r max = Po dosazení: m.v B.e E max =. m. v max v max =.E max m r max =. E max. m B. e r max =.,56.0.3,3.0 7 m = 0,54m = 54 cm,5.,60.0 9 r max = m.v max B.e = m..emax m B.e Zdroj elektrického pole má frekvenci přibližně MHz. Deuteron proběhne mezi duanty 30 krát, než dosáhne požadované hodnoty energie. Poloměr cyklotronu se rovná přibližně 54 cm. Pozn. DEUTERON (používá se značka D) je jádro deuteria, tzv. těžkého vodíku H. Je dostupné v neomezeném množství v mořské vodě ve formě těžké vody D O. m D = m p + m n = 3,3. 0 7 kg, Q D = +e = +,60. 0 9 C. 60

Svět práce v každodenním životě Nestacionární magnetické pole G Gymnázium Hranice. Vypočítej magnetický indukční tok obdélníkovým závitem s rozměry 4 cm a 5 cm v magnetickém poli o indukci, T, je-li rovina závitu a) kolmá k indukčním čarám b) svírá s indukčními čarami úhel 30 c) normála plochy svírá s indukčními čarami úhel 60. Změnil by se magnetický indukční tok závitem, pokud bychom obdélník změnili na čtverec téhož obsahu? a = 4 cm = 4. 0 m, b = 5 cm = 5. 0 m, B =, T, Ф =? Pro kvantitativní popis elektromagnetické indukce je potřeba zavést novou skalární fyzikální veličinu - magnetický indukční tok Ф. Uvažujme rovinou plochu o obsahu S umístěnou v homogenním magnetickém poli o magnetické indukci B. Je-li plocha kolmá k magnetickým indukčním čarám, je magnetický indukční tok určen vztahem: Ф = B. S Jednotkou indukčního toku je Weber: [Ф] = T. m = Wb; podle německého fyzika Wilhelma Webera ( 804-89)-viz obrázek Obrázek 3 Není-li plocha k indukčním čarám kolmá, je magnetický indukční tok určen vztahem Ф = B. S 0, kde S 0 je průmět plochy S do roviny, která je k indukčním čarám kolmá. Tady si musíme dávat pozor, jakým úhlem se poloha plochy zadává!!! B S S S S 0 α α S 0 n a) Ф = B. S = B. a. b b) Ф = B. S 0 = B. a. b. sin α c) Ф = B. S 0 = B. a. b. cosα Po dosazení: a) Ф =,. 4. 0. 5. 0 Wb = 4,4. 0 3 Wb b) Ф = 4,4. 0 3. sin 30 = 4,4. 0 3. Wb =, mwb c) Ф = 4,4. 0 3. cos 60 = 4,4. 0 3. Wb =, mwb Z výpočtu je jasné, že pokud by se obdélník změnil na čtverec téhož obsahu, indukční tok by se nezměnil! 6

. Osa kruhového závitu svírala s indukčními čárami homogenního magnetického pole úhel 45. Po změně polohy závitu svírala jeho osa s indukčními čárami úhel 60. Kolikrát bylo třeba zvětšit magnetickou indukci, aby se indukční tok nezměnil? α = 45, α = 60, S = S = S, B = x. B, x =? U tohoto příkladu je úhel zadán jako úhel normály plochy s indukčními čarami použijeme vztah c) z předcházejícího příkladu: Ф = B. S 0 = B. S. cosα Ф = B. S. cosα ; Ф = B. S. cosα Aby se indukční tok nezměnil, musí platit: Ф = Ф B. S. cosα = B. S. cosα x = B B = S.cosα S.cosα Po dosazení: x = cos45 cos60 = x = cosα cosα = Magnetickou indukci by bylo třeba zvětšit krát. 3. Vypočítejte magnetický indukční tok Ф v příčném řezu dutiny válcové cívky vyplněné vzduchem. Cívka má délku l =,6 m, poloměr r = 4,8 cm, má 400 závitů a prochází jí proud I = 6,3 A. l =, 6 m, r = 4, 8 cm = 4, 8. 0 m, N = 400, μ 0 = 4. π. 0 7 T. m. A, I = 6, 3 A, Ф =? V příkladu byl v magnetickém poli umístěn jen jeden závit. Cívka má N takových závitů magnetický indukční tok Ф v příčném řezu dutiny válcové cívky bude dán vztahem: Ф = N. B. S Pro magnetickou indukci cívky platí: B = μ 0.I ; pro plochu závitu platí: S = π. r Ф = N. B. S = N. μ 0.I Po dosazení: l. π. r Ф = 400. 4.π.0 7.6,3. π. (4,8. 0 ) Wb = 5. 0 5 Wb = 50 μwb,6 Magnetický indukční tok má velikost 50 μwb. l Pozn: Obecný vztah pro výpočet magnetického indukčního toku je poněkud divoký. Zkoušku správnosti můžeme ověřit rozměrovou kontrolou: [Ф] = T. m = Wb Ф = N. μ 0.I l T = N = kg.m.s = kg. A.m A.m A. s [Ф] = kg. A. s. m = Wb. π. r [Ф] = T.m.A.A. m = T. m = kg. A. s. m = Wb m 4. Jaký je poloměr kruhového závitu cívky, jejíž osa svírá s vektorem magnetické indukce o velikosti B = 6 T úhel α = 30, a jestliže cívkou prochází magnetický indukční tok 5. 0 Wb? B = 6T, Ф = 5. 0 Wb, α = 30, r =? 6

Ф = B. S. cosα = B. π. r. cosα r = Po dosazení: r = 5.0 m = 0,07 m = 7 cm 6.π.cos30 Poloměr válcové cívky je asi 7 cm. Ф B.π.cosα 5. Podle grafu časové změny magnetického indukčního toku sestrojte graf časového průběhu indukovaného napětí a zdůvodněte jeho průběh. Pro děje v nestacionárním magnetickém poli jsou charakteristické změny indukčního toku. Podle Faradayova zákona elektromagnetické indukce časová změna magnetického indukčního toku v obvodu způsobuje vznik indukovaného elektromotorického napětí v tomto obvodu a platí vztah: U i = ΔФ Δt Graf Ф = f(t) můžeme rozdělit na 4 oblasti I, II, III, IV. Oblast IV : ΔФ = 0Wb, Δt = s Oblast I: ΔФ = 0,4Wb, Δt = s Oblast II: ΔФ = 0,Wb, Δt = s Oblast III: ΔФ = 0,4Wb, Δt = s U i = ΔФ = 0 V = 0V Δt U i = ΔФ = 0,4 V = 0,4V Δt U i = ΔФ = 0, V = 0,V Δt U i = ΔФ = 0,4 V = 0,V Δt 6. V drátěném kruhovém závitu o obsahu plochy 0,6 m je zapojen kondenzátor o kapacitě 0 μf. Závit je umístěn v homogenním magnetickém poli. Jeho indukční čáry svírají s plochou závitu úhel 30. Velikost magnetické indukce B se s časem rovnoměrně zmenšuje rychlostí 5.0-3 T.s -. Určete náboj, kterým se v průběhu tohoto děje nabije kondenzátor. S = 0, 6 m, C = 0 μf =. 0 5 F, α = 30, ΔB Δt = 5. 0 3 T. s, Q =? C Náboj, kterým se nabije kondenzátor, je dán vztahem: Q = C. U i U i = ΔФ = ΔB.S.sinα Δt Δt Q = C. ΔB.S.sinα Δt Po dosazení: ( viz příklad b) Q =. 0 5. 5. 0 3. 0,6. sin30 C = 3. 0 8 C = 30 nc 63

Kondenzátor se nabije nábojem 30 nc. 7. Vodorovný vodič s délkou m byl v čase 0 s uvolněný a volně padal v rovině kolmé na směr sever jih (B = 5.0 5 T). Určete indukované napětí na koncích tohoto vodiče v čase 5 sekund. l = m, B = 5. 0 5 T, α = 90, U i =? S = v.t.l α v = g. t B l Z obrázku vidíme, že vektor indukce magnetického pole Země je kolmý na plochu, kterou vodič při svém pohybu opíše pro magnetický indukční tok platí: Ф = B. S Podle Faradayova zákona platí: U i = ΔФ U i = B.ΔS = B.v.Δt.l Δt Δt Po dosazení: Δt = B.g.Δt.Δt.l B.g.Δt.l Δt Δt U i = B. g. l. Δ U i = 5. 0 5. 0..5 V = 5. 0 3 V = 5 mv Indukované napětí na koncích vodiče je 5 mv. 8. V homogenním magnetickém poli o indukci 3 T se pohybuje vodič délky m rychlostí 5 m.s - směrem kolmým na indukční čáry. Celkový odpor vodiče je 4 Ω. Jak velký je mechanický výkon potřebný k pohybu vodiče? B = 3 T, l = m, v = 5 m. s, R = 4 Ω, P =? Pro výkon použijeme známý vztah z elektřiny: P = U. I = U. U R = U V tomto případě je napětí rovno indukovanému napětí U i. P = U i R Z předcházejících příkladů použijeme vztahy pro výpočet indukovaného napětí: U i = ΔФ = U Δt i = B.ΔS ; kde ΔS = Δs. l = v. Δt. l; Δs je dráha, kterou vodič Δt urazí za čas Δt U i = Po dosazení: B.v.Δt.l Δt = B. v. l P = U i R (B.v.l) = R Obrázek 3 P = (3.5.) W = 900 W = 5 W 4 4 Výkon má velikost 5 W. A poznáte muže na obrázku? Je to anglický fyzik Michael Faraday. 9.. Je dán drát ve tvaru písmene U. K němu je vodivě připojen drát AB. Toto zařízení je v homogenním magnetickém poli, které je kolmé na rovinu drátu. AB se pohybuje rychlostí 0 cm. s. Velikost magnetické indukce je 30 T. Vypočtěte indukované napětí ze změny indukčního toku plochou drátu a pak z magnetické síly působící na elektrický náboj v drátě. R B = 30T, v = 0 cm. s = 0 m, l = cm =. 0 m, U i =? 64

A v U i = ΔФ = U Δt i = B.ΔS B.v.Δt.l cm = U Δt Δt i = B. v. l v Po dosazení: U i = 30. 0.. 0 V = 6. 0 V 60mV Předpokládáme. Že drát AB je kovový. Jsou v něm určitě obsaženy záporné volné elektrony a kladné ionty. B Tyto částice s nábojem se spolu s drátem AB pohybují v homogenním magnetickém poli, působí na ně magnetická síla, která podle FPLR způsobuje hromadění záporných elektronů dole, tj. u bodu B. U bodu A tak zůstane převaha kladných iontů. mezi body A,B vzniká elektrické pole o intenzitě: E = F m Q mezi body A,B je napětí: U = E. l = B. v. l Po dosazení: U = 30. 0.. 0 V = 6. 0 V = 60mV Mezi body A,B vzniká indukované napětí o velikosti 60mV. B Drát AB se pohybuje v rovině kolmé k indukčním čarám homogenního magnetického pole. = B.Q.v = B. v Q 0.. Určete velikost elektromotorického napětí indukovaného v křídlech letadla letícího vodorovně rychlostí 70 km. h. Vzdálenost koncových bodů křídel je 8 m, velikost svislé složky magnetické indukce magnetického pole Země v daném místě je 5.0-5 T. v = 70 km. h = 00 m. s, l = 8 m, B = 5. 0 5 T, α = 90, U i =? Křídla letadla o délce l se pohybují v rovině kolmé k indukčním čarám homogenního magnetického pole. Podle Faradayova zákona se mezi konci křídel indukuje napětí, pro jehož velikost platí: U i = ΔФ = U Δt i = B.ΔS B.v.Δt.l = U Δt Δt i = B. v. l Po dosazení: Počítáme-li velikost, vynecháme záporné znaménko. U i = 5. 0 5. 00.8 V = 80. 0 3 V = 80 mv Obrázek 33.. Dva rovnoběžné vodiče leží ve vodorovné rovině ve vzájemné vzdálenosti l = cm. Mezi konci vodičů je připojená žárovka o odporu R = 5 Ω. Homogenní magnetické pole má magnetickou indukci B = 0-3 T. Třetí vodič, položený kolmo na dané vodiče, se po nich posouvá po dráze x se zanedbatelným třením. Určete velikost síly, která působí na vodič, jestliže se pohybuje konstantní rychlostí v = 0 cm.s -. l = cm = 0 m, R = 5Ω, B = 0 3 T, α = 90, v = 0 cm. s = 0, m. s, F m =? Při pohybu vodiče v magnetickém poli se na jeho koncích indukuje napětí U i. (Pohybující se vodič plní funci zdroje!) Na vodič s proudem působí magnetické pole silou F m. Modrý vodič se posouvá rychlostí v. Pro určení velikosti této síly použijeme vztahy použité v předcházejících příkladech: 65

x B F m = B. I i. l = B. U i ΔФ. l =B.. l = R R.Δt B. B.S B.x.l. l = B.. l = B l. x R.Δt R.Δt R Δt F m = B l R. v Po dosazení: F m = (0 3 ) (0 ). 0, N = 5 0,. 0 N =. 0 N = pn Na vodič působí síla pn.. Určete vlastní indukčnost cívky, jestliže při změně proudu o 00 A za s vzniklo samoindukční elektromotorické napětí 5 V. ΔI = 00A, Δt = s, U i = 5 V, L =? Indukované elektrické pole vzniká v uzavřeném vodiči i při změnách magnetického pole, které jsou vyvolané změnami proudu ve vlastním vodiči. Tento jev se nazývá vlastní indukce. Prochází-li cívkou proud I, vznikne uvnitř závitů cívky magnetické pole. Magnetický indukční tok plochou závitů je přímo úměrný procházejícímu proudu. Ф = L. I Konstanta této úměrnosti se nazývá indukčnost a značí se L. L = Ф ; [L ] = Wb. A = H ( henry) I Jestliže se za Δt změní v cívce proud o ΔI, změní se magnetický indukční tok cívkou o ΔФ = L. ΔI a v cívce se indukuje napětí U i = ΔФ Δt = L. ΔI Δt Obrázek 34 U i = ΔФ = L.ΔI L = U i.δt Δt Δt ΔI Po dosazení: L = 5. H = 0,05 H = 50 mh 00 Pozn. Na obrázku je americký fyzik Joseph Henry ( 797 878 ) 3. Jak rychle se mění proud v cívce s vlastní indukčností 00 mh, jestliže samoindukční elektromotorické napětí je 40 V? L = 00 mh = 0, H, U i = 40 V, ΔI Δt =? U i = ΔФ = L.ΔI ΔI Δt Δt Δt Po dosazení: = U i L ΔI = 40 A. Δt 0, s = 00 A. s Pozn. Na obrázku je tlumivka. Jedná se o cívku, která je např. součástí obvodu zářivky. Tlumivka s jádrem má hodnotu 0,H 00H. Obrázek 35 66

4. Určete vlastní indukčnost závitu, jestliže při změně proudu o ΔI = 0,A prochází průřezem závitu magnetický indukční tok Φ = 4.0-5 Wb. ΔI = 0, A, Ф = 4. 0 5 Wb, L =? U i = ΔФ Δt = L. ΔI Δt L = ΔФ ΔI Po dosazení: L = 4.0 5 H = 4. 0 4 H. Vlastní indukčnost závitu má hodnotu 4. 0 4 H. 0, 5. Válcová cívka s celkovým odporem 60 Ω má 000 závitů a obsah příčného řezu 40 cm. Cívka je uložená v homogenním magnetickém poli tak, že její osa je rovnoběžná s indukčními čárami. Velikost magnetického pole se rovnoměrně mění v závislosti na čase tak, že ΔB = 0-3 T.s - Δt. Určete teplo, které vznikne v cívce za čas 30 sekund. R = 60 Ω, N = 000 = 0 3, S = 40 cm = 4. 0 3 m, ΔB Δt = 0 3 T. s, Δt = 30 s, Q =? Průchodem indukovaného proudu dochází ke zvýšení vnitřní energie cívky. Uvolní se tzv. Joulovo teplo. Q = U i. I i. Δt U i = N. ΔФ = U Δt i = N. ΔB.S Δt Q = U i. I i. Δt = U i. U i. Δt = U (N. i. Δt Q = R R Po dosazení: Q = (03.0 3. 4.0 3 ). 30 J = 3. 0 6 J = 3 μj 60 V cívce vznikne teplo 3 μj. ΔB.S Δt ) R. Δt I i = U i R 6. Indukčnost hustě navinuté cívky je taková, že při změně proudu o 5 A za sekundu se v ní indukuje elektromotorické napětí 3 mv. Dále platí, že stálý proud 8 A vytváří v každém závitu této cívky magnetický indukční tok 40 μwb. a) Vypočtěte indukčnost cívky. b) Určete kolik závitů má cívka. ΔI Δt = 5 A. s, U i = 3mV = 3. 0 3 V, I = 8A, Ф = 40 μwb = 4. 0 5 Wb, L =?, N =? a) Proud tekoucí jedním závitem cívky vytváří uvnitř tohoto závitu magnetický indukční tok Ф, který je přímo úměrný velikosti proudu. Všech N závitů cívky vytváří celkový tok N.Φ. Elektromotorické napětí, které se v cívce indukuje, se rovná podílu změny celkového toku a změny času. Celkový tok můžeme také určit pomocí indukčnosti cívky a proudu. U i = N.ΔФ Δt = L.ΔI Δt Pro indukčnost cívky L platí vztah: N. Ф = L. I Oba vzorce zkombinujeme a dostaneme: U i = L.ΔI Po dosazení: L = 3.0 3. 5 Δt H = 0,6. 0 3 H = 0,6mH b) Pro indukčnost cívky platí: N. Ф = L. I N = L.I Ф L = U i.δt ΔI 67

Po dosazení: N = 0,6.0 3.8 4.0 5 = 0 Cívka má 0 závitů a její indukčnost je L = 0,6 mh. 7. Válcová cívka dlouhá 0 cm se 600 závity a poloměrem cm rotuje v magnetickém poli o magnetické indukci 3 0-3 T. Určete: a) maximální indukční tok vnitřkem cívky, b) indukčnost cívky. l = 0cm = 0 m, N = 600, r = cm =. 0 cm, B = 3. 0 3, Ф =?, L =? a) Magnetický indukční tok cívkou bude největší, pokud závity cívky bude procházet co nejvíce magnetických indukčních čar osa cívky bude rovnoběžná se směrem magnetických indukčních čar. Ф max = N.B.S Plocha závitu cívky S se rovná obsahu kruhu o poloměru r. Ф max = N.B.π.r Po dosazení: Ф max = 600. 3. 0 3.π.(. 0 ) Wb =. 0 3 Wb = mwb b) V části a) jsme odvodili, že magnetický indukční tok bude maximální, pokud osa cívky bude rovnoběžná se směrem magnetických indukčních čar. Pro magnetický indukční pak platí Ф max = N.B.S Za velikost magnetické indukce dosadíme vztah pro magnetickou indukci uvnitř dlouhé cívky: B = μ 0.N.I l Použijeme rovnost z příkladu 7: N. Ф = L. I N. μ 0.N.I. S = L. I L = μ 0. N. π. r l l Po dosazení: L = 4π.0 7. 600. π.(.0 ) 0 H = 6. 0 3 H Maximální indukční tok, který bude procházet cívkou, má mwb. Cívka má indukčnost 6 mh. 8. Dlouhý válcový solenoid se 00 závity na cm má poloměr,6 cm. Předpokládejte, že magnetické pole uvnitř solenoidu je rovnoběžné s jeho osou a je homogenní. a) Jaká je indukčnost solenoidu připadající na metr jeho délky? b) Jaké elektromotorické napětí se indukuje na metr délky solenoidu, je-li změna proudu 3 A.s? N = 00 = l 0 cm, R =, 6cm =, 6. 0 m, l = m, = 3A. Δt s, L =?, U i =? Dlouhý válcový solenoid má 00 závitů na cm na jeden metr jich má 0 000. Můžeme si to představit tak, že se jedná o cívku dlouhou m s 0 000 závity a my počítáme její indukčnost N = 0 000 = 0 4 m, l = m, L =? a) Indukčnost solenoidu je definována jako konstanta úměrnosti mezi celkovým magnetickým tokem závity cívky a protékajícím proudem: N. Ф = L. I Ф = B. S = B. π. R N. B. π. R = L. I ΔI 68

( plocha závitu je kolmá na indukční čáry, proto Ф = B. S, R je poloměr závitu cívky, ne poloměr r vodiče, proto označení R ) Protože máme zjistit indukčnost solenoidu připadající na metr jeho délky, dosadíme za magnetickou indukci B uvnitř cívky: B = μ 0. N. I ( l = m; pro jednoduchost výpočtu je to lepší ) N. B. π. R = L. I N. μ 0. N. I. π. R = L. I L = N. μ 0. N. I. π. R L = μ 0. π. (N. R) Po dosazení: L = 4π. 0 7. π. (0 4 m.,6. 0 m ) = 0, H b) Proud tekoucí jedním závitem cívky vytváří uvnitř závitu magnetický indukční tok, který je přímo úměrný proudu. Všech N závitů cívky vytváří celkový tok N.Φ. Velikost elektromagnetického napětí, které se v cívce indukuje, je dáno vztahem: L. ΔI U i = Δt Po dosazení: U i = 0,.3 V =,3 V Jeden metr solenoidu má indukčnost L = 0, H. V solenoidu se v každém metru indukuje napětí Ui =,3 V. 9. Vypočítejte vlastní indukčnost cívky bez jádra, která má 000 závitů, délku 0 cm a průměr závitů cm. Jaká je energie magnetického pole cívky, jestliže cívkou prochází proud,5 A? N = 000 = 0 3, l = 0cm =. 0 m, d = cm =. 0 m, I =, 5A, E m =? Pro výpočet vlastní indukce použijeme vztah, který jsme už odvodili: L = μ 0.N.S l = μ 0.N. πd 4 l L = μ 0.N πd Po dosazení: L = 4π.0 7.0 6.π.(.0 ) 4.l 4..0 H =. 0 3 H = mh L = μ 0. N. S l Vytvoření magnetického pole cívky je provázeno přeměnami energie, které neprobíhají okamžitě. Elektrické síly konají práci a elektrická energie se mění v energii magnetického pole cívky. Aby v cívce vznikl proud, je třeba vykonat práci na překonání indukovaného elektromotorického napětí. Současně vzniká magnetické pole cívky a energii tohoto pole jde pěkně odvodit z grafické závislosti Ф = f(i): Rovnice grafické závislosti Ф = f(i): Ф = L. I jedná se o přímou úměrnost; grafem je polopřímka procházející počátkem; směrnicí je indukčnost cívky L. Ф Z fyziky jsme už zvyklí, že plocha pod grafem dané funkce má určitý Ф = L. I význam. Tak nyní je to energie magnetického pole cívky. Výpočet obsahu pravoúhlého trojúhelníka zvládneme: E m I E m =. Ф. I =. L. I. I E m =. L. I 69

Nebo také: E m =. Ф. I =. Ф. Ф L =. Ф Protože jsme si už vypočítali indukčnost cívky, L E m =. Ф L použijeme k výpočtu první vztah: E m =. L. I Po dosazení: E m =.. 0 3.,5 J = 6,5. 0 3 J = 6,5 mj Vlastní indukčnost cívky je L = mh, energie magnetického pole je E m = 6,5 mj. 0. Válcovou cívkou se 00 závity prochází proud 9A. Magnetický indukční tok v dutině cívky je 4 mwb. Vypočítejte energii magnetického pole cívky. N = 00 = 0, I = 9A, Ф = 4mWb = 4. 0 3 Wb, E m =? Pro energii magnetického pole cívky platí vztah: E m =. Ф. I =. L. I ; pro magnetickým tokem cívky platí : Ф = L. I L = Ф I Má-li cívka N závitů, pak platí: E m =. N. L. I =. N. Ф I. I E m = N. Ф. I Po dosazení: E m = 0. 4. 0 3. 9 J = 8. 0 J =,8 J Energie magnetického pole cívky má hodnotu,8 J. 70

Svět práce v každodenním životě Střídavý proud G Gymnázium Hranice. Střídavé napětí s frekvencí f = 50 Hz má amplitudu Um = 300 V. Napište rovnici střídavého napětí. Zjistěte okamžitou hodnotu napětí v čase t = 5 ms. U m = 300 V, f = 50 Hz, t = 4 ms = 5. 0 3 s, u =? Pro okamžitou hodnotu střídavé napětí platí vztah. u =U m.sin(ω.t) ; kde ω =.π.f Po dosazení: u = 300V.sin(.π.50.t) u = 300.sin(00.π.t) u = U m. sin(. π. f. t) Pro velikost okamžité hodnoty napětí v čase t = 5 ms po dosazení platí: u = 300V.sin(00 s -. 80 0.5.0-3 s) = 300V.sin(90 0 ) = 300V Pozn. S úhly v míře obloukové nepracujeme často. Vidíte, že stačí za π dosadit 80 0 a argument goniometrické funkce máme v nám známé míře stupňové.. Střídavý proud v elektrickém obvodu je popsán rovnicí i = 4.sin(40.π.t). Určete amplitudu, frekvenci a periodu střídavého proudu. Určete velikost okamžité hodnoty proudu v čase t = 5 ms. t = 5 ms = 5. 0 3 s, i =? Pro okamžitou hodnotu střídavé proudu platí podobný vztah jako pro napětí vztah: i = I m.sin(ω.t) ; kde ω =.π.f i = I m. sin(. π. f. t) 7

V zadání našeho příkladu platí rovnice: i = 4. sin ( 40.π.t ) stačí jenom porovnat odpovídající fyzikální veličiny: I m = 4 A.f = 40 f = 70 Hz T = f = 70 s = 0,04s Pro velikost okamžité hodnoty proudu v čase t = 5ms platí: i = 4.sin ( 40.π.t) = 4.sin(40. 80 0 s.5. 0 3 s) = 4.sin(6 0 ) 3,4A 3.. Napište rovnici pro okamžitou hodnotu střídavého napětí. Určete amplitudu, frekvenci a periodu střídavého napětí. Určete velikost okamžité hodnoty napětí v čase t = 0,05 s. u V 45 0,0 0,0 t s Situace je podobná jako v prvních dvou příkladech. Jednotlivé požadované hodnoty si musíme vyčíst z grafu: U m = 45 V, T = 0,0 s, f = = Hz = 50 Hz, T 0,0 ω =.π.50 = 00.π Pro okamžitou hodnotu střídavé napětí platí vztah: u = U m. sin(. π. f. t) u = 45. sin(. π. 50. t) u = 45. sin(00. π. t) Velikost okamžité hodnoty napětí v čase t = 0,05 s: a) z grafu vidím, že okamžité hodnoty napětí dosáhne v tomto čase svou maximální hodnotu U = -45 V b) uvedenou hodnotu potvrdíme výpočtem: u = 45. sin(00. 80 0. 0,05)V = 45. sin(00. 80 0. 0,05)V = 45. sin(70 0 )V = - 45V Protože se ptáme na velikost okamžité hodnoty napětí: u = 45 V 4. Střídavé napětí má amplitudu 300 V a frekvenci 50 Hz. Za jakou dobu od počátečního okamžiku (t = 0 s, u = 0 V) bude okamžitá hodnota napětí 50 V? U m = 300 V, f = 50 Hz, U = 50 V, t =? Pro okamžitou hodnotu střídavé napětí platí vztah: u =U m.sin(ω.t) ; kde ω =.π.f u = U m. sin(. π. f. t) Vzhledem k pěknému zadání ( 50V je polovina U m = 300V ) mohu tento příklad vyřešit takto: U m = U m. sin(00. π. t) sin(00. π. t) = 00. π. t = π 6 t = 600 s 0,00s Za 0,00s dosáhne poprvé okamžitá hodnota napětí 50 V. Pozn: Použili jsme znalost tabulkových hodnot goniometrických funkcí. Víme, že je-li sinx = x = π 6 7

Ale musíme si zároveň uvědomit, že funkce sinx je periodická!!! My jsme ve fyzice zvyklí udávat ze všech možných řešení vždy tu nejmenší hodnotu!!! Za čas T = = s = 0,0s nabude okamžitá hodnota napětí opět velikost 50 V! f 50 A pozor!!! Již za čas T = 0,0s bude velikost okamžité hodnoty napětí také 50V. Okamžitá hodnota napětí má nyní hodnotu - 50 V! (podívejte se na graf v příkladu 3) Při méně příznivé hodnotě střídavého napětí dosadíme do základní rovnice konkrétní hodnoty: 50 = 300. sin(00. π. t) sin(00. π. t) = 00. π. t = π t = s 0,00s 6 600 Správná odpověď by měla znít: Okamžitá hodnota napětí nabude velikosti 50 V v časech t = (0,00+k.0,0)s; kde k = 0,,,3.. 5. V elektrickém obvodu střídavého proudu je zapojen rezistor o odporu 00 Ω a zdroj střídavého napětí, jehož časový diagram je znázorněn uvedeným grafem. Určete: a) amplitudu, periodu a frekvenci proudu, b) časový diagram střídavého proudu, c) okamžitou hodnotu proudu v čase 3 ms, d) efektivní hodnotu střídavého napětí a proudu. R = 00 Ω, f = 50 Hz, t = 3 ms = 3.0 3 s R u V 45 0,0 0,0 t s Obrázek 36 Z hodin fyziky víme, že pro jednoduchý střídavý obvod s odporem R platí: Pro okamžitou hodnotu střídavé napětí platí : u =U m.sin(ω.t) ; kde ω =.π.f u = U m. sin(ω. t) Pro okamžitou hodnotu střídavé proudu platí : i = I m.sin(ω.t) ; kde ω =.π.f i = I m. sin(ω. t) Proud a napětí jsou ve fázi! Rezistance (jen jiný název, který upozorňuje, že rezistor je zapojen v obvodu střídavého proudu): X R = R = U m I m ; U ef = U m použijeme-li efektivních hodnot střídavého proudu a napětí, pro které platí, že I ef = I m ; potom X R = R = U ef I ef X R = R = U m I m = U ef I ef Fázorový diagram: I m U m 73

Určete: a) amplitudu, periodu a frekvenci proudu: z grafu u = f(t) vyčtu : U m = 45 V, T = 0,0 s, f = = Hz = 50 Hz, ω =.π.50 = 00.π T R = U m I m I m = U m R 0,0 Po dosazení: I m = 45 00 Ω = 4,5 Ω ; T = 0,0 s; f = T = b) časový diagram střídavého proudu: i A 4,5 0,0 Hz = 50 Hz c) okamžitou hodnotu proudu v čase 3ms: Pro okamžitou hodnotu střídavé proudu platí: i = I m.sin(00.π.t) 0,0 0,0 Po dosazení: i = 4,5.sin(00.80 0.0,003)A = 4,5.sin(54 0 )A 3,44A t s d) efektivní hodnotu střídavého napětí a proudu: I ef = I m I ef = 3,44 A,43A U ef = U m U ef = 45 V 300,5V 6. Určete kapacitanci kondenzátoru s kapacitou 30 μf, který je zapojen v obvodě střídavého proudu s frekvencí 50 Hz. Vypočítejte efektivní hodnotu střídavého napětí, je-li amplituda proudu,5 A. C = 30 μf = 30. 0 6 F, I m = A, f = 50 Hz, X C =?, U ef =? Obrázek 37 Z hodin fyziky víme, že pro jednoduchý střídavý obvod s kondenzátorem C platí: Pro okamžitou hodnotu střídavé proudu platí : i = I m.sin(ω.t) ; kde ω =.π.f Pro okamžitou hodnotu střídavé napětí platí : u =U m.sin(ω.t - π ) ; kde ω =.π.f i = I m. sin(ω. t) u = U m. sin(ω. t π ) Proud a napětí nejsou ve fázi! Proud předbíhá napětí o π,nebo spíše napětí se opožďuje za proudem o π! 74

Pozn: Uvedené rovnice lze psát i jinými ekvivalentními způsoby.vycházíme z vlastností goniometrických funkcí! Například: ) u = U m. sin(ω. t) i = I m. sin(ω. t + π ) ) i = I m. sin(ω. t) u = U m. sin (ω. t π ) = U m. (sinωt. cos π cosωt. sin π ) = U m. (sinωt.0 cosωt.) = - U m. cosωt Kapacitance: X C = U m = I m ω.c je zdánlivý odpor kondenzátoru, který je zapojen v obvodu střídavého proudu Fázorový diagram: U m π I m X C = Po dosazení: = ω.c.π.f.c X C =.π.50.30.0 6 Ω 06, Ω X C = U m = U ef. U I m I ef = X C. I m m 06,.,5 Po dosazení: U ef = V,5 V 7. Určete induktanci cívky s indukčností 300mH, která je v obvodu střídavého proudu o frekvenci 50Hz. Vypočítejte amplitudu a efektivní hodnotu proudu, je-li amplituda napětí 6V. L = 300 mh = 0, 3 H, U m = 6 V, f = 50 Hz, X L =?, I m =?, I ef =? Obrázek 38 Z hodin fyziky víme, že pro jednoduchý střídavý obvod s cívkou L platí: Pro okamžitou hodnotu střídavé proudu platí : i = I m.sin(ω.t) ; kde ω =.π.f Pro okamžitou hodnotu střídavé napětí platí : u =U m.sin(ω.t - π ) ; kde ω =.π.f i = I m. sin(ω. t) u = U m. sin(ω. t + π ) 75

Proud a napětí nejsou ve fázi! Proud se opožďuje za napětím o π, nebo spíše napětí předbíhá proud o π! Pozn: Uvedené rovnice lze psát i jinými ekvivalentními způsoby. Vycházíme z vlastností goniometrických funkcí! Například: ) u = U m. sin(ω. t) i = I m. sin(ω. t π ) ) i = I m. sin(ω. t) u = U m. sin (ω. t + π ) = U m. (sinωt. cos π + cosωt. sin π ) = U m. (sinωt.0 + cosωt.) = U m. cosωt Induktance : X L = U m I m = ω. L je zdánlivý odpor cívky, která je zapojena v obvodu střídavého proudu. POZOR!!! Skutečná cívka má vždy vedle zdánlivého odporu i skutečný (ohmický) odpor. Jedná se o odpor vinutí cívky, který zjistíme buď zapojením do obvodu stejnosměrného proudu R = U ; nebo změříme ohmmetrem. I Obvod s cívkou pak musíme řešit jako složený obvod RL v sérii! Fázorový diagram: U m π I m A nyní k našim výpočtům: X L = ω. L =.π.f.l Po dosazení: X L =.π.50.0,3ω 94,Ω X L = U m I m I m = U m X L ; I ef = I m Po dosazení: I m = 6 94, A =,34 A ; I ef =,34 A 0,94 A 8. Cívka s indukčností 3 H a odporem vinutí 40 Ω byla zapojena nejdříve ke zdroji stejnosměrného napětí 30 V, pak do střídavého obvodu s frekvencí 50 Hz a stejnou efektivní hodnotou napětí. Určete velikost stejnosměrného a střídavého proudu. L = 3 H, R = 40 Ω, U s = 30 V, f = 50 Hz, I s =?, I st =? a) zapojení na stejnosměrný zdroj: I s = U R Po dosazení: I s = 30 A = 0,75 A = 750 ma 40 b) zapojení na střídavý zdroj : I st = U Z = Po dosazení: I st = Poznámka: U R + (X L ) I st = 30 40 + (.π.50.3) U R + (.π.f.l) A = 0,03 A 3 ma 76

Již v tomto příkladě jsme použili vztahy ze složeného obvodu RL v sérii. Jen pro oživení připomínám základní poznatky a pojmy složeného obvodu RLC v sérii: Impedance ( celkový odpor) Z: Z = U m I m = R + (X L X C ) = R + (ω. L ω.c ) Reaktance: X L X C Rezonance: Z = 0 X L X C ω. L = ω.c ω = L.C Pro fázové posunutí φ proudu a napětí platí: tg φ = X L X C R Složené obvody RL,RC,LC se řeší jako podmnožiny RLC v sérii!!! 9. K tlumivce s indukčností 30 mh a s odporem 5 Ω chceme sériově připojit rezistor tak, aby vznikl obvod s impedancí 34 Ω. Frekvence střídavého proudu je 50 Hz. Určete odpor rezistoru. L = 30 mh = 3.0 H, R C = 5 Ω, Z = 34 Ω, f = 50 Hz, R R = x =? Vyjdeme ze vztahu pro impedanci RL v sérii. Musíme si ale uvědomit, že celkový ohmický odpor je dán součtem odporu cívky a připojeného rezistoru, který jsme si pro přehledné počítání označili x. Z = U m I m = R + (X L ) = (R C + R R ) + (X L ) = (R C + x) + (. π. f. L) ; po umocnění dostaneme: Z = (R C + x) + (. π. f. L) Nemá smysl, abychom dále počítali obecně. Pro přehlednost dosadíme číselné hodnoty jednotlivých fyzikálních veličin a dostaneme kvadratickou rovnici pro x, kterou snadno vyřešíme. Po dosazení: 34 = (5 + x) + (. π. 50.3. 0 ) 56 = 5 + 0.x + x + 88,7 x + 0.x - 04,3 = 0 x, = 0 ± 00+4.04,3 x 4,65Ω, Hledaný odpor má hodnotu 4,65Ω x 37,65Ω; záporná hodnota nemá fyzikální smysl 0. Do obvodu střídavého proudu s napětím 50 V a frekvencí 50 Hz je připojený sériově kondenzátor s kapacitou 4μF a rezistor s odporem 00 Ω. Určete impedanci obvodu, proud v obvodě a napětí na kondenzátoru a rezistoru. U ef = 50 V, f = 50 Hz, C = 4 μf = 4. 0 6 F, R = 00 Ω, Z, I, U C, U R =? R = 00Ω C = 4μF 77

Impedance Z: Z = R + (X C ) = R + ( Po dosazení: Z = 00 + (.π.50.4.0 6) 48,5Ω ω.c ) Z = R + (.π.f.c ) Proud I: I = U Z Po dosazení: I = 50 A,0 A 48,5 Napětí na kondenzátoru: U C = X C. I = Po dosazení: U C =.π.50.4.0 Napětí na odporu: U R = R. I ω.c. I U C = 6.,0 V 9,8 V Po dosazení: U R = 00.,0 V 0 V.π.f.C. I. Oscilační obvod tvoří cívka s indukčností 0,3 mh a kondenzátor s kapacitou 0 pf. Určete frekvenci rezonance. L = 0, 3 mh = 3. 0 4 H, C = 0 pf =. 0 F, f =? V příkladu 8 už jsme si uvedli, kdy nastává rezonance obvodu: Rezonance: Z = 0 X L = X C ω. L = ω.c ω = L.C Dále víme, že platí: ω =. π. f (. π. f) = L.C f =.π. L.C Po dosazení: f =..π 3.0 4..0 Hz 83945,7 Hz 0,8 MHz Rezonance obvodu nastane při frekvenci 0,8 MHz.. Nakreslete fázorový diagram obvodu RLC v sérii, jestliže X C = 0,5X L = R = Ω. Obvodem prochází proud A. Určete impedanci a fázové posunutí napětí a proudu v obvodu. X C = 0, 5X L = R = Ω, I = A, Z =?, φ =? U jednoduchých obvodů už jsme si ukázali jejich fázorové diagramy. Skutečná cívka je příkladem složitějšího obvodu RL v sérii. Stačí tedy přidat kondenzátor. Protože X C = 0,5X L má obvod vlastnost induktance ( fázor X L je větší než fázor X C ). A protože všemi prvky protéká při sériovém zapojení stejný proud, nahradíme fázory napětí fázory odporů. Pro impedanci platí: X L X L X C X C Z R φ Z = R + (X L X C ) Po dosazení: Z = R + (R R) = R + R = R = R.,4Ω Fázový posun φ mezi napětí a proudem vidíme z obrázku ( fázor impedance Z má stejný směr jako fázor U m ; fázor rezistence R má stejný směr jako fázor I m ) cos φ = R Z 78

Po dosazení: cos φ = R = = R. φ = 45 = π 4 rad 3. Obvod RLC v sérii je tvořen rezistorem o odporu 50 Ω, cívkou o indukčnosti 0,5 H a kondenzátorem o kapacitě 4 μf. Obvodem protéká střídavý proud 0,4 A s frekvencí 50 Hz. Nakreslete fázorový diagram obvodu, určete celkové napětí na obvodu a fázový posun mezi napětím a proudem v obvodu. R = 50 Ω, L = 0, 5 H, C = 4 μf = 4. 0 6 F, I = 0, 4 A, f = 50 Hz, U m =?, φ =? U C U L U L U m I m U R φ Abychom správně nakreslili fázorový diagram, musíme vědět, zda je X C > X L nebo naopak. X C = ω. C =. π. f. C = 796 Ω. π.50.4. 0 6 X L = ω. L =. π. f. L =. π.50.0,5 57 Ω obvod má vlastnosti kapacitance U C Celkové napětí na obvodu RLC v sérii získáme vektorovým součtem napětí na jednotlivých prvcích. Z fázorového diagramu vidíme, že: U m = U R + (U C U L ) = I. R + (X C X L ) =I. R + ( ω. ω.c L) ; kde ω =. π. f U m = I. R + ( Po dosazení:.π.f.c. π. f. L) U m = 0,4. 50 + (. π.π.50.4.0 6.50.0,5) = 6,6 V Fázový posun φ mezi napětí a proudem vidíme z obrázku: cos φ = U R = R.I U m U m Po dosazení: 50.0,4 cos φ = φ = 76 47 ; vzhledem k tomu, že obvod má vlastnosti kapacitance, je správnější psát 6,6 φ = 76 47 4. Určete impedanci, admitanci, rezonanční frekvenci a fázový posun napětí a proudu paralelního obvodu RLC. Obvodem protéká střídavý proud o frekvenci 0,6 MHz. Rezistance má hodnotu 3 kω, cívka má indukčnost 40 μh a kondenzátor má kapacitu 5 nf. R = 3kΩ = 3. 0 3 Ω, L = 40μH = 4. 0 5 H, C = 5 nf = 5. 0 9 F, f = 0, 6 MHz = 6. 0 5 Hz, Z, Y, f, φ =? Nyní se jedná o paralelní spojení rezistoru, cívky a kondenzátoru. Připojíme-li jej ke zdroji střídavého harmonického napětí, je nyní na všech součástkách stejné napětí! (V případě skutečné cívky musíme ještě k zapojenému rezistoru přidat ohmický odpor cívky). Fázorový diagram respektuje všechny fázové diagramy jednoduchých obvodů. Oproti obvodu RLC v sérii je nyní všem prvkům společný fázor napětí U m! (Na pohled tedy vypadá fázorový diagram skoro stejně! ) 79

I C Z fázorového diagramu odvodíme velikost proudu v obvodu: I C I L I L I m I R U R φ I m = I R + (I C I L ) = I m = U m. R + (ω. C ω.l ) ; kde ω =. π. f; U m = U R = U L = U C Pro impedanci platí: Z = U m I m = Po dosazení: Z = U m U m. R +(ω.c ω.l ) Z = R+(.π.f.C.π.f.L ) Ω 8,9 Ω + (.π (3.0 3).6.05.5.0 9.π.6.0 5.4.0 5) Admitance: V elektrotechnice se převrácená hodnota impedance nazývá admitance a značí se Y Y = Z V obvodu stejnosměrného proudu jsme zvyklí používat název vodivost G = Z [Y] = [G] = S ( siemens) Y = Y = Z R + (. π. f. C Po dosazení:.π.f.l ) Y = + (. π.6. 0 5. 5. 0 9 (3.0 3).π.6.0 5.4.0 5) S 0,0 S =, ms Rezonanční frekvence: Paralelní rezonance nastává, je-li opět X L = X C ω. L = ω.c ω = L.C největší. ω = L.C (. π. f) = L.C f =.π. L.C Z = R celková impedance je Po dosazení: f =..π 4.0 5.5.0 9 Hz = 5606,78 Hz 56 kh Fázový posun napětí a proudu: Fázový posun φ mezi napětí a proudem vidíme z obrázku: cos φ = I Um R R = φ = Z I Um m R Z Po dosazení: cos φ = 8,9 3.03 = 0,073 φ = 88 6 Pozn: Elektrická vodivost konduktance, absolutní schopnost dané elektrické součástky vést elektrický proud. Převrácená hodnota elektrického odporu. 5. Elektrická energie se přenáší z elektrárny do místa spotřeby dálkovým vedením o odporu 0, Ω. Výkon elektrárny je 70 kw a napětí, při kterém se tento výkon přenáší je a) 4 kv, b) 40 V. Určete pro oba případy ztrátový výkon. Na základě výsledku zdůvodněte, jaké napětí je pro dálkové přenosy energie vhodnější. R = 0, Ω, P = 70 kw = 7. 0 4 W, U a = 4 kv= 4. 0 3 V, U b = 40 V 80

Obrázek 39 Obrázek 39 Zadaná napětí jsou napětí zdroje. Elektrické vedení toto napětí pouze přenáší do místa spotřeby. Ztrátový výkon je výkon, který se během cesty od elektrárny ke spotřebiči změní v Jouleovo teplo. To je způsobeno odporem vodiče, kterým se elektrický proud z elektrárny vede. Výkon elektrického proudu je dán součinem proudu a napětí. Měníme-li napětí, při kterém daný výkon přenášíme, musíme měnit i proud, aby výkon zůstal stejný. Vzorec pro výkon jako funkci odporu vodiče a proudu můžeme použít, protože induktance i kapacitance budou mít velmi malou hodnotu vzhledem k odporu vodiče. Výkon elektrárny si můžeme vyjádřit jako: P = U.I Proud, který protéká elektrárnou, je stejný jako proud, který protéká vodiči. Ztrátový výkon ve vodiči si vyjádříme jako: P Z = U z. I Podle Ohmova zákona platí: U z = R. I; R je odpor vodiče. Dosadíme do vzorce pro ztrátový výkon: P Z = U z. I = R. I. I = R. I Vyjádříme-li si proud pomocí výkonu elektrárny, dostaneme pro ztrátový výkon vyjádření: P Z = R. I P Z = R. ( P U ) Po dosazení: a) P Z = 0,. ( 7.04 4.0 3) = 5 W b) P Z = 0,. ( 7.04 40 ) = 5. 0 4 W = 50 kw Ztrátový výkon, při přenosovém napětí 4 kv, je 5 W. Při přenosovém napětí 40 V je ztrátový výkon 50 kw.z těchto výsledků je vidět, že pro přenos elektrického výkonu používáme vysoké napětí, abychom zmenšili ztráty na přívodním vedení. 6. Elektrický motor připojený ke zdroji se střídavým efektivním napětím 30 V a frekvencí 50 Hz koná (mechanickou) práci s výstupním výkonem 80 W. Jaký je odpor elektrického motoru, protéká-li jím efektivní proud 0,7 A? U ef = 30 V, f = 50 Hz, P = 80 W, I ef = 0,7 A, R =? Použijeme vzorec pro výpočet výkonu v obvodu se střídavým proudem, který obsahuje také fázové posunutí mezi napětím a proudem. Elektrický motor si můžeme představit jako spojení rezistoru a cívky. Protože motorem protéká střídavý proud, musíme při výpočtu výkonu vzít v úvahu i fázové posunutí mezi napětím a proudem. Ve vzorci pro výkon vystupuje kosinus fázového posunutí, tzv. účiník. Ze zadaného proudu protékajícího motorem, napětí zdroje a výkonu motoru zjistíme fázové posunutí mezi napětím a proudem. Pomocí Obrázek 40 Ohmova zákona určíme celkovou impedanci a z fázového posunutí potom zjistíme hodnotu odporu. Výkon elektrického motoru v obvodu se střídavým proudem je dán vztahem: P = U ef. I ef. cosφ Vyjádříme si kosinus fázového posunutí: cosφ = Z = U ef U ef.i ef I ef Nakreslíme si fázorový diagram, do kterého zaneseme již známé hodnoty fázového posunutí a impedance. Velikost odporu vyjádříme ze vzniklého trojúhelníku. P 8

cosφ = R Z R = Z. cosφ X L Z Dosadíme za cosinus fázového posunu a impedanci: R = U ef I ef. P U ef.i ef R = φ Po dosazení: R = 80 0,7 Ω 63,3 Ω R Pozn: Vzhledem k tomu, že motor obsahuje cívky, můžeme předpokládat, že fázové posunutí mezi napětím a proudem je způsobeno spíše indukčností motoru než kapacitou motoru. P I ef 7. Po zapojení spotřebiče na střídavé napětí o efektivní hodnotě 30 V odebírá spotřebič elektrický proud o efektivní hodnotě 6,0 A při účiníku cos φ = 0,75. Určete: a) zdánlivý výkon spotřebiče, b) činný výkon spotřebiče, c) jalový výkon spotřebiče, d) energii odebranou spotřebičem za dobu h. U ef = 30 V, f = 50 Hz, I ef = 6 A, cosφ = 0,75, t = h a) Zdánlivý výkon spotřebiče - je největší možný výkon, odpovídající nulovému fázovému posunu (tzn. účiníku rovnému jedné). Je to výkon, který je potřeba ke spotřebiči donést. Měli by být podle něj dimenzované přívodní vodiče. P Z = U ef. I ef Po dosazení: P Z = 30.6 W = 380 W b) Činný výkon - Střední hodnotu výkonu za periodu nazýváme činný výkon (někdy označujeme jako příkonp O ). Je to výkon, který se přenáší od zdroje ke spotřebiči, kde se nenávratně proměňuje v jiný druh energie, např. teplo. Platí: P Z = U ef. I ef. cosφ; cosφ je tzv. účinník Po dosazení: P Z = 30. 6. 0,75 W = 035 W c) Jalový výkon - Pokud se účiník nerovná jedné, část výkonu se v obvodu pouze přelévá tam a zpět. Je to způsobeno tím, že elektrická energie v jedné části periody v kondenzátoru vytváří elektrické pole, resp. v cívce magnetické pole, v druhé části periody pak tato pole zanikají a stejná energie se vrací do obvodu, v této části periody má okamžitý výkon zápornou hodnotu. Jalový výkon je právě výkon, který se takto periodicky přelévá, a pro jeho velikost platí: P Z = U ef. I ef. sinφ ; φ = arccos0,75 φ = 4 4 Po dosazení: P Z = 30. 6. sin 4 4 W = 035.0,66 W = 683, W Při zátěži s indukčním charakterem vychází jalový výkon kladný, při kapacitní zátěži záporný. d) Energii odebranou spotřebičem získáme jako součin činného výkonu P a doby t: E = P. t Po dosazení: E = 035.. 3600 J = 7 45 000 J = 7,45 MJ Zdánlivý výkon, který je třeba ke spotřebiči dodat elektrickou sítí, je asi 380 W. Činný výkon, který odebírá spotřebič ze sítě je přibližně 035 W, jalový výkon má hodnotu přibližně 683, W. Za h spotřebič odebere z elektrické sítě energii o velikosti přibližně 7,45 MJ. 8

8. Primární vinutí transformátoru má 300 závitů a sekundární vinutí 5 závitů. a) Jaké je sekundární napětí, je-li sekundární obvod rozpojený a primární napětí je 40 V? b) Jaký poteče proud v primárním a sekundárním vinutí, je-li sekundární vinutí připojeno k odporové zátěži 0 Ω? N = 400, N = 5, U = 40 V, R = 0 Ω, U, I, I =? Funkce transformátoru je založena na elektromagnetické indukci. Na společném uzavřeném jádře jsou nasazeny dvě cívky. Primární cívka je připojena ke zdroji střídavého napětí. Průchodem proudu primární cívkou se vytvoří v jádře proměnné magnetické pole a v libovolném závitu primární nebo sekundární cívky se indukuje napětí u i = Ф ; závity cívek jsou navzájem spojeny za sebou napětí na t jednotlivých závitech se sčítají. celkové napětí na primární cívce s N závity je: u = N. Ф t celkové napětí na sekundární cívce cívce s N závity je: u = N. Ф t Obrázek 4 U U = N N = k Pokud má primární cívka zanedbatelný odpor, má indukované napětí na primární cívce stejnou velikost jako připojený zdroj. Má ale opačnou fázi! Pro poměr efektivních hodnot indukovaných napětí platí rovnice transformátoru: k nazýváme transformačním poměrem. Po dosazení: U = 40. U = U. N N 5 400 V 5,5 V b) Pro ideální transformátor platí, že výkon na primární cívce se rovná výkonu na cívce sekundární. P = P U. I = U. I I = U. I I U = U. I Použijeme také Ohmův zákon. U V sekundárním obvodu je ale zapojený odpor velikosti R. Proud v sekundárním obvodu se bude řídit Ohmovým zákonem: I = U R U. I = U. U Po dosazení: I = 5,5 0. 40 Výpočet proudu I = U R = U R R A 0,0098 A = 9,8 ma I = U R.U Po dosazení: I = 5,5 0 A 0,63 A = 63 ma 9. Transformátor o účinnosti 98 % zvyšuje napětí 0 V na 500 V. Sekundární cívkou prochází proud 0,5 A. Jaký proud prochází primární cívkou? η = 98% = 0, 98, U = 0 V, U = 500 V, I = 0, 5 A, I =? Co znamená, že má transformátor účinnost 95 %? Jaký bude vztah mezi příkonem a výkonem transformátoru? Část energie se mění v teplo. Pro ideální transformátor by se výkon primární cívky (příkon transformátoru) rovnal 83

výkonu sekundární cívky (výkon transformátoru). Dochází-li ke ztrátám, je sekundární výkon menší. Pomocí vztahu mezi výkony na obou cívkách zjistíme primární proud. η. P = P η. U. I = U. I I = U. I η. U Po dosazení: I = 500. 0,5 0,98.0 A 3,5A Primární proud transformátoru s účinností 95 % má hodnotu přibližně,5 A. 0. Transformátor, který je chlazený olejem, transformoval výkon P = 0 MW s účinností 98 %. Zjistěte teplotu oleje při výstupu z transformátoru. Vstupní teplota oleje byla 8 C. Olej má hustotu 960 kg.m 3, měrnou tepelnou kapacitu c =,09 kj.kg K. Objemový tok oleje pláštěm transformátoru je, l.s. P = 0 MW = 0 7 W, η = 97 % = 0, 97, t 0 = 7 C, ρ = 960 kg.m 3, c =,09 kj.kg K =, 09. 0 3 J. kg K, V =, l.s =,5. 0 3 m 3. s Obrázek 4 Je-li účinnost transformátoru 98%, znamená to, že % jeho výkonu se přeměňuje na teplo. Transformátor musí být chlazený, aby nedošlo k jeho poškození. Způsob chlazení se označuje značkou. U našeho transformátoru by to mohlo být např. ORWF-transformátor s olejovým chlazením v uzavřené nádobě. Olej cirkuluje pomocí čerpadla a přitom prochází přes výměník tepla. Ve výměníku se tepelným olejem ohřívá voda, která odvádí teplo. Cirkulace vody je také pomocí čerpadla. ( η). P = Q ( η). P = c. m. ( t t 0 ) ( η). P = c. m. ( t t 0 ) ( η). P = c. ρ. V. ( t t 0 ) t = ( η). P + t c. ρ. V 0 Po dosazení: t = ( ( 0,97). 0 7,09.0 3. 960.,5.0 3 + 7 ) C 76,8 C Teplota oleje při výstupu z transformátoru je asi 76,8 C. Obsah:. Mechanické kmitání a vlnění..3. Elektrický náboj a elektrické pole..3 3. Elektrický proud v kovech 5 84

4. Elektrický proud v polovodičích, kapalinách a plynech..37 5. Stacionární magnetické pole.48 6. Nestacionární magnetické pole..6 7. Střídavý proud. 7 8. Obsah.84 9. Zdroje.85 Zdroje obrázků: Pro vyhledání obrázků byl použit portál http://www.cmis.cz/dum/se zatržením možností upravovat a použít pro komerční účely. Tento portál garantuje obrázky pod licencí Creativ Commons nebo Public domain.. Krejčí, Jan. [Online] 4. 9 009. [Citace: 5. 9 03.] http://www.vytahy.cz/cz/reference/nove-realizace.htm.. NASA ESA. Soubor:Nasa earth.jpg. [Online] 006. [Citace:.0. 03.] http://www.nasa.gov/. 3. Groh, Honza. Soubor:Kytara a ruka.jpg. [Online]. 5 008. [Citace: 0. 0 03.] http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f7/kytara_a_ruka.jpg/450px-kytara_a_ruka.jpg. 4. Patcart. Soubor:CF-88A BANKING.jpg. [Online] 3. 6 009. [Citace: 7. 0 03.] http://cs.wikipedia.org/wiki/mcdonnell_douglas_cf-8_hornet. 5. Mayer, Daniel. Soubor:Chevelle at 007 MyCoke Fest in Atlanta3 cloned.jpg. [Online]. 4 005. [Citace: 7. 0 03.] http://commons.wikimedia.org/wiki/image:chevelle_at_007_mycoke_fest_in_atlanta3.jpg. 6. File:Charles de coulomb.jpg. upload.wikimedia.org. [Online] 5. 7 0. [Citace: 0. 0 03.] http://en.wikipedia.org/wiki/file:charles_de_coulomb.jpg. 7. nadace, Nobelova. Soubor: Millikan.jpg. [Online] 93. [Citace: 6. 03.] http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/93/millikan-bio.html. 8. StefanPohl. File:Millikan aufbau.jpg. Wikipedia Commons. [Online] 5. 6 0. [Citace: 6. 03.] http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5/millikan_aufbau.jpg. 9. Pysz, Wojciech. Soubor:Rotary capacitor Pionier.JPG. [Online]. 0 000. [Citace: 3. 04.] http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b4/rotary_capacitor_pionier.jpg. 0. pixabay.com. [Online] [Citace: 9. 04.] http://pixabay.com/static/uploads/photo/0//4/08/38/copper-706_640.jpg.,,3,4 Vlastní tvorba 5. File:Germanium.jpg. Wikimedia Commons. [Online] 3. 8 004. [Citace: 4. 0 04.] http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/germanium.jpg. 6. José Carlos González Sánchez. File:Termistor perla.jpg. Wikimedia Commons. [Online] 7. 5 00. [Citace: 0. 4 04.] http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b4/termistor_perla.jpg. 7. File:Fotodio.jpg. Wikimedia Commons. [Online] 8. 005. [Citace: 8. 4 04.] http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e6/fotodio.jpg. 8. File:Tranzistor NPN - zapojení SE.svg. Wikimedia Commons. [Online]. 007. [Citace: 0. 4 04.] https://encrypted-tbn.gstatic.com/images. 9. File:Transistors.agr.jpg. Wikimedia Commons. [Online]. 005. [Citace: 7. 4 04.] http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5a/transistors.agr.jpg. 0. File:EPROM Intel C70A ().jpg. Wikimedia Commons. [Online]. 4 006. [Citace:. 5 04.] http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9f/eprom_intel_c70a_().jpg.. File:Potassium-.jpg. Wikimedia Commons. [Online] 9. 5 0. [Citace: 3. 5 04.] http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a4/potassium-.jpg.. File:Nickel-Metallhydrid-Batterie.jpg. Wikimedia Commons. [Online] 5. 008. [Citace: 0. 5 04.] http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5/nickel-metallhydrid-batterie.jpg. 3. Súbor:Plasma-lamp.jpg. Wikimedia Commons. [Online] 0. 9 008. [Citace: 4. 5 04.] http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons//6/plasma-lamp_.jpg. 85