Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Transkript

1 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. Zvláštní případy kvadratické funkce : Je-li b = 0 a c = 0 y = ax Grafem této funkce je parabola. Je-li a = x y = x Funkce y = ax a 0 v intervalu x < 0 je klesající, v intervalu x > 0 je rostoucí. Graf kvadratické funkce tvaru y = ax a 0 je parabola, která má vrchol v bodě [ 0 ; 0 ]. pro různé a

2 Je-li b = 0 y = ax + c a 0 Příklad : Narýsujte v oboru reálných čísel graf funkce : a) y = -x + x + b) y = x + x - a)

3 b) Příklad : Sestrojte funkci : a) y = ( x ) b) y = -( x ) c) y =.( x ) d) y = ( x ) +

4 POZNÁMKA : z technických důvodů nelze v grafickém programu psát mocniny a proto uvádíme mocninu jako součin výrazů. Příklad : U funkce y = x x 6 vypočítejte : a) průsečíky grafu s osou x, b) průsečíky grafu s osu y, c) souřadnice vrcholu paraboly,. fáze : určíme průsečíky grafu s osou x y = x x 6 = ( x + ). ( x ) y = ( x + ). ( x ) = 0 pro x = - a x = je funkční hodnota rovna nule (graf funkce protíná osu x ). Průsečíkem grafu funkce y = x x 6 s osou x jsou body A [ - ; 0 ] a B [ ; 0 ]. fáze : určíme průsečíky grafu s osu y Body ležící na ose y mají x-ovou souřadnici rovnou nule. y = = - 6 Průsečíkem grafu funkce y = x x 6 s osou y je bod C [ 0 ; -6 ]. fáze : určíme souřadnice vrcholu paraboly Parabola je souměrná podle své osy a proto určíme průsečík této osy s osou x x x = (-) = 5 0,5.( x x ) = 5. 0,5 =,5 x 0 = x + 0,5.( x x ) = - +,5 = 0,5 Nyní určíme funkční hodnoty pro x 0 y = x x 6 = 0,5-0,5 6 = -6,5 Vrcholem paraboly, která je grafem funkce y = x x 6, je bod V [ 0,5 ; -6,5 ].

5 Příklad : Narýsujte graf funkce : a) y = x c) y = x + b) y = -x d) y = -x - e) y = 6x + x f) y = x + x 9. ročník 5. Funkce g) y = x + x + h) y = x + x +6 Příklad : Napište rovnici kvadratické funkce, jejíž body : a) budou mít y-ove souřadnice pouze kladná čísla, b) budou mít y-ové souřadnice pouze záporná čísla, c) A [ ; ] a B [ ; ] budou jedinými body dané funkce. Příklad : Vypočítejte souřadnice průsečíků grafu funkce s osou x u funkcí : a) y = x b) y = x + c) y = x - d) y = x - x 8 e) y = x + x -7 f) y = ( x + ) g) y = -( x + ) + h) y = x -6x + 0 Příklad : Vypočtěte souřadnice průsečíků grafu funkce s osou y u funkcí : a) y = x b) y = x + c) y = x - d) y = x - x 8 e) y = x + x -7 f) y = ( x + ) g) y = -( x + ) + h) y = x -6x + 0 Příklad 5 : Vypočtěte vrchol paraboly, která je grafem těchto funkcí : a) y = x b) y = x + c) y = x - d) y = x - x 8 e) y = x + x -7 f) y = ( x + ) g) y = -( x + ) + Příklad 6 : Vypočtěte pomocí grafu kvadratické funkce tento příklad : Určete přirozené číslo, pro které platí, že jeho součin s číslem o jedno větší je Numerické řešení kvadratické rovnice Obecný tvar kvadratické rovnice : ax + bx + c = 0, kde a a b je libovolné reálné číslo a současně a 0. Každá kvadratická rovnice má dva kořeny Zvláštní případy kvadratické rovnice : Je-li b = 0 ax + c = 0, kvadratická rovnice bez lineárního členu Příklad : Řešte kvadratické rovnice : a) x = 0 b) x + = 0 a) x = 0 x = x = x = x = x = - Zkouška : L =. ( ) =. 0,5 = 0 P = 0 L = P 5

6 P =. ( - ) =. 0,5 = 0 P = 0 L = P b) x + = 0 x = - x = - Tato rovnice nemá řešení v oboru reálných čísel, protože druhá mocnina každého reálného čísla je číslo nezáporné. Obecný tvar kořene tohoto typu kvadratické rovnice : pro c < 0 je x = c a a x = - c a, pro c > 0 rovnice nemá řešení. Je-li c = 0 ax + bx = 0 kvadratická rovnice bez absolutního členu Příklad : Řešte kvadratické rovnice : a) 5x + x = 0 b) 5x - x = 0 a) 5x + x = 0 x.( 5x + ) = 0 x = 0 5x + = 0 x = - 5 Zkouška : L = = 0 P = 0 L = P L = 5. ( - 5 ) +. ( - 5 ) = = 0 P = 0 L = P b) 5x - x = 0 x.( 5x - ) = 0 x = 0 5x - = 0 x = 5 Zkouška : L = = 0 P = 0 L = P L = 5. ( 5 ) -. ( 5 ) = = 0 P = 0 L = P Obecný tvar kořene tohoto typu kvadratické rovnice je x = 0 a x = - b a. Je-li b = 0 a c = 0 ax = 0 Příklad : Řešte kvadratickou rovnici 9x = 0. 9x = 0. x = 0 x = 0 dvojnásobný kořen Zkouška : L = 9. 0 = 0 P = 0 L = P Příklad : Řešte kvadratickou rovnici x + 7x + = 0 Tento typ rovnic již umíme vyřešit pomocí zkráceného rozkladu na součin. x + 7x + = 0 6

7 ( x + ). ( x + ) = 0 x = - x = - Zkouška : L = ( - ) + 7. ( - ) + = 9 + = 0 P = 0 L = P L = ( - ) + 7. ( - ) + = = 0 P = 0 L = P 9. ročník 5. Funkce Kořen kvadratické rovnice ax + bx + c = 0 má tvar : x = x = b b ac a b b ac a. b ac se nazývá diskriminant. b ac > 0 - rovnice má mě řešení b ac = 0 - rovnice má jedno řešení ( dvojnásobné ) b ac < 0 - rovnice nemá řešení v oboru reálných čísel ( má řešení v oboru komplexních čísel Příklad : Řešte kvadratickou rovnici a) x - 7x 5 = 0, b) x + x = 0. a) x - 7x 5 = 0, x, = x = = 0 5 x = Zkouška L = = = 0 P = 0 L = P L =. ( -,5 ) -7.( -,5 ) 5 =,5 + 0,5 5 = 0 P = 0 L = P b) x + x = 0..( ) x, = x = x = Zkouška : L =.( ) = 0 L =.( 7 ) = P = 0 L = P - = = 0 P = 0 L = P 7

8 Příklad 7 : Řešte kvadratickou rovnici : a) 5x + x + 8 = 0 b) x - x = 0 c) x 0,5 = 0 d) 5x - x = 0 e) -x + x 6 = 0 f) x + 6x + 5 = 0 g) x - 6x 80 = 0 x x h) x x ch) x x x x i) x j) x = 6 k) x = -9 x 6 Příklad 8 : Řešte kvadratické rovnice : a) ( x 8 ) + ( x 6 ) = 00 b) x + ( 5 x ) = ( 5 x ) c) ( x + ). ( x ) +( x ). ( x ) = 0 d) ( x ) + ( x - 9 ) = ( x ) e) ( x 8 ) ( x 6 ) + ( 5x ). ( 5x + ) = f) ( x 7 ) ( x + ) = 5 g) ( x ) : ( x + ) = ( x + ) : ( x ) 9. ročník 5. Funkce l) x = x m) x - x = 0 n) x + x = 0 o) x - 7x 0 = 0 p) 6x + x + 6 = 0 r) 5x - x 5 = 0 s) x - 9x + 0 = 0 t) ( x + 6 ). ( x ) = ( x ). ( x ) u) ( x + ) + ( x 0 ) = ( x + 8 ) x v) x x. x x. x 8 5x 7 x x 9x x x x w) x 5 x 5 h) x x ch) x x x 7 x 7 i) x. x =.x j) x + x = x Příklad : Kořeny kvadratické rovnice jsou čísla a -. Vypočtěte kvadratickou rovnici s těmito kořeny.. fáze: dosadíme do vzorce ( x x ). ( x x ) = 0, kde x a x jsou kořeny naší rovnice ( x ). ( x + ) = 0. fáze : rovnici upravíme x x 8 = 0 Příklad 9 : V rovnici x x + a = 0 vypočtěte a tak, aby rovnice měla jeden z kořenů číslici 0. Příklad 0 : Určete číslo a tak, aby rovnice 5x + ( 6a + 8).x + ( a + a 8 ) = 0 byla kvadratickou rovnicí bez lineárního členu a potom tuto rovnici vyřešte. Příklad : Jedna odvěsna pravoúhlého trojúhelníku se rovná 75 % druhé odvěsny. Určete obvod tohoto trojúhelníka, je-li jeho plošný obsah cm. Příklad : Vypočtěte poloměr kružnice, jejíž tětiva, vzdálená 8 cm od středu, je o cm delší než poloměr. Příklad : Obsah obdélníka je 9 cm. Určete jeho rozměry, je-li jeho šířka o 6 cm kratší než jeho délka. Příklad : Určete přirozené číslo, pro které platí, že jeho součin s číslem o jednu větším je 7. 8

9 Příklad 5 : Určete přirozené číslo, pro které platí, že jeho druhá mocnina zmenšená o 6 je rovna Grafické řešení kvadratické rovnice Příklad : Vyřešte graficky kvadratickou rovnici : a) x = 0 b) x - = 0 c) -x + = 0 d) x + = 0 e) x + x = 0 Z grafu vidíme, že funkční hodnota f(x) = y = 0 nastane pro x = 0. Rovnice x = 0, je-li x = 0 Z grafu vidíme, že funkční hodnota f(x) = y = 0 nastane pro x - = 0. Rovnice x = 0, je-li x = a x = -. Z grafu vidíme, že funkční hodnota f(x) = y = 0 nastane pro -x + = 0. Rovnice -x + = 0 je-li x = a x = -. 9

10 Z grafu vidíme, že funkční hodnota f(x) = y = 0 pro x + = 0 nenastane. Rovnice x + = 0 nemá řešení. Z grafu vidíme, že funkční hodnota f(x) = y = 0 nastane pro x + x - = 0. Rovnice x + x - = 0, je-li x = - a x =. Shrnutí : Grafickou metodou jsme potvrdili, že kvadratická rovnice : a) má dva kořeny, b) má jeden kořen ( dvojnásobný ), c) nemá řešení. Rovnici x + x = 0 můžeme graficky řešit také takto : x + x = 0 x = - x + f(x) = x g(x) = x a zjišťujeme pro které x je f(x) = g(x) f(x) = g(x) x = - x = Logicky jsme dostali stejné výsledky. Příklad 6 : Graficky vyřešte tyto rovnice : a) -x = 0 d) x -0x +0 = 0 b) 0,8x - = 0 e) x +x = 0 c) x +x -5 = 0 f) x -x - = 0 g) ( x + ) x + = 0 h) 5x + = 0 0

11 5.. Numerické a grafické řešení kvadratické nerovnice Příklad : Vyřešte kvadratickou nerovnici x + x 8 < 0. fáze : kvadratickou nerovnici rozložíme na součin ( zkráceným rozkladem nebo pomocí diskriminantu nerovnici řešíme jako rovnici ) x + x 8 < 0 nebo x + x 8 = 0 ( x + ). ( x ) < 0 x, =.. 8. x = - x = ( x x ). ( x x ) = 0 ( x + ). ( x ) = 0. fáze : vyřešíme danou nerovnici ( x + ). ( x ) < 0 ( x + ). ( x ) < 0 x + < 0 x > 0 x + > 0 x < 0 x < - x > x > - x < - < x < - < x < Příklad : Vyřešte kvadratickou nerovnici x + x 0 : a) numericky b) graficky a) numericky :. fáze : kvadratickou nerovnici rozložíme na součin ( zkráceným rozkladem nebo pomocí diskriminantu nerovnici řešíme jako rovnici ) x + x 0 ( x ). ( x + ) 0. fáze : vyřešíme danou nerovnici ( x + ). ( x ) 0 x + 0 x 0 x + 0 x 0 x - x x - x - x - x. fáze : kvadratickou nerovnici upravíme na vhodný tvar a rozdělíme na dvě funkce x + x < 0 x < x

12 f(x) < g(x), kde f(x) = x g(x) = -x + 9. ročník 5. Funkce b) graficky. fáze : dané dvě funkce znázorníme f(x) < g(y), kde f(x) = x g(x) = -x + je v intervalu - x Numerickou a grafickou metodou jsme řešili kvadratickou nerovnici a dostali jsme shodný výsledek - x. Příklad 7 : Řešte numericky i graficky kvadratické nerovnice : a) x -x + 0 b) x -x + 9 > 0 c) -x + x > 0 d) -x e) x 9 < 0 f) x - x 6 < 0 g) x - 6x 7 < 0 h) x + 6x 55 0 ch) x + x + 5 > 0 i) x - x +0 0 j) x -7 x 0 > 0 k) x - 0x l) ( x ). ( x + ) + 8x < ( x ). ( x + ) k 5.5. Racionální lomená funkce y 5.5. Nepřímá úměrnost ax b Nepřímá úměrnost je zvláštní případ racionální lomené funkce, pro kterou platí a =, b = 0, x 0 Rovnice nepřímé úměrnosti y = k, kde k je libovolné reálné číslo, které je různé od nuly x x 0. Grafem nepřímé úměrnosti je hyperbola, jejíž osou je : a) pro k > 0 přímka y = x b) pro k < 0 přímka y = -x Příklad : Sestrojte graf nepřímé úměrnosti : a) y = x b) y = - x

13 Pro k > 0 platí, že funkce v definičním oboru pro x < 0 je funkcí klesající pro x > 0 je funkcí klesající. Pro k < 0 platí, že funkce v definičním oboru pro x < 0 je funkcí rostoucí pro x > 0 je funkcí rostoucí. Příklad : Ve válcové nádobě o objemu 000 cm je uzavřen plyn pístem, kterým lze posouvat. Při posunutí pístu se mění objem uzavřeného plynu, a tím se zároveň mění i tlak. Nemění-li se teplota plynu platí vzorec p.v = k, kde k je fyzikální konstanta, která v našem případě má hodnotu 00. Narýsujte graf této závislosti.. fáze : zápis p = 00 V nezávisle proměnná veličina.. objem závisle proměnná veličina.. tlak definiční obor.. V 000. fáze : sestrojení příslušného grafu Příklad 8 : Sestrojte graf funkce : a) y = x b) y = - x c) y = x Příklad 9 : Sestrojte graf nepřímé úměrnosti, který prochází bodem A [ ;,5]. Příklad 0 : Vypočtěte konstantu k, jestliže víte, že graf funkce y = k x prochází bodem o souřadnicích [ ; ]. Sestrojte graf této nepřímé úměrnosti. Příklad : Zjistěte výpočtem i graficky, který z bodů A [ ; - ], B [ - ; -,5], C [ -5 ; -,5 ] leží na grafu funkce y = x

14 5.5.. Racionální lomená funkce y k ax b. 9. ročník 5. Funkce k Racionální lomená funkce y ax b Podmínka řešitelnosti : - b a 0 a reálné číslo, b reálné číslo Definiční obor racionální lomené funkce : všechna reálná kromě čísla - b a. Zápis D = R - { - b a } Příklad : Narýsujte graf funkce : a) y = x b) y = x a) definiční obor : všechna reálná čísla kromě čísla

15 b) definiční obor : všechna reálná čísla kromě čísla -0,5. Příklad : Narýsujte graf funkce : a) y = x 5 b) y = x c) y = x Příklad : Sestrojte graf závislosti odporu R měděného drátu dlouhého metr na průřezu ( v intervalu mm až 0 mm ) při specifickém odporu = 0,075 ohmu na metr ( R =. l S, kde S je průřez ). k Příklad : Napište : a) rovnici funkce y =, jejíž graf prochází bodem A [ x ; -]. k b) ) rovnici funkce y =, jejíž graf prochází bodem B [ x ; - 5 ]. Příklad 5 : Napište rovnici funkce y = B [ - ; -]., jejíž graf prochází bodem A [ ; ] a ax b 5.6. Funkce s absolutní hodnotou y = k. x - funkce s absolutní hodnotou k koeficient a, b, - reálné číslo Je-li definičním oborem obor reálných čísel, pak grafem funkce s absolutní hodnotu jsou dvě polopřímky se společným počátečním bodem. Příklad : Narýsujte graf funkce : a) y = x b) y = - x c) y = 0,5. x d) y =. x e) y =. x + f) y =. x - + 0,5 a) y = x b) y = - x 5

16 c) y = 0,5. x d) y =. x Graf funkce s absolutní hodnotou tvaru : a) y = k. x je v celém oboru reálných čísel osově souměrný s osou y. e) y =. x + 6

17 f) y =. x - + 0,5 Graf funkce s absolutní hodnotou tvaru : a) y = k. x + a + b je v celém oboru reálných čísel osově souměrný s osou y = -a Je-li b = 0 Společný počátek obou polopřímek je na ose x. Příklad 6 : Narýsujte graf funkce : a) y =. x b) y = -0,. x c) y =. x + d) y =. x - - 0,5 7 e) y =. x - + 0,

18 Příklad 7 : Narýsujte graf funkce y = k. x, který prochází bodem A [ ; ]. Příklad 8 : Bod A [ ; ] leží na grafu funkce y = k. x. Který další bod leží na grafu stejné funkce : a) X [ - ; ] b) Y [ ; -] c) Z [ - ; -] d) K [ ; ] e) L [ ; ] f) M [ ; 6] g) N [ 5 ; ] 5.7. Goniometrické funkce Goniometrické funkce ostrého úhlu (opakujeme učivo 8. ročníku ) Poměr délky protilehlé odvěsny a délky přepony pravoúhlého trojúhelníka se nazývá sinus úhlu - píšeme sin Poměr délky přilehl odvěsny a délky přepony pravoúhlého trojúhelníka se nazývá kosinus úhlu - píšeme cos Poměr délky protilehlé odvěsny a délky přilehlé odvěsny pravoúhlého trojúhelníka se nazývá tanges úhlu - píšeme tg Poměr délky přilehlé odvěsny a délky protilehlé odvěsny pravoúhlého trojúhelníka se nazývá kotanges úhlu - píšeme cotg sin = a c cos = b c tg = a b cotg = b a tg = a b = c.sin sin c.cos cos tg = sin cos tg cot g 8

19 Průběh funkce sin v intervalu < 0 ; 90 > Průběh funkce cos v intervalu < 0 ; 90 > Určení funkce tangens a kotangens pomocí jednotkové kružnice x = x + 80 tg x = tg x tangens úhlu x je y M 9

20 cotg x je x N 9. ročník 5. Funkce Průběh funkce tg v intervalu < 0 ; 90 > Přehledná tabulka goniometrických funkcí základních úhlů sin 0.. cos 0.. tg 0. N cotg N Goniometrické funkce v intervalu od 90 a více Vyjádření goniometrických funkcí úhlů v II. kvadrantu : sin 0 = sin ( 80-0 ) = sin 70 cos 0 = - cos 70 0

21 tg 0 = - tg 70 cotg 0 = - cotg ročník 5. Funkce Vyjádření goniometrických funkcí úhlů v III. kvadrantu : sin 00 = sin ( ) = - sin 0 cos 00 = - cos 0 tg 00 = tg 0 cotg 00 = cotg 0 Vyjádření goniometrických funkcí úhlů v IV. kvadrantu : sin 00 = - sin 60 cos 00 = cos 60 tg 00 = - tg 60 cotg 00 = - cotg 60 Přehledná tabulka goniometrických funkcí v intervalu 0-60 Postup při vytváření grafu funkce sin sin cos tg cotg Hodnoty záporného úhlu : sin ( - ) = - sin tg ( - ) = - tg cos ( - ) = cos cotg ( - ) = -cotg Průběh funkce sin :

22 Průběh funkce cos : Vzájemný vztah funkce sin a cos Vzájemný vztah funkce tg a cotg

23 Pro úhly větší než 60 platí : sin ( + 60.k ) = sin cos ( + 60.k ) = cos tg ( + 80.k ) = tg cotg ( + 80.k ) = cotg Příklad : Vypočítejte : a) sin 50 b) cos 0 c) sin 500 d) sin ( ) e) sin. f) cos. Řešení : g) cos (-. ) a) sin 50 = sin 0 = 0,5 b) cos 0 = cos 0 =. c) sin 500 = sin 0 = sin 0 = 0,68 d) sin ( ) = - sin 000 = = -sin 80 = - ( - sin 80 ) = sin 80 = 0,988 e) sin. = sin 70 = sin 0 = 0 f) cos. = cos. = cos = cos = 0,5 g) cos (-. = cos.80 = cos 5 = - cos 5 = -. ) = cos ( -5. ) = Příklad 9 : Určete : a) sin 0 = b) sin 5 = c) sin 66 = d) sin 90 = e) sin 00 = f) sin 00 = g) sin 00 = h) sin 00 = i) sin 800 = j) sin ( -0 ) = k) sin (-66 ) = l) sin (-90 ) =

24 m) sin (-00 ) = n) sin (-00 ) = o) sin (-00 ) = p) sin (-800 ) = r) sin 5 = s) sin = t) sin (- )= u) sin 0. v) sin (- 5. )= 9. ročník 5. Funkce w) sin 6 = x) sin 7 = y) sin (-5,5 ) = Příklad 0 : Určete : a) cos 0 = b) cos 5 = c) cos 66 = d) cos 90 = e) cos 00 = f) cos 00 = g) cos 00 = h) cos 00 = i) cos 800 = j) cos (-0 ) = k) cos (-66 ) = l) cos (-90 ) = m) cos (-00 )= n) cos (-00 ) = o) cos (-00 ) = p) cos (-800 ) = r) cos 5 = s) cos = t) cos (- )= u) cos 0. v) cos (- 5. )= w) cos 6 = x) cos 7 = y) cos (-5,5 ) = Příklad : Určete : a) tg 0 = b) cotg 5 = c) tg 66 = d) cotg 90 = e) cotg 00 = f) tg 00 = g) cotg 00 = h) tg 00 = i) cotg 800 = j) tg (-0 ) = k) cotg (-66 ) = l) tg (-90 ) = m) cotg (-00 )= n) tg (-00 ) = o) tg (-00 ) = p) cotg (-800 ) = r) tg 5 = s) cotg = t) tg (- )= u) tg 0. v) cotg (- 5. )= w) tg 6 = x) cotg 7 = y) tg (-5,5 ) = Příklad : Sestrojte graf funkce : a) y =sin D : < - ; > b) y = cos D : < - ;,5. > c) y = tg D : < 0 ; 70 > Příklad : Určete, zda funkce : a) y =sin D : < 0; 0,5. > je klesající b) y =sin D : < 80 ; 70 > je klesající c) y =tg D : < 0; 0,5. > je klesající d) y =cotg D : < 70 ; 60 > je rostoucí e) y =cos D : <80 ; 70 > je klesající Příklad : Určete velikost úhlu v intervalu 0-90 : a) sin = 0,5 g) tg = l) cos = 0,5. b) tg = h) sin = 0,5. c) cos = 0,5. d) cotg = i) cotg = m) tg =.. n) sin = 0,5. e) sin = 0 j) cotg = 0 o) cotg = f) cos = k) sin = 0,5. p) sin = 0,906 r) tg = 5,09 s) cotg = 9,0 t) tg = 0,778 u) sin = 0,06 v) cos = 0,6 w) sin = 0,700 Souhrnná cvičení ) Povrch hranolu se čtvercovou podstavou je 6 cm. Určete délky hran, je-li výška o 0 cm delší než délka podstavné hrany. ) Povrch válce je 56. cm. Určete poloměr podstavy, je-li výška válce cm.

25 ) Narýsujte graf kvadratické funkce : a) y = x +x + c) y = x -5 b) y = x + x d) y = (x + ) + x - e) y = x + 6x + 5 ) Vypočítejte průsečík grafu funkce s osou x : a) y = x +x + b) y = x + x d) y = (x + ) + x - c) y = x -5 e) y = x + 6x + 5 5) Vypočítejte průsečík grafu funkce s osou y : a) y = x +x + b) y = x + x d) y = (x + ) +x - c) y = x -5 e) y = x + 6x + 5 6) Vypočítejte souřadnice vrcholu paraboly funkcí : a) y = x +x + b) y = x +x c) y = x -5 d) y = x +6x +5 7) Řešte kvadratickou rovnici : a) x + 5x + = 0 b) x + x - = 0 c) x + 7x + = 0 d) x - 7x + = 0 e) x - x + = 0 8) Řešte kvadratickou rovnici : a) ( x ). ( x ) = x x 6x 0 b) 5 5 c) ( x 6 ). ( x 9 ) = 0 x x 5 x d) x 7 6 e) x + x = f) x = x + f) 5x - x - 8 = 0 g) 6x + x + 6 = 0 h) 5x - x - 5 = 0 ch) x - = 0 i) x -7 = 0 x g) x x x h) x x x x x x 9 ch) x x x. x i) x. x x x j) x + = 0 k) x + 5x = 0 l) x - = 0 m) x + x = 0 x x j) x 5 x k) x x 8 x x x l) x x 6 9) Vyřešte tyto rovnice vyššího řádu v oboru reálných čísel : a) x = 0 c) x x = 0 b) x = -8 d) x 5 x = 0 e) x 6x = 0 f) x 8x + 6 = 0 0) Vypočítejte k tak, aby daná rovnice měla jeden kořen rovnající se nule a vypočítejte její druhý kořen a) kx - 5.( k + ).x + ( k ) = 0 b) ( k ).x ( k )x + k.( k ) = 0 ) Určete tři za sebou následující celá čísla, která mají tu vlastnost, že čtverec prostředního čísla je o větší než součin obou krajních čísel. ) Najděte v kvadratické rovnici absolutní člen tak, aby rovnice měla dvojnásobný reálný kořen a tento kořen potom vypočítejte : a) x - 7x + k = 0 b) 0,x + x + k = 0 5

26 ) Řešte graficky kvadratické rovnice : a) x +x + = 0 f) 5x - x - 8 = 0 b) x +x = 0 g) 6x + x + 6 = 0 c) x -5 = 0 h) 5x - x - 5 = 0 d) (x + ) +x - = 0 ch) x - = 0 e) x +6x + 5 = 0 i) x -7 = 0 ) Řešte numericky a graficky kvadratické nerovnice : a) x + 9x 0 0 e) x + x + > 0 b) x + x + 0 < 0 f) -x + x > 0 c) x - 5x + 56 < 0 g) x - x 5 0 d) x - x 8 0 h) x -0x j) x + = 0 k) x + 5x = 0 l) x - = 0 m) x + x = 0 ch) x + x 8 < 0 i) x + x ročník 5. Funkce 5) Určete graf závislosti U na I při stálém výkonu žárovky 00W. Proud uvažujte od A do 5 A ( P = U.I ). 6) Napište : k a) rovnici funkce y =, jejíž graf prochází bodem A [ ; ] x k b) ) rovnici funkce y =, jejíž graf prochází bodem B [ - ; -]. x 7) Napište rovnici funkce y =, jejíž graf prochází bodem A [ 0 ; -0,5 ] a B [ 0,5 ; -0,8 ]. ax b 8) Sestrojte graf funkce : a) y = - x b) y =. x c) y = -. x + d) y =. x - + e) y =. x ) Sestrojte graf funkce : a) y = k. x, která prochází bodem D [ ; ] v intervalu - x < 5 b) y = k. x, která prochází bodem E [ ; ], kde definičním oborem je množina přirozených čísel c) y = k. x + a, která prochází bodem F [ ; 7 ] a bodem G [ ; ] 0) Který z bodů A [ ; ], B [ ; 7], C [ ; 5 ], D [ 5 ; ] leží na grafu funkce y =. x + - ) Bodem A [ ; ] a bodem B [ - ; -] prochází graf lineární funkce. Určete jeho rovnici. ) Určete rovnici lineární funkce, jejíž graf je rovnoběžný s grafem funkce y = - x + 9 a prochází bodem C [ ; ]. ) Určete průsečíky grafu funkce y = x-7 s osami x a y. ) Leží bod A [ - ; 0] na grafu funkce y = x + 8? 5) Z Prahy do Brna ( 80 km ) jelo z Prahy auto průměrnou rychlostí 60 km za hodinu. a) narýsujte graf závislosti ujeté dráhy na čase b) narýsujte graf závislosti průměrné rychlosti na čase c) narýsujte graf dráhy, kterou ještě auto musí ujet, na čase 6) Graficky vyřešte soustavu rovnic : x + y = x y = 5 6

27 7) Vyjádřete rovnicí a grafem závislosti obsahu kruhu S na jeho průměru d, je-li d v intervalu (0,5 dm; dm). 8) Graficky určete průsečík funkcí : y = (x ) - y = : x 9) Bodem A ( ; ) a bodem B [ -5 ; -] prochází graf lineární funkce. Urči jeho rovnici. 0) Určete rovnici lineární funkce, jejíž graf je rovnoběžný s grafem funkce y = - x + a prochází bodem C [ 5 ; ]. ) Určete průsečíky grafu funkce y = x- s osami x a y. ) Leží bod A [ - ; 0] na grafu funkce y = x + 5? ) Z Prahy do Ostravy ( 0 km ) jelo z Prahy auto průměrnou rychlostí 80 km za hodinu. a) narýsujte graf závislosti ujeté dráhy na čase b) narýsujte graf závislosti průměrné rychlosti na čase c) narýsujte graf dráhy, kterou ještě auto musí ujet, na čase ) Graficky vyřešte soustavu rovnic : x + y = 5 x y = 5) Graficky určete průsečík funkcí :y = (x ) - y = : x 6) Určete : a) tg 0 = b) cos 5 = c) sin 75 = d) cos -90 = e) sin 00 = f) cotg 0 = g) cotg -0 = h) sin 0 = i) cotg 0 = j) sin -80 = k) tg -6 = l) sin -90 = m) cos 00 = n) cotg -00 = o) tg -00 = p) sin -800 = r) tg 5 = s) cotg 7 = t) tg = u) sin 0. v) cos - 5. = w) tg 6 5 = x) cotg 8,5 = y) sin -5,5 = 7) Určete, zda funkce : a) y = cos D : < 0; 0,5. > je klesající b) y =tg D : < 80 ; 70 > je rostoucí c) y = sin D : < 0; 0,5. > je klesající d) y =cos D : < 70 ; 60 > je rostoucí e) y =cotg D : <80 ; 70 > je klesající 8) Sestroj úhel, pro který platí : a) tg = b) cos = 7 c) sin = 0,6 d) cotg = 7

28 9) Řešte kvadratickou rovnici : a) x x x x 5 b) x x x x x 9. ročník 5. Funkce Výsledky : a) y = k.(x + a ) + b, kde k > 0, a libovolné reálné číslo, b libovolné kladné reálné číslo, b) y = k.(x + a ) + b, kde k < 0, a libovolné reálné číslo, b libovolné záporné reálné číslo, c) y = x, definičním oborem je množina čísel { ; }, a) [ 0; 0], b) nemá řešení, c) [ -; 0] a [ ; 0], d) [ -; 0] a [ ; 0], e) [ -9; 0] a [ 8; 0], f) [ -; 0], g) [ -; 0] a [ 0; 0], h) nemá řešení, a) [ 0; 0], b) [ 0; ], c) [ 0; -], d) [ 0; -8], e) [ 0; -7], f) [ 0; ], g) [ 0; 0], h) [ 0; 0], 5 a) [ 0; 0], b) [ 0; ], c) [ 0; -], d) [ ; -9], e) [ -0,5; -7,5], f) [ -; 0], g) [ -; ], 6) 8, 7 a) nemá řešení, b) ; -, c) -0,5; 0,5, d) 0; 0,8, e) nemá řešení, f) -5; -, g) 0; -, h) -- 5, -+ 5 x 0 x, ch),5 x 0,5, i) 0; 5 x x, j) - ;, k) nemá řešení, l) 0;, m) -; 6, n) -;, o) ; 5, p) - ; -,5, r) -0, ; 5, s) ;,5, t) ; 9, u) ; 6, v) ; x - x, w) nemá řešení x 0 x x -, 8 a) 0;, b) 0; 5, c) 0;, d) -6; 6 e) 5 ; - 5, f) -, g) 0; x - x,5, h) -; x - x, ch) 0; 9 x -,5 x, i) 0 ;, j) 0, 9a) a = 0, 0 a) a = -0,5 x = -0,6 x = 0,6,) cm,) 7 cm,) 7 cm, cm,) 8,5) 7, 6 a) 0, b),5 -,5, c) , d) , e) 0; -, f) -;, g) nemá řešení, h) nemá řešení, 7 a), b) nemá řešení, c) prázdná množina, d) -5 x nebo x 5, e) -7 < x < 7, f) - < x <, g) - < x < 7, h) x - nebo x 5, ch) x < -7 nebo x > -5, i) x nebo x 0, j) x < - nebo x > 0, k) x, l) - < x <, 9) y = x, 0 ) k = 6 ) bod B, a) y = x x, b) y = x -,5) y = x x 7) y = x,8) správně X [ - ; ], M [ ; 6], 9 a) 0,76, b) 0,5., c) 0,95, d), e) 0,988, f) -0,0, g) -0,5., h) 0,68, i) 0,988, j) -0,76, k) -0,95, l) -, m) -0,988, n) 0,0, o) 0,68, p) -0,988, r) 0,5878, s) 0,5., t) -, u) -0,5., v), w) -0,5., x) 0, y), x -0,5, 0 a) 0,988, b) 0,5., c) 0,067, d) 0, e) -0,768, f) -0,967, g) 0,5, h) 0,7760, i) 0,76, j) 0,988, k) 0,067, l) 0, m) -0,76, n) -0,997, o) 0,7660, p) 0,76, r) 0,8090, s) 0,5., t) 0, u) -0,5, v) 0, w) -0,5, x) -, y) 0, a) 0,76, b), c),6, d) 0, e) 0,76, f) 0,60, g) -0,577, h), i) 5,67, j) -0,76, k) -0,5, l) nedef., m) -0,76, n) -0,60, o) -0,89, p) -0,76, r) 0,765, s), t) nedef., u), v) nedef., 8

29 w), x) nedef., y) nedef., a) ne, b) ano, c) ne, d) ne, e) ne, a) 0, b) 5, c) 5, d) 0, e) 0, f) 0, g) 60, h) 60, i) 60, j) 90, k) 5, l) 0, m) 0, n) 5, o) 5, p) 65, r) 79 0, s), t) 0 5, u), v) 65, w) 7 Souhrnná cvičení ) a = cm, v = cm,) r = cm, a) [ -; 0], b) [ 0; 0] a [ -; 0], c) [ - 5 ; 0] [ 5 ; 0], d) [ -+ ; 0] [ -- ; 0] e) [ -; 0], [ -5; 0], 5 a) [ 0; ], b) [ 0; 0], c) [ 0; -5], d) [ 0; ], e) [ 0; 5], 6 a) [ -; 0], b) [ -; -], c) [ 0; -5], d) [ -; -], 7 a) - ; -, b) - ;, c) -; -, d) ;, e) ;, f) -;,6, g) - ; -,5, h) -0,; 5, ch) -;, i) 7-7, j) nemá řešení, k) 0; -5, l) -;, m) -; 0, 0 8 a) -; 0, b) 0;, c) -8; -7; 7; 8, d) ; - 0, e) -6;, f) -6; 7, g) 0; x, h) 0; x x, ch) nemá řešení x 0 x -, i) 0; x 0,5 x, j) ; 9 x x 5, k) -; 6 x - x, l) nemá řešení, x x 8, 9. ročník 5. Funkce 9 a) 0, b) -, c) -; 0;, d) -0,5; 0; 0,5, e) -; 0;, f) -;, 0 a) k = x = 5, b) k = 0 x = nebo k = x = 0,5,) libovolná třu za sebou jdoucí celá čísla, a) k =,5 x =,5, b) k =,5 x = -7,5, a) -, b) 0 ; -; c) -5 ; 5, d) -+ ; --, e) nemá řešení, f) -;,6, g) - ; -,5, h) - 0,; 5, ch) -;, i) 7-7, j) nemá řešení, k) 0; 5, l) -;, m) -; 0, a) -0 x, b) -0 < x <-, c) 7 < x < 8, d) - x 7, e) x < -6 nebo x > -, f) x > 6 nebo x <, g) x nebo x, h) < x, ch) - < x <, i) x - nebo x, 6 a) y = x,5, b) y = x -, 7) y = x, x x x 9 b) y =. x, c) y =. x +,0) bod C.) y = 0,8.x,,) y = -x + 7, ) X [,75 ; 0] Y [ 0 ; -7],) ano, 5 a) y = 60x D : x R ; 0 x, b) v = 60, c) ) y = 80-60x D : x R ; 0 x, 6) x = y =,7) S 7. d,9) y x,0) y = -x + 8,) X [ 0,5 ; 0], Y [ 0 ; -], 8 8 ) ne, a) y = x D : x R ; 0 x, b) v = 80, c) ) y = 0-60x D : x R ; 0 x, ) x =,5 y =,5, 6 a)., b) 0,5., c) 0,9659, d) 0, e) 0,988, f),77, g) -, h) 0,i) nedef., j) -0988, k) -0,877, l) -, m) -0,76, n)., o), p) -0,988, r) -,078, s) -., t) nedef., u) - 0,5., v) 0, w) 0,765, x) 0, y), 7 a) ano, b) ano, c) ne, d) ano, e) ano, 8) vždy budeme sestrojovat pravoúhlý trojúhelník, který bude mít velikost příslušných stran v daném poměru, 9 a) ; 9 x x 5, b) -, x 9