FILOSOFIE LOGIKY *** ROZŠÍŘENÝ SYLABUS PŘEDNÁŠKY *** * verze 13.12. 2005 * Učebnice více či méně věnované filosofii logiky: Haack, S. (1978): Philosophy of Logics, Cambridge University Press, Cambridge. Jacquette, D., ed. (2001): Philosophy of Logic: An Anthology, Blackwell, Oxford. Quine, W.V.O. (1986): Philosophy of Logic, Harvard University Press, Cambridge (Mass.). Read, S. (1995): Thinking about Logic (An Introduction to the Philosophy of Logic), Oxford University Press, New York. 1
PŘEDMĚT A METODY LOGIKY Co a k čemu je logika? historicky: má co dělat především se zkoumáním správnosti argumentací a důkazů tedy se zkoumáním, kdy pravdivost nějakých výroků zaručuje pravdivost jiných výroků tedy se zkoumáním vyplývání vyplývání : vztah mezi (smysluplnými) větami Kdy je věta smysluplná? Když má význam; či vyjadřuje myšlenku vyplývání se jeví jako vztah mezi propozicemi [propozice = význam věty] nebo myšlenkami, jenom zprostředkovávaným větami (P) psychologistické koncepce logiky logika = nauka o tom, jak se dostáváme od jedné pravdivé myšlenky k jiné (či jak bychom to měli v ideálním případě činit) Hilbert: "zaprotokolování pravidel, podle kterých skutečně postupuje naše myšlení" (L) platonistické koncepce logiky logika = nauka o vztazích mezi propozicemi přebývajícími v nějakém 'platónském nebi' Tichý: "studium logických objektů (individuí, pravdivostních hodnot, možných světů, propozic, tříd, vlastností, vztahů a podobně) a způsobů, jak mohou být takové objekty konstruovány z jiných takových objektů." (I) inferencialistické koncepce logiky logika = nauka o pravidlech (zejména inferenčních), kterými se řídí užívání nejobecnějších, 'argumentativních' slov našeho jazyka Lorenzen: "operace, které jsou namísto s čísly prováděny s myšlenkami, konkrétněji vzato s jazykovými výroky." Příklad: konjunkce (P): myšlenka C je konjunkcí myšlenek A a B, jestliže v případě, že 'souhlasně myslíme' A a B, 'souhlasně myslíme' (či nejsme schopni 'souhlasně nemyslet'? či máme 'souhlasně myslet'?) i C (L): propozice C je konjunkcí propozic A a B, je-li C v určitém fixním vztahu k A a B (např. je pravdivá právě v těch možných světech, ve kterých jsou pravdivé A i B) (I): výrok C je konjunkcí výroků A a B, je-li podle pravidel příslušného jazyka správné tvrdit C právě tehdy, když je správné tvrdit A i B čím je dána sémantika "? (P):? (L): vyjadřuje nějakou funkci (např. funkci z {0,1} do {0,1} 'převracející' hodnotu, či průnik dvojic množin možných světů) (I): pravidly inference: A, B A B; A B A; A B B 2
Co je to formální logika? namísto vyplývání přímo v přirozeném jazyce jsou studovány jeho idealizované modely ('logické počty') Frege, Russell,... : reglementace přirozeného jazyka do podoby přesně vymezeného systému Boole, Hilbert, Gödel,...: studium takto reglementovaného systému jakožto čistě matematické struktury je třeba rozlišovat: (1) studium log. počtu jako matematické struktury (= matematická logika) [díváme se na logický počet] (2) studium přirozeného jazyka a faktické argumentace prostřednictvím studia log. počtu [díváme se skrze logický počet] z hlediska (1) nás zajímají vlastnosti log. počtu jako takového; ty jsou důsledkem způsobu, jak jsme tento počet definovali, to jest jsou to vlastnosti 'matematické' z hlediska (2) nás naproti tomu zajímá způsob, jakým se log. počet vztahuje k tomu, co má zachycovat; např. do jaké míry můžeme jeho konstituenty a konstrukce ztotožňovat s konstituentami a konstrukcemi přiroz. jazyka Příklad: tzv. paradoxy implikace: B (A B) [V Česku se vaří pivo Je-li v Číně sucho, vaří se v Česku pivo] A (A B) [Česko není u moře Je-li Česko u moře, pak je jeho hlavním městem Praha] (1): tyto výroky jsou v rámci systému klasické logiky prostě platné v důsledku toho, jak jsme definovali operátor (2): operátor klasické logiky zřejmě není příliš adekvátní jako zachycení přirozenějazykového jestliže... pak (to má jisté dobré důvody, musíme si toho však být vědomi) vznik formální logiky souvisí s obecným trendem k matematizaci : na zkoumaném předmětu (v našem případě faktickém jazyce a faktických argumentačních pravidlech) se izoluje a matematicky zachytí nějaká relevantní struktura a ta se potom zkoumá prostředky matematiky pro logiku je ale specifické to, že matematický model má i 'zpětnou vazbu' konstituce logického kalkulu může zpětně ovlivnit užívání jazyka, jehož reglementací vznikl Existuje jedna, či více logik? existuje něco, co dělá jazyk jazykem a argumentaci a argumentací : to je předmětem logiky a proto v logice neexistuje bezbřehý relativismus avšak: (formální) logika idealizuje a standardizuje (vede ostré hranice tam, kde v přirozeném jazyce žádné nejsou, domýšlí a extrapoluje, či někdy dokonce vylepšuje) prostor pro různé druhy variant a alternativ: (1) analýza může jít do různé hloubky: můžeme se například zastavit na úrovni, kdy se na některé výroky díváme jako na primitiva ( výrokové počty), nebo můžeme jít hlouběji a 3
analyzovat každý výrok na nějaké složky, na přísudek a podmět, či přísudek a nějaký větší počet jmenných doplnění ( predikátové počty) (2) alternativy i na téže úrovni abstrakce: například můžeme předpokládat, že všechno, čím se budeme ochotni zabývat jako výrokem, musí být pravdivé či nepravdivé (což je konstitutivní předpoklad klasické, dvouhodnotové logiky), nebo můžeme připustit, že existují i výroky, které nejsou ani pravdivé, ani nepravdivé (pak máme logiku parciální či vícehodnotovou). 'klasická' vs. 'neklasické' logiky: 'klasická' logika (klasický výrokový počet a klasický predikátový počet 1. řádu) není historicky žádným 'přirozeným druhem', jako taková se konstituovala se vlastně až v druhé čtvrtině dvacátého století; má však specifické 'příjemné' vlastnosti 'matematická' vs. 'filosofická' logika: nejméně dva smysly (1) matematická se zabývá matematickými aspekty, filosofická nematematickými (2) matematická se zabývá klasickou logikou, filosofická vším ostatním Speciální literatura Peregrin, J. (1994): Logika a logiky, Academia, Praha. Hacking, I. (1979): 'What is logic?', Journal of Philosophy 76, 285-319. Lorenzen, P. (1978): 'Regeln vernünftigen Argumentierens', Theorie der technischen und der politischen Vernunft. Reclam, Stuttgart; český překlad 'Pravidla rozumné argumentace', Miscellanes Logica III, Karolinum, Praha, 2002. A. C. Varzi, ed. (1999): The Nature of Logic (European Review of Philosophy, vol. 4), CSLI, Stanford. 4
ZÁKLADNÍ LOGICKÉ POJMY Vyplývání výrok B vyplývá z výroků A 1,...,A n (budeme zapisovat A 1,...,A n = B), jestliže je pravdivý, kdykoli jsou pravdivé A 1,...,A n vyplývání 'zachovávání pravdivosti' Jak interpretovat ono "kdykoli" v této definici? (1) "za jakýchkoli okolností" netriviální pouze pro empirické výroky Výrok Bimbo je zvíře vyplývá z výroku Bimbo je slon, protože to druhé nemůže za žádných okolností nastat bez toho, aby nastalo to první. (2a) "i po nahrazení některých částí výroku jinými výrazy" Výrok Bimbo je zvíře vyplývá z výroku Bimbo je slon, protože výroková forma zvíře(x) nemůže být pro žádné jméno individua X pravdivá, aniž by byla pro toto jméno pravdivá i forma slon(x). Bimbo je slon = Bimbo je zvíře X je slon = X je zvíře [X := Peregrin] [X := Tyrl] [X := Garfield] Peregrin je slon = Peregrin je zvíře Garfield je slon = Garfield je zvíře Tyrl je slon = Tyrl je zvíře... ('Okolnostmi' je dána extenze jména, to jest individuum, které dané jméno pojmenovává. Záměnu jména za jiné s jinou extenzí tedy můžeme vidět jako simulování změn okolností: nahradíme-li jméno Bimbo jménem Peregrin, simulujeme tím (kontrafaktuální) situaci, kdy se jménem Bimbo honosí právě to indidivuum, které má momentálne jméno Peregrin.) (2b) "i po reinterpretaci některých částí výroku" Nahradíme-li podmět věty Bimbo je slon jménem Peregrin, dosáhneme tím toho, že tento podmět bude označovat Peregrina. Stejného efektu bychom zřejmě dosáhli i tím, kdybychom přímo reinterpretovali slovo Bimbo tak, že bychom z něj udělali jméno Peregrina, nebo tak, že bychom jméno Peregrina udělali z parametru X příslušné výrokové formy, tj. slon(x). Peregrin X Tyrl X Garfield...... 5
Navíc v tom druhém případě (kdy není přiřazování individuí parametrům zprostředkováváno parametry) můžeme zohlednit i taková individua, která nemají (v jazyce, se kterým pracujeme) jména (2), narozdíl od (1) funguje i funguje i pro matematický diskurz Výrok může z jiného vyplývat jedině díky tomu, co tyto výroky znamenají, a potažmo díky tomu, co znamenají slova, ze kterých se skládají. Zpravidla to však je jenom díky významům některých ze slov, které se v nich vyskytují. výrok B logicky vyplývá z výroků A 1,...,A n jestliže z A 1,...,A n vyplývá v důsledku pouze významů logických konstant Tarski: výrok B logicky vyplývá z výroků A 1,...,A n jestliže je každý model [= interpretace jejich extralogických konstant, která je činí pravdivými] výroků A 1,...,A n i modelem výroku B. problémy s hranicemi: kdy jde již o vyplývání, a kde jenom o empiricky podmíněnou závislost? (vyplývá např. Výrok Bimbo má plíce z výroku Bimbo je slon?) kdy jde o logické vyplývání, tj. co to jsou logické konstanty? (mají například anglické členy (the a a) povahu logických konstant?) Speciální literatura: Tarski, A. (1936): 'Über den Begriff der logischen Folgerung', Actes du Congrés International de Philosophique Scientifique 7, 1-11; český překlad 'O pojmu logického vyplývání' v Teorie modelů a modelování, Svoboda, Praha, 1967. Etchemendy, J. (1990): The Concept of Logical Consequence, Harvard University Press, Cambridge (Mass.). Gomez-Torrente, M. (2002): 'The Problem of Logical Constants', Bulletin of Symbolic Logic 8. 6
Analytická a logická pravdivost Kant: výrok je analyticky pravdivý, je-li význam jeho přísudku obsažen ve významu jeho podmětu (není použitelné na výroky s jinou než subjekt-predikátovou strukturou) zobecněné, moderní pojetí: výrok je analyticky pravdivý, je-li pravdivý pouze v důsledku významu slov, z nichž se skládá pravdivost kontingentní, empirická, syntetická (v důsledku významu a stavu světa) nutná, analytická (v důsledku pouze významu) Neexistuje ještě další možnost (nutná pravda, která není pouze důsledkem významů viz např. Kantovy syntetické pravdy a priori)? Ve filosofii logiky a filosofii jazyka XX. století převládá záporná odpověď. analytická pravdivost logická (v důsledku významu pouze logických konstant)... pravda Hlavní město Česka je Praha analytická pravda logická pravda Hlavní město Česka je město Je-li hlavní město Česka Praha, je hlavní město Česka Praha problémy s hranicemi: hranice mezi pravdou a analytickou pravdou? Quine: zatímo u formálního jazyka je věta analyticky pravdivá prostě tehdy, když je její pravdivost důsledkem definice (sémantiky) tohoto jazyka, sémantika přirozeného jazyka z podstatné části není nijak explicitně definována takže jak rozhodnout například o tom, zda je výrok Sloni mají plíce analyticky, nebo jen kontingentně pravdivý? hranice mezi analytickou pravdou logickou pravdou (logické konstanty?) souvislost mezi analytickou pravdou a vyplýváním A je analyticky pravdivý, když právě vyplývá z prázdné množiny A je logicky pravdivý, když právě logicky vyplývá z prázdné množiny 7
Za předpokladu, že jazyk, o kterém hovořím, má materiální implikaci, : implikace pravda A implikuje B právě tehdy, když je výrok A B pravdivý vyplývání analytická pravda B vyplývá z A, A = B, právě tehdy, když je výrok A B je analyticky pravdivý logické vyplývání logická pravda B logicky vyplývá z A právě tehdy, když je A B je logicky pravdivý Speciální literatura: Co je to analytický výrok?, OIKOYMENH, Praha, 1995. Coffa, A. (1991): The Semantic Tradition from Kant to Carnap, Cambridge University Press, Cambridge. Quine, W.V.: Pursuit of Truth (revised edition), Harvard University Press, Cambridge (Mass.), 1992; český překlad Hledání pravdy, Herrmann a synové, Praha, 1994. Sher, G. (1991): The Bounds of Logic, MIT Press, Cambridge (Mass.). 8
Interpretace Zkoumáme-li logickou pravdu nebo logické vyplývání, zajímají nás ty případy pravdy či vyplývání, ve kterých nezáleží na významech extralogických výrazů (samozřejmě ani na empirickém světě). Tyto výrazy tedy můžeme nahradit 'bezobsažnými' symboly parametry. Namísto jazyka pak zkoumáme pouze jazykovou formu a výsledky našeho zkoumání platí pro každý jazyk této formy. Např. slon(a) = zvíře(a) P(a) Q(b) = P(a) = P(a) P(a) Jde-li nám o konkrétní instanci logické pravdy či vyplývání, nahradíme parametry konkrétními výrazy, například parametr a jménem Bimbo, parametr b jméněm Peregrin, parametr P predikátem slon a parametr Q predikátem pes: slon(bimbo) = zvíře(bimbo) slon(bimbo) pes(tyrl) = slon(bimbo) = slon(bimbo) slon(bimbo) Můžeme také parametry přímo propojit s příslušnými denotáty, např. parametr a s individuem Bimbem, parametr b s individuem Peregrinem, parametr P s množinou všech slonů a parametr Q s množinou všech psů: Interpretace je přiřazení denotátů parametrům Ale někdy také: nahrazení paramterů konkrétními výrazy Ale někdy také: přiřazení konkrétních výrazů konkrétním výrazům (a tím redefinování či explikování jejich významů) - např.: interpretace aritmetiky v teorii množin (explikujeme významy číslovek, tj. čísla, jako významy určitých množinových výrazů, tj. určité množiny) nutno rozlišovat: 1. interpretace ve smyslu objevení významů, které mají výrazy nějakého přirozeného jazyka (nebo i jazyka formálního s již definovanou sémantikou) interpretace ve smyslu stipulativního přiřazení významů výrazům formálního jazyka, které dosud žádné významy neměly. ["neinterpretovaný jazyk": 'jazyk', jehož výrazy nemají významy jazyk, významy jehož výrazů existují, ale nejsou známy] 2. přímé přiřazení významů (či nějakých objektů, kterými významy explikujeme) výrazům (př.: "symbolu P přiřazuji takovou a takovou podmnožinu daného uvierza") přiřazení zprostředkované nějakým již interpretovaným jazykem (př. "symbol P budu brát za reglementaci českého slova 'pes' (a tím mu přiřazuji ten význam, který toto slovo v češtině má)") 3. jednoznačné přiřazení významu konstantě třída přípustných přiřazení významů paramterů 9
4. přiřazení formálních objektů (prvků stipulativně vymezeného univerza, množin...) přiřazení neformálních významů výrazů přiřozeného jazyka Speciální literatura: Stekeler-Weithofer, P. (1986): Grundprobleme der Logik, de Gruyter, Berlin, Kapitola 9. Peregrin, J. (2004): ' Pojem interpretace v logice ', M. Zouhar (ed.): Používanie, interpretácia a význam jazykových výrazov, VEDA, Bratislava, 2004, 9-19 10
Odvoditelnost a dokazatelnost intuitivně: je-li něco dokazatelné, pak je to pravdivé (př.: Fermátova věta) 'relativní' pojem dokazatelnosti (odvoditelnosti): dokazatelnost z dané množiny axiomů (př.: axiom výběru) axiomatická metoda (Eukleidés; Frege, Peano, Hilbert,...): stanovíme nějaké základní výroky (axiomy) a nějaká pravidla získávání výroků z výroků (odvozovací pravidla) a prohlásíme za teorém každý výrok, který je pomocí odvozovacích pravidel odvoditelný z axiomů (tj. který je dokazatelný) výroky teorémy axiomy odvozovací pravidla Příklad: aritmetika (PA) axiomy: x 1 = x 2 x 1 = x 2 0 x x + 0 = x x 1 + x 2 = (x 1 + x 2 ) x 0 = 0 x 1 x 2 = (x 1 x 2 ) + x 1 P(0) ( x(p(x) P(x )) xp(x)) odvozovací pravidla: jestliže V 1 a V 1 V 2, pak V 2 jestliže V, pak xv B je odvoditelný z A 1,...,A n (v rámci daného axiomatického systému), A 1,...,A n B, jestliže existuje posloupnost výroků která má za poslední prvek B a pro každý její člen platí, že to je buďto jeden z A 1,...,A n, nebo je to axiom, nebo je výsledkem aplikace odvozovacího pravidla na nějaké výroky, které jsou v posloupnosti před ním. B je dokazatelný (v rámci daného axiomatického systému), B, jestliže je odvoditelný z prázdné množiny myšlenka: dokazatelnost jakožto věrná teoretická rekonstrukce (analytické) pravdivosti nastavíme-li správně axiomy a odvozovací pravidla, mělo by platit: A 1,...,A n = B právě když A 1,...,A n B (tj. B vyplývá z A 1,..., A n právě když je z nich odvoditelný); a tedy speciálně = B právě když B (B je analyticky pravdivý právě když je dokazatelný) 11
přesně vymezený formální jazyk s ostře vymezenou relací odvoditelnosti -- = reglementace nepřesně ohraničený přirozený s neostrou relací vyplývání Hilbert: dáme dohromady axiomatické systémy tak, že všechny pravdivé výroky matematiky budou dokazatelné; a dokazatelnost by přitom měla být zvládnutelná metodami elementární aritmetiky (očíslujeme-li všechny výroky, pak by to, zda posloupnost čísel tvoří očíslování důkazu výroku s daným číslem, případně i to, zda je dané číslo číslem dokazatelného výroku, mělo být spočítatelné metodami elementární aritmetiky) těmito metodami by měla být zjistitelná pravdivost jakéhokoli matematického (případně i jiného neempirického) výroku redukce veškeré matematiky na aritmetiku ('V je pravdivý právě tehdy, když je dokazatelný, což je spočitatelné metodami elementární aritmetiky')???? Gödel: s rekonstrukcí pravdivosti jakožto dokazatelnosti je fatální problém V PA existuje výrok G tak, že platí: G Dk( G ); a současně Dk( G ) G. Tudíž G Dk( G ) G; a tedy ani G, ani G. Avšak G 'říká' sám o sobě, že je dokazatelný, a tudíž je pravdivý existuje tedy pravdivý nedokazatelný výrok. [Nedokázali jsme ovšem právě G?? viz dále kapitola o paradoxech] Tarski: nezávisle na tom je jiný problém s tím, aby A 1,...,A n = B právě když A 1,...,A n B výrok všechna přirozená čísla mají vlastnost V vyplývá z {n má vlastnost V} n=1,...,, ale nemůže z nich být z nich dokazatelný (námitka: pokud by mělo jít o logické vyplývání, pak, jak se zdá, chybí premisa, že 1,..., jsou všechna čísla; a pokud ne, pak to není protipříklad proti tomu, že pomocí odvozování dokážeme zachytit logické vyplývání) musíme se zabývat bezprostřednějším teoretickým rekonstruováním pojmu pravdivosti než jako dokazatelnosti [viz kapitola o pravdivosti] Tarski vlastně říká, že zatímco odvozováná je kompaktní, vyplývání nikoli kompaktnost: vztah R mezi množinami výroků a výroky je kompaktní, jestliže pro nekonečnou množinu X platí X R V právě tehdy, když X R V pro nějakou konečnou podmnožinu X množiny X kompaktnost odvozování: říci, že výrok V je odvoditelný z nekonečné množiny výroků X dává zřejmě smysl jedině tehdy, když je odvoditelný z nějaké její konečné podmnožiny kompaktnost vyplývání: výrok V vyplývá z nekonečné množiny výroků X právě tehdy, když je odvoditelný z nějaké její konečné podmnožiny? Tarski nabízí (diskutabilní) protipříklad je dokazatelnost syntaktický pojem? 1. dokazatelnost 1 = odvoditelnost z nějakých axiomů podle nějakého souboru pravidel 12
2. dokazatelnost 2 = odvoditelnost z pravdivých axiomů podle souboru pravidel zachovávajících pravdivost dokazatelnost 1 je jednoznačně syntaktický pojem; nás ale zajímá hlavně dokazatelnost 2 rozlišovat: syntax v úzkém slova smyslu (definující pojem dobře utvořeného výrazu) syntax v širším slova smyslu, zahrnujícím dokazování dichotomie syntaktický/sémantický z hlediska formální logiky nestačí je tu něco jako 'syntaktické indikátory sémantických vlastností' korektnost a úplnost: kalkul je korektní, jestliže A 1,...,A n B jen pro takové A 1,...,A n, B, pro které A 1,...,A n = B kalkul je úplný, jestliže A 1,...,A n B pro všechny A 1,...,A n, B takové, že A 1,...,A n = B! rozlišovat: korektnost a úplnost odvoditelnosti vzhledem k vyplývání, jak je vtěleno v přirozeném jazyce ( = P ) korektnost a úplnost odvoditelnosti vzhledem k vyplývání definovaném v rámci formální sémantiky ( = F ) přesně vymezený formální jazyk s ostře vymezenou relací odvoditelnosti -- = F reglementace formální sémantika pro tento jazyk = P nepřesně ohraničený přirozený s neostrou relací vyplýván = P je věcí vztahu přiměřenosti formálního kalkulu ke svému ne-formálnímu předobrazu, tedy k tomu, čeho reglementací vznikl - nemůže být nikdy předmětem formálního důkazu = F je naproti tomu věcí vztahu mezi dvěma formálními systémy (axiomatiku a sémantikou) - můžeme ji formálně prokazovat Speciální literatura: Corcoran, J. (1972): Conceptual Structure of Classical Logic, Philosophy and Phenomenological Research 33, 25-47. Tarski, A. (1936): 'Über den Begriff der logischen Folgerung', Actes du Congrés International de Philosophique Scientifique 7, 1-11; český překlad 'O pojmu logického vyplývání' v Teorie modelů a modelování, Svoboda, Praha, 1967. Tarski, A. (1965): Introduction to Logic and to the Methodology of Deductive Sciences, Oxford University Press, Oxford; český překlad Úvod do logiky, Academia, Praha, 1969 kapitola VI. 13
Nagel, E. & J.R. Newman (1958): Gödel's proof, New York University Press, New York; český překlad Gödelův důkaz, Vutium, Brno, 2003. 14
Pravdivost Frege: pojem pravdy je obecným předmětem logiky ve stejném smyslu, v jakém je pojem dobra předmětem etiky a pojem krásy estetiky Intuitivní pojem pravdivosti Aristotelés: "pravda je říkat, o tom, co je, že to je" výrok (myšlenka) je pravdivý, mají-li se věci tak, jak říká, že se mají výrok (myšlenka) je pravdivý, je-li to, co říká, faktem výrok (myšlenka) je pravdivý, existuje-li jemu odpovídající fakt korespondenční teorie pravdivosti: pravdivost je korespondence (odpovídání si) s faktem problémy s korespondenční teorií: 1. odkud kam sahá fakt? je fakt, že Praha je na východ od Plzně, tímtéž faktem, jako fakt, že Plzeň je na západ od Prahy? lze pojem faktu vůbec vymezit bez pomoci pojmu pravdivé věty (a je lze tedy korespondenční teorii formulovat nekruhovým způsobem)? nejsou fakty jenom "větotvaré kousky skutečnosti"? [technický argument proti vymezitelnosti faktů, tzv. prak (Frege, Gödel,...), probereme později] 2. zdá se, že svá přesvědčení nemůžeme porovnávat se světem, ale zase jenom se svými přesvědčeními; a podobně v teorii nemůžeme mít nikdy fakt sám, vždy jenom nějaké jeho vyjádření v rámci teorie nemůžeme nikdy porovnávat výrok s faktem, ale vždy jenom výrok s nějakým vyjádřením faktu, tj. zpravidla opět s jiným výrokem alternativní teorie? (viz dále) Tarského výsledky Tarski: jaké principy vymezují pojem pravdivosti, a jaké axiomy by tedy mohly tvořit formální teorii pravdivosti (analogické třeba teorii množin)? Pro každý výrok V platí, že dosadíme-li v následujícím schématu (tzv. T-schéma) namísto tří teček jeho jméno, a namísto tří čárek tento výrok sám, dostaneme pravdivé tvrzení: Výrok je pravdivý, jestliže - Pravdivé jsou tedy tvrzení (tzv. T-věty): (1) Výrok 'Sníh je bílý' je pravdivý právě tehdy, když sníh je bílý (2) Výrok 'Sníh není bílý' je pravdivý právě tehdy, když sníh není bílý (3) Výrok 'Sníh je bílý a sníh není bílý' je pravdivý právě tehdy, 15
když sníh je bílý a sníh není bílý (4) Výrok 'Něco je bílé' je pravdivý právě tehdy, když něco je bílé atd. rozlišovat: objektový jazyk, pro který formulujeme teorii pravdivosti metajazyk, ve kterém tuto teorii formulujeme! uvedeme-li objektový jazyk do tvaru jazyka logiky 1. řádu (1 * ) Výrok 'Bílý(Sníh)' je pravdivý právě tehdy, když sníh je bílý (2 * ) Výrok ' Bílý(Sníh)' je pravdivý právě tehdy, když sníh není bílý (3 * ) Výrok 'Bílý(Sníh) Bílý(Sníh)' je pravdivý právě tehdy, když sníh je bílý a sníh není bílý (4 * ) Výrok ' x Bílý(x) ' je pravdivý právě tehdy, když něco je bílé atd. uvedeme-li do takového tvaru i metajazyk: (1 ** ) Pr( Bílý(Sníh) ) Bílý(Sníh) (2 ** ) Pr( Bílý(Sníh) ) Bílý(Sníh) (3 ** ) Pr( Bílý(Sníh) Bílý(Sníh) ) (Bílý(Sníh) Bílý(Sníh)) (4 ** ) Pr( x Bílý(x) ) x Bílý(x) atd. žádné jiné axiomy nejsou na obzoru pojem pravdy pro daný jazyk je vymezen nekonečnem T-vět pro všechny výroky tohoto jazyka konečné zachycení? (2 ** ) vyplývá z (1 ** ) plus následujícího principu (kde Neg(V) je jménem negace výroku V) V (Pr(Neg(V)) Pr(V)) (tento princip zjevně vyjadřuje to, co obvykle zachycujeme pravdivostní tabulkou pro negaci). Analogicky (3 ** ) vyplývá z (1 ** ) plus (2 ** ) plus následujícího principu (kde Con(V 1,V 2 ) je jménem konjunkce výroků V 1 a V 2 ): V 1 V 2 (Pr(Con(V 1,V 2 )) Pr(V 1 ) Pr(V 2 )) pomocí několika zřejmých principů tohoto typu můžeme převést všechny T-věty pro 'logicky komplexní' věty na T-věty pro jejich jednoduché části kdybychom se zbavili i T-vět pro kvantifikované výroky, zbyly by nám jen T-věty pro 16
atomické výroky, kterých bychom mohli mít konečný počet (funktorů se můžeme zbavit jinak) jak převést T-věty pro kvantifikované výroky na T-věty pro jejich části? Problém: kvantifikovaný výrok obecně nemá za součást výrok, ale (otevřenou) formuli Tarski: udělejme namísto teorie pravdivosti teorii splňování, vztahu mezi individui a formulemi (intuitivně: Boromir a Faramir splňují formuli 'x a y jsou bratři'); budeme-li mít tuto teorii, teorii pravdivosti z ní snadno dostaneme (výrok, tj. uzavřená formule, je pravdivý právě tehdy, když je splňován vším) (4 ** ) vyplývá z i Spl(i, Bílý(x) ) (existuje individuum, které splňuje formuli 'Bílý(x)') plus následujícího principu F i Spl(i, i F(x) ) j Spl(j, F(x) ) (' x F[x]' je splňován individuem i, jestliže existuje individuum splňující 'F[x]' ) Korektněji se ovšem splňování musí definovat jako vztah mezi přiřazeními objektů proměnným (nebo nekonečnými posloupnostmi objektů) a formulemi. jako 'vedlejší produkt' teorie pravdivosti dostáváme teorii modelů v logicky netriviálním jazyce je existuje vždy možnost vytvořit 'lhářovský výrok' [viz dále kapitola o paradoxech]: V* Pr( V* ) ale T-věta pro V* říká, že V* Pr( V* ), tedy Pr( V* ) Pr( V* ), a to je spor logicky netriviální jazyk nemůže obsahovat svůj vlastní predikát pravdivosti hierarchie metajazyků Relevance Tarského výsledků pro explikaci pojmu pravdivosti je T-schéma pro přirozený skutečně obecně platné? výhrady: 1. věty bez pravdivostních hodnot (Dummett): nemá-li V žádnou pravdivostní hodnotu, pak má levá strana příslušné T-věty hodnotu nepravda, zatímco pravá nemá žádnou 2. věty s indexickými prvky (Davidson): Obsahuje-li V indexické výrazy, jako jsou já, tady, teď ap., nemá pravdivostní hodnotu on sám, ale až jeho výskyt v konkrétním kontextu nelze tedy tvrdit Výrok 'já mám hlad' je pravdivý právě tehdy, když já mám hlad. 3. věty s any (Hintikka): Výrok 'Karla může porazit kdokoli' je podle Hintikky pravdivý právě tehdy, může-li Karla porazit každý, zatímco jemu příslušná T-věta konstatuje, že je pravdivý, může-li Karla porazit někdo (někteří čtenáři Hintikkovi intuice ovšem nesdílejí) co přesně znamená 'právě tehdy, když' v T-větách? stejnost pravdivostních hodnot, nebo stejnost pravdivostních podmínek? 17
Tarski sám svou teorii prohlašuje za korespondenční převádí totiž pojem pravdivosti na pojem splňování, to jest na jistý vztah mezi jazykem a mimojazykovými entitami. (Někteří autoři, například Hartry Field,navrhují doplnit jeho teorii nějakým kauzálním výkladem vztahu mezi jazykem a světem a dostat tak fyzikalistickou teorii pravdivosti.) Jinou interpretací je, že Tarski svým odhalením toho, že jediným místem podstatného výskytu predikátu pravdivosti jsou T-věty, odhalil, že tento predikát je vlastně zbytný (tzv. redundanční teorie pravdivosti, která ovšem existovala již před Tarskim): tvrzení Výrok V je pravdivý můžeme vždycky nahradit samotným výrokem V. (Zřejmou námitkou je, že predikát pravdivosti se vyskytuje i v takových kontextech jako Vše, co napsal Aristotelés, je pravda, kde se ho takto snadno zbavit nelze.) Alternativní teorie pravdivosti: koherenční teorie (Bradley,...) pravdivost = 'koherence' s ostatními výroky dané teorie či daného souboru přesvědčení (nemůžeme-li v teorii nikdy porovnávat výrok (či přesvědčení) s faktem, ale vždy jenom výrok s jiným výrokem (či přesvědčením), zdá se být koherence jediným dostupným kritériem co to však 'koherence' je?) pragmatistické teorie (James, Rorty,...) pravdivost = nějaká forma užitečnosti či vhodnosti (můžeme mít spousty 'koherentních' teorií, ale jenom některé z nich se ukazují jako užitečné při našem obcováním se světem) pravdivost jako opodstatnitelnost či dokazatelnost (Dummett) výrok je pravdivý, je-li možné jej opodstatnit či dokázat [souvisí s intuicionistickou logikou viz dále kapitola o 'neklasických' logikách] deflační či minimalistické teorie (Horwich) navazují na redundanční teorie pravdy predikát 'pravdivý' je pouze gramatickou záležitostí a nevyjadřuje žádný netriviální pojem (tvrdit, že V je pravda, není ničím jiným, než tvrdit V vypořádává se i s případy jako Vše, co napsal Aristoteles, je pravda) pravdivost jako neexplikovatelný, primitivní pojem (Davidson) nemůžeme chtít explikovat všechny své pojmy, a pojem pravdivosti je dobrým kandidátem na to, aby zůstal jako primitivní 18
Jedno z možných schémat post-tarskiovských přístupů k pojmu pravdy Charakterizují T-věty pojem pravdy? ANO s výhradmi Charakterizují ho vyčerpávajícím způsobem? Dummett, Hintikka, Davidson,... Co je k nim potřeba dodat? ano; nic ano; konečné zachycení víceméně; charakterizaci dalších ne (axiomatizaci) významů slova 'pravda' Co to tedy pravda je? deflacionismus (Paul Horwich) Alfred Tarski 1 Richard Rorty 1 korespondence opodstatnitelnost koherence druh užitečnosti něco neexplikovatelného (ale podstatného) Alfred Tarski 2, Michael Dummett,??? Richard Rorty 2 Donald Davidson 2 Hartry Field, konstruktivisté a jiní pragmatisté Donald Davidson 1 Speciální literatura: Kirkham, R. L. (1992): Theories of Truth, MIT Press, Cambridge (Mass.). Kolář, P. (2002): Pravda a fakt, Filosofia, Praha. Peregrin, J., ed. (1999): Truth and its Nature (if any), Kluwer, Dordrecht; zejména 'Introduction'. Tarski, A. (1944): 'The Semantic Conception of Truth', Philosophy and Phenomenological Research 4, 341-375. 19
LOGICKÉ SYSTÉMY 'Klasická' logika = výrokový + predikátový počet 1. řádu 'klasický' výrokový počet syntax: slovník: extralogické konstanty: atomické výroky - logické konstanty: operátory,,, syntaktická pravidla: - atomické výroky jsou výroky - jsou-li A a B výroky, jsou A, A B, A B a A B výroky axiomatika axiomy: (1) A (B A) (2) (A (B C)) ((A B) (A C)) (3) (A B) A (4) (A B) B (5) A (B (A B)) (6) A (A B) (7) B (A B) (8) (A C) ((B C) ((A B) C)) (9) (A B) ((A B) A)) (10) A A odvozovací pravidlo: (mp) A, A B / B sémantika Interpretace = funkce přiřazující každému A výroku pravdivostní hodnotu A tak, že A = P právě tehdy, když A = N A B = P právě tehdy, když A = P a B = P A B = P právě tehdy, když A = P nebo B = P A B = P právě tehdy, když A = N nebo B = P charakteristické vlastnosti sémantika a axiomatika jsou dvě stránky téže mince: - každý teorém je tautologií (korektnost) - každá tautologie je teorémem (úplnost) - cokoli je odvoditelné, vyplývá (silná korektnost) - cokoli vyplývá, je odvoditelné (silná úplnost) vlastně by nám stačilo mít buď jenom axiomatiku, nebo jenom sémantiku 20
věta o dedukci: každé odvození a každé vyplývání je možné vyjádřit ve tvaru (analytické) implikace: - A 1,..., A n A právě tehdy, když (A 1 (...(A n A)...)) - A 1,..., A n = A právě tehdy, když = (A 1 (...(A n A)...)) rozhodnutelnost: pro daný výrok jsme schopni efektivně rozhodnout, zda je teorémem/tautologií kompaktnost: je-li výrok odvoditelný (vyplývá) z množiny výroků, pak je odvoditelný (vyplývá) z nějaké konečné podmnožiny této množiny některé alternativy: intuicionistická logika motivace: konstruktivismus v matematice vznikne nahrazením axiomu (10) slabším axiomem A ( A B)) neplatí v ní: A A, ( B A) (A B), (A B) (( A B) B),... nemá sémantiku s konečným počtem hodnot vícehodnotové logiky motivace: ne každý výrok přece musí mít ('standardní') pravdivostní hodnotu (viz vágní výroky, výroky o budoucnosti...) výrok může být nejenom pravdivý a nepravdivý, ale může nemít žádnou pravdivostní hodnotu, nebo může nabývat nějakých hodnot mezi pravdivostí a nepravdivostí Bočvar, Kleene, Łukasiewicz: různé trojhodnotové logiky (hodnoty pravda, nepravda a ani pravda, ani nepravda) fuzzy logika: nekonečný počet 'přechodových' hodnot mezi pravdou a nepravdou parakonzistentní logiky připouštějí, kromě výroků, které nejsou ani pravdivé, ani nepravdivé, i výroky, které jsou současně pravdivé i nepravdivé (v podstatě čtyřhodnotová logika) neplatí v nich A ( A B)), tj. ze sporu není odvoditelné cokoli ('globální spor' je oddělen od 'lokálního sporu') sémantiku lze založit na dvojici trojhodnotových ohodnoceních relevanční logiky snaha o nahrazení klasické ( materiální') implikace nějakou lepší nutnou podmínkou pro A B je, aby spolu A a B 'souvisely' sémantika je problematická rozšíření přidání nových operátorů modální logiky 21
nutnost: ; možnost: různé systémy: S1-S5 (C.I. Lewis), K, B, T,... axiomatika S5 navíc: A A; A A; (A B) ( A B); A A; A / A sémantika (Kripke): množina možných světů + relace 'dosažitelnosti' mezi nimi; výrokům jsou přiřazeny možné světy; výrok je v daném světě nutně pravdivý právě tehdy, když je pravdivý v každém světě, který je z něj dosažitelný (varianty možnosvětové sémantiky existují i pro intuicionistickou a relevanční logiky) A A A A 22
'klasický' predikátový počet syntax: slovník: (individuové) proměnné - extralogické konstanty: (individuové) konstanty; funktory; predikáty - logické konstanty: operátory,,, ; kvantifikátory, ; binární predikát = syntaktická pravidla: - každá proměnná a každá konstanta je term - je-li f n-ární funktor a t 1,..., t n termy, je f(t 1,..., t n ) term - je-li p n-ární predikát a t 1,..., t n termy, je p(t 1,..., t n ) výrok - jsou-li A a B výroky, jsou A, A B, A B a A B výroky - je-li A výrok a x proměnná, jsou xa a xa výroky axiomatika navíc axiomy (11) xa A (12) x(a B) (A xb), kde x není volná v A navíc odvozovací pravidlo (gen) A / xa sémantika Interpretace v množině U = funkce přiřazující prvek U každé konstantě, n-ární funkci na U každému n-árnímu funktoru a n-ární relaci nad U každému n-árnímu predikátu. Valuace v U = funkce přiřazující prvek U každé proměnné. denotáty termů: t I,V = I(t), je-li t konstanta t I,V = V(t), je-li t proměnná f(t 1,...,t n ) I,V = I(f)( t 1 I,V,..., t n I,V ) splňování formulí I,V = P(T 1,..., T n ) p.t., k. < T 1 I,V,..., T n I,V > I(P) I,V = (T 1 =T 2 ) p.t., k. T 1 I,V = T 2 I,V I,V = A p.t., k. I,V A I,V = A B p.t., k. I,V = A a I,V = B I,V = A B p.t., k. I,V = A nebo I,V = B I,V = A B p.t., k. I,V A nebo I,V = B I,V = xa p.t., k. I,V = A pro každou valuaci V, která se od V liší jenom tím, jakou hodnotu přiřazuje x I,V = xa p.t., k. I,V = A pro nějakou valuaci V, která se od V liší jenom tím, jakou hodnotu přiřazuje x charakteristické vlastnosti korektní a úplný (silně pro jednu verzi definice vyplývání) věta o dedukci neplatí obecně, pro uzavřené formule platí nerozhodnutelný kompaktní 23
některá další rozšíření intenzionální (modální predikátová) logika motivace: adekvátní explikace sémantiky přirozeného jazyka (Montague, Tichý) problém vztahu mezi univerzem individuí a množinou možných světů: existuje jedno společné univerzum, nebo má každý svět své? x F xf? přidání nových kvantifikátorů 'existuje nekonečně mnoho', 'většina' nejsou v klasické logice definovatelné přidání predikátových proměnných a predikátů vyšších řádů logiky vyšších řádů motivace: větší 'vyjadřovací schopnost' (viz např. xy ((x=y) p (p(x) p(y)))); adekvátnější základ pro matematiku (na rozdíl od standardní logiky můžeme definovat aritmetiku kategoriálně) je však neúplný to jest nelze jej axiomatizovat λ-kalkul přidání nových logických konstant zcela nových kategorií např. výrazy tvořící z predikátů termy: Russell: ιxf[x] 'to jediné x, které je F' Hilbert: εxf[x] 'nějaké x, které je F' aktuální trendy dynamické logiky a logiky založené na teorii her Speciální literatura Materna, P. a J. Štěpán (2000): Filosofická logika: nová cesta?, Nakladatelství Olomouc, Olomouc. Mleziva, M. (1970): Neklasické logiky, Svoboda, Praha. Peregrin, J. (2004): Logika a logiky, Academia, Praha. Peregrin, J.: 'Pozoruhodné logické systémy I-IV', ORGANON F 8, No. 1-4, 2000, 90-96, 210-217, 342-348, 460-466. Priest, G. (2001): An Introduction to Non-Classical Logics, Cambridge University Press, Cambridge. 24
PARADOXY Paradox lháře a jeho varianty Epimenides: všichni Kréťané jsou lháři Russell: {x x x} Grelling: je predikát 'heterologický' heterologický? Berry: nejmenší číslo nedefinovatelné konečným počtem slov atd. Sebevyvracející výrok: V V Lhářovský výrok (LV): "říká" sám o sobě, že je nepravdivý V Pr( V ) (kde Pr je takový, že V Pr( V ) pro každý V) Pr( V ) V Pr( V ), a Pr( V ) je tedy sebevyvracející ke konstituci LV potřebujeme tři ingredience: 1. negaci 2. predikát pravdivosti 3. 'schopnost' výroku odkázat k sobě sama nechceme-li lhářovský výrok, musíme do jazyka alespoň jednu z těchto ingrediencí nevpustit. Zřejmým kandidátem se zdá být 3 - jenomže, jak se překvapivě ukazuje, u složitějších jazyků to prostě nejde (Gödel; viz níže). Protož kandidátem není 1 (jazyk nez negace by nebyl hodný toho jména), zbývá 2. (Tarski; viz kapitola o pravdivosti). Sebevylučující predikát (SP): P(p) p(p) pro každý predikát p P(P) P(P), a P(P) je tedy sebevyvracející SP je přímo zkonstruovatelný, můžeme-li aplikovat predikát sám na sebe a máme-li (mechanismus ekvivalentní) lambda-abstrakci: λp. p(p) máme-li jména predikátů, nepotřebujeme aplikaci na sebe sama: P( p ) p( p ) predikáty lze nahradit formulemi a predikaci substitucí: V( V /x) V( V /x) Gödel: 1. V jazyce aritmetiky (a potažmo v každém jazyce, do kterého je tento jazyk přeložitelný), můžeme jednoznačně očíslovat formule, tj. přiřadit formulím číslovky (tzv. gödelizace); číslovku přiřazenou formuli F budeme značit F. F lze považovat za 'jméno' formule F a aritmetické formule lze nahlížet jako pojednávající o formulích (skrze jejich čísla). 2. V aritmetice je definovatelná funkce, která každému výroku přiřazuje výrok který "říká": V platí sám o sobě pro každý V: Diag( V ) = V( V /x) 3. Pro každou vlastnost L vyjádřitelnou v aritmetice existuje výrok V L, tzv. pevný bod vlastnosti L tak, že V má vlastnost L právě tehdy, když V. V tedy "říká": Mám vlastnost L. 25
Vlastnost považujeme za vyjádřitelnou v aritmetice právě tehdy, když existuje formule s jedinou volnou proměnnou, která je splňována právě těmi prvky univerza, které tuto vlastnost mají. Říkáme-li formuli s jedinou volnou proměnnou (pro jednoduchost předpokládáme, že to je x) kvazipredikát, pak pro každý kvazipredikát P existuje výrok V P takový, že P[ V P /x] V. Pomocí Diag lze V P zkonstuovat následujícím způsobem V P * Def P[Diag(x)/x] V P Def V P * [ V P * /x] Pak totiž zřejmě V P P[Diag(x)/x][ V P /x] P[Diag( V P )/x] P[ V P * [ V P * /x] /x] P[ V P /x] 4. V aritmetice je vyjádřitelná vlastnost být dokazatelný tudíž i být nedokazatelný, a tudíž existuje její pevný bod, to jest výrok, který o sobě "říká", že není dokazatelný. Tento výrok tedy nemůže být dokazatelný (protože pak by musel být pravdivý a musela by tedy být pravda, že není dokazatelný - spor); a dokazatelná nemůže být ani jeho negace (protože pak by musela být pravdivá tato negace, tudíž výrok sám by musel být nepravdivý, a tudíž by musel být dokazatelný, a tedy pravdivý, a tudíž by musela být jeho negace nepravdivá - spor). (Všimněme si, že tato úvaha předpokládá konzistenci aritmetiky!) Nechť je Dk ten kvazipredikát, který vyjadřuje vlastnost být dokazatelný, to jest nechť pro každý V platí: Dk( V ) právě tehdy, když V. Pak máme pevný bod V Dk kvazipredikátu Dk tj. platí V Dk Dk[ V Dk /x], Takže V Dk právě tehdy, když Dk[ V Dk /x]; avšak na druhé straně V Dk právě tehdy, když Dk[ V Dk /x] (z definice Dk). To znamená, že Dk[ V Dk /x] právě tehdy, když Dk[ V Dk /x]; a tudíž, pod hrozbou sporu, ani Dk[ V Dk /x], ani Dk[ V Dk /x]. Pro srovnání předpokládejme, že by byla v aritmetice vyjádřitelná vlastnost být pravdivý: pak by byla vyjádřitelná i vlastnost nebýt pravdivý, a existoval by výrok, který by sám o sobě "říkal", že je nepravdivý - takže by to byl zřejmě LV. V Pr Pr[ V Pr /x] [Nemohli bychom se z paradoxu lháře "vyvléct" způsobem analogickým tomu, jakým jsme se ze sporu "vyvlékli" výše v případě dokazatelnosti - to jest prohlásit, že V Pr není ani pravdivý ani nepravdivý? To nejde v rámci klasické logiky, kde musí mít každý výrok pravdivostní hodnotu; a jestliže výroky bez pravdivostních hodnot připustíme, nebude sice nutně sebevyvracející ten výrok, který o sobě "říká" já jsem nepravdivý (= mám pravdivostní hodnotu NEPRAVDA), ale určitě výrok, který o sobě "říká" já nejsem pravdivý (= nemám pravdivostní hodnotu PRAVDA)] 26
Diagonální argumenty Můžeme do čtvercové tabulky přidat sloupec, který tam ještě není? Jistě. Jednou z metod je zkonstruovat ho tak, aby se jeho hodnota v j-tém řádku lišila od hodnoty j-tého sloupce antidiagonála tabulky (dává smysl i pro nekonečné tabulky.) 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 Diagonální argument: ke každé (i nekonečné) čtvercové tabulce vytvořit antidiagonálu Matematičtější vyjádření: F... s definičním oborem D a oborem hodnot R R má alespoň dva prvky existuje vzájemně jednoznačné přiřazení prvků množiny D prvkům množiny F existuje fce s definičním oborem D a oborem hodnot R, která nepatří do množiny F [Takovou funkcí je např. každá funkce f taková, že f(i(f)) f(i(f)) (neboli f(x) (i -1 (x))(x)) pro všechny f F (kde i je vzájemně jednoznačné přiřazení prvků D prvkům F)] Aplikace diagonálního argumentu 1. Posloupností přirozených čísel je více než přirozených čísel. 1 2 3... 1 1 1 2... 2 2 1 37... 3 3 1 12....... : : : : antidiagonála = posloupnost přirozených čísel, která v tabulce není taková tabulka nemůže nikdy obsahovat všechny posloupnosti přirozených čísel posloupností přirozených čísel musí být více než sloupců této tabulky, tj. než přirozených čísel posloupností přirozených čísel je nespočetno [ reálných čísel je nespočetno] 2. Podmnožin každé množiny je více než jejích prvků. prvky M: x 1,x 2,x 3,... podmnožiny M: p 1,p 2,p 3,... do políčka i, j napíšeme 1 nebo 0, podle toho, zda je x i prvekm p j : 27
p 1 p 2 p 3... x 1 0 1 1... x 2 1 1 0... x 3 1 1 0....... : : : : Kdyby byla tato tabulka čtvercová, to jest kdyby bylo prvků M stejně jako podmnožin M, dokázali bychom zkonstruovat antidiagonálu, která by vymezovala podmnožinu M, která v tabulce není spor. ke každé množině nějaké mohutnosti existuje množina s větší mohutností 3. Paradoxy. v 1, v 2, v 3,... vlastnosti (např.: v 1 je červenost, v 2 je dlouhonohost atd.) do políčka i, j píšeme 1 nebo 0 podle toho, zda má v i vlastnost v j : v 1 v 2 v 3... v 1 0 0 1... v 2 0 0 0... v 3 1 1 0....... : : : : antidiagonální sloupec: vlastnost nemít sama sebe. nemít sama sebe nikdy v tabulce nemůže být nemít sama sebe vlastně není žádná vlastnost? modifikace: v tabulce jenom vlastnosti vyjádřitelné predikáty nějakého jazyka jazyk, který dovoluje vyjádřit vlastnost nemít sama sebe (např. netypovaný λ-kalkul) musí být nekonzistentní. 4. Neúplnost aritmetiky. tabulka s chybějícími hodnotami: 0 1 1... 0 0... 1 1 0...... : : : 28
kvaziantidiagonála = její hodnota v j-tém řádku se liší od hotnoty j-tého sloupce, ale pokud hodnota v poli j, j není, nemá ani ona v j-tém řádku hodnotu 0 1 1... 1 0 0... 1 1 0... 1.... : : : : kvaziantidianonála může být identická se sloupcem tabulky: ale jedině s takovým, kterému chybí diagonální hodnota modifikace tabulky s vlastnostmi: v řádcích a sloupcích pouze vlastnosti vyjádřitelné v Peanově aritmetice, číslo v průsečíku řádku i a sloupce j bude 1, je-li v PA dokazatelný výrok tvrdící, že v i má vlastnost v j, a bude 0, je-li dokazatelná negace tohoto výroku (není-li dokazatelné ani jedno, bude příslušná hodnota chybět) (kvazi?)antidiagonála: vlastnost nemít sebe sama dokazatelně vlastnost nemít sebe sama dokazatelně lze vyjádřit v jazyce PA musí ji odpovídat jeden ze sloupců tabulky protože tento sloupce odpovídá kvaziantidiagonále, musí mu na diagonále chybět hodnota je-li Peanova aritmetika konzistentní, musí v ní existovat výrok, který není dokazatelný ani vyvratitelný. 5. Neřešitelnost problému zastvení Turingova stroje. Churchova teze: každá úloha, která je intuitivně vypočitatelná, je vypočitatelná nějakým Turingovým strojem Každý Turingův stroj je jednoznačně charakterizován určitým konečným zápisem Všechny Turingovy stroje lze seřadit podle nějaké abecedy a anotovat jimi sloupce tabulky. Pro jednoduchost předpkládejme, že vstupem i výstupem každého Turingova stroje je přirozené číslo Každý Turingův stroj realizuje přiřazení přirozených čísel přirozeným číslům a Churchova teze říká, že každé takové přiřazení, které je vůbec lidsky vypočitatelné, je realizováno nějakým Turingovým strojem. Anotujme řádky v tabulce těmito čísly a do políčka v průsečíku i-tého řádku a j-tého sloupce pišme výsledek práce j-tého stroje pro vstup i. Označíme-li tedy výstup stroje TS j pro vstup i symbolem TS j [i], máme TS 1 TS 2 TS 3... 1 TS 1 [1] TS 2 [1] TS 3 [1]... 2 TS 1 [2] TS 2 [2] TS 3 [2]... 3 TS 1 [3] TS 2 [3] TS 3 [3]....... : : : : 29
Ne každý stroj dojde pro každý vstup k nějakému výstupu (výpočet může běžet do nekonečna) v tabulce mohou být prázdná políčka. definujme nové přiřazení čísel číslům: F[j] = TS j [j]+1, pokud bude TS j [j] definováno (příslušné políčko není tabulky prázdné); = 1 jinak. antidiagonála (nikoli pouze kvaziantidiagonála!) nemůže být sloupcem tabulky F nemůže být realizováno Turingovým strojem Ale: definuje přiřazení čísel číslům, které se zdá být vypočitatelné spor??. Vysvětlení: F nemusí být vypočitatelná, protože pokud práce stroje TS j na vstupu j nikdy neskončí, nikdy se nedopracuji k hodnotě pro F[j] budu muset čekat donekonečna (nikdy si nebudu moci být jistý, zda se stroj přece jenom ještě k nějakému výsledku nedopracuje). Univerzální Turingův stroj: pro každý daný Turingův stroj a danou vstupní hodnotu je schopen spočítat, zda se tento stroj s tímto vstupem zastaví nebo ne pokud by existoval, stala by se F vypočitatelnou platí-li Churchova teze, nemůže Univerzální Turingův stroj existovat 30
Paradoxy typu sorites Máme lineárně uspořádanou množinu M... x 1 x 2 x 3 x n a množinu M' takovou, o které se zdá platit: 1. x 1 M' 2. kdykoli je x i M', je i x i+1 M' 3. x n M' Přitom 1.+2.+3. jsou zřejmě neslučitelné. (Např. x 1 je nějaký prapředek člověka, x n je nějaký dnešní člověk, x i+1 je vždy syn x i ; a M' je množina pralidí. Nebo x 1 je člověk zcela bez vlasů, x n je člověk se spoustou vlasů (tedy určitě nikoli plešatý, x i+1 je vždy člověk, který má o jeden vlas více než x i ; a M' je množina plešatých lidí.) Řešení: Nejčastěji přijetí nějakého nestandardního typu množin s tím, že běžným pojmům odpovídají právě takové množiny (fuzzy teorie množin; Vopěnkova alternativní teorie množin). Speciální literatura Grim, P. (1991): The Incomplete Universe, MIT Press, Cambridge (Mass.). Hughes, P. and Brecht, G. (1975): Vicious Circles and Infinity: A Panoply of Paradoxes, Garden City, NY: Doubleday. Nagel, E. & J.R. Newman (1958): Gödel's proof, New York University Press, New York; český překlad Gödelův důkaz, Vutium, Brno, 2003. Russell, B. (1908): 'Mathematical Logic as Based on the Theory of Types', American Journal of Mathematics XXX, 222-262. Priest, G.: 'The Structure of the Paradoxes of Self-Reference', Mind 103, 1994, 25-34. Smullyan, R. (1987): Forever Undecided, Oxford University Press, Oxford; český překlad Navěky nerodhodnuto, Academia, Praha, 2003. Vopěnka, P. (1989): Úvod do matematiky v alternatívnej teórii množín, Archa, Bratislava. 31
LOGIKA A ONTOLOGIE (BESTIÁŘ ENTIT, S NIMIŽ MÁ LOGIKA CO DO ČINĚNÍ) Jaké druhy entit existují a co nám k tomu může říci logika? existence v absolutním slova smyslu existence relativní k teorii (Quine: 'ontologické závazky' teorií a logik; "být znamená být hodnotou proměnné") individua jednotliviny (particularia) obecniny (universalia) středověký spor nominalismu s realismem a jeho moderní reinkarnace z hlediska predikátové logiky jsou individua čímkoli, co tvoří univerzum vzhledem k tomu, že univerza se mohou lišit od teorie k teorie, je pojem individua v tomto smyslu relativní (množiny: individua z hlediska teorie množin; nikoli třeba z hlediska aritmetiky) Russell: "individuum" je to, co "postrádá složenost" Stalnaker: "Individuum není určitý druh věci. Je to určité postavení, které mohou věci libovolného druhu zaujímat: postavení subjektu predikace." Předpokládá logika existenci individuí? - je např. x(x=x) logická pravda? (tj. musí být každé univerzum neprázdné) ANO v rámci klasické logiky: 1. x (x=x) axiom predikátového počtu s rovností 2. x=x z 1. pomocí xf F 3. x (x=x) (x=x) instance xf F 4. (x=x) x (x=x) z 3. pomocí kontrapozice 5. x (x=x) z 2. a 4. pomocí mp 6. x (x=x) z 5. v důsledku x F xf Odstranění tohoto předpokladu volná logika (připouští individuové konstanty neoznačující žádný předmět a/nebo prázdné univerzum) označení individuí: deskripce vs. vlastní jména; 'úřad' vs. to, co ho zastává G(ιxF(x)) Def. x(f(x) G(x) y(f(y) (y=x)) množiny trojí pojetí množin: (1) množina je cokoli, co vznikne, když 'dáme dohromady' objekty (2) množina je cokoli, co se dá přepočítat, tj. uspořádat (Cantor: ordinální čísla ['typy uspořádání'] kardinální čísla...) (3) množinu tvoří objekty splňující nějaké kritérium (Frege, Russell: pojmy extenze množiny) např. axiom výběru: zcela neproblematický z hlediska (1), problematičtější z hlediska (2) [jak z toho, že všechny množiny daného souboru dokážeme uspořádat, vyplývá, že dokážeme uspořádat i příslušnou výběrovou množinu?], zásadně problematický z hlediska (3) [je-li každá z množin daného souboru určena kritériem, neplyne z toho, že musí existovat kritérium určující příslušnou výběrovou množinu viz soubor párů ponožek] 32
'logický' pojem množiny (relativní k univerzu) vs. kumulativní hierarchie (předpokládající potenciálně problematický pojem všech podmnožin dané množiny) je množina 'logický objekt'? (= je teorie množin součástí logiky?) logiky vyšších řádů: teorie množin v beránčím rouše (Quine)? funkce z jednoho pohledu speciální případ množin (funkce je určitá množina uspořádaných dvojic) z jiného pohledu je množina korelátem specifického případu funkce (kritérium můžeme chápat jako funkci přiřazující nějakým objektům pravdu a ostatním nepravdu) Je funkce jakákoli množina uspořádaných dvojic neobsahující dvě různé dvojice s totožnými prvními prvky (nebo jenom taková, která je dána kritériem)? vlastnosti, propozice význam predikátu nemůžeme ztotožnit s množinou aktuálních individuí, na které je aplikovatelný; a význam výroku s jeho pravdivostní hodnotou potřebujeme v logice vlastnosti (jako významy predikátů) a propozice (jako významy výroků)? fakty fakt: pravdivá propozice, nebo to, co činí propozici pravdivou? prak (Frege, Gödel): (1) A (2) ιx(x=d) = ιx(x=d A) (3) ιx(x=d) = ιx(x=d B) (4) B (1) a (2), a stejně tak (3) a (4), jsou logicky ekvivalentní, takže by měly vyjadřovat tentýž fakt. Navíc jsou-li A a B pravdivé, pak (3) vzniká z (2) náhradou jména jiným jménem téhož objektu, a (2) a (3) by tedy opět měly vyjadřovat tentýž fakt. Takže A a B, a tudíž jakékoli dva pravdivé výroky, by měly vyjadřovat tentýž fakt (můžeme mu říkat Velký fakt, nebo prostě pravda). Podobně pro jakékoli dva nepravdivé (Velký nefakt, nepravda). možné světy s jejich použitím můžeme rekonstruovat vlastnosti, propozice atd. už jenom s použitím individuí a pravdivostních hodnot dvojí pojetí: metafyzické ("chceme-li možné světy v logice používat, musíme nejprve říci, co to možný svět je") instrumentalistické ("možný svět je prostě cokoli, k čemu je relativní pravdivost výroků, a my se v logice nemusíme zabývat jejich povahou o nic více než povahou individuí") Speciální literatura Kolář, P (1999): Argumenty filosofické logiky, Filosofia, Praha. Neale, S. (2001): Facing facts, Clarendon Press, Oxford. 33