Pčet integrální Obsah In: Karel Petr (authr); Vjtěch Jarník (authr): Pčet integrální. s ddatkem Úvd d terie mnžství. (Czech). : Jednta českslvenských mathematiků a fysiků, 1931. pp. IX--XXII. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/402661 Terms f use: Jednta českslvenských mathematiků a fysiků Institute f Mathematics f the Academy f Sciences f the Czech Republic prvides access t digitized dcuments strictly fr persnal use. Each cpy f any part f this dcument must cntain these Terms f use. This paper has been digitized, ptimized fr electrnic delivery and stamped with digital signature within the prject DML-CZ: The Czech Digital Mathematics Library http://prject.dml.cz
OBSAH. Č Á S T PRVÁ. INTEGRÁLY N E U R Č I T É (FUNKCE PRIMITIVNÍ). i. Ú VOD. I. Základní definice a pjmenvání. 1. Definice integrálu neurčitéh (primitivní funkce) 2. O úklu integrálníh pčtu 3. - 4. Některé jednduché frmule vyplývající bezprstředně ze vzrců diferenciálníh pčtu 2. Různé metdy pr výpčet neurčitých integrálů. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Metda rzkladu ve sčítance Integrál z ptenční řady Metda částečné (parcielní) integrace Metda substituce Metda derivace pdle parametru funkcí pr kmplexní 3 4 5 6 7 12 14 II. I N T E G R Á L Y Z R A C I O N Á L N Í C H Definice elementárních 1 3 FUNKCÍ. hdnty argumentu. 11. Rzklad racinální funkce ve zlmky částečné 12. 13. Obecný výpčet při rzkladu se vyskytujících knstant.... 14. Praktický jejich výpčet 15. O důsledku pr rzklad racinální funkce za předpkladu, že keficienty racinální funkce jsu reálné 16. Integrace racinální funkce 17. O výpčtu racinální části integrálu z racinální funkce 18. Něklik becnějších příkladů pr integraci racinálních funkcí. 18a. Zavedení kmplexních čísel za keficienty racinálních funkcí.. Definice becné kmplexní funkce, jejíh diferenciálu a integrálu. 18b. Definice lgaritmu pr kmplexní hdnty argumentu 18c. Definice funkce expnenciální a funkcí gnimetrických pr kmplexní hdntu argumentu 16 18 19 21 22 24 27 29 31 32 38 39
X 18d. Funkce cyklmetrické pr kmplexní argumenty 18e. Obecná expnenciální funkce a mcnina v bru kmplexních čísel 18/. Elementární funkce transcedentní. Jejich derivace 18/i. Neknečné řady, jejichž členvé jsu čísla kmplexní 18Ar. Rady ptenční kmplexní prměnné 18/. Rzvj elementárních funkcí kmplexní prměnné z v řady mcninné 18m. Neurčitý integrál z funkce kmplexní prměnné III. I N T E G R Á L Y Z F U N K C Í I. Měkíeré,9. ^, v u případy 41 43 44 46 49 49 50 51 52 IRACIONÁLNÍCH. jednduché. / 4, ( ^ ) '!< > - 20. Integrály binmické 21. Redukční vzrce pr integrály binmické 61 62 64 2. Integrály JII (x, Vax2 + bx + c) dx. 22. První metda pr jejich výpčet 23. Druliá metda 66 70 24. Integrál f J (x ij\!ax*+c 72 25. Integrál f (Hx+K)dx J (b *2 + 2b l X + b j J/a 0 x 2 + 2a,* + a s 26. Přehled výsledků 5. O křivkách 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. racinálních 76 77 a integrálech jim příslušných. Pjem křivky racinální vylžen na křivce rvnici i / í = a * a - - ', * + c Jiné příklady racinálních křivek 80 O maximálním pčtu dvjných bdů při ireducibilní křivce algebraické 81 Křivka alg. ireducibilní mající maximální pčet bdů dvjných j e s t «křivku racinální 82 Některé vyšší singularity 83 Příklad 83 Definice rdu algebraické křivky 84 Ábelvy integrály rdu p. Integrály Ábelvy rdu nula lze vyjádřiti integrály z funkcí racinálních 85 4. Redukce integrálů hypereliptických r / x dx -, 35a. Integrály f yx C J / (a eliptických). dx r p -, kde X jest plynm»i-téh stupně v * 86 (x a)r y X, kde A, B, X jsu mnhčleny v * 88
XI 36. Redukce integrálů hypereliptických a eliptických na základní t v a r y integrálů prvéh, druhéh a třetíh druhu 89 5. Integrály eliptické. 37. Integrály eliptické lze reálnými substitucemi převésti na integrály eliptické, kde plynm pd dmcninu jest třetíh stupně s reálnými křeny 38. Integrály pseudeliptické. Příklady 39. Nrmální tvar Weierstrassův 40. Nrmální tvar Legendreův. Tabulka usnadňující převd na nrmální tvar Legendreův 41. Nrmální tvar Riemannův 41a. Lineární transfrmace el. integrálů 41b. Pkračvání; příklady 41c. Kvadratické transfrmace el. integr 4td. Landenva transfrmace 91 94 96 98 103 104 107 111 113 114 6. Abely integrály rdu 1. 42. Převd křivek rdu 1 na křivku stupně třetíh biraciálnu transfrmací 116 43. Vyjádření integrálů Ábelvých rdu 1 integrály eliptickými....118 43a. Biracinální transfrmace křivky y* = 4xi gtx g3 samu v sebe.119 43b. Biracinální transfrmace křivky i/2 = (l.r2)(l fc**!)samu v sebe.122 44. Příklad (Integrál Ábelův patřící ke křivce r/3 = ajc 3 +t>jf 2 +cjc+cř)..123 45. Pznámka. Integrály Ábelvy rdu vyššíh než 1 lze v případech zvláštních převésti na eliptické integrály 124 125 IV. I N T E G R Á L Y Z N Ě K T E R Ý C H F U N K C I TRANSCEDENTNÍCH..46. Integrály z funkcí tvaru R(cs x, sin ar) 47. Zvláštní případy 48. Integrály tvaru fr(e>>x)dx 127 127 128 49. Zjedndušení vznikající zavedením kmplexních čísel 50. Příkludy 51. Integrály z plynmu P{x, e"*, el**,....sinax,...) 52. Integrály jr(x)lgxdx. Funkce - J l 53. Lgaritmus integrál a funkce příbuzné g d x 128 129 133 134 135 V. P Ř E C H O D O D I N T E G R Á L Ů N E U R Č I T Ý C H K U R Č I T Ý M. I. Obecné vývdy. 54. Definice 137 55. Gemetrický význam určitéh integrálu 138 56. Derivace integrálu určitéh pdle mezí 141 57. Další základní věty integrálu určitém 142 58. 59. Věta střední hdntě určitéh integrálu 143 60. Vyjádření určitéh integrálu z funkce spjité limitu jistéh sučtu 145 61. Rzšíření pjmu určitéh integrálu. Příklady 146
XII 62. 63. 64. 65. 66. Další rzšíření N ě k t e r é v ě t y mnžstvích zvi. věta Cantr-Bendixnva Zevšebecnění p j m u integrálu určitéh Věta střední hdntě pr rzšířený p j e m i n t e g r á l n í O mžnsti dalšíh zevšebecnění p j m u integrálníh 148 149 150 152 153 67. Význam symblu f f ( t ) d t. P ř í k l a d y 154 a 68. Pznámky pčítání určitých integrálů Odvzení f r m u l e Wallisvy pr {a (příklad 6) 2n / 156 158 161 dx i,. 1 a, b, c reálné a cs x 4- b sin x 4- c a, b, c kmplexní n a Jlg (1 + 2r cs * + r ) dx 164 169 166 2. Integrály ze sučtů neknečných řad. 69. Vhdná ú p r a v a vět v Pčtu diferenciálním" d k á z a n ý c h 70. Rzšíření Příklady f ^ d x 173 175 176 179 71. Rzšíření p r interval neknečný 72. Výpčet u r č i t ý c h integrálů pmcí řad. Rada Bernulliva 181 184 a 73. Výpčet je~z' dx řadu asymptticku Plynmy Legendrevy a j e j i c h zbecnění Plynmy Hermitevy (př. 10) V y j á d ř e n í Legendrevých plynmů integrálem 3. Výpčet integrálů 186 188 190 191 192 eliptických. 74. Výpčet eliptickéh integrálu prvníh druhu v Legendrevě nmálním t v a r u řadu neknečnu 192 75. P ř e m ě n a řad, jestliže k jest blízké 1 193 76. Asympttické v y j á d ř e n í, jestliže k se blíží 1-195 77. Výpčet eliptických integrálů 2. d r u h u řadami 196 78. V y j á d ř e n í úplných integrálů el. prvéh d r u h u řadami 197 79. Ttéž p r elipt. integrály druhéh d r u h u 199 80. Další zjedndušení numerickéh výpčtu (pmcí Landenvy transfrmace) 2 81. Střed aritmetick-gemetrický 201 82. Výpčet eliptických integrálů úplných pmcí středu aritmetickgemetrickéh. Legendreva relace 203
XIII 83. Kmpletní integrály eliptické v nrmálním tvaru Weierstrassvě..208 84. Rzvje pr integrály eliptické v nrmálním tvaru Weiestrassvě..211 ČÁST DRUHÁ. INTEGRÁL URClTY SOUČTOVÉ NA Z Á K L A D É DEFINICE ( C A U C H Y - R I E M A N N O V Y). VI. D E F I N I C E A Z Á K L A D N Í V L A S T N O S T I INTEGRÁLU. /. Definice integrálu mezenéh URČITÉHO (b < a). 85. Sučty S a s a čísla I, jimi stanvená 86. Čísla 2 a jakžt limity sučtů S a s 87. Definice určitéh integrálu z funkce f(x) v intervalu (a, b) Příklady 2. O funkcích integrace schpných 213 215 216 219 (pdle C.-ll. v (a,b)). 88. Některé becné skupiny funkcí integrace schpných 221 89. Sučet, sučin, pdíl, abslutní hdnta funkcí integrace schpných jsu integrace schpny 222 90. Délka mnžství číselnéh 224 91. Oscilace funkce v bdě c 226 92. 93. Nutná a pstačující pdmínka, aby funkce byla. v (a, b) pdle C. R. integrace schpna 226 94. Rzšíření pjmu určitéh integrálu 227 3. Základní vlastnsti mexenéh integrálu. 95. % 228 97. Věta střední hdntě 229 98. Integrál jest spjitu funkcí hrní i dlní meze 232 99. 1. Suvislst integrálu na základě definice Cauchy-Riemannvy s primitivní funkcí 33 101. Pznámka 235 102. Integrace částečná 236 103. Rzšíření věty integraci částečné 237 104. D r u h á věta střední hdntě (důkaz j e j í ve specielním případě)..238 105. Pmcná věta Ábelva 239 106. Důkaz věty druhé střední hdntě pmcí Ábelvy věty 240 107. O zavedení nvé prměnné d určitéh integrálu 242 244 4. Některá pužití věty střední hdntě a rvnice pr částečnu 108. Odvzení rvnice Taylrvy 109. 110. O vzrci Euler-Maclaurinvě..111. Výpčet integrálů pmcí frmule Euler-Maclaurinvy integraci. 250 251 255
XIV Slrana 112. Pužiti frmule Euler-Maclaurinvy j a k sumační 257 Odvzení Stirlingvy frmule pr n! 258 Výpčet Eulervy knstanty... 259 113. Jiné dvzení frmule Euler-Maclaurinvy 259 114. Pužití metdy dst. předch. na pčítání sučtů j i n é h d r u h u...261 Výpčet lg 2 262 Výpčet čísla ít 264 115. 116. Plynmy Legendrevy 264 117. Další věty plynmech Legendrevých 266 118. Důkaz, že čísl e jest transcedentním 269 271 Některé další věty funkcích a číslech Bernulliských a jim příbuzných 272 Další věty plynmech Legendrevých '.275 5. O numerickém 119. 120. 121. 122. 123. 124. 125. 126. pčítání určitých integrálů (mechanické kvadratuře). 129. 130. Výklad pjmu mechanické k v a d r a t u r y 277 Metda lichběžníkvá 278 Frmule Simpsnva 280 Interplace parablická (Lagrangeův mnhčlen) 281 Metda Ctesva 283 D r u h á metda zalžená na interplaci parablické 285 Zavedení sučtvých čísel. Symbl (a,s) 288 Dva hlavní p ř í p a d y při interplaci ekvidistantní a příslušné mech. kvadratuře..290 Frmule Simpsnva se zbytkem 294 Interplace parablická pr případ, že jsu dány hdnty funkční a zárveň hdnty p r v ý c h derivací v r bdech 297 Mechanická k v a d r a t u r a v případě předch. dstavce 298 Metda Gaussva pr mechanicku k v a d r a t u r u 299 131. 132. 133. 134. 135. 136. Definice 301 V y j á d ř e n í pmcí f u n k c í neklesajících 302 F u n k c e spjité a zárveň s variací knečnu 303 Integrál určitý j e s t f u n k c e s variací knečnu své hrní meze...304 Diskntinuity funkcí s variací knečnu 305 Další vyšetřvání f u n k c í spjitých a s variací knečnu 306 127. 128. 6. O funkcích?. Elementární s ariací terie řad knečnu. Furierých. 136«. Pjem řady trignmetrické a Furiervy 307 136f>. ftudu Furierva pr funkci i (JI x) 311 136c. Důsledky z dst. předch 314 136r/, e, {. ftady Furiervy pr funkce, jež vznikají integrací z funkcí integrace schpných 315 320 Věty sučtech řad Furiervých sčítaných pdle l l i e m a n n a...323 Integrál Fresnelův 329 Gaussvy sučty 329
XV 136g. O aprximaci f u n k c í spjitýcli pmcí plynmů trignmetrických 330 136h. Věta Weierstrassva plynmecli 331 136Í. Rzšíření výsledků dst. předčil, na íunkce nespjité 333 136;. Střední c h y b a (dchylka) 334 136fc, I. Mnhčleny m a j í c í nejinenší střední dchylku. Rzvj pdle Legendrevých plynmů 335 I36m. O přibližném v y j á d ř e n í eliptických integrálů pmcí plynmů v mdulu., 337 136/1. Mnhčleny trignmetrické mající nejmenší střední d c h y l k u d d a n é funkce. Parsevalův terein 339 VIL R O Z Š Í Ř E N Í P O J M U U R Č I T É H O I N T E G R Á L U (INTEGRÁLY NEVLASTNÍ). /. Funkce integrvaná jest internátu integračním neurčitu. neknečnu, p případě 117. 138. Obecné pznámky. Funkce stává se neurčitu v jistém mnžství bdvém na intervalu integr 344 139. Definice integrálu nevlastníh v případě, že f u n k c e stává se neknečnu pr hrní mez 346 140. Knvergence abslutní. Některé pdmínky pr abslutní knvergenci 347 141. P ř í k l a d y 351 142. 143. Funkce stává se neknečnu, resp. neurčitu pr knečný p př. i neknečný pčet hdnt intervalu integračníh 352 2. Rzšíření pjmu integrálníh pr neknečný interna!. 144. Definice. Abslutní knvergence 145. Různá kriteria abslutní knvergence 146. P ř í k l a d y b 147. Význam symblů jf(x)dx, Jf(x)dx 14ti. Význam pjmenvání integrál nevlastní"». Základní lastnsti integrálů 355 557 358 359 359 nevlastních. 149 360 4. Zavádění nvých prměnných se zřetelem k integrálům nevlastním. 150. Obecný výklad 151. P ř í k l a d y 152. Integrál Laplaceův 363 365 368 VIII. I N T E G R Á L Y Z F U N K C Í I. Vyšetřvání, zda funkce těmit Z Á V I S L Ý C H NA integrály parametru. definvané PARAMETRU. jsu spjité funkce 153. 154. Pstačující pdmínky, aby integrál byl spjitu funkcí p a r a m e t r u v jistém bdě. P ř í k l a d y 370
XVI 155. Pstačující pdmínky, aby integrál byl spjitu funkcí parametru v jistém intervalu. 375 156. 158. Rzšíření těcht výsledků zejména v případě, že funkce integrvaná stává se neknečnu 376 159. Kriterium pr stejnměrnu knvergenci integrálů k nule 381 160. Rzšíření pr neknečný interval integrační 383 2. Derivace integrálů pdle parametru. 161. 162. Pstačující pdmínky pr existenci derivace 384 163. Derivace integrálu pdle parametru, závisí-li též meze integrálu na parametru 388 3. Vžití ět spjitsti a derivaci integrálů závislých na parametru k integrálů. n 164. Integrál Jlg (1 + 2r cs x + rs) dx výpčtu 389 / ax p hx dx.. 390 jfft l dx / 16?. Integrál je~ax' 168. Integrál ' 3 9 1 cs bx dx 392..? 393 169. Integrál j - ^ dx -i r csbx 170. Integrály J, 171. Integrály fe~ax' 394, r xsinbx, dx, J gl + Jt, dx 397 cs bx1 dx, J e-"*'sin bx* dx 399 ^ 172. Integrály f sin (x* ± dx, Jcs íx* ±^Adx V * ' V ' 4. O integraci integrálů pdle parametru. 401 Integrály dvjnásbné. 173. Definice dvjnásbnéh integrál«404 174. Stejnměrná knvergence sučtvých výrazů k hdntě integrálu..405 175. O záměnnsti přadu integračníh 406 176. Příklady funkcí, při nichž sučet (A) stejnměrně knverguje...403 177. 180. Rzšíření pjmu dvjnásbnéh integrálu 409
XVII 181. Integrály dvjnásbné nevlastní 413 182. Gaussův důkaz fundamentální věty algebry 418 183. 184. O záměnnstí přadí integračníh, jestliže jeden neb ba interv a l y integrační stávají se neknečnými 418 5. Příklady pr výpčet mezených.85. Integrál f 186. Integrál Laplac-eův 187. Integrály Fresnelvy OD 188. Integrál f 2 5. M - d y integrálu záměnu přadu integračníh. " LbJ?L dx 425 426 427 429 6. Rzšíření vět integrálech z funkcí závislých na parametru. 189. Věta Brelva 190. 191. Zevšebecněná věta Brelva 192. Rzšíření na mnžství vícerzměrná 193. Věta zevnější délce mnžství bdvéh (Jarníkva) 194. Věta Arzeláva 195. Věta integraci neknečných řad a jiné aplikace věty Arzelávy. 1%. Ttální diferenciál určitéh integrálu závisléh na dvu parametrech X. K Ř I V K O V É I N T E G R Á L Y A CPLNÉ 431 432 434 435 437.439 442 DIFERENCIÁLY. 197. 202. Definice a základní věty 444 203. Integrály pdle uzavřených křivek 450 204. Integrály pdle hranice bru Q 452 205. Rvnice Greenva pr dvě prměnné 454 206. Cauchyva integrální věta. l/plné diferenciály 455 207. Výpčet integrálu úplnéh diferenciálu 459 208. Integrály z úplnéh diferenciálu pdél becnějších křivek integračních 462 209. Křivkvé integrály při třech a více prměnných 463 210. Úplné diferenciály při třech prměnných 465 ČÁST TŘETÍ. NĚKTERÁ UŽITÍ URČITÝCH INTEGRÁLU. X. U Ž I T Í P O J M U I N T E G R Á L N Í H O K D E F I N I C I A V Y Š E T Ř O V Á N Í N Ě K T E R Ý C H F U N K C Í, Z V L Á Š T Ě PAK G A M M A F U N K C E. /. Eulery integrály. 211. Definice gammafunkce. Integrál Eulerův 1. druhu 469 212. První základní vlastnst gammafunkce. Výpčet gammafunkce při celistvém argumentu jakž i výpčet B(p,q), je-li jedn z čísel p, q celé 470
X VIH 213. 214. 215. 216. 217. 218. 219. 220. Základní vlastnsti f u n k c e B(p,q) V y j á d ř e n í gainmafunkce limitním výrazem V y j á d ř e n í g a m m a f u n k c e neknečným sučinem V y j á d ř e n í f u n k c e B(p,q) pmcí g a m m a f u n k c í Odvzení předcházejícíh výsledku pmcí vět pčtu integrálníh Rzšíření definice f u n k c e gamma i pr záprné a r g u m e n t y Relace Gaussva Rzvje pr numerický výpčet lg J'(,H) 471 472 474 475.476 478 479 480 222. 223. 224. 225. 226. V y j á d ř e n í f u n k c e lg/'(,«) určitým integrálem Rzklad výrazu integrálníh pr lg T(v) Integrální výraz pr Eulervu knstantu Binetva funkce a j e j í derivace Asympttické řady pr derivace Binetvy f u n k c e 484.486 488 488 489 221. Rada Stirlingva 2. Sěkterá užití 482 gammafunkce. 227. Výpčet některých integrálů pmcí g a m m a f u n k c e in 228. Integrál J s i n " ' - 1 x cs «- I JC dx 491 229 495 - /xz+bx,s 492 l d x 230. Integrály f ^ d x, f ^ - d x 231. Výpčet řady hypergemetrické pr x = l i* 232. Integrál ^ c s a csi* d 3. Lgarithmus 233. 234. 235. 236. 237. 238. 239. 240. integrál a jiné funkce definvané Definice li (e-*) pr x > 0 Rzvj funkce li (e~*) pr x > 0 Definice li (e*) p r j c ^ O Jiná integrální v y j á d ř e n í funkcí li ( c l i ( e j r ) Asympttický rzvj pr li {e~x) při x > 0 Asympttický rzvj pr li (ex) při j f > 0 O užití integrállgaritmu v terii čísel Zbecnění integrállgaritmu 493 494.495 určitými integrály. 497 498 499 5 502 503 505 506 XI. U Ž I T Í V G E O M E T R I I. /. Délka křiých 241. 242. 243. 244. čar. Definice 507 V y j á d ř e n í analytické za jistých p ř e d p k l a d ů rvnici k ř i v k y...507 Frmule speciální 510 P ř í k l a d y 1. 7. Věta Gravesva 510
XIX 245. N u t n á a pstačující pdmínka, aby bluk spjité křivky byl rektif i k a c e schpný 515 2. O pčítání plchy rvinné mezené křiu čaru. 246. Velikst plchy vypčtená na základě definice integrální CaucliyRiemannvy 517 247. 248. Jiné výrazy pr velikst plšnu 518 249. Význam příslušných křivkvých integrálů při k ř i v k á c h u z a v ř e n ý c h se p r t í n a j í c í c h 521 250. P ř í k l a d y pr pčítání veliksti plšné (I. 5.)...522 251. P ř í k l a d 6. Věta Hlditchva 525 252- P ř í k l a d 7. Plchy mezené paralelními k ř i v k a m i. D é l k y bluků těcht křivek 527 253. 257. Vyšetřvání k ř i v e k uzavřených, jimž přísluší velikst plšná.529 258. K ř i v k y k v a d r a t u r y schpné v užším smyslu..534 259. 2i6l. Obsah mnžství bdvéh vícerzměrnéh (pdle Jrdana)..536 Č Á S T ČTVRTÁ. INTEGRÁLY MNOŽNÉ (INTEGRÁLY Z FUNKC Í O NÉKOL1KA PROMĚNNÝCH). XII. I N T E G R Á L Y D V O J N É ( I N T E G R Á L Y Z F U N K C I O D V O U PROMĚNNÝCH). 1. Definice a základní vlastnsti. 262. O b r y dvjrzměrné 541 263. 267. Hrní a dlní sučty. Jejich dlní a hrní hranice. Základní věty 542 268. Definice integrálu d v j n é h 547 269. 270. O funkcích integrace schpných 549 271. Věta střední hdntě 551 272. O výpčtu integrálů d v j n ý c h pmcí dvjnásbné integrace (integ r á l ů dvjnásbných) 552 273. 274. Rzšíření platnsti získaných vztahů 554 275. 277. O výpčtu t r j n ý c h integrálů 556 2. Zavádění nvých prměnných integračních d mnžných 278. P r v ý způsb dvzení (u integrálů dvjných) 279. 280. D r u h ý způsb dvzení 281. P l á r n í suřadnice 282. I n t e g r á l Laplaceův 283. Zevšebecnění substituce plárních suřadnic 284. T r u n s f r m a c e inversní integrálů. 564 570 574 576 577 578
XX 285. Suřadnice eliptické 578 286. Suřadnice rtgnální 579 287. Plární suřadnice v brech trjrzměrných 580 288. Suřadnice eliptické v brech trjrzměrných 580 289. Obsah rvnběžnstěnu v bru n-rzměrném 581 290. Obsah ( n + l)-stěnu v bru n-rzměrném 582 290a. Obsah (n + l)-stěnu v bru n-rzměrném, jsu-li dány rvnice jedntlivých stěn 583 3. Gemetrická pužití dvjných integrálů. 291. Krychlvý bsah tělesa. 584 292. 294. Jiné frmule pr krychlvý bsah 585 295. Příklady 586 2%. Krychlvý bsah tělesa mezenéh plchu rtační a dvěma rvinami klmými k se rtační 588 297. Pvrch křivé plchy 589 298. Další vzrce pr pvrch křivé plchy 591 299. Pvrch rtační plchy. Vivianův prblém 593 3. Pvrch sférickéh trjúhelníka 594 30). Pvrch elipsidu 595 302. 304. Odvzení vzrce pr velikst pvrchu plchy na základě jiné definice 597 XIII. R C Z N Á R O Z Š Í Ř E N Í P O J M U V Í C E R O Z M Ě R N É H O I N T E G R Á L U (INTEGRÁLY NEVLASTNÍ, PLOŠNÉ). 1. Integrály dvjné nevlastní. 305. 309. Funkce jest neknečná tlik v klí jedinéh bdu 605 310. Funkce jest neknečná tlik v bdech čáry rvnici y=q>(x)...614 311. Příklady 615 312. 313. Obr integrační jest neknečný 622 314. Příklady 625 2. Integrály plšné. 315.-518. Definice 628 319. 320. Vyjádření integrálů plšných, je-li rvnice plchy dána parametricky 632 321. Jiné vyjádření integrálů plšných 635 322. O pdmínce nutné, aby integrál plšný pdle libvlné uzavřené plchy byl rven nule 636 323. Pdmínka pstačující 637 324. Věta střední hdntě u plšných integrálů 639 325. Příklady 1 640 t J-t 0Q 326. O reseni sustavy rvnic dif. = H 01/ 0* 327. Frmule Stkesva d/ř r S/ť = F, 0? Dy itx,, = &, 8z 642 644
XXI 328. 329. 330. 331. O zavádění nvých p r m ě n n ý c h d plšných integrálů 645 Pužití. Ustanvení z n a m é n k a dsud neznáméh 648Odvzení vět p ř e d c h. dstavců pmcí vět integrálech t r j n ý c h..650 Rvnice G r e e n v y 651 DODATEK. ÚVOD DO TEORIE MNOŽSTVÍ. NAPSAL VOJTĚCH JARNÍK 655 O D D Í L 1. Základní pjmy. Ekvivalence. 1. Li vd 2. 3. 4. 5. 6. 657 6591 662 663 666 669' Z á k l a d n í úkny Ekvivalence S p č e t n á mnžství Mnžství mcnsti k n t i n u a Mnžství nespčetná O D D Í L 2. Mnžství 1. 2. 3. 4. uspřádaná a dbře uspřádaná. Mnžství uspřádaná Pdbnst mnžství u s p ř á d a n ý c h Mnžství dbře u s p ř á d a n á Z á k l a d n í věta mnžstvích d b ř e uspřádaných 671 673675 676 O D D l L 3. Přadvá 1. 2. 3. 4. 5. 6. čísla. 1: vdní pznámky P ř a d v á čísla první a d r u h é třídy číselné U s p ř á d á n í přadvých čísel S t r u k t u r a mnžství 3 i + 3a T r a n s f i n i t n í indukce Z á v ě r e č n é pznámky 6801 681 683 685 688690- O D D Í L 4. Mnžství 1. 2. 3. 4. C a r t é z s k é prstry Mnžství číselná Z á k l a d n í p j m y pr mnžství v U z a v ř e n á mnžství bdvá. 692 693695 69í>
XXII 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. Otevřeni! mnžství Derivvané mnžství Mnžství v sbě hustá Mnžství dknalá Kndensační bdy Mnžství uzavřená a tevřená v /ťi Vyšší derivace bdvéh mnžství Nvý důkaz věty Cantr-Bendixnvy. Mnžství reducibilní 702 703 704 705 706 708 712 716 O D D Í L 5. Ddatky k integrálnímu pčtu. 1. Pznámky k dst. 64 2. Pznámka k dst. 66 3. Pznámka k cvičení 24 na str. 327 720 723 723 L i t e r a t u r a k terii mnžství 725