1 ROVNOVÁHA BODU Sestavte rovnice rovnice rovnováhy bodu (neznámé A,B,C) Určete A pro konstrukci z příkladu

Transkript

1 Sbírka bude dplňvána. Příští dplněk budu příklady na vnitřní síly v diskrétních průřeech. Připmínky, pravy, návrhy další příklay jsu vítány na rer@cml.fsv.cvut.c. mbicí sbírky je hlavně jedntně definvat bsah předmětu a nalsti,které má mít student, který předmět abslvval. Dále může pmci při přípravě písemek. Příklady jsu d růných autrů převaty v pdstatě be úprav. ntents ROVNOVÁH ODU 3. Sestavte rvnice rvnice rvnváhy bdu (nenámé,,) Určete pr knstrukci příkladu Rlžte sílu = {4; ; 3, 5} T d dvu sil: N ϱ, T ϱ ROVNOVÁH DESKY V ROVINĚ 5. Určete výslednici dané sustavy Vypčtěte reakce tuhé desky Určete reakce na dané desce Stanvte reakce adané tuhé desky K sustavě sil i stanvte ekvivalentní sustavu sil Pi (síly jsu adány plhu a předpkládanu rientací) Určete výslednici pčetně i graficky Účinek síly a dvjice sil Q nahraďte třemi silami, které půsbí v paprscích a, b, c adaných na bráku. Pčetně i graficky ROVNOVÁH TĚLES 3. Najděte reakce tak, aby těles byl v rvnváe Redukujte sustavu sil k pčátku (0) a k bdu rvnice sy sustavy Obměna: Redukujte sustavu sil k pčátku (0) a určete mment k se Nahraďte sustavu sil silu a mmentem v bdě Prveďte redukci dané sustavy sil k pčátku suřadnéh systému Síly, uveďte d rvnváhy šesti silami, jejichž směry jsu dány (neb též určete reakce tuhéh tělesa) Psuďte staticku a tvarvu určitst pdepření danéh tělesa, sestavte rvnice pr určení reakcí, nanačte předpkládanu rientaci Určete mment klem přímky OE Určete reakce v pdepření tuhéh tělesa Psuďte staticku určitst pdepření tuhéh tělesa. Pkud le jednnačně (na ákladě statických pdmínek rvnváhy) stanvit neávislé slžky reakcí v načených vabách, spčtěte je. Pkud ne, důvdněte prč Prveďte redukci adané silvé sustavy k pčátku suřadnéh systému Určete výsledný účinek sustavy sil { i } (i =,, 3) velikstech i = 5 kn a půsbících v hranách kvádru pdle bráku Sestavte rvnice pr určení reakcí tělesa. Psuďte, da je pdepřen stabilně 0

2 4 REKE V SLOŽENÝH SOUSTVÁH 4. Vypčtěte reakce slžené sustavy Stanvte všechny vnější i vnitřní reakce adané slžené sustavy Užitím kinematické metdy určete rekci v pdpře Vypčtěte reakce slžené sustavy Vypčtěte reakce slžené sustavy Určete reakce dané slžené sustavy Určete všechny reakce pdmínek rvnváhy,, D IIy kinematicku metdu Vypčtěte reakce dané slžené sustavy, atížené vnějšími silami = 0 kn, = 0 kn(α = 40 ), 3 = 5 kn a mmentem M = 0 knm Pčetně stanvte reakce dané slžené sustavy. = 0 kn, = 30 kn a mmentem M = 0 knm Určete reakce slžené sustavy, atížené dle br. = 9 kn, = kn, 3 = 0 kn, 4 = 6 kn Určete reakce slžené sustavy, atížené dle br. = 0 kn, = kn, 3 = 6 kn, 4 = 8 kn Určete reakce slžené sustavy, atížené dle br. = kn, = 0 kn, 3 = 6 kn, 4 = 8 kn Určete reakce slžené sustavy, atížené dle br. = 8 kn, = 0 kn, 3 = kn, 4 = 6 kn Určete reakce slžené sustavy, atížené dle br. = 0 kn, = kn, 3 = 6 kn, 4 = 8 kn a)sestavte rvnice pr určení reakcí. b)určete reakci využitím principu virtuálních prací Z desek I, II, III a bdů, vytvřte knstrukci staticky určitu. Vnější vaby směí debírat nejvýše 5 stupňů vlnsti

3 ROVNOVÁH ODU. Sestavte rvnice rvnice rvnváhy bdu (nenámé,,). = { ; ; } = { 4; ; 0} T 0 = {0; 4; 0} 6 = {0; 4; 0} = {0; 4; 0} 0 = {4; ; 0} 0 y = = = Určete pr knstrukci příkladu. Rvina, nrmálvý vektr: n = = { 60; 40; 6}. Rvnváha ve směru n: n + n = { 4; ; 0} {; ; } = 0 ( ) + ( ) = 0 = 0.4 3

4 .3 Rlžte sílu = {4; ; 3, 5} T d dvu sil: N ϱ, T ϱ b. ρ = a ρ = yρ = y ρ vektr n ϱ : n = a b a = { ; ; 0} T b = { ; 0; } T n = {; ; } n = 3 N = n n = {; ; ; } 3 4 3, 5 = 3 N = N n n = 3 n 3 = n = {; ; }T = T + N T = N = {3; 3;, 5} T 4

5 ROVNOVÁH DESKY V ROVINĚ. Určete výslednici dané sustavy. =50 kn 30 =30 kn =5 kn 4 m M=0 knm =5 KN 3 V y = 75, 98076kN V = 5kN V = 77, 447kN M 0 = 40kNm M 0 = V y + V y 40 = 75, y úseky na sách y,: = 0 y = 0 y =, 6 m = 0, 564 m 5

6 . Vypčtěte reakce tuhé desky. g=6kn/m 45 =30kN 60 M=0kNm f=5kn/m 3 [m] : f M 3 6 p sin 45 + cs 45 3 sin 30 cs 30 = , 707 +, = 0 = 99, 675 kn : cs 45 + cs 30 + f + = 0 70, , = 0 = 34, 5 kn : sin 45 + sin 30 6 p = 0 70, = 0 = 67, 48 kn 6

7 .3 Určete reakce na dané desce. =0 kn =00 kn =50 kn 3 3 [m] a : = = = 0 = 40 = 05 kn 4 b : 4 = = = 0 = 0 = 55 kn 4 ZKOUŠK: : cs 45 + = 0 0, = 0 = 0 0,707 = 4, 44 kn 7

8 : cs = 0 4, 44 0, = 0 0 = 0.4 Stanvte reakce adané tuhé desky. = kn q = knm - = 0 kn M = 6 knm a b α = 60 a : sin = 0 = +7, 898 kn : cs = 0 =, 05 kn : 4 + sin 60 = 0 = +0, 5 kn 8

9 .5 K sustavě sil i stanvte ekvivalentní sustavu sil P i (síly jsu adány plhu a předpkládanu rientací). y = 0kN [ 0 ; 3 ] = 5 kn [ 0 ; 0 ] [ ; 0 ] [ 4 ; 0 ] P 3 P P P 3 cs 30 = cs 60 P 3 cs 30 = 0 5 0, 5 P 3 = 4, 434 kn 0 + P + P 3 sin 30 4 = 3 + sin 60 4 P = +38, 094 kn P + P + P 3 sin 30 = sin 60 P = +6, 546 kn.6 Určete výslednici pčetně i graficky. y M=0 =5 3 = = 9

10 Redukce k 0: 3 = 5 5 {+; } = {+4, 48;, 4} = {+4, 48;, 76} = 4, 8 M 0 =, = 3, 5 M = y + y = 4, 48y, 76 = 3, 5 y = 0, = = 0, y = 0, 77.7 Účinek síly a dvjice sil Q nahraďte třemi silami, které půsbí v paprscích a, b, c adaných na bráku. Pčetně i graficky. 4 =Q r c a =6 kn Q=6 kn -Q γ b 3 p= a l c b L = cs γ Q = 4 5 Q = 4 = 7, 5 kn = 6, 0 kn = 0, 5 kn 0

11 3 ROVNOVÁH TĚLES 3. Najděte reakce tak, aby těles byl v rvnváe [kn,m] = E =0 Jedna slžka reakcí je vlitelná, např. D y = = 0 = = 0 = E = 0 E = 0 Tt je tedy jedn mnha mžných řešení. Osa je nulvu přímku reakcí. i prcháejí nulvu přímku úlha má neknečně mnh řešení. + D = 0 D = = 0 y + = 0 = = 5 E = ( + ) = 0 y = 0 3. Redukujte sustavu sil k pčátku (0) a k bdu rvnice sy sustavy [kn,m] a = 0 3 = 0 c = b y Sučet sil: = 0 8 { ; 0; } T = 3, 53{ ; 0; } T = { 7, 07; 0; 7, 07} T = {0; 0; 0} T 3 = 0 4 {; 4; } T =, 04{; 4; } T = {4, 08; 8, 6; 4, 08} T = { 3;, 84;, 5} T

12 Sučet mmentů: M 0 = 0 a = {8, 3; 4, 5; 8, 3} T M 0 = { 0; 0; 0} T M 03 = 0 b 3 = {6, 3; 0; 6, 3} T M 0 = {4, 6; 4, ; 3} T Psun vtažnéh bdu: M = M 0 0 c = {4, 6; 4, ; 3} T +{3, 68; 8, 3; 3, 68} T M = {8, 3; 4, ; 8, 3} T {8 4 8} 3, {8 0 8}, , 84, 5 3, 68 8, 3 3, 68 X = M 0 M M M = 0 M 0 = 73, = 57 = 9 + 3, 4 + 4, 5 = 37 M 0 M = {4, 5; 4, ; 3, 9} T { 5, 6; 3, 5; 0, 9} T = {30, ; 7, 6; } T, 5y, 84 = 30,, 5 3 = 7, 6, 84 +3y = 3.. Obměna: Redukujte sustavu sil k pčátku (0) a určete mment k se [kn,m] = 0 = 0 3 = y a)redukce k pčátku (0) vi předchí příklad: = { 3;, 84;, 5} T M0 = {4, 6; 4, ; 3} T

13 b)mment k se. = {; 4; } T 4 M 0 = (49, 56, ) = 56,8 4 =, 55 neb 4 =. M0 = M 0 + M 0 + M 03 = = M 0 = M = M y y = = =, Nahraďte sustavu sil silu a mmentem v bdě 0 = 40 kn χ M M n ν βm 4m 0 5m y M M y α M M 0 y 3m V = = 0 V y = = 0 V = = 0 V = V = 0 M = (4 3) = 40 knm M y = (4 4 5) = 00 knm M = (5 3) = 80 knm M = M = = 9 knm Výsledný silvý vektr je rven nule, celkvý statistický účinek sustavy sil { } je pue mmentvý. Sustavu sil le nahradit silvu dvjicí mmentu M= 9 knm, ležící v libvlné rvině ν, jejíž nrmálu je paprsek vektru M. 3

14 3.4 Prveďte redukci dané sustavy sil k pčátku suřadnéh systému. [kn,m] (0;0;4) (0;4;0) y (5;0;0) r = 0 kn ry = 0 5 =, 07 kn r = 0 = 7, 07 kn M r = 5 4 = 0 knm M ry = = 75, 35 knm M r = = 50, 35 knm 4

15 3.5 Síly, uveďte d rvnváhy šesti silami, jejichž směry jsu dány (neb též určete reakce tuhéh tělesa). [m] =kn E b G D 4 =kn D + + = = 0 = 0 b 4 + G = G = 0 G = kn G + = 0 + = 0 = kn E + 4 = = 0 = 5, 5 kn + D = , 5 D = 0 D = 5, 5 kn = 0 5

16 3.6 Psuďte staticku a tvarvu určitst pdepření danéh tělesa, sestavte rvnice pr určení reakcí, nanačte předpkládanu rientaci. [m] Rvnváha k se prutu : D E 6 R R 56 = 0 y 6 R 6 56 R D 0 = 0 R + R 40 + R + R D 0 +R E + R 56 = 0 R E 4 R 56 6 = 0 y R 6 + R = 0 4 = tvarvě neurčité 3.7 Určete mment klem přímky OE E.. 0. D 3 (0; 0;, 5) = 8 N (; ; 0) = 60 N (; 0;, 5) 3 = 86 N D(0; ;, 5) y E(; 0; 0) (m) = 00, 06 e e 3 r = (; ; 0) = 99, 95 e e 3 r = (; ; 0) 3 = 83, 8 e e r 3 = (0; 0;, 5) 6

17 M 0 = M 0 = M 03 = e e e 3 0 = 5, 08 e 6, 54 e 00, 06 e , 06 6, 54 e e e 3 0 = 49, 88 e 4, 94 e + 99, 95 e 3 99, , 94 e e e 3 0 0, 5 = 07, 95 e + 03, 975 e 83, 8 66, 36 0 M 0 = 67, 0 e 83, 459 e 0, e 3 M OE = 67, 0 Nm 3.8 Určete reakce v pdepření tuhéh tělesa =0 kn =50 kn =00kN 3 3 m g d y a b m c m D m y 5m cs 45 = 0 y y + 3 = cs 45 + D = 0 ab D 4 cs 45 = 0 bd = 0 bg = , , , y D =

18 (6) = 90 kn (5) = 40 kn () y = 00 kn () 90 0, 707 = 0 = 3, 5 kn (4), 44 3, D = 0 D = 34, 99 kn (3) , 707 3, 5 34, 99 = 50 = 44, 99 kn 3.9 Psuďte staticku určitst pdepření tuhéh tělesa. Pkud le jednnačně (na ákladě statických pdmínek rvnváhy) stanvit neávislé slžky reakcí v načených vabách, spčtěte je. Pkud ne, důvdněte prč. 0kN 8kN 3m 7kN 4m 5m y s = 6 3 = 0 Sustava je staticky i kinematicky určitá. Nejedná se ani výjimkvý případ. Neávislé slžky reakcí mhu spčítat jednnačně pue na ákladě statických pdmínek rvnváhy /.4 + 7/.3 = 0 = 3, 5 kn y 3 + 8/.5 0/.3 = 0 = 3, 333 kn 4 + /.4 7/.5 = 0 =, 083 kn 8

19 3.0 Prveďte redukci adané silvé sustavy k pčátku suřadnéh systému. =8kN 4 =0kN =5kN 3 3m =6kN y 4m 3m X = 0 Y = 0 4 = 8 kn 5 Z = 0 3 = 6 kn 5 3X = 5 = 0, 607 kn 3Y = 0 3Z = 5 = 0, 607 kn RX = =, 607 kn RY = = 8 kn 5 RZ = =, 607 kn 5 M RX = , = 66, 48 knm M RY = = 60 knm M RZ = , = 3, 57 knm 3. Určete výsledný účinek sustavy sil { i } (i =,, 3) velikstech i = 5 kn a půsbících v hranách kvádru pdle bráku. 5m 0 3 5m y 0m Výsledná síla r sustavy sil { i }: r = = 5 kn ry = = 5 kn r = 3 5 = 8, 66 kn r = 3 = 5 kn (cs α r = cs β r = cs γ r = i r = 0, 577) 9 Stat-

20 ický mment M 0 sustavy sil { i } k 0: M = = 5 knm M y = 5 3 = 5 knm M = 0 M 0 = 5 + ( 5) = 35, 40 knm (cs λ = M M 0 = 0, 707; Úhel vektrú r a M 0 : cs µ = M y M 0 = 0, 707; cs ν = M M 0 = 0) cs ψ = r M 0 ( r M + ry M y + r M ) = ( 5) , 66 35, 40 = 0 Vektry r a M 0 svírají úhel π a výsledným účinkem sustavy je pue síla r, která pů v paprsku určeném rvnicemi: r y ry = M 5y 5 = 5 r r = M y 5 5 = 5 ry r y = M 5 5y = 0 3. Sestavte rvnice pr určení reakcí tělesa. pdepřen stabilně Psuďte, da je h. y H a b + + H = 0 y = = 0 b + b = 0 y H h a = 0 b H b = 0 y b a b = (+b) ( b) (a) = b a 0 nejde výjimkvý případ pdepření, sustava reakcí nemá nulvu přímku 0

21 4 REKE V SLOŽENÝH SOUSTVÁH 4. Vypčtěte reakce slžené sustavy f=3kn/m D 3 3 =3kN E [m] 4 D f=3kn/m II. D D D I. =3kN E E E E III. y 6 f = 0 6 y = 0 y = 3 kn III. E y + y = 0 E y + 3 = 0 E y = 3 kn II. y + D y = D y = 0 D y = 0 II.D f 3 E y 3 + E = E = 0 E = 3 kn II. f + D E = D 3 = 0 D = 3 kn III. E 8 4 E y 3 = = 0

22 = 8 kn III. E = = 0 = kn I. D + f 6 + = = 0 = 3 kn I. y D y = 0 y 0 = 0 y = 0 4. Stanvte všechny vnější i vnitřní reakce adané slžené sustavy - q= kn.m,5,5 =8 kn =4 kn M =0 knm q= kn.m D - E M =8 knm

23 - q= kn.m =8 kn X Z X Z IV q= kn.m - D Z E I M =4 kn M =0 knm X X Z Z X II D Z D X D X X III M =8 knm Z Z IV. 4 E 4 q, 5 = 0 4E 8, 5 8 = 0 E = 7 kn IV. + E 4 q = = 0 = kn IV. = 0 8 = 0 = 8 kn II. D q = 0 D = 0 D = kn II. + D q = 0 + = 0 = kn III. D D 4 + M + q = 0 D = 0 3

24 D = 4 kn II. D = 0 4 = 0 = 4 kn III. D = 0 4 = 0 = 4 kn III. D q = 0 4 = 0 = 6 kn I. + + = = 0 = 0 I. q = 0 = 0 = 7 kn I. M M q = 0 M = 0 M = 8 knm 4.3 Užitím kinematické metdy určete rekci v pdpře m 0 kn a m 3m m m m m 4

25 0 kn 3 3 δϕ δϕ,5 m O δϕ O,33δϕ 0,66δϕ δϕ 3 O 3 0,66 δϕ Β+0 δϕ =0 =-30 kn 4.4 Vypčtěte reakce slžené sustavy 5 kn 0 kn 3 knm m m m m 3m,5m m,5m 5

26 8,66 kn Y Y 3 knm X,5 kn X X I 5 kn III Y X II 8,66 kn X R 3 Y Y R R III. R 3 3 = 3 knm R = 3 kn y = R = 3 kn = 0 II. = 8, 66 kn y + 3 y + R 5 = 0 R = 6, 65 kn R = y + 5 R y = 0, 33 kn I. =, 5 = 6, 6 kn 3 y 4, 33, 5 = 0 Y =, 65 kn y =, 65 kn 6

27 4.5 Vypčtěte reakce slžené sustavy =40 kn [m] M=60 knm,5 a b, Určete reakce dané slžené sustavy 3 6 m I c f II b M m 3 m f = knm = 0 kn = 00 kn = 0 kn 3 M = 30kNm = 4 m. knm= = 4kN a 3 m 4 m : y + y = 0 : + + = 0 a : y 3 = 0 ) y + y = 00 ) + = 0 3) y = 0 7

28 : y + y 3 = 0 : = 0 b : 5 y 4 + M = 0 4) y + y = 4 5) = 0 6) 5 4 y = 3) y = + 0 P dsaení d 6: = 3 = 458 = 35, 3 kn ) ) 4) 5) y = ( 35, 3) + 0 = kn y = 00 49, 54 = 50, 46 kn = 0 = , 3 = 5, 3 kn y = , 54 = 73, 54 kn = = 35, 3 kn 8

29 4.7 Určete všechny reakce pdmínek rvnváhy,, D IIy kinematicku metdu II D : = 0 = 5 kn I D : 0, = 0 = 0 kn I : D I = 0 D I = 0 kn I + II + III : = 0 = 0 kn III D : y 0 = 0 y = 0 III : + D III = 0 D III = 0 kn III : y + D IIIy = 0 D IIIy = 0 kn II : D II = 0 II : 0 + D IIy = 0 D IIy = 5 kn I + II + III : y + + y 0 = 0 y = 5 kn I : D Iy = 5 kn kntrla : D I + D II + D III = = 0 D Iy + D IIy + D IIIy = = III III : δϕ I,II I,III I I II δu III δϕ I 5 δw = 0, 5δϕ I + δu III = 0 = 0 kn 9

30 D : IIy III I,III I δϕ II II II δu D = 0 δw = D IIy 0 δϕ II + 0 5δϕ II = 0 D IIy = 5 kn II 4.8 Vypčtěte reakce dané slžené sustavy, atížené vnějšími silami = 0 kn, = 0 kn(α = 40 ), 3 = 5 kn a mmentem M = 0 knm. M 3 M 60 α y m 4m m m m m 3 desky = 9 vaby = 9 9 = 9 Sustava je staticky i tvarvě určitá. Je řejmé, že ve vabách desky Ia desky III vnikají pue 3 nenámé slžky reakcí, které le vypčítat přím výminek rvnváhy na těcht deskách. Výminky rvnváhy: M D D D D I a I : D + cs 60 = 0 : + sin 60 + D y = 0 a : M D y 4 = 0 3 II Ey E M c y E e Ey III D D y = 5, 98 kn =, 99 kn =, 5 kn III : E cs α = 0 : sinα + E y = 0 e : 4 sin α cs α + 4 = 0 E E y = 4, 5 kn = 7, 66 kn =, 9 kn 30

31 II : 3 + D E + = 0 : D y + E y + y = 0 c : 5D E M c = 0 y M c = 0, 3 kn = 4, 4 kn = 56, 97 knm Kntrla rvnváhy na celé slžené sustavě: : 3 cs α + cs 60 + = 0 : + sin α + sin y = 0 : M 3 3 cs y + M c = 0 5 7, 66 +, 99 0, 33 = , 43 +, 5 4, 5 4, 4 = , 97 0, , , 97 = Pčetně stanvte reakce dané slžené sustavy. = 0 kn, = 30 kn a mmentem M = 0 knm. M I. y m m m m m m Sustava se skládá e tří desek = 9 vaby: 3 jednduché... 3 = 3 klub... = 9 dvjný klub.. = 4 9 = 9 Sustava je staticky a tvarvě určitá. y II. E E 3

32 Výminky rvnvaáhy na celé slžené sustavě : + = 0 : + y + = 0 : M y = 0 Dále vypčteme vnitřní reakce výminek rvnváhy I e : + y 3 M = 0 na jedntlivých částech: y = +0, 77 kn = +6, 5 kn = 6, 5 kn = +30, 77 kn III : G D = 0 : + G y = 0 g : 3 D = 0 II : + D E = 0 : + E y = 0 D = G = G y = E = E y = 6, 6 kn 4, 6 kn 0, 00 kn 3, 84 kn 6, 5 kn Zbývající tři výminky rvnváhy jsu kntrlními: II d : + E = 0 I : y E y G y = 0 : + E G = 0 +5, 3 + 7, = 0 6, 5 6, = 0 0, , 84 4, 6 = 0 3

33 4.0 Určete reakce slžené sustavy, atížené dle br. = 9 kn, = kn, 3 = 0 kn, 4 = 6 kn 4. Určete reakce slžené sustavy, atížené dle br. = 0 kn, = kn, 3 = 6 kn, 4 = 8 kn 4. Určete reakce slžené sustavy, atížené dle br. = kn, = 0 kn, 3 = 6 kn, 4 = 8 kn 4.3 Určete reakce slžené sustavy, atížené dle br. = 8 kn, = 0 kn, 3 = kn, 4 = 6 kn 4.4 Určete reakce slžené sustavy, atížené dle br. = 0 kn, = kn, 3 = 6 kn, 4 = 8 kn 4.5 a)sestavte rvnice pr určení reakcí. b)určete reakci využitím principu virtuálních prací. M h a b a) Z M X X X I Z II 33

34 b) I : + + = = 0 M + h a a = 0 II : = 0 + = 0 M b = 0 δ w M δϕ O O Z δw = bδϕ r δw + M 0 δϕ = 0 ( + )δw + ( M) δw b = 0 = + M b 4.6 Z desek I, II, III a bdů, vytvřte knstrukci staticky určitu. Vnější vaby směí debírat nejvýše 5 stupňů vlnsti II I III 34