3 Referenční plochy a soustavy

Transkript

1 II. část Vyšší gedézie matematická 3 Referenční plchy a sustavy 3. Referenční kule a výpčty na referenční kuli Pr realizaci gedetických a kartgrafických výpčtů s nižší přesnstí je mžné zemské těles neb jeh část nahradit kulvu plchu (tzv. referenční kulí). Narzdíl d elipsidické plchy, viz kap. 3., má plcha kulvá plměru R knstantní křivst, všechny její nrmály se prtínají v jejím středu. Nrmálvé rviny prcházejí také středem kule a prtínají ji v hlavních kružnicích plměru R. Obluky hlavních kružnic (rtdrm), které spjují 3 bdy na kuli, které všem neleží na splečné hlavní kružnici (její rvina prchází středem kule), tvří sférický trjúhelník. Rviny, které neprcházejí středem kule, prtínají ji ve vedlejších kružnicích. 3.. Sférické zeměpisné suřadnice [U, V] Suřadnicvý systém sférických zeměpisných suřadnic tvří jedntný systém pr celu kuli, viz br Sférická zeměpisná šířka U je úhel, který svírá nrmála n bdu P s rvinu rvníku. Je - d rvníku k severnímu pólu v intervalu 0 až 90 a značuje se jak severní šířka (kladná, +, N) - d rvníku k jižnímu pólu v intervalu d 0 d -90 a značuje se jak jižní šířka (záprná,, S) Rvnběžka je gemetrické míst bdů s knstantní zeměpisnu šířku. Plměr r libvlné rvnběžky je dán vztahem r = R csu. Rvnběžky nejsu becně hlavní kružnice, ale vedlejší, a netvří strany sférickéh trjúhelníka. Sférická zeměpisná délka V je úhel, který svírá rvina místníh pledníku (prcházející bdem P) s rvinu základníh (nultéh V = 0 ) pledníku. Pčítá se - na výchd d nultéh pledníku v intervalu 0 až 80 a značuje se jak výchdní délka (kladná, +, E) - na západ d nultéh pledníku v intervalu 0 až -80 a značuje se jak západní délka (záprná,, ) Pledník (meridián) je gemetrické míst bdů s knstantní zeměpisnu délku. Póly jsu singulárními bdy, jejich zeměpisná délka je v rzsahu 0 až 80 a 0 až -80. Učebnice vyšší gedézie tradičně dále uvádějí pravúhlé (Sldnervy) suřadnice, jejich převdy na suřadnice [U,V] a napak. ližší viz např. [], [] neb [3]. 3.. Gedetická křivka. Gedetická křivst. Ortdrma a lxdrma na kuli Gedetická křivka bývá definvána různými způsby. Nejčastěji se užívá definice: Gedetická křivka (čára) je nejkratší ze všech čar, které je mžn na zvlené plše vést mezi dvěma bdy. V rvině je gedeticku křivku úsečka, na kuli bluk hlavní kružnice (jejíž rvina prchází středem kule), na válcvé plše t je šrubvice. Sestrjíme ji, jestliže rzvineme válcvu plchu d rviny, ba dané bdy spjíme přímku a plchu pět svineme d válce. Další viz kap. 3..

2 S p V P S U Obr Gedetická křivst je křivst průmětu infinitesimálně maléh délkvéh elementu křivky d tečné rviny. V případě gedetické křivky je gedetická křivst v kterémkliv jejím bdě nulvá. Ortdrma na kuli. Mějme rvinu, která prchází středem kule. Ptm tut kuli prtíná v tzv. hlavní kružnici. Část/bluk tét kružnice spjující např. bdy A a na pvrchu kule se nazývá rtdrma. Je t nejkratší spjnice těcht dvu bdů. Ortdrma je rvněž celá kružnice, jducí d bdu A d téhž bdu A. Ortdrma je gedetická křivka v prstru zakřivená, avšak gedeticky přímá. V terénu ji lze vytyčit jak plygn vrchlvých úhlech 80. Přímu by se jevila např. z letadla. Ortdrmě dpvídá v rvině úsečka a přímka. Na kuli nemůžeme vést dvě rvnběžné rtdrmy, vždy jsu různběžné, dvakrát se prtínají a tvří dva sférické dvjúhelníky. Délka celé rtdrmy je πr, kde R je plměr kule. Průběh rtdrmy na kuli je dán kružnicí a řídí se vzrci sférické trignmetrie. Průběh analgické křivky v rvině je úsečka neb přímka a řídí se vzrci rvinné trignmetrie. PŘÍKLAD Obecně plžená rtdrma je znázrněna na br Je dán: Plměr R kule: Sférická šířka U 0 výchzíh bdu P 0 na kuli: 30 Sférická délka V 0 výchzíh bdu P 0 na kuli: 0 Azimut A 0 na výchzím bdě P 0 na kuli: 45 Rzdíl sférických délek V mezi bdy P a P 0 : 0 Máme určit: Sféricku šířku U becnéh bdu P Sféricku délku V becnéh bdu P Azimut A na bdě P Délku P 0P = l R Výpčet: Pdle vět sférické trignmetrie dstaneme cs 80 A = cs A cs V + sin A sin V cs 90 U A na bdě P: 57, ( ) 0 0 ( 0 )

3 ( A) ( U ) A0 ( U0 ) l ( ) ( ) ( ) ( ) sin 80 sin 90 = sin sin 90 U bdu P: 43,5508 cs P0 P = cs = cs 90 U 0 cs 90 U + sin 90 U 0 sin 90 U cs V R P 0 P = 0, S p 90 -I V 0 V V 90 -U A. V S p 90 -I V V 0 V A 90 -P 0 P 90 -U P 90 -U 0 A0 P A 0 I l/r P 0 P 0 Obr Obr Dále V = V0 + V = 0, event. kntrlně dalšími větami sférické trignmetrie. Délka l = P0 P R π 80 = 0, Odvzení Clairautvy věty. Rvina rtdrmy je v plze neměnná. Její skln značíme I a je rvněž neměnný, br Tudíž i vzdálenst 90 I nejvyššíh bdu rtdrmy d severníh pólu S p je neměnná, viz br. 3.. a Z pravúhléh sférickéh sin 90 U sin A = sin 90 I sin 90 a trjúhelníka PS p platí jednduchá věta sinvá ( ) ( ) p vynásbení plměrem R kule platí R csu sin A = knst. = k (3..) cž je věta Clairautva. Platí nejen pr kuli, ale i pr rtační elipsid. PŘÍKLAD Průběh rtdrmy. Vycházíme z br Nechť je dán: Plměr R kule: Sférická šířka U 0 výchzíh bdu P 0 na kuli: 0 Sférická délka V 0 výchzíh bdu P 0 na kuli: 0 Rzdíl sférických délek V mezi bdy P a P 0 : 0 Skln l rviny rtdrmy: 60 Máme určit: Sféricku šířku U becnéh bdu P 0 3

4 Sféricku délku V becnéh bdu P Azimut A na bdě P Délku P 0P = l R Výpčet: Nejprve z rv. (3..): k0 = R csu sin A = R csu0 sin A0 = R sin A0 = R cs I = 0, 5 Pté V = V0 + V v becném bdě P: 0 Z trjúhelníku PS p : cs A = cs V sin I. Azimut A v becném bdě P: 3, cs U = k / R sin A : U = 6, cs P 0 P = csu cs V, takže délka l = P0 P R π 80 = 0, Vhdné je sestavení kntrlních vzrců neb i jiných pstupů. Lxdrma na kuli prtíná všechny pledníky pd stejným azimutem A. Jestliže A = 0, je lxdrmu pledník, jestliže A = 90, je lxdrmu rvnběžka. V becném případě, kdy A 0 A 90, se lxdrma blíží v závitech k severnímu a jižnímu pólu. Přestže je těcht závitů neknečně mnh, je délka lxdrmy knečná, jak uvidíme pzději. S hledem na rtdrmu, která spjuje tytéž dva bdy jak lxdrma, prchází lxdrma na severní (jižní) zemské plkuli jižně (severně) d rtdrmy. Lxdrma a ani diferenciálně malé úseky tét křivky neleží na hlavní kružnici. Pr dvzení dalších jejích vlastnstí je prt nutné vycházet z diferenciálníh klí becnéh bdu P, viz br. 3..4, na kterém l značuje právě lxdrmu, S p je severní pól a význam statních symblů je zřejmý z předchzíh textu. Prtže se jedná infinitesimálně malý trjúhelník PP, je mžn jej pvažvat za rvinný. Pak platí vztahy sin Ad l = R csu dv cs Ad l = R du tan AdU = csu dv, (3..) S p V l 90 -U l A P R U r P A R csu V Obr Obr ve kterých jsme diference změnili na diferenciály d. Připmeňme, že A a R jsu knstanty. Ostatní veličiny, tj. U, V a l jsu prměnné a tedy pdléhají integraci. Z druhé rv. (3..) dstaneme ihned jednduchý vztah ( ) l cs A = R U U (3..3) 4

5 pr výpčet délky l lxdrmy mezi kncvými bdy zeměpisných šířkách U a U. ude-li ležet bd P na rvníku a P na severním pólu, pak U = 0, U = 90 a l = π R / cs A, vyjádřen již v míře blukvé. Je t tedy délka lxdrmy d rvníku k severnímu pólu S p. Délka lxdrmy d jižníh k severnímu pólu je tedy l = π R / cs A. Je-li azimut A = 60, je délka lxdrmy mezi póly l = π R, cž je x více, než délka pledníku mezi běma póly. Ve zvláštních případech je A = 0 (pledník) a A = 90 (rvnběžka). Pr A = 0 je délka mezi póly l = π R a pr A = 90, viz první rv. (3..), v níž U = knst., je l = π R csu. Integrujme nyní třetí rv. (3..). Pstupně dstáváme, viz též br. 3..4, V U U V takže výraz du dv = V V = tan A = tan A csu = tan A U U U U sin U + 45 cs U + 45 [ sin ( 90 + U )] du = U tan + 45 V = V tan A ln U tan + 45 U tan + 45 du = tan Aln, U tan + 45 (3..4) je pužitelný pr výpčet V, je-li dán U becnéh bdu P na lxdrmě. Pr pačný případ platí U U ln tan + 45 = ( V V ) ct A + ln tan + 45, U U ln tan + 45 = V ct A V ct A + ln tan + 45 = V ct A + ψ U kde ψ = V ct A + ln tan + 45 je knstanta pr danu lxdrmu. Z předešléh vyplývá výraz ( ) U = arctan exp V ct A + ψ 90 (3..5) pužitelný pr případ výpčtu U, je-li dán V bdu P na lxdrmě. Tím jsu v bu případech známy suřadnice U, V, viz rv. (3..4) a (3..5), je-li lxdrma určena vstupními veličinami U, V, A. Její délku l v becném případě, tj. d bdu P k bdu P, viz br. 3..4, určuje rv. (3..3). Rv. (3..4) a (3..5) se zjednduší pr případy zvláštní. Tak pr azimut A = 0, tj. pr lxdrmu jak pledník, nabývají suřadnice hdnt U 90,90, V = V a pr A = 90, tj. pr lxdrmu jak rvnběžku, nabývají suřadnice hdnt U = U, V 0,360. 5

6 Integrace prvé rv. (3..) by vyžadvala nejprve nahrazení veličiny U veličinami V a l. Pté by následvala její integrace. Nebude jí však třeba. PŘÍKLAD 3 Průběh lxdrmy. Viz br Jsu dány: Zeměpisná šířka U = 0 a zeměpisná délka V = 0 výchzíh bdu P lxdrmy Azimut A = 45 lxdrmy na bdě P Plměr kule R = 0 Zeměpisné délky V se budu měnit tak, jak ukazuje. řádek tab.3.. Máme určit: Zeměpisné šířky U dpvídající V lxdrmy a délku l = PP lxdrmy Výpčet: ψ = V ct A + ln tan U / + 45 = 0, cž je knstanta pr danu lxdrmu. Nejprve určíme ( ) V Pté z rv. (3..5) určíme šířku U = arctan exp ( V ct A + ψ ) 90 = arctan e 90, kde jedntlivá V udává. řádek a vypčtená U. řádek tab Délku l určuje rv. (3..3) l = R U U / cs A = 0 U 0 cs 45 π /80 = 0, U. Výsledky uvádí 3. řádek tab ( ) ( ) Tab. 3.. Suřadnice a délka lxdrmy V [ ] U [ ] 8,7 5,33 66,5 75,96 8,66 85,05 88,97 89,79 89, l 7,089,670 6,46 8,749 0,56 0,993,960,63,436,445 Z tab. 3.. vyplývá, že lxdrma se blíží k pólům v závitech, jejichž pčet je nemezený, její délka l je však určitá a blíží se k pslední hdntě v psledním řádku Exces Sférický exces ε ve sférickém trjúhelníku je hdnta, kteru je sučet vnitřních úhlů ve sférickém trjúhelníku větší než 80. Obecně je t nadbytek sučtu vnitřních úhlů sférickéh brazce nad sučtem úhlů příslušnéh rvinnéh brazce. Velikst excesu lze vypčítat pmcí měřených úhlů α, β, γ pdle rvnice = (3..6) ε α β γ Chyby úhlvých měření však mhu být větší než hdnta sférickéh excesu. V tm případě se rv. (3..6) pužívá jak kntrlní a výpčet excesu se prvede pdle vztahu P ε = ρ, (3..7) R kde P je bsah sférickéh trjúhelníka, R plměr kule a ρ je radián ve vteřinách. Sférický exces ε ve sférickém mnhúhelníku je pět řešitelný rv. (3..7), kde P je všem plcha sférickéh mnhúhelníka. 6

7 3..4 Meridiánvá knvergence Meridiánvá knvergence (sbíhavst pledníků) je dána úhlem γ, viz br. 3..5, který svírá v bdě P pledník zeměpisné délce V s rvnběžku r. Tečna, vedená v bdě P k rvnběžce r je rvnběžná s tečnu k základnímu pledníku v patě Q. Řešením pravúhléh sférickéh trjúhelníka PQS p s využitím Nepervých pravidel lze získat vztah pr výpčet meridiánvé knvergence. Zní tgγ = sinu tan V. (3..8) 3..5 Řešení sférických trjúhelníků větami sférické trignmetrie Řešení. základní gedetické úlhy (ve sférických zeměpisných suřadnicích) Na kuli plměru R je dán bd P [U,V ], délka rtdrmy l mezi bdy P a P a její azimut A v bdě P. Pčítají se suřadnice [U,V ] bdu P a azimut A v tmt bdě. Situace je naznačena na br. 3..6, zadané veličiny jsu zvýrazněny pdtržením. Pr výpčet zeměpisné šířky U užijeme ksinvu větu ve sférickém trjúhelníku l l P P S p. Má tvar cs( 90 U ) = cs ( 90 U) cs + sin ( 90 U) sin cs A. Z řady R R dalších mžných variant řešení výpčtu suřadnice V a azimutu A vybíráme tu variantu, která vychází puze ze zadaných veličin. Ve sférickém trjúhelníku P P S p platí sinvá věta a sinusksinvá věta pr stranu a úhel ( ) l sin 90 U sin V = sin sin A (3..9) R ( ) = l l ( ) ( ) sin 90 U cs V sin 90 U cs sin cs 90 U cs A R R Vydělením rv. (3..9) a (3..0) a dalšími algebraickými úpravami dstaneme rvnici l sin sin A tan V = R. l l csu cs sin sinu cs A R R Vykrácením čitatele i jmenvatele výrazem sin ( l / R ) získáme tvar sin A tan V =, l csuct sinu cs A R (3..0) který je funkcí puze zadaných veličin. Obdbný způsb výpčtu lze pužít pr azimut A. Ve sférickém trjúhelníku P P S p se vyskytuje u bdu P úhel (80 A ), kde A = A 80. Pr výpčet A pět využijeme sinvu a sinusksinvu větu pr stranu a úhel. Jsu ( ) ( ) ( ) sin 90 U sin 80 A = sin 90 U sin A (3..) 7

8 l ( ) ( ) = ( ) ( ) l sin 90 U cs 80 A cs 90 U sin sin 90 U cs cs A R R Vydělením rv. (3..) a (3..) a vykrácením výrazem csu bdržíme sin A tan A =. l l tanu sin + cs cs A R R Hledaný úhel A je pak A = A + 80, viz br (3..) S p V V 90 U pl. 90 U 80 A P A P A l / R Obr PŘÍKLAD 4. základní gedetická úlha. Vycházíme z br Jsu dány: Plměr R kule: m Sférická šířka U bdu P na kuli: Sférická délka V bdu P na kuli: 4 5 Délka l rtdrmy mezi bdy P a P : m Azimut A v bdě P : 80 Máme určit: Sférická šířka U bdu P na kuli Sférická délka V bdu P na kuli Azimut A na bdě P Výpčet: Nejprve určíme úhel l / R dpvídající délce l rtdrmy. Je l / R = 0, rad = = 80 l / π R = 5, Pté pdle kap pstupně zjišťujeme U z ksinvé věty pr stranu, V ze sinvé věty, V = V + V, A např. ze sinvé věty a A = A Výsledek: U = 5,96334 V =, A = 66, Kntrla Clairautvu větu: R csu sin A = 39858,9 m R csu sin A = 39858,8 m Viz též br A 8

9 3..5. Řešení. základní gedetické úlhy (ve sférických zeměpisných suřadnicích) Na kuli plměru R jsu dány bdy P [U,V ] a P [U,V ]. Pčítá se délka rtdrmy l mezi bdy P a P a ba její azimuty A, A v těcht bdech. Situace je naznačena na br. 3..7, kde jsu pdtrženy zadané veličiny. Pr výpčet délky rtdrmy l užijeme ksinvu větu ve sférickém trjúhelníku P P S p. Je kde V = V V, nebli ( ) ( ) ( ) ( ) l cs cs 90 U cs 90 U sin 90 U sin 90 U cs V R = +, l cs sin sin cs cs cs U U U U V R = +. Pr výpčet azimutu A pužijeme princip výpčtu uvedený v kap Ve sférickém trjúhelníku P P S p platí sinvá věta a sinusksinvá věta pr stranu a úhel ( ) l sin sin A = sin 90 U sin V (3..3) R ( ) ( ) ( ) ( ) l sin cs A = sin 90 U cs 90 U sin 90 U cs 90 U cs V R (3..4) Vydělením rv. (3..3) a (3..4) a dalšími algebraickými úpravami dstaneme rvnici tan A Vykrácením výrazem csu bdržíme rvnici csu sin V = csu sinu csu sinu cs V tan A. sin V = csu tanu sinu cs V. Pr azimut A je zaptřebí nejprve vypčítat A, a t vydělením následující sinvé a sinusksinvé věty pr stranu a úhel Získáme rvnici ( ) ( ) l sin sin 80 A = sin 90 U sin V R ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) l sin cs 80 A = sin 90 U cs 90 U sin 90 U cs 90 U cs V R csu ( A ) = tan 80 sin V, csu sinu csu sinu cs V která vykrácením výrazem csu přejde na tvar sin V tan A =. csu tanu + sinu cs V 9

10 . Azimut A vypčteme z výrazu A = 80 + A PŘÍKLAD 5. základní gedetická úlha. Vycházíme z br Je pužit výsledných hdnt PŘÍKLADU 4. Je dán: Plměr R kule: m Sférická šířka U bdu P na kuli: Sférická délka V bdu P na kuli: 4 5 Sférická šířka U bdu P na kuli: , Sférická délka V bdu P na kuli: 55 7,84008 Máme určit: Azimut A v bdě P na kuli Azimut A v bdě P na kuli Délku l rtdrmy mezi bdy P a P Výpčet: Pdle prvních vzrců v tét kap určíme úhlvu hdntu l / R rtdrmy, kde V = V V = , Je l / R = 0, rad = 5, a l = (l / R) R. Pté pdle dalších vzrců kap určíme azimuty A, A a knečně A = A + 80 Výsledek: A = 79, A = 66, l = ,998 m, cž je ve shdě s PŘÍKLADEM 4. Další kntrly jsu zbytečné. Pr zájemce tut disciplínu jsu uvedeny náměty dalších, slžitějších příkladů na kuli: - Určete sférické zeměpisné suřadnice průsečíků rtdrmy i lxdrmy s daným pledníkem, rvnběžku, becnu hlavní i vedlejší kružnicí. - Určete sférické zeměpisné suřadnice extrémních bdů na rtdrmě. - Určete sférické zeměpisné suřadnice průsečíků dvu rtdrm, dvu lxdrm, rtdrmy s lxdrmu. - Vypčtěte excesy, jsu-li dány sférické zeměpisné suřadnice minimálně tří bdů na kuli. - Určete meridiánvé knvergence pr různé suřadnicvé sustavy a pr různé bdy různých brazců. Závěrečná pznámka ke kap Dlužn pznamenat, že byly dvzeny i jiné metdy, které však již patří minulsti. yly dvzeny z důvdů snížení pčtu desetinných míst při zachvání přesnsti výpčtu. Délky trignmetrických stran nepřesahují zpravidla 30 km, takže zeměstředné úhly jsu menší než 6 a excesy trjúhelníků menší než. Pr milimetrvu přesnst je nutn pčítat trignmetrické funkce na desetinných míst. Obecné vzrce sférické trignmetrie nebyly vhdné pr řešení takvýcht malých trjúhelníků. Tyt klnsti vedly k určité úpravě rvnic pr řešení sférických trjúhelníků. Tím se např. sférické řešení nahradí řešením rvinným. Uveďme aspň některé názvy. Metda excesvá (Legendre 787) a metda aditamentvá (Sldner 80). Naše dbrná literatura uvádí tyt metdy a mnhé další např. v [], [] a [3]. Tyt základní gedetické úlhy bývají též značvány jak hlavní gedetické úlhy.. 30

11 LITERATURA: [] öhm J., Hra L., Klenatý E.: Vyšší gedézie díl. Vydavatelství ČVUT, Praha, 979. [] Ryšavý J.: Vyšší gedesie. Nákladem ČMT, Praha 947. [3] Vykutil J.: Vyšší gedézie. Vydavatelství Kartgrafie n. p., Praha Referenční elipsid a výpčty na referenčním elipsidu Pr přesnější gedetické výpčty již nevyhvuje nahrazení zemskéh tělesa plchu kulvu. Skutečný tvar Země lépe vystihuje plcha elipsidická. Trjsý elipsid má však slžitější gemetrii, prt se užívá elipsid rtační pr určitu blast (na rzdíl d elipsidu becnéh, který platí pr celu Zemi). Vznikne rtací pledníkvé elipsy hlavní se a a vedlejší se b. Parametry a, b je tvarvě i rzměrvě rtační elipsid jednznačně definván. Z nich jsu dvzeny další veličiny, které charakterizují tent elipsid. První výstřednst (excentricita pledníkvé elipsy) Druhá výstřednst První zplštění (pledníkvé elipsy) Druhé zplštění (pledníkvé elipsy) Plměr křivsti na pólech e e a = = a a b i = a b a a b n = a + b a c = b b b S p b a S rvník p Obr

12 Rvina, která prchází středem S elipsidu a je klmá na vedlejší su b, je rvina gedetickéh ) rvníku (viz br. 3..). Rvník je kružnice plměru a. Řezy rvin rvnběžných s rvinu rvníku jsu gedetické rvnběžky kružnice, jejichž plměr se zmenšuje d rvníku k pólům. Svazek rvin, prcházejících vedlejší su elipsidu b, prtíná pvrch elipsidu v gedetických plednících (meridiánech). Jsu t elipsy s plsami a, b. Plcha rtačníh elipsidu má prměnlivu křivst pdle směru řezu i plhy. Nrmály k plše becně neprcházejí středem elipsidu, ale jsu různběžné s vedlejší su. 3.. Suřadnicvé sustavy ) a jejich transfrmace Gedetická zeměpisná šířka ) je úhel, který svírá nrmála v bdě P k pvrchu elipsidu. Pčítá se - d rvníku k severnímu pólu v intervalu 0 až 90 a značuje se jak severní šířka (kladná,+, N) - d rvníku k jižnímu pólu v intervalu d 0 d -90 a značuje se jak jižní šířka (záprná,, S) Gedetická zeměpisná délka L je úhel, který svírá rvina pledníku bdu P s rvinu nultéh pledníku. Pčítá se - na výchd d nultéh pledníku v intervalu 0 až 80 a značuje se jak výchdní délka (kladná, +, E) - na západ d nultéh pledníku v intervalu 0 až -80 a značuje se jak západní délka (záprná,, ) Jak základní (nultý) pledník je mezinárdně značván pledník greenwichský. Tent základní gedetický pledník byl v minulsti definván jak astrnmický pledník, který prchází stabilizvaným bdem na bservatři v Greenwichi u Lndýna. yl definván pmcí astrnmických měření na tét bservatři a prt byl též nazýván greenwichským. V sučasné dbě je t již jen histrická setrvačnst v tmt názvu, nebť základní pledník je vlivem klísání pólu s časem prměnný. V sučasnsti je permanentně zaměřván a vypčítáván Mezinárdní časvu službu v Paříži a nedpvídá půvdnímu pledníku (neprchází ním základním bdem v Greenwichi). D pčátku 0. stletí se zeměpisné délky pčítaly d pledníku prcházejícím strvem Ferr (nejzápadnějším z Kanárských strvů, hranicí tehdejšími Evrpany pznanéh světa). Pledník Ferr byl základním i pr naši Jedntnu trignmetricku síť katastrální. Přibližný převdní vztah mezi běma délkvými sustavami LFERRO = L GR je velmi čast uvádě. Hdntu správnu, tj ,0, cituje E. uchar v práci Tížnicvé dchylky a geid v ČSR. Tat prace sice vyšla, ale d prdeje se nedstala, nebť byla prhlášena za tajnu. Gecentrická šířka β. V astrnmických aplikacích se míst užívá gecentrická ) šířka β. Je dána úhlem, který svírá spjnice SP s hlavní plsu (viz br. 3..3). Druhu suřadnicí zůstává L. ) Všechny veličiny vztažené k takt definvanému elipsidu jsu veličinami gedetickými. ) Termín zeměpisná šířka a délka se užívá d starvěku. Půvdně se měřil a mapval především v blasti Středzemníh mře a vynášení v mapě se knal p šířce neb p délce Středzemníh mře. Z dby starvěku pchází také měření suřadnic d rvníku, prtže plární blasti nebyly známé. ) Označení, L je z německéh reite (šířka) a Länge (délka). Suřadnice [, L] jsu gedetické, vztažené ke zvlenému elipsidu. Suřadnice [ϕ, λ] jsu astrnmické suřadnice, které se měří na skutečném zemském tělese (jsu s časem prměnné vlivem pruch jak je klísání pólu, změna směru svislice v prstru atd.). 3

13 Redukvaná šířka ψ. Pr teretické účely byla zavedena redukvaná šířka ψ. Uvažvaným bdem P (viz br. 3..) se vede rvnběžka s su y. Průsečíkem tét rvnběžky s su x vznikne bd P. Na kružnici plměru a se středem S se sestrjí bd Q jak Q = k S, a PP, kde PP b. Redukvaná šířka ψ je úhel QSP. Druhu suřadnicí zůstává ( ) gecentrická délka L. Pravúhlé suřadnice v rvině pledníkvé elipsy [x, y] Vlíme-li pčátek rvinné suřadnicvé sustavy ve středu S meridiánvé elipsy, su x vlžíme d hlavní plsy a su y d vedlejší plsy meridiánvé elipsy, bude její rvnice x y + =, neb b x + a y a b = 0. Pravúhlé suřadnice bdu P jsu definvány a b x = SP, y = PP. S p k(s,a) Q n e b P a S p 90 + p Obr. 3.. Prstrvé pravúhlé suřadnice [X, Y, Z] Pčátek suřadnicvé sustavy je ve středu elipsidu S. Osa X je průsečnicí gedetické rviny rvníku s rvinu základníh gedetickéh pledníku, sa Y leží v rvině rvníku a je klmá na su X v pravtčivé sustavě. Osa Z je vlžena d vedlejší sy. Osy X,Y,Z tvří pravúhlu pravtčivu sustavu. Prstrvé pravúhlé suřadnice bdu P, který leží na plše elipsidu (H = 0), jsu definvány vztahy X = N cs cs L, Y N cs sin L =, ( ) Z = N e sin (3..) ) Zde je gecentricku šířku míněn úhel, který má vrchl ve středu referenčníh elipsidu. V sučasné dbě se termín gecentrický většinu užívá pr střed elipsidu ttžný s těžištěm Země. Elipsid se středem v těžišti Země má název becný (abslutní) elipsid. Vzdálensti středů referenčních elipsidů d těžiště Země se phybují řádvě ve stvkách metrů. 33

14 kde N je příčný plměr křivsti, viz rv. (3..9) a e je první výstřednst. Pr bd, který leží ve směru nrmály k elipsidu ve výšce H nad elipsidem, platí X = ( N + H )cs cs L, Y ( N H )cs sin L Odvzení viz při rv. (3..0) a (3..) Vybrané transfrmace suřadnic ( ) = +, ( ) Z = N e + H sin (3..) β ψ Následující úlhy budeme řešit za předpkladu znalsti velmi jednduchéh (afinníh) vztahu mezi elipsu e a kružnicí k(s,a), viz br Zní PP / PQ = b / a (3..3) pr všechny suřadnice ve směru sy y. Suřadnice ve směru sy x zůstávají neměnné. Z br. 3.. vyplývá, že z čehž, viz též rv. (3..3), takže tan ψ = PQ / x, tan β = y / x, a tan ψ / tan β = / = / = = PQ y PQ PP b a e ( e ) 0.5 = β, β ( e ) tanψ tan a tan = tanψ (3..4), ψ tan 90 ψ = PQ / p Pdle br. 3.. je ( ) ctg ψ / ctg tan / tanψ, ( ) = tan 90 PP / p, z čehž PQ a a = = = = PP b a e ( ) jak vyplývá z rv. (3..3). Takže tan = e tanψ, tanψ = ( e ) tan (3..5), β Zřejmě platí pmcí rv. (3..4) a (3..5), že ( e ) ( e ) tan β / tanψ tan β / tan = = = e, 0.5 tan / tanψ β = ( e ), ( ) tan tan tan = e tan β. 34

15 x,y Opět pužijeme br Vyplývá z něh, že x = a csψ, y = bsinψ (3..6) Pužijeme-li známých puček z gnimetrie, je mžn cs ψ a sin ψ vyjádřit jak tg ψ. Zní csψ =, sinψ = + tan ψ tanψ + tan ψ (3..7) Za tanψ dsadíme z rv. (3..5) d předchzích rvnic, tyt d rv. (3..6) a pstupně dstáváme, že x = a ( e ) + tan, y = b ( e ) ( e ) tan + tan x = a cs, y = cs + e sin ( ) x = a cs e sin ( ) sin + ( ) a e cs e sin ( ) a e sin, y = e sin (3..8) kde = e sin je tzv. druhá základní (fundamentální, hlavní) gedetická funkce. Pak je také mžn psát =, = ( ) x a cs / y a e sin / Pr úplnst uveďme první základní (fundamentální, hlavní) gedeticku funkci = + sin. Vztahy mezi nimi jsu V e = V e, V = + e Obě funkce se v gedézii čast pužívají, především ve vyšší gedézii. Druhá základní gedetická funkce V se užívá s plárním plměrem křivsti c. Obě funkce a V závisí jen na gedetické šířce a bývaly tabelvány k tmut argumentu. Důvdem pr jejich zavedení byl pčtářské zjedndušení. Dnes již th není třeba. S rv. (3..8) suvisí další důležitá veličina, a t je příčný plměr křivsti a a N = = e sin (3..9) cž je plměr skulační kružnice v rvině rvnběžky danéh bdu, tzv. příčný plměr křivsti. Odvzení je v kap Gecentrický průvdič, viz br. 3.., je ( ) ρ = x + y = a cs ψ + e sin ψ = a e sin ψ 35

16 S pmcí rv. (3..6) neb též s pmcí rv. (3..8) ( ) ( ) ρ = + = + a cs e sin / a e e sin / a s pmcí první rv. (3..4) a druhé rv. (3..7) je tan ψ tan β b ρ = a e = a e = + tan ψ e + tan β cs β e sin β Transfrmace v prstru (3-D transfrmace) a), L, H=0 X, Y, Z Z br a z trjúhelníku vprav nahře vyplývají pr suřadnice X, Y, Z vztahy X = x cs L, Y = xsin L, Z = y, které lze upravit dsazením vztahů (3..8) a (3..9). Dstáváme ( ) X = N cs cs L, X = N cs sin L, Z = N e sin (3..0) Z p P S L 90 -L. Y X p x Obr. 3.. b), L, H X, Y, Z V rv. (3..0) příčný plměr křivsti N se nahradí výrazem (N+H), čímž se získají rvnice, viz též rv. (3..), ( ) ( ) ( ( ) ) X = N + H cs cs L, Y = N + H cs sin L, Z = N e + H sin (3..) Elipsidická výška H bdu P je rvna sučtu jeh nrmální výšky H n a výšky kvazigeidu nad elipsidem, takže H = H n + ζ kv. c) X, Y, Z, L, H Zpětnu transfrmaci lze prvést nepřímým i přímým způsbem. ζ kv 36

17 a) Nepřímý způsb (pstupná aprximace) Gedetická délka L se vyjádří vydělením druhé a první rv. (3..). Je tg L = Y / X. Z týchž rvnic získáme ( ) X Y N H cs p + = + =, (3..) kde p je hdnta známá. Tut hdntu vydělíme třetí rv. (3..) a máme X Z + Y ( + ) Z N H Ne sin = = = tan p N + H cs + H / N ( ) z čehž vyplývá pr gedeticku šířku vztah tan sin sin e tan Z N = + e = ( Z + Ne ), (3..3) p p p který řešíme pstupnu aprximací, nebť druhý člen pravé strany rv. (3..3) bsahuje malu veličinu e. Neznámu je všem i příčný plměr křivsti N, viz rv. (3..9), který se I rvněž pstupně upřesňuje splečně s výrazem. Takže pstup bude tan = Z / p, I = ( sin ) 0.5, ( ) I N a e II ( sin ) 0.5 II N a e =, Zpravidla již třetí aprximace dává hledanu hdntu. Elipsidicku výšku H uvádí rv. (3..). = N p + = + p, I II I I I I tan Z N e sin tan e sin N = + atd. p II III I II tan tan e sin b) Přímý způsb, viz [4] Nejdříve se vypčítají knstanty k, k, k 3, které jsu pr daný referenční elipsid neměnné a a E E stačí je tedy vypčítat jen jednu, k =, k =, k3 =, kde a, b viz úvd kap. 3. a b a b E = a b. Zavedeme θ = arctan k Z p, pak, θ tan, tan, cs sin sin 3 Z + k3 sin Y = L = H = p + Z a e 3 p k cs θ X (3..4) PŘÍKLAD 6 Transfrmace, L, H na X, Y, Z Jsu dány parametry esselva elipsidu a, e a elipsidické zeměpisné suřadnice,l,h bdu P, který leží vně esselva elipsidu: a = ,55 m, e = 0, , = 50, L = 5, H = 0 m. Určete pravúhlé prstrvé suřadnice X,Y,Z bdu P. Výpčet: Pužijeme jednduše rv.(3..). Dříve je však nutné vypčítat příčný plměr křivsti N z rv. (3..9). 37

18 Výsledek: N = ,08 m, X = ,579 m, Y = ,533 m, Z = ,90 m. PŘÍKLAD 7 Transfrmace X, Y, Z na, L, H. a) Nepřímý způsb Tut úlhu budeme nejprve řešit pstupnými aprximacemi, viz bd c) v předchzím textu. Dány jsu pět parametry esselva elipsidu a a e a pravúhlé prstrvé suřadnice X,Y,Z bdu P, viz výše. Výpčet: Gedeticku délku L určíme z výrazu tan L = Y/X, který jsme získali z druhé a první rv. (3..). Gedeticku šířku určíme pstupným přibližváním, viz rv.(3..3) a text za ní. V jedntlivých aprximacích dstáváme ve [ ]: 49, , 49, , 49, , 49, a 49, Elipsidicku výšku určuje rv.(3..), která zní H = p/cs - N. Výsledky: = 50, L = 5, H =0 m, cž se shduje se zadanými veličinami v úvdu příkladu 6. b) Přímý způsb, viz [4]. Dány jsu parametry esselva elipsidu a, e a pravúhlé prstrvé suřadnice X,Y,Z bdu P, který leží vně esselva elipsidu: a = ,55 m, e = 0, X = ,58 m, Y = ,533 m, Z = 48630,9 m Určete gedetické suřadnice,l,h téhž bdu P, a t přímým pstupem, viz bd b) v předchzím textu. Jde tedy tutéž úlhu, řešenu bezprstředně před tut úlhu, leč nepřímým způsbem, tj. pmcí aprximací. Výpčet: Nejprve vypčteme vedlejší plsu b = a ( e ) 0,5 = , m, pté pmcnu veličinu E = (a - b ) 0,5 = 5 03, a dále k =, , k = 4 565, m, k 3 = 4 707, m, P = (X + Y ) 0,5 = , m a θ = 49, Výsledky: Viz rv. (3..4): = 49, , L = 5, , H = 0, m, cž je zcela vyhvující. 3.. Křivky na rtačním elipsidu Zemský pledník je mnžina bdů s knstantní gedeticku zeměpisnu délku. Má tvar elipsy, která spjuje severní a jižní pól. Na plše elipsidu je jich neknečně mnh. Výpčet délky pledníkvéh bluku je v kap Zemská rvnběžka. Z br vyplývá, že rvnběžka, která prchází bdem P gedetické šířce, je kružnice plměru r = x = N cs. Obluk s r rvnběžky mezi bdy gedetických délkách L, L je tedy blukem kružnice plměru r při středvém úhlu L = L L, takže sr = N cs L, kde L je v radiánech. Tečny k plše elipsidu, klmé k bluku rvnběžky, jsu tečnami k pledníkům, směřují d bdu V a tvří kuželvý plášť. 38

19 Nrmálvé řezy. Mezi bdy P [, L ] a [, ] P L lze becně vést dva nrmálvé řezy (viz br. 3..5). První nrmálvý řez vytváří rvina daná nrmálu n a bdem P a druhý nrmálvý řez nrmálu n a bdem P, přičemž nrmály n, n jsu becně mimběžky. Nrmála n v bdě P prtne rtační su elipsidu v bdě V, nrmála n v bdě V. Rvina určená bdy PV P bsahuje nrmálu n a prtíná elipsid v nrmálvém řezu s. Rvina PV P bsahuje nrmálu n a prtíná elipsid v nrmálvém řezu s. y V S p P n N t S Obr x Nrmály n, n nebudu mimběžné a bě rviny se zttžní, jestliže bdy P, P leží: - na stejném pledníku bě nrmály leží v jedné meridiánvé rvině a ba nrmálvé řezy splývají v jednu křivku, která je ttžná s meridiánvu elipsu - na stejné rvnběžce bd V splyne s V. Pzn.: Naznačená situace nastává v praxi v kamžiku, kdy v bdě P urvnáme svislu su tedlitu d směru nrmály n a zaměříme na bd P. Záměrná rvina prtne elipsid v nrmálvém řezu s. Při měření z bdu P na P záměrná rvina prtne elipsid v nrmálvém řezu s. Gedetická křivka. Definice gedetické křivky, resp. rtdrmy pr kuli, byla uvedena v kap Na elipsidu bychm gedeticku křivku vyznačili tak, že bychm mezi dvěma bdy napjali pddajný prvazec, který by ve všech svých bdech přiléhal k elipsidu. Stejně tak by tmu byl i u jiných plch, všem vždy s přihlédnutím k výše uvedené definici. K představě gedetické čáry na elipsidu lze dspět ještě pněkud jinak. Vyjděme z jistéh pčátečníh bdu A a v malé vzdálensti vytýčíme bd. Pté přejdeme na bd, urvnáme strj/tedlit, zaměříme na bd A a ve směru dchýleném 80 vytýčíme bd C, pět v malé vzdálensti. A tak pkračujeme až ke knečnému bdu Z přadu. Křivka A,, C,, Z je křivku gedeticku na elipsidu. Zde je křivku prstrvu. Uveďme další dplnění jejích vlastnstí pr elipsid. 39

20 n Obr Gedetická křivka na elipsidu je becně prstrvá křivka. Ve speciálním případě je křivku rvinnu, a t pledníkem, spjuje-li zemské póly.. Gedetická křivka prtíná každý pledník (tj. jinu gedeticku křivku téže plchy) pd dvěma azimuty. Měříme-li jeden d severní a druhý d jižní větve pledníku, mají stejnu velikst. 3. Pr gedeticku křivku platí Clairautva věta: sučin plměru rvnběžkvé kružnice r a sinu azimutu A je pr každý bd P gedetické křivky knstantní. Platí r sin A = N cs sin A = k0, kde k0 je knstanta. 4. Průběh gedetické křivky: - azimut gedetické křivky A 0 Pr křivku jducí na sever platí, že se zmenšujícím se plměrem rvnběžek se musí zvětšvat azimut gedetické křivky. Gedetická křivka prtínající rvník pd azimutem A 0 (A 0 je minimální azimut křivky, rvník je maximální rvnběžka s plměrem a) jde na sever nejdále k mezní rvnběžce, kteru nepřejde (zde A = 90 sin A = r = k = N cs ). Výchzí azimut A 0 na rvníku zárveň udává plměr tét mezní rvnběžky (je-li A < 90 = 0 N = a r= k = asin A ). Nastává její brat k jihu, pd azimutem A > 90 přejde rvník a celý průběh se pakuje s tím rzdílem, že se nevrátí přesně d výchzíh bdu na rvníku, ale bíhá elipsid mezi běma mezními rvnběžkami v neknečné řadě vln. - azimut gedetické křivky A = 0 Je-li v některém bdě A = 0, platí t pr celý její průběh. Tét pdmínce vyhvují pledníky. 5. Gedetická křivka je nejkratší spjnicí bu kncvých bdů a becně leží mezi vzájemnými nrmálvými řezy, jejichž úhel rzděluje v pměru :. Příčná vzdálenst 40

21 vzájemných nrmálvých řezů je největší právě uprstřed a je gedeticku křivku půlena. 6. Leží-li ba kncvé bdy na splečném pledníku, nrmálvé řezy splývají a s nimi i gedetická křivka. Leží-li ba kncvé bdy na téže rvnběžce, nrmálvé řezy splývají, ale gedetická křivka prbíhá mim. Při azimutech gedetické křivky blízkých 90 gedetická křivka prtíná neb se dtýká nrmálvých řezů. Mezi dvěma bdy na elipsidu existují becně nrmálvé řezy, ale jen jedna gedetická křivka. Řešení sféridických trjúhelníků bude jednznačné jen tehdy, spjíme-li jejich vrchly gedetickými čarami. Při měření tedlitem ale záměrné rviny prtínají elipsid v nrmálvých řezech a tedy měřené úhly se vztahují k nim. Pr velmi přesné výpčty se naměřené úhly redukují z nrmálvých řezů na gedetické křivky. d S p 3 4 S J p Obr Diferenciální rvnice gedetické křivky. Na br je ds délkvý element gedetické křivky vedené z bdu P, d bdu P pd azimutem A. dy P a P 3 prchází rvnběžky diferenciálně blízké; rzdíl jejich zeměpisných šířek je d. dy P a P 4 prchází rvněž dva diferenciálně blízké pledníky; rzdíl jejich zeměpisných délek je dl. Hlavní plměry křivsti (bližší v kap. 3..3) v bdě P jsu M, N. Průmětem elementu ds gedetické křivky na pledník, prcházející bdem P, je délkvý element pledníku mezi bdy P a P 3. Platí pr něj první diferenciální rvnice gedetické křivky M d = ds cs A. Průmětem elementu ds gedetické křivky na rvnběžku, 4

22 prcházející bdy P a P 4, je délkvý element rvnběžky mezi bdy P a P 4. Druhá diferenciální rvnice gedetické křivky je N cs dl = ds sin A. Délkvý element rvnběžky mezi bdy P a P 4 lze také vyjádřit z trjúhelníka PVP 4. Je N cs dl = N ctg da, kde N ctg je délka VP na pvrchvém kuželu. Dělením dvu psledních diferenciálních rvnic se bdrží třetí diferenciální rvnice gedetické křivky ve tvaru sin A ds sin A tg da = sin dl = = ds. N ctg N Gedetická křivka je tedy ppsána sustavu diferenciálních rvnic d cs A =, d L sin A =, d A sin A = (3..5) ds M ds N cs ds N ctg Pučné bude tyt rvnice prvnat s rv. (3..). Lxdrma na elipsidu. Jak již byl uveden v kap. 3.., lxdrma je křivka, prtínající všechny pledníky pd knstantním azimutem. Její rvnici lze dvdit s využitím br N cs dl V diferenciálním trjúhelníku platí tg A = M d, nebli M d dl = tg A. Jedná se N cs sice diferenciální rvnici se separvanými prměnnými, ale řešení integrálu na pravé straně je pněkud slžitější. P vyřešení ( ) L L = tg A e má rvnice lxdrmy na elipsidu tvar d e sin cs e e tan 45 + sin e esin + esin + esin L = L + tan A ln tan Obr Pdle trjúhelníku na br lze sestavit rvnici vhdnu pr výpčet délky lxdrmy s. Nesplývá-li lxdrma s rvnběžku, pak v diferenciálním trjúhelníku platí 4

23 Md cs A =, viz též první rv. (3..5). A prtže azimut A je knstantní, je pak ds s = Md. Je-li lxdrma zárveň rvnběžku (tj. má-li azimut A = 90 a tudíž cs A cs A = 0 ), pužívá se pr výpčet délky lxdrmy vztah L rv. (3..5), a platí s = N cs dl. L 3..3 Plměry křivsti na elipsidu N cs dl sin A =, viz druhá ds Nrmálu k elipsidu v daném bdě P lze prlžit neknečně mnh rvin klmých k pvrchu elipsidu. Tyt rviny prtínají elipsid v nrmálvých řezech, viz též kap Křivst plchy rtačníh elipsidu se mění s azimutem uvažvanéh nrmálvéh řezu a navíc se zeměpisnu šířku. V každém bdě na elipsidu existují dva extrémní nrmálvé řezy, tzv. hlavní nrmálvé řezy, jejichž křivst je minimální a maximální. Odpvídajícími plměry křivsti jsu hlavní plměry křivsti: pledníkvý plměr křivsti M a příčný plměr křivsti N. Z hlavních plměrů křivsti se dvzují: plměr křivsti R α nrmálvéh řezu v libvlném směru a střední plměr křivsti R m, jak bude uveden v dalším textu. Křivst je převrácená hdnta plměru křivsti. pledník A P ds. P M y S x d Obr

24 Pledníkvý plměr křivsti M. d P má gedeticku šířku a jeh pravúhlé suřadnice v rvině pledníku jsu x,y, viz br Při psunu z bdu P d bdu P délkvý element ds se změní gedetická šířka d a pravúhlé suřadnice dx a +dy (suřadnice x se zmenší). Z br plyne pr elementární bluček ds vztah ds = M d. dx Obluček ds lze vyjádřit i z trjúhelníku PP A, který lze pvažvat za rvinný, ds =. sin dx dx Dsazením tht vztahu d předchzíh se dstane = M d. Odtud M =. Hdnta d x d sin se vypčte derivací suřadnice x, viz první rv. (3..8), pdle. Jest ( ) ( ) dx d a cs + = = = d d e sin e sin e sin Vzrec pr pledníkvý plměr křivsti je tedy Minimální hdnty nabývá pr Maximální hdnty nabývá pr = 90 : sin d ( ) ( e sin ) a sin e sin ae sin cs a e sin ( ) M ( e sin ) = 0 : M 0 = a( e ). M 90 ( ) a e a e = = = a a c e = b = Pledníkvý plměr křivsti je funkcí zeměpisné šířky. Pr argument byly prt hdnty M tabelvány. Dnes se tyt výpčty realizují na PC. Příčný plměr křivsti N. Řez elipsidu rvinu prlženu nrmálu v daném bdě P a klmu k rvině meridiánu se nazývá příčný nrmálvý řez. Je t becně elipsa, krmě rvníku, kde je t kružnice. Nrmály k elipsidu, sestrjené ve všech bdech téže rvnběžky gedetické šířce, se prtínají v bdě V ležícím na malé se b, br Mnžina všech nrmál téže rvnběžky tvří pvrch kužele vrchlu V. Nrmála PV a její diferenciálně blízká nrmála jsu sučasně nrmálami i příčnéh nrmálvéh řezu. Platí, že průsečík dvu diferenciálně blízkých nrmál - bd V - je středem křivsti příčnéh nrmálvéh řezu.. Pøíèný nrmálvý øez n x V Obr

25 Příčný plměr křivsti N je prt dán úsečku N=PV. N je zárveň plměr kule středu V, která se dtýká elipsidu pdél rvnběžky r. Pdle br platí x = N cs, tedy x a cs N =, kde x =, viz první rv. (3..8). Dsazením se bdrží vyjádření pr cs e sin a příčný plměr křivsti N =. e sin Minimální hdnty nabývá pr = 0 : N0 = a. a a Maximální hdnty nabývá pr = 90 : N = 90 c e = b =. Pzn..: Příčný plměr křivsti je také funkcí. Pr libvlný bd na elipsidu je N > M N e sin s výjimku pólů. Pměr bu hlavních plměrů křivsti je =. Čím víc se M e N N blíží, tím více se přibližuje elipsidický pvrch kulvému. Na pólu M M =, tedy a a M 90 = N90 = = = c. Maximální rzdíl meridiánvéh a příčnéh plměru křivsti e b N je na rvníku, kde =. M e Pzn..: Délka nrmály mezi bdem P a rvníkem, s užitím druhé rv. (3..8), je y a( e ) PQ = = = N ( e ). sin e sin Plměr křivsti R α v libvlném azimutu α. Z plměrů křivstí M, N lze určit plměr křivsti R α nrmálvéh řezu v becném azimutu α pdle Eulervy ) věty cs α sin α = +. Na pólech je plměr R α ve všech směrech stejný. Rα M N Střední plměr křivsti R m. Elipsidicku plchu lze s určitu přesnstí nahradit plchu kulvu středním plměru a pak elipsidické trjúhelníky řešit pmcí sférické trignmetrie. Střední plměr kule je vztažen ke střední šířce zbrazvanéh území. Prtže M R N P, L. Kule < <, mhu se bě plchy zttžnit jen v jednm bdě [ ] m plměru R m jde pak ve směru pledníku L 0 nad elipsidem, ve směru rvnběžky 0 pd plchu elipsidu. Střední plměr křivsti v určitém bdě je aritmetický průměr všech nrmálvých plměrů křivsti v tmt bdě. Pdle věty Grunertvy 5 je tent aritmetický průměr rven gemetrickému průměru hlavních plměrů křivsti M, N, tedy a e Rm = MN =.Reciprká hdnta čtverce středníh plměru křivsti e sin = = K je Gaussva míra křivsti plchy v bdě P. Je t sučin křivstí hlavních R M N m nrmálvých řezů, vedených tímt bdem. ) Důkaz věty Eulervy a Grunertvy přesahuje rámec tht učebníh textu. 45

26 3..4 Základní výpčty na rtačním elipsidu Výpčet délky pledníkvéh bluku (rektifikace meridiánu). Jsu dány gedetické zeměpisné šířky, kncvých bdů a pčítá se délka pledníkvéh bluku. Jedná se bluk eliptický a becné řešení vede k eliptickému integrálu. Obluček ds pledníkvé elipsy, dpvídající diferenciálně malé změně d, se vypčte jak bluk kruhvý plměru M, tj. ds = M d. Délka pledníkvéh bluku s d rvníku k bdu P šířce se vypčte integrací první rv. (3..5). Dstáváme d Md ( ) ( e sin ) s = = a e Délka pledníkvéh bluku s mezi dvěma rvnběžkami šířkách, se vypčte jak rzdíl s = s s, kde s = Md, s 0 0 = Md, viz br Délka pledníkvéh bluku je funkcí a byla tabelvána k tmut argumentu. Dříve se výpčet prváděl rzvjem funkce ve jmenvateli v řadu (dvzení řad pr výpčet délky pledníkvéh bluku viz např. [3], [6]). Dnes se výpčet prvádí numericky na PC. Výpčet plch. Plšný element dp elipsidickéh lichběžníku, mezenéh dvěma diferenciálními rvnběžkami, + d a pledníky L, L + dl, viz br. 3..7, je dán vztahem dp = M N cs d dl. (3..6) Plšný bsah elipsidickéh lichběžníku, mezenéh dvěma rvnběžkami, a pledníky L, L, se vypčte integrací rvnice (3..6). Pstupně se získá P = = a L L MN cs ddl = a ( e )( L L ) L ( e ) ( e sin ) cs d L dl ( e sin ) cs d kde rzdíl L L je v radiánech. yly vyčísleny tabulky plch lichběžníků mezi dvěma pledníky L, L d rvníku ( = 0) až p becnu rvnběžku. Při výpčtu byl užit rzvje funkce ve jmenvateli v řadu. Výsledný vztah pr výpčet pvrchu celéh elipsidu pmcí řady je 3 4 P = b + e + e + e π... = (3..7) 46

27 P ds P s s S d Obr. 3.. Plměr náhradní kule. V méně nárčných výpčtech lze celý elipsid nahradit kulí. Plměr je mžn dvdit třemi způsby: Kule má stejný bjem jak elipsid, tj. π R = π a b, dtud R = a b 3 3 Kule má stejný pvrch jak elipsid, s dsazením (3..7), platí 3 4 R b e e e 3 5 7, tedy R = b + e + e + e π = 4π Kule má plměr rvný aritmetickému průměru všech tří pls rtačníh elipsidu, a + b tj. R =. 3 Všechny tři způsby výpčtů plměrů pr daný elipsid jsu p zakruhlení na 0, km stejné. Pr elipsid esselův činí R ess = 6370,3 km, Krasvskéh R Kras = 637, km, elipsid GRS80 R GRS80 = 637,0 km Řešení sféridických trjúhelníků Řešení přechdem na náhradní kuli Metda excesvá. Pr délky stran trjúhelníků kratší než 60 km lze pstupvat takt: Sféridický trjúhelník se řeší jak sférický na náhradní kuli plměru rvném střednímu plměru křivsti v těžišti trjúhelníku R m (viz kap. 3..), který je vztažen ke střední šířce. Exces se pčítá ze vzrce ε = ρ P = ρ PK, kde P je bsah trjúhelníka a K je Gaussva MN míra křivsti (viz kap. 3..). Následuje řešení v rvině, které je uveden v četných učebnicích vyšší gedézie, např. [], [6]. Metda aditamentvá. Střední plměr křivsti se v důsledku maléh zplštění elipsidu pměrně mál mění se zeměpisnu šířku. Pr celé území bývalé ČSSR lze vlit jeden 47

28 plměr R m = 638,6 km, který je vztažen k = Lineární aditamenty v metrech se 6 3 pčítají ze vzrce As = 4,093 0 s, kde délka strany s je v kilmetrech, např. [], [6]. Mderní pstupy jsu zalženy na numerické integraci rv. (3..5). LITERATURA: [] öhm J.: Vyšší gedézie. Díl I. ČVUT, Praha 979. [] Cimbálník M., Mervart L.: Vyšší gedézie. ČVUT, Praha 999. [3] Kabeláč J.: Příspěvek k rektifikaci meridiánu. Ged. a kart. bzr, sv. /43, č. 3, Praha 955. [4] Pick M.: O exaktnsti v gedézii. V: Vj.-tech. infrmace, č. 58/998, s.6-9. [5] Ryšavý J.: Vyšší gedézie. ČMT, Praha 947. [6] Vykutil J.: Vyšší gedézie. Vydavatelsrví Kartgrafie, Praha Vztahy mezi dvěma elipsidy 3.3. Úvd Připmeňme, že nasledující asi tři stránky jsu pakváním a dplněním kap..4. Pdle vazby suřadnicvéh systému elipsidu na zemské těles rzeznáváme druhy rtačních elipsidů. Elipsid referenční nemá střed ttžný s těžištěm Země. Vedlejší plsa nemusí být rvnběžná s su zemské rtace. Referenční elipsid aprximuje těles (geid) jen v určité blasti. V stletí byla dvzena řada elipsidů, které se lišily krmě rzměrů i svu plhu a rientací vzhledem ke geidu. Jde tzv. gedetické datum ). Pr gedetické výpčty se užívaly elipsidy, které dvdil např. essel, Hayfrd, Clarke, Krasvskij aj. Elipsid becný (abslutní) vystihuje Zemi (geid) jak celek. Musí splňvat následující čtyři pdmínky: - jeh gemetrický střed je ttžný s těžištěm Země, - jeh vedlejší plsa splývá s su zemské rtace, - sučet čtverců převýšení geidu d tht becnéh elipsidu je minimální, - rtační rychlst je stejná jak rtační rychlst Země. Tent elipsid se nejlépe přimyká k pvrchu celé Země. Příkladem je elipsid systému GS84 (rld Gedetic System 984). Pr řešení řady aktuálních výpčtů v gedézii je nezbytné znát vztahy pr suřadnicvé transfrmace mezi běma typy elipsidů. Tak se určí nejen vzájemná plha těcht elipsidů, ale získá se i mžnst převedení suřadnic z jednh elipsidu na druhý a napak. Tím, že se určí převdní vztahy mezi různými referenčními elipsidy na jedné straně a becným elipsidem na straně druhé, získají se i převdní vztahy mezi referenčními elipsidy navzájem. Úlha je též známa pd názvem nalezení transfrmačníh klíče. ) Gedetické datum bsahuje velikst hlavní sy a číselnu výstřednst pužitéh referenčníh rtačníh elipsidu. Dále bsahuje údaje, které jednznačně určují jeh plhu vůči fyzikálnímu tělesu zemskému, resp. vůči geidu. Jsu t: výška základníh (výchzíh, referenčníh) bdu a rientace elipsidu pmcí tížnicvých dchylek a astrnmických azimutů na referenčním bdě. Prstřednictvím měření na družice byly tyt rientační parametry nahrazeny sedmi transfrmačními, které jsu nazývány transfrmační klíč. 48

29 V kap budu dvzeny základní transfrmační rvnice pr převdy mezi suřadnicvými systémy. V kap budu dvzeny zprstředkující rvnice pr určení transfrmačníh klíče pdle metdy nejmenších čtverců (MNČ). Úlhy v kap jsu prezentvány jak vztahy mezi esselvým elipsidem a elipsidem GS84. Uvedené aplikace však platí pr libvlnu dvjici (rtačních) elipsidů. esselův elipsid byl dvzen v rce 84 tzv. blukvu metdu. essel využil výsledků měření deseti různých pledníkvých bluků a parametry elipsidu vypčítal vyrvnáním pdle MNČ. Oblukvá metda je ryze gemetrická, při jejím užití se neuvažuje vliv tížnicvých dchylek. Nezhledněné větší tížnicvé dchylky v kncvých bdech měřených pledníkvých bluků negativně vlivnily přesnst výsledku (pdrbné dvzení viz např. [4]). Parametry esselva elipsidu jsu: hlavní plsa a = ,55 08 m, vedlejší plsa b = ,96 90 m, výstřednst e = 0, esselův elipsid je vhdný zejména v blastech střední Evrpy, byl pužit pr gedetické výpčty na našem území. GS84 je glbální gecentrický gedetický systém, užívaný armádu USA. Parametry elipsidu GS84 jsu: - primární: hlavní plsa a = m výstřednst e = 0, gecentrická gravitační knstanta GM = ,448 km 3. s - úhlvá rychlst rtace Země ω = 7, rad. s - - sekundární: definují mdel struktury zemskéh tíhvéh ple pmcí geptenciálních harmnických (Stkesvých) keficientů. Pčátek suřadnicvé sustavy GS84 je v těžišti C Země, viz br Osa Z směřuje ke knvenčnímu terestrickému pólu ). Osa X je průsečnice základníh pledníku a rviny rvníku, vztažené ke knvenčnímu terestrickému pólu. Osa Y dplňuje systém na pravúhlý pravtčivý systém (směr kladné části sy Y je 90 výchdně vzhledem k se X). V systému GS84 pracuje glbální systém určvání plhy GPS Odvzení transfrmačních rvnic mezi dvěma suřadnicvými sustavami dvu elipsidů Pdle br uvažujme suřadnicvý systém S [ X, Y, Z ]. Tent systém psuneme rvnběžně tak, že pčátek přejde z C d O, čímž vznikne rvnběžně psunutý systém X, Y, Z CO X, Y, Z, značme jej S. Pté djde S [ ]. Psun je dán vektrem [ ] k natčení d systému [ x, y, z] s vždy v kladném smyslu klem sy X + ε x, klem sy Y ) Přesná měření ukázala, že dchází k psunu pólů p zemském pvrchu. Zemská sa klísá, tedy její průsečík s pvrchem tzv. kamžitý pól není stálý. Opisuje na zemském pvrchu slžitu křivku přibližně kruhvéh tvaru, která nevychází ze čtverce straně asi 0 m. Phyb má peridický charakter. Střední hdnta pólu, tzv. knvenční terestrický pól (Cnventinal Terrestrial Ple CTP) neb také mezinárdní knvenční pčátek (Cnventinal Internatinal Origin CIO), je na základě přesných výpčtů definván mezinárdní službu ve smluveném gecentrickém suřadnicvém systému. Tat služba udává také plhu základníh (nultéh) pledníku (viz též kap. 3..). Rvněž i střední pól se phybuje, a t přibližně lineárně. 49

30 Z z y x Z y x X Y y Z Y z Y X X z x Obr ε y a klem sy Z + ε z. Pčátek zůstává nezměněn, O. Žádný z těcht dvu systémů s a S neupřednstňujeme. Pr dvzení transfrmačních rvnic budeme nyní pstupně převádět systém s d systému S a ten d systému S. Transfrmace prbíhá ve třech krcích: a) Rtace (tčení) Maticvý zápis tčení je S = R s (3.3.) kde matice rtace R takt definvanéh mdelu je ( X x) ( X y) ( X z) ( Y x) ( Y y) ( Y z) ( Z x) ( Z y) ( Z z) cs, cs, cs, R = cs, cs, cs, (3.3.) cs, cs, cs, Ksiny úhlů, které splu svírají jedntlivé suřadnicvé sy, lze vyjádřit pmcí rtačních parametrů. Pdle br je cs cs cs cs ( X, y) = cs( 90 + ε z ) ( Y, x) = cs( 90 ε ) ( Z, x) = cs( 90 + ε ) = sin ε = & ε, = sin ε = & ε, = sin ε = & ε, ( X, x) = & cs( Y, y) = & cs( Z, z) = & a matice rtace (3.3.) bude ve tvaru z y z y z z y z cs cs cs ( X, z) = cs( 90 ε ) = sin ε = & ε, ( Y, z) = cs( 90 + ε x ) = sin ε x = & ε x ( Z, y) = cs( 90 ε ) = sin ε = & ε, ε z ε y R = ε z ε x (3.3.3) ε y ε x y x y x y x, 50

31 b) Změna měřítka Systém s má jiný rzměr než systém S, resp. S. Měřítkvý keficient k vyjadřuje změnu délkvéh měřítka při přechdu mezi běma systémy. Tedy c) Translace (psunutí) X, Y, Z ( k ) Suřadnicvé systémy S[ ] a [ X, Y, Z ] S = + R s (3.3.4) S jsu puze rvnběžně psunuty. Lze psát S = S + S (3.3.5) kde S = [ X, Y, Z ].Takže knečný tvar transfrmační rvnice je = + ( + k ) X X ε z ε y x Y = Y + ( + k ) ε z ε x y Z Z ε y εx z S S Rs, čili (3.3.6) Pr ilustraci je v tab uveden sedm parametrů, tj. parametrů transfrmačníh klíče, pr převd ze suřadnicvéh systému esselva elipsidu d systému elipsidu GS84 a sedm parametrů pr převd ze systému elipsidu GS84 d systému esselva elipsidu, viz []. Tab Transfrmační keficienty mezi gecentrickým elipsidem GS84 a elipsidem esselvým Pr transfrmaci systému ESSEL GS84 Pr transfrmaci systému GS84 ESSEL X 570,83789 [m] x -570,8850 [m] Y 85,6864 [m] y -85, [m] Z 46,84673 [m] z -46,840 [m] k 3, k -3, , π ε x [rad] ε x - 4, π [rad] ε y, π [rad] ε y -, π [rad] 5,606 π ε z [rad] ε z - 5,60779 π [rad] Pzn. Pr méně přesné výpčty je dstačující uvažvat pr bě transfrmace shdné číselné hdnty keficientů zakruhlené na dvě desetinná místa. Pkud by chtěl čtenář zdůvdnit nestejnst parametrů v druhém a čtvrtém slupci, nechť si vyjádří transfrmační rvnice jednak pdle rv. (3.3.6), jednak z rvnic pr pačnu transfrmaci a pak tyt výrazy prvná. Hdnty uvedené v tab jsu upřesňvány pdle pčtu naměřených identických bdů. 5

32 3.3.3 Odvzení zprstředkujících rvnic prav pr určení transfrmačníh klíče Úpravu rv. (3.3.6) pstupně dstaneme X X x x 0 ε z ε y x Y = Y + y + k y + ε z 0 ε x y, Z Z z z ε y ε x 0 z p zanedbání veličin kε, kε, kε, jakžt malých veličin. řádu. Dále je x y z 0 0 X x 0 z y ε x x X vx 0 0 Y + k y + z 0 x ε y + y Y = vy, 0 0 Z z y x 0 ε z z Z v z kde pravy v x, v y, v z byly přisuzeny suřadnicím X, Y, Z. P sučtu prvních tří členů 0 0 x 0 z y x X vx T 0 0 y z 0 x ( X Y Z k ε x ε y ε z ) y Y v + = y 0 0 z y x 0 z Z v z (3.3.7) Uvedená rv. (3.3.7) pskytuje jeden identický bd (bd, jehž suřadnice jsu známy v bu systémech). Pr zjištění sedmi neznámých parametrů, tj. pr zjištění transfrmačníh klíče, nám pstačí 3 identické bdy a již tyt dávají nadbytečné rvnice. Přirzeně, že se snažíme znát c nejvíce identických bdů a pkud mžn c nejrvnměrněji rzmístěné v blasti, pr niž transfrmační klíč určujeme. Jak suvisí změna parametru transfrmačníh klíče se změnu blastí si demnstrujme na síti DOPNUL České republiky, která je znázrněna na br Síť DOPNUL bsahuje 74 bdů. Údaje spjené s těmit bdy uvádí tab V práci [] je Česká republika rzdělena d smi částí, viz br V tab jsu pr tyt blasti uvedeny transfrmační klíče a je z nich zřejmá vyská závislst na dané blasti. Prt i transfrmační klíče, uvedené v tab platí jen pr danu lkalitu a daný výběr (plha a pčet) měřických bdů. Obr bdů sítě DOPNUL 5

33 Tab Údaje v sustavě JTSK a GS. Celkem pr 74 bdů sítě DOPNUL Př. č. Y [m] (JTSK) X [m] (JTSK) H n [m] [ ] (ETRF-89) L[ ] (ETRF-89) H e [m] 678, ,7 4, 50, , , , ,5 900,5 50, , , , ,53 4,95 50, , , , ,58 539,0 49, , , ,98 366,65 60,9 49, , , , ,64 04,33 48, ,8368 5, , ,3 5,9 49, , , ,65 000,7 9,8 48, , , , ,5 39,9 49, , , , ,49 48,9 49, , ,375 : , ,5 04,5 49, , , , ,0 546,07 49, , , , ,4 4,98 49, , , ,58 370,90 48,79 49, , , ,37 749,5 384,88 49, , ,50 Obr Rzdělení ČR d blastí pr sledvání vývje transfrmačníh klíče 53

34 Tab Transfrmační klíče pr sedmiparametricku transfrmaci (s výškami kvazigeidu) pr transfrmaci S-JTSK GS84 Pč. bdů X [m] Y [m] Z [m] Oblast Celá ČR Západ ČR Výchd ČR ¼ ¼ ¼ ¼ Hrní ½ Dlní ½ k Základní gemetrické úlhy mezi dvěma rtačními elipsidy Odvzvané vztahy budu demnstrvány na elipsidu GS84 a na esselvě elipsidu. Zaveďme pr ně následující značení: C O S S [ x, y, z ] [ x, y, z ] [,, ] [,, ] [,, ] [,, ] ε x [ ] ε y [ ] těžiště Země, pčátek systému GS84 střed referenčníh elipsidu, pčátek systému esselva elipsidu suřadnicvý systém elipsidu GS84, pčátek C, sy x, y, z ε z [ ] suřadnicvý systém esselva elipsidu, pčátek O, sy x, y, z P X Y Z pravúhlé suřadnice bdu P v systému elipsidu GS84 P X Y Z pravúhlé suřadnice bdu P v systému esselva elipsidu P L H gedetické zeměpisné suřadnice bdu P v systému elipsidu GS84 P L H gedetické zeměpisné suřadnice bdu P v systému esselva elipsidu α, β, γ směrvé ksiny nrmály k elipsidu GS84 v suřadnicvém systému elipsidu GS84 α, β, γ směrvé ksiny nrmály k esselvu elipsidu v suřadnicvém systému esselva elipsidu Pznámka k převdu směrvých ksinů. Nebude-li řečen jinak, pak půvdní i převedené směrvé ksiny se vztahují k jednmu a témuž směru. Převdní vzrce jsu dány rv. (3.3.4), v níž vektry S a s zaměníme za vektry směrvých ksinů v suřadnicvých systémech S a s. Od tét transfrmace je třeba dlišvat případ, kdy přecházíme nejen d druhé sustavy, ale sučasně i na nrmálu k druhému elipsidu. Např. přecházíme ze suřadnicvéh systému GS84 d suřadnicvéh systému esselva elipsidu a sučasně i z nrmály k elipsidu GS84 na nrmálu k elipsidu esselvu. Ty je nutn spčítat 54

35 pmcí přetransfrmvaných suřadnic, L ze vzrců α = cs cs L, β = cs sin L, γ = sin. Úlhy uvedené v dalším textu na sebe navazují a splečně tak tvří jednu úlhu rzsáhlejší. PŘÍKLAD 8 Jsu dány gedetické zeměpisné suřadnice, L a výška H v systému GS84, a = m, e = 0, , = 50, L = 5, H = 0m. Vypčtěte prstrvé pravúhlé suřadnice X, Y, Z a směrvé ksiny α, β, γ nrmály n k elipsidu GS84, viz br P, L, H Dán: [ ] Určit: [,, ] α, β, γ P X Y Z, Výpčet: Pdle rv. (3..) v kap. 3.. platí ( ) ( ) X = N + H cs cs L, Y = N + H cs sin L, ( ( ) ) Z = N e + H sin, (3.3.8) kde N je příčný plměr křivsti (definici viz kap. 3..3) elipsidu GS84. Směrvé ksiny nrmály n se vypčtu ze vztahů a splňují rvnst α = cs cs L, β = cs sin L, γ = sin (3.3.9) α + β + γ =. (3.3.0) z P [X,Y,Z ],L H C y x n Obr

36 Výsledek: N = ,045, X = ,6, Y = ,5, Z = ,699, α = 0, , β = 0, , γ = 0, PŘÍKLAD 9 Jsu dány prstrvé pravúhlé suřadnice X, Y, Z bdu P a směrvé ksiny α, β, γ nrmály n k elipsidu GS84 v bdě P. Objí v gecentrickém systému GS84, viz br X = ,6, Y = ,5, Z = ,699, α = 0, , β = 0, , γ = 0, Vypčtěte prstrvé pravúhlé suřadnice X, Y, Z téhž bdu a směrvé ksiny α, β, γ uvedené nrmály n v suřadnicvém systému esselva elipsidu. Znám je sedm parametrů určujících vzájemnu plhu bu elipsidů, viz tab a br Dán: P[ X, Y, Z ], α, β, γ Určit: P[ X, Y, Z ], α, β, γ Výpčet: Prstrvé pravúhlé suřadnice X, Y, Z bdu P v systému GS84 se převedu na prstrvé pravúhlé suřadnice X, Y, Z v systému esselva elipsidu pdle rv. (3.3.6), kde za parametry transfrmačníh klíče dsadíme ze čtvrtéh slupce tab Směrvé parametry se vypčítají ze vztahů ( k )( z y ) ( k )( z x ) ( k )( y x ) α = + α ε β + ε γ, β = + ε α + β ε γ, γ = + ε α + ε β + γ Směrvé ksiny pak určují vztahy α β γ α =, β =, γ =. a musí splňvat rvnst α + β + γ α + β + γ α + β + γ (3.3.) (3.3.) α + β + γ = (3.3.3) Výsledek: X = ,974, Y = 063,94, Z = ,93, α = α = 0, , β = β = 0, , γ = γ = 0, PŘÍKLAD 0 Jsu dány prstrvé pravúhlé suřadnice X, Y, Z bdu P v suřadnicvém systému esselva elipsidu, jakž i parametry esselva elipsidu. a = ,55, e = 0, X = ,58, Y = ,533, Z = ,9 56

37 Obr Vypčtěte gedetické zeměpisné suřadnice, L a elipsidicku výšku H nad esselvým elipsidem. Dále určete směrvé ksiny α, β, γ nrmály n k esselvě elipsidu v suřadnicvém systému esselva elipsidu. P X, Y, Z Dán: [ ] Určit: [,, ] α, β, γ P L H, Výpčet: Pdle PŘÍKLADU 7 v kap. 3.. Výsledek: = 50, L = 5, H =0 m, α = cs cs L = 0, , β = cs sin L = 0, , γ = sin L = 0, Kntrla pdle rv. (3.3.0), resp. (3.3.3) vyhvuje. PŘÍKLAD Jsu dány gedetické zeměpisné suřadnice, L, H bdu P v systému esselva elipsidu, br = 50, L = 5, H = 0 m Vypčtěte prstrvé pravúhlé suřadnice X, Y, Z pdbdu P ve stejném systému. Pdbd P (vzhledem k bdu P) leží na esselvě elipsidu a na splečné nrmále n. Dále určete směrvé ksiny α, β, γ nrmály n, a t rvněž v suřadnicvém systému esselva elipsidu. P, L, H Dán: [ ] 57

38 Určit: [,, ] α, β, γ P X Y Z, Výpčet: Pdle rv. (3..) v kap. 3.. platí ( ) X = N cs cs L, Y = N cs sin L, Z = N e sin, (3.3.4) kde N je příčný plměr křivsti v bdě P. z H [,L,H ] P [X,Y,Z ] P [X, Y, Z ] O y x n Obr Pr směrvé ksiny platí rv. (3.3.5), nebť bdem P i pdbdem P na elipsidu prchází stejná nrmála n. Tedy α = α = cs cs L, β = β = cs sin L, γ = γ = sin. (3.3.5) Kntrla se prvede vyčíslením rv. (3.3.3). Výsledky: X = ,37, Y = ,869, Z = ,50, α = 0, , β = 0, , γ = 0, PŘÍKLAD Jsu dány, L, H = 0 m bdu P v suřadnicvém systému esselva elipsidu. Rvněž jsu známé prstrvé pravúhlé suřadnice X, Y, Z v suřadnicvém systému esselva elipsidu. dem P prchází nrmála n k esselvu elipsidu, br Je tedy dán: = 50, L = 5, H = 0 m X = ,37, Y = ,869, Z = ,50 ) Určete směrvé ksiny α, β, γ nrmály n v suřadnicvém systému essselva elipsidu. ) Dále vypčtěte hdnty prstrvých pravúhlých pravtčivých suřadnic X, Y, Z 58

39 bdu P v suřadnicvém systému GS84. A stejně tak převeďte hdnty α, β, γ d suřadnicvéh systému GS84 a značte je α, β, γ. Sedm parametrů ptřebných pr převd mezi elipsidy převezměte z tab Kntrla se prvede vyčíslením rv. (3.3.3) a zpětnu transfrmací pdle rv. (3.3.6).,, 0 P X, Y, Z, 7 převdních parametrů Dán: P [ L H = ], [ ] Určit: ) n [ α, β, γ ] ) P [ X, Y, Z ], n [ α, β, γ ] Obr Výpčet: ad ) Jednduše ze vztahů α = cs50 cs5, β = cs50 sin5, γ = sin 50. ad ) Převd d suřadnicvéh systému GS84 se uskuteční pmcí rv. (3.3.6), rv. (3.3.) a parametrů ve druhém slupci tab Výsledky: α = 0, , β = 0, , γ = 0, X = ,65, Y = ,703, Z = , 653 α = 0, , β = 0, , γ = 0, PŘÍKLAD 3 Jsu dány prstrvé pravúhlé suřadnice X, Y, Z bdu P, který leží na pvrchu esselva elipsidu a směrvé ksiny nrmály n v bdě P vůči esselvě elipsidu, a t bjí v suřadnicvém systému elipsidu GS84. X = ,65, Y = ,703, Z = , 653 α = 0, , β = 0, , γ = 0,

40 Určete dlehlst esselva elipsidu a elipsidu GS84 pr bd P, viz br Dán: P [ X, Y, Z ], α, β, γ Určit: dlehlst t esselva elipsidu a elipsidu GS84 měřenu p nrmále n. z n P [X,Y,Z ] t C y x Výpčet: Obr Parametrická rvnice přímky určená bdem P [ X, Y, Z ] α, β, γ je a směrvými ksiny x = X + tα, y = Y + tβ, z = Z + tγ, (3.3.6) kde t je hledaný parametr. Rvnice elipsidu GS84 v suřadnicvém systému elipsidu GS84 je x y z a a a e + + = ( ), (3.3.7) kde a,e jsu parametry tht elipsidu (viz kap. 3.3.). P úpravě má rvnice elipsidu tvar Dsazením rv. (3.3.6) d (3.3.8) se získá ( ) ( ) x + y + z e x + y = a e (3.3.8) ( X ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( + tα + Y + tβ + Z + tγ e X + tα + Y + tβ = a e ) a p dalších algebraických úpravách t + + [ α ( + β + γ e α + β )] + t[ X ( α + Y β + Z γ e X α + Y β )] X + Y + Z e ( X + Y ) a + a e = 0 + (3.3.9) 60